（计算数学专业论文）格及超格若干专题研究.pdf

摘要 格的概念，首先由狄得京( d e d e k i n d ) 提出。近代格论大约形 成于本世纪3 0 年代。1 9 4 0 ，b i r k h o f f 在其著作 l a t t i c et h e o r y 中系统总结了格论的进展。近年来，由于序与偏序集理论在组合数学、 f u z z y 数学、计算机科学、甚至社会科学中得到了广泛的应用，因而 使格论有了较大的发展，逐渐成为现代数学的重要分支之一。自1 9 3 4 年f m a r t y 提出超代数系统以来，超代数系统引起了许多学者的关 注，出现大量超代数的分支，如超群盘、超环、超b c k 一代数等m 1 、 超b c i - 代数“驰等。超代数系统理论在纯粹数学和应用数学的许多方 面都有应用。辛小龙教授把超代数系统理论引入到格这一系统理论 中，研究了超格的若干性质，得到了一些有价值的结果阳1 。赵彬教授 又相继研究了分配超格“阳和超格的理想。“。作为格这一代数系统的推 广超格，还有很多工作值得我们去探讨。 本文研究了两个代数系统格和超格的若干代数性质，主要从 以下几个方面对格和超格进行了研究。 在本文的第二章中，给出了格上微分的定义，研究了格上微分 的一些性质，并通过微分刻画格的结构。 在本文的第三章中，给出了理想和与滤子积的概念。建立了分 配格上的中国剩余定理。作为分配格上中国剩余定理的应用，同时给 出了一个分配格的同构定理。 在本文的第四章中，首先给出了超格的最小元、最大元及有界 超格的定义，并举例说明了这种定义的合理性。其次，基于赵彬教授 在文 2 3 中提出的超格理想的定义，进一步研究了超格的理想。 在本文的第五章中，提出了幂超格、分配幂超格和幂超格直积 的概念，讨论了幂超格的一些性质。 关键词：格，分配格，超格，分配超格，幂超格，分配幂超格， 幂超格的直积，理想，滤子，同态，同构，微分，中国剩余定理 a b s t r a c t t h ec o n c e p to fl a t t i c ew a sp u tf o r w a r db yd e d e k i n df i r s t l y t h em o d e r n l a t t i c et h e o r yc a m ei n t ob e i n gi nt h et h i r t i e so ft h i sc e n t u r y t h eb o o k ( 1 a t t i c e t h e o r y ) ) w h i c hw a sw r i t t e nb yb i r k o f fe n r i c h e da n dd e v e l o p e dt h el a t t i c e t h e o r yf u r t h e ru n t i lt h ef o r t i e s i nr e c e n ty e a r s a so r d e ra n dp a r t i a lo r d e r e d s e tt h e o r yw e r ew i d e l ya p p l i e di nt h ec o m b i n a t o r i c s ，f u z z ym a t h e m a t i c s ， c o m p u t e rs c i e n c e ，a n de v e ni nt h es o c i a ls c i e n c e ，t h el a t t i c et h e o r yh a sb e c a m e a n i m p o r t a n t b r a n c ho fm a t h e m a t i c s s i n c e f m a r r ya d v a n c e dt h e h y p e r a l g e b r a i cs y s t e mi n1 9 3 4 ，t h et h e o r yo fh y p e r a l g e b r a i ch a sa t t r a c t e da g o o dd e a l o fa t t e n t i o no fm a n ys e h o l a m t h e r e f o r e ，m a n yb r a n c h e so f h y p e r a l g e b r a sa p p e a r e d ，s u c ha sh y p e r g r o u p ，h y p e r r i n g ，h y p e rb c k - a l g e b r a s ， h y p e rb c i - a l g e r b r a sa n d s oo n t h eh y p e ra l g e b r a i cs y s t e mt h e o r yi su s e di n m a n ya s p e c t so fp u r ea n d 印p l i e am a t h e m a t i c s p r o f f e s s o r nx i a o l o n g i n t r o d u c e st h eh y p e ra l g e b r a i cs y s t e mt h e o r yi n t ot h ea l g e b r a i cs t r u c t u r eo f l a t t i c et h e o r ya n dp u tf o r w a r dt h ec o n c e p to fh y p e r l a t t i c ew i t hac e r t a i n n u m b e ro fv a l u a b l er e s u l t s i ns u c c e s s i o n ，p r o f e s s o rz h a o b i ns t u d i e st h e d i s t r i b u t i v eh y p e r l a t t i e ea n dt h ei d e a l so f t h eh y p e r l a t t i c e i td e s e r v e su sm u c h r e s e a r c ho nt h eh y p e f l a t t i c ew h i c hi st h ee x t e n s i o no f l a t t i c ea l g e b r a i cs y s t e m t h i st h e s i ss t u d i e sac e r t a i nn u m b e ro fl a t t i c ea n dh y p e r l a t t i c ea l g e b r a i c c h a r a c t e r i s t i c s ，m a i n l yd i s c u s s i n gt h e mf r o mt h ef o l l o w i n gs e v e r a la s p e c t s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ed e f i n et h el a t t i c ed i f f e r e n t i a l ，s t u d ys o m e p r o p e r t i e so fi ta n da l s oo b t a i na c e r t a i nn u m b e ro fe q u a lp r o p o s i t i o n i nt h et h i r dc h a p t e r ，w eg i v et h ec o n c e p to ft h ef i l t e r e dp r o d u c ta n dt h e i d e a ls u ma n ds e tt h ec h i n e s e sr e m a i d e rt h e o r e mo nt h ed i s t r i b u t i v el a t t i c e m e a n w h i l e ，t h ei s o m o r p h i s mt h e o r e mo nt h ed i s t r i b u t i v el a t t i c ei sm a d ec l e a r i nt h ef o r t hc h a p t e r ，f i r s to fa l l ，w er a i s et h ed e f i n i t i o n so ft h el e a s t e l e m e n t ，t h eg r e a t e s te l e m e n ta n dt h eb o u n d e dh y p e d a t t i c ea n di l l u s t r a t e st h e r e a s o n a b l ee l e m e n t sb ye x a m p l e t h e n ，w em a k eaf u r t h e rs t u d yo nt h ei d e a l o fh y p e r l a t t i c eo nt h eb a s eo ft h ed e f i n i t i o no fh y p e r l a t t i c ei d e a lm a d eb y l v p r o f e s s o rz h a o b i ni nt h ea r t i c l e i nt h ef i f t hc h a p t e r ，w ep u tf o r w a r dt h ec o n c e p t so ft h ep o w e rh y p e r i a t t i c e ， d i s t r i b u t i v ep o w e rh y p e r l a t t i c ea n dp o w e rh y p e r i a t t i c ed i r e c tp r o d u c t s o m e w o r t h yp r o p e r t i e so fp o w e rh y p e f l a t t i c ei sa l s od i s c u s s e di nt h i sc h a p t e r k e yw o r d ：l a t t i c e ，d i s t r i b u t i v el a t t i c e ，h y p e r l a t t i c e ，d i s t r i b u t i v eh y p e r l a t t i c e ， p o w e rh y p e r l a t t i c e ，d i s t r i b u t i v ep o w e rh y p e r l a t t i c e ，d i r e c tp r o d u c to fp o w e r h y p e r l a t t i e e ，i d e a l ，f i l t e r , h o m o m o r p h i s m ，i s o m o r p h i s m ，d i f f e r e n t t i a l ，c h i n e s e r e m a i d e rt h e o r e m v y8 9 3 6 0 5 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进循检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 t 学位论文作者签名：鲁甏鼍指导教师签名：罕d ，移 如彳年；月2 弓日矽莎年罗月哆日 西北大学学位论文独创性说明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，本论文不包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作过的同志对本研究所作的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：兽静竿 跏年；月；日 西北大学硕士论文 1 1 问题背景 第一章绪论 格的概念，首先由狄得京( d e d e k i n d ) ( 1 8 3 1 1 9 1 6 ) 定义，在1 9 3 0 年前后才受到人们的注意。格是随着经典逻辑的代数化与泛代数的发 展而引进的一个新的代数系统。近代格论大约形成于本世纪3 0 年代， g b i r k h o f f 的专著( ( l a t t i c et h e o r y ) ) 乜5 3 ( 第一版) 是这个时期的格 论及其对于数理逻辑、泛代数、一般拓扑学、泛函分析和概率论等数 学分支中应用的系统总结。近年来，由于序与偏序集理论又在组合数 学、f u z z y 数学、计算机科学、甚至社会科学中得到了广泛的应用， 因而使格论有了较大的发展，它已成为数学的重要分支之一。现在已 成为近似代数的重要组成部分。格，与群，环，域这些抽象代数系统 相比，其重要差别是次序关系在格中具有重要意义，即它是一个特殊 的偏序集。给格附加一定的限制之后，格就转化为布尔代数，即布尔 代数是特殊的格。格与布尔代数在计算机科学中具有非常重要的作 用，在保密学、开关理论、计算机理论和逻辑设计以及其他一些科学 和工程领域中，都直接应用了格与布尔代数儿。布尔代数最初是作 为对逻辑思维法则的研究出现的。 许多数学工作者致力研究这些代数系统的性质和结构。我们知道， 微分的概念是在连续变量的基础上提出的。人们自然会想，能否基于 离散变量建立微分结构。国内外数学工作者在这方面做出了可喜的成 果。1 9 5 7 年，e p o s n e r 在素环上研究了微分。1 9 8 7 年，h e b e l l ， l c k a p p e ，g m a s o n ，k k a y a 和e p o s n e r 研究了环、近似环及近似 域上的微分理论口2 。3 ，y o u n gb a ej u n 和x i a ol o n gk i n 给出了b c i - 代数上的微分口。众所周知，早在公元前一世纪，中国古代数学家就 建立了闻名于世的初等数论中的孙子定理。“，外国人称其为中国剩余 定理。两千多年来，世界各国数学家继续致力于中国剩余定理的研究， 将其推广到各种代数系统中，取得了一些可喜的进展。首先在环和其 两北大学硕+ 论文 他的一些代数系统中得到了中国剩余定理”1 。1 9 9 7 年，y b j u n ， s m h o n g ，x l x i n 和e h r o h 得到了b c i 一代数上的中国剩余定理”。 2 0 0 1 年，辛小龙教授得到了i s 一代数上的中国剩余定理并得到了i s 一 代数的中国剩余定理是初等数论和环论里的中国剩余定理的推广这 一重要结论“。中国剩余定理被广泛的应用于通信编码，计算机与数 字工程等领域。然而，在格中上述工作还没有研究过。本文第二章建 立了格上的微分结构，第三章建立了分配格上的中国剩余定理。 自1 9 3 4 年f m a r t y 提出超代数系统理论以来，超代数系统理论引 起了许多学者的关注，从而出现大量超代数的分支。如超群瞳”们“、 超环。“、超b c k 一代数口h 5 ”儿4 、超b c i - 代数。鲫等。超代数系统理论 在纯粹数学和应用数学的许多方面都有应用。辛小龙教授把超代数系 统理论引入到格这一系统理论中，研究了超格的若干有价值的结果。1 。 赵彬教授又相继研究了分配超格“和超格的理想。作为格这一代数 系统的推广超格，还有很多工作值得我们去探讨。基于超格现有 的结果，本文的第五章进一步研究了超格。 模糊数学基础的研究突出了集值映射的重要性。一些数学结构由 论域向其幂集上提升的问题引起了人们的关注。1 9 8 8 年李洪兴、汪培 庄和何清教授讨论了群上代数结构的提升问题，提出了幂群的概念， 由此得到了一系列有价值的成果“羽“。钟育彬又进一步研究了幂群的 结构及其相互关系“。1 9 9 4 年罗承忠和米洪海将群上的代数结构向其 f u z z y 幂集上提升，提出了f u z z y 幂群的概念“，并在更广泛的意义 下讨论了其结构问题。2 0 0 2 年，明平华和郑崇友提出了幂格的概念并 得到了幂格的一系列性质“，明平华在分配格上又进一步研究了由理 想及滤子诱导出来的幂格“副“。本文第四章提出了幂超格的概念。它 是格结构的二次提升，将幂格和超格这两种代数结构统一起来，比幂 格和超格有更好的性质。 西北大学硕士论文 1 2 基本知识简介 定义1 1 “1 设是一非空集合，a 和v 是上的二元代数运算， 如果v a ，b ，c e l ，满足 ( 1 ) a a 。a , a va ；a( 幂等律) ； ( 2 ) aa b 。b a , av b ，bvd( 交换律) ； ( 3 ) ( 口 6 ) c 一4 ( 6 c ) ，( 口v 6 ) vc 一口v ( 6vc ) ( 2 占合律) ； ( 4 ) 0 6 ) v a 一口，( dv 6 ) n t a( 吸收律) 设仁，一，v ) 是一格，我们可以在上定义一个关系“s ” a 墨b 静aa b = a ay b = b 容易证明，如此定义的关系“s ”是上的偏序关系 定义1 2 。1 设 v ) 是一格，s 是的非空子集如果集合s 对 中的运算仍构成一个格，则称s 是l 的子格 定义1 3 。1 设犯， ，v ) 和( s ，t ，。) 是两个格如果存在从l 到s 的 映射，满足 ，( na 6 ) 一f ( a ) ，( 6 ) ，( 口v 6 ) ，( d ) o f ( b ) 则称，是从到s 的格同态映射( 简称同态) 当，分别是单射，满 射和双射时，分别称，是单格同态，满格同态和格同构( 简称为单同 态，满同态和同构) 定义1 4 设，是从格ln s 的一个映射，对于任意的n ，b e l ， 如果ns b ，则有，0 ) 主厂p ) ，则称，是一个保序映射 定义1 5 。”在格犯，n ，v ) 中，如果对于的任意元素口，b ，c 有 a ( b vc ) 一( 口 扫) v ( 口 c ) ， av ( 6 c ) ；( 口v 6 ) ( dvc ) ， 则称犯，n ，v ) 为分配格在任一格中这两个等式是等价的 定义1 6 ”3 如果格中有最大元和最小元存在，则称之为有界格 通常将有界格的最大元和最小元分别记为1 和0 定义1 7 口3 设( j l ，一，v ) 是有界格，1 和0 分别为它的最大元和最 西北大学硕士论文 小元，n e l 如果存在6 工，使得口n b 。o ，nvb 。1 ，则称n 和6 互为补 元 定义1 8 口3 既是有界格又是分配格的格称为有界分配格既是 有补格又是分配格的格称为有补分配格( 布尔代数) 定义1 9 。吣设，是格的一个非空子集，如果满足 ( 1 ) 口j ，x e l ，xs n 蕴涵算e j ， ( 2 ) 口e j ，b e j 蕴涵口vb e j ， 则称，是格的理想 定义1 1 0 眙6 3 如果口 b e p 则口e p 或b e p ，就称p 是一个素理 想 定义1 1 1 啪1 设f 是格l 的一个非空子集，如果满足 ( 1 ) 口b , a f 蕴涵b e f ， ( 2 ) e f b e e 蕴涵口 b e f ， 则称f 是格l 的滤子 定义1 1 2 设是格，口e l 称为分配的当且仅当对于任意的 x ，ye e l 有 av 0 a ) ，) 一( 口v z ) a v ) ，) 1 3 本文的研究内容及创新性成果 本文主要有以下几个方面的研究成果： 1 初步研究了格上的微分理论，这些工作推广并丰富了离散变 量微分的概念，使微分成为研究代数系统的性质、刻画代数系统的结 构的重要工具 2 分别建立了分配格上关于理想和滤子的中国剩余定理，并讨 论了分配格上中国剩余定理的应用 3 给出了超格的最大元、最小元的概念及有界超格的概念同 时，进一步研究了超格的性质 4 将超格结构进行提升得出了幂超格的概念，进而研究了幂超 格的性质 西北大学硕士论文 2 1 格微分的概念 第二章格上的微分 在这一节中，我们给出了格上的微分概念并举出了几个例子 定义2 1 设d 是格l 上的映射，若满足恒等式 d ( z y ) 一oa a y ) v ( ya e x ) ，y 工， 则称d 是上的微分以下均把上述表达式筒记为 d ( x y ) 一x d y + y d x ，v x ，y e l 例2 1 如图( 1 ) 所示的格l 是一个分配格，若在上定义映射 d 为d ( o ) d ( 1 ) 一o ，d ( ) - 4 ，d p ) b ，则容易验证d 是上的微分 例2 2 如图( 2 ) 所示的格是有补完备格，在l 上定义映射d 为 d ( o ) 一d o ) 一d ( n ) 一o , a ( b ) 。6 ，d ( c ) - c ，则容易验证d 是l 上的微分 例2 3 设d 是上的映射，若对于任意的x 工，d x ；0 ，n e 是 上的微分，此时称d 是上的零微分记作d 。 例2 4 设d 是l 上的恒等映射，则d 是l 上的微分，此时称d 是 上的恒等微分记作d 图( 1 ) 2 2 格上微分的性质 a b 图( 2 ) 在这一节中，我们研究了格上微分的若干性质，给出了弱正则 西北大学硕十论文 微分及正则微分的概念，推导出了若干个等价命题 性质2 1 若d 是l 上的微分，则 ( 1 ) d xs x ： ( 2 ) d x d ye d ( 砂) s d x + d y ； ( 3 ) d o a o ，d l s l ： ( 4 ) 若，是的理想，则d ，称，是d 的不变量 证明：( 1 ) 因为d x ；d ) t x d x + 娩；x d x ，所以d x 工 ( 2 ) 因为d 似) 一砷+ y d x ，x d y d y ，y d x s d x ，所以d ( x y ) e d x + d y ， 又因为a ( x y ) 2 功d r d y ，故d x d y d 俯) s 出+ 咖 ( 3 ) 设0 , 1 e l ，由( 1 ) 知d l s 】，d o s 0 ，显然由d o s o 可知d o 0 ( 4 ) 任取y 甜，则存在x e i 使得y d x ，由( 1 ) 知y ：d xs x ， 而，是理想故y e l ，即甜， 定义2 2 设d 是l 上的微分，若d a ，0 ，则称a 是d 的常量 显然d 1 ( o ) 是d 的一个常量集。在例2 1 、2 2 、2 3 中常量集分 别是 0 ，l ， 0 ，1 ，a ) 和l d 的所有常量组成的集合称为d 的常量 集，记作c ) 命题2 1 设d 是格l 上的微分，则d 是恒等微分的充要条件是 d l = 1 证明：充分性设d l 。1 ，d r ；d o x ) 。l d x + x a l ；d x + j ，所以出x ， 又由性质2 1 ( 1 ) 知d x s x ，所以d x ；z 必要性是显然的! 命题2 2 设d 是格l 上的微分，则d 保序的充要条件是 d ( x y ) 一a x d y 证明：充分性设xs y ，则x x y ，d x = d ( x y ) ；d x d y ，d x d y 即d 保 序 必要性因为x y5x , x ys y 且d 保序，所以有d ( x y ) s d x ，d ( x y ) s 匆和 d ( 叫) s a x d y ，又由性质2 1 ( 2 ) 知d ( 习，) d x d y 于是d ( x y ) = d x a y 命题2 3 设d 是上的微分，则下列条件等价 ( 1 ) d x ：x ，v x l ： 西北大学硕士论文 ( 2 ) d ( x + ) ，) = + 咖) ( y + d x ) ，v x ，y l ； ( 3 ) d ( x + ) ，) = x y + d x 十咖，v x ，y 工 证明：( 1 ) 一( 2 ) 由d x t z9 h d ( x + y ) = x + y = o + y ) ( x + y ) = ( x + d y ) ( ) ，+ d x ) ( 2 ) j ( 1 ) 因为出；d ( x + 茗) + d x x x + 出) = x + 出，所以出z ， 又由性质2 1 ( 1 ) 知d x s x ，于是d x z ( 1 ) 辛( 3 ) d ( x + y ) = z + y 篁d x + d y 一蚴+ 出+ d y 皇x y + 出+ 咖 ( 3 ) ( i ) 因为d x ；d ( x + x ) ；麒+ 出+ 出一x + d x ，所以d x x ， 又由性质2 1 ( 1 ) 知d x 工，于是d x 一工 定义2 3 设d 是上的微分，若满足d o + y ) s d x + d y ，则称d 是 弱正则的 命题2 4 设d 是弱正则的，则下列条件等价 ( 1 ) d 保序； ( 2 ) d 是同态； ( 3 ) d o + y ) - d x + 咖 证明：( 1 ) j ( 2 ) 因为x + y2 x ，x + y y ，所以d o + ) ，) d x + d y ， 又由d 是弱正则的即d o + _ ) ，) s 出+ 方，故d o + ) ，) 一d x + d y 另一方面， 由命题2 2 可知d ) ；d x d y ( 2 ) 一( 3 ) 显然! ( 3 ) j ( 1 ) 设x 乏y ，贝u 有z x + ) ，d x = a ( x + y ) = d r + d y 即出苫d r 推论2 1 设d 是弱正则的，则d ( x + _ ) ) 一d x + d y 当且仅当 d ) = d x d y 证明：由命题2 2 和命题2 4 直接可得! 定义2 4 设d 是l 上的微分，若满足a ( x + ) ，) = d x + d y ，则称d 是格l 上的口微分，也称d 是正则的 由推论2 1 和定义2 4 ，我们可得下面的推论2 2 推论2 2 设d 是l 上的弱正则微分，则d 是正则的充要条件是 d ( 叫) - d x d y 命题2 5 恒等微分是盯微分 曲北火学硕士论文 证明：设d 是格l 上的恒等微分，则d 0 + ) ) = x + y ：d x + d y 命题2 6 盯微分是保序的 证明：设d 是格上的口微分，取工，y e l ，令x sy ，则 a y t d 0 + y ) ；d x + d y d x ，即d 是保序的 命题2 7 设d 是格l 上的盯微分，则 ( 1 ) 若0 , 1 e l ，则坛工有0 s d x s d l 即o 、d 1 是比的最小、最大 元 ( 2 ) 赶；协k ) 是l 的子格 ( 3 ) v a ，b e c ( l ) ，有d ( 甜+ 匆) 一a d x + b d y ，h ，y 三； ( 4 ) d - 1 ( o ) 一仁l 陋一o 是l 的理想，并且若l 是链，n d 一，( o ) 是 素理想； ( 5 ) 若d 是满射，是的理想，则出也是l 的理想； ( 6 ) v x e l ，若x 有补元工，则出。陋) 1 ： ( 7 ) 工，y e l ，d ( x 一) ，) z d x d y ( 记y ，一一y ) 证明：( 1 ) 由性质2 1 ( 3 ) 和命题2 6 很容易证得! ( 2 ) 任取d x ，d y e d l ，由已知出+ d y d q + y ) d l ，又由命题2 2 和命题2 6 知螂= a ( x y ) e d l 故d l - 讧k l 是的子格 ( 3 ) d ( a x + 缈) t d ( 甜) + d ( b y ) 一a d x + x d a + b d y + y d b i a d x + 茹d + 6 d y + ) ，o = a d x + 0 + b d y + 0 一a d x + b a y ( 4 ) 若 铲x e l ，xs y e d 。( o ) ，则由命题2 6 知d xs d y ；0 故 工d 1 ( o ) ；若z ，y e d 一1 ( o ) ，则d o + y ) ；出+ 痧；0 + 0 一。故x + y d 一1 ( o ) 。 故d 1 ( o ) 是l 的理想 若是链，则x ，y e l 有xs y 或y 蔓x 先考虑x s y ，如果叫d 一( o ) ， 那么d x = d 似) 一0 ，从而x e d 一1 ( o ) ；再考虑y s z ，如果叫d 一，( o ) ，那 么d y = a ( x y ) m0 ，从而y d 1 ( o ) 这样我们就证得了，是l 的素理想 ( 5 ) 对于_ ) ，亡厶ys y 。出，由于d 是满射，故存在葺，工使得 y 1 = 办1 ，y = d x 且有d xs d x l 从而有j s z l ，否则x 猷1 由d 的保序性出d x ， r 西北大学硕士论文 这与ysy 。矛盾又，是理想，故z ，从而y ；出讲若y ，y 。e d l ，则 存在x j ，x 2 e 1 使得y 1 = 出l ，y 2 = 出2 ，y 1 + y ：一出，+ 出2 ；d 0 1 + z 2 ) 出从而 刃是的理想 ( 6 ) 因为d l ；a ( x + x ) 一出+ a ( x + ) ， 又由推论2 1 知 d 似) 一捌o ) t d o 一0 ，于是a ( x ) 是出的补元，即d + ) = 似) ( 7 ) d ( z y ) - a ( x + y 1 ) = d r + do 。) = d x + ( 咖) = d x a y 命题2 8 设d 是格上的盯微分，贝, l j d l ；0 当且仅当d 是零微分 证明：必要性任取x e l ，出一d ( x 1 ) 一捌1 一( 出) o 一0 充分性是显然的 命题2 9 设d 是格l 上的仃微分 ( 1 ) 若a 是l 的分配元，则妇是也的分配元 ( 2 ) 若l 是分配格，贝u a z 是分配格 ( 3 ) 若是布尔格，则也是布尔格 证明：( 1 ) 若a 是的分配元，任取出，a y e d l 有 d 4 + ( , x a y ) i d a + d ( 叫) 一d ( a + ( w ) ) i d ( ( 口+ 工白+ y ) ) = d ( a + z ) d ( 口+ y ) 一( 出+ 出) ( c 缸+ a y ) ( 2 ) 设l 是分配格，任取出，咖，d z e d l 有 出+ ( a y a z ) 一d x + d ( 声) 一d o + ( 弦) ) ，d ( 0 + ) ，) 0 + z ) ) 一a ( x + y 矽o + z ) 一( a x + 毋出+ 虎) ， a x ( a y + 矗：) 一c k d ( ) ，+ z ) 一a ( x ( ) ，+ z ) ) - d ( ( 掣) + ( 艋) ) z d 砂) + d ( x z ) 一( a x a r ) + ( a x a z ) ( 3 ) 由( 2 ) 及命题2 7 ( 6 ) 知显然成立! 两北人学硕士论文 第三章分配格上的中国剩余定理 3 1 关于理想的中国剩余定理 这一节中，给出理想和的概念同时，研究了一系列有用的性质 定理3 5 给出了分配格上关于理想的中国剩余定理定理3 6 给出了 分配格上关于理想的中国剩余定理的一个应用 3 1 1 中国剩余定理 首先我们来回顾一下数学工作者在这方面所做的工作 早在公元前一世纪，中国古代数学家建立了下面的初等数论中的 中国剩余定理 定理3 1 m 1 给定正整数m 。，m ：，m 。，其中当f j 时，n , i ，) = 1 ， 则对任意整数b l ，b ：，b 。，同余方程组 x _ b l ( m o d m l ) ， 石j b e ( r o o d m 2 ) ， x 自6 ( m o d m ) ， 有解，且在模m m 。m ：m 。下，这个解是唯一的 经过数学家们坚持不懈的努力，中国剩余定理被推广于其他代数 系统，如环、b c i - 代数和i s 一代数上 定理3 2 嘲设4 ，爿：，4 是环r 的理想并适合r2 + 4 = r 和 4 + 爿，= r ，其中i ；1 , 2 ，月和，一1 ，2 ，n 且i j 如果b l ，b ：，b 。，则存 在b e r 使得 bib i ( m o d a i ) ，i 一1 , 2 ，n 进一步，以理想4f 3 a ：n n 4 为模，b 是唯一被确定的 定理3 3 m 1 设x 是一个b c i 一代数，a i , a ：，以是x 的强理想使 西北大学硕士论文 得x ；a 。+ n ，。4 ( k ；l 2 ， ) 若b l ，6 ，b x ，则存在b e x 使得 b ；b l ( m o d a l ) ，( f = 1 , 2 ，n ) 而r b 在a 。n a ：n n a 。意义下唯一 定理3 4 n ”设4 ，4 ：，a 。是i s 一代数z 的理想且满足条件 ( 1 ) x2 + 4 ；z x ，i t l 2 ，- 一，n ， ( 2 ) a i + a f x ，i ，- 1 ，2 ，n ；i * ， 则对任意的h ，6 ：，b x ，一定存在b e x ，使得 b - b i ( m o d a i ) ( f l 2 ，h ) 而且b 在a in a ：n n a 。意义下唯一 3 1 2 分配格上关于理想的中国剩余定理 为了建立分配格上关于理想的中国剩余定理，我们先给出以下理 论准备 定义3 1 设，是分配格的理想，在上定义一个二元关系“；” 如下： 对于任意的a ，b e l ，a b ( m o d l ) 是指存在d e l 使得n vd 。bvd 引理3 1 设，是分配格l 的理想，n - 元关系“；” 是l 上的一个同余关系 证明：先证明它是一个等价关系 ( 1 ) 对于任意的d e l ，因为av d a vd ，所以az 口( r o o d i ) ( 2 ) 如果a - b ( m o d l ) ，那么存在d e l 使得a vd ：bvd 即 bv d dv d 因此b - a ( m o d l ) ( 3 ) 如果ai b ( m o d i ) 和b c ( m o d l ) ，则存在d ，ee 1 使得 口vd 墨bv db v e 蔫cve ，二了p 是4v ( dvp ) 罱bvdve = bvevdlcv ( 矗ve ) 且由，是理想知dv e c l 因此口一c ( m o d i ) 再证明此关系对运算” 和”v 具有相容性 如果az b ( m o d i ) ，那么存在d ，使得av d ；bv d 由于对任意的 c ， 西北人学硕士论文 ( 口v d ) v c = pv d ) v c 即和vc ) v d = p vc ) vd 且d e l 因此口vc - bvc ( m o d l ) 又因 为( nc ) v d 。( nv d ) n ( cv d ) = pv d ) ( cv d ) = ( 6 nc ) vd 于是我们可以得 到口 cz b c ( m o d l ) 如果d = b ( m o d l ) 和c t d ( m o d l ) ，则由上述结论知口 cs b c ( m o d i ) 和b c - ba d ( m o d l ) ，因此a acz ba d ( m o d l ) 同理可得 avc i bv d ( m o d l ) 设，是分配格的理想，由引理3 1 知关系“一”是上的同余 关系，当然也是l 上的等价关系，用b 】，表示包含x 的等价类且定义商 集 l i - - 缸】，k 进而定义 【z 】，v 【y 】j ，b v ) ，】芹口陋】j 【y 】，一【z _ ) ，】， 则( l ， v ) 是一个分配格 引理3 2 设，是分配格l 的理想若a ，则纠，= ， 证明：若x i a ，则存在d e i 使得并v dt 口v d 因为 xsxvd nv de i ，所以工j ，即【口】，反之，对于任意的x e l ，由 于xvo vn ) - 口vo v 4 ) 这里石v 口e 1 ，于是工- a ( m o d l ) ，x e a j ，即 【口】，2 ， 综上所述【n 】，一j 推论3 1 设，是分配格l 的理想如果a e l ，那么对于任意的 d e l 有口a d ( m o d l ) 证明：对于任意的d e l ，因为v 口一( 口 d ) vn 这里口e 1 ，所以 a aad ( m o d l ) 定义3 2 设，。，：是格l 的理想，称由，u ，：生成的理想，为j 。 和，的和，记作j ：，+ ， 引理3 3 设，j ：是格l 的两个非空理想，则 12 西北大学硕士论文 ，= ，1 + ，2t 仁i zs 口vb ，3 口，1 ，b e l 2 j 证明：先证，包含，和， 对于任意的y e l ，若取x e l 则z 口v b ，n e l ，b e l ：因为 ys xvy 0v6 ) vy 一( 口v ) ，) v6 这里口vy e l l ，b e l 2 ，所以y e l ，即，l ， 同理可证j ， 再证，是理想 ( 1 ) 若y 蔓x ，x e l ，则ys x s 口v6 这里d j 。，b e l 2 ，从而y j ( 2 ) 若五，_ ) ，则工s 口v b ，y cv d 这里口，c e l bd e l 2 zvy ( 4v b ) v ( cv d ) 一0vc ) v pv d ) 这里口vc e l l ，bv d e l 2 ， x vy e l 因为 所以 最后证明，是包含，和，的理想中最小的理想 假设k 也是包含，。，：的理想任取x e i ，善口v 6 ，口e l i ，b e i ：，显然 a , b ，av b 都在k 中，故毒x ，即，g k 引理3 4 设，j ，是分配格的两个理想，则 + ，：一0v b 陋e 1 1 ，b e i ：j 证明：任取x e l ，+ ：，由引理3 3 知x 墨口v b 这里d e l 。，6 ，：因 为了一石 ( 口v 6 ) 一0 口) v 6 ) 而x 口i 口l ，工 bs b e l 2 且，1 ，2 是理 想， 于是工 口j ，工 b e l 2 ，所以工0 v6 陋e 1 。，b e l 2 即 j l + ，2 pv b a j l ，b e l 2 j 由引理3 3 知，。+ ，2 三昼v b k e l l ，6 ，2 j 定理3 5 设，。，：，是分配格l 的理想使得一，；+ n 。，。 ( k ；1 ，2 ，一) 若b l ，6 ：，吒e l ，则存在6 使得 ba b l ( m o d l f ) ，( f 一1 , 2 ，n ) 而且6 在，。n i ：n n i 。意义下唯一 证明：设b k 三；i k + n 。，由引理3 4 知b 。z 口；vr k 这里 e i 女，n i i ，易见b kv 吼一口lvr kv a i r kv a l 这里le l t ，于是有 b t ir k ( m o d l t ) ，( 七一1 , 2 ，1 ) 又由r ke n ，及推论3 ：l 知；r ka d ( m o d l ，) 这里d 上，i k ，不防 取d = 于是有r k r k r f