（计算数学专业论文）均匀2型三角剖分上的分片5次样条空间.pdf

人连理工人学硕上学位论文 摘要 多元样条在雨数逼近、计算几何、计算机辅助几何设计、有限元及小波等领 域中均有重要的应用1 9 7 5 年，王仁宏在文【l 】中采用函数论与代数几何的方法，建 立了任意剖分下多元样条函数的基本理论框架，并提出所谓的光滑余因子协调法 从这种基本观点出发，多元样条函数的任何问题均可转化为与之等价的代数问题来 研究 多元样条函数空问鹾( ) 是一个线性空间对于各种特定的剖分，如何找出样 条空间罐( ) 的便于应用的基函数组，是多元样条研究中的关键问题之一与此相 关的问题，是如何事先求出样条空间罐c a ) 的维数d i m 础( ) 在专著【7 】和【2 5 】中讨 论了l 一型和2 一型三角剖分上的很多样条空间包括多元样条空间的维数，基函数组， 特别是具有局部支集的样条基函数组等等 均匀的2 型三角剖分是一类特殊的贯穿剖分，也称为四方向剖分，因为其结 构简单，对称性好，在实际中有很广泛的应用本章中讨论的主要就是2 一型三角剖 分上分片5 次样条空间的性质，根据分片多项式的次数和光滑度之问必须满足的 不等式关系，我们最有兴趣的分片5 次样条空间应该是满足3 阶光滑条件的记其 为碟( 黝) ，我们确定了该空间的维数，并利用光滑余因子方法找出了具有最小局 部支集的两个b 样条。进而利用这些样条函数构造空间的基函数，构造了保持高阶 精度的样条拟插值算子 在许多实际问题，如汽车、造船、航空航天、以及模具等领域中的许多问题 里，人们需要的曲面并不是处处都以同一的光滑度连接的再加上，数学理论研究的 需要，促使我们要研究所谓异度样条函数，文【2 】提出并研究了异度样条函数问题 李崇君在博士论文【1 1 】中讨论了2 一型三角剖分上的异度样条空间，考虑分别在对角 剖分线和矩形剖分线上采用不同的光滑度，讨论了分片3 次和分片4 次样条空间的情 况，获得了许多结果对分片5 次样条，我们考虑了分别在对角剖分线和矩形剖分线 上采用3 阶和4 阶光滑度，遗憾的是，这种样条空间不存在非退化的b 样条 关键词：多元样条：光滑余因子方法；2 型三角剖分；拟插值算子 均匀2 型i 角剞分卜的分片5 次样条空间 p i e c e w i s eq u i n t i cs p l i n es p a c e so nu n i f o r mt y p e 2t r i a n g u l a t i o n a b s t r a c t m u l t i v a r i a t es p l i n e sa r ea p p l i e dw i d e l yi na p p r o x i m a t i o nt h e o r y , c o m p u t e ra i d e dg e - o m e 砸cd e s i g na n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d i n1 9 7 5 。r e n h o n gw a n ge s t a b l i s h e dan e w a p p r o a c ht os t u d yt h eb a s i ct h e o r yo nm u l t i v a r i a t es p l i n ef u n c t i o n sb yu s i n gt h em e t h o d so ff u n c t i o nt h e o r ya n da l g e b r a i cg e o m e t r y , a n dp r e s e n t e dt h es oc a l l e ds m o o t h i n g c o f a c t o r - e o n f o r m a l i t ym e t h o d m a k i n gu s eo ft h i sm e t h o d ，a n yp r o b l e m o nm u l t i v a r i a t e s p l i n ef u n c t i o n sc a n b es t u d i e db yt r a n s f e r r i n gi ti n t oa ne q u i v a l e n ta l g e b r a i cp r o b l e m m u l t i v a r i a t es p l i n ef u n c t i o ns p a c e 鄙( ) i sal i n e a rs p a c e f o rag i v e np a r t i t i o na , h o wt of i n do u tas e to fb a s i cf u n c t i o n st h a tc a nb ee a s i l yu s e di nt h es p l i n ef u n c t i o n s p a c e 钟( z x ) i so n eo f m e c r u c i a lp r o b l e m s ar e l a t e dp r o b l e mi st oh o wt od e t e r m i n et h e d i m e n s i o no fm u l t i v a r i a t es p l i n ef u n c t i o ns p a c es f ( ) d e n o t e db yd i m ( ) 【7 】a n d 2 5 1s t u d i e d l o t s o f s p l i n es p a c e s o n t y p e 一1 t r i a n g u l a t i o n s a n d t y p e 一2 t r i a n g u l a t i o n s ，w h i c h r e f e r t o p r o b l e m s o f h o w t o d e t e r m i n e t h e d i m e n s i o n o f m u l t i v a r i a t es p l i n e f u n c t i o ns p a c e ， h o wt of i n do u tt h eb a s i sf u n c t i o n s ，e s p e c i a l l yt h eb a s i sf u n c t i o n sw i t hl o c a ls u p p o r t s t h eu n i f o r mt y p e - 2t r i a n g u l a t i o np a r t i t i o ni sas p e c i a lc r o s s c u tp a r t i t i o n ，o raf o u r - d i r e c t i o n a lm e s h ，w h i c hi su s e dw i d e l yb e c a u s eo fi t ss i m p l ec o n s t r u c t i o na n dg o o ds y m - m e r r y w ed i s c u s st h eq u i n t i cs p l i n es p a c e so nt y p e - 2t r i a n g u l a t i o np a r t i t i o n ，w h i c hi s d e n o t e db y 霹( 黝) w ed i s c u s st h ed i m e n s i o no ft h i ss p a c e b yu s i n gt h es m o o t h i n g c o f a c t o r - c o n f o r m a l i t ym e t h o d ，w eo b t a i nt w obs p i l e sw i t hm i n i m u ml o c a ls u p p o r t sa n d s p l i n eb a s e so fq u i n t i cs p l i n es p a c e s f u r t h e r m o r e ，t h ec o r r e s p o n d i n gq u a s i i n t e r p o l a t i o n o p e r a t o r s 埘t l lh i 曲a p p r o x i m a t i o np o w e r a l ec o n s t r u c t e d i nm a n yp r a c t i c a la p p l i c a t i o n ss u c ha sb u i l d i n gc a r s ，b o a t s 。r o p l a n e sa n dm o d e l - i n g s ，s u r f a c e sm a yn o tb ec o n n e c t e db yu s i n gt h es a m es m o o t h n e s sd e g r e e m o v e , o v e r , t h en e e do fm a t h e m a t i c a lr e s e a r c hi m p e l su st os t u d yt h es p l i n ef u n c t i o n sw i t hd i f f e r e n t d e g r e e s 1 2 e s t a b l i s h e ds p l i n e sw i t hd i f f e r e n ts m o o t h n e s s 【l1 】d i s c u s st h ec u b i ca n d q u a r t i cs p l i n es p a c e so nu n i f o r mt y p e - 2t r i a n g u l a t i o n c o n s i d e r i n gd i f f e r e n ts m o o t h n e s s o nd i f f e r e n tg r i ds e g m e n t s w es t u d yt h eq u i n t i cs p l i n es p a c e so nt y p e 2t r i a n g u l a t i o n p a r t i t i o nw i t hd i f f e r e n ts m o o t h n e s so nd i f f e r e n tg r i ds e g m e n t s ，b u tt h es p a c ed o n th a v e b a s i cs p l i n ef u n c t i o n sw i t l ll o c a ls u p p o r t s k e yw o r d s ：m u l t i v a r i a t es p l i n e ；s m o o t h i n gc o f a c t o r - c o n f o r m a l i t ym e t h o d ；t y p e 一2t r i a n g u l a t i o n ；q u a s i i n t e r p o l a t i o no p e r a t o r 一一 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研 究工作及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含 为获得大连理工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与 我一同工作的同志对席, j o f 究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明 并表示了谢意 作者签名：捌日期：立牡知 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名： 鏖鳃盛 导：望! 三左 盈丑一年_ 座月尘日 人连理工人学硕上学位论文 1 绪论 所谓样条函数( s p l i n ef u n c t i o n ) 就是具有一定光滑性的分段或分片定义的多项 式函数，1 9 4 6 年，数学家i j s c h o e n b e r g 较为系统的建立了一元样条函数的理论基 础( 【2 4 】) 但是，s c h o e n b e r g 的工作刚开始时并未受到荤视从6 0 年代开始，随着电 子计算机技术的飞速发展，样条函数也得到了迅速的发展和广泛的应用鉴于客 观事物的多样性和复杂性，开展有关多元样条函数的研究，无论在理论上还是在应 用一卜都有着十分重要的意义现在，它在函数逼近、计算几何、计算机辅助几何设 计、有限元及小波等领域中均有较为重要的应用一般而言，多元样条研究的主要 方法有：光滑余因子协调法、b 网方法及多元b 样条方法下面我们分别对它们做 简要的介绍 1 1 多元样条函数简介 1 1 1 光滑余因子协调法 2 0 世纪6 0 年代至7 0 年代初，g b i r k h o f f , h l g a r a b e d i a n 和c a r ld eb o o r 等研 究并建立了一系列关于c a r t e s i a n 乘积型的多元样条理论c a r t e s i a n 乘积型多元样 条虽然有一定的应用价值，但有很大的局限性，且在本质上可以看作是一元样条函 数的简单推广 1 9 7 5 年，王仁宏在文【1 1 中采用函数论与代数几何的方法，建立了任意剖分 下多元样条函数的基本理论框架，并提出所谓的光滑余因子协调法( s m o o t h i n g c o f a c t o r - c o n f o r m a l i t ym e t h o d ) 从这种基本观点出发，多元样条函数的任何问题均可 转化为与之等价的代数问题来研究 设d 为二维e u c l i d 空间r 2 中的给定区域以耽记二元七次实系数多项式集 合： 七k - i 耽：= p = 勺z 矿i 勺r ) i = o j = 0 一个二元多项式p p 。称为不可约多项式，如果除了常数和该多项式自身外没有 其它多项式可以整除它( 在复域中) 代数曲线 r ：l ( x ，y ) = 0 ，! ( z ，y ) 称为不可约代数曲线，如果f 仁，y ) 是不可约多项式显然直线是不可约代数曲线 均匀2 型三f f j 剖分 的分片5 次样条空间 今用有限条不可约代数曲线对区域d 进行剖分，将剖分记为，于是d 被分 为有限个子区域d l ，d 2 ，d n ，它们被称为d 的胞腔形成每个胞腔边界的线段 称为网线，网线的交点称为网点或顶点若两个网点为同一网线的两端点，则称该两 网点是相邻网点我们将位于区域d 内部的网点称为内网点，否则称为边界网点 如果一条网线的内部属于区域d 内，则称此网线为内网线，否则称为边界网线 对区域d 施行剖分以后，所有以某一网点y 为顶点的胞腔的并集称为网点 y 的关联区域或星形区域，记为s t ( v ) 多元样条函数空间定义为 碟( ) ：；d c 伊( d ) is l d , 耽，i = 1 ， 事实上，s 群( ) 为一个在d 上具有p 阶连续偏导数的分片k 次多项式函数 基于代数几何中b e z o u t 定理，王仁宏在文1 1 】中指出了多元样条函数光滑连接 的内在本质表现为如下定理： 定理1 1 ：( 【l 】) 设z = s ( x ，y ) 在两相邻胞腔皿和d j 上的表达式分别为 z = a ( 。，y ) 和2 = p j ( z ，y ) 其中p i ( x ，”) ，巧( 而! ，) p k 为使8 ( x ，暑，) c 伊( 瓦1 了巧) ，必须且只须存在多项式 ( z ，y ) 耽一( 肿1 ) d ，使得 鼽( 。，y ) 一乃( z ，y ) = = 【如( 。，可) 】”+ 1 ( 。，鲈) ， ( 1 1 ) 其中瓦与巧的公共网线为 ：幻( $ ，y ) = 0 且不可约代数多项式( z ，y ) n ( 1 2 ) 由定理1 1 中( 1 1 ) 式所定义的多项式因子0 ，y ) 称为内网线f i j ：幻( z ，y ) = 0 上的( 从觑到d ，的) 光滑余i e i - t ( s m o o t h i n gc o f a c t o r ) ( 1 ) 说明内网线r j 上的光 滑余因子存在，恒指形如( 1 1 ) 的等式成立 设a 为任一给定的内网点今按下列顺序将过a 的所有内网线 n ，) 所涉及 的i 和j 进行调整：使当一动点沿以a 为心的逆时针方向越过n f 时，恰好是从d f 跨入及 一2 一 大连理工人学硕- 上学位论文 设a 为一内网点，定义a 点处的“协调条件”( c o n f o r m a l i t yc o n d i t i o n ) 为( 【l 】) ( z ，y ) l 州( 训) 三0 ， a ( 1 3 ) 其中a 表示对一切以内网点a 为一端的内网线求和，而( ，y ) 为匕上的光滑 余因子 设的所有内网点为a 1 ，a m ，则“整体协调条件”( g l o b mc o n f o r m a l i t y c o n d i r i o n ) 为( 【l 】) 瞰删) p ( 训) i0 ， = 1 ，m ， ( 1 由 a ” 其中相应于内网点a 的协调条件之( 置们满足( 1 3 ) 所作的规定 下述定理建立了多元样条的基本理论框架： 定理1 2 ：( 【l 】) 对给定剖分a ，多元样条函数s ( x ，y ) 础( i x ) 存在，必须且只须 8 ( x ，y ) 在每条内网线上均有一光滑余因子存在，并且满足由( 1 4 ) 所示的整体协调 条件 王仁宏还在文【2 】2 中建立了多元样条函数的一般表达形式 设区域d 被剖分分割为如下有限个胞腔d 1 j 一，d 任意选定一个胞腔， 例如d l 作为慊胞腔”，从d 1 出发，画一流向图a 使之满足： 1 d 流遍所有的胞腔d 1 ，d 各一次； 2 d 穿过每条内网线的次数不多于一次； 3 。g 不允许穿过网点 流线a 所经过的内网线称为相应于口本性内网线，其它的内网线则为相应于 口的可去内网线显然所谓本性内网线与可去内网线都只是个相对概念 设：l i j ( x ，y ) = 0 为口的任意一条本性内网线将从源胞腔出发，沿口前进 时。只有越过后才能进入的所有闭胞腔的并集记作u ( 聪) ，将从源胞腔出发沿 口前进时，在越过之前所经过的各闭胞腔的并集记为u ( ) 称矿( r 去) u ( r 否) 为网线的“前方”，记作，r ( ) 定义1 1 ：( 2 】) 设：奄( z ，y ) = 0 为相应于流向移的本性内网线，多元广义截断多 项式定义为 盼训= 渺刚m ”：瑟；：考黑盼 m s ， 一3 一 均匀2 - 型i 角剖分卜的分片5 次样条空间 由此。有如下的样条函数表现定理： 定理1 3 ：( 【2 】) 任一s ( x ，y ) 罐( ) 均可唯一地表示为 8 ( 茁，”) = p ( z ，) + 【b ( z ， ) 】p 1q j ( z ，) ，( z ，! ，) d ， ( 1 6 ) 0 其中p ( 甄y ) 取为s ( z ，y ) 在源胞腔上的表达式，d 表示对所有本性内网线求和 而且沿巧越过f 巧的光滑余因子为( 。，) p 一p - 1 在文献【3 】中，王仁宏给出了n 维样条函数的基本理论框架这些结果与上面 关于二元样条的结果类似在专著【7 】和【2 5 】中，详细介绍了光滑余因子协调法在 多元样条中的理论及其应用，包括各种多元样条空间的维数，基函数组，特别是具有 局部支集的样条基函数组等等 1 1 2 研究多元样条函数的其它方法 光滑余因子协调法适用于研究任意剖分上的样条函数，对于特殊的剖分亦有特 殊的方法，下面将介绍的两种方法为b 网方法和多元b 样条方法其中b 网方法用 来研究任意单纯形剖分上的样条，而b 样条方法主要用来研究多面体样条这两 种方法原则上均可由光滑余因子方法导出 1 1 2 1b 网方法 所谓b 网方法，就是利用两个多项式在两个相邻单纯形上b e r n s t e i n 表达形式 的系数之间的关系，给出光滑拼接的条件最早将一元b e m s t e i n 多项式推广到二元 情形的是五十年代d ec a s t e l j a u 的工作，但并未发表将b e r n s t e i n 多项式用于多元 样条理论的研究，当首推g f a r i n 在1 9 8 0 年完成的博士论文中的工作g f a r i n 在 博士论文中考虑了多元样条的b 6 z i e r 坐标和光滑性之间的关系，从而使b 网方法 成为研究多元样条的重要方法之一d eb o o r , h 6 1 1 i g 等人对b 网方法的发展起过重 要的作用此外，中国学者苏步青、刘鼎元、郭竹瑞、贾荣庆、常庚哲、冯玉瑜等 人也作了许多有意义的工作 b 网方法要求剖分为单纯形剖分，一般不能考虑任意剖分下的样条空间但 由于剖分的针对性，b 网方法对处理单纯形剖分上的样条函数有其特殊的优越性 迄今为止，单纯形剖分上样条函数的一些问题的最佳结果，如任意三角剖分上二元 样条函数空间的维数问题，多是由b 网方法得到的下面简单介绍二元b 网方法的 基本思想，详细内容可参考【1 3 】和 2 3 1 关于面积坐标与b 网方法的具体计算，会在 后面的章节中继续介绍 一4 一 人连理工大学硕士学位论文 设地，也，地是三角形6 按逆时针方向排列的三个顶点，则任意r 2 可唯一 表示为 z = t l v l + 见u 2 + 乃地， 其中，7 1 + 印+ 乃= 1 ，并不难得到 n=夏de孤t瓦(v2_二-ixi,诵v3-z)，死=夏d孤et石(v_二l-糕x,va，乃=夏d孤et瓦(v_二l-ixi,两v2-x) 称n ，t 2 ，勺为z 关于三角形6 的面积坐标，面积坐标变换具有仿射不变性 令y = z 2 一z l ，甄的面积坐标为7 o ) = ( 帮，矗“，矗) ，i = 1 ，2 ，并记o l = ( o t l ，0 r 2 ，q 3 ) = 7 - ( 2 ) 一下( ”函数，( z ) 的自变量茹用面积坐标7 - 替换后得到的函数仍 用，( r ) 表示，替换前后函数的偏导数与方向导数有如下关系： d r f ( 垆d a f ( r m 掣恂掣 4 - 咖等， 珑，( n = 联( n ) 沙，( r ) i | _ r 其中，b x ( r ) = 等7 1 = 鼎寸1 矗2 寸，a l + a 2 + 儿= ”，九z + 称磁( 7 - ) 为竹终 b e r n s t e i n 基函数其具有如下性质： 1 ，b 2 ( r ) o ，- 5 = p 1 ，抛，】 2 l 川：。磁( 7 ) 三1 3 b 譬( r ) ，= n ) 是多项式空间r 的一组基底 4 ，毋( 7 ) 在点r = ：处取唯极大值 由性质3 可知任一几次多项式p 可唯一表示成 p ( r ) = h 暇( r ) = ” 以，；竹) 称为p ( r ) 关于j 的b 6 z i e r 坐标，插值于 ( 鲁，h ) ：= ，l 的分片线 性函数称为p ( r ) 关于6 的b 6 z i e r 网，简称b 网下述定理显示了b e m s t e i n 形式的 升阶公式 定理1 4 ：令e 1 = ( 1 ，0 ，o ) ，e 2 = ( 0 ，1 ，o ) ，e 3 = ( 0 ，0 ，1 ) 磺= 鬲1 ；3 蛳州= 川 均匀2 型三角剖分r 的分片5 次样条空间 则 6 x 研( r ) = 6 i l 即1 ( r ) = ni x l = n + l 定理1 5 ：( d cc a s t e l j a u 算法) 假设n 次多项式p ( 7 ) = ：。h 发( 7 ) 若令嘤( 7 - ) = h ，攻( r ) = 。勺6 5 ：= 苫( r ) ，j a i = 扎一r ，则 p ( r ) = 蚪职1 ( r ) ，0 r s m i x = n - r 特别地，取r = n ，则得p ( r ) = 盼( r ) 下述定理给出了n 次多项式p ( r ) 的方向导数 定理1 6 ： 啊垆南忑妒气r 胤吐 设t 为以 l ，v 2 , u 3 为顶点的三角形，于为以 l ，v 2 ，地为顶点的三角形，于与t 有公共边v 2 v 3 两个相邻三角形上的礼次多项式之间的光滑连接条件为 定理1 7 ：设p ( r ) 与声( 7 ) 分别是定义在相邻三角形t = p l ，地，地】和于= 1 ，忱，如】上的竹次多项式， 6 ，= 礼) 和而，= n ) 分别是p ( 丁) 和声( r ) 关于丁和于的b z i e r 坐标，则p ( r ) 与p ( r ) 之问光滑拼接的充要条件是 苏一啭( 神，s = 0 i ，1 一，r ( 1 7 ) 其中，宇是 l 关于t 的面积坐标，”= ( s ，a 2 ，b ) ，a o = ( 0 ，a 2 ，k ) ，a 2 + a 3 = n 一8 1 1 2 2 多元b 样条方法 b 样条方法起源于c u r r y 和s c h o e n b e r g 关于一元样条的工作，是一种定义b 样 条的几何直观方法这种方法的本质是研究高维空间中的多面体在较低维空间投 影的测度函数一元b 样条是由c u r r y 和s c h o e n b e r g 在1 9 6 6 年引入的1 9 7 6 年d e b o o r 将其推到多元样条但这种几何定义的推广不便于理论研究。直到便于理论研 究的泛函形式推广的出现，多元b 样条的研究才开始活跃起来多元b 样条的泛 函形式的推广有多种形式，如单纯形样条，b o x 样条，锥样条等分别由m i c c h e l l i ，d e b o o r - d ev o r e ，d a h m e n 等人给出与上面方法相比，b 样条方法对剖分的要求更为严 格，通常为均匀的剖分下面我们作一些简单介绍 一6 一 大连理工人学硕上学位论文 令v = 也，1 is 他，c 戤，其中耽可重复，使得s p a n v = 职多元b 样条 聪。( z i y ) 定义为 厶( 圳y z ) 如= 上泖) ，( 骞屯让m v ，岛( 其中( i t = d t l d t 。，q 为研的凸区域 若取w ( t ) = 州，q = 伊，则由此定义的b 样条就是m i c c h e l l i 引入的单纯形样 条，记为m ( x l v ) 。 若取w ( t ) = 1 ，q = - 1 2 ，1 2 “且0 隹v 则由此定义的b 样条就是d e b o o r - d ev o t e 引入的b o x 样条，记为b ( z i y ) 若取 ( t ) = 1 ，q = f 珥且0 簪v ，则由此定义的b 样条就是d a h m e n 引入的锥 样条又称为多元截断幂，记为t ( x w ) 下面以b o x 样条( 【1 4 1 ) 为例，介绍多元b 样条的基本性质 定理1 8 ：b o x 样条b ( x i v ) 具有如下性质： i s u p p b ( = w ) = 翟1 t i v l i i 1 t i ) ； 2 b ( = i v l 的函数值非负，且在支集内部严格大于0 一 3 b ( x l v l 是次数不大于n 一8 的分片多项式 4 令p = m i n n ( y ) i s m 礼( x v ) 酽) 一2 则b ( 。i v ) 是p 阶光滑的 5 b ( = i v ) b ( z i w ) = b ( x l v u ) “ 对于二元样条函数空间s 硝( ) ，曲线 r ： ( z ，管) l s ( z ，可) = 0 ，s ( z ，y ) 碟( ) ， ( 1 8 ) 称为分片代数曲线。事实上，这里定义的分片代数曲线其实也就是二元样条函数 的零点集合。 1 2 本文的主要工作 在本文中，我们主要研究了样条函数空间霹( 瓣) 的性质对确定样条空间的 维数，构造样条空间的具有局部支集的样条基函数，并利用这些基函数构造保持高 阶精度的样条拟插值算子进行了讨论文章还讨论了礴4 ( 瓣) 和碟，3 ( 瓣) 的性质， 证明了这两个空间都不存在b 样条 一7 一 均匀2 型三角剖分r 的分片5 次样条空闻 2 2 型三角剖分上的样条函数空间 从原则上讲，多元样条函数的所有性质和一切应用，都可以从第一章里所指出 的基本理论框架引申出来前章指出的多元样条函数的表达式，尚不便于直接应片 因为它尚依赖于整体协调条件的解，以确定所有的光滑余因了而后者的解，有时需 要采用特定的方法来实现 如所知，多元样条函数空间雠( ) 是一个线性空间对于各种特定的剖分， 如何找出样条空间躞( ) 的便于应用的基函数组，是多元样条研究中的关键问题 之与此相关的问题，是如何事先求出样条空问碟( ) 的维数d i m s ( ) 在专 著【7 】和【2 5 】中讨论了1 型和2 一型三角剖分上的很多样条空间均匀的2 一型三角剖分 是类特殊的贯穿剖分，也称为四方向剖分，因为其结构简单，对称性好。在实际中 有很广泛的应用本章我们介绍一下2 型三角剖分上的样条空间已有的结果 2 1 贯穿剖分上的多元样条空间 若区域d 的剖分是这样形成的：其所有网线为一些贯穿区域d 的直线切割而 成则称这样的割分为“贯穿剖分”( c r o s s - c u tp a r t i t i o n ) ( 1 1 ) 今以。记d 的一个 贯穿剖分设。在d 内有l 条贯穿线，y 个内网点a 1 ，a y ，且恰有魁条贯穿线相 交于a 点，i = 1 ，矿 设( 口l ，角) ，( ，风) 是两两线性独立的数偶，即如岛屈0 歹) ，司j = 1 ，佗设一点处的协调条件解空间为 碥：= ( m ，) i 啦 ，矿) ( q + 屈童，) 一+ 1 兰0 ，9 1 ，p 一p 一1 ) ( 2 1 ) i = i 记k 的维数为( n ) ，文【1 6 冲给出了d i m k 的具体公式，样条空间磁( 。) 的维 数公式由下面定理给出 定理2 1 ：( f 1 6 】) d 妇碟c 。= ( 七言2 ) + l ( 詹一：+ 1 ) + 砉a ：c 魁， c 2 其中l 为贯穿线的条数，而胍为相交于第i 个内网点的贯穿线数，y 为内网点数 ( n ) = ：( 七一p l 岩】) + x ( ( n 1 ) k ( n + 1 ) p + ( n 一3 ) + ( ”一1 ) 【当】) ；d h n k ， ( 2 3 大连理工丈学硕士学位论文 纠表示不超过z 的最大整数，n + = m a x ( 0 ，t ) 一个二元样条函数3 ( z ，y ) ( ) 被称为是b 样条，如果它在其支集j o r d 锄曲 线外恒为0 而在该曲线内取正值由定理2 1 ，我们得到作为b 样条存在的必要条件， 有 命题2 1 ：( 【1 6 】) 对于给定剖分，若u ( x ，y ) 踺( ) ( o ps 七一1 ) 是一个以凸多 边形f 为支集的b 样条设a 为f 的任一给定的顶点，过a 的且在f 内( 含f 的边界) 的 网线数为魁，则m 与分片多项式的次数k 和光滑度p 应满足下面的基本不等式 蓦 ( 2 4 ) 命题2 1 被称为基本引理它指明，为了得到一个具有局部支集的b 样条函数，在 支集的每一个定点处，网线数的下界为伪+ 1 ) ( k p ) 有了以上对于一般贯穿剖分上样条空间的基本理论，下面我们进入到在实际中 广泛应用的2 - 型三角剖分 不失一般性。设矩形域d 是一个开正方形 ( z ，v ) l o z ，3 ， 1 ) ，取0 z 1 z m 1 ，0 y l 丁4 p + 1 当“给定时，人们总是希望寻求尽可能小的七，这样，具有统一的光滑度的样条空问 应该是 研( 热) ，岛( 翁) ，簧( 然) ， 2 2 样条空间岛( 瓣) 2 2 1 均匀热上的分片2 次样条空间 文【4 】讨论了均匀的然上的2 次样条空间中基函数的性质设区域d = 【o ，i 】 【0 ，1 】的2 型三角剖分瓣，由下述剖分线所构成： m 茹一 = 0 ，蟛一 = 0 ，m 一铷一i = 0 ，m $ + 珊一i = 0 ， 一1 0 人连理工大学硕士学位论文 其中i ，一1 ，0 ，1 ， 由贯穿剖分的维数公式( 3 1 ) ，可知 d i m a 。1 、a ( 。2 ) ，。) = ( m + 2 ) - t - 2 ) 一1 ( 2 5 ) 在空间中有一个具有下述局部支集的样条b ( z ，掣) ( m 2 2 ) 公 l 汐 图2 2 谚( 鲵) 中样条曰( 而p ) 的支集 f i 9 2 2 t h es u p p o r t o f b ( z ，) i ns 2 ( 鬟0 ) 该支集是以原点为中心，以( 3 2 ，1 2 ) ，( 1 2 ，3 2 ) ，( - 1 2 ，3 2 ) ，( - 3 2 ，i 2 ) ， ( 一3 2 ，一1 2 ) ，( 一1 2 ，一3 2 ) ，( 1 2 ，一3 2 ) ，( 3 1 2 ，- 1 2 ) 为顶点的八边形，该八边形 被剖分成2 5 个剖腔，并依次给以编号 我们考虑多项式： p l ( x ，可) = i 1 一；铲一；沪， p 2 ( x ，! ，) = 一 z 一2 2 护， p s ( x ，y ) = ( ；一z + i l z 2 ) + ( i 1 一 z 妇一 ! ，2 ， p 4 ( x ，y ) = 2 一争+ z 2 ， p s ( x ，y ) ；( 1 一z 十 z 2 ) + ( 1 + z h + 护。 其它多项式可以从上述多项式按对称性原则而得到 设b ，y ) 是定义在豫2 上的函数，它在q 之外为零，在编号为i 的剖腔上 为p i ( x ，) ，i = 1 ，2 5 易见b ( z ，y ) 是关于图所示的剖分的二元b 样条利用 网点上的协调条件，可以证明b ( z ，y ) 是关于直线z = 0 ，! ，= 0 ，茹+ y = 0 ，z y = 0 的对称性及规范性条件b ( o ，0 ) = 1 2 唯一决定的采用文献 1 8 1 和【l 伸的技巧可以 指出，口( q 掣) 的支集已达到最小的可能 一l l 均匀2 - 型三角剖分r 的分片5 次样条空问 d a b ( x ，! ，) 的平移可产生一。系列b 样条 嘞= ( z ，y ) = b ( 撇一i ，n y j ) ， 其中i ，歹一，一1 ，0 ，1 ，显然，在d ，上不全为o 的样条占0 对应的指标集为 e = ( t ，j ) = ( 口，p ) ：0 o t i t s + 1 ，0 p 佗+ 1 ) 集合 a = b 0 ：( i ，j ) e ) 是磁( 瓣) 的子集，而其基数为( m + 2 ) + 2 ) ，它比d i m 鹾( 缀) 多1 从而a 是一个 线性相关集合然而可以证明，从a 中任意去掉一个b 样条后，其余的b 样条是线性无 关的，亦即它们是空间母( 缀) 的支架即s ；( 黝) = s p a n a 关于b 样条目j a 有下面的一些结果 定理2 2 ：( 【4 】) 对于所有( 。，y ) d ， ( - - 1 ) 州；0 0 j ) e 兰1 “j ) f 定理2 3 ：( 【4 】) 任取( a o ，z o ) ，0 口0 m + 1 ，0 扁s 佗+ 1 ，并记 岛= e ( 咖，风) ) 则a o = 最，：( t ，j ) j 是鹾( 黝) 的一组基 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 考虑如下的二元变差缩减( v a r i a t i o nd i m i l l i s h i n g ) 样条算子：c ( n ) 一 鹾( 鼎) ： 。( ，) = ，( 也，鲫) 鼠j ， ( 2 8 ) ( t j ) 刀 其中q 是包含d ，的开集，鲫) = ( ( e l + 1 ) 2 m ，( 2 j + 1 ) 2 n ) 是蜀j 的支集的中心， ( 1 ，j ) e 注意到。是一个线性算予，我们有下面的结果 一1 2 一 大连理工大学硕上学位论文 定理2 4 ：( f 4 】) 对任何扛，y ) 9 ， ，p l us p d n z 暑，) ，厶。( ，) = ， 容易证明，当，( 。，弘) = z 2 或y 2 时，v ；n 。( 力，为了保持致中的一切多项式，我 们还需另外的线性算子我们定义算子w 赢：g ( q ) 一l ，$ 2 2 1 、1 一a 。( 2 ) ，： 其中 。( ，) = k ( ，) 岛j ( 蟛) f ( 2 9 ) 碱肛2 ，( 等，等) 一互1 扩( 赢ij ) 坝等，磊j ) + f 帚ii j - t - 1 ) 坝i i + 1 ，了j - t - 1 ) 】 注意上式中线性泛函凡j 依赖于函数，在鼠j 支集内5 个网点上的值我们有下述的 定理2 5 ：( 【4 】) 对于所有( z ，y ) d ， s 如，。( ，) = ， ，= 一彬) = 芴3 。2 一丽1z + 兰葚( z 一熹您 ，= 矿，( ，) _ 3 y 2 一丽1p + ；藿( 一 因为二元b 样条的集合a 生成整个谚( 瓣) ，所以- t 用b 样条级 数( f j ) f a 玎上幻逼近毋( 皱) 我们研究二元变差缩减样条的一致逼近定义有 序对( 嚣，口) 的e u c l i d 范数为 i ( z ，) l = ( z 2 + 管2 ) 1 2 又设kc 衅为紧集，而，e ( ) 的连续模数记为 另设 w x ( y ；6 ) = s u p l f ( x ，! ，) 一y ( u ，口) i ：( z ，! ，) ，( u ，t ，) k ，i ( z ，y ) 一( 钍，口) l 6 ：m 戕( 三，三) ， m 凡 = 熹m a x ( 厮，瓣) - 1 3 - 均匀2 - 型i 角剖分 的分片5 次样条空间 设七为正整数，记 其中l = 0 ，七记 蛔= 晶， 。未+ a 扣= 喜搿一，岛， ，= 。m a x 。w v ，f z k - l y t ；2 ) ， d 川2f 黔k ( 。船，盼1 一( 刚) 设紧集k 为包含d 的开集q 的闭包对于充分大的m 和扎，例如m ，礼n o ，b 样 条上0 支集的中心位于k 的内部，1 ld ，为在d ，上的上确界我们有如下关于的逼 近估计 定理2 6 ：( 【4 】) 设f c ( ) ，则对所有m ，凡n o ，有 若，c 1 ( d ，) ，有 若f 俨( d ，) 有 ，一v m n ( f ) l i d ，加( 工酩。) ； ( 2 1 0 ) ，一v m ( f ) i i d 2 6 ，。u 1 ，；( 2 1 1 ) i i ，一( 删i d ，磅川d 2 ，( 2 1 2 ) 对于线性二元样条算子w 赢的逼近，注意到0 - 。4 = 3 ，我们可作下述改进 定理2 7 ：( 【4 】) 设，c ( k ) ，则对所有m ， i t n o ，若，俨( d ，) ，有 若，伊( ) ，有 ，一w 赢( 川i d ，s2 0 ? , j f 1 1 f - ( ，) i i ；磅, t l d 3 川 1 4 ( 2 1 3 ) f 2 1 4 ) 人连理工大学硕士学位论文 2 2 2 非均匀然上的分片2 次样条空间 所谓非均匀的2 型三角剖分，是指用以生成这些剖分的原始矩形剖分 是非均匀的，即，若记 o = 知 z l 一， o m + 1 = b ， c = v o y l ， 添莎泌兰y 阮、 妖貉 粤、 。jx q ) x 穰j 稿) (