中考总复习（十）——代数综合题.doc

中考总复习（十）代数综合题二. 数学目标及综合题简介综合题是指涉及的知识内容多，或应用数学思想方法比较多的题目按内容可分为代数综合题和几何综合题，也有两个学科综合在一起的题目初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程、不等式的解法，一元二次方程的解法和判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识是解好代数综合题的关键在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，找到解决问题的突破口通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力【典型例题】 例1. 方程有且仅有一个实根，求a的值分析：解分式方程的基本方法是把它转化为整式方程，而这个整式方程的根可能是原方程的根，也可能是原方程的增根，本题条件中分式方程有且仅有一个实根，则有以下三种可能的情况：（1）转化为整式方程后是一元一次方程，且它的根不是原方程的增根；（2）转化为整式方程后是一元二次方程，该方程有两个相等实根，且不是原方程的增根；（3）转化为整式方程后是一元二次方程，且这个一元二次方程的两个根中有一个是原方程的增根，另一个不是增根解：把原方程去分母，整理得：（1）当a=0时，x=1，经检验是原方程的根；（2）当时，若方程有两个相等实根，则=0即解之得当时，经检验是原方程的根当时，经检验是原方程的根若方程有两个不等实根，且一个是原方程的增根，另一个是原方程的根，则（1）设x=0是的根，则a=2，此时，另一根，经检验是原方程的根（2）设x=2是的根，则，此时，另一根为x=3，经检验是原方程的根综上所述：当，a=2，或时，方程有且仅有一个实根 例2. 已知二次函数，其中a、b、c是ABC的三边，且（1）若这个二次函数的图像经过原点，试证：ABC是等边三角形；（2）若ABC是直角三角形，试证：这个二次函数的图像除顶点以外都在x轴上方分析：（1）从结论看，要证ABC是等边三角形，需证a=b=c；从条件看，由函数图像通过原点，可知（0，0）满足该函数的解析式，将之代入变形，寻找a=b=c的关系（2）从结论看，要证二次函数的图像除顶点外都在x轴上方，那么解析式配方后，其中n=0；从条件看，利用ABC是，可将a、b、c均用a表示，通过配方观察结论证明：（1）由图像过原点，得a=c又即ABC是等边三角形（2）由ABC是Rt，及又二次函数的图像除顶点外都在x轴上方 例3. 如图是某城市三月份1至10日的最低气温随时间变化的图像（1）根据图提供的信息，在图中补全直方图；（2）这10天最低气温的众数是_，最低气温的中位数是_，最低气温的平均数是_分析：这是一道统计图表与数据的分析的应用，看懂图形是关键解：（1）如图 （2）2，0，0 例4. 关于x的方程有两个相等实根，其中a，b，c为ABC中A、B、C的对边，若，求和的值分析：从题目结构看是把方程的知识，三角形边角关系“串联”起来，知识衔接关系清楚，属组合型综合题解：把方程整理得因为方程有两个相等实根，所以，且=0即ABC为直角三角形，C=90由可得由可得中， 例5. 若不等式的解集是，那么a的值是（ ）A. B. C. 3D. 解：设，整理得显然，这个二次函数图像与x轴交于把代入，得解得答案：B说明：此题是用函数及图像解决不等式的问题，可见用函数思想处理一元二次不等式的有关问题很有实用价值 例6. 二次函数的图像如图所示，下列三个代数式中，值大于0的个数为（ ）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个解：观察图像可知，当时，即抛物线与x轴有两个交点因此在所给代数式中值大于0的个数为3个答案：C说明：本题渗透了数形结合思想，结合二次函数，一元二次方程的知识，确定a，b，c，的符号是解决此题的关键 例7. 已知一次函数和反比例函数的图像都经过A、B两点，A点的横坐标为，B点的横坐标为，且（1）求k的值；（2）求OAB的面积；（3）若一条开口向下的抛物线过A、B两点，并在过点B且和OA平行的直线上截得的线段长为，试求该抛物线的解析式分析：（1）一次函数和反比例函数和图像相交，即可组成方程组，化简得到关于x的一元二次方程，方程的两个根就是、（2）OAB的面积可转化为OBC的面积和AOC面积差来求（3）已知抛物线过A、B两点，只要求得和OA平行的直线与抛物线交点坐标，由“三点式”即可求得抛物线的解析式解：（1）依题意有解得由解得（2）由，相应地可得设直线与x轴交于点C，则C点坐标为（6，0），又知A、B两点的坐标分别为（4，2）、（2，4），则由图知：（3）设过点B且和OA平行的直线交x轴于D，与抛物线交于E，分别作、垂直于x轴，垂足分别为、设又由题设，解此方程组得抛物线的解析式为说明：这是一道函数综合题，E点的坐标也可以通过全等三角形的方法来求，还可以运用平行四边形的性质来求，请你试一试 例8. 已知点，AE平分BAC，交BC于点E，则直线AE对应的函数表达式是（ ）A. B. C. D. 解：建立直角坐标系如图由知ACx轴AE平分BACEAC=30点E坐标为设过A、E两点的解析式为得解之直线AE的函数表达式为故选B说明：此题是利用三角函数，一次函数和几何知识为主的综合题，利用点的坐标求角的大小是解题的关键同时注意E点的横坐标是求OE的长 例9. 如图，点O是坐标原点，点是x轴上一动点，以AO为一边作矩形AOBC使OB=2OA，点C在第二象限，将矩形AOBC绕点A逆时针旋转90得矩形AGDE，过点A的直线，交y轴于点F，FB=FA，抛物线过点E，F，G且和直线AF交于点H，过点H作x轴的垂线，垂足为点M（1）求k的值；（2）求A位置改变时，AMH的面积和矩形AOBC的面积比是否改变？说明你的理由解：（1）根据题意得到：当时，点F坐标为而在中，又FB=AF化简得：对于过点（2）抛物线过点，点，点解得：抛物线为解方程组：得：H坐标：，的面积，而，不随着点A的位置的改变而改变说明：此题由矩形两边关系求点F，点E，点G的坐标是关键，又由直线和二次函数的解析式求出点H的坐标，从而推出面积的比 例10. 如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是（1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，抛物线与x轴分别交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S若点A、点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M、点N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由分析：（1）由中心对称知识求对称点坐标，从而求出的解析式（2）由中心对称的性质，确定四边形MDNA为平行四边形，由面积关系求函数解析式（3）由二次函数的性质或顶点坐标公式求最大值（4）从平行四边形的对角线出发，若为矩形则对角线AD=MN，从而求出t的值解：（1）点，点B，点E（0，8）关于原点的对称点分别为D（4，0），C（2，0），设抛物线的解析式是则解得所求抛物线的解析式是（2）由（1）可计算得点过点N作NHAD，垂足为H当运动到时刻t时，AD=2OD=，NH=1+2t根据中心对称的性质四边形MDNA是平行四边形四边形MDNA的面积运动至点A与点D重合为止，据题意可知所求关系式是，t的取值范围是（3）时，S有最大值提示：也可用顶点坐标公式来求（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD、MN当AD=MN时四边形MDNA是矩形OD=ON解之得（舍）在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时小结：综合性问题往往设计新颖，涉及的知识点多，条件与结论隐蔽，解决综合性问题，需要我们具备一定的阅读能力，分析问题和解决问题的能力【模拟试题】（答题时间：30分钟）一. 选择题 1. 在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（ ） A. 直线上 B. 直线上 C. 抛物线上 D. 双曲线上 2. 已知a、b为实数，下列各式中一定为正值的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 6 4. 已知x、y是实数，若，则实数a的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知a、b、c均为正数，且，则下列四个点中，在正比例函数图像上的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，令、1、2、3、4、5，可得函数图像上的十个点，在这十个点中随机取两个点、，则P、Q两点在同一反比例函数图像上的概率是（ ） A. B. C. D. 二. 填空题 7. 若，计算：_ 8. 若点与关于原点对称，则关于x的二次三项式可以分解为_ 9. 点既在反比例函数的图像上，又在一次函数的图像上，则以m，n为根的一元二次方程为_ 10. 已知点A、B在x轴上，分别以A、B为圆心的两圆相交于、，则的值是_ 11. 如图，在直角坐标系中，射线Ox绕原点O逆时针旋转330到OA的位置，若OP=2，则点P的坐标为_三. 解答题 12. 当时，先将代数式化简后再求值 13. 已知关于x、y的方程组的解满足，化简14. 已知抛物线（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求ABP的面积 15. 如图，已知直线与抛物线交于A、B两点（1）求A、B两点的坐标；（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；（3）如图，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A、B两处用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A、B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由 【试题答案】一. 选择题 16 DACAAB二. 填空题： 7. 108. 9. 10. 11. 12. 原式三. 解答题 13. 解：解得由解得当时，当时，（写为：也可） 14. 解（1）证明：对方程，其判别式方程有两个不相等的实根即抛物线与x轴一定有两个交点（2）解：方程的两个根为又抛物线顶点P的纵坐标所以， 15. 解（1）解：依题意得解之得（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C、D两点，交AB于M（如答图）由（1）可知：过B作BEx轴，E为垂足由BEOOCM，得：同理：设CD的解析式为AB的垂直平分线的解析为：（3）其存在点P