（概率论与数理统计专业论文）一般试验次数的混水平最优超饱和设计.pdf

ab s t r a c t s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n is a f o r m o f f a c t o r i a l d e s i g n in w h i c h t h e d e g r e e s o f fr e e d o m f o r a ll i t s ma i n e ff e c t s e x c e e d s t h e t o t a l n u m b e r o f d i s t i n c t f a c t o r i a l l e v e l c o m b i n a t i o n s o f t h e d e s i g n . t h e m a i n r e a s o n s f o r c o n s i d e r i n g s u p e r s a t u r a t e d d e - s i g n s i s r u n s i z e e c o n o m y . b a s e d o n t h e e ff e c t s p a r s it y p r i n c i p l e , w e c a n u t i li z e s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s f o r s c r e e n s i g n ifi c a n t f a c t o r s . t h e r e w e r e m a n y r e s e a r c h e s t h a t i n v e s t i g a t e d h o w t o c o n s t r u c t t w o- l e v e l s u - p e r s a t u r a t e d d e s i g n s , s u c h a s l i n ( 1 9 9 3 , 1 9 9 5 ) , n g u y e n ( 1 9 9 6 ) , l i a n d w u ( 1 9 9 7 ) , l i u a n d z h a n g ( 2 0 0 0 ) , b u t l e r e t a l . ( 2 0 0 1 ) . t h e e ( s 2 ) c r i t e r i o n i s i n t r o d u c e d t o e v a l u a t e d t w o- l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n . a s f a c t o r s in a n e x p e r i m e n t m a y b e h a v e mo r e t h a n t w o l e v e l s o r d i ff e r e n t l e v e l s . i n t h e s e a n d o t h e r s c e n a r i o s mu l t i - l e v e l o r m i x e d - l e v e l d e s i g n s m a y b e a d o p t e d . r e c e n t r e s e a r c h e s o n m ix e d - l e v e l s u p e r s a t u - r a t e d d e s ig n s i n c l u d e y a m a d a a n d l i n ( 1 9 9 9 ) , y a m a d a a n d m a t s u i ( 2 0 0 2 ) , f a n g , l i n a n d l i u ( 2 0 0 3 b ) , f a n g , g e , l i u a n d q i n ( 2 0 0 4 b ) , l i , l i u a n d z h a n g ( 2 0 0 4 ) , k o u k o u v i n o s a n d m a n t a s ( 2 0 0 5 ) , l i u , f a n g a n d h i c k e r n e ll ( 2 0 0 6 ) , a n d l i u a n d l i n ( 2 0 0 刀 . t h e g o o d n e s s o f m i x e d - l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s c a n b e j u d g e d 妙s e v e r a l c r i t e r i a p r o p o s e d fr o m d i ff e r e n t v i e w p o i n t s . we m a i n l y u s e 扩c r i t e r i o n p r o p o s e d b y y a m a d a a n d l i n ( 1 9 9 9 ) , t h e e ( f , , d ) c r i t e r i o n p r o p o s e d 场f a n g , l i n a n d l i u ( 2 0 0 3 b ) t o e v a l u a t e m u l t i - l e v e l a n d m i x e d - l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s a ll t h e s e s t u d i e s h a v e f o c u s e d o n b a l a n c e d d e s i g n s . i n f a c t , s o m e t i m e s d e s i g n s w i t h g e n e r a l r u n n u m b e r s a r e n e e d e d , i n t h i s c a s e t h e b a l a n c e p r o p e r t y o f d e s i g n c o l u m n s m a y n o t b e s a t i s fi e d . t h is p a p e r c o n s i d e r s s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s w it h g e n e r a l n u m b e r s o f r u n s . t h e lo w e r b o u n d s o f 扩a n d e ( f , d ) a r e o b t a in e d a l o n g w i t h t h e s u ffi c i e n t a n d n e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r a c h i e v i n g t h e m r e s p e c t i v e l y . t h e ab s t r a c t i i i c o n c l u s i o n s a b o u t l o w e r b o u n d s f o r b a l a n c e d d e s i g n s i n l i , l i u a n d z h a n g ( 2 0 0 4 ) a n d f a n g , l i n a n d l i u ( 2 0 0 3 b ) a r e s p e c i a l c a s e s o f t h e r e s u l t s i n t h is p a p e r . f u r t h e r m o r e s o m e c o n s t r u c t i o n m e t h o d s f o r 尸 一 。 p t i m a l m i x e d - l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s w i t h g e n e r a l n u m b e r o f r u n s a r e p r o p o s e d , a n d i l l u s t r a t iv e e x a m p l e s a r e p r o v i d e d . ke y wo r d s : b a l a n c e d d e s i g n ; o r t h o g o n a l d e s i g n ; s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n ams 2 0 0 0 s u b j e c t c l a s s i fi c a t i o n s : p r i m a r y 6 2 1( 1 5 ; 6 2 1(0 5 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了 解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、 缩印、 扫描、 数字 化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以 及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务: 学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版; 在不以赢利为目 的的前 提下，学校可以 适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 队 v n 呻 年 月 4 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名:学位论文作者签名: 解密时间:年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 内 部 5 年 ( 最长5 年，可少于5 年) 秘密*1 0 年 ( 最长 1 0 年，可少于1 0 年) 机密2 0 年 ( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 进行 研究工作所取得的成果。 除文中已 经注明引用的内 容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 己公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均己 在文中以明确方式标明。 本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名: 年月日 chapter 1 i n t r o d u c t i o n a s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n i s a fr a c t i o n a l f a c t o r i a l d e s i g n i n w h ic h t h e n u m b e r o f ma i n e ff e c t s i s n o t l e s s t h a n t h e n u m b e r o f e x p e r i m e n t a l r u n s . wh e n e x p e r i m e n t s - t i o n is e x p e n s iv e a n d t h e n u m b e r o f f a c t o r s is l a r g e , s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s c a n b e h e l p f u l . s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s c a n b e u s e d e ff e c t i v e l y f o r s c r e e n i n g t h e a c t i v e f a c - t o r s u n d e r t h e e ff e c t s p a r s i t y a s s u m p t i o n t h a t t h e r e a r e o n ly f e w o f t h e i n v e s t i g a t e d f a c t o r s a r e i m p o r t a n t . mo s t o f t h e p r e v i o u s s t u d i e s h a v e f o c u s e d o n b a l a n c e d d e s i g n s , i .e . e a c h c o l u m n o f t h e d e s i g n h a s e q u a l o c c u r r e n c e p r o p e r t y o f t h e l e v e l s . s a t t e r t h w a i t e ( 1 9 5 9 ) p r o- p o s e d t h e i d e a o f s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s i n r a n d o m b a l a n c e d e s i g n s . b o o t h a n d c o x ( 1 9 6 2 ) f i r s t e x a m in e d t h e s e d e s i g n s s y s t e m a t i c a ll y a n d p r o p o s e d t h e e ( s 2 ) c r i t e r i o n . a f t e r t h e n , t h e r e h a d b e e n li t t l e s t u d y o n t h e s u b j e c t o f s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s u n t i l t h e a p p e a r a n c e o f t h e w o r k 场 l i n ( 1 9 9 3 ) a n d w u ( 1 9 9 3 ) . s i n c e t h e n , t h e r e h a s b e e n a l a r g e n u m b e r o f p a p e r s o n t h is s u b j e c t . m u l t i - l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d es i g n s w e r e f ir s t ly s t u d i e d b y y a m a d a a n d l in ( 1 9 9 9 ) , w h o p r o p o s e d t h e x 2 ( d ) c r i t e r i o n ( f o r d e s i g n d ) t o e v a l u a t e d t h r e e - l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s . t h e n , y a m a d a a n d m a t s u i ( 2 0 0 2 ) a n d y a m a d a a n d l i n ( 2 0 0 2 ) u s e d 尸( d ) t o e v a l u a t e m i x e d - l e v e l s u - p e r s a t u r a t e d d e s i g n s . f a n g , l i n a n d l i u ( 2 0 0 3 b ) p r o p o s e d t h e e ( f , o n ) c r i t e r i o n f o r c o m p a r in g m ix e d - l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s a n d p r e s e n t e d a m e t h o d f o r c o n - s t r u c t i n g e ( 几 。 。 ) o p t i m a l s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s . a n d t h e n f a n g , g e , l i u , a n d q i n ( 2 0 0 4 ) a n d k o u k o u v i n o s a n d m a n t a s ( 2 0 0 5 ) c o n s t r u c t e d m a n y e ( f n o d ) o p t i- m a l m i x e d - l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s . l i , l i u a n d z h a n g ( 2 0 0 4 ) d e r i v e d a l o w e r b o u n d o f x 2 ( d ) a l o n g w i t h t h e s u ffi c i e n t a n d n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r a c h i e v i n g it . 1 i n t r o d u c t i o n r e c e n t ly , l i u , f a n g a n d h i c k e r n e ll ( 2 0 0 6 ) , y a m a d a e t a l . ( 2 0 0 6 ) , a i , f a n g a n d h e ( 2 0 0 7 ) , l i u , z h a n g a n d l i u ( 2 0 0 7 ) , l i u a n d l i n ( 2 0 0 7 ) a n d t a n g , a i , g e a n d f a n g ( 2 0 0 7 ) a ls o o b t a in e d s o m e i n t e r e s t i n g r e s u lt s o n s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s i n t e r m s o f t h e 扩( d ) c r i t e r i o n . i n a l l t h e s e a b o v e s t u d i e s , t h e n u m b e r o f r u n s i n a d e s i g n i s a m u l t i p l e o f a ll t h e n u m b e r s o f l e v e l s . h o w e v e r , s o m e t im e s i n p r a c t i c e w e m a y m e e t t h e s i t u a t i o n t h a t t h e n u m b e r o f r u n s c a n n o t b e d i v i d e d勿a ll t h e n u m b e r s o f l e v e ls . n g u y e n a n d c h e n g ( 2 0 0 6 ) p r o v i d e d s u c h a n e x a m p l e . i t i s a b o u t a p a s s e n g e r - i m p a c t c r a s h t e s t e x p e r i m e n t o n a p l a n n e d n e w f o u r - w h e e l - d r i v e r r a n g e w h o s e o b j e c t i v e i s t o fi n d a s u b s e t o f 5 4 f e a t u r e s . t h e r e a r e o n l y 2 7 c a r p r o t o t y p e s t h a t c a n b e u s e d , a n d a ll t h e f a c t o r s h a v e t w o l e v e l s , i n t h is c a s e a s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n w i t h 2 7 r u n s a n d 5 4 2 - l e v e l f a c t o r s i s n e e d e d . f u r t h e r m o r e , i f w e a s s u m e s o m e o f t h e f a c t o r s a r e o f 3 l e v e ls , a m i x e d - l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n w i ll b e c a ll e d f o r . a p p a r e n t l y , 2 7 i s n o t a m u l t i p l e o f 2 i n t h e s e t w o c a s e s . n o w t h e r e h a s b e e n li t t le w o r k f o r s u c h c a s e s . t h i s p a p e r w il l p r o v i d e s o m e o p t im a li t y r e s u l t s a n d c o n s t r u c t i o n s f o r m i x e d - l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s w i t h g e n e r a l n u m b e r o f r u n s . s e c t i o n 2 i n t r o d u c e s t h e e x is t i n g c r i t e r i a u s e d t o e v a l u a t e s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s . s e c t i o n 3 d e r i v e s t h e l o w e r b o u n d s o f x 2 ( d ) a n d e ( 九 。 。 ) f o r g e n e r a l n u m b e r o f r u n s a lo n g w it h t h e s u ff ic i e n t a n d n e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r a c h i e v i n g t h e m . i n s e c t i o n 4 , c o n s t r u c t i o n m e t h o d s a r e p r o p o s e d a n d t h e p r o p e r t i e s o f r e s u l t i n g d e s i g n s a r e d is c u s s e d . t h e l a s t s e c t i o n c o n t a i n s s o me r e ma r k s . chapter 2 o p t i ma l i t y c r i t e r i a s o m e k n o w l e d g e a n d r e l a t e d n o t a t i o n a r e p r e s e n t e d a s f o ll o w s . a m ix e d - l e v e l ( o r a s y m m e t r i c a l ) d e s i g n t h a t h a s n r u n s a n d 。f a c t o r s w i t h， ， ， ， q _ l e v e l s r e - s p e c t i v e l y i s d e n o t e d 勿d ( n ; q i ,. ， q - ) . a d ( n ; q i , ， . ， g m ) c a n b e e x p r e s s e d a s a n n x m m a t r i x d=( 心) . l e t d ; b e t h e i t h r o w o f d a n d d i b e t h e j t h c o l u m n w h i c h h a s e le m e n t s 1 ,. ， q j . w h e n e , ( q j 一 1 ) =n 一 1 , t h e d e s i g n is s a t u r a t e d , a n d w h e n ei- i ( q + 一 1 ) 。 一 1 , t h e d e s i g n i s c a ll e d a s u p e r s a t u r a t e d d e s ig n . w h e n s o m e q ; s a r e e q u a l, it is d e n o t e d b y d (二 ; q 1 . . . q i ) w it h f = i 。 = m . a n d if a ll t h e q j s a r e e q u a l, . t h e d e s i g n i s s a i d t o b e s y m m e t r i c a l a n d d e n o t e d 勿d ( n ; 广)a d ( n ; q , ， 二 ， %) i s c a ll e d a n o r t h o g o n a l a r r a y o f s t r e n g t h 2 , d e n o t e d b y l , ( q l ,. ， q _ ) , i f f o r a n y t w o c o l u m n s a l l p o s s i b l e l e v e l - c o m b i n a t i o n s a p p e a r e q u a ll y o f t e n . t h e c o n d i t i o n t h a t n i s a m u l t i p l e o f a ll t h e q j s w i ll n o t b e a s s u m e d h e r e , a n d w e a s s u me t h a t t h e n u m b e r s o f e l e me n t s d i ff e r a t mo s t o n c e i n e a c h c o l u mn t h r o u g h o u t t h is p a p e r . l e t 。=k j g j +r j w h e r e k j =l n l g j l , r j q j a n d r d e n o t e s t h e i n t e g e r p a r t o f t h e r e a l n u m b e r r . t h e n i n t h e j t h c o l u m n , t h e r e a r e r 7 e l e m e n t s e a c h a p p e a r i n g 与+1 t i m e s a n d q j 一 r . e l e m e n t s e a c h a p p e a r i n g 与t i m e s . e x i s t i n g c r i t e r i a s t i ll a p p l y t o t h i s c a s e . t h e f o l l o w i n g a r e t w o p o p u l a r u s e d c r i t e r i a f o r a s s e s s i n g m ix e d - l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s . 2 o p t i m a li ty 2 . 1 x 2 a n d e ( f ., ) c r i t e r i a 产 、.j v 尹 j z y a m a d a a n d l in ( 1 9 9 9 ) d e f i n e d a n i n d e x b e t w e e n d i a n d d j 衍t h e a n a l o g o f t h e 尸s t a t i s t ic a s 、， ) 一 a. 9; n f=j)ufr -二、 / 上 q , q j / / g i q j ( 2 . 1 ) u= 1 v =1 w h e r e 。 淤is t h e n u m b e r o f ( u , v ) - p a i r s in ( d i , 叫， a n d 可 ( q i 动s t a n d s f o r t h e a v e r a g e fr e q u e n c y o f le v e l - c o m b i n a t i o n i n e a c h p a i r o f c o l u m n s d i a n d d j . f o r a m ix e d - l e v e l d e s i g n , t h e 尸( d ) c r i t e r i o n d e f i n e d 勿 y a m a d a a n d m a t s u i ( 2 0 0 2 ) i s t o m i n i m i z e t h e s u m m a t i o n o f 扩v a l u e s x 2 ( d ) 一 艺 x 2 (d i , d ) . (2 .2 ) 1 _ i j m t h e e ( f x o d ) c r i t e r i o n d u e t o f a n g , l i n a n d l i u ( 2 0 0 3 b ) f o r c o m p a r i n g m i x e d - l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d e s ig n s w a s p r o p o s e d fr o m t h e v i e w p o i n t o f o r t h o g o n a li t y a n d u n i f o r m i t y . i n f a c t f o r a n y t w o c o l u m n s d i a n d d ? , (z.s)网 孺。 二 x2( 仁/ 砰 、 . n u d 1 2 j w e c a n s e e t h a t x 2 ( d ) c o n s id e r s d iff e r e n t w e ig h t s f o r f a c t o r s w it h d iff e r e n t l e v - e l s , w h il e e ( f , ,o d ) d o e s n o t d o s o . a l t h o u g h t h e s e t w o c r i t e r i a w e r e o r i g i n a l l y d e fi n e d f o r b a l a n c e d e s i g n s , a s n / ( g i q j ) i s s t i l l t h e a v e r a g e fr e q u e n c y o f l e v e l - c o m b in a t i o n i n e a c h p a i r o f c o l u m n s d i a n d d j , t h e y c a n a l s o a p p l y t o t h e g e n e r a l c a s e o f ” ， i .e . n m a y n o t b e a m u l t i p l e o f q j s . s i m i l a r ly a s d i s c u s s e d in f a n g , g e a n d l i u ( 2 0 0 4 ) , w e i m m e d i a t e l y h a v e l e m m a 1 . f o r 。， d e s i g n d , x 2 ( d ) a n d e ( f n o d ) a r e i n v a r i a n t u n d e r p e r m u t i n g l e v e ls i n e a c h c o l u m n o f t h e d e s i g n . 2 o p t im a l i t y 2 . 2 ot h e r c r i t e r i a t h e r e a r e s e v e r a l o t h e r o p t i m a li t y c r i t e r i a f o r e v a l u a t i n g m ix e d - l e v e l s s d s . s u c h a s g e n e r a l i z e d 】 1 l l n, nl nm a b e r r a t i o n ( x u a n d wu , 2 0 0 1 ) . b a s e d o n t h e a n o v a d e c o m p o s i t io n m o d e l , f o r a d e s ig n d ( n ; q 1 ， 二 ， q . ) , le t 凡 c o n s i s t i n g o f a ll j - f a c t o r c o n t r a s t c o e f fi c i e n t s , f o r j =0 , ， 二， ( 呱) b e t h e m a t r ix if a j ( d ) =n 2 k 一壑 t h e g e n e r a li z e d m i n i m u m a b e r r a t i o n c r i t e r io n d u e t o x u a n d w u ( 2 0 0 1 ) is t o s e q u e n - t i a l ly m in im iz e 街( d ) f o r j =1 , ， m . f o r a d e s i g n d=( 心) a n d a p o s i t i v e i n t e g e r t , l e t p ij =f- k l w k i fd +k = d , k 1 , w h e r e 1 a i s t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n o f a , i .e p ij is t h e w e i g h t e d c o i n c i d e n c e n u m b e r b e t w e e n t h e t w o r o w s d i a n d d j . i f t h e w e i g h t s e q u a l t o 1 f o r a l l k , p ij is t h e c o i n c i d e n c e n u mb e r t h e t w o r o w s d i a n d 心 ， w e d e n o t e i t b y 沁， wh e n t h e w e i g h t s 二 * =b q k f o r a l l k =1 , . . .m , w i t h o u t l o s s o f g e n e r a li t y l e t 0 =1 , i n t h i s c a s e w e d e n o t e t h e w e i g h t e d c o i n c i d e n c e n u m b e r b e t w e e n t h e t w o r o w s d l a n d 呜b y 凡. d e f i n e t h e t t h p o w e r m o m e n t t o b e m t(d ) = 2n (n - 1) 篡 。bij (d )t.n t h e m i n i m u m m o m e n t a b e r r a t i o n c r it e r io n p r o p o s e d 场x u ( 2 0 0 3 ) i s t o s e q u e n t i a ll y m i n i m i z e m t ( d ) f o r t =1 , .， 。 h i c k e r n e ll a n d l i u ( 2 0 0 2 ) d e v e l o p e d t h e m i n i m u m p r o j e c t i o n u n i f o r m i t y c r i - t e r i o n f o r a d ( n ; q 1 ,. ， q . ) d e s i g n d fr o m t h e u n i f o r m i t y v i e w p o i n t . d e f i n e t h e t - d i m e n s i o n a l p r o j e c t i o n d i s c r e p a n c y d (t ) ( d ; k ) a s t h e n o n - n e g a t i v e s q u a r e r o o t o f d ( t) ( d ; k ) =n 2又 又 i ,j =i 1 夕i e 1 k # 1 n b k l2 2 n + c x z ( d ) 些 u l 土n 2 u 2 + c ,2 ( d ) 2n凡 ( 3 . 1 ) ( 3 .2 ) w h e r e c x 2 侧 一盖 e k 1 g k 2 一 六 e 翼 ， g i 2 (q ; 矿十 a n d “ : a r e t h e t w o n e a r e s t v a lu e s t o s / n ( 。 一 1 ) 7 2 r j k j + r i 卜 盖 二( 。一1 ) , u l 。s e t 。二 艺 让 1 q k b k : s k = 3 n e w l o w e r b o u n d s 8 0 , 1 , f o r “ 二 ， ， 二 ， s a t isf y in g 。 ， s / n ( 。 一 1 ) u 2 , n u ， 二s - n (n - -1 )u 2u 2 - u 2 1 n u t 二 s - . (n - 1 )u l ， 5 ,u 2 - u l = ml j = 1 g j k j ( 。 一 。 + r j ) , a n d th e lo w e r b o u n d o f x 2 ( d ) o n th e r ig h t - h a n d s i d e o f ( 3 . 2 ) c a n b e a c h i e v e d if a n d o n l y if , a m o n g t h e n ( 。 一 1 ) v a l u e s o f b k l f o r k =a l , t h e re a r e n u : w i t h t h e v a lu e u l a n d n, w i t h t h e v a lu e u 2 . p r o o f . l e t n sj =(n u2 ) ) . a c c o r d i n g t o l e m m a 1 , w it h o u t lo s s o f g e n e r a li t y , w e a s s u m e e l e m e n t s 1 , . . . , r j a p p e a r 与十1 t i m e s e a c h , a n d r j +1 ， 二， q 7 a p p e a r 匆 t i m e s e a c h i n t h e j t h c o l u m n , ，=1 , . ， . ， m. o b v i o u s l y , b a s e d o n t h i s a s s u m p t i o n , ，.leseseseses.es.1.j 与 k j +1 k j +1 k j w h e r e t h e n u m b e