（计算数学专业论文）关于矩阵的几个不等式.pdf

摘要 本文的第一章主要证明了詹兴致教授一个关于矩阵h a d a m 砌积酉不变范数不等式猜想 的儿个特殊情况本文的第二章部分解决了李志光教授一个关于正交投影矩阵主子阵的性 质的猜想在控制论中元素在给定区间内变化的实对称矩阵经常出现，本文的第三章主要是 在詹兴致教授研究成果的基础上给出元素在给定区间上变化的实对称矩阵a 的各个特征值 变化范围的一个粗略估计本文第四章主要内容是给出p ( a ob ) 的上界以及7 - ( x y ) 的下 界；其中a ，b 为非负方阵，x ，y 为m - 方阵，p ( aob ) 表示a ob 的谱半径，7 ( x y ) 表 示义y 的最小特征值，“o ”表示h a d 锄a r d 积，“”表示f a n 积 关键词：实对称矩阵；矩阵不等式；正交投影矩阵；h a d a m a r d 积；f a n 积；m 一方阵 a b s t r a c t t h em a j nr e s u l to f 山ef i r s tp a r to fm i st 1 1 e s i ss t u d i e ss o m es p e c i a lc a s e so fx i n g z h iz h 锄s c o n j e c t u r ea b o u tu n i t a r i l yi n v a r i a n tn o n n si n v o l v i n gh a d 锄a r dp r o d u c t t h es e c o n dp a no ft t l i s t h e s i sp 删a l l ys o l v e sc h i k w o n gl i sc o n j e c t u r ea b o u tm ep r i n c i p a ls u b m a t r i c e so f 山eo r t h o g o n a l p r o j e c t i o nm a t r i c e s t h er e a ls y m m e t r i cm 撕c e so fag i v e no r d e rw h o s ee n t r i e sa r ei nag i v e n i n t e r v a la r ev e r yu s e 如li nc o n t r o lt t l e o q ；m em a i nr e s u l to fm et 1 1 i r dp a no ft t l i sm e s i sg i v e s 卸 e s t i m a t i o no fe i g e n v a l u e so ft h er e a ls y m m e t r i cm 撕c e sw h o s ee n t r i e sa r ei nag i v e ni n t e r v a lb a s e d o np r o f e s s o rx i n g z h iz l l a i l sr e s u l t s i nt 1 1 ef 6 u r t hp a n0 ft 1 1 j s 山e s i sw ep r o v ea nu p p c rb o u n df ；d r t h es p e c t r a lr a d i u so ft 1 1 eh a d a m a r dp i 0 d u c to fn o n n e g a t i v em a 砸c e sa n dal o w e rb o u n df o rt h e m i n i m u me i g e n v a l u eo ft l l ef a np r o d u c to f 彳一m a t r i c e s 1 【e yw b r d s ：r e a ls y m m e t r i cm a t r i c e s ；m a t r i xi n e q u a l i t y ；o r t h o g o n a lp r o j e c t i o nm a t r i x ；h a d a m a r d p d u c t ；f a np r o d u c t ；朋一m a t r i x 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我所 知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写的研究成果对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的说明并表示谢意 作者签名：礅琨 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并 向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的 少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论文在解密后适用本规定 乞 学位论文作者签名：趋重导师签名：。z 兰兰翌 期：鲫 第一章几个矩阵范数不等式 1 1 基本概念和约定 设a c n 加，令s ( a ) = s 1 ( a ) ，( a ) ) 表示a 的奇异值的集合，并且s 1 ( a ) s 2 ( a ) s n ( a ) o ；令) 、( a ) = 入1 ( a ) ，k ( a ) ) 表示a 的特征值的集合，并 且p ( a ) = l 入1 ( a ) i l 入2 ( a ) i i 入n ( a ) i ；记l l a 0 ( 七) = s 1 ( a ) + + s ( a ) ，七= 1 ，n ， 为k ! 一f q n 范数；| i a 怿= s 1 ( a ) 2 + + s n ( a ) 2 为f r d 6 e 删u s 范数在本章中”i i 均表示 酉不变范数，显然”) ，”为酉不变范数设a ，b c 似n 为h e 肿i t i a n 矩阵，a b 表 示a b 为半正定矩阵设a r 似n ，a 。0 表示a 的每个元素都是非负实数 1 2主要结果一 设a ，b c n x n ，令c = ( a ob ) ( aob ) 4 = ( c t f ) 。n ，d = ( ao 万) ( bo 百) r = ( d 巧) n n 设a = ( ) n n ，b = ( 6 巧) 。n ，则显然有 = 6 址丽， 七= 1 奶= m t l 2 惫= l 易见c o ，d 。o ，并且= d 伽詹兴致教授猜想l i c i | l i d i l ，下面证明几种特殊情况在 本节中记i a i = ( i i ) 铊仡 定理1 1 设a ，b c 帐n ，则有j i c 怯j | d 怙 证：由上面的分析知对v i ，歹 1 ，n ) 有 1 2 = ln 也孤1 2 = j 南= l 8 q 让瓦6 t t 颐j 2 七= l 第一章几个矩阵范数不等式 令z = ( 瓦确1 ，瓦砌n ) t ；= ( 可戒l ，劢f 。) t 由c o u c 切一s c 九删t z 不等式 知 从而得 z + 可1 2 ( z + z ) ( y 可) n n = ( 蚓2 酬2 ) ( m 南1 2 ) 七= 1七= 1 = 奶如 c 巧1 2 = i z + 引2 也j d j 又因为2 i 1 2 2 d 巧咄吃+ 略，i 1 2 + i 勺t 1 2 = i 1 2 + i 可1 2 = 2 i c 巧1 2 ，所以 对v i ，歹 1 ，扎) - 有i 1 2 + i 印1 2 吗+ 略所以i l c 忙l | d 怯成立 在文献【1 0 】中有如下三个结论： 引理1 1 设a ，b 为n 阶非负阵，并且a 。b ，则有p ( a ) p ( b ) 口 引理1 2 设a 为礼阶非负阵，则p ( a ) 为a 的特征值，并且有非负特征向量z 与j 9 ( a ) 相对 应，即止= p ( a ) z 引理1 3 设a 为礼阶非负阵，b c n n ，并且i b i 。a ，则j d ( b ) j d ( a ) 在文献【1 2 】中有如下结论： 引理1 4 设向量z ，r ”的分量全为非负数，则z 。胁可哥z 加秒 由以上几个引理可得以下结论： 定理1 2 设a ，b c n n ，则0 c l i ( 1 ) l i d i l ( 1 ) 9 第一章几个矩阵范数不等式 证：由( 1 ) 式知对，歹 1 ，礼) 有i 1 2 奶吗t ，所以i j m a x f 奶，吗i ) ，从而 得 1 i ，j j ) 伽f 凹 奶，嘭1 ) 由引理1 4 得 i i ，i i ) 一 伽 d 巧，如1 ) 所以对，j 1 ，n ) 有1 l + 1 i 奶+ 略 所以得o 。j cj + i c i 。d + d t 由引理1 1 得 j d ( 2 i c l ) p ( d + d t ) 又因为p ( d + d t ) l l d + d t0 ( 1 ) ，所以2 p “c 1 ) i l d + d t 0 ( 1 ) i i d j l ( 1 ) + j i d 丁j i ( 1 ) = 2j j d j l ( 1 ) ，所以p ( j c i ) j j dj j ( 1 ) 又因为c o ，并且由引理1 2 ，1 3 得 j j c i i ( 1 ) = 3 1 ( c ) = a 1 ( c ) = p ( c ) p ( j cj ) ，所以i j c i l ( 1 ) | i d i ( 1 ) 成立 口 由定理1 2 以及谱范数的相容性得到 s ( a ob ) = s 1 ( ( aob ) ( aob ) ) s 1 ( ( ao ) ( bo 两r ) s 1 ( ao 万) s 1 ( 8 0 两 从而得到如下推论： 推论1 1 设a ，b 煳，则有j j a 。b 嘿) j j a 。才i i ( 1 ) l l b 。百i i ( 1 ) 推论1 1 既是文献【7 】中定理( 5 5 1 5 ) 在义献【1 2 】中有如下结论： 弓i 理1 5 设a c n n 则 m a ) i s j ( a ) j = l 由上面的两个结论得到如下定理： 定理1 3 设a ，b c n x n ，则| i c f | ( n ) f f d | f ( n ) 证：因为c 0 并且c “= 屯0 ，所以 l i c ) = s 1 ( c ) + + s n ( c ) = 入l ( c ) + + k ( c ) = r ( c ) = r ( d ) = 扮( d ) i 1 0 第一章几个矩阵范数不等式 又由引理1 5 得 所以0 c 0 ( n ) 0 d 0 ( n ) 成立 r ( d ) i ( d ) = j j d | | ( n ) j = l 口 设e = ( 0 ，o ，1 ，o ，o ) t r n 为第i 个分量为1 其余分量为。的n 维向量， 其中i = 1 ，n 显然e a 勺= o 巧令1 t l 七礼，其中1 七n 记仉= ( 龟。，e 。) r n 七，所以q 虿a q 七为a 的一个后阶主子阵，并且q 暑q 七= 厶， q 七q 喜厶当 i l ，t 七 取遍所有可能的组合时q 蚕a q 七取遍所有a 的所有尼阶主子阵 引理1 6 设a c n n ，则s j ( q 舌a q k ) s j ( a ) ，其中歹= 1 ，七；尼= 1 ，n 证：因为q 七q 看厶，所以 q 舌a ( 厶一q k q ：) a q ko ， q ：a + a q 七q 舌a + ( q 七q 善) a q 七 = ( q 舌a q 七) + ( q 虿a q 七) ， ( q 舌a ( q t q 五) a q 七)( q 暑a + a q 七) 又因为豸( q 蚕a q 七) = 勺( ( q 舌a q 七) + ( q 毛a q 七) ) = ( ( q 吾a q 七) + ( q 蚕a q 七) ) ，所以弓( q 吾a q 七) ( q 虿a + a q 七) 由交错分布定理得( q 吾a + a q 七) ( a + a ) = s ；( a ) ，从而得s ；( q 暑a q 七) 弓( a ) ，s j ( q 吾a q 七) 勺( a ) 口 定理1 4 设a = ( n 巧) c n “并且o “o ， = 1 ，n ，则s ( a oj ) 加s ( a ) 证：对于七= 1 ，n ，存在1 i l i 七n ，使得 = n n t 。+ + q k i 。= t r ( q ：( a 。) q 七) = 7 ( q 舌a q 七) = i r ( q 吾a q ) i ， 0 as 。m 第一章几个矩阵范数不等式 由引理1 5 得 再由引理1 6 得 s j ( q ：a q 七) s j ( a ) ， 七七 勺( a 。j ) s j ( a ) j = 1j = 1 所以s ( a o j ) 一 叫s ( a ) 成立 在文献【1 2 】中有如下结论： 引理1 7 设a ，b c n 跏，若对v 七= 1 ，佗，有i l a ) 0 b ) 成立，则i i a i l i i b 由定理1 4 和引理1 7 得： 推论1 2 设a c n n 并且n “o ，i = 1 ，佗，则悄。圳l i a 叭 定理1 5 设a ，b n 并且b 为对角阵，则i i c 0 i i d 口 证：因为b = d i q 夕( 6 1 l ，k n ) ，所以当i j 时= 0 ，又因为= 也0 ，从而c = d o j ， 由推论1 2 得i i c i | = | i do 圳i i d l i 口 同样的方法可得： 定理1 6 设a ，b c 似n 并且a 为对角阵，则| i c 0 i i d l f 1 3主要结果二 设a ，b 为n 阶半正定矩阵，本节给出两个与a 有关的非负数厂( a ) ，9 ( a ) 使得，( a ) b a 口b 口f 丢9 ( a ) j e i ，其中o 设a n ，在本节中记l a i = ( a + a ) 1 2 七q a t 七q勺 七触 kq a t 七q 打 第一章几个矩阵范数不等式 定理1 7 设a ，b 为佗阶半正定矩阵，q ，则 s n ( a ) b 1 个b n i 丢s l ( a ) b 证：先证右边的不等式若a = 0 或b = 0 ，则结论显然成立，所以假设a 0 且b 0 设 g = 志， s 1 i aj日= 志，s 1 l dj 所以有o g ，o 日，由于口；，所以o g 2 a g ，o 日2 口日j 所以i g 口日q i 丢= ( 1 g 。日a 1 2 ) 去= ( h 口g 缸日a ) 去，日口g 2 q 日口日a 日。= 日2 q 又因 为，( ) = t 去，q ；，在【o ，。o ) 上为算了单调的所以( 日。g 2 a 日q ) 去日所以 i a a b n i 吉， b 币丽币两 从而得l a 口b a i 吉s 1 ( 4 ) b 卜面证左边的不等式若a 奇异则结论显然成立，所以 设a 非奇异类似地令 k = 志， s 。l jl = 志，s 。l aj 所以k j ，l j 由于q ，所以k 2 n k j ，工2 a l j 所以i k q 俨卢= ( i k 口l 口1 2 ) 去= ( l 。k 2 。l n ) 击，l 。k 2 口l 口l q j l a = l 2 n 又冈为，( ) = 去，口 ， 在 o ，) 上为算子单调的所以( 俨k 2 。俨) 击l 所以 i a o b o i 吉b s n ( a ) s n ( b ) 夕s 。( b ) 从而得l a 口j e i a i 丢s n ( a ) b 口 第二章正交投影矩阵的主子阵的一个性质 2 1 基本概念和约定 设a c 似n ，令s ( a ) = s 1 ( a ) ，s n ( a ) ) 表示a 的奇异值的集合，并且s l ( a ) s 2 ( a ) s n ( a ) o ；令a ( a ) = a 1 ( a ) ，a n ( a ) ) 示a 的特征值的集合，并 且i 入1 ( a ) l a 2 ( a ) l i k ( a ) i ；q ( a ) 表示a 的七级复合阵，复合阵的一些基本性 质可参看文献【9 】磷表示n 个元素中取七个的组合数李志光教授猜想：设n 阶正交 投影矩阵( h e m i t e 幂等矩阵) a 的秩为后，则一定存在a 的七阶主予阵b 使得b 去 ，其 中七：1 ，亿一1 本章将证明一个比上述猜想较弱的结论 2 2 主要结果 设e t = ( o ，0 ，1 ，o ，o ) t r n 为第i 个分量为1 其余分量为0 的n 维向量， 其中z = 1 ，n 显然e a 勺= o 巧令1 z 1 i 七凡，其中1 庇礼记矩 阵q 后= ( 色。，巳。) r 似南，所以q 舌a q 七为a 的一个七阶主子阵，并且q 吾q 七= 厶， q 七q 舌厶当 i l ，i k ) 取遍所有锘种组合时，q 舌a q 七取遍所有a 的后阶主子阵 定理2 1 设0 r 1 ，n 2 ，忌= 1 ，n 一1 ，则以下三个命题等价 a 设a c n 黼，r a n k ( 4 ) = 七，并且a 2 = a = a + 则存在a 的尼阶主子阵b 使 得b r 厶； b 设u n 为酉矩阵则存在1 i 1 i k n 使得巩= u 【1 后i i l 训满 足畎巩r 厶； c 设u c n n 为酉矩阵则存在1 i 1 七n 使得一七七= u 1 n 一后j i l i 七】满足一从一七，南( 1 一r ) 证：对于任意酉矩阵u 构造 1 4 第二章正交投影矩阵的主子阵的一个性质 以= u + ：兰 以 所得矩阵a 满足小= a = a 2 ，m n k ( a ) = 七对于a 的满足a 中结论的主子阵b ，对应 存在矩阵q 七使得 b = q 舌a q 詹= q 虿+ ：兰 q 七， 记巩= ( 厶，o ) u q 七，则b = 睨巩 巩= 【1 七i z l 叫= 札“l ： 让兢l 札“ ： t 正航 因为b r 厶，所以巩r 厶从而有。号6 反过来，对于满足a 中条件的矩 阵a 存在酉矩阵v 使得 u a u + = ：兰 对于满足b 中结论的巩，对应存在q 七使得巩= ( 厶，0 ) u q 七因为酢巩r 厶，所以 q 暑u + ：兰 u q 七= q 吾a q 七= b r 厶， 从而有6 爿o n 仁号c 的证明方法与o 号6 的证明方法基本相同，只需注意到 a = u + 兰三 = 厶一u + 七三 u = 厶一4 ， b = a i 1 z 七h z k 】r 厶车兮厶一4 k 1 i 七i i l z 七】r 厶， b = a i 1 i 七i i l i 】7 厶e 4 【i 1 i i 1 i 七】( 1 一r ) 厶 引理2 1 设a c n n 则g ( a ) = ( 伉( a ) ) + 口 第二章正交投影矩阵的主子阵的一个性质 证：文献【9 】中有结论仉( a t ) = ( g ( a ) ) t 所以g ( ) = 仉( 矛) = ( 伉( 万) ) r 因为 丽= 葡萄_ 丽= 葡两石两= d e t ( 万) ，并且 伉( a ) = g ( a ) = d e 才【1 ，七j 1 ，纠 d e 万【1 ，后l 佗一七+ 1 ，n 】 d e t 万【n 一七+ 1 ，仃1 1 ，纠 d e t 万【n 一七+ 1 ，n i 礼一尼+ 1 ，礼】 d e a 1 ，一，后1 1 ，纠 赢讶盯后i 几二_ + 1 厕 d e t a 【n 一七十1 ，凡1 1 ，七】 d e a h 一七+ 1 ，n i n 一尼+ 1 ，n 】 所以丽= 仉( 页) 从而得仅( a ) = ( g ( 页) ) t = ( 丽) t = ( g ( a ) ) 4 口 推论2 1 酉矩阵的复合阵仍然是酉矩阵 证：设为n 阶酉矩阵，则由引理2 1 和复合阵的可乘性得： ( g ( ) ) + ( g ( ) ) = g ( + ) g ( 矿) = g ( + ) = g ( 厶) = 锄 在文献【1 2 】中有如下结论： 弓i 理2 2 设a c n n 。则 在文献【l l 】中有如下结论： j 入( a ) 1 ) _ z 卵 s ( a ) ) 引理2 3 设a 为任意矩阵，b 为a 的任意子矩阵，则对任意酉不变范数有i i b l i i i a i i 口 引理2 4 设u 为n 阶酉矩阵，七 1 ，n 一1 ) ，则存在1 1 七n 使 得巩= u 【1 ，南，划满足雌巩( 磷) 一1 厶 第二章正交投影矩阵的主子阵的一个性质 证：设g ( u ) 为u 的七级复合阵，所以 瓯( u ) = d e u 【1 ，七1 1 ，尼】 ： 如f 一后+ l ，n f l ，纠 d e u 【1 ，七i 佗一七+ 1 ，佗】 ： 如u h 一七+ 1 ，佗f n 一后+ 1 ，n j 由推论2 1 知g ( ) 为酉矩阵，所以它的第一行的e u c l i d 长度为1 所以在g ( u ) 的第 一行中必然存在一个元素满足i d e t ( 巩) 1 2 ( 磷) 一，否则q ( u ) 第一行的e u c l i d 长度 小于1 由引理2 2 得s 1 ( 仉) s 七( 巩) = i 入( 巩) | l 儿( 巩) i = i 入- ( 巩) 儿( 巩) i 所 以 ( 巩) s 2 ( 巩) = i 入，( 巩) k ( 巩) 1 2 = l d e ( 巩) 1 2 ( 碟) 一1 ( 2 ) 因为巩为u 的子阵，所以由引理2 3 得s l ( 巩) s l ( u ) = 1 从而有s ；( 巩) s ；一l ( 巩) 1 假设s 2 ( 巩) ( 磷) ，则有s ；( 巩) s 2 一。( 巩) s 2 ( 仉) ( 磷) 一，这与( 2 ) 式矛 盾，所以必然有s 2 ( 巩) ( 罐) ，从而得s ；( 巩) s 2 ( 巩) ( 磷) 所 以w 巩( 磷) - 1 厶 由定理2 1 和引理2 4 得： 口 定理2 2 设a c ”n 满足r a n k ( a ) = 七，七= 1 ，n 一1 ，并且a 2 = a = 岔，则存 在a 的七阶主子阵b 使得b ( 磷) 一1 厶 由于砩= 铝一= n 所以有如下推论，从而解决了李志光教授猜想中后= 1 ，n 一1 的情 况 推论2 2 n 阶正交投影矩阵a 的秩为七，则一定存在七阶主子阵b ，使得b 击厶，其 中七= 1 ，n 一1 1 7 第三章实对称矩阵特征值的估计 3 1 基本概念和约定 设a = ( 口斛) 为凡阶实对称矩阵，并且满足n f = o 斛囟mq m 】，七，f = 1 ，n ， 七2 其中肌z 饥f ，n 2 将满足上述要求的矩阵集合记为& 眵胁饥f 】若对v1 七 z n 有p 削= 口 蚴= 6 则& 眵肌蚴】可改写为【o ，纠本文& ，g 肼】中矩阵的特征 值九均以递降顺序排列记如n 为元素全为l 的m 礼阶矩阵称 p = q = p l n 肼m 口1 n 口n n 分别为& 映f ，蚴】的左，右端点矩阵o 表示l n e c k e r 积，o 表示h a d a m 砌积设a ，b 为具有 相同阶数的矩阵，a b 表示a 的元素不小于所对应的b 的元素 3 2 主要结果 首先给出k 的上界和a 1 的下界在文献【9 】中有如下结论： 引理3 1 令a 为n 阶实对称矩阵，b 为a 的七阶主子阵，七= l ，n ，则 ( a ) ( b ) + n 一南( a ) 歹= 1 ，后 1 8 1 n 1 l p p 1 n l - l q g 第三章实对称矩阵特征值的估计 定理3 1 设a & 囟射，钒f 】，n 2 记砌= ，慨 一) ( 一乃j ) = ，其 中1 f j 礼则 a n ( a ) 去m i n m t ，m 。，m 3 ，m 4 其中 m 12 男骢 吼t + 劬j ) ； 毫， ， 0 m 22 2 鳃 口n + 劬j 耖玎 0 仇32 嚣罢t z i l ( u 玑j 0 2m i n l 【i 砌i ，i 1 ) ； + 劬j m i n l a t 一j i ，1 一乃j i ) ) ； 证：在引理3 1 中令j = 尼= 2 ，得k ( a ) 入2 ( b ) 其中 为a 的任意一个2 阶主子阵，所以 由于 所以 r b ：l ? l 【- o 玎j k ( a ) a 2 ( b ) = k ( a ) ，皿j 曼 入2 ( b ) 】 1 i j n 、 。 凸“+ j 三。熙n _ 【。计，一 2 因为鼽t 口衍吼 ，功j 哟j q j j 所以p “一劬j o “一j 吼t 一黝从 而，当物o 时有( o 既一) 2 m i n 慨 助) 2 ，( 骱一功j ) 2 ) ，当物 o 时有 1 9 一 + ，l m 那却 m = 4 m 第三章实对称矩阵特征值的估计 ( 啦 一) 2 o 同理，当o 时有。毛m i n 【磅，磅) ，当 o 时有。弓o 所 以按，物的正负性将指标对( z ，歹) 分为四类 m a ) 三。感几h t 锄一厄j 万蕊) 丢嬲 + 一肛j 万磁) 三2 要 【吼t + 劬，一、五二五丽) 玑j o 2 主男觐 + 一2 m l n i i ，i 1 ) ) ”巧 u 1 2 石m 2 其余情况类似可证 口 注k ( 4 ) 有一个简单的上界： u 呱扣，沁，= 去争 但这个估计没有定理3 1 精确 在文献【1 0 】中有如下结论： 引理3 2 设a b o 为n 阶实矩阵，则a ，b 的谱半径p ( a ) ，p ( b ) 为它们的特征值，且满 足p ( a ) p ( b ) 当q 比较特殊时可以给出k ( a ) 另外类型的上界 定理3 2 设a 岛囟削，吼l 】，礼2 ，q o ，则a n ( a ) a n ( q ) 证：因为p a q o ，所以一p 一a 一q o 由引理3 2 得一a n ( a ) = 入l ( 一a ) = j d ( 一a ) p ( 一q ) = 入1 ( 一q ) = 一入几( q ) 所以a n ( a ) 入。( q ) 口 第三章实对称矩阵特征值的估计 注令a 晶【q ，6 】若o n 6 ，在定理3 1 中对任意的i ，歹满足l t o ，= 一( 6 一o ) 2 o ，所以m 2 = 6 + 6 2m i n 【i n i ，陋i ) = 2 6 2 口，从而k ( a ) 6 一o ；若q 0 6 ，在定理3 1 中对任意的i ，歹满足1 i j n 有= 凸6 o ，= 一( 6 一口) 2 o ，所 以m 1 = 2 6 ，从而a n ( a ) 6 上述注中结论与下面文献【1 3 】中如下定理结论一致 定理3 3 设a 晶【口，6 】，佗2 ( 1 ) 若o n 6 ，则k ( a ) 6 一n ，当且仅当a = n 厶n + ( 6 一凸) ，时等号成立； ( 2 ) 若n 0 6 ，则h ( a ) b ，当且仅当a = 6 j 时等号成立 定理3 1 和定理3 2 给出k 的上界，下面给出入1 的下界 定理3 4 设a & 帆f ，蚴】，n 2 记p 。= z 巧，0 “一) ( 一功j ) = ，其中1 j n 则 a 。( a ) 丢m a x 尬，尬】 其中 舰= 婴鳞( 鼽 + 功j ) ； 而， 0 。“ 肌， 0 尬2 嚣骑 轨i + 聊j + 2 m i n i l ，1 1 ) ) ； 暑，巧 0 地2 恶 a i + 扔j + m i n 【l 鼽t 一劬j i ，i 吼i 一功j 1 ) ) ； 舰2 乏骑 m + 功j + 聊0 证：在引理3 1 中令歹= l ，尼= 2 ，得a l ( a ) 入1 ( b ) 其中 r b ：卜i i8 幻j1 第三章实对称矩阵特征值的估计 为a 的任意一个2 阶主子阵，所以 由于 所以 入1 ( b ) a l ( a ) 入1 ( a ) ，然n 洲b ) ) o t + q j + 三。燃。 凸对+ 2 因为鼽i o 瓿吼 ，功j q j j ，所以鼽t g j j o 村一依f 一功j 从而，当0 时 有( n “一) 2 m i n 慨 一劬j ) 2 ，( 吼i 一肋) 2 ) ，当 o 时有( 啦f 一j ) 2 o 同理当z 巧o 时 有。弓m i n 磅，磅，当z 巧 o 时有n 弓o 所以按z 巧，的正负性指标对( i ，j ) 被分为 四类 其余情况类似可证 a ) 丢。然。h t + + 1 ， 互墨骑慨+ + v 巧 0 丢婴憋 鼽i + 砌+ 互冕骑t 鼽i + 砌+ 掣玎 0 = 三嚣骑 砌+ 功j + 2 m i n i 砌i ”j 0 注a 1 ( a ) 有一个简单的下界： 丢 入。( a ) 丢7 ，( a ) 三7 ( p ) = 丢 但这个估计没有定理3 4 精确 ，i 阱 引理3 3 设a ，b 为h e m i t i a n 矩阵，则入1 ( a b ) a 1 ( a ) 一入1 ( b ) 口 欺 。试 第三章实对称矩阵特征值的估计 证：因为ab 为h 咖i t i a n 矩阵，所以有 a 1 ( a + b ) 2 i 高臀z + ( a + b ) z i 蜀臀矿a z + l 罱笛拶+ b 可忙| | = 1i = 1 。 。 = a 1 ( a ) + a l ( b ) 从而得入1 ( a ) = a l ( a b + b ) a l ( a j e i ) + a 1 ( b ) ，a 1 ( a b ) a 1 ( a ) 一a 1 ( b ) 口 定理3 5 设a 晶阢f ，吼f 】，几2 则 a 1 ( a ) a 1 ( q ) 一入1 ( q p ) 证：因为q p q a 0 ，所以由引理3 2 得a 1 ( q p ) = p ( q 一尸) j d ( q a ) = a l ( q a ) 所以a l ( q p ) 入。( q a ) 再由引理3 3 得a 1 ( q a ) 入1 ( q ) 一a l ( a ) 所 以入1 ( a ) 入1 ( q ) 一a 1 ( q 一尸) 口 注令a 晶【n ，6 】，n 2 当0 o 6 时，在定理3 5 中有a 1 ( a ) 舶一凡( 6 一n ) = 礼o 当n 0 6 时，在定理3 4 中对任意z ，j 满足1 l 歹n 有= q 6 0 ，物= 一( 6 一o ) 2 0 所以尬= 2 口，a l ( a ) n 一卜述注中结论与文献【1 3 】中如下定理结论一致 定理3 6 设a & 【0 ，6 】，n 2 ( 1 ) 若0 n 6 ，则a 1 ( a ) 礼n ，当且仅当a = o 厶n 时等号成立； ( 2 ) 若n 0 6 ，则a 1 ( a ) o ，当且仅当a = n j 时等号成立 注令a & 【口，6 】，当o 6 o 时 在定理3 2 中有h ( a ) 入n ( q ) = 曲 在定理3 4 中对任意i ，j 满足1 t o ，= 一( 6 一n ) 2 0 ，所以 = 2 0 + 2m i n 1 n i ，1 6 i ) = 2 0 一2 6 ，a 1 ( a ) o 一6 第三章实对称矩阵特征值的估计 上述注中结论与文献【1 3 】中如下定理结论一致 定理3 7 设a & k ，6 j ，扎2 ，血 6 o ，则 ( 1 ) a 1 ( a ) o 一6 ， 当且仅当a = 6 厶n 一( 6 一n ) j 时等号成立； ( 2 ) k ( a ) 曲， 当且仅当a = 6 厶n 时等号成立 证：因为口 o ，所以一a r 卜6 ，一o 】由定理3 3 的( 1 ) 得一a 1 ( a ) = 入礼( 一a ) 一n 一( 一6 ) = 6 一n 当且仅当一a = 一6 厶。+ ( 一。一( 一6 ) ) j = 一6 厶n + ( 6 一凸) 时 等号成立；所以a 1 ( a ) 凸一6 当且仅当a = 6 厶n 一( 6 一q ) j 时等号成立由定 理3 6 的( 1 ) 得一k ( a ) = a 1 ( 一a ) n ( 一6 ) 当且仅当一a = 一6 厶n 时等号成立；所以九( a ) n 6 当且仅当a = b 厶。时等号成立 口 定理3 1 和定理3 2 给出k 的上界，定理3 4 和定理3 5 给出a 1 的下界；下面给出k 的 下界，a l 的一卜界以及a 2 ，k 一1 的卜下界 文献【1 3 】中有下面两个定理： 定理3 8 设a & 【n 6 】，n 2 ( 1 ) 若i 口j 6 时，当且仅当a = o 厶n 时等号成立； 当h = 6 时，当且仅当存在屉 1 ，n ) ，m = n 一七，使得a 置换相似于 麓瓷 时等号成立 定理3 9 设a 品陋，6 ，n 2 ( 1 ) 若n 一1 6 l 时，当且仅当a = 6 厶n 时等号成立； 当o = 一1 6 i 时，当且仅当存在 1 ，n 】，仇= n 一忌，使得a 置换相似于 兰恣 时等号成立 由以上两个定理可推出以下两个结论 定理3 1 0 设a & o ，6 】，n 2 ，尼= 2 ，n 若o 一1 6 i ，则 当忌为偶数时有 k m ( a ) 竺， 当七为奇数时有 若o 一1 6 i ，则 a n j c + 1 ( a ) 其中后= n 时等号可以取到 ( 2 ) 当o o 6 时有a n ( a ) 6 一n ； 当o o 6 时有入n ( a ) 6 ； a n 一七+ 1 ( a ) 七6 ， 第三章实对称矩阵特征值的估计 当o 6 0 时有a 。( a ) 礼6 以上等号可以取到 证：由定理3 3 和定理3 7 的结论( 2 ) 知( 2 ) 成立，下面证( 1 ) 在引理3 1 中令j = 1 得k 一七+ l ( a ) 入1 ( b ) 因为b 为a 的七阶丰子阵，所以b 鼠【o ，6 】由定理3 9 得 若o 一| 6 j 则 当七为偶数时有 a n 一七十。( a ) a 。( b ) 丛竺；堕， 当七为奇数时有 a n 一七+ 。( a ) 入。( b ) 生鱼! = _ 3 ! 三三 型 若n 一1 6 l ，则入竹一+ 1 ( a ) a 1 ( b ) 肋所以( 1 ) 也成立 定理3 1 1 设a 【n ，6 】，n 2 ，七= 2 ，n ( 1 ) 若i o i 6 ，则 当七为偶数时有 当尼为奇数时有 若i o i 6 ，则 州彬掣， 州彬生等乒翌； 其中忌= n 时等号可以取到 ( 2 ) 当0 o 6 时有a 1 ( a ) 咒o ， 当q 0 6 时有a 1 ( 4 ) n ， 当o 6 0 时有a 1 ( a ) o 一6 以上等号可以取到 a 七( a ) 尼凸， 2 7 口 第三章实对称矩阵特征值的估计 证：由定理3 6 和定理3 7 的结论( 1 ) 知( 2 ) 成立，下面证( 1 ) 在引理3 1 中令歹= 七得k ( a ) 入七( b ) 因为b 为a 的七阶主子阵，所以b 鼠【口，6 】由定理3 8 得 若 6 ，则 当南为偶数时有 入七( a ) 入七( b ) 生鱼；型， 当七为奇数时有 a 七( a ) a 七( b ) 坠堑婪型； 若i o l 6 ，则a 七( a ) 入岛( b ) 忌口所以( 1 ) 也成立 口 注定理3 1 0 ，定理3 1 l 给出了a 品【0 ，6 】的特征值九( 4 ) 的上下界且当i = l ，n 时给 出的是确界，即存在a 【q ，6 】使得等号成立那么当i = 2 ，n 一1 时定理3 1 0 ，定 理3 1 l 给出的是确界吗? 实际上这是不一定的，下面举个例子说明这一点 令n = 3 七= 2 若o 入3 ( a ) = 6 + 2 0 在这种情况下等号取 到了若口 一l b l ，则由定理3 1 0 的( 1 ) 得入2 ( a ) 2 6 ，由定理3 1 0 的证明知道结 论是由入2 ( a ) a 1 ( b ) 2 6 而来：其中b 岛【o ，6 】为a 的2 阶主子阵所以若 要a 2 ) = 2 6 ，首先需要a 1 ( b ) = 2 6 而由定理3 9 知a 1 ( b ) = 2 6 的充分必要条件 是b = 6 以2 ，所以令 a = 0 1z 2 0 2 6 0 3 6 1j 0 口 6 0 6 0 b 0 口 第三章实对称矩阵特征值的估计 o 反6 ，t = 1 ，2 ，3 要使a 2 ( a ) = 2 6 ，首先要d e t ( 2 6 j a ) = 0 ，从而要求z 2 + z 3 = o ，但是若6 o 0 则z 2 + z 3 o ，从而2 6 不是a 的特征值，更不可能有a 2 ( a ) = 2 6 在文献【2 】中有如下结论： 引理3 4 令ab 为n 阶h e m i t i a n 矩阵，则 其中j = 1 ，n ( a + b ) 九( a ) + 一件l ( b ) t j ( a + b ) 九( a ) + 一件n ( b )i j 定理3 1 2 设a 岛m ，q 斛】，几2 记52l 嚣爨n ( 蚴一p 剐) o 则 ( 1 ) ( a ) 一i 棚( q ) 一t 其中歹= 2 ，n ；z 歹 ( 2 ) 若n i + 1 为偶数 ( 以) 讲。( q ) + 掣e 若n i + l 为奇数 ( a ) 讲。( q ) + 近型掣e 其中歹= l ，n 一1 ；i 歹 证：因为对任意尼，f 满足1 七f n 有p 埘n 埘吼l ，所以存在唯一的0 z 斛1 使 得q 肼z 埘p 肼+ ( 1 一z 舡) 1 所以，对于a r 函鼬q 埘】存在x = ( z 埘) & 【o ，1 】使 得a = x 。尸+ ( 厶n x ) 。q 所以有a = x 。p + 。q x 。q = q + ( p q ) 。x ，( a ) ： 旧+ ( p q ) o 捌由引理3 4 得 ( a ) 九( ( p q ) ox 】