（计算数学专业论文）两类发展方程的数值分析.pdf

摘要 在众多的偏微分方程中，r l w ( r e g u l a r i s e dl o n gw a v e ) 方程占据着非常重要地位 它可用于描述许多重要的物理现象，例如，它可描述浅水波和离子声波等由于r l w 方程 的精确解一般很难求得，所以近几十年来，对r l w 方程的数值解的研究成为一个热点 第一章，简要介绍了本文的相关背景知识，并简单介绍了本文所要讨论的问题 第二章对一类非线性双曲型方程提出了一种全离散交替方向有限元格式，从理论上证 明了该格式的收敛性，并得到了日1 模最优阶误差估计交替方向有限元方法是在交替方 向法和有限元方法的基础上提出的，它继承了交替方向法将高维问题转化为低维问题，进 而简化计算量和存储量的优点，而且还具有有限元方法精度高的特点，两种方法的结合使 它在微分方程的求解中具有了很大的应用价值 第三章讨论了二维r l w 方程的等参有限元逼近，并得到了半离散，全离散逼近格式 的最优误差估计 第四章以r l w ( 正则长波) 方程的一个新的守恒差分格式对方程的初边值问题进行 讨论，提出了一个新的三层差分格式这个格式很好的模拟了r l w 方程初边值问题的能 量守恒关系，并且该格式是稳定和收敛的结果表明，该格式在取适当参数时，和其他几 种格式相比，精度提高了很多，因此是一个实用且可靠的数值算法 关键词：r l w 方程，差分格式，等参有限元，交替方向有限元，误差估计 a b s t r a c t r l w ( r e g u l a r i s e dl o n gw a v e ) e q u a t i o n sp l a yam a j o rr o l ei nal a r g en u m b e ro fp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e yc a nd e s c r i b em a n yi m p o r t a n tp a y s i c a lp h e n o m e n o n s ，s u c ha s s h a l l o ww a t e rw a v e sa n di o na c o u s t i cp h a s m aw a v e s i nr e c e n ty e a r s ，t h er e s e a r c hf o rt h e n u m e r i c a ls o l u t i o n so ft h er l we q u a t i o n sb e c o m e saf o c u sb e c a u s et h e i re x a c ts o l u t i o n s a r ed i f f l c u l tt os o l v e i nc h a p t e ro n e ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h ep a p e ra n dt h ep r o b l e m c o n s i d e r e di nt h ep r e s e n tp a p e r i nc h a p t e rt w o ，w ep r e s e n tt h ea d if i n i t em e t h o dt os o l v et h ei n i t i a l b o u d a r yv a l u e p r o b l e mo fac e r t a i nn o n l i n e a rh y p e r b o l i ce q u a t i o n t h ec o n v e r g e n c eh a db e e nt h e o r e t i c a l l y p r o v e n ，a n do b t a i n e dt h eh 1n o r mm o s ts u p e r i o rs t e pe r r o re s t i m a t e t h ea d if i n i t e e l e m e n tm e t h o di sb a s e do na d im e t h o da n dt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d i ti n h e r i t e dt h e a d im e t h o do fr e d u c t i o nt h ed i m e n s i o n ，t h e ns i m p l i f i e dc o m p u t a t i o na n dr e s e r v e sm e r i t ， m o r e o v e ra l s oh a dt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dh i g hp r e c i s i o nc h a r a c t e r i s t i c t h eu n i o no ft h e t w om e t h o d se n a b l e di tt oh a v et h ev e r yb i ga p p l i c a t i o nv a l u ei nt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o l u t i o n i nc h a p t e rt h r e e ，w ep r e s e n ti s o p a r a m e t r i cf i n i t ee l e m e n t sf o rt h en u m e r i c a ls o l u t i o n o ft h e2 - d i m e n t i o nr e g u l a r i z e dl o n gw a v e ( r l w ) e q u a t i o n as e m id i s c r e ts c h e m ea n da f u l ld i s c r e t es c h e m ea r ep r e s e n t e da n dt h ea c c u r a c yo fw h i c ha r em e a s u r e db ys o m ee r r o r n o r m s i i i i nc h a p t e rf o u r ，at h r e el e v e lf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m ef o rai n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b - l e mo fr e g u l a r i z e dl o n g - w a v ee q u a t i o ni sp r e s e n t e d ，i th a st h ea d v a n t a g et h a tt h ed i s c r e t e e n e r g yi sc o n s e r v e d c o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t yo fd i f f e r e n c es o l u t i o n sa r ep r o v e d k e yw o r d s ：r l w e q u a t i o n s ，f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e ，i s o p a r a m e t r i cf i n i t ee l e m e n t s ， a d if i n i t em e t h o d ，e r r o re s t i m a t e s i v 独创性声明和论文使用授权说明 独创性声明和论文使用授权说明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留，使用学位论文的规定，即：有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师范大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印或扫 描等复制手段保存，汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名：趔 导师签名：焦童堑耋 日期：鲨! 。 ：( 第一章绪论 l 。1 研究背景 第一章绪论 自从牛顿发明微积分以来，微分方程在描述事物运动规律上已发挥了重要作用，涌现 出大量微分方程描述的动态数学模型，在自然现象，军事科技和国民经济等领域均屡见不 鲜由于实际应用的需要，人们必须求解微分方程，从而真正把握事物的运动规律，或者 对各种决策方案作出选择，遗憾的是绝大多数微分方程( 特别是偏微分方程) 定解问题的 解不能以实用的解析形式来表示这就产生了理论与应用的矛盾：一方面人们列出了反映 客观现象的各种微分方程，建立了大量实用的数学模型；另一方面人们又无法得到这些方 程的准确解以定量地描述客观过程 计算机出现后，人们开始寻求微分方程的计算机解法，其中一种重要方法称为数值解 法，用这种方法在计算机上求解微分方程，称为数值模拟或数值仿真随着电子计算机的 出现和发展，解决上述矛盾的一门学科，即微分方程的数值方法得到了前所未有的发展和 应用虽然常微分方程数值方法的历史可以追溯到1 8 世纪，一些偏微分方程的数值方法 在上世纪初得到了研究从大方向来分，求解微分方程的数值方法主要有两种：有限差分 方法和有限元方法 1 - 5 如今，以计算数学为基础的科学计算已成为科学研究的三个基本要素之一，这三个要 素包括：科学理论，科学实验和科学计算科学计算可以大大降低科学实验的成本，为新 的科学理论的诞生奠定基础，一项技术，产品或工程的先进性也很大程度上取决于计算上 的先进性因此，计算数学在科技，经济和社会发展中必将发挥越来越重要的作用计算 数学主要包括两方面的内容：一方面是算法构造，它直接面向计算机编程；另一方面是理 1 两类发展方程的数值分析 论分析( 误差分析与效率分析) ，这是对算法计算性态的理论研究，不具备良好计算性态 的算法，其实际计算效果很可能是不佳的误差来源分为三种：替代误差( 截断误差) ， 是指用切线代替积分曲线所产生的误差；跳跃误差，是指切点从一条积分曲线跳跃至另一 曲线所产生的误差；舍入误差，是指实际计算时由于计算机字长有限所产生的误差相容 性研究的是替代误差，它是指差商代替微商所引起的误差，或称为局部截断误差；稳定性 研究的是舍入误差，它是指由于计算机字长有限所引起的数值舍入的误差；收敛性研究的 是跳跃误差，它是指由局部截断误差引起的，差分解从一条积分曲线跳跃至另一条积分曲 线上所产生的误差，或称为整体截断误差【引 非线性方程，其中包括拟线性双曲型方程( 组) ，非线性抛物型方程( 组) ，特别包括具 孤立子解的可积系统和具混沌解的非线性发展方程等这些非线性偏微分方程具有重要的 物理背景，它揭示了许多非现象的本质特性，是非线性科学的重要研究内容从偏微分方 程定性研究的角度，这些方程的研究内容具有某些共同的特性对于孤立子研究中起者重 要作用的典型方程，以k d v 方程为代表，研究非线性色散系统( 可积系统) 偏微分方程 的差分方法是求解偏微分定解问题的主要数值方法之一1 9 2 8 年c o u r a n t ，f r i e d r i c h s 与 l e w y 首先对这种方法作了完整的论述，此后电子计算机的诞生与发展为差分方法提供了 强有力的工具，促使这一学科迅速发展起来目前，对于线性偏微分方程的定解问题，差 分方法已经形成了较成熟的算法格式和软件，并能对其进行较完善的理论分析对于非线 性问题，特别是对于非线性发展方程，有效的算法及其理论分析正在发展过程中对于偏 微分方程定解问题的差分方法，主要讨论以下几个方面的问题：首先是差分格式的构造， 即方程及其定解条件的差分逼近问题；其次是差分格式的理论分析，即讨论格式的相容性 ( 局部阶段误差) ，稳定性及收敛性；然后是差分格式的求解问题，即讨论具有特殊结构 系数矩阵的大型方程组的求解 2 第一章绪论 有限差分方法的基本思想是用离散的，只含有有限个未知数的差分方程去近似代替连 续变量的微分方程及边界条件，并把相应的差分方程解作为微分方程的近似解本文第四 章考虑了具有初边值条件的r l w ( 正则长波方程) 的一个新的守恒的有限差分方法文中 对正则长波方程提出了一个三层的有限差分格式所提的格式严格保持了方程原来所具有 的守恒律，并通过泰勒展开得到了格式的截断误差；分析了每个格式的收敛性和稳定性； 证明了u n 依l o 。模收敛稳定另外格式对守恒律的保持，格式的截断误差，收敛性和稳 定性也作了相应的分析结果表明，用文中所提格式计算正则长波方程是有效的，且三层 格式具有较高的精度 1 9 4 9 年著名数学家j v o l ln e u m a n n 和r d r i c h t m y e r 对一维l a g r a n g e 形式的流体 力学方程组的数值计算进行了研究，他们在动量方程和能量方程中加入人为粘性项，这样 使得流体力学运动中引进了某种人为的耗散机构，使得激波面上的间断解变成为二个在相 当狭窄的过渡区域内急剧变化的连续的解另外由于人为粘性项是外加到方程中的，因此 要求在激波过渡区以外，“人为粘性项”的效应趋于消失，同时要求在激波区的两侧的物 理量可近似满足h u g o n i o t 条件同时激波过渡区的范围应限制在几个空间步长之内，随 着计算的进行这个过渡区不会扩大，而且过渡区移动的速度应逼近于真空的激波速度实 践表明j v o nn e u m a n n 和r d r i c h t m y e r 提出的这种人为粘性差分方法对于求解非定常 可压缩流体力学中出现多个激波，接触间断等一系列相互作用的复杂问题是相当有效的， 非常成功的这种在方程( 组) 中加入人为粘性项处理间断解的方法现已经发展成为一种 普遍采用的技巧，只是随着问题研究的深入，多种方法所采用的人为粘性项的形式有所不 同，有的方法虽然不明显的加上作为粘性的项，例如著名的l a x - f r i d r i c h 差分格式就是含 有一次粘性的差分格式按照h i r t 的理论，任何流体力学的方程组的差分格式都可以加上 带有适当选取的正的扩散系数的二阶导数项使之稳定，同时由于这些二阶导数项引进了耗 3 两类发展方程的数值分析 散，就使原来的间断解光滑化文中第四章的正则长波方程差分格式加入了人为耗散项 有限元方法是用简单方法解决复杂问题的范例冯康院士曾归纳其要点为：”化整为 零，裁弯取直，以简驭繁，化难为易其基础是变分原理及剖分插值：一方面，有限元方 法以一种大范围，全过程的数学分析即变分原理为出发点，而不是从自然规律的局部的， 瞬时的数学描述即微分方程出发，因此它是传统的r i t z g a l e r k i n 方法的变形，与经典的 差分方法不同另一方面，有限元方法又采用了分片多项式逼近来实现离散化过程，它依 赖于由小支集基函数构成的有限维子空间，其离散化代数方程组的系数矩阵是稀疏的，这 又与传统的r i t z g a l e r k i n 方法不同，而可看作是差分方法的变种有限元方法正是这两 类方法相结合而进一步发展的结果它具有广泛的适用性，特别适合几何与物理条件比较 复杂的问题，且便于程序标准化，从而适于工程应用由于有限元方法有上述优越性，它 自上世纪6 0 年代以来已作为一种独立的数值计算方法获得了迅速发展和广泛应用( 见文 献 3 - 5 ) 常用的一些单元，像三角形，矩形，六面体单元等都是形状很规则的单元对于形状 规则的连续体，用这些单元来离散可以获得比较好的结果但是，对于一些几何形状比较 复杂的连续体，再用这些单元离散就比较困难了，于是就想出了坐标变换的方法来解决这 个问题通过一一对应的坐标变换，把规则的单元转变成形状不规则的单元，就可以用它 们来离散几何形状复杂的连续体这就是等参变换和等参单元产生的原因如果单元几何 形状的变换( 也就是坐标变换) 和单元内的未知函数( 通常是位移函数) 的定义采用相同 数目的节点参数和相同的插值函数进行变换就叫等参变换相应地，采用这种等参变换的 单元就叫等参单元 等参元由泰格( t a i g ，i c ) ( 1 9 6 1 ) 和埃昂斯( i r o n s ，b m ) ( 1 9 6 6 ) 首先提出的位移模式 和坐标变换式具有完全相同的构造，即所含结点参数( 结点位移和结点坐标) 的个数彼此 4 第一章绪论 相同，采用的形状函数也相同，这就是等参元这一名称的由来对于等参单元的解释，由于 形状规则的单元( 比如三角形单元等) 在离散几何形状复杂的求解域时常常会遇到困难， 如在不规则的边缘表面很难离散，难于计算因此一种新的将形状规则的单元转化为边界 为曲线或曲面的单元被提出来了，也就是等参单元这为有限元成为现代实际领域最有效 的数值分析方法迈出了极为重要的一步当然也同时产生了超参单元和次参单元，事实上 就是坐标变换时插值的节点数1 2 1 和单元内插值函数节点数n 不同而已 有些求解问题区域的几何形状比较规则，那么采用原来的坐标进行积分运算就不是很 复杂，但是有些几何形状不规则，会使运算处理很麻烦，于是把不规则几何形状转换到一 个比较规则，比较普遍的通用的形体上，在这个形体上去研究它的性质，却不改变原来的 问题 等参单元的几何意义简而言之就是：曲边变直边等参元就是单元几何形状变换函数 和单元内位移插值函数采用相同形式这样做的好处是借助于等参单元可以对于一般的 任意几何形状的工程问题和物理问题方便地进行有限元离散因此，不管被积函数多么复 杂，都可以方便的采用足够精度的，标准化的数值积分方法计算，从而使各种复杂的情况 能够采用统一的通用化程序 等参有限元在很多时候优于标准有限元例如标准有限元法求解电磁场存在内存占用 量大及场强误差大等缺点高阶等参元法由于在剖分单元内采用高精度插值函数不仅能提 高插值精度，而且可以很好地拟合场域的曲线边界或曲线的介质分界面，有效降低了内存 占用量，使得有可能在微型机上用高阶等参有限元法求解较大型的电磁场问题 由于等参变换的采用使等参单元的刚度，质量，阻尼，荷载等特性矩阵的计算仍在前 面所表示单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂， 仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算也正因为如此，等参元已成为有限元法 5 两类发展方程的数值分析 中应用最为广泛的单元形式 在众多的偏微分方程中，r l w 方程是包含时间变数的许多重要的数学物理偏微分方 程之一，它是一个双曲一抛物型方程在孤立子理论的研究及非线性波的物理问题中， 它占据了相当重要的地位，在非常广泛的领域里得到了应用因此对该方程的研究已受到 人们的很大重视，有许多专家，学者在这方面已做了不少工作 6 - 1 4 1 本文对r l w 方程提出了两种新的数值方法，即等参有限元方法和守恒差分格式守 恒差分格式是带有人为粘性项的三层守恒差分格式，不仅精度较高，而且确保了解的光滑 化等参有限元方法对于边界不规则的区域，处理起来比标准有限元更好的模拟实际物理 背景 3 5 - 3 7 本文第二章研究一类非线性双曲型方程的交替方向有限元方法及误差估计交替方向 有限元方法具有计算量少，计算稳定且易于并行实现等优点 1 2 预备知识 定义1 2 1 若记d q u 为函数u 的o 阶广义导数，则空间w m ，。( q ) 上的范数定义 i i vj w , , , ，o o ( q ) = i i v l l m ，。，n = 珥笋i i d 。u i i 1 q l 气m 定义1 2 2 【3 】空间三2 ( q ) 上的内积和范数分别定义如下； ( u ， ) = 上乱刊z ，u ， l 2 ( q ) ， i = ( u u ) ) ，乱l 2 ( q ) 定义1 2 3 s o b o l e v 空间w m ，p ( q ) 上的范数： i 协喇= i l v l l 唧，q = 渺u i i p ) ；，1 p 8j s m 其中，当p = 2 时，s o b o l e v 空间w i n , 2 ( q ) 记作h ( q ) ，其范数记为i i 6 第一章绪论 定义1 2 4 3 1 定义s o b o l e v 空间日1 ( q ) 的子空间 明( q ) = v l v 日1 ( q ) ，v l r = o ) 其中r 表示区域q 的边界 定义1 2 5 弘u j 设h 是一个b a n a c h 空间，且它的范数记为lh ，若v ： 0 ，t 】一日 是勒贝格可测的，则定义如下范数： j l v l l 职咿= ( 小( ) 圳即炉， l i vl l l = ( o ，t ；日) = s u pl i v ( ，芒) 怕 其中上尸( o ，t ；h ) = v ： 0 ，t 】_ 日：i i v l l l p ( o ，t ；剐 0 ，有 l n 6 i 口2 + 1 4 b 2 由此，特别地有 口) i 0 是步长，则 i i e q t ( 卢+ c k h m o ) ， n k ， n h t ， 其中m o = m a x ( f 叩o i ，j 刁- j ，j 讯一1j ) 定理1 2 1 0 ( 推广的离散g r o n w a l l 不等式) 设广，g n ，h n 为定义在j = 1 ，2 ，) 上的非负离散网格函数，h n 非减，如果对扎1 ，有广+ g n h n + 风广，其中 p s o ( 0 ：ao ) ，则 s = l r i 一1 ，n + 矿h e x p ( p 。) j = 1 注记1 2 1 1 多层差分格式：( m u l t i l e v e ld i f f e r e n c es c h e m e s ) 差分格式的一种，指联 系多于两个时间层上格点的解值的差分格式例如近似一维扩散方程 o ua 2 u c o t2 仃0 2 t v 的差分格式 趁二二笙趁二：仃兰型二兰堡：! 垡 7 2 是三层格式，为使用这一格式，除初值u o j 外尚需由其他方法，例如幂级数展开等，计算 出t = 丁时刻的格点函数值“j 才能开始计算，多层格式一般具有较高的精度 注记1 2 1 2 差分格式局部截断误差( 1 0 c a lt r u n c a t i o ne r r o ro faf i n i t ed i f f e r e n c e s c h e m e ) 度量微分方程的光滑解对一个差分格式近似程度的量一般的，微分方程的解不 精确满足用以近似它的差分格式，将微分方程的充分光滑解代入一个差分格式，并将差分 格式中所有的项在适当格点作带有余项的t a y l o r 展开，再利用微分方程将展开式化简，就 会得到一个误差项，这个误差项反映了微分方程的解满足差分格式的程度，称为局部截断 误差简言之，局部截断误差是在各网格点上，用差分方程代替微分方程所产生的误差 8 第一章绪论 注记1 2 1 3 差分格式的稳定性( s t a b i l i t yo faf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e ) 偏微分方程 数值解法概念之一，指差分格式误差传播的性态初值问题的差分方法的计算是按时间顺 序，以步进方式实现的即利用如及以前时刻的已知函数值，计算t n + 时刻的格点函数 值，依次向前推进在这以推进过程中，初始误差及每步计算引进的舍入误差均会向以后 的时刻传播，这一积累误差是否可以保持有限，亦或按步数礼的某一幂次增长，还是随时 间增加以指数方式恶性放大是表征差分格式的一个重要性质，这一性质就是差分格式的 稳定性只有稳定性的格式才有实际价值，当以不稳定的格式进行计算时，误差会很快掩 盖真相，导致计算失败 注记1 2 1 4 差分格式的收敛性( c o n v e r g e n c eo faf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e ) 偏微分 方程数值解法之一指差分方程解与其所近似的微分方程解之间的关系，令( z ，t ) 是差分 方程求解区域中的一个定点，u ( x ，t ) 表示微分方程在该点的精确解，适当选取一差分网 格序列 k z ) 及 t ) ( 尼= 1 ，2 ，) ，使k 趋于无穷时，a k x 及a k t 趋于零相应选 取整数序列 九) 及1 仉) ，使同时有j k a k x _ x ，n k a k t _ t 以u 警记差分方程在格点 ( a a k x ，a k t ) 上的解，若a k x ，a k t 趋于零时，让凳一u ( x ，t ) 也趋于零，则称此差分格式 是收敛的或者说，此格式是相应微分方程的一个收敛近似，当网格间距足够小时，收敛 近似的解可以作为微分方程的近似解 9 第二章一类非线性双曲型方程的交替方向有限元格式及误差估计 第二章一类非线性双曲型方程的交替方向有限元格式及误差估计 2 1引言 d o u g l a s 和d u p o n t 3 8 】在分析交替方向差分格式的基础上，提出线性双曲型方程的交 替方向有限元方法，并给出了它的收敛性估计，但没有对非线性问题和方程组问题给出分 析袁益让【3 9 】研究了一类非线性双曲型方程混合问题的有限元方法的稳定性和收敛性， 并且分别讨论了连续时间和离散时间的有限元逼近但计算过程中，我们必须对每个时间 层形成各自的刚度矩阵，然后求解线性方程组，具有庞大的计算量，这是非常耗时的，尤 其对高维问题和方程组问题f e r n a n d e s 和f a i r w e a t h e r 4 0 j 亦仅研究了线性抛物型方程和 双曲型方程的交替方向有限元方法 本章在上述工作的基础上，考虑到很多生产实际问题均是非线性双曲型方程的形式， 提出非线性双曲型方程的交替方向有限元方法，使它既具有较少的计算量，又具有较高的 精确度，是一类实用的工程计算方法应用先验误差估计的理论和技巧，得到收敛性估计 和稳定性分析结果，使计算格式具有坚实的理论基础 考虑如下非线性双曲型方程的初边值问题： u 一喜2 备2 瓦0 ( n 文z m 瓦c q u ) 一26 如川差= f ( x , u , v u ) ( 州) q ( 。，t 】( 2 - 1 ) u ( x ，0 ) = u o ( x )u t ( x ，0 ) = u l ( x )z q ，( 2 - 2 ) u ( x ，t ) = 0 ( z ，t ) a q ( 0 ，t 】 ( 2 - 3 ) 其中q 是r 2 中的具有光滑边界的有界区域，且q = a ，6 】 c ，翻这里厂，u 0 ，u l 为已 知函数，对任意的( z ，u ) q r ，我们对上述问题作如下假设： ( i ) 啦，j ( ，) c z ( q r ) ； a i j ( z ，) i c 。，瓦o a i j ，刁0 2 万a i j 均有界，n 巧( z ，u ) = 。( z ，u ) ， 。t j ( x ，u ) n r j c o 卅，r r 2 ； ( i i ) b i ( z ，u ) 和i o b 矿i ( x , u ) l 有界； ( i i i ) f 关于u 和v 乱均满足l i p s c h i t z 条件且为有界函数，o a i i j ( - z , 一u ) 关于u 满足l i p s c h i t z d u 两类发展方程的数值分析 引进下述记号： w a i j ( x dxl1 ， ，u ，) = ，p ) i 石， i = j = j n l ，山il ，山j b ( p ，q ，g )= 上娄坼川毫夕如 2 2 交替方向有限元格式 设u = u ( x ，t ) 是( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的广义解，u ( t ) h o ( q ) ，础( q ) = u h 1 ( q ) ，u l o a = o ) ， ，a 2 u、 l 丽夕 - t - a ( u ，饥，口) = ( f ( x ，u ，v u ) ，v ) + b ( u ，u ，v ) t ( 0 ，卅，u h 0 1 ( q ) ，( 2 4 ) ( 乱( o ) ，v ) = ( u 0 ，u ) ， ( 掣，钞) 地吐 ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) 对空间q 进行单元剖分，h 为剖分单元的最大直径s h ( f 1 ) = s ha ，6 】qs h c ，d 】，其 中s ha ，6 】与鼠c ，明分别为明a ，纠，明c ，d 的有限维空间鼠( q ) 是明( q ) 的有限维 子空间，满足如下逼近性质【4 1 ：对任意的u h 仇+ 1n 田( q ) ，有： i 甄n f ( q ) l l u - v l i + h l l 乱- v i i l ) c 九m + 1 | l u l l 仇十l 设m = 圈，= j 7 ，j = 0 ，1 ，2 ，3 m 对v w ( x ，) ，引进记号： w = w ( x ，t j ) ， o t w j ：d t w j 丁 或o d t w j = + 1 一w j w j + 1 2 w j 上w j 一1 7 2 下面给出解( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的交替方向有限元格式：求u 1 鼠( q ) ，使 1 2 2 ( 钟u ”，钉) + n ( 沪，n ，t ，) + 口 i = 1( u n + l - 2 u n - - u n - 1 ) ，差) 第二章一类非线性双曲型方程的交替方向有限元格式及误差估计 a ( u o ，u o u o ，v ) = 0 ， a ( u + ，u 1 一u + ， ) = 0 o x i o x j v v 瓯( q ) ， 这里u + = o + r u o + 虿r 2 u 0 彬 设 q p ( z - ) ) 磐1 是s h a ，6 】的基底， 岛( z 。) ) 器。是既 c ，明的基底，对任意的u ” 可表示为 u n ( x 2 ) = q p ( z ) 风( z 2 ) p口 令v = q i ( z 1 ) 岛( z 2 ) ，并记： q 咖= 6 q 。( z 。) ( z 。) d z 。， b j q d 荆荆慨 ( 2 7 ) 两边同时乘以7 2 可以写成： q ：p = 6 石d o t i 鲁帆 屯= k d 3 3 2 d 蚍1 3 q d x 2 ( a i p + o r 2 q ：p ) ( g + o r 2 b j 。) 错1 p口 = e ( o r i p + 针2 “巾t ) ( 幻q + o r 2 b j 。) ( 2 锔一箝1 ) p口 一q ( - 风，岛q p 岛，岛) 丁2 + 莩莩岛v ( 节刚期0 丁2 岛，蜀风，岛) 丁2 p口 记右端项为r 3 ，则( 2 1 0 ) 可以写成： ( q 硒+ 升2 q ：p ) 搿1 = 弼， p ( 幻。+ 臼丁2 嘭。) 嚣1 = 虿1 g ( 2 7 ) ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) 瓯( q ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 2 ) 两类发展方程的数值分析 ( 2 1 1 ) 仅在z 1 方向上求解，( 2 1 2 ) 仅在x 2 方向上求解 易知( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 的系数矩阵均对称正定，因而其解存在且唯一 2 3 误差估计 引进椭圆投影：求p h u s h ( q ) ，t 【0 ，t 】满足： a ( u ，u p h u ，v ) = 0 ， 引理2 3 1 【4 】如果( i ) ( i i ) ( i i i ) 满足，对任意 r u 忆m ，l v v s h ( q ) u 日m + l ，当p = 2 ，。o 8 = 0 ，1 有 忖眦巾警| i l o o 一致有界且 u p u l i l ，( 日。) + i i ( u r u ) l i l ，( h s ) + i i ( u r 让) t i i l r ( 日。) c h m + 1 8 定理2 3 2 设u 是( 2 4 ) - ( 2 6 ) 的解，u h 仇+ 1n 明( q ) ，u n 是( 2 7 ) 一( 2 9 ) 的解， e n = u n 一钆( k ) ，在引理2 3 1 和条件( i ) ( i i ) ( i i i ) 下，存在不依赖于7 和h 的正常数c ，使 d 。e 竹一钏：+ l i e n 旧+ 丁4 o ( d ：e n 一 ) a z l a z 2 2 0 c ( 丁4 + h 2 m ) 佗7 - t 证明：记u n u ( t n ) = u n p h u ( t n ) + g u ( t n ) 一u ( t n ) = p + 矿 ( 2 4 ) 式在t n 可以写成： 1 4 2 ( 魏：钆n ，u ) + o ( u n ，u n ，u ) + p i = 1 + 口2 7 2 a z l a z 2 ( 瓦0 n + l , l n - 1 ) ，老) ( u n + 1 2 u 几+ 让n 一1 ) = ( 厂( z ，u n ，v u n ) ，v ) + ( r n ，v ) + 0 + 0 2 7 2f ，风， i o x l o x 2 0 2 v a z l a z 2 喜( ，老) 。1 ) + 6 ( 乱n ，牡n ， ) ( 2 1 3 ) 第二章一类非线性双曲型方程的交替方向有限元格式及误差估计 其中 =土jf一rrn 6 7 - 2 ，( 丁一2 一j 一，【丁一 30 4 u ( t n + z ) q 饥二鑫( 1 地n + 风= 如1 如2 疣4 u n 一1 1 = d z ； ( 丁刊i ) 笔铲蛔 ( u 时1 2 u n + u n 一1 ) = 由( 2 7 ) ( 2 1 3 ) 式得误差方程： ( 侥。n ，口) + a ( v n ，n ， ) + 曰 + 口2 7 - 2 砒1 0 x 2 卜h ，筹搿如 萎2 0 + 1 c - 1 ，是) ( n + 1 2 荨“+ n 一1 ) 0 2 v o x l 沈2 = ( f ( x ，u n ，v u 几) 一，( z ，u n ，v u 几) ， ) 一( 侥z 矿，v ) + a ( u n ，u n ，v ) 一a ( u ”，u n ，可) 一a ( u n ，矿，u ) 一目喜( 丢c 矿1 2 矿+ 扩飞老) 一孵2 ( 吨川一口娄( ，差) 下面对( 2 1 4 ) 式各项进行估计 取检验函数 p z 丁。f 风， 0 2 v o x l o x 2 o x l 如2 ( 7 1 n + 1 2 7 n + 矿1 ) a z l a z 2 ) + 6 ( u 几，u 竹， ) 一6 ( 7 n u n u ) ( 2 - 1 4 ) u = 竹+ 1 一f n = d t n + 也n 一= 丁( a 竹+ a n - 1 ) ( a ：n ，秽) = c + 1 _ 2 n + c - 1 = l l a p i l 2 一l l a f n 11 1 2 ，u ) = ( a n ，侥f n ) 一( a 荨r t - - 1 侥n 1 ) ( f ( x ，u n ，v n ) 一f ( x ，u n ，v u n ) ，口) i c ( 1 l n i l l + 1 1 , 7 几i i , ) l l v c 7 一( i i 竹畸+ 1 1 , 1 n 旧4 - l i a n | 1 24 - l i 侥n - 1 1 1 2 ) a ( u n ，n ，u ) = o ( u n ，n ，n + 1 ) 一o ( u n ，n ，n 1 ) = o ( u “，p ，舛1 ) a ( u 驴1 ，肛1 ，p ) + a ( u 肛1 ，p 1 ，p )一a ( u n ，p ，n - - 1 ) 1 5 两类发展方程的数值分析 a ( v n ，几，f n 一1 ) 一a ( v n 一1 ，n ，几。1 ) i c ( i f “旧+ i i f n 一1 旧) 令a = a ( u n ，u n ，v ) 一a ( u n ，u n ，v ) 则 这里 a = n ( u 仃，u 几，也n ) 一a ( u n ，札n ，吨n ) 】+ a ( u n ，u 几，也n 一1 ) 一a ( u n ，u n ，d 。n 一1 ) = a 1 + a 2 a 1 = d r ( a ( u n ，u n ，p ) 一a ( u n ，u n ，p ) ) 2 2 一fr t 乙一乙 i = lj = 1上以( 吲删卜( x ，u n ) ) 22 一下 i = 1j = 1上( ( 础卜n 水妒) ) = a i l + a ( 2 + a ( 3 由多元函数中值定理有下述等式： 其中 d t 口巧( z ，乱几) 一a i j ( x ，u n ) 】 o u n + 1必n “， ：一a z o x j o ( o u n ) 联叶1 o x i 8 茁j d x = 磐( 1 坩) 一磐( u n + l _ u n ) = 一“卅制u t m - u ) ( p o a i 5 一堕o u ) o 玉= n 巧( z ，u n + ( 1 一) u n + 1 ) ， 0 t n 1 o 云= a i j ( x ，u n + ( 1 一) u 叶1 ) ， a i 2 i c 丁( i i a n 1 1 + i l a , , 7 “i i ) 1 1 “州i i 。+ c - , - ( 1 l , f 几i | + 1 1 , 7 n i i + i k n + 1 i i + 1 1 , 7 几十1 i i ) 1 1 , 享n + 1 lj 。 c 7 ( 1 l n l l 2 - 4 - 1 1 , 7 n i l 2 + | l n + 1 旧+ 1 1 , 7 n + 1 旧- t - - i i 侥n i l 2 - - i - l i o , , 7 n l l 2 ) ， a i 3 i c 7 ( 1 k n i l 2 + 1 1 , 1 “1 1 2 + i 陪n + 1 惦) 1 6 这里 第二章类非线性双曲型方程的交替方向有限元格式及误差估计 a 2 = d t o ( u n ，u n 几一1 ) 一a ( u n ，钆n ，n 一1) 】筹挚 u n ) a 。a “x 1 一tp 。a ”x n j d z a 孑c 丁( | | n i i z - 4 - 1 1 , 7 n | 1 2 + i i n + 1 1 2 + i 陪“旧+ i i 矿+ 1 1 1 2 - i - i l a , n i l 2 - i - - i l a , , 7 n i | 2 ) ， a c - , - ( 1 l f 凡i i z - i - 1 1 , 7 n i l 2 + i i 竹旧) 因为r n = 0 ( 下2 ) ，q i 几= 0 ( 丁2 ) ，风= 0 ( 下2 ) 所以 而且 - i - 慨p 1 1 2 + 7 4 ) ， c ( - , - 4 - i - | | f n + 1i i ；- 1 - i i n 一1l i ；) ， c l 糌o xo x 2 | i i ) 1 1 0 b ( u 几，u n ，v ) 一6 ( 乱n ，u n ，v ) = 6 ( u n ，n ，u ) + b ( u n ，矿，u ) + b ( u n ，u n ，可) 一b ( u n ，u “，v ) = 6 ( u n ，f n ， ) + b ( u n ，u n ，v ) 一b ( u n ，让n ，口) + b ( u n ，7 7 竹，u ) 一u l n + 哪 i b ? i c ，- ( 1 l a , e n i l 2 + i l 魏n - 11 1 2 - 4 - ij n 旧- i - - 1 1 , 7 ”jj 2 ) ， l 毋i _ c ( 1 l e 1 1 1 2 + 妒- 1 i | 2 - t - f 1 , 7 几