（运筹学与控制论专业论文）on+resolvable+packing+rmp（33v）and+covering+rmc（33v）.pdf

中文摘要 设v ，a 为给定的正整数，k 为给定的正整数集。口= ( u 嚣) 为一个二元组，其 中y 为一个v 元点集，8 为y 的子集族。8 中的元素称为区组，并且对任意b 舀都 有l 引k 。若y 中任意一个点对至多( 至少) 包含在8 中的a 个区组中，则称d 为 一个填充( 覆盖) ，并记为p ( k ，a ，口) ( c ( k ，a ，口) ) 。 对任意点对e = z ，以，z y ，令( e ) 表示含e 的区组数。根据填充和覆盖的定 义，它们的边集是一个多重图g ，它的点集为y ，边e 的重数即为w ( e ) 。由所有的 边e 生成的重数为a w ( e ) ( 伽( e ) 一a ) 的多重图称为此填充( 覆盖) 的边剩余( 边 超越) 。 点集y 的划分称为平行类。若一个填充( 覆盖) 的区组集可以分解为平行类， 则称它是可分解的。本文我们主要研究以下填充( 覆盖) 。 设口。，a 为给定的正整数，且口三k 一1 ，0 或1 ( m o d 后) 。一个可分解的最 大填充( 最小覆盖) r m p ( k ，a ，t ，) ( r m c ( k ，a ， ) ) 就是一个可以分解成最大( 最 小) 可能数量m f t ，) 个平行类的可分解的填充( 覆盖) ，并且它要满足以下三个条 件：1 各平行类互不相同；2 每个平行类都包含i 扣一k + 1 ) k 1 个七长的区组和一 个 k 1 0 一k + 1 ) k i 长的区组；3 此填充( 覆盖) 的边剩余( 边超越) 是一个 简单图。 这种设计可以用来构造统计中的某些一致设计，而这类一致设计可以广 泛应用于工业，系统工程，制药学等自然科学领域中。因此，研究这种特 殊的填充( 覆盖) 具有一定的理论价值和应用价值。在本文中，我们将利 用f r a m e ，k i r k m a n 三元系大集，可分解的可分组设计，不完全填充( 覆盖) 设 计等来递推构造，同时我们也将利用计算机来辅助构造一些小的设计，从而证明 了对所有满足必要条件的u 值，都存在r m p ( 3 ，3 ，口) 和a m c ( 3 ，3 ， ) ，除了一个例 外r m p ( 3 ，3 ，6 ) 。 关键词：一致设计；可分解；填充；覆盖；f r a m e v a b s tr a c t l e t 口a n dab ep o s i t i v ei n t e g e r s ap a c k i n g ( r e s p c o v e r i n g ) p ( ka ， ) ( r e s p c ( ea ，口) ) i sa no r d e r e dp a i r ( kb ) w h e r ev i sav - s e to fp o i n t s ，a n dbi sac o l l e c t i o n o fs u b s e t so fvw i t hs i z e sf r o mk ，c a l l e db l o c k s ，s u c ht h a te a c hp a i ro fp o i n t so fv o c c u r 8a tm o s t ( r e s p a tl e a s t ) at i m e si nt h eb l o c k s f o ra n yp a i re ： z ， o fd i s t i n c tp o i n t s ，l e t 螂( e ) b et h en u m b e ro fb l o c k s c o n t a i n i n ge t h el e a v e ( r e s p e x c e 8 8 ) o fap a c k i n g ( r e s p c o v e r i n g ) p ( k ，a ，v ) ( r e s p c ( k ，a ，u ) ) i st h em u l t i g r a p hs p a n n e db ya l lp a i r seo fd i s t i n c tp o i n t sw i t h m u l t i p l i c i t ya w ( e ) ( r e s p w ( e ) 一a ) ap a c k i n g ( r e s p c o v e r i n g ) i sc a l l e dr e s o l v a b l ei fi t sb l o c ks e ta d m i t sa p a r t i t i o n i n t op a r a l l e lc l a s s e s ，e a c hp a r a l l e lc l a s sb e i n ga p a r t i t i o no ft h ep o i n ts e tv d e n o t e b yr p ( k ，a ；口，m ) ( r e s p r c ( j ta ；口，m ) ) ar e s o l v a b l ep a c k i n g ( r e s p c o v e r i n g ) p ( k ，a ，v ) ( r e s p c ( k ，a ，口) ) w i t hmp a r a l l e lc l a s s e s l e t 口三k 一1 ，0o r1 ( r o o d 南) a nr m p ( k ，a ，秽) ( r e s p r m c ( k ，a ，盯) ) i sa 静 s o l v a b l ep a c k i n g ( r e s p c o v e r i n g ) w i t hm a x i m u m ( r e s p m i n i m u m ) p o s s i b l en u m b e r m ( v ) o fp a r a l l e lc l a s s e sw h i c ha r em u t u a l l yd i s t i n c t ，e a c hp a r a l l e lc l a s sc o n s i s t so f 【 一后+ 1 ) 纠b l o c k s o f s i z ek a n d o n e b l o c k o f s i z e 口一惫【扣一+ 1 ) 副，a n d i t s l e a v e ( r e s p e x c e s s ) i sas i m p l eg r a p h s u c hd e s i g n sw e r ef i r s ti n t r o d u c e db yf a n ga n d y i n t h e yh a v ep r o v e dt h a tt h e s ed e s i g n sc a nb eu s e dt oc o n s t r u c tc e r t a i nu n i f o r m d e s i g n sw h i c hh a v eb e e nw i d e l ya p p l i e di ni n d u s t r y , s y s t e me n g i n e e r i n g ，p h a r m a - c e u t i c s ，a n dn a t u r a ls c i e n c e i nt h i sp a p e r ，w es h a l lp r e s e n ts o m en e wr e c u r s i v e c o n s t r u c t i o n sf o rt h e s ed e s i g n sf r o ms o m ek n o w nd e s i g n ss u c ha sf r a m e s ，l a r g es e t s o fk i r k m a nt r i p l es y s t e m ，r e s o l v a b l eg r o u pd i v i s i b l ed e s i g n sa n di n c o m p l e t er m p s ( r m c s ) ，a n dw ea l s og i v es o m ed i r e c tc o n s t r u c t i o n sf o rs m a l lo r d e r sb yc o m p u t e r t h ee x i s t e n c eo fa nr m p ( 3 ，3 ，秽) a n da nr m c ( 3 ，3 ，口) i sp r o v e df o ra n ya d m i s s i b l e 口e x c e p tf o ra nr m p ( 3 ，3 ，6 ) k e yw o r d s ：u n i f o r md e s i g n ；r e s o l v a b l e ；p a c k i n g ；c o v e r i n g ；f r a m e w 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实，创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰 写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学位 论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： a c k n o w l e d g e m e n t s 1w o u l dl i k et oe x p r e s sm yh e a r t f e l tg r a t i t u d et oa l lt h o s ew h oh a v eo f f e r e dm e h e l pa n de n c o u r a g e m e n ti nt h ep r e p a r a t i o no ft h i st h e s i sa n di nm yp o s t g r a d u a t e s t u d yp e r i o d i dl i k et ot h a n kp r o f e s s o rh a i t a oc s o ，m ys u p e r v i s o r d u r i n gm yt h r e e - y e a r p o s t g r a d u a t es t u d i e s ，h ep r o v i d e dm ew i t ha s u b s t a n t i a la m o u n to fh e l pa n ds u g g e s - t i o n s i ti sh i mw h o t a u g h tm eh o w t od or e s e a r c h i nt h ep r e p a r a t i o no fm y t h e s i s ， h eh a ss p e n tm u c ht i m er e a d i n gt h r o u g he a c hd r a f to fm yt h e s i sa n dg i “n gm em a n y i n s p i r i n gs u g g e s t i o n s ，t h i 8t h e s i sw o u l dn o th es u c c e s s f u lw i t h o u th i sh e l p i 锄a l s ot h a n k f u lt op r o f e s s o rx u e b i nz h a n g p r o f e s s o rz h i r e ns u n p r o f e s s o r x i n p i n gx u ，p r o f e s s o rx i n g h ez h o u ，a n do t h e rs c h o l a r sf r o mw h o s ed e v o t e dt e a c h i n g a n de n l i g h t e n i n gl e c t u r e sih a v eb e n e f i t e dal o ta n da c a d e m i c a l l yp r e p a r e df o rt h e t h e s i s ia l s oo w em yt h a n k st om yc l a s s m a t e sh a i p i n gz h o u ，l iw a n g ，x i a o l a nm i ， x i u r o n gd a j ，p e i z h o n gc h e r ta n dm y 在i e n d sm e ix u e ，q i o n gw u ，x i a o x i nz h u ， z h o n g y il i u t h e yh a v eg i v e nm ep r e c i o u sa d v i c eo i ls t u d ya n dg r e a th e l pi nm y l i f e f i n a l l y , 1w i s ht ot h a n k sm yp a r e n t sf o rt h e i ru n e n d i n gs u p p o r ta n de a g e r n e s s t o l o v e n l 、) l m y a n a p r i l ，2 0 0 7 1 i n t r o d u c t i o n l e t 口a n dab ep o s i t i v ei n t e g e r s ap a c k n g ( r e s p c o v e r i n g ) p ( k ，a ，口) ( r e s p c ( k ，a ， ) ) i s8 1o r d e r e dp a i r ( u8 ) w h e r ev i sav - s e to fp o i n t s ，a n d 口i sac o l l e c t i o n o fs u b s e t so fvw i t hs i t a * f r o mk ，c a l l e db l o c k s ，s u c ht h a te a c hp a i ro fp o i n t so fv o c c u r sa tm o s t ( r e s p a tl e a s t ) at i m e si nt h eb l o c k s f o ra n yp a i re = 扛，於o fd i s t i n c tp o i n t s ，l e tw ( e ) b et h en u m b e ro fb l o c k s c o n t a i n i n ge t h el e a v e ( r e s p e x c e 8 $ ) o fap a c k i n g ( r e a p c o v e r i n g ) p ( k ，a ，口) ( r e s p c ( k ，a ，口) ) i st h em u l t i g r a p hs p a n n e db ya l lp a i r seo fd i s t i n c tp o i n t sw i t h m u l t i p l i c i t ya w ( e ) ( r e s p w ( e ) 一入) a p a c k i n g ( r e a p c o v e r i n g ) i sc a l l e dr e s o l v a b l ei fi t sb l o c ks e ta d m i t sap a r t i t i o n i n t op a r a l l e lc l a s s e s e a c hp a r a l l e lc l a s sb e i n gap a r t i t i o no ft h ep o i n ts e tv d e n o t e b yr p ( j 0a ；口，m ) ( r e s p r c ( k ，a ； ，m ) ) ar e s o l v a b l ep a c k i n g ( r e s p c o v e r i n g ) p ( 五a ，口) ( r e s p c ( k ，a ，u ) ) w i t hmp a r a l l e lc l a s s e s l e t 口三七一1 ，0o r1 ( r o o d ) a nr m p ( k ，a ，t ，) ( r e s p r m c ( k ，a ，口) ) i sa 渺 s o l v a b l ep a c k i n g ( r e s p c o v e r i n g ) w i t hm a x i m u m ( r e s p m i n i m u m ) p o s s i b l en u m b e r m ( v ) o fp a r a l l e lc l 越 s e sw h i c ha r em u t u a l l yd i s t i n c t ，e a c hp a r a l l e lc l a s sc o n s i s t so f 【 一k + 1 ) k jb l o c k so fs i z e 七a n d o l l eb l o c ko fs i z e 一kl ( v k + 1 ) k j ，a n d i t s l e a v e ( r e s p e x c e 8 8 ) i sas i m p l eg r a p h s o m es i m p l ec o m p u t a t i o ns h o w s ： l e m m a1 1 巧t h e r ee x i s t sa nr m p ( k ，a ，口) ，t h e nm ( v ) 仃【口) w h e r e i 【眢j 口三o ( m o d 后) n ( ”) 2 【端j ”三l ( 删后) 【盎j 口三k 一1 ( 删后) l e m m a1 2 可t h e r ee x i s t sa nr m c ( k ，a ，f ) ，t h e nm ( v ) n ( v ) w h e r e i f 眢 口三0 ( 删后) 礼( ) 2 盟( k - 1 ) v + k + 1 1 1 口三1 ( m o d 后) 【f 啬 口三七一1 ( 刺后) r m pa n dr m cw e r ef i r s ts t u d i e db yf a n ge t ci n1 6 ，7 】t h e yh a v ep r o v e dt h a t t h e s ed e s i g n sc a l lb eu s e dt oc o n s t r u c tc e r t a i nu n i f o r md e s i g n si ns t a t i s t i c sw h i c h h a v eb e e nw i d e l ya p p l i e di ni n d u s t r y , s y s t e me n g i n e e r i n g ，p h a r m a c e u t i c sa n dn a t u r a l s c i e n c e t h e o r e m1 3 ( m ) s u p p o s en ，k ，aa n dma r ep o s i t i v ei n t e g e r sa n dn 三r ( m o dk ) w h e r er o ，1 ，k 一1 ) t h e n ef a c t o r i a ld e s i g nd e r i v e d 加ma nr 朋p ( k ，a ，n ) ( r e s p r m c ( k ，a ，n ) ) t 历坊m 妒吲纠c 沁s e s 妇口咖md e s i g n 砜( 口“) ，w h e r e 口= 【n k + 1 ) k j + 1 w h e nk = 3a n da 1 ，2 ，t h ee x i s t e n c eo fa nr m p ( 3 ，a ，口) o rr m c ( 3 ，a ，口) h a sb e e ns o l v e df o re v e r yp o s i t i v ei n t e g e rt ，w i t hf i v ep o s s i b l ee x c e p t i o n s 【1 ，2 ，3 ， 4 ，7 ，1 4 ，1 6 ，1 8 ，1 9 ，2 1 t h e r ea r ea l s o8 0 m ek n o w nr e s u l t so nr m p ( 4 ，a ，v ) a n d r m c ( 4 ，a ，v ) f o ra l ，2 ) 【2 ，7 ，8 ，1 0 ，1 2 ，1 5 t h e o r e m1 4 ( 【1 ，2 ，3 ，4 ，7 ，1 4 ，1 6 ，1 8 ，1 9 ，2 1 ) t h e r ee z i s t sa nr m p ( 3 ，a ，t ，) a n d a nr m c ( 3 ，a ，口) f o re a c ha d v i s a b l e 口w h e na 1 ，2 ) ，w i t ht h ep o s s i b l ee x c e p t i o n r f p ( 3 ，a ， ) ，( a ，口) ( 1 ，1 9 ) ，( 2 ，1 3 ) ) a n dr m c ( 3 ，a ，口) ，( a ，口) ( 1 ，1 6 ) ，( 2 ，l o ) ， ( 2 ，1 3 ) t h e o r e m1 5 ( 【2 ，7 ，8 ，1 0 ，1 2 ，1 5 ) t h e r ee x i s t s ： j a nr m p ( 4 ，1 ，口) a n da nr m p ( 4 ，1 ，v - - 1 ) w h e n 口三0 ( m a d4 ) t ，i 冼3e x c e p t i o n s a n d1 8p o s s i b l ee x c e p t i o n s 2a nr m p ( 4 ，1 ，口) o r 口三1 ，5 ( m a d1 2 ) 埘地s o f n ep o s s i b l ee x c e p t i o n s , 舅a n r m p ( 4 ，2 ，口) w h e n 口兰3 ( m a d1 2 ) a n d 口9 9 ， 4 a n r m c ( 4 ，1 ，口) a n da nr m c ( 4 ，1 ，v - 1 ) w h e n ”三0 ( m a d4 ) e x c e p t f o r = 1 2 a n dp o s s i b l ye x c e p t o r 口 1 0 4 ，1 0 8 ，1 1 6 ，1 3 2 ，1 5 6 ，1 6 4 ，2 0 4 ，2 1 2 ，2 2 8 ，2 7 6 i nt h i sp a p e r ，w es h a l ld e a lw i t ht h ee x i s t e n c eo fa nr m p ( 3 ，3 ，秽) a n da nr m c ( 3 ， 3 ，口) f o re v e r yp o s i t i v ei n t e g e r d i r e c ta n dr e c u r s i v ec o n s t r u c t i o n sa r ed i s c u s s e df o r t h e s ed e s i g n s t h ee x i s t e n c eo fa nr m p ( 3 ，3 ，口) a n da nr m c ( 3 ，3 ，口) w i l lb ep r o v e d f o ra n y i n t e g e r 口25 ，e x c e p tf o rr m p ( 3 ，3 ，6 ) t h e o r e m1 6t h e r ee z 妇t sa nr m p ( 3 ，3 ，”) a n da nr m c ( 3 ，3 ，口) f o re a c h 口5 e x c e p tf o ra nr m p ( 3 ，3 ，6 ) 2 2 p r e l i m i n a r i e s i nt h i ss e c t i o nw es h a l ld e f i n es o m eo ft h ea u x i l i a r yd e s i g n sa n de s t a b l i s hs o m e o ft h ef u n d a m e n t a lr e s u l t sw h i c hw i l lb eu s e dl a t e r t h er e a d e ri sr e f e r r e dt o 5 5f o r m o r ei n f o r m a t i o no nd e s i g n s ，a n d ，i np a r t i c u l a r ，g r o u pd i v i s i b l ed e s i g n sa n df r a m e s l e tkb eas e to fp o s i t i v ei n t e g e r s ag r o u p d i v i s i b l ed e s i g n ( k ，a ) 一g d di sa t r i p l e ( z ，g ，8 ) w h i c hs a t i s f i e st h ef o l l o w i n gp r o p e r t i e s ： 1 疋i sa f i n i t e s e to fp o i n t s 2 gi sap a r t i t i o no f 疋i n t os u b s e t sc a l l e dg r o u p s 3 8i sac o l l e c t i o no fs u b s e t so fzw i t hs i z e sf r o mk ，c a l l e db l o c k s ，s u c ht h a t e v e r yp a i ro fp o i n t sf r o md i s t i n c tg r o u p so c c n i - 8i ne x a c t l yab l o c k s ，a n d 4 n op a i ro fp o i n t sb e l o n g i n gt oag r o u po c c u r si na n yb l o c k a ( k ，a ) - g d d ( 疋，9 ，b ) i sr e s o l v a b l ei ft h eb l o c k so fbc a nb ep a r t i t i o n e di n t o p a r a l l e lc l a s s e s w h e nk = 七 ，w ew r i t e ( k ，a ) 一g d da s ( k ，a ) 一g d d f u r t h e r ，w e d e n o t e ( k ，1 ) 一g d da 8k - g d da n d ( k ，1 ) 一g d da sk - g d d t h et y p eo f t h eg d d ( z ，g ，b ) i s t h em u l t i s e to fs i z e si g j o f t h eg 9a n dw e u s u a l l yl l s et h e “e x p o n e n t i a l n o t a t i o nf o ri t sd e s c r i p t i o n ：t y p el i 2 ，3 d e n o t e s io c c u r r e n c e so fg r o u p so fs i z e1 ，jo c c u r r e n c e so fg r o u p so fs i z e2 ，a n ds oo n a n r b ( v ，k ，a ) i sar e s o l v a b l e ( k ，a ) 一g d do ft y p e1 ”at r a n s v e r s a ld e s i g nt d ( k ，扎) i sa k - g d do ft y p e 舻i ti sw e l lk n o w nt h a ta t d ( k ，n ) i se q u i v a l e n tt ok 一2m u t u a l l y o r t h o g o n a ll a t i ns q u a r e so fo r d e r 几 a ( k ，x ) - y m m ei sag d d ( 2 ，g8 ) i nw h i c ht h ec o l l e c t i o no fb l o c k s 层c a nb e p a r t i t i o n e di n t oh o l e yp a r a l l e lc l a s s e s ，e a c hh o l e yp a r a l l e zc l a s sb e i n gap a r t i t i o no f z 嘭f o rs o m eq g t h eg r o u p si na ( k ，a ) - f r a m e a r eo f t e nr e f e r r e dt oa sh o l e s a u n i f o r mf r a m ei saf r a m ei nw h i c ha l lg r o u p sa r eo ft h es a m es i z e a ( 3 ，a ) 一f r a m e i sa l s oc a l l e dak i r k m a nf r a m ew i t hi n d e xa i na ( 3 ，a ) 一f r a m e ，i ti sn o td i f f i c u l t t op r o v et h a tt oe a c hg r o u p 岛t h e r ea r ee x a c t l ya l g j i 2h o l e yp a r a l l e lc l a s s e st h a t p a r t i t i o nz g j ad e s i g ni sc a l l e ds i m p l ei fa l l i t sb l o c k sa r ed i s t i n c t f r o m 2 2 ，w eh a v et h e f o l l o w i n gr e s u l t sf o rs i m p l e ( 3 ，2 ) 一f r a m e sa n ds i m p l e ( 3 ，3 ) 一f r a m e s 3 t h e o r e m2 1 ( 1 ) t h e r ee x i s t sas i m p l e ( 3 ，2 ) - f r m e 巧t y p et “矿a n do n l yi f u 4 a n dt ( u 1 ) 三0 ( r n o d3 ) ( 2 ) t h e r ee x i s t sas i m p l e ( 3 ，3 ) - f r a m eo ft y p e 俨i fa n d o n l ui l u 4 ，ti se v e na n d t ( u 一1 ) i0 ( m o d3 ) t h em a i nt e c h n i q u et h a tw ew i l lb eu s i n gt h r o u g h o u tt h er e m a i n d e ro ft h ea r t i c l e i sav a r i a n to fs t i n s o n 8 f i l l i n gi nh o l e s c o n s t r u c t i o n t oa p p l yt h a tc o n s t r u c t i o n w ew i l lr e q u i r es i m p l e ( 3 ，3 ) 一f r a m e si nw h i c ht h eg r o u p sa r cn o tn e c e s s a r i l ya l lo ft h e 懿k n l es i z e t og e tt h e s e w es h a u 肥t h ef o l l o w i n gr e c t t r s i v ec o n s t r u c t i o n l e m m a 2 2 ( 1 2 0 ) s u p p o s et h a tt h e r ei sak g d do ft y p e9 1 旁a n dt h a t 扣re a c hk kt h e r ei sas i m p l e ( 3 ，3 ) - f r a m eo ft y p eh t h e nt h e r ei sas i m p l e ( 3 ，3 ) - 加m e0 ，t y p e ( 幻1 ) 。，( h 9 2 ) 。z ( 九) i no r d e rt on s et h e f i l l i n gi nh o l e s c o n s t r u c t i o n w en e e dt h en o t i o no f 姐 i n c o m p l e t er m p ( i r m p ) ( r e s p r m c ( i r m c ) ) l e ta = 一z n ( v ) 3a n dv 三h ( r o o d2 ) ，h 3 f o rh a ，姐i r m p ( 3 ，3 ； ，h ) ( r e s p 儡m c ( 3 ，3 ；口， ) ) i sd e f i n e dt ob eat r i p l e ( k 日，b ) w h i c hs a t i s f i e st h ef o l l o w i n g p r o p e r t i e s ： 1 v i s a v - s o t o f p o i n t s ，日i s a n h - s u b s e t o f v ( c a l l e d “h o l d ) a n d 8 i s ac o l l e c t i o n o fs u b s e t so fv ( c a l l e db l o c k s ) ，e a c hb l o c kh a v i n gs i z e3o r 秒一3 【扣一2 ) 3 j ； 2 1 h n b i 1 f o r a l l b 3 ； 3 a n yt w op o i n t so fva p p e a re i t h e ri nh o ri n tb l o c k so fb ，2st 3 ( r e s p 3 t s4 ) ； 4 8a d m i t sap a r t i t i o ni n t o3 ( v h ) 2d i s t i n c tp a r a l l e lc l a s s e s e a c hc o n s i s t s o f 【0 2 ) 3 jb l o c k so fs i z e3a n do n eb l o c ko fs i z e 口一3 【( 口一2 ) 3 jo nv ， a n d3 ( h a ) 2 ( 3 ( h a ) 2 1f o ri r m p ( 3 ，3 ；1 6 ，4 ) ) a u x i l i a r yp a r a l l e lc l a s s e s ， e a c hc o n s i s t so f0 一h ) 3t r i p l e s0 1 1v h f o rl a t e ru s ew ew i l lc o n s t r u c ts o m ei r m p sa n di r m c s i n s t e a do fl i s t i n ga l l t h eb l o c k so ft h ep a r a l l e lc l a s s e so ft h ed e s i r e dd e s i g n ，w eo n l yl i s tt h eb l o c k so fs o m e i n i t i a lp a r a l l e lc l a s s e s w ew r i t e ( a ，i ) a sa i ，i r m p ( 3 ，3 ；口，h ) ( i r m c ( 3 ，3 ；口， ) ) a s i r m p ( v ，h ) ( i r m c ( v ， ) ) a n dr m p ( 3 ，3 ， ) ( r m c ( 3 ，3 ，口) ) a sr m p ( v ) ( a m c ( v ) ) f o rb r e v i t y l e m m a2 3t h e r ee x i s t sa ni r m p ( 1 3 ，3 ) 4 p r o o f ：t a k et h ep o i n ts e tv = ( 磊z 2 ) u0 0 1 ，0 0 2 ，0 0 3 t h er e q u i r e d1 5p a r a l l e l c l a s s e sw i l lb eg e n e r a t e df r o mt h ef o l l o w i n gi n i t i a lp a r a l l e lc l a s s e sb y ( + lr o o d5 ，一) b ：0 0 1 0 2 0 0 l0 0 1 3 0 3 1o 。2 4 0 4 1 o c a l l 2 1 岛：0 0 2 0 l z 3 z 0 0 1 4 0 0 1 0 0 2 2 1 4 t0 0 a 1 0 3 0 马：0 0 2 1 3 1 4 lo o l 4 0 l l0 0 2 1 0 2 00 0 3 3 0 0 1 i t i se a s yt oc h e c kt h a tt h el e a v eo ft h i si r m p ( 1 3 ，3 ) c o n s i s t so f3 k s sb a s e do n t h ep o i n ts e t c o l ，0 0 2 ，0 0 3 口 l e m m a2 4t h e r ee x i s t s 帆i r m p ( 1 6 ，4 ) p r o 谚t a k et h ep o i n ts e tv = z 1 2u 0 0 1 ，0 0 2 ，0 0 3 ，0 0 4 t h ea u x i l i a r yp a r a l l e l c l a s sw i l lb eg e n e r a t e df r o ma ni n i t i a lb l o c k o ，4 ，8 ) b y ( + lr o o d1 2 ) t h er e q u i r e d p a r a l l e lc l a $ s e 8w i l lb eg e n e r a t e df r o mt h ef o l l o w i n gs i xi n i t i a lp a r a l l e lc l a s s e sb yf + 4 r o o d1 2 ) p 1 ：0 123 0 0 145 0 0 267 o 。3890 0 4 1 0 1 1 p 2 ：02570 0 1130 0 2480 0 36 1 1 0 0 49 1 0 马：025 1 10 0 1 160 0 24 1 0 0 0 3390 478 p 4 ：035 1 00 0 1260 0 2 190 378 0 0 44 1 1 p 5 ：036 90 0 1480 0 27 1 10 0 32 1 00 0 4 15 p 6 ：079 1 00 0 13 1 10 0 2 160 0 3580 0 424