（计算数学专业论文）nonisotropic+jacobi+pseudospectral+.pdf

m a s t e rd i s s e r t a t i o n 摘要 谱方法的主要优点是高精度然而。该优点往往被真解的奇异性破坏，例如徽分方程的 主项系数退化此外微分方程不同阶导数的系数退化情况也可能完全不同为了解决此类问 题，郭本瑜发展了非一致权s o b o l e v 空间上的j a c o b i 逼近，提出了相应的j a c o b i 谱方法，并 应用于一维奇异微分方程的数值解j a c o b i 谱方法对其他与奇异性相关的问题也是十分有用 的，倒如在无界或轴对称区域上的微分方程数值解另一方面，j a c o b i 逼近的一些结果也成 功地应用到了有理谱方法的数值分析 在实际应用中，人们对多维奇异问题数值解法更感兴趣郭本瑜、王立联提出了两维区域 上的j a c o b i 谱方法鉴于拟谱方法只需计算未知函数在插值点上的值，因此在实际应用中更 方便，并且更容易处理非线性项郭本瑜，王立联研究了一维奇异问题的拟谱方法，但迄今 还没有关于多维问题j o c o b i 拟谱方法的工作。 本文主要讨论多维j o c o b i 拟谱方法及其应用在第1 章，我们回顾了相关工作的历史， 并概述了本文的主要工作在第2 章。我们回顾并更新了一些一维j a c o b i 逼近的结果。在 第3 章中我们研究了多维区域上j a c o b i - g a u s s 型插值，有关结果是多维奇异问题j a c o b i 拟 谱方法的理论基础我们也改进了l e g e n d r e - g a u s s 型插值有关结果，并得到一些b e r n s t a i n - j a c k s o n 型不等式这些结果对处理非常系数微分方程十分有用。作为应用的例子，我们在 第4 章考虑了一个二维奇异问题拟谱方法，并在第5 章讨论了轴对称区域问题的拟谱方法，证 明了算法的收敛性数值结果显示这些方法的有效性。最后一章是全文的总结。 关键字：多维问题j a c o b i 拟谱方法，j a c o b i g a u s $ 型插值，奇异问题和轴对称区域问 题 i m t e rd i s s o r t a t i o n a b s t r a c t t h em a i na d v a n t a g eo fs p e c t r a lm e t h o d 璩i 七8h i 吐a c c u r a c y h o w e v e r ，t h i sm e r i tj 8d e _ s t r o y e do f t e n t i m e sb ys i n g u l a r i t i e so fg e n u i n es o l u t i o n s ，w h i c hc o u l db ec a u s e db ys e v e r a l 白肚8 ， s u c h d 曙e n e r a t i n gc o e f f i c i e n t so fl e a d i n gt e r m si nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m o r e o v e r t h ec o - e f f i c i e n t so fd e r i v a t i v e so fd i f f e r e n to r d e r si n v o l v e di nu n d e r l y i n gp r o b l e m sm a yd e g a n e r a t e i nc o m p l e t e l yd i f f e r e n tw a y f o rs o l v i n gs u c hp r o b l e m s ，g u ob e n - y ud e v e l o p e dt h ej a c o b i a p p r o x i m a t i o ni nc e r t a i nn o n - u n i f o r m l yj a c o b i - w e i g h t e ds o b o l e vs p a c e a n dp r o p o s e dt h ec o t - r e s p o n d i n gj a c o b is p e c t r a lm e t h o dw i t hi t sa p p l i c a t i o n st oo n e - d i m e n s i o n a ls i n g u l a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h ej a c o b is p e c t r a lm e t h o di 8a l s ov e r yu s e f u lf o rm a n y k i n d so fo t h e rr e l a t e dp r o b - l e m s ，f o re x a m p l e s ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nu n b o u n d e dd o m a i n sa n da x i s y m m e t r i cd o m a i n s o nt h eo t h e rh a n d ，s o m er e s u l t so nt h ej a c o b ia p p r o x i m a t i o nh a v eb e e ns u c c e s s f u l l ya p p l i e d t ot h ea n a l y s i so fv a r i o n sr a t i o n a ls p e c t r a lm e t h o d s i np r a c t i c e i tj 8m o r ei m p o r t a n ta n di n t e r e s t i n gt os o l v em u l t i p l e - d i m e n s i o n a ls i n g u l a r p r o b l e m sa n dr e l a t e dp r o b l e m sn u m e r i c a u y g u ob a n - y ua n dw a n g l i h a i lp r o v i d e dt h ej a c o b i s p e c t r a lm e t h o di nt w o - d i m e n s i o n s w h e r e a s t h ep s e u d o s p e c t r a lm e t h o di sm o r ep r e f e r a b l e i na c t u a lc o m p u t a t i o n ，s i n c ei to n l yn e e d 8t oe v a l u a t eu n k n o w nf u n c t i o n sa ti n t e r p o l a t i o n n o d e s t h i sf e a t a r es i m p l i f i e sc a l c u l a t i o na n ds r v e sal o to fw e r k f u r t h e r m o r e ，i ti sm u c h e n s i e ft od e a lw i t hn o n l i n e a rt e r m s g u ob a n - y ua n dw a n gl i - l i a ni n v e s t i g a t e dt h ej a c o b i p s e u d o s p e c t r a lm e t h o df o ro n e - d i m e n s i o n a ls i n g u l a rp r o b l e m s b u t ，s of a r ，t h e r ei sn oe x i s t i n g w o r kc o n c e r n i n gt h ej a c o b ip s e u d o s p e c t r a lm e t h o di nm u l t i p l ed i m e n s i o n s t h i st h e s e sj sd e v o t e dt ot h ej a c o b ip s e u d o s p e c t r a lm e t h o di nm a l t i p l ed i m e n s i o i l sa n di t s a p p l i c a t i o n s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w er e c a l lt h eh i s t o r yo f t h er e l a t e dw o r ka n dp r e s e n tt h em a i n r e s u l t so ft h i sw o r k i nc h a p t e r2 ，w e1 i s ta n dr e n e ws o m eb a s i cr e s u l t s0 1t h eo n e - d i m e n s i o n a l j a c o b ia p p r o x i m a t i o n i nc h a p t e r3 ，w ee s t a b l i s ht h em a i nr e s u l t so nt h ej a c o b i - g a n s st y p e i n t e r p o l a t i o ni nm u l t i p l e - d i m e n s i o n a ls p a c e w h i c hp l a yi m p o r t a n tr o l ei nd e s i g n i n ga n da l l a - l y z i n gv a r i o n sj a c o b ip s e u d o s p e c t r a ls c h e m e s f o rd n g u 【缸p r o b l e m sa n do t h e rr e l a t e dp r o b l e m s w ba l s od e r i v ea 髓r i e so fs h a r pr e s u l t so nt h el e g e n d r e - g a n s st y p ei n t e r p o l a t i o na n dt h er 争 l a t e db e r n s t e i n - j a c k s o nt y p ei n e q u a l i t i e s ，w h i c ha r ev e r yu s e f u lf o rp s e u d o s p e c t r a lm e t h o do f p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hn o n - c o n s t a n tc o e f f i c i e n t s a se x a m p l e so fa p p l i c a t i o n s ，w e c o n s i d e rat w o - d i m e n s i o n a ls i n g u l a rp r o b l e mi nc h a p t e r4 ，a n dap r o b l e md e f i n e do ua l la x - i a y m m e t r i cd o m a i ni nc h a p t e r5 t h ec o n v e r g e n c eo fp r o p o s e ds c h e m e sa r ep r o v e d n u m e r i c a l r e s u l t ss h o wt h ee f f i c i e n c yo ft h i sn e wa p p r o a c ha n da g r e ew i t ht h et h e o r e t i c a la n a l y s i sw e l l t h ef i n a lc h a p t e ri sf o rs o m ec o n c l u d i n gl * e m a r k s x e yw o r d s j a c o b ip s e u d o s p e c t r a lm e t h o di nm u l t i p l ed i m e n s i o n s , j a c o b i - g a u e st y p e i i i n t e r p o l a t i o n ，s i n g u l a rp r o b l e m sa n dp r o b l e m so na x i s y m m e t r i cd o m a i n s i i i 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究 成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表 示了谢意。 作者签名：j 咐吣日期：1 。0 7 f 帖 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 钓卅峒币签渊吼7 州 1 i n t r o d u c t i o n t h em a i na d v a n t e g eo fs p e c t r a lm e t h o di si t sh i g ha c c u r a c y , o f 4 ，5 ，6 ，t8 ，9 j f j f o w e v e r , t h i sm e r i ti sd e s t r o y e do f t e n t i m e sb ys i n g u l a r i t i e so fg e n u i n es o l u t i o n s ，w h i c hc o u l db ec s u s e d b ys e v e r a lf a c t s ，s u c ha 8d e g e n e r a t i n gc o e f f i c i e n t so fl e a d i n gt e r m si nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m o r e o v e r ，t h ec o e f f i c i e n t so f d e r i v a t i v e so f d i f f e r e n to r d e r s i n v o l v e di nu n d e r l y i n gp r o b l e m sm a y d e g e n e r a t ei nc o m p l e t e l yd i f f e r e n tw a y f o rs o l v i n gs u c hp r o b l e m s ，g u o 【1 1 ，1 2 1d e v e l o p e dt h e j a c o b ia p p r o x i m a t i o ni nc e r t a i nn o n - u u i f o r m l yj a c o b i - w e i g h t e ds o b e l e vs p a c e ，a n dp r o p o s e d t h ec o r r e s p o n d i n gj a c o b is p e c t r a lm e t h o dw i t hi t sa p p l i c a t i o n st oo n e - d i m e n s i o n a ls i n g u l a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w ea l s or e f e rt ot h ew o r ko nt h ej a c o b ia p p r o x i m a t i o ni n 【1 ，7 ，1 6 ，2 0 1 t b ej a c o b is p e c t r a lm e t h o di sa l s ov e r yu s e f u lf o rm a n yk i n d so fo t h e rr e l a t e dp r o b l e m s f o r e x a m p l e s ，d i f f e r e n t l a le q u a t i o n so nu n b o u n d e dd o m a i n sa n da x i a y m m e t r i cd o m a i n s ，s e e 【3 ，1 0 ， 1 3 ，1 4 ，2 5 1 o n t h eo t h e rh a n d ，s o m er e s u l t so nt h ej a c o b ia p p r o x i m a t i o nh a v eb e e ns u c c e s s f u l l y a p p l i e dt ot h ea n a l y s i so fv a r i o u sr a t i o n a ls p e c t r a lm e t h o d s ，s e e 【1 5 ，1 7 ，1 8 ，2 2 ，2 3 ，2 6 i np r a c t i c e ，i ti su l o r ei m p o r t a n ta n di n t e r e s t i n gt os o l v em u l t i p l e - d i m e n s i o n a ls i n g u l a r p r o b l e m sa n dr e l a t e dp r o b l e m sn u m e r i c a l l y g u oe n dw a n g 2 1 】p r o v i d e dt h ej a c o b is p e c t r a l m e t h o di nt w o - d i m e n s i o n s w h e r e a s ，t h ep s e u d o s p e c t r a lm e t h o di sm o r ep r e f e r a b l ei na c t u a l c o m p u t a t i o n s i n c ei to n l yn e e d st oe v a l u a t eu n k n o w nf u n c t i o n sa ti n t e r p o l a t i o nn o d e s ，t h 王8 f e a t u r es i m p l i f i e sc a l c u l a t i o na n d8 a 日al o to fw o r k f u r t h e r m o r e i ti sm u c he a s i e rt od e a l w i t hn o n l i n e a rt e r m s g u oa n dw a n g 【1 9 i n v e s t i g a t e dt h ej a c o b ip s e u d n s p e c t r a lm e t h o df o r o n e - d i m e n s i o n a ls i n g u l a rp r o b l e m s b u t ，s of a r ，t h e r ei sn oe x i s t m gw o r kc o n c e r n i n gt h ej a c o b i p s e u d o s p e c t r a lm e t h o di nm u l t i p l ed i m e n s i o n s t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h ej a c o b ip s e u d o s p e c t r a lm e t h o di nm u l t i p l ed i m e n s i o n sa n di t s a p p l i c a t i o n s i nt h en e x ts e c t i o n w er e c a l la n dr e n e ws o m eb a s i cr e s u l t so nt h eo n e - d i m e n s i o n a l j a c o b ia p p r o x i m a t i o n i ns e c t i o n3 ，w ee s t a b l i s ht h em a i nr e s u l t so nt h ej a c o b i - g a n s st y p e i n t e r p o l a t i o ni nm u l t i p l e - d i m e n s i o n a ls p a c e w h i c hp l a yi m p o r t a n tr o l ei nd e s i g n i n ga n dm a r l y z i n gy a r i o n sj a c o b ip s e u d o s p e c t r a ls c h e m e sf o r 豳g t d a rp r o b l e m sa n do t h e rr e l a t e dp r o b l e m s w ea l s od e r i v ea8 e r l e 8o f8 h a x pr e s u l t so nt h el e g e n d r e - g a n s st y p ei n t e r p o l a t i o na n dt h er e - l a t e db e r n s t e i n - j a c k s o nt y p ei n e q u a l i t i e s ，w h i c ha r ev e r yu s e f u lf o rp s e u d o s p e c t r a lm e t h o do f p a r t i a ld i f f e r e n t i n le q u a t i o n sw i t hn o n - c o r a n tc o e f f i c i e n t s i ti sn o t e dt h a tc a n u t o ，h n s s a i n i ， q u a r t 翘o n ia n dz a n g1 6 1 ，a n db e m a r d ia n dm a d a yf 4 jf i r s ts t u d i e dt h el e g e n d r e - g a u s st y p e i n t e r p o l a t i o ni nt h es o b o l e vs p a c e s ，a n dq u a r t e r o n i1 2 4 lf i r s tc o n s i d e r e dt h eb e r n s t e i n - j a c k s o n t y p ei n e q u a l i t i e si nk s p a c e ，f o rt h el e 学胁d r eo r t h o g o n a la p p r o x i m a t i o n w ei m p r o v ea n d g e n e r a l i z es o m eo f t h o s er e s u l t si nt h i sp a p e r a se x a m p l 岛o fa p p l i c a t i o n s w ec o n s i d e rat w o - d i m e n s i o n a ls i n g u l a rp r o b l e mi ns e c t i o n4 ，a n dap r o b l e md e f i n e do na na x i s y m m e t r i cd o m a i n 一1 一 m a s t e rd i s s e r t a t i o n i ns e c t i o n5 t h ec o n v e r g e n c eo fp r o p o s e ds c h e m e sa r ep r o v e d n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h e e 丑i e i e n c yo ft h i sn e wa p p r o a c ha n da g r e ew i t ht h et h e o r e t i c a la n a l y s t sw e l l t h ef i n a ls e c t i o n i sf o rm ec o n c l u d i n gr e m a r k s ， 2p r e l i m i n a r i e s w ef i r s tr e c a l l 蛳b a s i cr e s u l t so nt h eo n e - d i m e n s i o n a lj a c o b ia p p r o x i m a t i o n l e ta = ( 一1 ，1 ) ，a n dx ( z ) b eac e r t a i nw e i g h tf u n c t i o n d e n o t eb ynt h e8 e to fa l ln o n - n e g a t i v e i n t e g e r s f o ra n yr n ，w ed e f i n et h ew e i g h t e ds o b o l e vs p a c e 占k ( a ) i n t h eu s u a lw a y , w i t h t h ei n n e rp r o d u c t 心口) x ，s e m i - n o r mi 秽 嗽4a n df l o r i nj i ”n n x ，r e s p e c t i v e l y i np a r t i c u l a r ， l 2 x ( a ) = 娥( a ) ，( u ，口) x a = ( t ，v ) o ，x a n di i v l l x = i i v l l o , x ，a f o ra n yr 0 ，t h es p a c e ( a ) a n di t sn o r n a r ed e f i n e db ys p a c ei n t e r p o l a t i o na si n 2 1 t h es p a c e 丑酞( a ) s t a n d s f o rt h ec o m l r ei n 月：( a ) o ft h es e t 口( a ) c o n s i s t i n go fa l li n f i n i t e l yd i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o n sw i t h c o m p a c ts u p p o r ti na b e s i d e s ，o 磁( a ) = 口i 口( a ) ，v ( - 1 ) = o ) w h e n e v e rx ( z ) 1 ， w eo m i tt h es u b s c r i p txi nt h en o t a t i o n s l e ta ，卢 一1 t h ej a c o b ip o l y n o m i a l s 矗川( z ) ，l = 0 ，l 2 ，a r et h ee i g e n f u n c t i o n so f s t u r m - l i o u v i l l ep r o b l e m 蟊( ( 1 一z ) 醉1 ( 1 + z ) 口+ 1 龟口0 ) ) + a ( 1 一z ) 8 ( 1 + 甸0 ) = o t $ a w i t ht h ec o r r e s p o n d i n ge i g e n v a l u e s 砖。棚= l ( 1 + a + 卢+ 1 ) ，l = o ，1 ，2 ， l e tx ( o ，所( z ) = ( 1 一x ) a ( 1 + z ) p w eh a v et h a t 矗。脚( 。) 母，刃( z ) x 似圆( z ) d z = 铲脚面， w h e r e 毋，i st h ek r o n e c k e rs y m b o l ，a n d 一= 丢蔫离若揣 t h u s ，f u ra n y 口l y 2 ( 。棚( a ) ，w eh a v et h a t ”( z ) = 铲所矿棚( z ) 1 = 0 w h e r e 妒2 移1 知) 护x ( a 咐缸 n o w ，l e tn n ，a n dd e n o t eb yp ( a ) t h es e to f a i la l g e b r a i cp o l y n o m i a t so f d e g r e ea tm o s t n m o r e o v e r ，o 确( a ) = 口i 盯p n ( a ) ，口( 一1 ) = o ) a n d 礞( a ) = 移f v 确( a ) ，移( 士1 ) = o ， 一2 一 m a s t e rd i s s e r t a t i o n t h r o u g h o u tt h i sp a p e r ，w ed e n o t eb ycag e n e r i cp o s i t i v ec o n s t a n ti n d e p e n d e n t o fa n yf u n c t i o n a n d n t h eo r t h o g o n a lp r o j e c t i o n 口鼬：l 2 。( 。所( a ) - + p h ( a ) i sd e f i n e db y ( j j 怕, b , a v 一 ) x 扣肿 = 0 ，v r n ( a ) ( 2 1 ) f o rd e s c r i p t i o no fa p p r o x i m a t i o nr e s u l t s ，w ed e f i n et h e s p a c e 丑：( 。j ) ( a ) ，r n ，w i t ht h e 8 e m i - n o r l n i 口i r ，x c o # l a # t 2 恸i i 水州蛳a n d t h e n o r m l l 棚， 2 ( 量哦w ) f o ra n yr 0 ，t h es p a c e ( 印) 。 ( a ) i sd e f i n e db ys p a c ei n t e r p o l a t i o n a c c o r d i n g t o t h e o r e m2 1o f 【2 0 】，f o r a n y 。棚， ( a ) ，r n a n d0 p r ， 0p ，口属一口i i 卢摄( a 。聊， ， c n a - - r m x ( n , p ) j l a ( 2 2 ) w en o wt u r nt ot h ej a c o b i - g a a mt y p ei n t e r p o l a t i o n l e t 始, n j ，小, n 舯ja n dc 端，0 j n ，b et h ez e r c 日o fp o l y n o n i i a l b 以凹( z ) ，( 1 + z ) 毋肛1 ( 妨a n d ( 1 一x 2 ) 0 z 垮棚( z ) ， r e s p e c t i v e l y w ed e n o t eb y ，芝兄，0 j n ，z = g ，el ，t h ec o r r e s p o n d i n gc h r l s t o f f e l n u m b e r ss u c ht l m t n 上庐。) x 口棚知) 血。j = o 毋【小、 z , n 棚, j 。z “, n 毋, j ， 晰e 吃 ，+ “a )( 2 3 ) w h e r ea z = 1 f o r z = g ，k = 0 缸z = r ，a n da z = - 1 f o r 厶r e s p e c t i v e l y w ei n t r o d u c et h ef o l l o w i n gd i s c r e t ei n n e rp r o d u c ta n dn o m t “，矾：妻。( 龟端) 。( 露圮) 。芝器，h 。i ix ( 口肿，4 m ：( 叩) 圭删，五舢 i = o b yt h ee x a c t n e 8 8o f ( 2 3 ) ，w eh a v et h a t ( 虫妒) x 恤肿。五舢= ( ，妒) x 恤。肿 ，v 毋+ 妒，如+ z ( a ) ， z = g ，尼l ( 2r 4 ) l e a 窆君= zi 嚣= ；= ；8 ，o j ) t h ej a c o b i - 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