（计算数学专业论文）分片代数曲线、分片代数簇与分片半代数集的某些问题研究.pdf

大连理1 ：大学博士学何论文 摘要 利用多无样条进行散乱数据插值是计算几何中一个非常重要的课题但由 于多元样条空间的结构不但依赖于剖分拓朴性质，而且紧密地依赖于剖分的几 何性质，这就使得对样条空间的插值结点的适定性的研究变得十分复杂目前 样条空间的插值( 特别是l a g r a n g e 插值) 适定性问题始终研究的热点问题王仁宏 为解决这一问题提出了分片代数曲线的概念 i , 1 2 , 1 10 】对于平面上( 复或实平面) 单 连通区域q 的剖分，益线 z ( ，) ：= ，y ) l f ( x ，y ) = 0 ，f s ：( ) ) 称为q 中关于剖分的n 次g “分片代数曲线，显然，分片代数益线是经典代数曲 线的自然推广王仁宏指出n ”t ”儿o j ：棒条空问( t c j l a g r a n g e 插值结点翅遁定的 充要条徉是这些结点不在厨一条非零分片代兹煎线上因此，本质上解决插值 结点的适定性问题关键在于研究分片代数曲线，在高维空间里就是研究分片代 数簇除此之外，分片代数曲线( 簇) 也与c a d 、c a g d 、c a e 等领域中均有较为 重要的应用，另一方面，人们发现它也是其他学科研究的一种有效工具分片代 数曲线( 簇) 作为二元( 多元) 样条的零点集合，它是代数几何与计算几何中一种新 的重要概念，显然也是经典代数曲线( 簇) 的推广与补充因此，研究分片代数盐 线( 簇) 具有重要的理论与实用价值本文的主要工作如下： 首先我们对多元样条空间的三种定义方式进行了圊顾，并着重介绍了光滑 余因子协调法给出了分片代数曲线( 簇) 的定义，并对研究的理论与应用背景进 行了阐述 众所周知，b e z o u t 定理，n s t h e r 定理与c a y l e y b a c h a r a c h 定理是经典代数几 何的基本定理将它们接广到分片代数曲线上也有重要的理论与应用意义王 仁宏等对于分片代数曲线的b e z o u t 定理多了大量的研究工作第二章我们主要 是对分片代数曲线的n f t h e r 型定理与c a y l c y - b a c h a r a c h 定理进行研究首先对代 数曲线的一些概念与主要定理进行了绍，并将一些概念推广到分片代数曲线上 然后对 2 7 d ? 关于星形剖分下分片代数曲线的n s t h c r 型定理改进，并利用贯穿 剖分与样条的性质，得到了贯穿刹分下分片代数曲线的n s t h e r 型定理利用此 结果与分片代数曲线的b e z o m 定理，将经典代数几何中的c a y l e y - b a c h a r a c h 定理 推广到分片代数曲线上，给出了0 阶光滑分片代数曲线的c a y l e y - b a c h a r a c h 定理 分片代数曲线、分片代数簇与分片芈代数集的某些同露研究 与h i l b c r t 函数，并得到一些有趣的结论 对分片代数曲线研究的最初根源是二二元样条的插值问题，但是将分片代数 曲线的理论应用于二元样条插值的研究还非常少第三章中，我们首先给出了 沿分片代数曲线插值的概念利用第二耄中得到的分片 弋数曲线的n s m e r 型定 理与，我们得到了一种崭新的构造二元样条l a g r a n g e 插值适定结点组的方法它 类似于构造一般多项式l a g r a n g e 插值适定结点组的迭代方法 与代数曲线类似，在进行分片代数曲线的绘制时也会遇到很多问题目前， 一般都借助计算机来绘制分片代数曲线实际上，计算机绘制出来的图形某些 时候是不一定准确的例如，当计算机屏幕显示不出来图形时，你荠不能确定曲 线就是空集，而且曲线在奇点附近的显示也是非常不精确的因此对实分片代 数曲线进行理论上的研究是非常必要和重要的第四章主要对实分片代数曲线 进行了研究首先给出了实分片代数曲线的一些性质，然后定义了实二元样条 的特征，利用实代数几何与代数学的基本知识，对某些二元样条及其定义的实 分片代数曲线进行了研究，并给出了一种实分片代数曲线孤立点的判断方法 为了研究实代数趣线在三角域上的拓扑结构提出了代数曲线局部g - p 的概念， 利用实多项式的s t u r m - h a b i c h t 序列，分析了实代数曲线在三角形域上的正则点 与关键点，并给出一种生成实分片代数曲线线性拓扑图的算法 分片代数簇作为一些多元样条的公共零点集合，同样也是代数几何中一种 新的重要概念，是经典代数簇的推广，丰富和发展它不仅与许多实际问题如： 多元样条插值，代数簇的光滑拼接，c a d ，c a m 和c a g d 紧密相联，而且还为研 究经典代数几何提供了理论依据第五章中，我们利用代数几何的有关结果对 分片代数簇进行了研究，得到了分片代数簇的一些性质与维数公式，并且对分 片代数簇的坐标环、正则函数与同构定理进行了研究 半代数集为一些实多项式等式与不等式的公共零点集会半代数集与 半代数函数为实代数几何中的重要内容，在很多方面具有应用( 如多项式实 根计数，实体造型等) 。第六章中我们首次引入了分片半代数集的概念。对 它的投影稳定性，维数等问题近行了初步的讨论，并给出了分片半代数集 的t a r s k i - s e i d e n b e r g 基本定理与维数公式 关键词：分片代数曲线；分片代数簇；样条插值；二元样条；多元样条 一一 大连理工大学博七学侥论文 a b s t r a c t s u p p o s ea i sap a r t i t i o no fq w h e r eni sas i m p l yc o n n e c t e dd o m a i ni nc 2o r r 2 t h ec u w e z ( f ) ：= ( z ，y ) l f ( x ，寥) = 0 ，f s 并( ) ) i sc a l l e dac “p i e c e w i s ea l g e b r a i cc u r v e i ti so b v i o u st h a tt h ep i e c e w i s ea l g e b r a i c c u r v ei sag e n e r a l i z a t i o no ft h ec l a s s i c a la l g e b r a i cc u r v e w a n g 1 2 1 ”1 1 0 jg a v et h e r e s u l tt h a tas e to f p o i n t si st h el a g r a n g ei n t e r p o l a t i o ns e tf o r 研( ) i f a n d o n l yi f t h e r ei sn o s p l i n e 夕鹾( ) o ) s u c h t h a ti tl i e so nt h ep i e c e w i s ea l g e b r a i cc u r v e g ap i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t yi st h e z e r os e to fs o m em u l t i v a r i a t es p l i n e s i ti sa k i n do f g e n e r a l i z a t i o no f t h ec l a s s i c a la l g e b r a i cv a r i e t y t h e nt h es t u d yo f p i e e e 埘s e a l g e b r a i cc u r v e s ( v a r i e t i e s ) i si m p o r t a n t f o r t h ei n t e r p o l a t i o nb yb i v a r i a t e ( m u l t i v a r i a t e ) s p l i n es p a c e m o r e o v e r t h ep i e c e w i s ea l g e b r a i cc u r v e ( v a r i e t y ) i s n o to n l yam y r i a do f a p p l i c a t i o n s i nc a d ，c a g d ，c a ee ta 1 ，b u ta l s oau s e f u lt o o lf o rs t u d y i n g t r a d i t i o n a l a l g e b r a i cc u r v e sa n do t h e rs b b j e c t s i nt h i st h e s i s ，s o m ep r o b l e m sa b o u tp i e c e w i s e a l g e b r a i cc u r v e s ，p i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t i e sa n dp i e c e w i s es e m i a l g e b r a i cs e t sa e d i s c u s s e d i nc h a p t e r1 ，w ef i r s ti n t r o d u c et h r e em e t h o d sa b o u ts t u d y i n gm u l t i v a r i a t e s p l i n e s ：t h ew a n g sm e t h o d ( t h es m o o t h i n gc o f a c t o r - c o n f o r m a l i t ym e t h o d ) ，t h e b e m s t e i n - b e z i e rm e t h o d , a n dt h em u l t i v a r i a t eb - s p l i n e sm e t h o d m o r e o v e r ，b y w a n g sm e t h o d , t h e d e f i n i t i o no f p i e c e w i s e a l g e b r a i cc u r v e s ( v a r i e t i e s ) i sg i v e n l a s t , w e p r e s e n tt h er e c e n tr e s e a r c h e s o i lp i e c e w i s ea l g e b r a i cc u l v e sa n d p i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t i e s i t i sw e l lk n o w nt h a tb e z o u t s t h e o r e m ，n s t h e r st h e o r e m ，a n dc a y l e y - b a c h a r a c ht h e o r e ma r ei m p o r t a n ta n dc l a s s i c a lr e s u l t si na l g e b r a i cg e o m e t r y t o g e n e r a t et h e m t op i e c e w i s ea l g e b r a i cc l l l l ，e si si m p o r t a n tf o rs t u d y i n gt h ep i e c e w i s e a l g e b r a i cc u r v e sa n d t h eb i v a r i a t es p l i n ei n t e r p o l a t i o np r o b l e m s w a n gc ta 1 h a v e s t u d i e dt h eb e z o u t st h e o r e m o f p i e c e w i s ea l g e b r a i c c n r v e si nm a n y w a y s i nc h a p t e r 2 ，w ed i s c u s st h en e t h e r - t y p et h e o r e ma n dc a y l e y b a c h a r a c ht h e o r e m o f p i e c e w i s e a l g e b r a i cc u r v e so ns o m ep a r t i t i o n s f i r s t ，w eg e n e r a t es o m ec o n c e p t so fa l g e b r a i c c l l r v e st op i e c e w i s ea l g e b r a i cc u t v e s n e x t ，w ed e s c r i b e st h ei m p r o v e m e n to ft h e i r t 分片代数曲线、分片代数簇与分片半代数集的某些问题 i f 究 n s t h e r - t y p et h e o r e mo f p i e e e w i s ea l g e b r a i c c u r v e so nt h es t a rr e g i o ni n 【2 7 m o r e o v e r , b y t h ep r o p e r t i e so fc r o s s c u tp a r t i t i o n s ，t h en f i t h e r - t y p et h e o r e mo f p i e c e w i s e a l g e b r a i cc u r v e so n t h ec r o s s c u tp a r t i t i o ni sd i s c u s s e d u s i n gb e z o u t st h e o r e ma n d n s t h e r - t y p et h e o r e mo fp i e c e w i s ea l g e b r a i cc u r v e s ，t h ec a y l e y b a c h a r a c ht h e o r e m a n dh i l b e r tf u n c t i o no f 伊p i e c e w i s ea l g e b r a i cc t n v e sa r ep r e s e n t e dl a s t a n a t u r a l p r o b l e m o f t h e i n t e r p o l a t i o n b y 簖( ) i s t oc o n s t r u c t i n t e r p o l a t i o n s e t s f o r 碟( ) u n f o r t u n a t e l y , i n t e r p o l a t i o nb ys p l i n es p a c e s a r es t r o n g l yc o n n e c t e dw i t h t h ep r o b l e mo nt h ed i m e n s i o n so ft h e s es p a c e s t h e r e f o r e ，t h i sk i n do f i n t e r p o l a t i o n p r o b l e m s w i l lb ev e r yc o m p l i c a t e d f o rs t u d y i n gt h em u l t i v a r i a t es p l i n ei n t e r p o l a t i o n ， w a n gp r e s e n t e dt h ec o n c e p to fp i e c e w i s ea l g e b r a i cc t 】i t v c sa n dp i e c e w i s ea l g e b r a i c v a r i e t i e sa b o u t3 0y e a r sa g o ，u n f o r t u n a t e l y , f e wr e s e a r c h e so f p i e c e w i s ea l g e b r a i c c u r v e sa n dp i e e e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t i e sh a sb e e na p p l i e dt os o l v et h em u l t i v a r i a t e s p l i n ei n t e r p o l a t i o np r o b l e m s i nc h a p t e r3 ，w es t u d y t h el a g r a n g ei n t e r p o l a t i o ns e t f o ri n t e r p o l a t i n ga l o n gap i e c e w i s ea l g e b r a i cc h i v e b yu s i n gt h er e s u l t so fc h a p t e r2 m o r e o v e r , t h er e c u r s i v ec o n s t r u c t i o nt h e o r e ma n dg e o m e t r i cs t r u c t u r ef o rc o n s t r u c t i n gl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n s e t sf o r 畿( a r e p r o v i d e d o n ec a np l o tr e a lp i e c e w i s ea l g e b r a i cc u j v e sw i t ht h eh e l po fac o m p u t e r i n - d e e d ，t h e s ec o m p u t e rp l o t sa r es o m e w h a tu n r e l i a b l e f o ri n s t a n c e ，o n ec a n n o tb e t o t a l l ys u r et h a tac u r v ei se m p t y , b a s e do n t h ef a c tt h a tt h e p l o to n t h es c r e e nl o o k s e m p t y a l s o ，p l o t sa r n o tv e r yp r e c i s en e a rs i n g u l a rp o i n t so fp i e e e w i s ea l g e b r a i c c h i v e s t h e s ef a c t sm a k ei tn e c e s s a r yt oh a v es o m et h e o r e t i c a lr e s u l t sa b o u tr e a lr e a l p i e e e w i s ea l g e b r a i co u r v e s a th a n d i n c h a p t e r4 ，w es t u d y t h er e a lp i e c e w i s e a l g e b r a i c c b i v e s c h a p t e r4 s t a r t sw i t hs o m e p r o p e r t i e so f p i e e e w i s ea l g e b r a i cc u r v e s n e x t ，w e d e f i n et h ec h a r a c t e ro f r e a lb i v a r i a t es p l i n ea n d ，u s i n ge l e m e n t a r ym e t h o d si na l g e b r a a n d a l g e b r a i cg e o m e t r y , w es t u d yt h es p l i n ea n d t h ep i e c e w i s e a l g e b r a i cc u l v e i td e - f i n e s m o r e o v e r , w ep r e s e n t ad i s c u s s i o na b o u ti s o l a t e d p o i n t so f p i e c e w i s e a l g e b r a i c c b a - w e s l a s t l y , b ya n a l y z i n gt h et o p o l o g yo f r e a la l g e b r a i cc l d r v e so nt h et r i a n # e s ， ap r a c t i c a l l ya l g o r i t h mf o ra n a l y z i n gt h et o p o l o g yo f p i e c e w i s ea l g e b r a i cc r r v e si s g i v e n t h ea l g o r i t h mp r o d u c e sap l a n a rg r a p hw h i c hi st o p o l o g i c a l l ye q u i v a l e n tt o t h ep i e c e w i s ea l g e b r a i c 吼i r v e a saz e r os e to fs o m em u l t i v a r i a t es p l i n e s ，t h ep i e e e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t yi s ak i n do fg e n e r a l i z a t i o no ft h ec l a s s i c a la l g e b r a i cv a r i e t y i ti s v e r yi m p o r t a n tt o s t u d yt h ei n t e r p o l a t i o nb ym u l t i v a r i a t es p l i n e sa n dp a t c h w o r k i n ga l g e b r a i 0v a r i e t i e s 一i 、，一 大连理j i ：人学博士肇忙论文 i n c h a p t e r5 ，b a s e do n t h e k n o w l e d g eo f a l g e b r a i cg e o m e t r y , w e d i s c u s s e ss o m e p r o p - e r t i e so f p i e c e w i s e a l g e b r a i c v a r i e t i e sa n dt h e i rc o o r d i n a t er i n g s s e m i a l g e b r a i cs e t sa n ds e m i a l g e b r a i cf u n c t i o n sa r eo b j e c t sw h i c h a r et r u l ya s p e c i a lf e a t u r eo f r e a la l g e b r a i cg e o m e t r y t h i sc l a s so fs e t sh a sr e m a r k a b l es t a b i l i t y p r o p e a i e s ，o f w h i c ht h em o s t i m p o r t a n ti ss t a b i l i t yu n d e rp r o j e c t i o n p r a c t i c a l l ya l l t h eu s e f u lc o n s t r u c t i o n sw i t hs e m i a l g e b r a i cs o t sh a v ea l s oav e r yp l e a s a n tt o p o l o g i c a ls t r u c t u r e ：t h e yh a v eg o o ds t r a t i f i c a t i o n s f u r t h e r m o r e ，s e m i a l g e b r a i cf u n c t i o n s g r o w i na v e r yw e l lc o n t r o l l e dw a y c h a p t e r6p r e s e n t st h ep i e c e w i s es e m i a l g e b r a i c s e t , w h i c hi st h es u b s e to f 形s a t i s f y i n g ab o o l e a nc o m b i n a t i o no f m u l t i v a r i a t e s p l i n e e q u a t i o n sa n di n e q u a l i t i e s w i t hr e a lc o c f f m i e n t s i ti st h eg e n e r a l i z a t i o no ft h es e m i - a l g e b r a i c s e t t h e p i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t y ( c u r v e ) i s t h ed e g e n e r a t i o no f t h e p i e c e w i s es e m i a l g e b r a i cs e t m o r e o v e r , t h es t a b i l i t yu n d e rp r o j e c t i o na n dt h ed i m e n s i o no f g “p i e c e w i s es e m i a l g e b r a i cs e t sa r e a l s od i s c u s s e d k e y w o r d s ：p i e c e w i s e a l g e b r a i cc u r v e s ；p i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t i e s ；s p l i n e i n t e r p o l a t i o n ；b i v a r i a t es p l i n e s ；m u l t i v a r i a t es p l i n e s - 一v 一 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢 意。 作者繇粹啸星堑：五! 7 | 分片代数曲线、分片代数簇与分片半代数集的某些问题研究 n r c r k p d p d ( a ) p ( a ) 器( ) s u ( a ) d i m ( 黠( ) ) ，i 正 主要符号对照表 自然数集合 实数域 复数域 实闲域 代数闭域 对单连通区域q 的剖分 次数不超过d 的多项式的集合 剖分上的d 次分片多项式集合 剖分上的分片多项式环 剖分上的d 次工l 阶光滑样条空间 剖分上c ”样条环 嚣( ) 的维数 分片多项式或样条，在胞腔文上的表达式 一一 大连理一大学博士学儒论文 1绪论 1 1 多元样条简介 所谓样条( s p l i n e ) 就是具有一定光滑性的分段或分片定义的多项式 1 9 4 6 年，数学家i j s c h o e n b e r g 较为系统的建立了一元样条的理论基础僵楚， s c h o e n b e r g 的工作剐开始时并未受到重视从6 0 年代开始，随着电子计算机技术 的飞速发展，样条也得到了迅速的发展和广泛的应用签于客观事物的多样性 和复杂性，多元样条的研究无疑也是十分重要的在过去的三十几年里，多元样 条在理论及应片j 方面亦得到了广泛的发展现在，它在计算机辅助几何设计、 小波及有限元等领域中均有较为重要的应用另一方面，髓着多元样条理论的 发展，人们发现它与基础数学的一些学科，如：抽象代数、代数几何、微分方 程等，亦有着千丝万缕的联系更为有趣的是，产生于逼近论的多元样条与研究 离散对象的组合数学亦有密切关系一般而言，多元样条研究的主要方法有： 光滑余因于方法、b 厕方法及多元丑榉务方法我们在下边对其做简要的介绍 本文的主要工作是基于研究多元样条的光滑余因子方法 1 ，1 1 光滑余因子方法 1 9 7 5 年，王仁宏m 采用函数论和代数几何的方法建立了任意音分一f - - 元样 条的基本理论框架，并提出所谓的光滑余因子协调法从这种基本观点出发多 元样条的任何问题都可以转化为与之等价的代数问题来研究此方法深刻地刻 划了多元样条光滑连接的内在本质，对研究样条空间的结构有重大理论指导意 义使用这种方法，人们成功地解决了平面上相当广泛的一类剖分上的样条空 间的维数及基底 设n 为酞2 中的一区域，以p k 记二元七次实系数多项式集合一个二元多项式 称为不可约多项式，如果除了常数和该多项式自身外没有其它复多项式可整除， 代数曲线 f ：f ( z ，3 ) = 0 ，f ( z ，3 ) p 女， 称为不可约代数曲线，如果2 ( 置) 是不可约多项式用有限条不可约代数曲线对 区域q 进行剖分，将剖分记为，q 被分为个子区域6 l ，n ，它们被称为的 胞腔形成每个胞腔边界的线段称为网线，网线的交点称为顶点，同一网线的两 分片代数曲线、分片代数簇与分片半代数集的某些问题研究 个顶点称为相邻网点以菜一顶点y 为顶点的胞腔的并集称为顶点v 的关联区 域或星彤区域，记为s t ( v ) 令 p ( a ) ：= ( f f 1 6 r k 乩i = 1 2 ，) p d ( ) ：= f l f l 6 ，p d ，i = l ，2 ，) ， 其中，i 文表示分片多项式，在胞腔文上的表达式，i = 1 、， 定义1 1 设 s 怔( ) ：= f l f c “( ) n p ( ) ) ， 彤( i x ) ：= f i r c “( ) n p d ( ) ) ( i 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) s “( ) 称为关于剖分的二元g p 样奈环黠( ) 称为关于剖分的二元d 次肛聆光 滑样条空同 基于代数几何中b e 南u t 定理，王仁宏得到了多元样条函数光滑连接的条件， 表现为如下定理 i , t 2 , h 0 1 定理1 1 设s ( ) ，盈与0 是剖分的相邻胞腔不可约代数曲线r l o ( x ，y ) = o 是毋与如的公共网线，则有 5 f 氐一s i 以= ( 1 0 ( z ，) ) ”+ 1 口( z ，可) ， 其中g ( z ，) p d 一( p 十1 ) ，称为网线r 上的光滑余因子，此处七= d e g ( 1 蛆) 我们将位于区域q 内部的网点称为内网点，否则称为边界网点如果一条 网线的内部属于区域q 内，则称此网线为内网线，否则称为边界网线设y 为任 给定的内网点，今按下列顺序将过y 的所有内网线：f 玎( 。，掣) = o 所涉及的民 和0 进行调整：使当一动点沿以为 d 的逆时针方向越过r 玎时，恰好是从文跨 入如 定义y 点处的协诃条 2 p ( c o n f o r r n a l i t yc o n d i t i o n ) 为 q i i ( x ，可) ( b ( 。，) ) 州= 0 ， ( 1 5 ) y 一2 一 大连理：r 大学博士学伊论文 其中y 表示对一切以内网点v 为一端的内网线所求的和，向 q l j ( x ，掣) 为r 玎上的 光滑余因子 设的所有内网点为，v r d ，d n ，则整体协调条件n ”“。1 定义为 q i j ( x ，郴玎( 石，) ) 州= o ，尼= l ，d ( 1 6 ) h 王仁宏给出下面的定理，它建立了二元样条的基本理论框架 t t z n o 定理1 2 对于给定的剖分，二元样条存在的充要条件是在每个内网线 上存在一个光滑余因子，且满足( 1 6 ) 所示的整体协调条件 由此，可以建立二元样条的一般表达形式设区域n 被剖分分割为有限个 胞腔d ，如任意选定一个胞腔，不妨设为6 1 ，作为源胞腔，从6 1 出发，煎一流 向图亭，使之满足： 1 亭流遍所有的胞腔6 1 ，6 各一次 2 e 穿过每条内网线的次数不多于一次 3 d 不允许穿过网点 流向图g 所经过的内网线称为相应于0 本性内网线其他的内网线则为 相应于g 的可去内网线显然可去内网线与本性内网线只是一个相对概念 设：l t j - ( x ，可) = o 为0 的任意一条本性内网线，将从原胞腔0 出发，沿a 前进时 只有越过f 玎后才能进入所有闭胞腔的并集记作u r 去，将从原胞腔0 出发沿r 玎时， 在越过亭之前所经过的各胞腔并集为，称u r 专u r 西为网线r u 的前方，记 作，r ( r ，) 定义1 2 1 2 , 1 1 0 1 设：幻( z ，) = o 为相应于流线a 的本性内网线，二元广 义截断多项式定义为 幻婀= t ，黑；嚣泓蹦 由此，有如下的二元样条表现定理【1 2 ，1 l o 坌挂垡墼些堡! 坌苎垡墼墼量坌苎兰垡墼壅盟垂訾坚墨婴壅 定理1 3 任意s 彤( ) 均可唯一地表示为 s ( 础) = p ( z ，s ，) + 姒z ，v ) ：+ 1 蜘( z ，掣) ，( z ，g ) q 口 其c p ( z ，y ) p 励s ( z ，) 在源胞腔上的表迭式，d 表示对所有本性内网线求 和 在文献【3 ，4 ，1 2 ，1 0 8 _ il o 】中，土仁宏等给出了礼维样条的基本理论框架，这 些基本理论类似于上面关 ：二元样条的结果 利用二元样条对散乱数据插值是二元样条一个重要的应用，要使插值的二二 元样条存在且唯一，一个必要条件是插值点数与二二元样条空间的维数一致另 一方面，褥到剖分上样条空间的b 样条基也是非常重要且实用的王仁宏，c h u i ， s c h u m a k c r , 何天晓，施锡泉等学者应用光滑余因子协调法成功的解决了贯穿 剖分“”】，拟贯穿剖分【7 l ，l - 型m n 刈与2 一型c 5 8 , 2 2 , 4 5 i , $ 2 等三角音分上硝( ) 空间 的维数以及样条基函数，其中岛( 端) ，岛( 擞) ，趣、一a 。2 。) ) 等空间上的b 样条基 是非常重要且实用的同时，他们也讨论了带边界条件的样条空间的结构问 题 一t ”】，王仁宏，卢旭光给出了三角剖分上空间的维数 7 】以上结果也可以参考 王仁宏的专著 1 2 ，1l o 】 对于m o r g a n s c o t t 剖分。，人们发现d i m 秘( 。) 严重依赖于剖分的几 何特征 9 0 l ，这个性质称为样条空间维数的奇异性施锡泉】，许志强f 2 8 】等 对m o r g a n - s c o t t 音8 分的维数奇异性问题进行了较深入的研究王仁宏。罗钟 铉等对非线性样条问题进行了讨论 2 3 1 最近，王仁宏，李崇君等还将样条空 间醴( 瓣) ，l ，$ 4 4 2 。r 。a 。( 2 。) ，爰1 1 ( 翁) ，爰2 ( 瓣) 构造的b 样条基应用于曲面造型与 微分方程数值解，取得了较好的结果叫 1 1 2b 网方法 所谓b 网方法，就是利用两个多项式在两个相邻单纯形上b e m s t e i n 表达形 式的系数之间的关系，给出光滑拼接的条件最早将一元b e r n s t e i n 多项式推广到 二元情形的是五十年代d ec a s t e l j a u 的工作，但并未发表将b e m s t e i n 多项式用于 多元样条理论的研究，当首推f a r i n 在1 9 8 0 年完成的博士论文中的工作f a r i n 在 博士论文中考虑了多元样条b 6 z i e r 坐标和光滑性的关系，从而使b 网方法成为研 究多元样条的重要方法之一。中国学者苏步青、刘鼎元、常庚哲、冯玉瑜、郭 竹瑞、贾荣庆等人也作了许多有意义的工作 大连理r 大学博十学静论文 b 刚方法要求剖分为单纯形剖分，一股不能考虑任意剖分下的样条空间 但由于剖分的针对慌b 网方法对处理单纯形剖分上的样条有其特殊的优越性 迄今为止，单纯形剖分上样条的一些问题的最佳结果，如任意三角剖分上二元 样条空间的维数问题，多是由b 网方法得到的卜面介缁b 网方法的基本思想和 主要结果，有兴趣的读者可参考 6 4 ，7 1 设t ，l ，u 2 ，1 ：3 是三角形6 按逆时针方向排列的三个顶点，则仟意z 琏2 可唯一 表示为 o = t l v l + t 2 v 2 + r 3 v 3 其中，7 1 + n + 码= 1 ，称7 - 1 ，7 - 2 ，7 3 为z 关于三角彤d 的面积坐标矸i 难得到 。：唑二生坠= 堕。：i ! ! 二三型! 二型。：! ! ! = 苎2 1 1 1 二苎2 n 2 盖了= i j 声= 面您2 石了二五万i 而乃2 瓦i = i 万巧商 面积坐标有一个重要的性质就是具有仿射不变件令可= z 2 一z 1 ，q 的面积坐标 为f ( ) ：( 矗“，矗，矗。) ，。= 1 ，2 盘= ( 0 1 ，q 2 ：口3 ) = r ( 2 ) 一r ( 1 ) 函数，( 。) 的自变 量z 用面积坐标替换后得到的函数仍用，( r ) 表示，替换前后函数的偏导数与方 向导数有如下关系： 刚加嘶m t 筹怕等+ 蛳等 d ：，( r ) = e b j ( n ) d 1 ，( 下) i a i = r 其中，贸( r ) = 器丁1 = 蕊霄1 右2 矗3 ，入l + a 2 + a 3 = 礼，a ： z + 称日2 ( r ) 为b 日m 咖抽基函甄它们具有如下性质： 1 b ( 下) o ，r d = 扣l ， 0 2 ，u 3 】 2 川：。暇( 7 _ ) 三1 3 ( 至强( f ) ，= n ) 是多项式空间p 。的一组基底 4 聊( 丁) 在点r = ；处取唯一极大值 由性质3 可知，任一多项式p 可唯一表示成 p ( r ) = 6 - 磁( 丁) l a l = n 笪苎垡墼些垡：坌苎! 墼堡兰坌兰垡墼堡堕苤些塑壁堡窭一 i 入i ：凡) 称为p ( r ) 关于6 的口出泖坐标，插值f _ j ： ( ；，b x ) ：= 佗 的分片线性 函薮称为p ( r ) 关于6 的胞砌删，简称b 剧下述定理显示了b e r n s t e i n 形式的升阶 公式 定理1 4 令g l = ( 1 ，0 ，o ) ，e 2 = ( 0 ，1 ，o ) ，b 3 = ( 0 ，0 ，1 ) 则 b o ) ：熹塞地。引舻礼+ ， 奴霹( r ) = 6 妒霹+ 1 ( r ) 定理1 5 ( d ec a s t e l | a u 算法) 假设凡次多项式p ( t ) = 。6 职( f ) 若 令6 7 ( r ) = “，6 0 ( r ) = ；_ 1q 6 ( r + - - 。i ，( 7 一) ，i a l = 礼一t 则 p ( r ) = 6 譬瞅一7 ( r ) ，0 r s 他 ；q = n - t 特别地，取r ：n ，则得p ( r ) = 6 妒( r ) 下述定理给出了n 次多项式p ( t ) 沿r 的方向导数 定理1 6 即= 禹i 暑6 m 7 网q ) 现在我们讨论样条的光滑条件设t 为以”l ，”2 ，”3 为顶点的三角形，t 7 为 以可i ，地，u 3 为顶点的三角形，与丁有公共边u 2 姐( 如图1 1 所示)