（计算数学专业论文）平面线性弹性问题的mortar有限元方法及其cascadic多重网格的解法.pdf

摘要 在偏微分方程数值求解的领域中，有限元方法具有重要地位，其中m o r t a r 元 方法和c a s c a d i c 多重网格方法一直在受到关注。本文的目的便是研究这两种方 法对于在工程中应用广泛的平面线性弹性问题有限元求解的作用。 t m o r t a r 元方法在近十年中取得了很大的发展，与传统区域分解方法不同的 是，该方法允许在不同子区域中用不同方法或使用不同的有限元网格剖分来求 解，增加了求解的灵活性，而所的结果的精度不变。1 本文证明了对于平面弹性问 题，其m o r t a rw i l s o n 有限元解存在唯一，并且具有o ( h ) 阶的日1 范数误差估 计，对于纯位移边界条件问题更可达到o ( h 2 ) 阶的三2 范数误差估计。 由于m o r t a r 有限元方法求解中的刚度矩阵不具有良好的条件数，对于大型 问题难于直接求解，因此对纯位移边界条件问题，本文考虑用c a s c a d i c 多重网格 方法作为预条件子来求解。文中给出了适宜的网格转移算子和迭代算子，证明了 方法的最优性唧在问题的阶数变大时，在不影响误差的能量范数估计的阶数的 前提下，总体的工作量仅呈线性增长。最后通过数值实验再次验证了本文的理论 结果。r n ， 关键词：平面线性弹性问题，m o r t a r 有限元方法，c a s c a d j c 多重网格方法。 中图法分类号：0 2 4 1 8 2 a b s t r a c t f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) p l a y s a ni m p o r t a n tr o l ei nt h en u m e r i c a ls o l u t i o n o fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a n dt h em o r t a rf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa n dt h e c a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o dh a v er e c e i v e db r o a dc o n s i d e r a t i o n s ot h i sp a p e ri sf o c u s e d o nt h es o l u t i o no fp l a n a rl i n e a re l a s t i c i t yu s i n gt h e s et w op r e c o n d i t i o n e r s m o r t a rf e mh a sa c h i e v e dag r e a tp r o g r e s si nt h er e c e n tt e ny e a r s t h 三sm e t h o d d 操r sf r o mt r a d i t i o n a ld o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d si nt h a ti ta l l o w st oc o u p l e d i 艉r e n tm e t h o d si nd i f f e r e n ts u b d o m a i n sw i t h o u td e t e r i o r a t i n go i lt h ee r r o re s t i m a t e s 、 w h i c hb r i n g sm o r em o b i l i t yt ot h es o l u t i o n i nt h i sp a p e r ，i tw i l lb ep r o v e dt h a tt h e m o r t a rf e mi sa l s oe m c i e n tt op l a n a rl i n e a re l a s t i c i t y i ti st os a yt h a tt h e r ee x s i s t s o n ea n do n l yo n em o r t a rs o h t i o nt ot h ep r o b l e ma n dt h ee r r o re s t i m a t ei so p t i m a l t h e 0 ( ) e r r o re s t i m a t ec a nb ea c h i e v e db yh 1 n o r 1 a n df o rp u r e - d i s p l a c e m e n tp r o b l e m s t h ee r r o re s t i m a t eo f 上2n o r n li so ( h 2 、 i ti sw e l lk n o w nt h a tt h es t i f f n e s sm a t r i xf o rt h em o r t a rf e m i sn o tw e l lc o n d i t i o n e d ，s oi tw i l lb ec o s t l yt os o l v el a r g e - s c a l ep r o b l e m sd i r e c t l y i tp r o v e dh e l p f u t o u s e m n l t i g r i dp r e c o n d i t i o n e r si ns o l v i n gp u r e d i s p l a c e m e n tp r o b l e m s h e r ew eo n l yt a k e f o rg r a n t e dt h ec a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o d e f f i c i e n ti n t e r g r i do p e r a t e ra n ds m o o t h i n g o p e r a t e ra x eg i v e na n dp r o v e dt ob eo p t i m a l ，w h i c hm e a n st h a tw h e nt h es i z eo ft h e p r o b l e mi n c r e a s e s ，t h ea m o u n to fw o r ki n c r e a s el i n e a r l yw i t h o u td e t e r i o r a t i n go nt h e e n e r g yn o r m o ft h ee r r o re s t i m a t e a tl a s t ，t h er e s u l to fc o m p u t e ri m p l e m e n t a t i o n c o n f i r m st h et h o e r y k e yw o r d s ：p l a n a r l i n e a re l a s t i c i t y , m o r t a rf e m ，c a s c a d i cm u l t i 【g r i dm e t h o d s 2 致谢 y3 5 辱 首先感谢我的导师李立康教授，在他的指导下这篇论文最终完成了。感谢李 老师三年来的教导与帮助，和此次对我的论文的细心指导，他的丰富的学识、透 彻的洞察力和严格认真的研究态度使我收益良多，从他身上我不仅学到了进行数 学研究的理论与方法，还深深感受到了一个数学工作者的优秀品格。 助。 同样感谢蒋尔雄教授和曹志浩教授，感谢过去几年中他们对我的指导与帮 感谢李老师的博士生陈文斌、毕春加和刘庆给予我的帮助，感谢王立峰、周 广虎、洪丹辉等同学对我的帮助。衷心感谢这三年来指点和帮助过我的所有老师 和同学。 1 介绍 线性弹性问题 1 1 ，1 2 ，1 4 ，1 6 ，1 8 ，2 6 是一类常见的工程问题，本文将主要考虑 二维平面上各向同性弹性介质的纯位移边界条件问题( p u r e - d i s p l a c e m e n t b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s ) 和纯应力边界条件问题( p u r e t r a c t i o nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ) 。 下面简单介绍一下本文中将要用到的m o r t a r 元方法和c a s c a d i c 多重网格方法。 m o r t a r 元方法：m o r t a r 元方法 2 ，3 ，9 是一种非协调区域分解方法，与传统的 区域分解方法不同的是，m o r t a r 元方法允许在不同子区域中采用不同的有限元 网格剖分，或是在某些区域中用有限元方法，而在另一些区域中用其它方法，例 如谱方法。为了达到一定的解的误差估计结果，要求解空间在子区域连接处满足 一定条件，即所谓的m o r t a r 条件。这样一种方法的灵活性是显而易见的，不仅 适用于复杂区域上的求解，还适合于大型问题的并行计算。 在b e r n a r d i ，m a d a y 和p a t e r a 的论文 3 中，对谱方法和有限元方法下的m o r t a r 元方法作了详细的论述，并给出了在子区域上用协调元逼近时解的存在唯一性和 误差估计，其误差估计结果与不加m o r t a r 时是同阶的，但该论文中的m o r t a r 条 件要求解空间在子区域的顶点连续。后来出现了许多新的m o r t a r 条件提法，大 致可分为两类。一类是在总体的离散空间上加上一个弱连续条件【3 ，1 5 ，1 7 ，例如 在子区域边界上加一些积分相等条件( 在子区域顶点可不连续) ，这样得到的解空 间不属于日( n ) ，并且对于嵌套的网格得到的有限元空间是不嵌套的，但所得的 刚度矩阵是对称正定的。另一类采用l a g r a u g e 乘子法 4 ，9 ，1 9 ，2 4 ，即将m o r t a r 条件将松驰为等价的鞍点问题【8 ，9 。而在这些m o r t a r 条件中，已经不再要求子 区域的顶点连续条件。 对m o r t a r 元方法，已经发展出了一些有效的预条件迭代解法，如”d i r i c h l e t - n e u i n a n n ”方法2 1 i ”n e u m a n n n e u m a n n ”方法 1 9 ，s 0 ，和子结构方法 1 。目前更 多的关注在m o r t a r 元方法的多重网格解法上。如 1 5 】是按b r a m b l e 1 0 】的非嵌套 多重网格框架，对v a r i a b l ev c y c l e 方法给出了很好的预条件子，而 4 ，1 9 ，2 4 】则是 对鞍点问题给出了多重网格法的框架。对前一种方法，关键在于对非嵌套的解空 间给出一个合适的网格转移算子，对后一种方法，则在于证明离散后的l b b 条 件。 在本文中将考虑的是对于平面线性弹性问题，在一定的m o r t a r 条件下，证明 其解的存在唯一性，并给出误差估计。本文将在离散空间上考虑m o r t a r 条件， 而不是在l a g r a n g e 乘子法的背景下考虑该问题，因此工作将主要在于证明加了 m o r t a r 条件的k o r n 不等式，以及在m o r t a r 条件下的误差估计。 c a s c a d i c 多重网格方法：c a s c a d i c 多重网格法首先由b o r n e m a n n 和d e u f l h a r d 5 ， 6 】提出，与经典多重网格法 1 0 】不同的是，c a s c a d i c 方法不需要进行粗网格矫 正，从这个意义上来看，也可以把它看作一种”o n ew a y ”多重网格方法。该方法 的另个特征，是在粗网格上增加迭代次数，这样可以在细网格上仅用较少的迭 l 代次数就可获得较高精度。这样的一种方法相比之下要更容易理解，而且数值例 子也已证明了该方法的有效性。 文献( 6 ，2 1 中证明了，对p 1 协调元，三维空间中二阶椭圆问题在通常的一 步迭代方法，如j a c o b i 迭代法、g a u s s s e i d e l 迭代法、r i c h a r d s o n 迭代法以及c g 方法下，c a s c a d i c 多重网格法都能达到最优，但是在二维情形，仅对c g 方法能 达到最优，而对其它迭代方法只能达到拟最优。石钟慈和许学军在最近的一篇文 章 2 3 l 中则推广了这个结论，证明了对二阶椭圆问题，该结果对其它的协调元或 非协调元也成立。 在 1 6 中给出了对平面线性弹性问题的c a s c a d i c 解法，而在本文中所不同的 是将对m o r t a r 元背景下的平面线性弹性问题给出一种最优的c a s c a d i c 方法。在 下面的分析中将采用石钟慈和许学军在 2 3 】中提出的框架，给出适合的网格转移 算子和光滑子，并证明结果是最优的。 下面是本文的总体结构，第2 章详细分析了平面线性弹性问题的m o r t a rw f l s o d 元方法，证明了对纯位移边界条件问题和纯应力边界条件问题的解的存在唯 一性，即k o r n 不等式，并对纯位移边界条件问题给出了霄1 范数误差估计和三。 范数误差估计，对纯应力边界条件问题给出了直1 范数误差估计。第3 章对纯位 移边界条件问题给出了一种最优的c a s c a d i c 算法。第4 章则给出了一些数值例 子，其结果很好的验证了本文的理论结果。 2 2 平面线性弹性问题的m o r t a r 元方法 2 1 问题的提出 2 1 1 边值问题 弹性问题是一类在工程计算中常见的问题，本文的兴趣集中在其中的一类， 即平面线性弹性问题上。平面线性弹性问题本质上是一种二阶椭圆方程组，有关 的分析可见【1 1 ，1 2 ，1 4 ，1 8 】。 下面首先给出一些记号。记p ，舌= ( 也) 7 及r = ( 勺) 1 i 挺2 分别为二维平 面上的标量值函数，向量值函数和矩阵值函数，用来表示向量的转置，用， 来表示矩阵的转置，定义 酬p = p = d , i v t 7 = 蛰+ 罄， 刚口= 售 e ( = l ( g r a d 蚕+ ( g r a d i f ) 。) ， s = ( 。1 ：) ， 分别定义向量和矩阵的内积如下 在疗= 蛳q ， f i = 1 = 箍+ 鬻， = ( 薹：喜) = 喜) = ( ，01 1 ) 。 定义矩阵的迹为t r = f ：6 = t 1 1 + 下2 2 。 设f l 为二维平面上的有界区域，且具有l i p s e h i t z 连续边界a n 。设矗= ( u 1 ，u 2 ) 2 为位移，氕z ) = ( ， ) 为体力。则应变e ( 回和应力，( 回分别为 1 e ( 矗) = g r a d d 一妄( r o t a ) x ， ，( 面) = 2 p f ( 回+ a t r ( f ( 司) 正 其中p 和a 为l a r e s 常数，且( “a ) f p l ，p 2 】( 0 ，) ，o p ls 脚。 3 勺 。汹 。汹 | j r 则可以写出平面弹性问题的平衡方程，由边界条件的不同，可以把问题分为 不同的两类。一类是纯位移边界条件问题： ：笺叫套巍， ( 2 ) 【订= 正在a n ， ”一” 另一类是纯应力边界条件问题： 茹；：；：竺套纛， 仁m ， 【口( 霞) q n = 贰在a n ， 、。7 其中珊表示区域n 的边界上的外法线方向单位向量。 2 1 2 变分形式 为了用有限元方法来求解上面给出的这两个方程，先要给出等价的变分形 式。因此先给出一些空间和空间上的范数，有关s o b o l e v 空间的理论可参考 2 5 ， 这里仅写出空间h “( o ) ，( m = 1 ，2 ，) 上的范数和半范数为 胁= ( 。篆棚0 卵a + 4 吲v 2 酬2 ， 川椰= c 点。磊m l 筠p 卢。 同样可定义向量s o b o l e v 空间上的范数，首先记( l 2 ) ) ：空间上的内积为 = 止矗s d z ， w ，方( 工2 ( q ) ) 2 ， 记空间膏”( n ) ( m = 0 ，1 ，2 ，) 为 啻m ( 0 ) = 舌= ( 封1 ，口2 ) t ：q 日m ( n ) ，l = 1 ，2 ) ， 定义空间啻”( n ) 上的范数和半范数为 叫l 。，n = ( i f 优i | 嘉n ) 1 2 i = 1 2 i 叫。，n = ( 1 i ：，n ) 1 2 ， = 1 l = 0 ，1 ，2 m = 1 ，2 ，。 类似上面的定义，还可在n 中的任意一条连续曲线7 上定义相应的内积与 范数，为了在记号上区别开来，将用下标7 来标识。例如，i i l l ，将表示7 上三： 的范数。 4 定义2 1 1 记丑为实数系，定义空间 见憎( o ) ：= 石 f ：f + 6f 现 1 一1 f 丑2 ，b 埘( 2 1 3 ) 亩“( 叭= 耿趴叭上弛= 6 _ r o t 讹= 0 ) o ( 2 “) 易见，空间冠m ( o ) 是应变函数e 的核空间，即 e ( 回= 0 ，v d r m ( n ) ， 而空间膏( n ) 是空间宙m ( n ) 的闭子空间。 有了上面的定义，可以给出方程的等价变分形式。为了方便起见，对纯位移 边界条件问题将仅考虑齐次边界条件的情形，其结果可以很容易的推广到非齐次 边界条件的情形。则方程( 2 1 1 ) 的等价变分形式为：求疗拂c a ) ，使 口( 试回= ( ，司，坷屈( n ) ，( 2 1 5 ) 其中 口( 矗，回：= ( 2 p e ( 面) ：e ( 回+ a d i vd i v 砷d z 。 而对纯应力边界条件问题，方程( 2 1 2 ) 的等价变分形式为：求百膏( n ) ，使 d ( t 砷= ( ，回+ ( 贰砷8 n ，v 订日( n ) 。( 2 1 6 ) 利用g r e e n 公式可以很容易的证明微分方程形式( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 与变分形式 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 的等价性，具体证明可参考s c b r e n n e r 【1 2 。若区域n 是凸多边 形，且，三2 ( n ) ，在b r e n n e r 的书中也给出了方程( 2 1 5 ) 解在司( q ) 中的存在唯 一性，和方程( 2 1 6 ) 的解在膏。( n ) 中的存在唯性的证明。众所周知，为使纯应 力边界条件问题的解存在唯一，要求萝茸1 2 ( a n ) ，且尹和歹要满足下面的匹配 条件 ， t g d z + l 一自如= 0 ， 、r m ( f 1 ) 。 j f lj a n 此外，若上述条件均满足，还可以证明问题( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 的解具有如下 的正则性f 1 1 】对问题( 2 1 5 ) 的解有 西直苦( q ) ，l l 面1 1 2 ，n + a i i d i v 矗1 1 1 ，n c i l ，1 l o n ，( 2 1 7 ) 对问题( 2 1 6 ) 的解有 色2 d 日( n ) ， i f 司1 2 ，n + a | f d i v 矗| 1 1 ，n c ( f i ，l f o ，n + l i 引f ；，a n ) 。 ( 2 1 8 ) 其中c 为仅与n 有关的常数。 5 2 1 3 m o r t a r 有限元离散 对于前面提出的弹性问题变分形式( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ，用m o r t a r 有限元方法进行 离散。在每个子区域上将用w i l s o n 元来对之进行离散。 假设n 是长方形区域。将n 剖分为个长方形子区域q k ( 女1 ) n = u n k ，且n n n j = d “j ) 。 k = o 这里仅考虑几何协调的区域剖分，即v i ，使a n i n a n j 或者为空集，或者为一 整条边，或者为一个顶点。记方在q 女上的值为玩。 记为n 与n j 的公共边，定义内交边集为r = u 1 i j ，j ，即r 为一系 列互不相交的开线段的并集。对v 竹，j r ，把它看作是分别包含于n i 和n 的两 条重合的边，任意指定其中的一条边为m o r t a r 边，另一条边为n o n m o r t a r 边， 分别记之为缁和了2 ，为了记号上的简便，在后面将把内交边简记为7 ，并假设 7 m 在取中，7 f 在n i 中。则有 r = ii7 m = lj7 m 。 1 r r e f 区域剖分好后，对每个子区域分别进行拟一致有限元剖分。令t h ( a k ) 为 0 k 上的长方形剖分，记鲰为最大剖分直径。剖分在相邻子区域的公共边上两边 可以不一致，只假定对k ，存在与区域剖分无关的常数g 使 警g ，v 1 n ，其中 2 1 m i a 0 且与h 无关， 玩( 亩，诹，蟊佩) = ( 讧一诹，伊一磊) 一玩( 口，佩) + 既( 庐，吼) 。( 2 4 4 ) 证明：设v 歹三2 ( n ) j d i v ，( 回= 贰在n ， i 舌= d ，在a n ， 则存在唯一解乒魂( q ) ，且恫b i i 剜1 0 , n 。 忙瑚邝c 蒜，i 掣i o靠2 ( n ) 旧，n c 高。，鲢铲2 , f l ，丧掰( n ) 咿| | 1 4 由g r e e n 公式 又由 及 可得证。口 ( 面一诹，一d i v 口( 乒) ) = 8 ( 矗一f f h ，囝+ e ( 乒，在一f f h ) a h ( g 诹，甄) + e h ( g ，西) = 0 ，v 佩蟊 最( 最司= 0 引理2 4 3 设订魂( n ) n n 篷1 膏2 ( n ) ，则 引理2 4 3 即逼近误差估计，由引理2 2 7 可得。 引理2 4 4 设矗魂( n ) nn 墨1 膏2 ( 吼) ，则v u 7 蟊 有 n i e h ( a ，面) lsc h k l d k l 2 ，n 。蚓1 ，h 。 ( 2 4 5 ) k = l 证明：令 n 仇旧回= 一荟耳。蒹。) 以耳p 材) - 沁一护) 抚 m h ( f f ，面) = ( 一( 矗) 职) t 一 d r ，( 表示7 上的跳跃) ， 则易见e h ( a ，面) = d h ( a ，面) + m h ( 届，面) 。