（计算数学专业论文）基于亚像素边缘估计的图像放大方法.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 数字图像在现代社会中扮演着非常重要的角色，其应用已发展到生活的各个方面。 但是由于绝大多数数字化仪记录图像的分辨率都比较低，在显示器上的漂亮图像经过放 大打印之后，只会得到低质量的模糊图像。如果从硬件上着手改进以提高设备的分辨率， 需要付出比较昂贵的代价；对于存储和网络传输的图像，由于存储空间、网络带宽和传 输速率的限制，也无法直接存储和传输高分辨率的图像。因此，利用低分辨率的图像应 用插值方法得到高分辨率图像成为人们追求的目标，图像放大技术也应运而生。 制约图像放大技术的主要因素是无法在原始图像中加入任何新的信息，一些经典的 图像插值放大方法，实质上是对理想低通滤波器的逼近，图像的高频部分损失了，导致 插值后图像的边缘部分模糊。而图像边缘包含了一幅图像中最重要的信息，是图像最重 要的特征之一，因此，很多方法都致力于改善边缘部分的效果来提高整幅图像的视觉效 果。本文介绍了一种边缘保护的图像插值放大方法，利用原始低分辨率图像的亚像素边 缘引导插值过程。 这种方法首先用r o t 滤波算子进行亚像素边缘定位，并针对r o t 算子对于特殊边 缘不适用的缺点对其进行了改进，采用l o g 边缘检测算子代替r o t 滤波算子，l o g 算子可以通过控制参数的变化来调整检测的结果，对于边缘较窄的情况有更好的效果。 其次，本文阐述了边缘定向插值方法的具体过程，并提出了一种新的无振荡的插值曲线， 能够减少振荡的多项式曲线在插值过程中产生的瑕疵点。最后，通过实验验证，说明该 方法的有效性。将该方法应用于几组不同的图像，分别从视觉评价和定量估计的方法得 到了清晰的插值图像和较好的数值结果，相较于原来的方法，本文提出的方法，得到的 放大图像瑕疵点较少，且有较好的抗噪能力，取得了较为满意的效果。 关键词：图像放大；亚像素；边缘估计；边缘定向；插值 基于亚像素边缘估计的图像放大方法 i m a g em a g n i f i c a t i o nm e t h o db a s e do ns u b p i x e le d g ee s t i m a t i o n a b s t r a c t d i g i t a li m a g ep l a y sav e r yi m p o r t a n tp a r ti nm o d e ms o c i e t y ，a n di th a sb e e na p p l i e di n e v e r ya s p e c t so fl i f e b u tp r e t t y - l o o k i n gi m a g e so nv i d e om o n i t o r sr e s d ti nl o wq u a l i t yb l u r r e d i m a g e sa f t e rm a g n i f i e da n dp r i n t e d i fh a r d w a r ei si m p r o v e do nt oi n c r e a s er e s o l u t i o n ，h i g h e r e x p e n s ew i l lb ep a i d ；h i g hr e s o l u t i o ni m a g e sa l s oc a nn o tb e e ns t o r e da n dt r a n s m i t t e dd i r e c t l y o nt h el i n eb e c a u s eo fl i m i t a t i o no fs t o r a g es p a c e ，n e tb a n db r o a da n dt r a n s m i s s i o nr a t e s ov a l i d m e t h o df o ri m a g ei n t e r p o l a t i o nh a sb e c o m et h ea i mw h i c hp e o p l ea r ep u r s u i n g ，a n di m a g e m a g n i f i c a t i o nt e c h n o l o g ye m e r g e sa st h et i m e sr e q u i r e t h em a i nl i m i t a t i o no fs t a t e - o f - t h e a r t m a g n i f y i n gt e c h n i q u e si st h a t 廿l e yd on o t i n t r o d u c ea n yn e wi n f o r m a t i o nt ot h eo r i g i n a li m a g e s o m ec l a s s i c a li m a g ei n t e r p o l a t i o n m a g n i f i c a t i o nm e t h o d sa p p r o a c ht op e r f e c tl o wp a s sf i l t e r s s oh i g hf r e q u e n c yp a r t sa r el o s t ， a n di nt h i sw a yt h ee d g e so fi m a g e sb e c o m eb l u r r e d m o r e o v e r , t h ee d g ei st h eo n eo fm o s t i m p o r t a n tc h a r a c t e r si nt h ei m a g e s o ，m a n ym e t h o d sa 1 1p a ya t t e n t i o nt oi m p r o v i n gt h ee d g e t h ei d e au n d e r l y i n gt h i sw o r kt a k e sa l le d g e - d i r e c t e da p p r o a c hb yu s 啦t h es u b - p i x e le d g e m a po f t h eo r i g i n a ll o wr e s o l u t i o ni m a g et og u i d et h ei n t e r p o l a t i o np r o c e s s s u b - p i x e le d g el o c a t i o ni st h ef i r s ts t e po ft h i sm e t h o d i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c et h e r o tf i l t e ra n dt h el o ge d g ed e t e c t i o no p e r a t o rw h i c hc a l la d j u s tt h ed e t e c t i o nr e s u l t sb y c o n t r o l l i n gt h ep a r a m e t e r sa n di sb e t t e rf o rt h ec a s eo fan a r r o we d g e s e c o n d l y ，t h i sp a p e r e l a b o r a t e s e d g e - d i r e c t e di n t e r p o l a t i o nm e t h o d ss p e c i f i cp r o c e s sa n dp r o p o s e s an e w n o n - o s c i l l a t o r yi n t e r p o l a t i o nc u r v ew h i c hc a l ld e c r e a s et h ef l a w sg e n e r a t e df r o mp o l y n o m i a l c u r v e f i n a l l y ，e x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h em e t h o di se f f e c t i v e t h em e t h o dh a sb e e na p p l i e dt o s e v e r a ls e t so fd i f f e r e n ti m a g e s r e s p e c t i v e l y ，f r o mt h ev i s u a le v a l u a t i o na n dq u a n t i t a t i v e e s t i m a t e ，w eg e tc l e a ri m a g e sa n dg o o dn u m e r i c a lr e s u l t s c o m p a r e dt ot h eo r i g i n a lm e t h o d ， t h em a g n i f e di m a g e sh a v ef e w e rf l a w s ，a n dt l l i sm e t h o dh a v eab e t t e ra n t i - n o i s ea b i l i t y k e yw o r d s ：i m a g em a g n i f i c a t i o n ；s u b - p i x e l ；e d g ee s t i m a t i o n ；e d g e - d i r e c t ； i n t e r p o l a t i o n 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：盔重型壁查：望垒堡丑鱼堕堡丛壶堕 作者签名：至l j 已一日期：耳年互月j 垃日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目： 差孟羔堡壶垫硷盥茸丝因匾丛盔丕垄 作者签名：盘生 e l 期：埠年厶月j 日 导师签名：幽却一日期：丑乒年4 月丝日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 图像是自然生物或人造物理的观测系统对世界的记录，是以物理能量为载体，以物 质为记录介质的信息的一种形式。图像信息是人类认识世界的重要知识来源，国外学者 曾作过统计，人类所得的信息有8 0 以上是来自眼睛摄取的图像。在许多场合里，没有 任何其他形式比图像所传送的信息更丰富和真切。随着科学技术的发展，人们所获取的 图像形式的信息将会交得更多。 早期，数字图像处理是指使用数字计算机加工处理图像以获得所需要的信息或信息 形式。这类技术的系统研究始于2 0 世纪5 0 年代，1 9 6 4 年美国喷射推进实验室使用数字 计算机对太空船送回的大批月球照片处理后，得到了清晰逼真的图像，这是这门技术发 展的重要里程碑，此后数字图像处理技术在空间研究中一直得到广泛的应用。同时，这 门技术在其他许多重要领域中也得到了广泛研究和应用，并取得了显著成果。1 9 7 0 年以 来，由于大量的研究和应用，数字图像处理已发展、延伸并形成了较完善的学科体系， 它可以细分为图像处理、图像分析、图像压缩、机器视觉等等，已成为一门独立的新学 科一图像信息处理技术，简称为图像技术。 近1 5 年来，图像信息处理技术的发展更为深入、广泛和迅速，这主要是因为各个 领域对其提出了越来越高的要求以及相关学科的发展。现在人们已充分认识到图像信息 处理技术是认识世界、改造世界的重要手段之一。 目前，图像信息处理技术已广泛应用于许多社会领域，如工业、农业、国防军事、 社会公安、科研、生物医学、通信邮电等等【1 1 。 1 1图像放大概述 1 1 1 什么是图像放大 放大一幅给定的图像，即提高一幅给定图像的分辨率。从图像存储的角度讲，图像 放大是根据原始图像的像素点产生更多的像索点。所以从该角度讲，图像放大的核心是 如何补充所需要的点。而图像放大的实质则是图像数据的补充。 图像放大的输入和输出都是图像，输出也要符合图像的特征，这是进行图像放大处 理的第一个约束。例如如果认为图像是连续的，那么输出的图像也应该符合关于连续的 定义。第二个约束是输入图像和输出的图像的信息保持尽可能小的失真。这种失真越小 也就说明放大的效果越好( 在不考虑运算开销的情况下) 。 基于亚像素边缘估计的图像放大方法 1 1 2 图像放大的应用 对数字图像进行不同比例的放大，作为图像信息处理技术中一个重要的研究课题， 有着极高的应用价值。 在军事上，对数字地图或地形资料进行不同尺寸的显示与控制是电子沙盘作业中必 不可少的环节。军事决策人员常常需要反复对某一地区进行总体概览与局部分析，军事 情报人员需要在所给的有限分辨率的地形资料上精确标定目标。此外，由于图像尺寸的 变化意味着图像采样密度的变化，采用好的方法放大图像还能起到提高图像的视觉分辨 率的作用，这对于军事目标识别来说显得格外重要。 在商业上，随着近年来多媒体设备和大屏幕( 例如电视墙等) 的普及，图像放大的 重要性愈加明显，对图像压缩与传输也更具意义。 另外，图像放大在卫星照相，气象，遥感，医学成像和电影合成等方面也都有着重 要的应用。如对卫星图片的放大，分析气候变化、寻找矿藏；对c t 图像放大，方便医 生诊断；对数码相机及摄像机拍摄的图像进行放大，突出人物或部分场景等等。总之大 部分以数字图像作为数据的应用中都会有图像放大的需求。好的图像放大方法能够使得 到的图像具有较高的质量，从而为进一步的工作提供很大的便利。 1 1 3 图像放大方法概述 传统的图像放大方法有很多种。最早被提出来的方法是通过重建原始图像数据的近 似连续函数来放大图像的内插方法，这其中最近邻插值法是最简单，最容易实现的，但 该方法会在放大的图像中产生明显的锯齿形边缘和方块效应。双线性插值算法很好地解 决了这种锯齿问题，然而，在放大后的图像中边缘变得模糊了。还有一些学者提出了基 于高阶多项式的多项式内插算法，如三次样条插值和三次b 样条插值。此外还有一些算 法，如用s i n c 函数作为插值函数、利用高斯函数及其偶数阶导数的插值方法、b 6 z i e r 曲面插值、l a g r a n g e 插值，等等，这些方法的实质都是低通滤波器，它们将图像中的高 频部分滤除掉，导致边缘信息丢失，均无法改善边缘模糊的问题。 为了更好地放大图像，人们提出了许多新的算法，包括：将非线性技术引入插值中 的图像放大算法，典型的方法有中值插值、自适应插值、子带插值以及分形插值算法； 基于聚类分析和基于小波分析的图像插值方法，能在一定程度上增加新的高频信息；基 于对象的插值方法，等等。 一2 一 大连理工大学硕士学位论文 1 2 研究现状 本文研究的基于图像边缘信息的插值方法是自适应插值方法的一种。自适应插值算 法试图将一些图像的特征融入人眼视觉系统，如方向敏感性，利用预先从点的邻域抽取 到的一些符合视觉特征的局部图像特征来进行插值。边缘特征是其考虑的一个最重要的 特征之一，对图像视觉质量有重要的影响。几乎所有的图像插值算法都试图实现对图像 边缘部分的自适应处理，尽量保持原图像的边缘特征。就图像插值而言，应该使插值总 是能够自适应地顺着边缘方向进行，使插值后图像边缘部分分明而无锯齿等干扰现象， 以此提高插值后图像的主观视觉质量 2 】。 对于基于图像边缘的自适应插值方法，国内外学者已经进行了广泛而深入的研究。 表1 1 列出了国外学者的一些主要研究成果。 表1 1 国外主要研究成果 t a b 1 1t 1 1 em a i nr e s e a r c hr e s u l t sa b r o a d 作者主要内容 利用非线性滤波器，对沿边缘方向的像素点分配较大的权值，而与边缘方向交叉 c a r r a t o 等 方向上的像素点分配较小的权值，以增强边缘的清晰度，保持图像的边缘特征【孔。 t h u m h o f e r， 给出了一种采用二次v o l t e r r a 滤波器增强边界的自适应图像放大算法f 4 j 。 m i t r a 提出了基于数学形态学的图像放大方法，该方法首先确定边界，然后分别对平坦 刘b i o i 等区域和边界区域进行不同的处理：对于像素变化缓慢的平坦区域采用线性方法插 值，而在边界处进行特殊处理【5 1 。 先计算局部区域内若干像素点的梯度值，将这些梯度值量化后，根据大多数量化 t h u m h o f e r 等 后的梯度值确定的方向来判定边缘方向，再沿边缘方向进行插值1 6 1 。 k w a np y oh o n g根据d c t 系数( 离散余弦系数) 可以反映出灰度变化的剧烈程度，提出了利用 等 d c t 系数判定边缘方向，再沿边缘方向进行插值的算法【7 】o 认为放大后图像边缘方向和原图像边缘方向仍然一致，而图像的局部协方差包含 x i nl i 等 了边缘方向的统计信息，因此可以利用原图像的局部协方差来干预插值的方向( 8 】。 提出了局部自适应的数字图像放大算法，该算法实际上是梯度控制的加权插值方 b a t t i a t o 等 法【9 1 。 国内也提出了很多自适应的图像插值方法： ( 1 ) 边缘移动匹配法【1 0 】 基于亚像素边缘估计的图像放大方法 首先对图像局部区域的特征信息进行研究，将图像分成边缘区域和非边缘区域，对 原图像边缘部分的像素点利用边缘移动匹配算法寻找边缘方向，再使插值沿边缘方向进 行，以使插值后图像的边缘特征得以保持，进而获得更适合于人眼观察和识别的图像。 ( 2 ) 图像缩放的分片连续算法 1 l 】 基于自然界中不同物体反映在同一幅图像中时存在部分连续的特点，提出用分片连 续的思想刻画区域内部的颜色连续与区域之间的颜色间断这一现象，将任意灰度图像采 用累次一元函数重建成三维分片连续模型。该方法保持了插值图像边界分明、层面清晰、 色彩丰富。 ( 3 ) n e w t o n t h e l e 型有理曲面插值方法【1 2 】 利用基于n e w t o n t h i e l e 型连分式的有理代数曲面重建三维曲面，较好的反映了图 像的有些纹理之间或像素间呈现的突变性质和非线性关系，较好的保持了图像的边缘特 征。 ( 4 1 基于拟合分界线的图像插值【1 3 】 该算法包括分割和插值放大两个步骤：分割是搜索出灰度图像的突变象素点，并用 三次均匀b 样条把它们拟合为光滑分界线，以把整幅图像分割为若干子区域；插值放大 是基于拟合分界线对图像插值，即插值操作限定于原图像的某一子区域内进行。这种方 法克服了常规放大算法对整幅图像无区别插值时模糊区域轮廓的缺点，不仅可保持轮廓 清晰，而且可以保持轮廓光滑。 以上都是自适应的图像插值方法，在插值过程中都充分考虑了图像边缘特征对人眼 的影响，提高了插值图像的视觉质量。 本文介绍的方法也是一种基于图像亚像素边缘的自适应插值方法。这种方法是利用 原始图像的边缘信息引导插值f 体1 9 1 ，或者更进一步地，用亚像素边缘估计得到的信息来 引导插值【2 0 ，2 1 1 。其中，j e n s e n 和a n a s t a s s i o u 提出了一种基于新的边缘拟合算子的提高分 辨率的方法，并在一个小的3 3 窗口中进行边缘检测【2 l 】，并给出了模拟实验的结果，但 是其放大倍数很小，这种技术还没有在放大倍数更大的情况下测试过。a l l e b a c h 和w o n g 用一种亚像素边缘估计技术从低分辨率图像中得到高分辨率边缘，然后用这些高分辨率 的边缘指导低分辨率图像的插值以得到最后的高分辨率图像f 蚓。这个过程被不断地重 复，以得到最佳效果。在这个方法中，滤波器的设计是非常重要的。因为它必须尽可能 地满足旋转不变性，且对噪声不敏感。k e y s 的方法是用三次插值来放大图像和纠正空 间扭曲。这种插值是理想s i n c 函数插值核的逼近【1 5 】。此方法的不足之处是不理想的插 值丢掉了部分高频信息，导致了高分辨率图像的频带限制影响。为了避免出现上述方法 大连理工大学硕士学位论文 的缺点，b i a n c a r d i ，c i n q u e 和l o m b a r d i 提出了一种新的方法。该方法用一个新的5 5 大小的r o t 滤波器来代替原来的滤波算子，减小了数字图像空间离散化造成的边缘位 置偏移，而且避免了用双三次插值滤波图像得到的错误边缘估计【2 2 1 。 下图是基于亚像素边缘估计的自适应插值算法框架【1 6 1 。 图1 1自适应插值算法框架 f i g 1 1 f r a m e w o r kf o ra d a p t i v ei n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m 1 3 本论文的主要工作 传统图像插值方法的平滑作用会损失图像的高频部分，使插值图像轮廓变得模糊。 而图像边缘包含一幅图像中最重要的信息，图像边缘部分出现的这些缺陷将严重影响插 值后图像的视觉质量。几乎所有的图像插值算法都试图实现对图像边缘部分的自适应处 理，本文的主要工作是在深入了解和学习自适应的插值算法的基础之上，对b i a n e a r d i ， c i n q u e 和l o m b a r d i 提出的基于亚像素边缘估计的边缘定向插值放大方法进行进一步研 究与讨论。首先改进了亚像素的边缘定位方法，用l o g 边缘检测算子代替原有的r o t 算子，得到了更为精确的边缘估计结果；然后针对b i a n c a r d i ，c i n q u e 和l o m b a r d i 方法 中曲线的局限性，对其边缘部分像素点的分段拟合曲线进行了改进；最后以实验证明了 改进方法的优越性。 本文的结构是：第一章是绪论，概述了图像放大的定义及其研究的意义；第二章对 亚像素边缘定位进行了综述，并阐述了r o t 滤波算子定位亚像素边缘的具体方法及本 文的改进方法；第三章介绍了图像插值的主要方法；第四章详细阐述了边缘定向的插值 方法，以及本文的主要工作：提出了新的无振荡的分段插值曲线，并与原来的曲线进行 对比。最后通过多种实际算例的数值结果和图像插值结果，验证了本文方法的有效性。 基于亚像素边缘估计的图像放大方法 2 亚像素边缘定位 2 1亚像素定位原理及选用条件 2 1 1 亚像素基本原理 许多人一开始接触亚像素定位技术时，常有第一个基本反应，即像素是数字图像中 基本的单位，也就是图像的分辨率，而亚像素精度比图像分辨率还高，甚至高很多，这 似乎是违反常理的。 这种理解在通常情况下是正确的。但是亚像素定位技术是有前提的，即目标不是由 孤立的单个像素点，而必须是由有特定灰度分布和形状分布的一组像素点组成的，例如 目标特征是圆点、角点、“十一字交叉点、直线、特征曲线等，有明显的灰度变化和一 定面积大小。 目标特性主要分为基于几何特性，基于灰度分布特性和基于几何与灰度藕合特性三 类。利用预知的目标特性，对图像目标进行处理分析( 例如滤除噪声，突出特征，提取 特征和拟合灰度特征等) ，识别并确定与目标特征最吻合的位置。在此分析定位过程中 采用浮点运算，可实现对目标优于整像素精度的定位。这种利用目标特性从图像中分析 计算出最符合此特征的目标位置的方法称为图像目标亚像素定位技术。 这里举一个简单的例子，在理想成像条件下，一个矩形经过数字化后，在数字图像 中为一长度为四个像素，宽度为两个像素，中心坐标为( 0 5 ，0 5 ) 的矩形，如图2 1 所示。 如果取整数像素值作为目标中心坐标，则定位误差为o 5 个像素值。而用形心法来计算 目标各像素坐标的平均值，则可得到正确的目标中心位置，因此，形心法就是种最简 单的亚像素定位算法。 o 1 图2 14 2 大小的长方形目标 f i g 2 1 4 2s i z eo fr e c t a n g l eo b j e c t 大连理工大学硕士学位论文 从亚像素定位原理和上面的例子可以总结出应用亚像素定位技术需要的两个基本 条件：第一，目标是由多个点组成，并具有一定的几何和灰度分布特性。如果目标是一 个孤立的像素，则其位置就是此像素的坐标位置，无法细分；第二，对此具有一定特征 的目标，必须明确目标定位基准点在目标上的具体位置。例如对于矩形目标，定位基准 点就是矩形的中心点，还是端点；对某一目标定位基准点是目标中的最亮点或最暗点， 还是灰度变化最大的点等。待定位目标的特征可以是人为建立的理想模型，也可以是从 某一实际图像中提取出的特定场景，或者是两者的结合。 目标亚像素定位技术的概念与通过对图像进行插值运算得到图像像素之间的灰度 值和坐标值的概念是完全不同的。从理论上说，插值运算并没有增加新的信息量，只是 根据插值运算的不同，假定像素间的灰度是按线性或者插值公式的规定变化的。这种插 值或重采样处理可以改善图像的视觉效果，但与目标特性这一重要信息无关，因而简单 的插值对目标亚像素定位精度并无帮助。 2 1 。2 亚像素算法的选用条件 亚像素算法的建立和选择是基于许多前提条件的。首先假设已经用普通的特征检测 方法对目标进行初步定位，即得到了整像素精度的定位，此过程被称为粗定位。然后进 行亚像素定位分析，作为细定位。其次，为了使位置不变，通常先建立一个局部坐标系， 其原点建立在粗定位点处。这样可预先计算一些所需量，并且保持像素坐标为较小的数， 从而改善数值计算特性，并可明显减少计算量。再次，许多亚像素技术是建立在一个局 部图像模式或局部特征模式基础上的。例如边界可建模表示为线。 此外，图像的离散特性是建立亚像素算法时的基本出发点，而不仅仅是事后考虑的 因素。将连续算法离散化实际引入了许多隐含的假设，特别是对一模拟信号的离散处理 要求有频谱有限带宽的限制。同时，每一种亚像素算法都应有一个适当的二维扩展应用， 而不是一种一维算法的经验推广。许多算法将感兴趣的整体特征不必要地细化为点来考 虑，例如在提取某一特定形状的边界曲线时，将算法细化为沿边界逐点在垂线方向细定 位每个边界点。而通常将目标特征整体来考虑会更有益处。实际具体亚像素定位方法有 多种，应根据实际情况选用【2 3 1 。 2 2 矩方法 矩方法是计算机视觉与模式识别中广泛应用的方法。在精密图像处理中，根据一个 物体的矩特性在成像前后保持不变的原理，将矩方法应用于圆、椭圆和矩形等中心对称 目标，以及边缘和角点等目标的亚像素定位中。 基于亚像素边缘估计的图像放大方法 2 2 1 矩定义 矩作为数学上的完备描述，相当于原函数在新的坐标空间上展开，即一个分段连续 有晃函数可用其矩族唯一表示。 一维连续函数瓜) 的p 阶空间矩聊，和灰度矩而，的定义分别为 r r l p = l x p f ( x ) d x ( 2 1 ) 而p = i 厂，( x ) d x ( 2 2 ) 二维连续函数f i x ，力的p + q 阶空间矩和p 阶灰度矩的定义分别为 m 用= j x y 9 f ( x ，y ) d x d y ( 2 3 ) 而p = i f 尹( x ，y ) d x d y ( 2 4 ) 数字图像及f ，力中目标区域s 的p + q 阶空间矩和p 阶灰度矩的定义分别为 m p q = f p 歹9 i ( i ，d ( 2 。5 ) ( f ) e s 秀2 i 1 ( 磊s 八“) 汜6 其中，r l 为区域s 中的像素点数。 2 2 2 形心法和灰度重心法 形心法和灰度重心法 2 4 - 2 6 是对图像中圆、椭圆和矩形等中心对称目标进行高精度定 位的常用亚像素算法。 ( 1 ) 形心法 二值图像i ( i ，力中的目标s 的形心( 而，) 为 而：老：端：雩 唁：甏：掣 7 ) 用形心法对目标进行定位，首先要对图像进行二值化分割，然后再将目标区域识别 出来。由于图像中存在噪声，因此目标区域的二值化分割后将产生误差，目标边界会存 在一些毛刺，为了消除这些毛刺对算法精度的影响，可对目标区域进行一些预处理，如 一8 一 大连理工大学硕士学位论文 形态学中的扩张、侵蚀、开启和闭合等运算。当目标区域面积适中时，形心法的精度可 以达到0 2 0 5 个像素。如果仅仅用目标的边缘来进行计算，这种算法可称周线平均法。 由于仅仅利用了目标区域边界的信息，因此该算法的精度要低一些。 ( 2 ) 灰度重心法 灰度重心法可以看成是以灰度为权值的加权形心法。灰度图像及f ，力中目标s 的灰 度重心( ，y o ) 为 f 形( f ，)w q ，) 铲赫确2 葡 舟 ( f ) e s( ，j ) e s 其中，w ( i ，力为权值，上式中职f ，力姐f ，力。 对于背景灰度值比较小，而目标灰度值比较高的情况，例如天文图像中的恒星，其 目标的灰度分布多为抛物面或高斯曲面，此时灰度重心通常可以获得较高的定位精度。 但是实际图像中目标特征情况很复杂，例如亮背景和暗目标、目标和背景的灰度值多比 较大等情况，因此用灰度作为权重并不适用于所有的情况。 此外还可以将式( 2 8 ) 中的灰度权值取平方，形成灰度平方重心法【2 4 】。灰度平方重心 法使得目标灰度分布的权重得到进一步的突出，在理想情况下，可以得到比灰度重心法 更好的定位精度。 2 2 3 灰度矩边缘定位法 灰度矩边缘定位法【2 7 】是由t a b a t a b a i 等提出的一种利用前三阶灰度矩来对边缘进行 亚像素定位的算法。灰度矩边缘定位法的基本原理是假设实际图像中的实际边缘与理想 边缘模型的灰度矩保持一致，即矩不变。通过关系来确定实际边缘的位置。 ( 1 ) 一维边缘定位法 一维理想阶跃边缘模型可以认为是由一系列具有灰度危与一系列具有灰度的像 素相接而构成的。这个一维理想边缘由3 个参数决定：边缘位置k 、边缘两侧的灰度值忍 和珐。如图2 2 所示，其中离散点表示实际边缘点，粗折线表示理想边缘。 设妣1 为理想阶跃函数，则一维理想边缘函数可表示为 互( 工) = ( 一岛) ( x 一尼) + 啊 ( 2 9 ) 设a 和9 2 分别表示灰度值为啊和的像素点所占的比例，两者满足如下的关系 扔+ p 2 = l ( 2 1 0 ) 基于亚像素边缘估计的图像放大方法 图2 2 一维理想边缘模型 f i g 2 2 1 一di d e a le d g em o d e l 设单调序列g ，( ，= l ，2 ，z ) 为实际边缘点的灰度值，则该序列的前三阶灰度矩满足 下式 弘荟乃铲l n 羔；，g i = 1 , 2 , 3 其中，i 1 为实际边缘点的总个数，p l = k i n 。 上式3 个方程中包含3 个未知数p l 、拓和，求解可得 h = 飘一方、j p 27 p 1 = 厩+ 孑4 p , p 2 p l ：委 1 + 了丽】 其中， ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 仃。= 一群 ( 2 1 5 ) f ：三宇蝉：墅堕蛳 ( 2 1 6 ) n 急 云s亏j 由式( 2 1 4 ) 得到边缘位置 七= n p l 一三= 量寿十孚 汜m 肛一三。三1 j 石f 十下 心“ 这里设序列g ，中第一个像素的位置取为0 ，而文献 2 7 】中的序列g 。中的第一个像素 的位置取为1 2 。 大连理工大学硕士学位论文 理论和实验都表明：灰度矩定位法具有对灰度平移和缩放的不变性；序列的长 度对边缘定位影响很小；加性噪声具有将真实边缘位置向序列中心移动的趋势，当边 缘位于序列中心时其平均误差最小。 ( 2 ) 二维边缘定位 y 。 厂 小 捌易j 。 弋二 图2 3 二维理想边缘模型 f i g 2 3 2 - i ) i d e a le d g em o d e l 如图2 3 所示的二维归一化理想阶跃边缘模型可用0 、p 、扛、缟等4 个参数表示 为 e 2 ( x , y , o , , o ，= 乏x x c o s s o 乡+ + y y s s i 访n o 矽 ： c 2 ，8 ， 其中，夕为边缘到原点的距离，0 为边缘与y 轴的夹角，其余参数定义同上。 将上述的一维边缘定位方法推广到二维，可以用来对二维边缘进行定位。具体算法 可参见文献f 2 7 】。 2 。2 4 空间矩边缘定位法 图2 4 一维理想边缘模型 f i g 2 4 l - di d e a le d g em o d e l 基于亚像素边缘估计的图像放大方法 空间矩边缘定位法【2 8 3 0 】是l y v e r s 等提出的一种利用边缘灰度空间矩来进行边缘亚 像素定位的算法，其采用的一维归一化阶跃边缘模型如图2 4 所示。图中k 为边缘点到 原点的归一化距离，b 为背景灰度值，c 为边缘对比度。 一维阶跃边缘的前三阶空间矩为 m o = b 上。d x + c f 出= 2 b + c ( 1 叫 ( 2 1 9 ) =占flxah：max d x + c f 础= 吾c ( 1 一k 2 ) ( 2 2 0 ) = 占l+ c 上础2 吉c ( 1 2 ) ( 2 = b 上_ l x 2 d x + c f x 2 d x = 詈b + 詈c ( 1 。) ( 2 2 1 ) 由上面三个方程可以计算得到边缘位置k 、边缘对比度c 和背景灰度值b 的值分别 为 k = ( 3 - - m o ) 2 m , ( 2 2 2 ) c = 2 码( 1 - k 2 ) ( 2 2 3 ) b = 去【，一c ( 1 一七) ( 2 2 4 ) 对于二维边缘定位算法可参考文献【2 9 1 。另外g h o s a 提出了基于z e m i k e 正交矩的 亚像边缘定位法【3 1 】，其原理与空间矩亚像素边缘定位法类似。但是由于z e m i k e 矩具有 正交性，因此z e m i k e 正交矩亚像素边缘定位法的计算效率比空间矩定位法略高。 2 3 拟合法 在图像处理分析中，基于最小二乘准则的函数拟合是一个有效的数学工具。例如可 以滤除图像中的噪声，或者对图像中特性己知的物体进行建模等。常用的拟合法有多项 式、高斯函数和椭圆拟合等。 使用拟合法的前提是目标的特性，如图像的灰度分布、阴影模式的噪声和测量物体 等，满足己知或假定的函数形式。通过对离散图像中的目标的灰度或坐标进行拟合，可 以得到目标的连续函数形式，从而确定描述物体的各个参数值( 位置、尺寸、形状、幅 度等) 对目标进行亚像素定位。例如对星空图像中的星星，可以通过对超过某一阈值的 像素点进行二维曲面或高斯函数拟合，选取拟合函数的最值点或极值点作为目标的定位 点。 2 3 1 多项式拟合 ( 1 ) 曲线拟合 大连理工大学硕士学位论文 给定一点系列( x ，只) ，用最小二乘法拟合得到函数厂，相当于使其均方误差( m s e ) 最小，这可以通过下式给出【3 2 1 脚= 吉魄一厂( 薯) 2 ( 2 2 5 ) 智一“。 拟合过程用来确定系数的最佳取值。也就是说，希望确定这些系数的值，以使该曲 线到给定点的误差在均方误差的意义下最小。以如下的二次抛物曲线舷) 拟合为例 厂( z ) = c o + q x + c 2 x 2 ( 2 2 6 ) 设给定点的个数为m ，未知系数的个数为丹，并且m 之忍，则可以得到矩阵形式的超 定方程组为 b c = 】， ( 2 2 7 ) 其中 y 2 乃 y 2 ： y 。 b = 1 而彳 1 毪 1 靠 c = 目 对上式进行求解就可以得到二次抛物曲线瓜) 中的系数。常用的求解方法主要有伪 逆法和豪斯荷尔德变换等方法【3 3 1 。 但) 曲面拟合 可以将上面的曲线拟合技术推广到二维曲面拟合中。下面以常见的三次曲面为例来 说明曲面拟合法。表示三次曲面的二元多项式如下 f ( x ，y ) = c o + c l x + c 2 y + c 3 x 2 + c 4 x y + c s y 2 ( 2 2 8 ) + c i + c ，x i y 七c s x y 3 + c g y j 将点系列( 薯，咒) 的坐标值代入式( 2 2 8 ) 得到的方程组可以用式( 2 2 7 ) 表示，其中矩阵b 表 示为 召：i ：簟节而，乎节彰而岁草l ( 2 2 9 ) l ： ： ：j 可以用伪逆法或豪斯荷尔德变换来进行最小二乘求解得到各个系数。 2 3 2 高斯分布拟合 对图像中光团，圆点等具有高斯分布特性的目标进行二维高斯晚面拟合t 3 2 ，从而实 现对这类目标的亚像素定位。 一个二维高斯方程表示为 基于亚像素边缘估计的图像放大方法 m 棚啪x p 一譬一譬】 ( 2 3 。) 其中，a 是幅值，巳，q 是两个方向上的标准差。对上式两边取对数，展开平方项并 整理得 h 1 4 丢一盖】+ 秒+ 抄 3 1 ， 一霹1 x 2 门一瓦1 l 朋2 将由n 个数据点组成的方程组写成矩阵形式为 q = b c ( 2 3 2 ) 其中，q 是一个nx l 的向量，其元素为 g j = zt n f , ( 2 3 3 ) c 是如下的一个完全由高斯参数复合的向量 c 7。=k么一乏2一参，毒，考，霹-1，-i；2020 2 0 - 3 4 ， 。 ：j 。盯：。莎j 。2 仃：。： b 是一个nx 5 矩阵，其第i 行为 【6 ， = d q , ，薯，只，z # ，z 卯】 ( 2 3 5 ) 用伪逆法或者豪斯荷尔德变换来进行最小二乘求解得到向量c 的各个元素值，就可 以得到高斯函数的参数为 b ：= 再i 。 6 7 = 再| 1 x o = c ： = c 3 ( 2 3 6 ) 翩x p q + 毫+ 匀 2 3 3 椭圆曲线拟合 当目标特征是圆或者椭圆时，对提取的目标边界的一组点进行椭圆最, j , - - 乘拟合， 从而确定目标的中心位置和主轴方向。 二次曲线的一般方程为 x 2 + 2 b x y + c y 2 + 2 d x + 2 e y + f = 0 ( 2 3 7 ) 大连理工大学硕士学位论文 如果满足 曰2 一c 0( 2 3 8 ) 和 ( 1 + c ) ( c f + 2 b d e d 2 c b 2 f e 2 ) 0 ( 2 3 9 ) 式陀3 7 ) 就代表一个椭圆，其均方差和为 2 = ( 工；+ 2 b x , y ，+ 研+ 2 d x ，+ 2 巩+ ，) 2 ( 2 4 0 ) 分别对上式关于召、c 、d 、e 、f 取偏导，令每个式子为零，可以得到一个包含5 个方程和5 个未知数的正定方程组。用矩阵求逆或高斯列主元消去等方法就可以求得椭 圆方程的参数。 确定一个椭圆的5 个参数为：中心点坐标( ，y 。) 、长短半轴( 口，6 ) 和长轴与x 轴的 夹角口。亚像素定位所关心的椭圆的中心坐标和夹角口的计算公式为 k ：叶b e - c d ( 2 4 1 ) 蒜o k 二 c b u ：b d - e ( 2 4 2 ) 2 丽 心“ 秒：三t a n 一1 ( 旦) ( 2 4 3 ) 2l c 。 为了抑制图像噪声的影响从而提高定位精度，可对边界进行二次拟合。即第一次拟 合后，将每个边界点代入上式，计算残差。然后将残差较大的一部分点去除掉，通常每 次去除掉5 的点。再对剩余点再进行第二次椭圆拟合。该过程可重复若干次，直到均 方差和小于某一阈值。 2 4 数字相关法 在目标定位技术中，数字相关法具有原理简单、适应性强和精度高等优点，因此得 到了广泛的应用。数字相关法的基本原理是基于互相关函数的相关特性。两个函数的互 相关函数定义如下 c ( f ) = l 几+ r ) g ( t ) d t ( 2 4 4 ) 互相关函数可衡量两个函数在不同偏移量下的相似程度。若两个函数完全相同，但 是存在一定的位移量，则当相关系数取最大值时，变量r 就是两个信号的偏移量。这就 相当于利用己知的函数g ( t ) 来确定未知函数f ( t ) 的位置。通常情况下利用包含己知目标的 像素灰度矩阵作为己知函数g ( t ) ，又称模板。用模板对搜索目标区域进行相关运算以确 基于亚像素边缘估计的图像放大方法 定目标的位置。以采用的具体方法不同分为直接相关法、协方差( 均值归一化) 相关法、 标准化相关法、标准化协方差相关法、差平方和法和差绝对值和法【3 4 】等。在此基础上提 出的亚像素步长相关法【3 5 】和相关系数拟合极值法是常用的两种高精度定位方法，常用来 进行亚像素定位。 2 5r o t 滤波算子求亚像素边缘 本节介绍一种新的亚像素边缘定位方法叫o t 滤波算子求亚像素边缘的方法，相 比于前面提到的几种方法，这种方法操作简单、适应性强，对所要定位的目标没有形状 的限制，也不需要设定模板，可以广泛的用于各种图像的亚像素边缘检测中。 2 5 1低分辨率边缘检测滤波 b i a n c a r d i ，c i n q u e 和l o m b a r d i f 2 2 1 在2 0 0 2 年提出了一种新的大小为5 x 5 的r o t 滤