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基于层内和层间相关性的小波边缘检测 心 ， 摘要 边缘是图像最基本的特征， 是图像分割、图像理解及图像检索的重要依 据。图像边缘检测一直是图像处理中的热点和难点， 迄今已有许多边缘检测方 法。 但是，由于边缘检测问题固有的复杂性， 在抗噪性能和边缘定位等方面往 往不尽如人意， 这主要是因为边缘和噪声都是高频信号， 很难在噪声和边缘中 作取舍。 由于小波变换具有良好的时、频局部化性能，图像经过多级小波变换得 到不同分辨率的子图个数， 各高频子图上的小波系数具有统计分布特性相似。 随着分解层数的增加，小波系数的范围越来越大，分辨率最低的子图的小波 系数范围最大; 高分辨率子图上大部分数值接近于0 ， 不为0 的小波系数主要 集中在低频带。但对图像来说，图像边缘、轮廓等细节信息都是高频信息， 图像经过小波变换后，其小波系数仍具有较强的相关性，尤其是在边缘信息 附近。即在同一分辨率下， 相邻的小波系数具有较强聚类特性。同样的在不同 分辨率下， 相应的小波系数也具有很强的相关特性。为此， 本文提出一种基于 小波变换的层内、层间相关性边缘枪测。 关键字:图像处理;边缘检测;小波变换;层内、层间相关性 基于层内和层间相关性的小波边缘检测 ab s t r a c t e d g e i s a b a s i c c h a r a c t e r i s t i c o f i m a g e , w h i c h i s im p o rt a n t c a u s e to s l i c e a n d u n d e r s t a n d i m a g e . t h e r e f o r e , e d g e d e t e c t i o n o f i m a g e i s a v e r y d i ff i c u lt t a s k o n i m a g e a n a l y s i s . b e c a u s e o f e d g e d e t e c t i o n c o m p l e x i t y t h a t e d g e a n d n o i s e i s h i g h fr e q u e n c y s i g n a l , d e n o is i n g a n d l o c a t i n g e d g e a r e n t v e r y w e l l . s o i t i s d i ff i c u l t t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n n o i s e a n d e d g e . i t i s k n o w n t h a t w a v e l e t t r a n s f o r m a t i o n h a s g o o d p e r f o r m a n c e i n l o c a l t i m e d o m a i n a n d f r e q u e n c y d o m a i n . s u b - i m a g e s a r e a c q u i r e d b y m u l t i l e v e l w a v e l e t t r a n s f o r m a t i o n s , t h e n w e c a n f i n d t h a t w a v e l e t c o e f f i c i e n t s o w n s i m i l a r i t y o f s t a t i s t i c a l d i s t r i b u t io n in h i g h f r e q u e n c y s u b - i m a g e s , t h a t i s t o s a y , w a v e t l e t c o e f f i c i e n t s d i s t r i b u t e m u c h w i d e r t h r o u g h i n c r e a s i n g s c a l e o f d e c o m p o s i t io n . s u b - i m a g e s o f l o w e r r e s o l u t i o n w h o s e w a v e l e t c o e f f i c i e n t s o w n w i d e r r a n g e , w h i l e s u b - i m a g e s o f h i g h e r r e s o l u t i o n w h o s e w a v e l e t c o e f f i c i e n t s o w n n a r r o w e r r a n g e . t h e r e f o r e , w a v e l e t c o e ff i c i e n t s m o s t l y m u s t e r l o w f r e q u e n c y b a n d . b u t i m a g e e d g e a n d c o n t o u r a r e h i g h f r e q u e n c y i m f o r m a t i o n , w h i c h a r e d e t a i l i n f o r m a t i o n . i t s c o e f f i c i e n t s h a v e m o r e d e p e n d e n c y t h r o u g h w a v e l e t t r a n s f o r m a t i o n , e s p e c i a l l y e d g e i m f o r m a t i o n i n n e i g h b o u r h o o d w h i c h o w n m o r e c l u s t e r c h a r a c t e r i n t h e s a m e s c a l e , a l s o i n t h e d i ff e r e n t s c a l e , r e l e v a n t w a v e l e t c o e f f i c i e n t s h a v e m o r e d e p e n d e n c y c h a r a c t e r . t h e r e f o r e , t h e e d g e d e t e c t i o n b a s e d o n w a v e l e t t r a n s f o r m o f i n t e r - s c a l e a n d i n t e a - s c a l e d e p e n d e n c y w i l l b e p r e s e n t e d . k e y w o r d s : i m a g e p r o c e s s i n g ; e d g e d e t e c t i o n ; i n t r a s c a l e a n d i n t e a s c a l e d e p e n d e n c y t r a n s f o r m: b a s e d o n 基于层内 和层间相关性的小波边缘检测 第 1 章 概述 1 . 1图像边缘 物体的边缘n ) 是以图 像局部 特性的不连续性为形式出 现的， 比 如， 灰度值 的突变，颜的突变，纹理结构的突变等。从本质上说，边缘常常意味着一个 区域的终结和另一个区域的开始。图像边缘信息在图像分析和人的视觉中都 是十分重要的，是图像识别中提取图像特征的一个重要属性t 图像的 边缘有方向 和幅度两个特性3 1 。 通常， 沿边缘走向的像素变化平缓， 而垂直于边缘走向的像素变化剧烈。这种变化可能呈现阶跃型、房顶型和凸 缘型，如图1 . 1 所式: ( a ) 阶跃型( b )房顶型( c )凸缘型 图1 . 1 灰度变化的几种类型 1 . 2 边缘检测方法 图像边缘检测与提取的研究一直贯穿于图像处理与分析的始终.图像 的大部分主要信息都存在于图像的边缘中，主要表现为图像局部特征的不连 续性，是图像中灰度变化较剧烈的地方，也即我们通常所说的信号发生奇异 变化的地方。因而通过检测包含不同区域的边缘来分析图像。 传统的图像边缘检测方法大多归结为图像高频分量的增强过程，微分运 算自 然就成了边缘检测与提取的主要手段。从而人们最早提出了一阶微分边 缘算子，如r o b e r t 算子、s o b e l 算子等这些算子。由于梯度或一阶微分算子 通常在图像边缘附近的区域内产生较宽的响应，故采用上述算子检测的边缘 图像常需作细化处理，这就影响了边缘定位的精度。 边缘检测的基本问 题是检测精度与抗噪性能间的矛盾引 。 由 于图 像边缘和 噪声均为频域中的高频分量， 简单的微分运算会增加图像中的噪声，因此在微 基于层内 和层间相关性的小波边缘检测 第 1 章 概述 1 . 1图像边缘 物体的边缘n ) 是以图 像局部 特性的不连续性为形式出 现的， 比 如， 灰度值 的突变，颜的突变，纹理结构的突变等。从本质上说，边缘常常意味着一个 区域的终结和另一个区域的开始。图像边缘信息在图像分析和人的视觉中都 是十分重要的，是图像识别中提取图像特征的一个重要属性t 图像的 边缘有方向 和幅度两个特性3 1 。 通常， 沿边缘走向的像素变化平缓， 而垂直于边缘走向的像素变化剧烈。这种变化可能呈现阶跃型、房顶型和凸 缘型，如图1 . 1 所式: ( a ) 阶跃型( b )房顶型( c )凸缘型 图1 . 1 灰度变化的几种类型 1 . 2 边缘检测方法 图像边缘检测与提取的研究一直贯穿于图像处理与分析的始终.图像 的大部分主要信息都存在于图像的边缘中，主要表现为图像局部特征的不连 续性，是图像中灰度变化较剧烈的地方，也即我们通常所说的信号发生奇异 变化的地方。因而通过检测包含不同区域的边缘来分析图像。 传统的图像边缘检测方法大多归结为图像高频分量的增强过程，微分运 算自 然就成了边缘检测与提取的主要手段。从而人们最早提出了一阶微分边 缘算子，如r o b e r t 算子、s o b e l 算子等这些算子。由于梯度或一阶微分算子 通常在图像边缘附近的区域内产生较宽的响应，故采用上述算子检测的边缘 图像常需作细化处理，这就影响了边缘定位的精度。 边缘检测的基本问 题是检测精度与抗噪性能间的矛盾引 。 由 于图 像边缘和 噪声均为频域中的高频分量， 简单的微分运算会增加图像中的噪声，因此在微 基于层内和层间相关性的小波边缘检测 分运算之前应采取适当的平滑滤波以减少高频分量中噪声的影响。 m a r r - h i l d r e t h 提出了基于线性滤波的m a r r边缘检测方法。这种方法是 先对图像作最佳平滑，然后再利用平滑图像的二阶微分零交叉确定边缘位置。 m a r r - h i l d r e t h e5 指出用不同尺度的算子作用于图像可得到图像在不同分辨率 上的描述， 通常小的尺度算子能获得较多的图像细节但对噪声也较敏感， 而大 的尺度算子虽然对噪声不很敏感但忽视了图像的细节， 因此尺度参数的选择是 该算法的关键。 当法国地理学家m o r l e t 和数学家g r o s s m a n 提出小波变换， 小波变换作为 一种变换域信号处理方法， 近年来在信号处理、图像处理、模式识别、语音分 析及众多非线性科学等领域引起了人们的极大兴趣。 在图像处理方面，目 前小 波变换主要应用于图像增强、 边缘检测等。 小波变换的优点是在时域和频域具 有良 好的局部特性16 1 。 在实际问 题中， 我们所关心的是信号在局部范围的 特征。 上个世纪9 0 年代初期m a l l a t 关于小波理论的多尺度分析方法的【7 出 现，由 于 小波理论时频分析的优越性而优于一般的传统图像边缘检测方法， 它可检测出 图像在不同尺度下的边缘特征. 因此小波变换及多尺度分析方法迅速成为处理 瞬变信号的有力工具。 1 . 3 边缘检测的研究现状、本文主要工作 小波方法是处理瞬变信号的有力工具，将小波理论应用于图像边缘检测 是小波研究中的热点问题。m a l l a t 采用离散小波对图像进行小波变换，利用 小波变换的多尺度特性，采取不同精度、不同奇异度的图像边缘，综合形成 图像边缘;图像的边缘检测目的实际上是获取更多的细节信息，减少噪声， 基于小波变换的自 适应域值多尺度边缘检测和利用小波变换中小波系数的相 关性6 . 9 进行边缘检测的 研究成为当前研究的 热点。 本文的主要进行的工作: ( 1 )分析经典图像边缘检测方法，总结各种方法的优缺点。 ( 2 )以小波理论为工具，提出了基于层内、层间小波系数相关性边缘检 w 9 方法。 基于层内和层间相关性的小波边缘检测 分运算之前应采取适当的平滑滤波以减少高频分量中噪声的影响。 m a r r - h i l d r e t h 提出了基于线性滤波的m a r r边缘检测方法。这种方法是 先对图像作最佳平滑，然后再利用平滑图像的二阶微分零交叉确定边缘位置。 m a r r - h i l d r e t h e5 指出用不同尺度的算子作用于图像可得到图像在不同分辨率 上的描述， 通常小的尺度算子能获得较多的图像细节但对噪声也较敏感， 而大 的尺度算子虽然对噪声不很敏感但忽视了图像的细节， 因此尺度参数的选择是 该算法的关键。 当法国地理学家m o r l e t 和数学家g r o s s m a n 提出小波变换， 小波变换作为 一种变换域信号处理方法， 近年来在信号处理、图像处理、模式识别、语音分 析及众多非线性科学等领域引起了人们的极大兴趣。 在图像处理方面，目 前小 波变换主要应用于图像增强、 边缘检测等。 小波变换的优点是在时域和频域具 有良 好的局部特性16 1 。 在实际问 题中， 我们所关心的是信号在局部范围的 特征。 上个世纪9 0 年代初期m a l l a t 关于小波理论的多尺度分析方法的【7 出 现，由 于 小波理论时频分析的优越性而优于一般的传统图像边缘检测方法， 它可检测出 图像在不同尺度下的边缘特征. 因此小波变换及多尺度分析方法迅速成为处理 瞬变信号的有力工具。 1 . 3 边缘检测的研究现状、本文主要工作 小波方法是处理瞬变信号的有力工具，将小波理论应用于图像边缘检测 是小波研究中的热点问题。m a l l a t 采用离散小波对图像进行小波变换，利用 小波变换的多尺度特性，采取不同精度、不同奇异度的图像边缘，综合形成 图像边缘;图像的边缘检测目的实际上是获取更多的细节信息，减少噪声， 基于小波变换的自 适应域值多尺度边缘检测和利用小波变换中小波系数的相 关性6 . 9 进行边缘检测的 研究成为当前研究的 热点。 本文的主要进行的工作: ( 1 )分析经典图像边缘检测方法，总结各种方法的优缺点。 ( 2 )以小波理论为工具，提出了基于层内、层间小波系数相关性边缘检 w 9 方法。 基于层内和层间相关性的小波边缘检测 第2 章 经典和常用的图像边缘检测方法 2 . 1简单边缘检测算子概述 由于边缘是图像上灰度变化比较剧烈的地方，在灰度变化突变处进行微 分，将产生高值，因此在数学上可用灰度的导数来表示变化。最早的边缘检 测方法都是基于像素的数值导数的， 在数字图像中 应用差分代替导数运算 。 o x f ( i , j ) 一 f ( i , j ) 一 f ( i - 1 , j ) ( 2 - 1 ) a j ( i , j ) 一 f ( i , j ) 一 f ( i , j - 1 ) ( 2 - 2 ) a , f ( i , j ) 一 x f ( i , j ) c o s 0 + a ,f ( i, j ) s in g ( 2 -3 ) 由上式可见，导数运算简单易行，但有方向性。 2 . 2 梯度算子 梯度是图像处理中最为常用的一次微分方法。 图 像 函 数 ， (x , y )在 (x , y )点 的 梯 度 幅 值 为 !琴 ) + (丝 12 , 1/2 ， 其 方 向 l l d x j l d y ) j _ _ _ . _ 1 旷、 ， 了 扩、 1* ，。 。 * 坏 ， 、 二 。 、 舒，、 ， 、， 、二 *二 .fl “ ， 心 日气 尸 几 l 几 丁一日 。 l z3 ,xt g 7 m m) 又人 巳于 子 j 泣甲 王门月 ， 曰 七 认1 又c s i 1z 曰 - f 于州 3 一 - d x j k d y j 近似运算，以获得既能满足要求又使运算简单的方法。 可用一阶差分替代一阶微分: 二 f ( x , y ) 一 f ( x , y ) 一 f ( x 一 1 , y ) a y f ( x , y ) 一 f ( x , y ) 一 f ( x , ， 一 1 ) 根 据梯 度的 定 义， 图 像f ( x , 刃的 梯 度幅 度为: 因而对于数字图像， ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) g f (x , y ) 一 j e = f (x , y )j2 + a y f (x , y )p h )2 ( 2 - 6 ) 有时为了避免平方和运算，也可将幅度用两个分量的绝对值之和来表示 目 p : g f ( x , y ) l 一 a z f ( x ,y )i+ d y f ( x ,y )i ( 2 - 7 ) 基于层内和层间相关性的小波边缘检测 2 . 2 . 1 r o b e r t 梯度算子 在图像边缘提取中， 经常使用r o b e r t 梯度算子检测边缘。 采用的是对角方向相邻两像素之差，即 o x f ( x , y ) 一 f ( x , y ) 一 f ( x 一 1 , y 一 1 ) a y f ( x , y ) 一 f ( x 一 l y ) 一 f (x , ， 一 1 ) 我们可以 采取以下 r o b e r t 梯度算子方向模板为: 而 r o b e r t 梯度 ( 2 - 9 ) ( 2 - 9 ) 门|月 11门 . 州1 尸ee几wel.set胜l 刁|习 n1盆 r o b e r t 边缘检测算子方向 模板 采用上面两个卷积算子对图像运算后，可根据公式 ( 2 - 7 )求得图像的梯 度幅度值。我们在进行图像边缘检测过程中，利用像素灰度的一阶导数算子 在灰度迅速变化处得到极值来进行奇异性的检测，它在某一点的值就代表该 点的“ 边缘强 度” ， 然后通过对这些值设置闽 值来进一步得到边缘图像u a 所 以 在 求 得 图 像 的 梯 度 幅 度 值 ， 然 后 选 取 适 当 门 限t h ， 如 果 f ( x , 对 t h， 则 该点判断为边缘点，否则该点判断为非边缘点。 2 . 2 . 2 s o b e i 梯度算子 s o b e l 提出 一种将方向 差分运算与局部平均相结合的 方法， 该算子是在以 f ( x , 力为 中 心 的3 * 3 邻 域 上 计 算 二 与y 方向 的 偏 导 数。 即: s o b e l 梯 度 算 子 是 先做加权平均，然后再微分。 a x f ( x ,y ) 一 【 f (x 一 1 ,y + 1 ) + 2 f (x , y + l ) + f (x + l ,y + 1 ) - f ( x 一 11 ， 一 1 ) + 2 f ( x ,， 一 1 ) + f (x + 1 ,， 一 1 ) e y f (x ,y ) 一 f ( x 一 11 ， 一 1 ) + 2 f (x 一 1 ,y ) + f (x - y + 1) - f (x + 1 ,， 一 1 ) + 2 f ( x + l, y ) + f (x + l, y + l ) s o b e l 算 子 实 际 上， 应 用了f ( x , 对邻 域图 像 强 度 的 加 权 平 均 差 值 ( 2 - 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) ，其梯 度大小为: g f (x ,y ) 一 o x f (x , y )卜 o y f ( x ,y )i ( 2 - 1 2 ) 基于层内和层间相关性的小波边缘检测 2 . 2 . 1 r o b e r t 梯度算子 在图像边缘提取中， 经常使用r o b e r t 梯度算子检测边缘。 采用的是对角方向相邻两像素之差，即 o x f ( x , y ) 一 f ( x , y ) 一 f ( x 一 1 , y 一 1 ) a y f ( x , y ) 一 f ( x 一 l y ) 一 f (x , ， 一 1 ) 我们可以 采取以下 r o b e r t 梯度算子方向模板为: 而 r o b e r t 梯度 ( 2 - 9 ) ( 2 - 9 ) 门|月 11门 . 州1 尸ee几wel.set胜l 刁|习 n1盆 r o b e r t 边缘检测算子方向 模板 采用上面两个卷积算子对图像运算后，可根据公式 ( 2 - 7 )求得图像的梯 度幅度值。我们在进行图像边缘检测过程中，利用像素灰度的一阶导数算子 在灰度迅速变化处得到极值来进行奇异性的检测，它在某一点的值就代表该 点的“ 边缘强 度” ， 然后通过对这些值设置闽 值来进一步得到边缘图像u a 所 以 在 求 得 图 像 的 梯 度 幅 度 值 ， 然 后 选 取 适 当 门 限t h ， 如 果 f ( x , 对 t h， 则 该点判断为边缘点，否则该点判断为非边缘点。 2 . 2 . 2 s o b e i 梯度算子 s o b e l 提出 一种将方向 差分运算与局部平均相结合的 方法， 该算子是在以 f ( x , 力为 中 心 的3 * 3 邻 域 上 计 算 二 与y 方向 的 偏 导 数。 即: s o b e l 梯 度 算 子 是 先做加权平均，然后再微分。 a x f ( x ,y ) 一 【 f (x 一 1 ,y + 1 ) + 2 f (x , y + l ) + f (x + l ,y + 1 ) - f ( x 一 11 ， 一 1 ) + 2 f ( x ,， 一 1 ) + f (x + 1 ,， 一 1 ) e y f (x ,y ) 一 f ( x 一 11 ， 一 1 ) + 2 f (x 一 1 ,y ) + f (x - y + 1) - f (x + 1 ,， 一 1 ) + 2 f ( x + l, y ) + f (x + l, y + l ) s o b e l 算 子 实 际 上， 应 用了f ( x , 对邻 域图 像 强 度 的 加 权 平 均 差 值 ( 2 - 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) ，其梯 度大小为: g f (x ,y ) 一 o x f (x , y )卜 o y f ( x ,y )i ( 2 - 1 2 ) 基于层内和层间相关性的小波边缘检测 它的卷积算子为: j。| -十.lesesj 2 1 侧u幻自 s o b e l 边缘检m 9 算子方向模板 利用上面两个卷积算子对图像运算后，根据公式 ( 2 - 1 2 )可求得图像梯 度 幅 度 值f ( x , 月， 然 后 适 当 选 取 门 限t h ， 作 如 下 判 断 :f ( x , 力 t h ， 则 该 点 判断为边缘点， 否则该点判断为非边缘点。 s o b e l 算子利用像素点上下、 左右 相邻点的灰度加权算法，根据在边缘点处达到极值这一现象进行边缘的检测， 其算子很容易在空间上实现，由于s o b e l算子引入了局部平均，使其受噪声 的 影响也较少， 但得到的边缘也较粗ll。 2 . 3拉普拉斯算子 一阶微分是一个矢量， 既有大小又有方向， 和标量相比， 它的存储量大。 拉普拉斯算子是不依赖于边缘方向的二阶微分算子，它是一个标量而不是向 量，具有旋转不变即各向同性的性质，在图像处理中经常被用来提取图像的 边缘。其表示式为: o 2 f (x , y ) - f ( x + 1 , y ) + f (x 一 1 , y ) , f (x , y ) , f (x , ， 一 1 ) 一 4 f ( x , y ) ( 2 - 1 3 ) 我们采用以 下l a p l a c i a n 算子模板: |.1!|j 门u.人n 一 4 门uiclll |.|.|匕 l a p l a c i a n 算子模 板 利 用 上 面 卷 积 算 子 对图 像 运 算 后， 可 求 得图 像 得 梯 度 幅 度 值厂 ( x ， 劝， 然 后 适当 选 取门 限t h ， 作 如 下 判 断 ;f ( x , y ) t h ， 则 该 点 判 断 为 边 缘 点， 否 则 该 基于层内和层间相关性的小波边缘检测 它的卷积算子为： e i s o b e l 边缘检器0 算千方向横板 r 一 。2 1 1 l ooo l l l 2jj 基丁层内和层间相关性的小波边缘检测 点判断为非边缘点。l a p l a c i a n 算子是二阶微分，利用边缘点处二阶导函数出 现零交叉原理检测边缘。其优点是各向同性，即具有旋转不变性，不具有方 向性，定位精度高，不但检测出了绝大部分的边缘，同时基本上没有出现伪 边缘。但是该算子存在两个缺点：其一是边缘方向信息的丢失。如丢失了边 缘、有一些边缘不够连续、不能获得边缘方向的信息。其二是该算子为二阶 微分，双倍加强了图像的噪声影响。由于l a p l a c i a n 算子为二阶微分，与一 阶微分比较，其对噪声更敏感，使得噪声成分加强。因此在实际应用中，通 常在进行微分运算之前需要对图像进行平滑“。 图2 1 、2 2 分别给出了r o b e r t 算子、s o b e l 算予、l a p l a c i a n 算子这三 种简单算子对无噪声、含噪声l e n a 图像边缘检测结果。从检测结果我们可以 得出：尽管r o b e r t 算子、s o b e l 算予、l a p l a c i a n 算子在算法上实现简便， 但是对保留图像细节，抗噪声能力有定弱点。 6 基于层内和层问相关性的小波边缘检测 ( c ) s o b e l 算子 c o ) r o b e r t 算子 ( d ) l a p l a c i a n 算子 图2 1 利用s o b e l 、r o b e r t 、l a p l a c i a n 算子对不含噪声的l e n a 图像 进行边缘检测 ( a ) 含噪l e n a 7 ( b ) r o b e r t 算子 基于层内和层间相关性的小波边缘检测 ( c ) s o b e l 算子 ( d ) l a p l a c i a n 算子 图2 2 利用s o b e l 、r o b e r t 、l a p l a c i a n 算子对含噪声( 均值“。0 ，方差 仃2 ；o 0 0 5 的高斯白噪声) l e n a 图像进行边缘检测 2 4m a r r 边缘检测算法 图像边缘信息与噪声都属于高频信息。，图像噪声去除是图像分析和计 算机视觉中最基本然而又是十分重要的技术。实际信号由于在输入、采集和 传输过程中不可避免地混有噪声，有的甚至会使信号完全淹没在噪声中难以 分辩。“噪声”可以理解为妨碍人的视觉器官或系统传感器对所接受图像源信 息进行理解或分析的各种因素。噪声对图图像处理十分重要，它影响图像处 理的输入、采集、处理的各个环节以及输出结果的全过程。特别是图像的输 入、采集的噪声是十分关键的问题，若输入伴有较大的噪声，必然影响处理 全过程及输出结果。由此可见去噪己成为图像处理中及其重要的步骤。 2 4 1 噪声 图像中的噪声“”种类很多，它对图像信号幅度和相位的影响十分复杂。 由于，图像中的噪声往往和信号交织在一起，如果平滑不当，就会使图像本 身的细节如边界轮廓、线条等变得模糊不清，从而使图像降质，如何既能平 滑掉图像中的噪声，而又尽可能保持图像细节，即少出一些细节模糊代价。 一般在图像处理技术中常见的噪声有： ( 1 ) 加性噪声 加性噪声和图像信号强度是不相关的。这类带有噪声的图像g 可看成理 想无噪声图像，和嗓声n 之和。 基于层内和层间相关性的小波边缘检测 g = 厂+ n f 2 1 4 ) ( 2 ) 乘性噪声 乘性噪声和图像信号是相关的，往往随图像信号的变化而变化。这类噪 声和图像的关系是： g = 七f n ( 3 ) 量化噪声 量化噪声是数字图像的主要噪声源 的差异。 ( 2 1 5 ) 其大小显示出数字图像和原始图像 ( 4 ) “盐和胡椒”噪声 这类噪声是往往在变换域中引入的误差，如图像反变换后造成的变换噪 声。 图2 3 、图2 4 分别给出了r o b e r t 算子对无噪声、含噪声的p e p p e r s 图 像边缘检测结果。通过对比，噪声对我们提取图像的边缘干扰较大。 图2 3r o b e r t 算子对不含噪声的p e p p e r s 图像进行边缘检测 9 基于层内和层间相关性的小波边缘检测 图2 4 利用r o b e r t 算子对含噪声( 均值= 0 ，方差盯2 = o 0 0 5 的高斯白噪 声) p e p p e r s 图像进行边缘检测 2 4 2 图像平滑 图像中的噪声往往和信号交织在一起，对于存在较大噪声的场合，出于 微分运算会起到放大噪声的作用。因此，梯度算子和拉普拉斯算子对噪声比较 敏感。一种改进的方法是对图像先进行适当的平滑“”。”，以抑制噪声，然后 再进行求微分。虽然边缘检测的基本思想很简单，但在实际实现时却碰到很大 困难，其根本原因是，实际信号都是有噪声的。以一维信号为例，图2 5 所示 的信号是一种理想信号，如果有噪声，则应是图2 6 中所述的一阶导数最大值 或二阶导数过零点的方法检测边缘点，检测出来的都有是噪声引起的假的边缘 点。这是因为噪声一般是高频信号，在噪声的前沿或后沿，噪声信号的导数一般 要高于边缘点处的信号的导数。解决这一问题的办法是先对信号进行平滑滤波， 以滤去噪声。 图2 5 理想边缘信号 图2 6 有噪声边绿信号 1 0 基丁层内和层间相关性的小波边缘检测 平滑滤波器的冲激响应函数用h ( x ) 表示，可对信号先滤波，滤波后的信 号为g ( 工) 一，) 矗g ) ，然后再对9 0 ) 求一阶或二阶导数以检测边缘点。由于 滤波运算与卷积运算次序有以下互换关系： 占7 b ) ；掣掣；瓤，g ) l b s 扭 协 = 正几) l x s 拯m ，b ) + h g ) 因此，可以将先平滑、后微分的两部运算合并，并将平滑滤波器的导数 厅b ) 称为一阶微分滤波器，将g ) 称为两阶微分滤波器。 2 4 3 检测原理 边缘检测的基本方法：先设计平滑滤波器，在检测，0 ) + 仁) 的局部最大 值或，仁) + ”仁) 的过零点。经典的边缘检测算子具有实现简单、运算速度快 等特点，但其检测受噪声的影响很大，检测结果不可靠，不能准确判定边缘 的存在及边缘的准确位置，造成这种情况的原因有：一是实际的边缘灰度与 理想的边缘灰度值间存在差异，这类算子可能检测出多个边缘，二是对噪声 都比较敏感。这类算子存在上述缺陷的关键是其等效平滑过于简单，为解决 这一问题发展并产生了平滑滤波边缘检测方法。也就是边缘检测中理论成熟 的线性滤波方法引入到线性滤波边缘检测方法当中，最具代表性的是m a r t 提 出的边缘检测方法，其基本思想是：首先在一定范围内做平滑滤波，然后利 用差分算子检测在相应尺度上的边缘。 m a r t 边缘检测算子是一种用得较多的先平滑后再求导数的方法。对于二 维图像信号，m a r t 提出高斯函数来进行平滑： g b 出小嘉唧( - 吉b 2 ) ) 沼 g b ，y ，盯) 是一个圆对称函数，其平滑的作用通过盯来控制。由于对图像 进行卷积，令g ( x ，y ) 为平滑后的图像，得到9 0 ，y ) 一g b ，y ，d ) + ，b ，y ) ，其 中i ( x ，_ ，) 是平滑前的图像。由于边缘点是图像中灰度值变化剧烈的地方，这 种图像强度的突变将在一阶导数中产生一个峰，或等价于二阶导数中产生一 1 1 基于层内和层间相关性的小波边缘检测 个零交叉点。m a r r 提出用拉普拉斯算子来替代，即用： v 2 9 0 ，y ) ：勺2 g g ，y ，盯) ) + ，0 ，y ) ( 2 1 6 ) 的零交叉点作为边缘点。由于高斯函数g 瓴。) 一了去e x p ( - 乡乞：) 的付立叶变换 为： “蛳，= e x p ( - o - 2 仃2 2 ) ( 2 1 7 ) 不同g r 的高斯滤波器检测边缘( 仃越大，频带越窄) ，对较高频率的噪声具 有较大抑制作用，从而避免了假边缘点的检出。但同时，信号的边缘处也被平滑， 使得某些边缘点检测不出来。 f l 复 恤) 围27 ( a ) 不同盯的高斯函数0 0 ) 不同口的高斯函数的频率特性 因此，高斯平滑滤波器它可以看作是一个低通滤波器，l o g 滤波器是先 用高斯函数对图像，b ，y ) 进行平滑滤波，然后使二阶微分为零，提出图像边 缘点。所以找出图像中一任一给定尺度发生的强度变化的最佳方法是：先用 算子v 2 g 对图像进行滤波，在确定滤波处理后的图像中零交叉点的位置“”。 v 2 g 有无限长拖尾，在具体实现卷积v 2 g f 时，应取一个n ；的窗口，在 窗口内进行卷积。为了避免过多地截去v 2 g 的拖尾，应该取得较大。 一n 蚴4 丽1 唧( 一击x + y2 ) ) 一上2 ，r a 2 2 唧( 一壶x + y2 ) ) ( 2 1 8 ) 图2 8 、2 9 分别给出了m a r r 检测算法对无噪声、含噪声的l e n a 图像边 缘检测结果。通过分析，我们可以得出m a r r 检测方法对空间尺度因子仃地选 基丁| 层内和层间相关性的小波边缘检测 择要求高，因而算法实现较复杂。 ( b ) m a r r 图2 8 利用m a r r 方法对不含噪声的l e n a 图像进行边缘检测 ( a ) 含噪l e n a ( b ) m a r r 图2 9 利用m a r r 方法对含噪声( 均值；0 ，方差o r 2 ；o 0 0 5 的高斯白噪 声) l e n a 图像进行边缘检测 1 3 基于层内和层间相关性的小波边缘检测 第3 章 小波变换 3 . 1小波分析的基本理论 小波分析是传统傅立叶分析发展史上里程碑式的 发展，小波变换【19 1 19 1 是 法国 地理学家m o r l e t 和数学家g r o s s m a n 提出的2 9 2 .1 ， 其思想来源于伸 缩和平移方法。 如 果 函 数 满 足 、 一 f 0 0 um1- 1 令 一 !， 一 六 ， ( b0 t a ) 一 ” 一 。 式 中 ( 3 - 刀 为函 数 ， ( ， ) 经 伸 缩 和 平 移 得 到的 小 波函 数 族。 其中a , b 为 伸 缩 和 平 移 因 子 。 函 数厂 ( r ) e l ( 川的 小 波 变 换 为 (w w f )一 ” = 一izf f (f) ,g ( ta b f ( 3 - 3 ) 由 ip (t ) e l 2 (r ) 知了 沙 (， )卜 ， 。 即 lp (t ) 是 局 部 非 零 紧 支 函 数 .1、 波 分 析 方 法 提 供 了 一 个 可 调 时 频 窗 ， 其 窗 口 形 状 为 两 个 矩 形 卜 - a a ip ,b + a 0 叫 x 以 = w 1 一 甸 / a 窗口 中 心 为( b , - co , / a ) ， 时 窗 和 频窗 宽 分别 为。 a tp , ) o / a( 其中b 仅 仅 影 响 窗口在相平面时间轴上的位置，而a 不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影 响窗口 的形状) 2 23 , 。 这样小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是调 节性的，即 在低频时小波变换的时间分辨率较差，而频率分辨率较高:在高 频小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这整符合低频信号变化 缓慢而高频信号变化迅速的特点，满足了我们希望对信号时频局部化的要求， 因而在各领域中得到了广泛应用。 3 . 2 基本小波性质 由函数 ， ( 小 ia 1- 2 lp ( x - b ) 。 ， 。 。 * ， 。 ， 0 、a/ 基于层内和层间相关性的小波边缘检测 第3 章 小波变换 3 . 1小波分析的基本理论 小波分析是传统傅立叶分析发展史上里程碑式的 发展，小波变换【19 1 19 1 是 法国 地理学家m o r l e t 和数学家g r o s s m a n 提出的2 9 2 .1 ， 其思想来源于伸 缩和平移方法。 如 果 函 数 满 足 、 一 f 0 0 um1- 1 令 一 !， 一 六 ， ( b0 t a ) 一 ” 一 。 式 中 ( 3 - 刀 为函 数 ， ( ， ) 经 伸 缩 和 平 移 得 到的 小 波函 数 族。 其中a , b 为 伸 缩 和 平 移 因 子 。 函 数厂 ( r ) e l ( 川的 小 波 变 换 为 (w w f )一 ” = 一izf f (f) ,g ( ta b f ( 3 - 3 ) 由 ip (t ) e l 2 (r ) 知了 沙 (， )卜 ， 。 即 lp (t ) 是 局 部 非 零 紧 支 函 数 .1、 波 分 析 方 法 提 供 了 一 个 可 调 时 频 窗 ， 其 窗 口 形 状 为 两 个 矩 形 卜 - a a ip ,b + a 0 叫 x 以 = w 1 一 甸 / a 窗口 中 心 为( b , - co , / a ) ， 时 窗 和 频窗 宽 分别 为。 a tp , ) o / a( 其中b 仅 仅 影 响 窗口在相平面时间轴上的位置，而a 不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影 响窗口 的形状) 2 23 , 。 这样小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是调 节性的，即 在低频时小波变换的时间分辨率较差，而频率分辨率较高:在高 频小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这整符合低频信号变化 缓慢而高频信号变化迅速的特点，满足了我们希望对信号时频局部化的要求， 因而在各领域中得到了广泛应用。 3 . 2 基本小波性质 由函数 ， ( 小 ia 1- 2 lp ( x - b ) 。 ， 。 。 * ， 。 ， 0 、a/ 基于层内和层间相关性的小波边缘检测 生 成 的 函 数 族 枷 ( a , b ) 称 为 分 析 小 波 ， 而 ?p ( a , b ) 为 基 本 小 波 或 母 小 波 。 小 波 变 换 可 以 认 为 是 信 号f ( 二 ) 以 w ( 二 ) 为 核 函 数的 一 种 积 分 变 换。 基 本 小 波 州a , b ) 必 须 满 足 下 述 性 质 囚 : ( 1 )允许性 了 ( x ) 的 小 波 变 换 的 充 要 条 件 : c m f 黯 y )iz + i()2 f (x ,y 2 ( 4 - 8 ) r 2,“ 一 ， - arctg w 2 f ( x , y ) w 2 f ( x , y ) ( 4 - 9 ) 基于层内和层间相关性的小波边缘检测 总 的 来 说 ， 小 波 变 换 的 模 iy 1 z f ( x , y ) 正 比 于 梯 度 向 量 o ( f * b ) ( x , y ) 的 模 ， 而 小 波 变 换 的 幅 角 a 2 ! a x , y ) 是 梯 度向 量a ( f * b ) ( x , y ) 与 水 平 方向 的 夹 角 ， 它 正是图像边缘的方向。 4 . 2小波变换多尺度边缘检测 二进制小波边缘检测是一种多尺度边缘检测方法，怎样将不同尺度的输 出 集 成 为 一 个 简 单 边 缘图 像? m a l l a t 证明 2 9 1 ， 若函 数f ( x , y ) 的l ip s c h i tz 正 规 性是。，则它的小波变换模值极大值满足: m ; f tx , ， ) k (2 即 1 0 9 2 m i f (x , ， ) 10 9 2 、 + a j ( 4 - 1 0 ) ( 4 - 1 1 ) 上式中a j 这 一 项 将小 波 变 换的 尺 度 特性j 与l ip s c h i tz 指数 联系 起 来。 在各个尺度上，可以 根据公式 ( 4 - 8 )从两个方向小波变换图像求出 模值 图 像m 。 如果m 中一点大于其八邻域中的相邻两点， 则判为边缘点。 为了克服 对噪声的敏感，避检测出过多的细小边缘或非边缘点，对小波变换后图像取 闭值t l ，仅对大于一定值的小波变换系数才进一步判断，该闺值与图像整体 的灰度变化强度有关; 对于保留下来的点如果大于在梯度方向上相邻两个点， 超过阂值t 2 才视为边缘点。 4 . 3基于小波变换的层内