（概率论与数理统计专业论文）索赔指数时带扰动的复合poisson模型的最优分红.pdf

n _-.一一响 门 . . 月， . 目. . 门 . i n t h i s p a p e r , w e c o n s i d e r t h e d i ff u s e d c o m p o u n d p o i s s o n r i s k p r o c e s s i n t h e c a s e o f t h e e x i s t e n c e o f e x p o n e n t i a l c l a i m . i t i s a c l a s s i c a l p r o b l e m t o fi n d t h e o p t i m a l d i v i d e n d s t r a t e g y t h a t m a x i m i 2 e s t h e e x p e c t e d v a l u e o f 山 e d i s c o u n t e d d i v i d e n d p a y m e n t s u n t i l r u i n . h o w e v e r t h e o b j e c t i o n f u n c t i o n m a y h a v e a d d i t i o n a l te r m s w h i c h m e e t p r a c ti c a l r e q u i r e m e n t s . t h e r e f o r e w e t a k e th e p r e s e n t v a l u e o f a n a m o u n t w h i c h t h e i n s u r e e a r s i n t o a c c o u n t , i . e . , t h e v a l u e 丘 m c t i o n i s v (z ,; 一 e (万 e pd l 。十 万 e p a d tj r ok 一 x ) w h e re c o n s t a n t a _ 0 . t h i s p r o b l e m i s s o l v e d b y s t o c h a s t i c c o n t ro l t h e o ry (hm e q u a t i o n ) : f o r b o u n d e d d i v i d e n d i n t e n s i t y , o p t i m a l s t r a t e g y i s a t h r e s h o l d s t r a t e g y ; f o r u n b o u n d e d d iv i d e n d in t e n s i ty , o p t i m a l s t r a t e g y i s a b a r r i e r s t r a t e g y . k e y w o r d s : d i ff u s e d c o m p o u n d p o i s s o n m o d e l ; h j b e q u a t i o n ; t h r e s h o l d s t r a t e g y ; b a r r i e r s t r a t e g y . 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了 解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内 容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以 及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版; 在不以 赢利为目的的前 提下，学校可以 适当复制论文的部分或全部内 容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 窗 向 端 么 叫 年5 月 扣日 经指导教师同意，本学位论文属于保密， 在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名: 寨 永 生 洲 学位论文作者签名: 古 向 布 解密时间:年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: i 内 部 5 年( 最 长5 年， 可少 于5 年) 秘 密 1。 年 最 长 1。 年 ， 可 少 于 “ 年 ， ) 机密*2 0 年 ( 最长2 0 年，可少于2 0 年) (。_ 一_ _ _ _ _ _ _ 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 进行 研究工作所取得的成果。 除文中己经注明引用的内容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 已公开发表或者没有公开发表的 作品的内 容。对本论文所涉及的 研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均己 在文中以明确方式标明。 本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 省 向 伟 z 0 0 7年月3 0日 c h a p t e r 1 i n t r o d u c t i o n t h e c la s s i c a l o p t i m a l d iv id e n d p r o b l e m l o o k s f o r t h e s t r a t e g y t h a t m a x i m i z e s t h e e x p e c t e d d i s c o u n t e d d i v id e n d p a y m e n t s u n t i l l m i n i n a n i n s ur a n c e p o r t f o li o . f o r t h e d i ff u s i o n m o d e l s t h i s p r o b l e m w a s s t u d i e d e x t e n s i v e l y i n t h e r e c e n t li t e r a t u r e . a s - m u s s e n a n d t a k s a r ( 1 9 9 7 ) s o lv e d t h i s p r o b l e m . c a i , g e r b e r a n d y a n g ( 2 0 0 6 ) ， g e b e r a n d s h i u ( 2 0 0 4 , 2 0 0 6 a ) , j e a n b l a n c a n d s h i ry a e v ( 1 9 9 5 ) ; r a d n e r a n d s h i rya e v ( 1 9 9 6 ) , a n d b o g u s l a v s k a y a ( 2 0 0 3 ) m o d e l t h e l i q u i d re s e r v e s o f a c o m p a n y 衍m e a n s o f a b r o w n i a n m o t i o n w i t h d r i ft . t a k s a r ( 2 0 0 0 ) g iv e s a n e x t e n s iv e p i c t u re o v e r t h e re l a t e d m a x i m u m p r o b l e m s , w h e r e a ls o a d d i t i o n a l p o s s i b i l i t i e s o f c o n t r o l s u c h a s r e i n s u r a n c e a r e t r e a t e d . c h o u l li , t a k s a r a n d z h o u ( 2 0 0 1 ) , h j g a r d a n d t a k s a r ( 1 9 9 9 , 2 0 0 1 , 2 0 0 2 , 2 0 0 4 ) a n d p a u l s e n ( 2 0 0 3 ) a l s o c o n s i d e r m o r e g e n e r a l d i ff u s i o n s . i n a l l t h e s e re f e r e n c e s , t h e d iv id e n d fl o w a r e c o n s i d e r e d a s a c o n t r o l l e d p r o c e s s a n d t h e a im i s t o m a x i m i z e t h e e x p e c t e d d i s - c o u n t e d d i v i d e n d s t h a t a r e p a i d u p t o c o m p a n y s b a n k r u p t c y . t h e c o r re s p o n d i n g p r o b - l e m i n t h e c a s e o f t h e c o m p o u n d p o i s s o n a l m o d e l w a s s o l v e d 勿g e r b e r ( 1 9 6 8 ) , id e n t i - e y in g s o - c a l l e d b a n d s t r a t e g ie s a s t h e o p t i m a l o n e s .f o r e x p o n e n t ia ll y d i s t r i b u t e d c l a i m s i z e s t h is s t r a t e g y s i m p lifi e s t o a b a r r i e r s t r a t e g y , i .e ., w h e n e v e r th e s u r p l u s e x c e e d s s o m e b a r r i e r b , a ll t h e i n c o m e a b o v e t h e l e v e l b i s p a i d o u t a s d i v i d e n d s a r e a n d n o d i v i d e n d s chap t e r 1 . i nt roduci t o n a re p a i d o u t w h e n s ur p lu s i s b e l o w t h e l e v e l b . f u r th e r g e r b e r a n d s h i u ( 2 0 0 6 b ) s h o w t h a t o p t i m a l s t r a t e g y i s a t h r e s h o l d s t r a t e g y f o r b o u n d e d d i v i d e n d i n t e n s i ty . a z c u e a n d mu l e r ( 2 0 0 5 ) u s e d s t o c h a s t i c o p t i m a l c o n t r o l t e c h n i q u e s a n d v i s c o s i ty s o l u t i o n s s o l v e d t h e o p t i m a l d i v i d e n d p r o b l e m i n t h e c o m p o u n d p o i s s o n m o d e l . h o w e v e r i n o r d e r t o m e e t p r a c t i c a l r e q u i r e m e n t s t h e o b j e c t i o n f u n c t i o n m a y h a v e a d d i t i o n a l t e r m s . f o r t h o n h a u s e r a n d a l b re c h e 代 2 0 0 6 ) , t h e y t a k e t h e i n s u r a n c e s e a rn i n t o a c c o u n t , i .e . t h e y c o n s i d e r t h e v a l u e f u n c t i o n a s t h e e x p e c t a t i o n o f s h a re s h o l d e r s d i v i d e n d s a n d t h e i n - s u r e r s e a rn i n g s f o r t h e d i ff u s i o n m o d e l a n d c o m p o u n d p o i s s o n r is k m o d e l . m o t iv te d b y a b o v e , w e c o n s id e r t h e d iff u s e d c o m p o u n d p o i s s o n m o d e l w i t h t h e e x p o n e n t c l a im s in t h e c o rr e s p o n d i n g p r o b l e m s . 玩c h a p t e r 2 , w e g iv e t h e b a c k g r o u n d o n w h i c h t h e p a p e r i s m a i n l y b a s e d . i n c h a p t e r 3 , w e d i s c u s s t h e r i s k p r o c e s s a n d t h e v a l u e f u n c t i o n i s i n - . c h a p t e r 4 d e a l w i t h t h e c a s e o f b o u n d e d d iv i d e n d p a y o u t r a t e , a n d t h e o p t i m a lt r o d u c e d . c o n t r o l p r o b l e m i s s o l v e d ( e x p l i c i t l y ) . c h a p t e r 5 d e a l s t h e c a s e o f u n r e s t r i c t e d d i v i d e n d p a y o u t r a t e , a l s o s o l v e d e x p li c i t l y . c h a p t e r 2 b a c k g r o u n d s i n t h i s s e c t io n ,w e g i v e t h e b a c k g r o u n d t h i s p a p e r m a i n l y b a s e d o n . f i r s t ly , w e g iv e s e v e r a l d e fi n i t i o n s a b o u t t h e d i v i d e n d s t r a t e g y . d e fi n i ti o n 1 b a r r i e r s t r a t e g y : f o r s o m e b a r r i e r 地 c o n s t a n t ) , i f t h e c o m p a n y p lu s 母 b , th e t o t a l o f t h e s u r p l u s t h e b a r r i e r i s p a i s o u t a s d i v i d e n d s 、日 u 卜 a b o v e 2 t h r e s h o l d s t r a t e g y : 母 b , t h e s u r p l u s a b o v e t h e b a r r i e r d e fi n i ti o n 2 b a n d s tr a t e g y : f o r s e v e r a l c o n s t a n t n u m b e r s , i . e . 瓦如 . i f th e c o m - p a rr y s s u r p lu s 母 b r , n o d i v i d e n d s a r e p a i d , a n d w h e n b , 0 a r e c o n s t a n t s , w ( t ) i s s t a r d a r dm o t i o n a n d a ( t ) t h e r a t e o f d i v i d e n d p a y m e n t s a t t i m e t . t h e i r o b j e c t i v e i s t o fi n d t h e o n e w h i c he j . ( a ( .) ) , w h e re j (x ) = f o 。 一 (。 “ is t h e t o t a l ( d i s c o u n t e d ) p a y - o u t o f d iv i d e n d . t h e y s t u d i e d t h e f o l l o w i n g t w o c a s e s : ( 1 ) t h e d iv i d e n d r a t e is r e s tr i c t e d , i .e . f o r s o m e c o n s t a n t a o o o , 0 _ o i s a c o m p o u n d p o i s s o n p r o c e s s w i t h c l a im fr e q u e n c y a a n d i n d iv i d u a l c l a i m a m o u n t p r o b a b i li ty d e n s i ty f u n c t io n p ( -y ) , y _ 0 , a n d d ( t ) d e n o t e t h e a g g r e g a t e d i v i d e n d s p a i d b e t w e e n t i m e 0 a n d t i m e t , l e t r i s t h e c o m p a n y s m i n t i m e , a n d d 一 厂 一 “ d d (t) c h a p t e r 2 . b a c kg r o und s s b e t h e p r e s e n t v a l u e o f a l l d i v i d e n d s b e f o r e r u i n , w h e re b 0 i s t h e f o r c e o f i n t e r e s t f o r v a l u a t i o n . t h e c o m p a n y s e e k s t o m a x i m i z e t h e e x p e c t a t i o n o f t h e r a n d o m v a ri a b l e d. t h e y s t u d i e d t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m u n d e r t h e c o n s t r a i n t t h a t o n l y d i v i d e n d s t r a t e g i e s w i t h d i v i d e n d r a t e b o u n d e d b y a p o s i t iv e c o n s t a n t a ( 0 0 w h e r e x i s t h e i n i t i a l c a p i t a l , 。 0 i s t h e c o n s t a n t p r e m iu m i n t e n s i ty a n d t h e c l a i m a m o u n t s a r e a n i n d e p e n d e n t a n d i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d s e q u e n c e y t e n o f p o s i t i v e r a n - d o m v a r ia b le s w ith d is tr ib u tio n f u n c t io n f y ( y ) . t h e c l a im n u m b e r p r o c e s s n=( n t ) o_ o i s a s s u m e d t o b e p o i s s o n w i th i n t e n s i ty a0 , w h i c h i s i n d e p e n d e n t o f yi . e n - t h e y l o o k e d f o r t h e v a l u e f u n c t i o n v ( 幻=s u p l v ( 二 ， l ) wh e r e r t产 v (x , l ) 一 e ( j e fl td l t + j e # ta d t lr aa0 0一 ) a n d a0 i s a c o n s t a n t . t h e y h a d t h e f o l l o w i n g r e s u l t s : ( 1 ) f o r t h e p e r t u r b e d m o d e l : w h e n t h e d i v i d e n d i n t e n s i t y i s b o u n d e d , t h e o p t i m a l s t r a t e g y i s a t h r e s h o l d s t r a t e g y ; w h e n t h e d iv i d e n d i n t e n s i t y is u n b o u n d e d , t h e o p t im a l s t r a t e g y i s a b a r r i e r s t r a t e g y . ( 2 ) f o r t h e c o m p o u n d p o i s s o n m o d e l : t h e r e s u l t i s s i m i l a r t o t h e p e r t u r b e d mo d e l . c h a p t e r 3 mo d e l a n d va l u e f u n c t i o n l e t 凡 d e n o t e t h e s u r p l u s o f t h e c o m p a n y w h e n n o d i v i d e n d s a r e p a i d . t h e s u r p l u s p r o c e s s f o l l o w s t h e f o l l o w 吨 d y n a m i c s 从 凡 一 二 十 “ 一 艺y 十 。 w t ( 3 . 1 ) t h e in i t i a l s u r p l u s o f t h e c o m p a n y i s x , a n d t h e p re m i u m s a r e r e c e i v e d c o n t i n u o u s ly a t a c o n s t a n t r a te c . t h e a g g r e g a te c la im s p r o c e s s n 1 y is a c o m p o u n d p o i s s o n p r o - c e s s w i th c l a i m f r e q u e n c y . a n d in d iv i d u a l c la i m a m o u n t p r o b a b i li t y d e n s i t y f u n c t io n p ( 3/ ) j 0 ， a n d w t , t _ 0 1 i s a s t a n d a r d w i e n e r p r o c e s s . i f t h e d iv i d e n d s a r e p a i d o u t t o th e p o li c y h o l d e r s , w e n o t e t h e c u m u l a t e d d i v id e n d s b y a p r o c e s s l=( l t ) t a , w h ic h i s c a ll e d a d m i s s i b l e , i f i t i s a p o s i t iv e i n c r e a s i n g c a d l a g p r o c e s s , a d a p t e d t o 巩 : t _ 0 . l t r e p r e s e n t s t h e t o t a l d iv i d e n d s u p t o t i m e t a n d t h e re s u l t i n g c o n t r o l l e d r i s k p r o c e s s i s g i v e n b y 毋二 r t 一 lt( 3 .2 )l t t h e t i m e o f r u i n f o r t h i s p r o c e s s i s d e fi n e d b y 二 = i n f t _ 。 母0 , i . e . w e a r e l o o k i n g f o r t h e v a l u e f u n c t i o n v ( 二 ) =s u p l v ( x , l ) ( 3 .3 ) ( 3 . 4 ) w h e r e t h e s u p r e m u m i s t a k e n o v e r a l l a d m i s s i b l e s t r a t e g i e s a s i n t h o n h a u s e r a n d a l b r e c h e r ( 2 0 0 6 ) e - * a c a n b e in t e r p r e t e d a s t h e p r e s e n t v a l u e o f a n a m o u n t w h i c h t h e i n s u r a n c e c a m s a s l o n g a s t h e c o m p a n y i s a li v e . c h a p t e r 4 o p t i ma l s t r a t e g y f o r b o u n d e d d i v i d e n d p a y o u t r a t e i n t h i s s e c t i o n w e c o n s i d e r t h e c a s e t h a t t h e r a t e o f d i v i d e n d p a y o u t i s b o u n d e d b y s o m e 0 m o c . i n t h i s c a s e 瓜c a n b e r e p r e s e n t e d a s ; 一 关 ci,d, w h e r e 0 l , m. t h e n t h e v a l u e f u n c t i o n ( 4 ) i s g i v e n b y v (x ， 一 。 “ 、m e 丈 tg .m e ( f 0 一 ”。“ ， + a )d tj“ 一 ， v ( 0 ) = 0 s t a n d a r d a r g u m e n t s ( s e e f l e m i n g a n d s o n e r ( 1 9 9 3 ) ) f o r m a l l y y i e l d t h e h j b 0 = s u p n 王 d 了 ! v -(x ) + (一 )v (x ) + a f + a 1 0 v0 (一 ， - v (x )d f y (y ， 一 ,6 v (x ) + + a ) 一 誓 v (二 ) + c v (二 ， + af x v0 (一 。 ， 一 v (x )df y (y ， 一 “ v (x ) + 。 s u po