（应用数学专业论文）随机环境中下临界分枝过程中的一些极限定理.pdf

太原理工大学硕士研究生学位论文 随机环境中下临界分枝过程中的一些极限定理 摘要 本文给定随机环境f ，其中f ：= 幺) = 虢( 功：玎= o ，l ，2 ) 是( q f ，p ) 上的平稳遍历序列， z 。，n o ) 是在随机环境f 中的分枝过程，则环境 序列f 的一个实现决定了分枝过程 乙，行2 0 一个繁衍概率母函数序列 工 ( 行o ) ，其中五# 五( s ) _ 矗( s ) = 鼻( 厶) s ，b a g d _ o 且霉( 厶) = 1 ， ( 刀o ) 。本文研究的随机环境中分枝过程 乙，丹0 是一族非时齐的分枝 过程并且在其繁衍母函数序列 l ) ( n 0 ) 独立同分布的条件下其繁衍 规律与随机环境中g a t o n w a t s o n 过程种族繁衍规律相同。根据定义 z 0 ：l 、乙+ ，：壹以，肋o ) ，在环境序列f 的条件下： 以。；f 1 ) 是彼此独 立且独立于乙的实值随机变量并有共同的概率母函数。 因此研j 乙j 们= 尼( 矗( 矗一，o ) ) ) ，o ss 1 ，又因为f 与母函数序列 眠) ( ，z o ) 是一一对应的，为方便可将 l ( 埠o ) 当成环境序列作为给 定条件，则当z o = 1 时有e ( s 乙i t o ，z ，) = 厶( z ( z 一。( j ) ) ) ，o 0 、e l o g f ( 1 ) = o 和e l o g f ( 1 ) o ) 以很快的指数级形式衰退，且其衰退速度依 赖于e l f ( 1 ) l o g f ( 1 ) 】的取值，更具体是依赖e f ( 1 ) l o g f ( 1 ) 】小于0 ， e l f ( 1 ) l o g f ( 1 ) 】等于0 还是e l f ( 1 ) l o g f ( 1 ) 】大于0 。在下临界的情况( 即 e l o g f ( 1 ) 0 时) ，根据e f ( 1 ) l o g f ( 1 ) 】的取值不同随机环境中的分枝过程 亿，甩o ) 可进一步细分，即按e l f 。( 1 ) l o g f ( 1 ) 】 o ) c ：聆一必( 髟( 1 ) ) ”即分枝过程 乙，以o ) 第刀代的个体数 的存活概率以c ：n 一咒( 可( 1 ) ) ”的指数级的速度衰退，当在 e f 1 ( 1 ) l 。g f ( 1 ) 】 o ( 弱下临界) 时p ( 乙 o ) c 3 一( 撼e f ( 1 ) ) “即分枝过 程 乙，行o ) 第n 代的个体数的存活概率以c 3 n - 3 2 ( 恶s 髟+ ( 1 ) ) ”的指数级的 速度衰退。 本文在厂0 ) o g f 。( 1 ) 可积的假设下和前人研究出的在下临界分枝过 太原理工大学硕士研究生学位论文 程 乙，n o ) 存活概率以乙 o ) 的渐近行为基础上利用测度变换和随机 游动的有关知识确定了在随机环境中下临界分枝过程( 乙，行0 ) 在强下 临界、中下临界前两种情况下，存活概率p ( 乙 o ) 的精确的渐近行为( 1 1 1 确定了c 。和c ：的具体表达式) 。而且证明在乙 0 的条件下，乙有非退 化的极限分布。 在强下临界下存活概率p ( 乙 o ) 的精确的渐近行为为 p ( 乙 o ) c 。( 可( 1 ) ) ”，其中c 1 = e ( 1 + 手。e x p ( s t ) ) 。1 ，并证明了乙 o 的条 件下，乙有非退化的极限分布舰p 阮= _ j l 乙 0 ) = 鼋l 伪) ( j 1 ) 这里 z q 。( 七) = 1 且地( d o ) 的精确的渐近 i = li = 1 行为为：当玎一o 。，户( 乙 o ) - c 2 n - ( 巧( 1 ) ) 一其中。：l i m 。e e x p ( - 雪，) ( 1 7 。( o ) ) 】，并证明了乙 0 的条件下，乙有非退化的极限分布 l i m e ( z 。= k l z 。 o ) = 9 2 ( 七) ，( 七1 ) 其中q 2 ( 七) 2 l 。 关键词：随机环境，下临界，测度变换，随机游动 太原理工大学硕士研究生学位论文 s o l 江巳l i l 江i tt h e o r e m sf o rs u b c r i t i c a lb ra n c m n g p r o c e s s e si nr a n d o me n 、ro n a 征! n t a b s t r a c t l e tfb ear a n d o me n v i r o n m e n t ，o f w h i c hf ：= ) = 乞( 回：万 i sas t a t i o n a r ya n dc 强g o d i cp r o c e s s ， 乙，万o ) i sab r a n c h i n gp r o c e s si nt h e r a n d o me n v i r o n m e n tf ，t h er e a l i z a t i o no ft h e s e q u e n c eo f6 # d e t e r m i n e sas e q u e n c eo fp r o b a l i t i t yg e n e r a t i n gf u n c t i o n s 以 0 o ) o f t h eb r a n c h i n gp r o c e s s 乙，玎0 i nt h er a n d o me n v i r o n m e n tf # 厶( s ) 车矗( j ) = e ( 幺) s ，只( ) o 且只( ) = l ，珂0 a b r a n c h i n gp r o c e s s 乙，门o ) i nt h er a n d o me n v i r o n m e n tg - ( b p r e ) i s a f a m i l y o f t i m e - i n h o m o g e n e o u sb r a n c h i n gp r o c e s s e s ：g i v e n t h e e n v i r o n m e n ts e q u e n c e g - ，t h ep r o c e s s 乙，玎0 ) a c t sa sag a l t o n - w a t s o n p r o c e s s i n v a r y i n ge n v i r o n m e n t sw i t hp r o b a l i t i l yg e n e r a t i n g f u n c t i o n s 工) 0 o ) b yd e f i n i t i o n ， z z 0 = 1 ，乙+ ，= 以肋0 ) w h e r ec o n d i t i o n e do n g - ，( x 。；f21 ) a r e i n t e r - v a l u e dr a n d o mj r a r i a b l e s 太原理工大学硕士研究生学位论文 i n d e p e n d e n t o fe a c ho t h e ra n di n d e p e n to f 乙，a n dh a v et h es a m e p r o b a b i l i t yg e n e r a t i n gf u n c t i o nl h c o n s e q u e n t l y , e s 乙l 们= 矗( 矗( 矗一。( s ) ”，o s l ，a n d a l s ob e c a u s e f i s a c c o r d i n gt ot h ep r o b a l i f i l yg e n e r a t i n gf u n e t i o m 眠 q o ) ，f o r c o n v i e n c e ，l e t 眠) q o ) b eas e q u e n c eo fr a n d o me n v i r o n m e n t ，s ot h e c o n d i t i o n a lp r o b a b i l i t yg e n e r a t i n gf u n c t i o n 五i e ， e 0 2 一i 厶，z ，) = f o ( a ( 工一。( d ) ) ，0 ss s l i np a r t i c u l a r , w h e nl e tjf f i1 , t h ec o n d i t i o n a lm e a ng e n e r a t i o ns i z ei s e ( 乙i 五，z ，) = f o o ) a ( 1 ) 。( 1 ) w h e nz 0i sk n o w n ， 乙，以田c a nb er e p r e s e n t e db yas e q u e n c eo ft h e p r o b a l i t i l yg e n e r a t i n gf u n c t i o n s 眠) ( 行o ) i ft h e r a n d o m g e n e r a t i n g f u n c t i o nza r ei i d a n di fe l o g f 0 ( 1 ) e x i s t s ，t h e nb yt h el a wo fl a r g e n u m b e r s ， 熙去i o g e ( z ni f o ，z ，一) 一l i m z 甩百z l o g ，二( 1 ) t e l o g f a ( 1 ) 1 。 w h e r e d e n o t e sar a n d o mg e n e r a t i n g f u c t i o nw i t ht h ec o m m o n d i s t r i b u t i o no ft h ez ，a n df ( 1 ) i st h ec o n d i t i o n a lm e a nn u m b e ro f c h i l d r e np e rp a r t i c l e t h eb r a n c h i n gp r o c e s s 乙，甩i nar a n d o mp r o c e s s c a l lb ec l a s s i f i e dd e p e n d i n go nt h ev a l u eo fe l o g f 。( 1 ) ，i e z 。，栉o ) i s d e p e n d i n g o n e l o g f ( 1 ) 0 ，e l o g f l ( 1 ) = 0 a n d e l o g f ( 1 ) 0 ，t h e c o r r e s p o n d i n gb r a n c h i n gp r o c e s s z 。，”o ) i s c a l l e d s u p e r c r i t i c a l v 太原理工大学硕士研究生学位论文 b r a n c h i n gp r o c e s s ，c r i t i c a lb r a n c h i n gp r o c e s sa n ds u b c r i t i c a lb r a n c h i n g p r o c e s s i ti sw e l lk n o w nt h a tt h en t hg e n e r a t i o nc h i l d r e nn u m b e rz n i s g e t t i n g0i nc r i t i c a lb r a n c h i n gp r o c e s sa n ds u b c r i t i c a lb r a n c h i n gp r o c e s s w h e n 刀一r i o e s p e c i a l l yi n s u b c r i t i c a lb r a n c h i n gp r o c e s s 乙，拧0 ，t h e n o n e x t i n c t i o np r o b a b i l i t ya t g e n e r a t i o n 疗d e c a y se x p o n e n t i a l l yf a s t , t h e r a t ed e p e n d i n go nw h e t h e re l o g f ( 1 ) i sl e s s ，e q u a lo rg r e a t e rt h a no i nt h e s u b c r i t i c a l b r a n c h i n gp r o c e s s ( i e 研，( 1 ) l o g f ( 1 ) 】 0 ) c 2 挖一5 ( e f ( 1 ) ) 一，t h a ti st os a yt h a tt h en o n e x t i n c t i o np r o b a b i l i t ya t g e n e r a t i o n 聆d e c a y sb yt h es p e e dc 2 n - 5 ( e f ( 1 ) ) 一e x p o n e n t i a l l y i nt h e w e a k l ys u b c r i t i c a lb r a n c h i n gp r o c e s s ( e f ( 1 ) l o g f ( 1 ) 】 o ) ，p ( z 。 o ) c 3 疗一+ ( 撼髟( 1 ) ) ”，t h a ti s t os a yt h a tt h en o n e x t i n c t i o np r o b a b i l i t ya tg e n e r a t i o n n d e c a y sb yt h es p e e d 乇聆一( 撼髟( 1 ) ) ”e x p 。n e n t i a l l y o nt h eb a s eo f 厂( 1 ) l o gf ( 1 ) i n t e r g r a la n dt h ef o r m e r s t u d y o n v i 太原理工大学硕士研究生学位论文 a s y m p t o t i cb e h a v i o u ro ft h en o n - e x i t i n c t i o np r o b a b i l i t yp ( z 。 o ) o ft h e s u b c r i t i c a l b r a n c h i n gp r o c e s s , t h ep a p e r d e t e r m i n e so n a s y m p t o t i c b e h a v i o u ro ft h en o n - e x i t i n c t i o np r o b a b i l i t yp ( 乙 o ) o ft h es t r o n g l y s u b c r i t i c a lb r a n c h i n gp r o c e s s , t h ei n t e r m e d i a t es u b c f i t i c a lb r a n c h i n gp r o c e s s o ft h es u b c f i t i c a lb r a n c h i n gp r o c e s s ( i e d e t e r m i n e i n gt h ee x a c tf o r mo fe l a n dc 2 ) b ym e a s b r ee x c h a n g e a b i l i t ya n ds o m ek n o w l e d g eo fr a n d o m w a l k s ，m o r e o v e r , w es h o w t h a t z 。c o n d i t i o n e d o n z 。 0 h a sa t h ee x a c ta s y m p t o t i cb e h a v i o u ro ft h en o n e x t i n c t i o np ( 乙 o ) o ft h e s t r o n g l ys u n c r i t i c a lb 瑚c h i n gp r o c e s si sp ( z 。 o ) c l ( e f 。( 1 ) ) “伽专叻，i 1 1 w h i c hc l = 五( 1 + 于he x p ( 雪 ) ) s h o w i n g 乙c o n d i t i o n e d 乙 0h a sa n o n - d e g e n e r a t e l i m i tl a w 熙p ( z 。= 女lz 。 o ) = q l ( 七) ( 女1 ) ，i n w h i c h 月n 口l ( 女) = 1a n d ( 置) o ) o f t h ei n t e r m e d i a t es u b c r i t i c a lb r a n c h i n gp r o c e s s i s p ( z 0 ) 呸( 1 ) r o j o o ) ，i nw h i c hc ：- 憋 g e x p ( - 亏。x 1 7 哪( o ) ) 】 s h o w i n gz 。c o n d i t i o n e d 乙 0 h a saan o n - d e g e n e r a t el i m i tl a w ! i + m 。p ( z = _ j l z 。 o ) 2 q z ( t ) ，( 七1 ) ，i n w h i c h 乏9 2 ( 七) = 1 - v i i 太原理工大学硕士研究生学位论文 k e y w o r d s ：m e a s u r e e x c h a n g e a b i l i t y , r a n d o m e n v i r o n m e n t , s u b c r i t i c a l ， v i i i ：= 户口 y9 7 9 3 9 9 明6 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出童要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 j 论文作者签名：查幺 日期：冶型五! ，主： 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定。其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的， 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) o 签名：拯日期：型。：当 导师签名：岁水啡日期：咀j 太原理1 人产硕+ 研究生学位论文 符号说明 ( 。 + 。厂f “k l l 恒等映射，k = ， g t ( s ) ：2 丁二知一了；而1 ，。s 1 ( 。1 ) 叩 。( s ) ：= g ( 六+ 】埘( j ) ) ，0 s 1 , 0 k 疗一1 鼠：- l o g f o 。( 1 ) ，”0 注意：若 是独立同分布的，则 鼠 。：o 是一个起于0 点、步长为x 。：= l o g f 一l ( 1 ) ，n 1 的随 机游动 太原理1 人学硕l i j l 究! l 学何论文 第一章引言 1 1 分枝过程的定义及发展 分枝过程历经一个世纪的重要发展之一，是从经典分枝过程到随机环境中的 分枝过程的发展。 1 8 7 3 年，g a l t o n 和w a t s o n 在讨论英国贵族姓氏继承与谱系消亡问题中建立了 一种新的随机过程模型，此模型的建立奠定了经典分枝过程的基础。因此经典分 枝过程常称为g a l t o n - - w a t s o n 过程，简记为g w 过程。 定义1 1 1g w 过程是一个取非负整数值的m a r k o v 链 z i j ：n = 0 , 1 ，2 ) ， z o = _ j ；z 。1= 0 , 1 ，2 ) 其中k 为某指定的正整数，蚤( f - 1 , 2 ，) 是一个取非负整数值的，服从同一概率分 布律( p d l ) 或具有共同概率母函数( p g f ) 的独立随机变量序列( 以下简记为i i d 序列) “1 。 一个g w 过程可设想为一个种群繁衍演化模型：设在开始时刻0 有z o 个称为 第0 代或“祖先”的个体，它们根据同一概率分布律或共同的概率母函数，相互 独立而随机的繁殖若干个新个体，这些新个体的总数z 】恰是乙个服从同一概率分 布律( p ，) 或具有共同概率母函数痧( 5 ) 的相互独立随机变量f ，( 扛1 ，2 ，z 。) 之和。 2 太原理i ，人学硕十研究生学位论文 这z ；个新个体构成第一代并重复上辈的演化而繁衍出z ：个第2 代个体，以此规律 一代代繁衍下去，不论哪一代中的哪一个个体，其产生下一代的个体数目只取决 于上述的概率分布律 p ) 或概率母函数( s ) ，而不受其前辈或同代的其它个体 产生下一代个体的影响。以z 。表示第 代个体的总数，则( z 。) 就是一个g w 过程。 经典分枝过程中不同个体全部遵循同样的分布律而独立繁衍后代的这种假 设，与自然界中的繁衍过程大部分受个体间的相互作用以及其它因素影响相矛盾。 这使得经典分枝过程的应用受到一定的限制。随机环境中的分枝过程正是在这种 背景下产生的。 随机环境分枝过程( b r a n c h i n gp r o c e s si nr a n d o me n v i r o n m e n t s ，简记为b p r e ) 这一概念最早由w i l k i n s o n ( 1 9 6 7 ) 与s m i t h ( 1 9 6 8 ) 提出，而后他们于1 9 6 9 年建立了 i i d 环境中的b p r e ，因此这种过程通常称为s m i t h w i l k i n s o n b p r e 或s w b p r e ， 并在1 9 7 1 年推出了m a r k o v 环境中的b p r e 。同年，a t h r e y a 与k a r l i n 建立了平稳 遍历环境中的b p r e 。 定义1 1 2 设( q ，p ) 是一个概率空间，m 为取非负整数值的随机变量的所 有非平凡概率分布律的集合，即： m = 饥：j = 0 , 1 ，2 ) ：0 p 茎1 ，p = 1 且彦 。，0 p 。+ a 1 ) 易见，m 是所有有界实数序列构成的b a n a c h 空间乙的一个b o r e l 子集，记b 为出按通常拓扑意义生成的b o r e l 盯一代数，设 ，) = 六，( ) ：”= 0 , 1 ，2 ) 是从 ( q ，f ，p ) 至i j ( m ，b ) 的映射序列，且p c o ：( 缈) m ，v i = i ，则每一个这种从q 到 m 的映射f ( ) 唯一确定一个m 中的概率母函数 3 尢( s ) = p 心 ( o 茎s s l ) ：0 其中 p ，( f ) ：，= 0 , 1 ，2 、是相应于f 洄) 的概率分布律。这样的映射序列 f ，) 称为 个随机环境，或简称为环境。1 。 定义i 1 3 设 z 。) 为定义在某概率空间( q ，f ，尸) 上的取非负整数值的随机 变量序列且 z 。：；z 。，：壹当靠( 。：o ，1 ，2 ) 其中k 为某指定常数， 六，) 为随机环境，若对每个竹，当给定所有，z 。以及 舅) ( o 曼m n ) 时， 彰靠：，= 0 , 1 ，2 ) 为i i d 的且服从同一概率分布律 p f ( 矗) 或具有共同概率母函数蛇( s ) 的随机变量序列，则称( 乙) 是初值为七的 伴有随机环境 ) 的b p r e 。1 显然这样定义的b p r e ，在第”代的个体独立繁殖第疗+ l 代新个体时，不再象 g w 过程一样依赖于一个不变的概率分布律( p ，) 或概率母函数妒( j ) ，而是随”的 不同，依赖于由环境六，的状态所决定的概率分布律 p ，( f ，) ) 或概率母函数芘( s ) 。 b p r e 的建立充实了现代分枝过程的理论。它具有广泛的应用前景，可以描 述类似于简化人口模型的种群繁衍、粒子裂变、核连锁反应、突变基因存活、流 行病传播以及分析排队论中队伍变化的波动现象等。 对于一个分枝过程，人们最为关心的问题是它的变化发展趋势和它是否必然 灭绝。记 太原王里i 人学硕士研究生学位论文 b = ：z 。( ) = 0 ，月为某个正整数) 则集合b 表示“过程( z 。) 早晚要灭绝”这一事件，称q 。= p b f z 。= k ) 为“祖 先”数为k 时的( 无环境条件的) 灭绝概率，q k ( 芗) = p 口l ，( 手) ，z 0 = 女) 为“祖先” 数为k 时的有环境条件的灭绝概率。 当b p r e 不是必然灭绝时，吼 1 ，但要确切地知道q 。究竟等于多少，就涉及 到吼的计算问题。在这方面，1 9 6 9 年w i l k i n s o n 在提出了关于i i d 环境中b p r e 灭绝概率吼的矩阵求法。1 。对于一般的平稳遍历环境中的b p r e 至今尚未找到有效 的计算q 。的办法。而且w i l k i n s o n 的矩阵求法计算繁琐，当k 的值较大时，几乎无 法算得吼。因此，若能知道吼的渐近行为，则可在k 较大时，以其渐近函数近似 表达，从而使研究工作变得方便可行，因此对吼的渐近行为的探讨具有特别重要 的意义。g r e y 与l u 就s m i t h w i n k i n s o n 过程当吼 1 时q 的渐近行为做了大量的 研究。其主要结论见下一节。 早期的研究工作主要集中在独立环境或平稳环境下的b p r e 。j a g e r s 和l u 在2 0 0 2 年发表了一篇关于恶化随机环境下的分枝过程的文章”1 ，在其中提出了所 谓适应盯代数结构随机环境下分枝过程的概念，使环境更具一般性；王汉兴对依 赖于人口的b p r e 也做了大量的研究0 1 ；k o z l o v 与d i r r r i c h 分布讨论了临界b p r e 不灭绝概率随时间趋于无穷时的渐近行为”m ；m g o n z a l e z 和m m l i i n a 对带有控 制函数的控制分枝过程进行了分类。1 ；f c k l e b a n e r 和s s a g i t o v 对后代数服从几 何分布的g a l t o n w a t s o n 的种群年龄做了些研究。1 ；j a s o ns c h w e i n s b e r g 在2 0 0 3 年 发表了一篇有关上f 临界g a l t o n w a t s o n 过程的联合过程的文章“1 。文 1 1 、 1 2 是 两部关于分枝过程的最基本的著作；文 1 3 是关于分枝过程的一篇综述性的文章； 1 4 一 1 6 是关于依赖于人口的随机环境分枝过程的文章； 1 7 卜 1 9 是带有妒控制 0 太原理l ：人学硕十研究! e 学位论文 分枝过程方面的文章。 1 - 2 有关b p r e 的主要结果 1 21 独立同分布环境中b p r e 的主要结果 s m i t h 与w i l k i n s o n 利用( z ，) 在i i d 环境中取一个任何有限正整数均为瞬 时状态的m a r k o v 链的性质，得到。1 ( 1 ) 在i i d 环境中，当甩趋于无穷时，( z 。) 或灭绝或无限增大，而不会停留 在一定的规模上。即： p z 斗。或z 。一o o ，哼o o ) ) = 1 ( 2 ) 对于s m i t h w i l k i n s 。n b p r e z i z 。= q ，e i l o g 彤 ( 1 ) i 0 i ；1 e 1 1 。g ( 1 一虼( o ) ) i 。时，q 。 l ( i i ) 当e 1 0 9 虼( 1 ) 】0 时，吼= 1 g r e y 与l u 就q 0 ，即q k 趋于0 的渐近行为除相差 r _ + * l o g 圩 一个取对数后比l o g k 低阶的因子外大致与k 喝相当。 对于( b ) 情况有： ：i _ + m 。二警= 一1 。g k ，o 1k p ” 。 即玑趋于0 的渐近行为除相差一个取对数后比k 低阶的因子外大致与x 。“相当。 对于( c ) 情兢o l i m i n f 等熙s u p 等锄 _ 倍 + 倍 即吼趋于0 的渐近行为除相差一个取对数后比i 低阶的因子外大致与e 一再相当。 1 2 2 一般平稳遍历环境中b p r e 的主要结果 设 互，) 三是平稳遍历环境下的b p r e 。对任意的口r ，记 口+ = m a x a ，o ) ，a 一= m i n 一a ，o ) ，a t h r e y a 与k a r l i n ( 1 9 7 1 ) 。1 利用c h u r c h 的一个关于 概率概率母函数迭代性质的定理，在e 1 0 9 虼( 1 ) + 。的条件下把上述 s m i t h w i l k i n s o nb p r e 中的结论( 1 ) 推广到一般的平稳遍历环境中的b p r e ，即 当n 趋于无穷时，( z ，) 或灭绝无限增大，而不会停留在一定的规模上。就一般平 稳遍历环境的b p r e ，a t h r e y a 与k a r l i n 还得出以下结论”1 ： ( 1 ) 当e 1 0 9 芘( 1 ) 0 时，有p q ( ，) = 1 ) = 1 jg = 1 7 太原理1 人学硕十研究_ 一位论文 ( 2 ) 0 e 1 0 9 0 ；，( 1 ) 0 0 且研一l 0 9 0 一啦，( o ) ) 0 ( 3 时，有吼 0i 厶， ，) = l f o ( a ( 六一。( o ) ) ) ( 2 4 ) 如果概率母函数工是独立同分布的并且e l o g 厂1 ( 1 ) 存在，那么由( 2 3 ) 和大数定理 有 l i m l 。l 。g e ( z 。l f o ， ，) = 熙丢窆l 。g ，j ( 1 ) = e l 。g f ( 1 ) ， 月_ 。疗百 其中f 表示和六有同分布的概率母函数，( 1 ) 是每一个个体孩子数的均值。 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 本文研究下临界e f ( 1 ) 0 情况，在这种情况下的随机过程其第行代个体数的 期望几乎在任何一个环境实现中都是以指数级速度衰退。本文确定了在第1 l 代个体 存活概率的精确的渐近行为并且证明乙有非退化的条件极限分布。为了方便假定 在以下过程中v ( f ( 1 ) = o ) = 0 。 这首先由a f a n a s y e v 2 4 后来又独立地被d e k k i n g 2 9 发现。在独立同分布随 机环境中，一个下临界的分枝过程的存活概率的衰退速度依赖- 于e f ( 1 ) i o gf ( 1 ) 】 的符号。在强下临界情况下，e f ( 1 ) l o gf ( 1 ) 】 o ) se z = ( e l ( 1 ) ) ”这 一阶矩估计给出存活概率衰退到一个常数，乙的条件极限分布有有限均值。 定理2 1( 强下临界情况) 给定 e f ( 1 ) l o g f ( 1 ) 】 0 ， 并假定 e z l l o g + z 1 】 o ) 2 q l ( 七) ，k 1 ， ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) hn 这里g 。( 七) = 1 ，幻，( i ) o 。r c ，= e ( 1 + 手。e x p p t ) ) - 1 ( 见证明过程) i = li ；lk = l ( 2 7 ) 的渐近性应归功于g u i v a r c h 和l i u ( 2 5 中的定理1 2 ( a ) ) 。由j e n s e n 不等式，可以看到条件( 2 5 ) 蕴含了e f ( 1 ) l 和下临界性。 在中下临界情况下，即e f ( 1 ) l o g f ( 1 ) 】- 0 ，一阶矩估计仍然得出了第聆代存 活概率的恰当的指数级衰退速度，但异于因子为n 一阶的精确渐近时的指数级衰 退速度。 1 0 太原理工大学硕士研究生学位论文 定理2 2 ( 中下临界情况) 给定 e l o g f ( 1 ) 0 ，e f ( 1 ) l o g f ( 1 ) 1 = 0 ( 2 9 ) 并满足下面的可积条件， e l f ( 1 ) l 0 9 2 f ( 1 ) 】 0 0 ，占【( 1 + l o g f ( 助j r 。( 1 ) 】 o o ( 2 1 0 ) 则存在某个0 o ) = 9 2 ( 七) ，k l ， ( 2 1 2 ) 其中喜q 2 ( 护1 ，c 2 # 舰月即醑釉( 1 一甜o ) ) 】 在特殊的情况下，当 是以概率1 分式线性时，p ( z 。 o ) 的渐近性己被 a f a n a s y e v 2 4 在类似的可积条件下确定( 看 2 6 的引理i i ) 。由于a g m s t i 2 7 相 应的对比论证，线性分式情况下的渐近性显示出一般独立同分布环境下的上界和 下界。假定髟( 1 ) o ) = ，从而推广了d e k k i n g 2 9 中的结果。d s o u z a 和h a m b l y 3 0 在特定的平稳遍历的分枝过程中也得到了同样 结论。在线性分式的情况下，对于约化过程( r e d u c e dp r o c e s s ) 的某些函数极限定 理和结果也被 3 1 ，2 6 得出。 太原理工大学硕士研究生学位论文 第三章基本知识及强下临界的证明 本文分析的出发点是一个被在 3 2 中得到的随机游动第一步条件存活概率公 式。这结果和一些经常被用到的估计被收集在本章和第四章中，目的是为了论证 定理2 1 和定理2 2 。在强下临界情况下的结果可以很容易从测度变换的论证中得 出，在中间下临界情况下，需要研究相伴随机游动的行为。 3 1 基本知识 引理3 1 假定当0 k 疗一l 时以不恒等于1 。那么对于任意0 j o ) = 占( 玑，e x p ( - s i ) ) 。1 这里巩月# r h ( 0 ) 0 k 行一1 ，仉 - - 1 。 ( 3 3 ) 关于( 3 3 ) 中的系数巩，的界来自 3 2 的引理2 1 ，即可由下面引理得到。 引理3 2 假定，是一个概率母函数且不恒等于1 、f 1 0 ) o o 。那么，对于o s l ，一，) 一“ “”“7 因此，在( 3 5 ) 中取j = 0 ，可以看到在环境序列 ，) o ( 斛一。和第k + 1 代不灭绝的 条件下第k + 1 代的个体数的条件均值大于在环境序列 五+ ，) 吲+ ，和第k 代不灭 绝的条件下第k 代的个体数的条件均值。这个单调性是由分枝过程产生的向后构造 条件家族树的直接结果( 参看 3 3 关于经典的g a l t o n 。w a t s o n 过程的特殊情况) 。 3 2 强下临界情况 这部分证明定理2 1 的第二部分并且给出在( 2 7 ) 的渐近性中的常数c 1 的 一个表达式。第一步是设法得到在第n 代存活概率的指数项部分。 假定e f 。( 1 ) 0 。 如果在不进一步说明的情况下，记号最，g 。和7 7 。与上述量的定义类似。) 又( 3 2 ) ，用厂。一，代替 ， e x p ( _ 叭1 t 和) ) 2 ( 击+ 薹e x p ( 卧眩+ 眠+ 蛐) ) - 1 这里 亡+ 喜小x 酊， 。， 氕( s ) ：= g ( o ( s ) ) ，0 j 1 ，k 0 由( 3 8 ) 和( 3 9 ) 合并可得出 l - e f o ，2 ( e f ( 1 ) r e ( 击+ 喜孙咖郴砌，0 0 ) 根据( 2 7 ) 和