（运筹学与控制论专业论文）国外经济援助对经济增长的影响分析.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 中文摘要 本文建立了与国外经济援助有关的两类经济增长模型，并讨论了在这两类经济增长模 型中国外经济援助对经济增长的影响 第一在u z a w a - l u c a s 模型的基础上，引入了休闲和国外经济援助，在这个模型中把 生产技术部门分成物质生产部门和人力生产部门在不影响结果的情况下，我们采用相对 风险厌恶系数为常数的效用函数，运用h a m i l t o n 函数方法，得到如下的结果，对于休闲 外生情形，在经济均衡时，当0 1 时，总产出、消费、实物资本的均衡经济增长率与国外 经济援助负相关；当0 p l ，f o r e i g ne c o n o m i ca i di sn e g a t i v e l yr e l a t e dt ot h eb a l a n c e de c o n o m i c g r o w t hr a t eo fa g g r e g a t eo u t p u t ，c o n s u m p t i o n ，m a t e r i a lc a p i t a la n dw h e n0 口 0 是时间偏好率，z ( ) ，y ( t ) 分别是控制变量与状态变量，( 1 1 b ) 就是状态方程，形如 ( 1 1 a ) 一( 1 1 b ) 的问题称为折现动态最优化问题求解这个问题的基本方法是求个控制 函数矿( ) 。使得当z = 矿时，( 1 1 6 ) 有解秒( ) ，且s ，( ) 与z = 矿一起使目标泛函 ( 1 1 a ) 取得最大其方法可用h a m i l t o n 函数法求解 ( i ) 构造h a m i l t o n 函数t h = u + a f 其中，a 称为h a m i l t o n 乘子 ( i i ) 写出一阶条件 风= 玩+ a b = 0 ( 1 2 a ) 爿0 = + a 日= p 入一a( 1 2 b ) ( i i i ) 从( 1 2 0 ) 一( 1 2 6 ) 中消去入，得到个关于z 的方程圣= g ( t ，z ，y ) ，然后和( 1 1 6 ) 构成一个微分方程组 壹= c ( t ，卫，y ) ( 1 3 a ) 雪= f ( t ，z ，y ) ( 1 3 b ) 2 求解微分方程组( 1 3 a ) 一( 1 3 b ) ，初值条件y ( o ) = y o 。 还需横截性条件 t l 。i r a 。) y ( t ) e 一一= 0 在具体的问题中，上述横截性条件通常等价于关于y c t ) 的某个边界条件 1 2 2 随机函数 一般地，任何随时间变化的随机变量都是随机过程；它用来描述带有不确定性的时变 现象我们考虑连续时间的随机过程，假定时间t 变动于某个区间j = 兄 = f 0 ，0 0 ) 每 个随机过程x ( t ) 可以看成一个二元函数x ( t ，u ) ：，q _ 冗，对于固定的时间t ，z ( t ，) 是 一个随机变量，对于固定的0 , 1 q ，z ( ，u ) 是t 的函数成为随机过程的轨道随机函数 2 ( t ) 与普通函数的性质有很大的差别在本论文中我们考虑的随机函数都是几乎必然轨道 连续的，即尸 ( t ) 对t 不处处连续) = 0 ，( 聩示概率) 且它关于( ，u ) 可测， 此外我们还要求用到的随机过程满足以下三个条件 ( 1 ) m a r k o v 性设龟= z ( t ) 是风上的个随机过程，若对于0 t o t z t n t o o 与任意的实数r ，有 p ( x t ，ix t o ，貌，) = p ( x t ri ) 即。在已知当前状态的条件下，z 的未来状态与过去无关( 无后效性) ( 2 ) 平稳性假如随机过程甄在任何时段口，s 1 s ) 上的增量如一筑的分布仅依赖 于时段长度s t ，即t 系统变化仅决定于它所经历的时间跨度 ( 3 ) 扩散性具有有限的瞬时移动速度和位移方差 1 2 3b r o w n 运动 b r o w n 运动是经济分析中常用的随机过程，它满足以下条件t ( 1 ) 独立增量性x ( t ) 在互不相交的时段上的增量相互独立 ( 2 ) 正态性若0 t s ，则t ( s ) 一u ( t ) 一n ( 0 ，t r 2 ( s 一孟) ) ；t ( o ) = 0 ( 3 ) 非预期性若0 t s o o 。则增量u ( 8 ) 一u ( t ) 与信息集厶独立 由此，我们知道zb r o w n 运动是齐次的扩散过程，它的瞬时移动速度和位移方差分 别是0 和口2 3 顾士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1 - 2 4 随机微积分 l 随机微积分即随机过程的微积分，与经典的微积分有很大的不同随机积分处在主导 地位，随机微分不是个独立的概念，而是随机积分的某种形式的衍生物在经济学中我 们一般只考虑i t 6 微积分t ( 1 ) i t 6 积分所谓的i t 6 积分就是指 r m ) 批) 的积分，其中0 a b 0 ，叼 0 ，咝 1 时，总产出、消费、实物 资本的均衡经济增长率与国外经济援助负相关；当0 p ，0 2 = 1 则 问题( 3 1 a ) - ( 3 1 b ) 是线性约束的自治问题我们可以求解其显式解 对于效用函数，我们考虑用二次效用函数即! 【，( c ) - - = - c - - i m 孑，( o c 0 适当小而相应地值函数我们考虑为 v c k ) = a o + a l k + a c k 2 其系数待定对效用函数和值函数都对其变量求导，然后由( 3 2 b ) 得 由上式得到c 与的关系 u 7 ( c ) = 1 一m c = = g 1 + 2 0 2 k 将效用函数和值函数代入( 3 2 a ) ， c - - - e l 一口- 一2 a c k p a o + 口1 k + a 2 k 2 】一- - - c - - 筹c 2 + ( 础一c + n ) ( 口1 + 2 锄后) + 妒2 眈 然后将c - - - - - 去【1 一a l 一2 a 2 k 】代入上式，则有t p + 二，七十叻七。】= 1 - a l - 2 眈翻一署 去【1 一口。一2 n 。纠) 2 + r 七一去【1 - - a 1 - - 2 眈叫+ n ) ( n + 2 眈七) + 妒2 勉 1 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 比较k 的各次幂的系数，有； 2 0 2 = m ( p 一2 ，) 口1 m ，= 2 口2 ( a m 一1 ) 触= 熹( 1 二口t ) 2 + 帆+ 口2 矿 再将c = 去【1 一a l 一2 a 2 k 】代入( 3 1 b ) 中。得到关于七的线性随机微分方程t d k = ( ( p r ) k - i - f 1 ) d t + 妒砒，k ( o ) = k o 此时p = 击( d l 一1 ) + 口由线性随机微分方程的解得出t 砟) = e 沪小卜+ 卢r e 一沪咖如+ 妒t e - 沪咖叫 经过一些变换后，简化上式。 砟，= ( 岩+ ) e ( p - - r ) t 一岩+ 妒r e n c t _ | ，砒 同时也得到了。 c ( d = 示1 + ( 2 r 一力卜( d + 号三兰 下面我们考虑参数如何影响平均增长率以c ( t ) = 磊1 + ( 2 r 一力陋( t ) + 业e t l 世p m r1 代入 ( 3 1 b ) ，得到， 我们还可以求得t 妒警1 吲_ r + 下o , - - c = ( p - o ( 1 m 眺r _ - - l 瓦o k = i 1 【e ( p - r ) t l 】； 面o k = 序枷_ 砒 那么我们可以得出平均增长率与国外经济援助的关系式 堂= 型k o e ( 川。il p t e(-i-oak 2 r榔叫叫 一= 一7 ”f 口7 ，、1 n 口 r j 再求期望得s e 圈= 掣e 沪r ) t e 【溯= 。 由此，我们得出结论。 定理3 1 平均增长率与风险妒无关，但是，当p t 时，平均增长率与国外经济援助 正相关，当p r 时，平均增长率与国外经济援助负相关 由定理3 1 知，并不是个国家得到国外经济援助越多经济增长得越快 以下再考虑国外经济援助对福利的影响对v = y ( ) 关于参数口和妒分别求导。 型o a = 鲁+ 鲁+ 瑶等一。瓦+ 梳瓦十瓦 =三一等等n瓦oal-i1-n。】t-p 鲁 = 一_ 一1 1 胁一 【m 加。砚1 j ”跳 。+(一坐+ico，oalpm p p o a ， = 芈掣( 口一去+ o v ( t o2 口2 妒 却妒p 因为貉= m ( p 一2 ，) r 2 0 ，所以，福利在口= m 一1 - r k o 时达到最大 由此我们也可以得出结论t 推论3 2 当0 口 仇一r ，p r 时，国外经济援助增加有利于福利，而对经济 增长不利 3 3 非线性约束情形 在上一节我们考虑的随机模型中约束方程的参数都是常数，在这一节中我们把约束函 数的参数一般化，即不是线性约束函数的自治问题如果我们考虑生产函数，( 七) 分离出 1 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 人均资本存量老，( 是) = g ( k ) k ；国外经济援助口不是常数，我们也考虑它是变化的，与 人均资本存量七有关，a = e k ；妒我们认为是生产函数的随机波动，妒= g ( k ) k 我们 把问题( 3 1 a ) 一( 3 1 b ) 变为下列随机最优化问题。 ， 警岛上e 叫u ( c ( ) ) 班 ( 3 血) d k = ( g k c + e k ) d t + g k d u ，k ( o ) = k o ( 3 4 b ) d u 仍然是一个给定的b r o w n 运动的增量，它是独立的，服从均值为0 ，方差为a 2 d t 的正 态分布，即e ( d u ) = 0 ，v a r ( d u ) = a 2 d t 以v c t ，k ) 为问题( 3 4 a ) 一( 3 4 b ) 的值函数，则b e l h n a n 方程可写成 = m a x u + y , + ( 拈一c + e 七) k + 互1 9 2 七2 a 2 v k 知】 由b e l l m 兑n 随机最优性原理，得到一阶最优性条件 p y = u + k + 七一c + e 七) 坛+ 三9 2 七2 矿圪七 ( 3 5 口) 0 = 一k ( 3 5 b ) ( g l 一1 ) v h = - - 9 9 7 k 0 2 v k k ( 3 5 c ) p v k = 坛+ o 一) v k + ( g k c + e k ) v k 七+ 夕2 七盯2 k 知+ 昙9 2 矿七2 v k 触 ( 3 5 d ) 由( 3 5 b ) 式得到矿= k 。然后由i t 6 公式得出 d u = d k = k 七d t + v k 七挑+ ：1 歹k 触( 砒) 2 = ( 七+ ( 9 七一c e 尼) k 知+ 三圪知七a 2 9 2 k 2 ) d t + g 七圪七砒 将( 3 5 c ) 和( 3 5 d ) 式代入上式，得t d = p 山刊+ 学 v k d t + g k v k k d u 然后将上式两端同时除以k ，得 警吡一弘+ 百g k v k k 也 ( 3 6 ) 可2p 叫一争) 出+ 百也 ( 3 6 ) 我们把( 3 6 ) 式称为问题( 3 4 a ) 一( 3 4 b ) 的e u l e r 方程 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 对于效用函数，我们考虑用一般的效用函数c r r a 效用函数，即。常数相对风险厌 恶效用函数它的表达式为t u c c ) ：鲁，o e l ，e l ：1 吨 e l 与之对应的值函数我们假设为。 v c k ) = a l k a 其中，口l ，入是待定的常系数 我们首先确定值函数的系数，求出资本和消费的最优增长路径 对值函数和效用函数分别求导数，我们可以得到。 ( c ) = ，1 1 = c - 。，k = 口l a k 一1 u 七= 口l a ( 入一1 ) k a 一2 ，k 触= 口1 a ( 入一1 ) ( a 一2 ) 矿一3 将上式代入( 3 5 b ) 中，我们可以求出c 与k 的关系式。 c 一。= 0 , 1 a k a 一1 在宏观经济分析中，我们总是考虑在均衡状态下，消费与资本的增长是同步的因此， 我们假设 c p 石三c d 船t 从c 与k 的关系式中，我们看到消费与资本应该有相同的指数，即一e 三a 一1 ，则系数 的关系为，a = 1 我们同样得到t p 丢= ( 概) 。1 肛 将( 3 7 ) 式代入( 3 5 a ) 和( 3 5 c ) 中，我们计算得- = 鲁怕一p + c ) a y + 争2 m 叫u ( 9 7 一1 ) k = - 9 9 7 盯2 q 一1 ) v k 化简上面两个式子，我们得， p = 乐+ ( g - - p + e ) 三矿州a - 1 ) ， 矿一1 = 9 9 7 盯2 ( 1 一a ) 2 1 ( 3 7 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 田此，我1 j 得到a l 明表还瓦l n - = a 一1 ( 1 一a ) 5 【p a ( 夕+ e ) 一互1 夕2 a r 2 a ( 入一1 ) 】- 薯 将入= e i 代入得， 。- = e f l ( 1 一e - ) 。 p 一( 9 + e ) 一三9 2 盯2 ( 6 z - 1 ) 一c 再将上式代入( 3 7 ) 式中，我们得到p 的表达式t p = ( 1 一- ) 一1p - l ( 9 + e ) 一互1 9 2 a r 2 - ( e - 一1 ) 】 在均衡状态下，我们从( 3 4 b ) 中我们能够得到。 d k = k ( 妒d t - i - g d u ) ， 其中，妒为平均增长率，且妒= g p c ，当然这里e * k 均衡状态下的国外经济援助 根据随机微分方程的解法可以算出 婶) = e x p 一三咖2 ) 抖咖一u ( o ) 上式a p 给出了资本的最优增长路径由c = p 七可以知道消费也有类似上式的表达式这 样e o ( 七) 和岛( c ) 都是递增的且平均增长率妒与消费、资本有共同的随机增长率 由9 ，一1 = g g 仃2 ( 1 一入) ，绎过一系列变换，我们可以得到平均增长率。 妒= 石1e 警】= c 1 一a ，一1 g - l - e - - p - 互1 a 。一多， 下面我们考虑国外经济援助对经济增长的影响，平均增长率关于e 求导t 筹叫1 卅降叫一器 将a = e l 代入得 笔矗1 1 字叫一器 2 2 顾士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由此我们得出结论 定理3 3 当( 2 一e 1 ) ( 夕，一1 ) ( 夕，) 2 e l g g 时，平均增长率与国外经济援助负相关 类似于推论3 2 的分析，对v = v ( k o ) 关于参数e 求导 a u v 。= i 晤t 鲁 = 端- ( 1 - - e 1 ) 。p e 。( 9 + e ) 一互1 9 2 口2 。( e z - 1 ) 一c 一1 由此我们也能得出结论 推论3 4 当e 1 时，总产出、消费、实物资本的均衡经济增长率与国外经济援 助负相关；当0 p f 时。平均增长率与国外经济援助正相关，当p r 时，平均增长率与国外经 济援助负相关当0 口 m 一一r k o ，p r 时，国外经济援助增加有利于福利，而对经 济增长不利然后，我们将随机增长模型中的参数般化，也就是具有非线性约束的随机 最优化问题我们得到了当( 2 一e 1 ) ( 矿一1 ) 0 9 2 e l g f f 时，平均增长率与国外经济援助负相关同时还 有当e 暑一g + 9 2 沪时，国外经济援助有利于福利 4 2 展望 1 ，虽然我们在u z a w a , - l u c a s 模型中引入了休闲和国外经济援助，但是我们没有考虑 国外经济援助给本国带来债务，以及由此带来的利息这一方面我们将在以后的工作中进 一步研究和探讨 2 ，我们在r a m s e y 经济增长模型中加入了国外经济援助，并讨论了随机情形但没 有分长期国外经济援助和短期国外经济援助进行具体的分析我们将在以后的工作进一步 深化 项士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】1 邹恒甫主编，龚六堂编著，经济增长理论，武汉大学出版社，2 0 0 0 年 【2 】l m c k e n z i e ，o p t i m a le c o n o m i cg r o w t ha n dt u r n p i k et h e o e r m ，a n dc o m p a r a t i v ed y n a m i c s ， i nh a n d b o o ko m a t h e m a t i c a le c o n o m i c s ：v o ll l i ( e d i t e db yk a r r o wa n dm i n t r i l i g a t o r ) ， n o r t h - h o l l a n d ，a m a t e r d a m ，1 2 8 1 1 3 5 5 1 3 】p a g h i o n ，p h o w i t t ，e n d o g e n o u sg r o w t ht h e o r y , t h em i tp r e s s ，1 9 9 8 1 4 】o b e r n t ，s t o c h a s t i cd i f f e r e t i a le q u a t i o n s ，a ni n t r o d u c t i o nw i t ha p p l i c a t i o n s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 5 。 【5 】金治明，随机分析基础及其应用，国防工业出版社2 0 0 3 f 6 】p b a r d h a n ，k s h e l l ，e d i t o r ，e s s a y so nt h et h e o r yo fo p t i m a le c o n o m i cg r o w t h t h em i t p r e s s ，c a m b r i d g e ，m a ，1 9 6 7 f 7 】胡适耕，吴付科，宏观经济的数理分析，科学出版社2 0 0 4 【8 】d a k e n d r i c k ，s t o c h a s t i cc o n t r o lf o re c o n o m i cm o d e l s ：p a s t ，p r e s e n ta n dt h ep a t h sa h e a d 。 j o fe c o n o m i cd y n a m i c sa n dc o n t r o l ，2 9 ( 2 0 0 5 ) 3 - 3 0 。 f 9 】r r o b e r t o ，n o n p a r a m e t r i ce s t i m a t i o no fs t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l s ，e c o n o m i c sl e t t e r s 9 0 ( 2 0 0 6 ) 3 9 0 - 3 9 5 【1 0 g o n g ，l i u t a n g ，z o u ，h e n g - f u ，m i l i t a r ys p e n d i n ga n ds t o c h a s t i cg r o w t h ，j o fe c o n o m i cd y - l l a i n i c sa n dc o n t r o l2 8 ( 2 0 0 3 ) 1 5 3 - 1 7 0 【1 1 】m g a b r i e l a , 口b e r n t ，o p t i m a ls t o c h a s t i ci n t e r v e n t i o nc o n t r o lw i t ha p p l i c a t i o nt ot h ee x - c h a n g er a t e ，j o fm a t h e m a t i c a le c o n o m i c s2 9 ( 1 9 9 8 ) 2 2 5 - 2 4 3 f 1 2 s t e p h e nb d e l o a c h ，r o b e r th r a s c h e ，s t o c h a s t i ct r e n d 8a n de c o n o m i cf l u c t u a t i o n si na l a r g eo p e ne c o n o m y , j o fi n t e r n a t i o n a lm o n e ya n df i n a n c e1 7 ( 1 9 9 8 ) 5 6 5 - 5 9 6 1 1 3 】米辉，刘先忠，张艾荣，带休闲的u z a w a l u c a s 模型，华中科技大学学报3 2 ( 2 0 0 4 ) 1 1 4 - 1 1 6 【1 4 】刘群锋，胡适耕，制度内生的随机经济增长模型，东莞理工学院学报1 2 ( 2 0 0 5 ) 9 9 - 1 0 3 【1 5 】刘为凯，刘先忠，基于非期望效用函数的随机经济增长模型，华中科技大学学报3 3 ( 2 0 0 5 ) 9 3 - 9 5 【1 6 w a n gh a i j u n ，h us h i g e n g ，z h a n gx u e q i n g ，p r o f o l i o ，s t o c h a s t i ce c o n o m ig r o w t ha n de f f e c t s o fg o v e r n m e n tp o l i c i e s ，应用数学1 7 ( 2 0 0 4 ) 3 7 5 - 3 8 2 【1 7 】g b e c l a e r ，c m u l l i g a n ，t h ee n d o g e n o u sd e t e r m i n a t i o no ft i m ep r e f e r e n c e ，q u a r t e l yj o f e c o n o m i c s1 1 2 ( 1 9 9 7 ) 7 2 0 - 7 5 8 【1 8 】k j u d d ，d e b ta n dd i s t o r t i o n a r yt a x a t i o n si nas i m p l ep e r f e c tf o r e s i g h tm o d e l ，j o fm o n - e t a r ye c o n o m i e s2 0 ( 1 9 8 7 ) 5 1 - 7 2 f 1 9 】k j u d d ，s h o r t - r u na n a l y s i so ff i s c a lp o l i c yi nas i m p l ep e r f e c tf o r e s i g h tm o d e l ，j o f p o l i t i c a le c o n o m y9 3 ( 1 9 8 8 ) 2 9 8 3 1 9 【2 0 1r l u c a s ，n s t o k e y , o p t i m a lg r o w t hw i t hm a n yc o n s u m e r s ，j o fe c o n o m i ct h e o r y3 2 项士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 1 9 8 4 ) 1 3 9 - 1 7 1 【2 1 】m o b s t f e l d ，m a c r o e c o n o m i cp o l i c y , e x c h a n g e - r a t ed y n a m i c sa n do p t i m a la s s e ta c 圮u m u - h f i o n ，j o fp o l i t i c a le c o n o m y8 9 ( 1 9 8 1 ) 1 1 4 2 - 1 1 6 1 f 2 2 】m o b s t f e l d ，a g g r e g a t es p e n d i n ga n dt h et e r m so ft r a d e ：i st h e r eal a u r s e n - m e t z l e re f f e c t 。 q u a r t e r l yj o fe c o n o m i c s9 7 ( 1 9 8 2 ) 2 5 1 2 7 0 【2 3 】m o b s t f e l d ，i n t e r t e m p o r a ld e p e n d e n c e ，i m p a t i e n c ea n dd y n a m i c s ，j o fm o n e t a r ye c o n o m i c 2 6 ( 1 9 9 0 ) 4 5 - 7 5 f 2 4 】m o b s t f e l d ，e f f e c to ff o r e i g nr e s o u r c ei n f l o w so ns a v i n g s ；am e t h o d o l o g i c a lo v e r v i e w m