（光学专业论文）非接触法测量拉锥光纤直径的研究.pdf

捅要 摘要 拉锥光纤作为特殊光纤在许多方面涉及到应用的技术发展水平，如白光的 产生，全光原子钟频标，光纤参量振荡器，微腔实验等。 白光的产生是高阶非线性过程，其与光纤中光的强度有关。另外群速色散 也与光的半径密切相关，因而控制光束的半径有利于优化光纤的展宽谱。现代 化的工业生产对拉锥光纤直径测量提出的要求是：高准确度、非接触、快速测 量。若将拉锥光纤的锥腰半径压缩至亚毫米量级，已有的测量方法存在一些问 题，因而需要新的计算方法或测量方法。 本课题主要研究的是非接触、快速、高精度测量拉锥光纤直径的方法。 当光纤受到与其轴线垂直的准直光线的照射时，会产生个复杂的散射图 象，这可以理解为反射、散射、衍射光的相干。除此之外，如果光波长的整数 倍与光纤周长相匹配，光可以被共振耦合进光纤。因此，光强与光纤半径间有 关系，光强将随散射角度发生变化，当光纤半径、光纤折射率确定时，计算光 强最大值和最小值所对应的散射角，绘制出光强与散射角关系曲线，使用合适 的激光实验装置，用一种新的赋值运算法，可以很快的从复杂的衍射图形中得 到光纤的直径。 关键词：拉锥光纤、色散、直径测量 a b s t r a c t a b s t r a c t t a p e r e df i b e r sa r ei n v o l v e di nav a r i e t yo fs t a t e o f f h e a r ta p p l i c a t i o n s ，s u c ha s w h i t e l i g h tg e n e r a t i o n , a l l - o p t i c a l a t o m i cc l o c k sw i t l l f r e q u e n c yc o m b s f i b e r - o p t i c p a r a m e t r i co s c i l l a t o r s ，u l t r a l o w - t h r e s h o l dl a s e r s ，a n dm i e r u e a v i t ye x p e r i m e n t si n g e n e r a l w h i t e - l i g h tg e t l o r a t i o ni sah i g h l yn o n l i n e a rp r o c e s sa n di st h e r e f o r ed e p e n d e n to nt h el i g h t i n t e n s i t y i n s i d et h ef i b e rw a i s t , w h i c hi s p r o p o r t i o n a lt o 。f u r t h e r m o r e , t h eg r o u p - v e l o c i t y d i s p e b i o ni nat a p e r e df i b e rd e p e n d ss t r o n g l yo nt h er a d i u sa saf u n c t i o no ft h ep r o p a g a t i o n d i s t a n c e ；t h e r e f o r ec o n t r o l l i n gt h e r a d i u sp r o f i l ea l l o w sm t oo p t i m i z et h eb r o a d b a n ds p e c t r u m t h ed e m a n do f m e a s u r e m e n td i a m e t o ro f t a p e r e df i t m r si saf a s t , a e e u m m ，n o n c o n t a c t , b u tt h e r e a r cs o m ep r o b l e mw h e n d e c r e a s i n gt h et a p e rw a i s tr a d i u si n t ot h er a n g eo fa f e w m i c r o m e t e r so re v e l li n t ot h es u b m i e r o m e t e rr a l l g er e q u i r e sa c c u r a t e ，t h e r e f o r en e e d n e wm e t h o dt om e a s u r e m e n td i a m e t e ro f t a p e r e df i b e r s t h i se s s a yi sm a i n l ya b o u tt h em e t h o dw h i c hi st m t o u c h e d h i g he f f i c i e n c ya n d h i g hp r e c i s i o nf o rt h ef a s tp r o f i l em e a s u r e m e n to f t h et a p e r e df i h e r s ac o m p l e xs c a t t e rt w o - d i m e n s i o n a lp r o b l e mw i l lb ep r o d u c e dw h e nt h ef i b e r i ss h i n e db yac o l l i m a t i o nl i g h tb e a mw h i e hi sp e r p e n d i c u l a r i t yt oi t i ti st h e e o h e r e n c e i n t e r f e r o m e t r yb y t h e r e f l e c t e d ，d i f f r a c t e da n dt h e s c a t t e r b e a m s a d d i t i o n a l l y i fi t i sm a t c h e db e t w e e nt h ei n t e g r a lt i m e so ft h eb e a m w a v e l e n g t ha n dt h ep e r i m e t e ro ft h ef i b e r , t h eb e a mc a r lb ec o u p l i n gi n t ot h ef i b e r 、析t ht h er e s o n a n c e t h e r e f o r e t h e r ei saf u n c t i o nb e t 、v 唧t h ei n t e n s i t ya n dt h ef i b e r r a d i u s t h es c a t t e rb e a ma p p e a r so nt h es e m i t r a n s p a r e n ts c r e e na n di m a g e si t ss h a p e w h i c hc h a n g e sf o l l o w e db yt h es c a t t e ra n g l e f o rt h eg i v e nr a d i u sa n dt h er e f r a c t i v e i n d e xo ft h ef i b e r , w ec a nc a l c u l a t et h es e to fa n g l e so fl o c a lm i n i m u ma n d m a x i m u mi n t e n s i t i e s b yu s i n ga na p p r o p r i a t ee x p e r i m e n ts e to f t h el a s e ra n dai l e w a r i t h m e t i cw h i c hi se v a l u a t e d , w ec a nm e a s u r et h ed i a m e t e ro ft h ef i b e rf r o mt h e c o m p l e xd i f f r a c t i o nd i a g r a m k e yw o r d s ：t a p e r e df i b e r ，d i s p e r s i v e ，f i b e r d i a m e t e rm e a s u r e m e n t - 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签 关于论文使用授权的说明 日期： 炒7 fz 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 母江导师签名：概 日期： 一7 | 占1l 第1 章绪论 第一章绪论 1 1 研究拉锥光纤目的和意义 随着纤维光学的发展，光纤作为一种低损耗、容量大、抗干扰能力强的传 输介质，在光学通讯系统、医学、传感器等领域获得了越来越广泛的应用，锥形 光纤作为特殊光纤在许多方面涉及到应用的技术发展水平，如白光的产生，全光 原子钟频标，光纤参量振荡器，微腔实验等。 许多重要的光纤结构，例如方向耦合器 和光束放大器都基于单模锥形光纤。锥形 过渡区在非锥形光纤锥腰中将局部的基模 从核模转换为覆层模式，这也是许多应用的重 基础。 毒 将锁模激光器输出的超短脉冲激光先 由显微镜物镜耦合到拉锥光纤中，由于自相 位调制( s p m ) 、四波混频( f 州) 、自陡峭、 受激拉曼散射效应以及光纤色散作用的共 同影响，最终由拉锥光纤出射的脉冲频谱将 m- 埘 w _ 呻 图卜1 拉雏光纤直径对频谱展宽的影响 得到很大的展宽，实验观察发现频谱展宽程度与光纤参数( 包括光纤长度及直 径的大小) 以及输入脉冲参数( 包括脉冲宽度、重复频率及脉冲能量) 有关。3 对于拉锥光纤而言，其长度决定了光纤内非线性效应及色散量共同作用的距 离；而光纤直径的大小则可以改变光纤内脉冲强度( 图卜1 ) 及群速度色散量的 大小( 图1 - 2 ) 。这两点对输出激光的频谱形状起到至关重要的作用。 拉锥光纤直径的减小使得光纤有效面 积变小，这将在光纤内部将产生很高的峰值 功率，从而引发自相位调、孤波分裂以及受 激拉曼散射等非线性效应，致使脉冲频谱发重 生展宽。 ，l 由于光纤直径的变化会对群速度色散 曲线产生相应的影响，因此可以根据需要来 适当改变光纤直径，从而达到改变入射脉冲 波长色散量的目的。 w h _ - i r - n ) 图1 - 2 直径为1 5 微米的拉雏光纤中 不同波长的群速度分布曲线 白光产生是一个高阶非线性过程，依 赖于光纤中的光密度，也即和光斑尺寸有关。另一方面，在锥形光纤中的群速色 - 旧 北京工业大学理学硕士学位论文 i e | e | ! ! ! ! s j | 目! e 目! ! ! ! e ! e ! ! ! e ! ! ! ! ! ! ! _ 散强烈的依赖于光纤的半径，此半径是传输距离的函数，因此控制半径形状可以 优化展开的光谱。锥型光纤用于微腔实验时4 ，耦合效率与其拉伸的距离和锥型 光纤腰部的半径有密切关系，因此，在锥型光纤的拉制过程中，必须对其外径进 行精确的控制。两根光纤连接时：通常利用它们的外部边界作为共同的基准，因 此光纤直径必须具有很高的准确度，同时，由于测量光纤直径的主要目的之一是 对拉丝过程进行监控，因此对测量方法提出的要求之一便是，能实时采集和处理 数据，即具有快速测量的特点。而且j 测量直径的方法必须是非破坏性的和非接 触的，因为与光纤表面的任何接触都会减小拉制光纤的强度。因而，现代化的工 业生产对光纤直径测量提出的要求是：高准确度、非接触、快速测量。对锥型光 纤直径的快速、准确测量是科学的热门课题。 1 2 锥形光纤直径主要测量方法 1 2 1 接触法 当光纤直径在毫米数量级时，通常使用游标卡尺或者千分尺测量其直径，该 方法适用于对测量精度要求不高、且光纤直径较大的情况。由于接触式测量容易 造成对光纤的损坏，所以大部分情况是对光纤进行非接触式的测量 1 2 2 扫描阴影法和投影放大法 目前，在工业现场广泛用作光纤生产的在线测量的非接触法光电仪器中， 主要采用两种方法：扫描阴影法和投影放大法，这两种方法都是基于数字图像处 理的实用的分析方法。方法的基本原理是将光纤的横截面图像扫描或放大，采集 进入计算机进行图像处理，从而得出光纤直径的数值。由于光纤结构比较特殊， 它是一种具有不同折射率结构的透光介质，且光纤直径很小，在激光照射下会产 生衍射，因而这两种方法用于测量光纤时会产生一定的原理误差，使测量准确度 受到限制。 1 2 3 前向散射法和后向散射法 当光纤受到与其轴线垂直的准直光线的照射时，会产生个复杂的散射图象 。在前向散射法中，主要分析光通过光纤反射的光之间的干涉条纹，( 图1 - 3 a ) ： 3 2 l ( 3 ) 图卜3 前向散射和后向散射 后向散射法中，除了透射光线之间的干涉外，还有衍射光( 图1 - 3 b ) 。条纹的极 次与光在光纤中传播的距离有关，通过分析散射图象中的条纹极次便可计算出光 第1 章绪论 纤的半径。目前许多检测光纤直径的仪器的原理均基于此两种方法。散射理论相 对于几何光学方法，灵敏度得到了显著提高。 1 2 4 回音波模式测量光纤直径变化 如果光波长的整数倍与光纤周长相匹配，光可以被共振耦合进光纤。回音波 模式( w g m s ，以下文中将用缩写代替) 7 实际上是利用环形结构中的谐振光绕 行时进行掠入射，在环行结构内部来回反射，由于光的旅程的相位变化必须是2 的整数倍，因此若光波沿直径为a 、折射率为n 的光纤周围绕行n 周后，可以 预测w g m s 存在的波长 为 a ：2 z a n ( 1 ) 当光沿着一根锥形光纤( 称传输光纤) 从给定的模式耦合到又一根锥形光 纤( 目标光纤) 的周边w g m s ，第二根光纤直 径的微小变化可以沿着它在不同的点追踪这 期八 些模式的存在波长进行测量。两个光纤在最窄 点以合适的角度放置( 如图卜4 ) ，这会在传感 光纤中引起背景损失，这种损失当光纤接触时 可以用来进行光探测。用一个宽光源和一个光 谱分析仪测量传感光纤的传输谱，通过传感器 。 的传输谱中观察出目标光纤的直径，在光被耦 合进入目标光纤的w g m s b 寸，在光谱中目标的w g m s 波长表现出耦合谐振，谐振 的尖锐峰处可以进行高准确度测量( 图卜5 ) 。测量出了谐振波长，通过式( 1 ) 可计算光纤半径的变化。 实际上，w g m s 谐振经常用来高准确度测量目标光纤的均匀性，因为从式 ( 1 ) 可看出一个谐振的波长和光纤直径成比例。因此，通过沿着目标光纤移动 与传输光纤的接触点，并且追踪w g m s 的波长，就可以推导锥形光纤是否均匀 的变化。 该种方法不要求确切的光准直，仅仅两根光 纤被接触的放在一起，一个简单、稳定、重复性 对直过程自动产生。实验不受背景和杂散光的影 响，它对传感光纤微细变化很敏感。这种技术成 为优化变细光纤装置的诊断工具8 ，也是锥形光 纤本身构造质量控制的诊断工具。 图1 - 5 传输谱中的谐振波长a b c 1 3 国内外研究现状 1 9 9 3 年d u m a i s 第一次通过利用飞秒脉冲与拉锥光纤耦合后输出了连续光谱 北京工业大学理学硕士学位论文 9 。2 0 0 0 年b i r k s 和他的同事们一起利用掺钛蓝宝石激光器输出的纳焦量级的飞秒 脉冲与拉锥光纤耦合输出了超连续谱。2 0 0 1 年，a k i m o v 利用掺铬的镁橄榄石飞秒 脉冲激光器与拉锥光纤耦合输出了中心波长在1 2 5 微米的超连续谱”。 七十年代以来，l s wa t k i n s 、d m a r c u s e 、h m p i e s b y 、p l c h u 等从光纤本身材料和物理特性出发，分别提出了可用于光纤直径测量的前向散射 法测量和后向散射法测量，并进行了深入的研究。1 9 9 8 年，中国科技大学吴建 兵等人在前向散射法的基础上，通过对前向散射角0 = 0 0 附近的远场干涉图象的实 验研究和理论推导，提出了前向近轴远场干涉的基本原理和测量方法，并用此方 法对标称直径d = 1 2 5 n m 的光纤进行了测量1 1 ，测量不确定度为0 5 t i m ，利用它 制成了满足工业生产需要的实时非接触高准确度的光纤测径仪器。2 0 0 0 年 t a b k k s 等人用回音波模式测量锥形光纤直径变化，测量光纤直径变化准确度 达到了l 1 0 0 0 0 ，而不需要光准直。2 0 0 4 年，美国的e w a r k e n 坦等人通过散射光 强极值所对应的散射角度与光纤半径的关系实时测量了几厘米长的锥形光纤直 径，其光纤直径接近衍射极限，测量不确定度为5 0 n m 。 1 4 总结 综上所述，目前为止所有的接触性校准方法都有着破坏性的缺点，因为他们 依赖于一种理想的洁净的可接触性操作同时并不造成光纤的形变，或者由于系统 不确定性而造成误差；作为非接触测量锥形光纤直径的方法，扫描阴影法和投影 放大法测量准确度较低：前向散射法和后向散射法准确度较高，但测量需要光准 直。在前向散射法中，用来计算光纤直径的高频干涉条纹受到缓慢的调制，这种 慢变信号的叠加使得对局部条纹的识别困难。同时，随着散射角度的增加，条纹 的幅值也越来越小：因而信噪比也越来越低，容易受干扰影响，因而前向散射法 测量准确度较低。在后向散射中，光强分布极不规则，由于多光束干涉，使得精 细结构的叠加给亮、暗纹位置的精确识别带来很大的困难，后向散射法对带包层 光纤的测量是十分繁琐和费时的。因此它们都不适宜于作为实时光纤直径测量方 法；回音波模式适于测量锥形光纤直径的变化，准确度很高且不需要光准直。 1 5 本论文所作的工作 本论文首先总结了国内外测量锥形光纤直径的各种方法，并从理论上比较 了各方法的优劣；讨论了锥形光纤的两种典型理论模型，特别是在拉锥光纤拉制 过程中热带长度线性变化时锥形光纤的形状；讨论了一种新的测量锥形光纤直径 的方法，进一步研究了用此方法测量光纤半径的理论。并在该基础上建立了一套 完整的数据库。 第二章拉锥光纤形状 第二章拉锥光纤形状 2 1 引言 许多重要的光纤结构，例如方向耦合器和光束放大器都基于单模锥形光纤廿。 拉伸展宽加热的光纤结构包含一个拉伸的细丝( 锥腰) 、两端与未拉伸光纤连接 的圆锥形部分( 锥形过渡区) ，如图2 1 所示。锥形过渡区在非锥形光纤锥腰中 将局部的基模从核模转换为覆层模式，这 也是许多应用的基础。尽管如此，这种转 化伴随着基模的小损耗，锥形过渡区的形 状必须逐渐满足绝热性标准的每个方面 1 4 。另一方面，需要的过渡区越短越好， 使得结构紧凑并对周围环境的退化不敏 图2 - 1 光纤拉锥区域纵向剖面 感。最短的满足绝热标准的锥形的理论形状已经由l o v e 和h e n r y 描述，而且被 证明比相应的正弦曲线锥形更短”。 锥形的形状在锥形变形的地方也很重要；例如，通过弯曲得到缩图装置1 6 或 传感器，或通过扭曲来调整耦合器17 。为实现低损耗，这种变形需要被锥形光纤 的狭长部分占据的越完全越好，从而光被引导的最强。因此，锥形光纤需要狭长 的锥腰而不是短的过渡区。如果锥形光纤被用作传感器，就应该考虑不同的形状。 锥形光纤的形状也与光束放大器的工作有关墉。因此，讨论锥形光纤的特殊形状 非常重要。 2 1 基本理论 2 1 1 定义变量 图2 1 说明用于描述完整锥形光纤的形状。假设锥形是对称的( 也就是说锥 形两端的分离速度相对于热源是相等的) 因此两个锥形过渡区是相同的，虽然很 容易分析出延伸的速度是不同的。非锥形光纤的半径是，相同锥腰的长度是， ( 可能是零) ，半径是o 。相同的锥形过渡区的间距是z 。，由一个逐渐减小的半 径变量r ( 2 ) 来描述形状。z 是个纵向坐标。变量z 是锥形过渡区的距离( 点p 在 图1 的过渡区左侧) ；因此r ( 0 ) = r o ，r ( z 。) = z ，。延长量x 是锥形拉伸的净距离 一它等于p q 距离值减去初始值。随时间t 变化的变量x 直接由拉伸平移的速度 决定。假设x 是随变量t 增加的量：没有考虑锥形压缩。适用于完成的锥形， 同时也适用于拉长的瞬间。当锥形制作完成，拉俾停止后的伸长量由表示。 2 1 2 基本理论 北京工业大学理学硕士学位论文 假设加热的玻璃软到可以被拉伸，却不会因为自 身重量而下垂。热环带外部是冷而坚硬的。锥形的两 端被有规则地分离憎，图2 2 表示圆柱形低粘性玻璃 长度随时问变量t 变化，对称长度为l 的锥腰( 热环 带a b ) 被统一加热，在时间为t + a 时，被拉伸的粘 性玻璃长度为l + 瘃，盘是在时间变化量& 内长度的 ”叫 增量。同时热环带的长度变为l + 觅，乩可能为负值。 但锥形被拉伸，被加热拉伸的圆柱体两端a a 。和b b 石( 0 + 艿，) 2 ( 上+ 艿功= x r 2 工 8 r w 是圆柱体的半径，是负值。当a 极限为0 时，得到另一个方程式。随着伸展量x 而变 化的锥腰半径 d r ：一l( 2 4 ) 出2 上 l 是交量x 的函数，x 随着时间t 而增加。 第二个基本方程式将锥形过渡区的长 度气与锥形拉伸量x 联系起来。图2 3 中， 将t = 0 时初始距离p q 与锥形光纤总长度p q 相比较，可以得到。长度等式” 2 z o + l = x + 厶 ( 2 5 ) ( 2 - 3 ) 户q 玉耻竺1 m po i 图2 - 3 长度等式图示 习 第二章拉锥光纤形状 l 是关于x 的函数，且x = o 时的初始值是厶。根据模型，点z 沿着锥形过渡区的 半径是r ( z ) 等于当点离开热环带时的锥腰半径o ( z ) 。根据距离公式z 。= z 可以 得到关于伸长量x ( z ) 的公式 2 z = 工+ 上d 一三 ( 2 6 ) 在这个表达式中，x 是点z 离开热环带的特定距离。这是一个概括的距离公式。 方程式x ( z ) 的结果取决于l 怎样随x 变化。因此将x ( z ) 代入( x ) 可以得到锥形 剖面x ( z ) 。 上面距离公式的陈述是满足对称的锥形。 从数学上看，随着制约条件2 一l 中l 的变化，锥形光纤的形状( 如o ，0 ， z 。和r ( z ) ) 与生产它的增长条件( 如x o 和l ( x ) ) 的关系完全取决于方程2 2 、 2 4 和2 6 。 2 3 典型模型 一、模型l 给出l ( x ) 和而就可以得到_ ，l ，：o 和r ( z ) 。l ( x ) 必须满足条件2 - 1 。锥 腰的长度由2 2 给出 屯= l ( x o ) ( 2 7 ) 随着x 变化的锥腰半径。可以由归一化的体积公式( 4 ) 得到，初始值 0 ( o ) = r o 垮1 l 丽d x 给出一般的表示 心e x p 【- 吉珐】 ( 2 8 ) ( 2 - 9 ) 得到l ( x ) 就可以得到o ( x ) ，最终的锥腰半径是o ( ) 。距离公式( 2 - 6 ) 给出了变量x 的函数锥形过渡区的长度z 1 z c x ) = 卜+ z o - l ( 】 ( 2 一l o ) 上 过渡区最终长度是z ( ) 。为了得到r ( z ) ，可以由从( 1 0 ) 式中的x ( z ) 转化得 到。这依赖于l ( x ) 的特殊函数形式。锥形截面的方程可以将x ( r ) 代入( 2 - 9 ) 式 的o ( x ) ，得到 ，( z ) = o ( 工( z ) ) ( 2 一1 1 ) 最终的锥形形状将会确定。 作为更深的研究，考虑热带的长度随锥形扩展而线性的变化2 19 即： 工( 力= l o + 似o ( 2 一1 2 ) a 是表征热带变化和锥形延长的相对速率的常量。在情况( 1 ) 下要求口i 且 当口为负值时x o l o 蚓。当这些条件都满足则( 7 ) 式给出 ，= 厶+ ( 2 一1 3 ) 方程( 9 ) 式变为： 似m e 印卜吉熊h 旧。1 “ 同样，最终腰斑半径是r ( x o ) 。由间隔原理( 1 0 ) 给出 ：( x ) = 主( 1 一口) 工 ( 2 一1 5 ) 因此白= 去( 1 一a ) x o ，x 能够容易的表达为z 的函数。从而，锥形函数曲线： 心) 2 l 1 + ( 1 2 口a z 面j ( 2 - 1 6 ) 最简单的例子是当( 砷= 厶，可以得到一个指数衰变型曲线2 瑚。 ，( ：) = r o e 。7 ( 2 1 7 ) 如果口一0 5 ，热带以锥形延长一半的速率收缩。锥形曲线的结果是线性的： 1 1 _ ，2 厶z 1 7 ) 这个形状由于简单，而备受理论界的关注2 4 如果口= + o 5 ，锥形过渡形状为互 反曲线。当a = + l 的极限情况下满足( 1 b ) ，锥形过渡长度为零，由( 1 9 ) 式有未消 减成锥形的光纤与锥形光纤腰径之间突然连接。在口值范围内，不同的光纤形状 = = = = = = = 爿口。1 - - k = = 1 j a = 0 9 飞；= 一口- 0 5 一厂、_ 一。 = ! 一伍一0 一一，、 一 、厂一a 。- 0 5 一 一一 、，一a 。一 面1 j 1 f 石毫言丙_ 而纤形状 如图2 - 4 所示。 给定口值和o ，精确的腰长由( 2 1 3 ) 式给出。由图4 可知，大的a 值对应很 长的腰长范围。想用不同的腰长得到同样的锥形曲线，上( 功更为复杂，由模型2 来决定。 2 、模型2 在这种情况下，期望的锥形形状由，、o 、，和，( z ) 限定，其中，( 0 ) ：r o ， r ( z 。) = 已给出，需要求工( 功和而。增量原理给出： 一丝：鱼 rd r ( 2 一1 8 ) 譬还是未知的，对间隔原理( 6 ) 微分，可写为： 鱼：2 生+ 丝 d rd rd r ( 2 1 9 ) 代入( 1 8 ) 式，得到三是，的一阶线性微分方程，因为，( z ) 己给出，譬是已知 函数。 些+ 三三+ 2 生：0 dr，dr ( 2 2 0 ) 使用初始条件：，= 和l = l 。时z = 0 ，方程积分得： 上= 等厶一吾7 r 2 石d z 由 也就是： 2 南厶一南p 矽 协。， 其中上( z ) 是热带的长度，z 是热带结束的点。厶还未知，但是可由( 2 2 1 ) 式算出，在：= z o ，工( z 。) = ，。已给出，因此有： 盼南l + 南弘矽 ：。， 现在“z ) 完全已知，因此间隔原理( 6 ) 式给出j 关于2 的函数： 工( 2 ) 5 2 z + l ( z ) 一厶 ( 2 2 3 ) 这个函数倒过来就给出z ( 曲。同样，这个可由依赖r ( z ) 形式的函数分析计算 得到。( z ) 依据间隔原理有： ( 功2 x + z o 一2 z ( x ) ( 2 - 2 4 ) 北京工业大学理学硕士学位论文 最后，而在：= 由间隔原理有： x o = 2 知+ ，一z o ( 2 2 5 ) 将方程2 2 2 的工( ：) 和2 - 2 3 的z ( 曲代入2 2 4 的和2 - 2 6 式，便得到了模型2 的完备解。 考虑l 约束 。卜号，2 。i ) 彬忱【0 而】 ( 2 2 6 ) 式子的右边是随z 递增的函数，在：= z 。时有最大值零。当条件变为，0 时 间隔原理微分后给出： 丝；l 一2 生：l 一2 d z d r 出出咖d r ( 2 - 2 7 ) 增量原理给出酬出，因此有： 一d l ：1 + 二l d r 上驯出 ( 2 2 8 ) 表明过渡区的锥形半径随z 值增大，这个条件使得锥形光纤合理平稳的过 渡。如果预先指定的锥形光纤合理，则条件( 1 ) 自动满足2 5 ，任何这样的锥形光 纤随着热带长度的扩展能产生合理的变化。 第三章光强极值法测量拉锥光纤直径 第三章光强极值法测量拉锥光纤直径 3 1 引言 迄今为止，光纤半径的确定是由其制作过程的已知控制参数推出的，但若将 光纤的锥腰半径压缩至亚毫米量级，上述的测量方法己不能凑效，因而需要新的 计算方法或测量方法。倘若用扫描电镜的方法来测量其半径，那将有因表面接触 而破坏光纤的可能，即使是前面提及的非接触型方法，也由于其实验装置的繁琐 而显得很不适用” 本章讨论了一种快速、准确且简便实用的方法，它基于光的散射原理：探测光被 光纤的锥腰所散射，从侧面照射透明圆柱形电介质的光的前向散射可以理解为光 的反射、衍射和透射的叠加， 光纤半径可以从后面的散射图 样得出。散射的强度图样被投 射到屏幕上，由一c c d 相机记 录图样( 图3 1 ) 。倘若光纤的 半径仅仅是比探测光束的波长 略大，那么可以在透镜的焦平 面上看到空间相对稳定的散射 图样以及大的散射角。光强与 光纤半径问有关系，光强将随 喜 皇 翟 堇 ； 萼 警 图3 - 2 散射光强是散射角的函数 散射角度发生变化( 图3 - 2 ) ，因此通过对散射图样的分析，可以得到相应一个光 纤半径的一套散射角的值，当光纤半径、光纤折射率确定时，计算光强最大值 l l 北京工业大学理学硕士学位论文 和最小值所对应的散射角，使用合适的激光实验装置，用一种新的赋值运算法， 可以很快的从复杂的衍射图形中得到光纤的直径。如果仅考虑散射强度极值所对 应的角度，那么测量将非常简便。 3 2 理论分析 3 2 1 基础理论 很多工作讨论了导电圆柱体对高斯波束的散射。这些工作均假定散射体与波 束宽度相比很小并使用了准直射光束。并且仅考虑了散射图形远场形式2 ”7 。 导体圆柱是一种理想模型，下面将对各向同性的圆柱介电体对高斯波束散射的振 幅相位分布进行详细的讨论，运用新方法获得光强的简单的表达式。 为简单起见，考虑二维情况，如图3 3 所示。 在此情况下，入射波束的电场分量满足的波动 方程可以由下式给出： 等+ 等螂2 ，i = 。 仔- ， 其中瑶= 2 d 0 6 0 ，0 3 为角频率，鳓，岛为真空中 的磁导率和介电常数。 为了求解方程( 1 ) ，需要回到下列反付里 叶积分蠲 玉 - r i p ，蛳 厂，够j 弋y 1 图3 - 3 二维光场坐标 e ( y ，z ) = 寺肛( 口) p 膈。“掣比( 3 - 2 ) 其中五位) 为光源的付里叶积分 置( 口) = e 。0 ，一z o 弦脚砂 ( 3 - 3 ) 当波源位于z = 毛时( 图1 ) ，光源产生的远场表示为 e ( y ，一z o ) = 毛p 一矿，( 3 - 4 ) 其中2 = 口2 + 弘2 ，l a 2 为波束宽度。当波源假设为准直激光束时，p = a 是 个实数2 9 在本文中，将的虚部也考虑进去，将方程( 4 ) 代入方程( 3 ) 和( 2 ) ， 可以得到 或以z ) 2 互习1 历肛( 口弦一打4 俨m 抖勾膈。尸相比c ，勘 要想严格算出上式的积分，获得解析解是相当困难的，但它可以近似地积出。 假设i 肛”艮小，入是自由空问的波长，方程( 5 ) 中积分主要贡献来源于a 的很 第三章光强极值法测量拉锥光纤直径 小的区域。当口较小时，积分表达式中相位函数可以展开成口的泰勒级数表达 式 ( 瑶叫2 ) l ，2z 一圭鲁 。q 则( 5 ) 式的积分可以严格的计算出来，利用积分公式得到如下的结果 ：! ：! ：! 生三! 。；i ! i j 而p b 2 h - 一丘) 几( ：+ 卸) ( 3 7 ) e o ( 1 一丘) 2 ”“ 其中z = 2 p 2 ( 1 k o ) ( z + z o ) 为了满足边界条件，从笛卡尔坐标转换为极坐标， z 5 p c o s o ，y = p s i n o ，口= k os i n ? , 被积表达式中指数函数的变量则变为 ：( 砖一a 2 ) “2 + y a = k o p c o s o 一厂( a ) 】 因此指数函数可以表达成 积分变量变为 ( 3 - 8 ) ( 3 - 9 ) e - 帅o - 朋1 = 歹一“e j h o - ，( 叫了。( p )( 3 - l o ) 一。 ”7 j 。v ， 其中以( p ) 是第一类贝塞尔函数，将方程( 1 0 ) 代入方程( 5 ) ，可以得到 至掣：艺_ ，桫一五( 力4 ( 3 - 1 1 ) 口o n = - e o 其中 小南e g 叫一h 矿卜斛一”咖“如( 3 1 2 ) 为了表示向外传播的波，散射场应该形如 号华：妻厂砰( k o 鹏( 3 - 1 3 ) 。o ，# 其中以2 ( k o p ) 是第二类汉克尔函数，e 是由边界条件确定的待定系数。 另一方面，通过光纤的光不能忽略3 0 介电圆柱体内的波动方程是由下式给 出的( 极坐标中) 等+ 三丝+ 丢等+ 懈2 po pp0 0 = o( 3 - 1 4 ) 知2 22 。1 其中占是介电圆柱体的介电常数，令柱体内透射波为 墨竺：杰_ ，v 一疋( 鹏 ( 3 1 5 ) f一。 ” 半分刖f 一卜郴， le ( k o a o ) “j 警= 土n 塞- n + l1 n o n i t o a o ( k o a o ) ( n t o a o 尚) 卷( k o a 厕 毛一叫”。) 以( 日k 口。) 舻裳一t n 旺 以2 ( 3 - 2 0 ) 其中曲为高斯型腰斑半径，岛为波矢，上，尼为m 阶b e s s e l 函数和h a n k e l 函数。 3 i 2 光强公式 根据贝塞尔函数，群( 力= 厶( 力+ _ ，( 力。由于我们使用了含有时间变 量t 的e x p ( 一f 耐) 函数，此结果是一个复共轭函数，在许多色散理论参考书中都出 现过3 1 。根据这个理论，金属复折射率的虚部将变为正数。 电场由振幅u 表示为： e 2 j n ：k y e = 一半；一雾台 ( e 平行于光纤) ，( 3 2 1 ) ( e 垂直于光纤) ，( 3 2 2 ) 其中y 是直角坐标系( x ，y ) 下的单位向量a 对于这两种情况，复振幅与电场强度的 第三章光强极值法测量拉锥光纤直径 平方成比例： iel2蕊|u12(3-23) 的两种表达式符合入射光束垂直极化的条件。两者都包含贝塞尔函数的 比率。当自变量为实数时，比率可以用计算机从独立的贝塞尔函数中算出。然而， 当折射率是复数时，贝塞尔函数的值会超过计算机上浮点变量的范围。，不过， 我们可以选择一个简便方法3 2 在计算机中处理变量比率。 为了在计算机中算出场强大小，必须要把( 1 ) 式中的无穷的求和函数改写成 有限求和函数。随着阶数e l l 增大，求和函数趋向于0 ，对于光纤半径与波长的整 数倍差很多的情况，m 要取很大才能算出结果，这样会花费更多的时间完成这个 计算过程。例如，假设口，a = 2 4 0 ，只有当m = 8 0 0 0 时，求和函数才能充分收敛。 注意到参数以和与自变量r 和口相互独立，因此在计算场强大小前，它们只 需要在任何点计算一次。如果需要的话，可以利用远场近似获得一个更快的计算 场强方法。对于很大的z ，( 1 ) 式中的贝塞尔函数( 不是系数以和y 。中的) 可以由 如下方程替代”： 以( z ) 一( 三) “2c o s ( z m ，r 2 一石4 ) ( 3 - 2 4 ) 匕( 力寸( 三) “2s i n ( z - m ，r 2 - # 4 ) ( 3 2 5 ) 通过光纤后的光强为散射光束和透射光束的叠加玎，光强为 i“ 7 ( 口，r ) 2 l厶exp(-im0)”爿一(ik,k00 ) ( 5 - 2 6 ) llbj k ( n i k o ，) 卜础( n 。七o ，) ( ， 村) i 在下一章里，我们将用数学软件建立一个模型，以模拟各个参量对光强曲线 的影响。 北京工业大学理学硕士学位论文 第四章光强曲线模拟与结果分析 4 1 光强曲线模拟 从3 2 6 式可以看出，当光纤折射率及光纤半径确定后，光强仅仅是散射角 。的函数，通过数学软件绘出散射角与光强关系曲线，所编程序见附件。如图 4 1 为n = 1 4 6 ，r = o 4 岬时散射角与光强关系曲线。 图4 1 散射角与光强关系曲线( n = 1 4 6 ，r = o 4 姗) 4 2 结果分析 4 2 1 透射光和衍射光的影响 当一束激光照射到光纤后，沿着激光的行进 方向，在远场将得到夫琅和费单缝衍射图象以及 经光纤折射的光线与光纤表面反射的光线形成的 干涉图象的叠加。如图4 2 所示。现分别对衍射 和干涉图象进行讨论 1 光纤边界的衍射 根据衍射理论，对于直径为d 的光纤，在远 透射光 衍射光 反射光 图4 - 2 激光通过光纤后的光线 第四章光强曲线模拟与结果分析 场夫琅和费中央衍射光强为厶，则各级衍射的次最大光强依次为： 厶= o 0 4 7 2 1 0 ，1 2 = o 0 1 6 5 1 0 ，l = o 0 0 8 3 1 0 这说明衍射光强衰减很快。衍射光强随衍射角的变化如图4 3 所示。 l 一 摹 a l o 口 a 4 2 互 s i n 0 4 图4 - 3 远场夫琅和费衍射光强与衍射角的变化曲线 2 激光通过光纤后的远场干涉 假设光纤内部的折射率分布均匀，在干涉分析中讨论两条典型光线，它们的 轨迹如图4 1 所示。其中，光线l 在第一次遇到空气光纤界面时发生折射而进 入光纤，在遇到第二个光纤一空气界面时继续发生折射，向前而离开光纤；而光 线2 在光纤一空气界面的外侧处发生反射。 对于每一根确定的透射光线1 ，都可以找到一根对应的反射光线2 ，使得它 的出射角与光线1 的出射角相等。这两条光线在无穷远处发生干涉，产生明暗相 间的条纹。于是在焦平面上将观察到远场干涉图象。 当忽略光纤本身对光强的衰减及各界面的反射损失，并假设前向干涉图象 图4 - 4 贝塞尔函数曲线( 远场近似) 17 - 北京t 业人学理学硕十学位论文 仅由双光束干涉产生，则其最大光强将达到4 厶，而且干涉光强衰减很少。因此， 起主要作用的将是干涉，衍射对干涉图象的迭加的影响可以忽略，很明显，透过 光纤的光在远场是很重要的一部分。 虽然在散射光强中透射光和反射光的干涉为主要成分，但散射光强曲线 ( 图4 - 1 ) 与衍射光强曲线形状( 图4 - 3 ) 相象，其原因在于散射光强受到贝塞 尔函数曲线在远场近似下的调制。( 图4 4 ) 4 3 2 偏振方向的影响 电场由振幅3 2 l 、3 2 2 式表示，其中多是垂直于x 轴和z 轴的单位方向矢 量。对于两种偏振情况，在远场时，光强都和电场的模的平方成正比，n 的两种 表达式对应于入射光的两种正交的偏振方向。 两种表达式都涉及贝塞尔函数的比值。当自变量是实数的时候这些比值能够 由各个贝塞尔函数计算出来。 当介质的折射率比较高的时候偏振的影响被减小，如图4 5 所示，两个偏振 图4 - 5 偏振方向对曲线光强曲线影响，两个偏振方向 的光强曲线几乎重合 方向的光强曲线几乎重合，因为在严格模型中，偏振方向是圆柱衍射边缘处的重 要的边界条件。在圆柱内部的其它地方的边界条件与偏振方向无关。偏振方向起 重要作用的区域是从圆柱的边缘向外延伸与波长成正比的一个距离。因此通过增 大介质的折射率，可以减小波长从而缩小这个区域。于是系统对偏振方向的敏感 第四章光强曲线模拟与结果分析 度就会降低。 4 3 3 泵浦光波长的影响 改变泵浦光波长a 将影响光强曲线的幅度( 图4 6 ) 。波长越大，幅度越 小，对光强极值点的识别造成困难，所以使用的泵浦光波长越短越好。 图4 - 6 泵浦光波长对光强曲线影响，波长越大，幅度越小 4 3 光纤半径与散射角关系库的建立 对一给定的光纤半径，其散射角极值所对应的光强是有规律的，极小值和极 大值相间分布，对应一套散射角极值，对不同的光纤半径，将对应不同的散射角 极值。图4 7 为光纤半径分别为r = o 5 1 m 和r = o 2 1 m 时的光强曲线。 - 1 9 - 北京t 业人学理学硕十学位论文 图4 7 不同的光纤半径对应不同的散射角 让半径在一定范围内变化，通过式3 - 2 6 用数学软件计算在一定半径取值范 围内光强极值所对应的散射角，重复这个操作，可以画出半径角度关系曲线， 如图4 8 所示。如果在奔腾i v 处理器上运算，建立这个图表需要大约2 4 小时。 图4 - 8散射角与光纤半径对应关系库 在图4 8 中，对于给定的光纤半径，最低的极值对应一个最小值，随后是极 大值。且随着半径的增加，单位角度的变化引起的极值的密度也增加。 结论 结论 我们在前向散射法的基础上讨论了一种新的测量锥形光纤直径的方法，进 一步研究了用此方法测量光纤半径的理论，并在该基础上建立了一套完