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多项式矩阵方程的约束解 摘要 多项式矩阵方程的求解问题是数值代数的重要研究领域之一，它在微分方程 理论、系统理论、网络理论等许多领域有重要应用 本文研究如下几类多项式矩阵方程的约束解： ( 1 ) 研究二次矩阵方程 x 2 一一c = o 的正定解，其中6 0 ，c 为正定矩阵证明了解的存在唯一性定理，并给出了求解方 法 ( 2 ) 研究二次矩阵方程 x 2 一b x + c t = o 的正定解，其中c 0 ，b 为正定矩阵，给出了解的存在性条件 ( 3 ) 研究多项式矩阵方程 x n + l b x n d = 0 的正定解，其中c 0 ，b 为正定矩阵，给出了解存在的充分条件，并对解进行扰动分 析 ( 4 ) 研究多项式矩阵方程 x n + l b x n + c ，= 0 的正定解，其中c 0 ，b 为正定矩阵，给出了解存在的充分条件和必要条件，并提出 了求解方法 ( 5 ) 研究多项式矩阵方程 x n + a n l x n 一1 + + a 1 x + a o = 0 最小解，给出了求最小解的b e r n 0 1 l l l i 迭代方法 关键词：多项式矩阵方程；迭代方法；扰动分析；正定解；最小解 i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：肆即 日期：p 堙年乡月 f1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密日。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 求位翔 障奸 日期：硼年厂月日 日期：为以年z 月日 硕士学位论文 1 1概述 第1 章绪论 随着现代科学技术的迅速发展，多项式矩阵方程越来越多的出现于许多科学 与工程计算领域。关于这类伺题的研究也+ 日益受到人们的高度重视，具有广泛应用 背景的多项式矩阵方程的数值求解问题已成为科学研究的热点之一 本文考虑的多项式矩阵方程包括： ( 1 ) 二次矩阵方程 x 2 一一c = 0 ，( 1 1 ) 其中6 0 ，c 为正定矩阵 ( 2 ) 二次矩阵方程 x 2 一b x + c ，= 0 ， ( 1 2 ) 其中c 0 ，b 为正定矩阵 ( 3 ) 多项式矩阵方程 x n + 1 一口x n c ，= 0 ，( 1 3 ) 其中c 0 ，b 为正定矩阵 ( 4 ) 多项式矩阵方程 x n + 1 一b x n + c ，= 0 ，( 1 4 ) 其中c 0 ，j e 7 为正定矩阵 ( 5 ) 多项式矩阵方程 x n + a 。一1 y n 一1 + + a 1 y + 山= 0 ，( 1 5 ) 其中a i m ，i = 0 ，l ，2 ，佗 二次矩阵方程是最简单的多项式矩阵方程之一，它的一般形式是a x 2 + b x + c = 0 二次矩阵方程和相应的特征值问题的解及性质在处理二阶微分方程、振荡 结构系统、控制理论、随机过滤和决策分析等工业、工程领域有着广泛的应用，见 文献【1 4 】 研究二次矩阵方程的方法有很多种，如s c l i u r 方法，牛顿法，不动点迭代法，逐 次逼近法等，其中最经典的方法之一是牛顿法，文献【5 ，6 】用牛顿法求其解，但收敛 域太小，收敛速度较慢为了改善这种情况，文献【7 ，8 】采用了线性搜索的牛顿法求 其解，扩大了收敛域，还加快了收敛速度 在不同的实际情况下，需要求二次矩阵方程的不同类解，关于二次矩阵方程的 不同类约束解，已有许多研究成果文献【9 1 2 】研究了二次矩阵方程的最大解和 一l 一 多项式矩阵方程的约束解 最小解，其中文献【9 】给出了二次矩阵方程最大解和最小解存在的充分条件；文献 【1 0 ，1 1 】给出了求二次矩阵方程最大解和最小解的b e r n o u l l i 迭代方法，文献【1 2 】给出 了求二次矩阵方程最大解和最小解的保结构加倍算法；文献f 1 3 】研究了二次矩阵 方程的可对角化解，给出了存在可对角化解的充分必要条件和求解方法；文献【1 4 】 研究了二次矩阵方程x 2 一e x f = 0 的m 一解，其中e 为对角阵，f 是m 一阵， 。方法是将其转化为礅c c a t i 方程，见文献【强1 6 ，1 习，用求硒c c a t i 方程的方法，见文献 f 1 8 ，1 9 1 ，求其最小非负解，即为方程x 2 一e x f = 0 的m 一解 矩阵方程( 1 3 ) 和( 1 4 ) 是两种比较特殊的多项式矩阵方程，其中变量x 的1 次 到n 一1 次项系数均为零，它们在x 可逆的条件下，可转化为x 士以_ n = b 的形式， 这是矩阵方程x a 。x g a = q 的特殊形式关于矩阵方程x + x 口a = q 的研究已 有一些研究成果，文献【2 8 】研究了当口( o ，1 】时，矩阵方程x 士a + x 口a = q 的正定解， 给出了正定解存在的充分条件和求解方法；文献【2 9 】研究了方程x + f ( x ) a = q 的正定解，给出了存在唯一正定解的充分条件；文献 3 0 】分别研究了矩阵方程 x + x 一口a = q 在0 o矩阵a 是正定矩阵 a b矩阵a b 是半正定矩阵 ab 矩阵a j e 7 是正定矩阵 1 1 月怯 矩阵a 的f r o b e n i l l s 范数 j j aj 1 2矩阵a 的e u c l i d 范数 aob矩阵a 与b 的k r o n e d 【e r 积 口e c ( a )矩阵的拉直映射，t ，e c ( a ) = ( n ，口；，n ：) t ， 其中a = ( a l ，n 2 ，8 ，i ) r m 加，n t r m ( i = 1 ，2 ，哟 秒月矩阵a 的n 次方根矩阵 一3 一 多项式矩阵方程的约束解 第2 章二次矩阵方程的正定解 对于二次矩阵方程，有很多文献进行了大量的研究，本章具体研究了两类二次 矩阵方程的正定解问题 2 1 二次矩阵方程x 2 6 x c = 0 的正定解 本节研究二次矩阵方程 x 2 一一c = 0 的正定解，其中6 0 ，c 是一个n 扎阶正定矩阵，证明了解的存在唯一性定理，并 且给出了求解方法 2 1 1 存在唯一性定理 令函数 9 l ( 。) = z 一1 ( z 2 一a m d z ( c ) ) ， 9 喹( z ) = z 一1 ( 护一a 。i 。( c ) ) ， 容易知道9 。( z ) 与夕2 ( z ) 在【 i ：= 而，+ 。o ) 上递增，且夕。( z ) 仍( z ) ，于是方程 夕l ( z ) = 6 与 仍( z ) = 6 在【 焉丽，+ o 。) 都有且只有一个正根，分别设为q ，p ，易证 瓦厕 p q 引理2 1 1 嘲 若4 之0 ，则存在唯一的b 0 使b 2 = 4 引理2 1 2 【2 4 】 若a 日o ，七( o ，1 】，则a 七b 七o 定理2 1 1 方程( 1 1 ) 有正定解，且所有的正定解都在归，q 川内 证明 令q = 归，q 卅，显然q 是一个非空有界闭集，令，( x ) = 歹而，则 ，：q _ q 连续，且可证明，( q ) q 事实上，如果p ，x q ，则 因此 p ，( x ) n ， 一4 一 硕士学位论文 即，( q ) = q ，由b r 0 1 】骶r s 不动点定理知存在x q 满足，) = x ，故方程( 1 ) 在 区间归j r ，q 明上存在正定解 设x 为方程( 1 ) 的任意正定解，则 a ( x 2 ) = a ( c + 6 x ) k ，。( c ) + 6 a m 衄( x ) ， 得 a 乙。( x ) a 一( c ) + 6 入m 凹( x ) ， 即 入二乞( x ) ( a 象( x ) a 一( c ) ) 6 ， 故 a ( x ) s 口 同样可得 a 嘉n ( x ) ( 入轰 n ( x ) 一a m i n ( c ) ) 6 ， 故 a 。讯( x ) 卢 综上有 p j a m 。( x ) ，x a 。( x ) ，q ， 即x 归，q ，】证毕 定理2 1 2 令，( x ) = 厕且叩( ) = 轰篆端，则对任意的 x 眵，q 明和o t 1 ，有，2 ( x ) ( 1 + 叩( ) ) ，2 ( x ) 证明 由定理( 2 1 1 ) 的证明知对任意x 归j r ，q 明，有，( x ) 够，q ， 故对任 意0 ( 1 叫( c ) ，_ 燃( 妇+ c 舻 证毕 定理2 1 3 方程( 1 1 ) 有唯一的正定解x ，并且x 膨，q ，】，对任意 归，q ， ，迭代 + l = 以丽，n = o ，l ，2 ，( 2 1 ) 一5 一 多项式矩阵方程的约束解 收敛到x ，即 l i mk = x 证明 令，( x ) = 歹丽，对任意的x 归，q 见由定理( 2 1 1 ) 的证明知 ，( x ) 够j ，口明，特别地，当x = q j 时，有p ，( q j ) a j ，由，( x ) 是一个增算子， 易知 p 7 ，( 卢d ，( x ) ，( q j ) a j ，( 2 2 ) 用f 重复作用于上式，知 广( p ，) ) 忍。是一有上界的递增序列， 广( q ，) ) 罂。是一有下 界的递减序列因此，由文献【2 5 】可知x = ，( x ) 在归，q 卅上有一个最小不动点 x 一和一个最大不动点丘，并且 x 一= l i m ，n ( p ，) ，x + = l i 乎，n ( 口，) ，x 一耳 下证n = 杆，即可证解的唯一性 由 汇= ，( x 一) p ，= 笔q ，鲁，( h ) = 笔墨， 可令o = s u p 川x 一x + ，知o o + o o ， 下证o 1 ，事实上，若0 、o ( 1 十? 7 ( o ) 耳， 由于 石可干而万 ，此显然与的定义矛盾，于是如1 ，即x 一耳，故 咒= 墨，即方程( 1 1 ) 有唯一的正定解，且由( 2 2 ) 式易知，对任意够，q 明，有 ，“( p ，) ，“( 口，) ， 令佗_ ，则有 l i i nk = i i l n ，n ( p ，) = l i i i l ，n ( q ，) = x n o 十n _ + n o 十 证毕 2 1 2 正定解的表达式 定理( 2 1 3 ) 已经给出了一种求矩阵方程( 1 1 ) 的正定解的迭代方法，本节我们 将利用谱分解给出矩阵方程( 1 1 ) 的正定解的表达式 一6 一 硕士学位论文 设正定矩阵c 的谱分解为c = + 反0 9 ( c l ，c 2 ，c n ) 阢其中u 为酉矩阵，c 1 ，c 2 ，c ，l 均为正数关于矩阵方程( 1 1 ) 的正定解，我们有： 定理2 1 4 方程( 1 1 ) 的唯一正定解x 可表为 x = 。砒叼( z 1 ，z 2 ，z n ) 阢( 2 3 ) 其忆：罕 叩乩2 ，棚 证明首先由定理( 2 1 3 ) 知矩阵方程( 1 1 ) 有唯一的正定解，下面只须证由( 2 3 ) 表示的x 是矩阵方程( 1 1 ) 的正定解即可事实上，将( 2 3 ) 代入矩阵方程( 1 1 ) 的 左边有 x 2 一b x c = u + ( 出口9 ( z ，z ；，z ：) 一础z 叼( z l ，z 2 ，z n ) 一出叼( c l ，c 2 ，c n ) ) u = u 出口9 ( z ；一6 z l c l ，z ；一6 2 2 一c 2 ，z ：一6 z 。一c 。) u = 0 故由( 2 3 ) 表示的x 是矩阵方程( 1 1 ) 的正定解证毕 2 1 3 数值例子 解 例2 1已知6 = 2 ，c = 2 21 08 999 1 02 52 999 821 6 999 解先对矩阵c 进行谱分解得 一7 一 求方程x 2 6 x c = 0 的正定 、lj， 2 1 2o 以2 之2 1 。 ，i一 l 一3 、 ， o o 2 以砺竹 0 4 o + + + 1 0 0 l 1 l 、 = = = 、-、 z z z 1 2 22 以l o 2 ，、 l 一3 i jg 得 情 式 m 理 由 定 又 由 多项式矩阵方程的约束解 2 以一4 佰+ 2 厢 9 + 以+ 4 锯+ 4 怕 一2 以一2 怕+ 4 怕 一4 以+ 2 锯+ 2 锸 一2 以一2 怕+ 4 钷 9 + 4 以+ 锯+ 4 狐 将所求的x 代入方程x 2 6 x c = 0 中等式成立，说明它是方程的解 2 2二次矩阵方程x 2 一b x + c ，= 0 的正定解 本节我们研究矩阵方程 x 2 一b x + c i = q 的h e m i t e 正定解，其中c 0 ，b 为正定阵，给出了解的存在性条件和存在区间 考虑下面的两个一元二次方程 p ， z 2 一a 。i n ( b ) + c = o ，( 2 4 ) z 2 一入m 啦( b ) + c = o ， ( 2 5 ) 如果 c 主a 绷b ) ， ( 2 6 ) 方程( 2 4 ) 有两个正的实根q 2 风，方程( 2 5 ) 也有两个正的实根q l 仍，容易证 明下面的不等式： o n l q 2 言a 。i 。( b ) p 岛 ( 2 7 ) 成立 根据( 2 7 ) 定义如下的h e r m i t e 正定矩阵集合， 妒( 1 ) = x + = x i o x q 1 厶) ， 妒( 2 ) = x = x l 口l 厶x a 2 厶) ， 9 ( 3 ) = x + = x l q 2 厶 x p 1 厶) ， 妒( 4 ) = x 。= x i p l 厶x 恳，t l ， 妒( 5 ) = x = x l 尾，n b ( t i ) 若存在一个矩阵m b ，使得对所有的x b ，m 】，式 b 一 ，一一n o( 3 2 ) 成立，则方程在旧，m 】存在正定解，且若对所有的x b 都满足不等式( 3 2 ) ，则方 程( 1 3 ) 的所有解都在【b ，m 】内 证明设又为矩阵方程( 1 3 ) 的一个正定解，则有 即 显然贾 b ( i ) 假设存在m b 使得 令x 【b ， 彳】，贝u 又n + l b 又n c ，：0 x = b + c x 一札 b m 一c x n 0 ， b 一 ，一c x 一“0 ， 0 一c x l m j e 7 ， 口口+ c x n = 皿( x ) ， 一1 1 多项式矩阵方程的约束解 所以皿( x ) 在旧，m 】上自映射且连续，因此皿( x ) 在旧，m 】上有不动点，此不动点 即为矩阵方程( 1 3 ) 的解又若对所有的x b ，式( 3 2 ) 成立，且贾为矩阵方程 ( 1 3 ) 的解，则 贾= b + 一n b + ( m b ) ， 结论( i z ) 得证 推论3 1 1 方程( 1 3 ) 在【b ，b + 而兰两】上有一个正定解，且所有的正定解 ，n l n 、一， 都在【e b + 两善高】上，其中a 而n ( 日) 为b 的最小特征值 证明令m = b + 两芝两，由定理( 3 工1 ) 得 肛m 一高9 计n 对所有的x b 都成立，则推论成立 定理3 1 2 若亿c i i b - 1 i l o 则 l i x i i 寺( | i b i l + l c l l | x n i i ) 或 锦寺c 黼酱+ 掣南悄1 i ，i i x i i 一叩、i l x l ll i b | i c i | x | | ”一 “7 证明 b ：x 一6 又一n + 以一n = x 一c x n + 弓：l 又一x x 一( n + ， ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 多项式矩阵方程的约束解 义由 i i x + ：l 贾一x x 一( 叶1 l i i l i x 0 一胪竺1 贾一x x 一加+ 1 ) l l x 0 一刮x 0 ：li i 贾i x 一( n 十1 0 = 训x l i ， 因此 。似i i ；l l n 妒么舢卜加+ 1 ) | l 2 寺i i b + 以一n i l 圳b c 悄哪l i ) ， 则不等式( 3 7 ) 得证，在式( 3 。7 ) 的两边同时除以0 x l i 则得不等式( 3 8 ) 推论3 1 2 令x 和贾分别是矩阵方程( 1 3 ) 和( 3 3 ) 的正定解，若 厅= 1 一乏l 妒1 x 一州i i o ， 则 i i x o 寺( o b | i + i c i i i b - 1 旷) ( 3 9 ) 或 篱寺c 器料+ 臀掣， 慨 i i x | i 一叼、l l x 8i i b l l 。l i x l | c 7、v 7 证明 对矩阵方程( 1 3 ) 和( 3 3 ) 的正定解有x b 或贾雪则i l x 一1 | | 0j e 7 1 i 贾一1 i l i i 亩一1 i i ，且，7 厅 o ，其中叼由式( 3 6 ) 所定义因此，由式( 3 7 ) 得 c x 哺 c l l i x - n c 川j e 7 - 1 l 则不等式( 3 9 ) 得证在不等式( 3 9 ) 两边同时除以0 x | | 则得式( 3 1 0 ) 推论3 1 3 令x 和贾分别是矩阵方程( 1 3 ) 和( 3 3 ) 的正定解，若 而= l c 修1 b 一1 一一 o ， 则 l i x i l 丢( i | b o + i c 川j 5 f 一刈) ( 3 1 1 ) 且 钎专c 等+ i c l 寄) ( 3 嘲 + + + i i i i i i b b b 川川川 1一?|iy i i 叩 一 0 ，则如下情况成立： ( i ) 若ij b 一1 0 0 雪一10 ，则矩阵方程( 3 3 ) 有唯一的正定解戈； ( i i i ) 若l i b 一1 i | = i i 啻一1 i i ，则矩阵方程( 1 3 ) 和( 3 3 ) 均有唯一的正定解 定理3 1 5 令c ，己为正实数，口，b 为正定矩阵若 口= 半一以幅币石 o ， ( 3 1 3 ) n 归一日l l 0 ，则由定理( 3 1 2 ) 知矩阵方程( 1 3 ) 由唯一的正定解x 由等 式萨l ：b 一b 一1 b 彦一1 和条件( 3 1 4 ) ，我们得 房一10 i i b 一10 + l i b 一1 l i b 唐一1 i i i | b 一10 + ( 1 一“弋巧可) i l 丘一1 l i ， 多项式矩阵方程的约束解 因此 厣窨， ( 3 1 8 ) 又由式( 3 1 5 ) 和( 3 1 8 ) 得 锈厣( + 压) 师 0 若 u = 1 一c 归。1 扩1 。i 伊i i ， 则 i l x l i 砉i ir ( 又) o ， 且 i i 矧1j | r ( x ) 0 币可s 石可 其中r ( 文) = 又一以一b 证明 令台：兄( 贾) + b 我们有 和 两方程相减得 一c x n = b x c x n = b 又一x + c 贾一( 贾一x ) x 一n + 1 ) = 台一b t = l 1 6 一 ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 硕士学位论文 对兄( x ) 有 r ( 戈) = i i 雪一b 0 = i | x + c 銎l 贾一( 贾一x ) x 一( n + 1 i i x | i c 0 竺1 贾一( 又一x ) x 一( 1 l i x i f c | l x | | ：li i 戈一| f | x 一( n + 1 | | 一因为义b ，则x - 1 8 ，于是8 x - 1 1 1 1 i lj e 7 。1 1 因此 l ir ( 贾) | | 芝l f x i i ( 1 一c ：10 贾一x 一( n + 1 l i ) 0 x l i ( 1 一c ：。i l b 1 i i n + 1 0 x 一0 ) = 移i j x | f 故不等式( 3 1 9 ) 和( 3 2 0 ) 成立 3 2多项式矩阵方程x 肼1 一b x n + c j = 0 的正定解 本节研究多项式矩阵方程 x n + 1 一b x n + c j r = 0 的正定解，其中c 0 ，j e 7 为正定矩阵 记口l ( a ) 砚( a ) ( a ) o 为矩阵a 的奇异值；若a 为正定矩阵，则记 a l ( a ) k ( a ) a m ( a ) o 为a 的特征值；若矩阵方程的所有正定解都满足 x5 ，则称为最小正定解；记 引理3 2 1 删令，是( o ，。) 上的单调函数，设a ，b 是两个正算子，且a n ，b n ，o 为正实数若，7 ( n ) 存在，则 f i i ，( a ) 一，( 口) i i | ，( 口) a 一日i i i 定理3 2 1 考虑矩阵函数g ( x ) ，其中x 是正定矩阵，若存在一个实数o p 1 使得x p b ，则 忪以( 圳j 恚矿赫) 掣忏- y 怙 对所有的x ，y ( o p 引都成立 证明我们记 r 一1 = c ( b x ) 一1 ，s 一1 = c ( 口一y ) 一1 ， 一17 多项式矩阵方程的约束解 则 g ( x ) 一g ( 】，) = 疳一历 因为x = b c 冗，y = b c s 于是x y = c ( s r ) ，则 t 7 e c ( g ( x ) 一g ( y ) ) = e c ( 汀一师) ， e c ( x y ) = ”e c ( e ( s 一冗) ) 对正定矩阵兄和s ，我们知道 s 一兄= 瓶( 师一洱) 舸 = l 从而 x y = c ( s 一冗) = c 銎。听( 坼乒一怕可) 怕i 雨j ， 所以 移e c ( x y ) = c ( 墨( 影否而) t o 厕口e c ( 伊一厕 根据式( 3 2 2 ) 和( 3 2 3 ) 我们得 钞e c ( x l ，) = c ( ：。( ( 歹孑酉) to 雨) 口e c ( g ( x ) 一g ( y ) ) ， e c ( g ( x ) 一g ( y ) ) = c ( 墨1 ( ( 影而雨爵) 丁 蹰) 一1 e c ( x y ) ， 0 u e c ( g ( 义) 一g ( y ) ) 1 1 2 c i i ( 警l ( ( 影s n “叫) r 圆影r ) 一1 i i | i u e c ( x y ) 1 1 2 因为x 三( 1 一p ) a 。( b ) 歹 我们记胪半u 既则 瓶 毫霭l 、 k ( 湎) 孵， 一1 8 一 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 硕士学位论文 又由于 a ( ：。( ( 孵) to 瓶) = ：。入( 孵) a ( 瓶) ， a ( 銎。( ( 庐) to 瓶) ：。伊孵= n p 舡 所以 no 。 f ( 善“厕广圆瓶) - 1 1 i 0 ， ，2 ，b m 2 j r 0 ，0 a b 则有 。 腿( 静1 m 1 和 如( 。1 矿 对任意的l 成立 引理3 2 3 侧若矩阵方程( 1 4 ) 有正定解，则 衙“邬一丽品扭一 引理3 2 4 若矩阵方程( 1 5 ) 有正定解，则有最小正定解b ，而且如下迭代： 虬= g ( 虬一1 ) ，= 衙，七= 1 ，2 ， 收敛到 注：记k = m 斋南) 定理3 2 2 若 c l ib 一；1 1 2 i | b 一1 | i n i 元_ = # 气呙i 干t ， ( 3 2 4 ) 则g ( x ) 在k 上存在不动点，而且，若m 讥p ，g ) 1 ，其中 p = 恚【( n + 1 ) 入1 ( c 日_ 1 ) 】半， q = 恚( 斋南) 2 【c ( n + 1 ) 矿) r 则不动点唯一，记为又是矩_ 阵方程 2 1 ) 的唯一的正定解 证明显然k 是有界闭凸集，由 l ij e 7 1 x o o b 一1 l l l i x o 石备，x k ， 得 g ( x ) = 孵萨盯j 而 在k 上是连续的 此外， 0 g ( x ) 0 s ( c ( 竹+ 1 ) ) 击l i b 一 i i 吾 再了硒可 所以g ( x ) k ，且在上有不动点 又由于x k ，所以 斋南，x 斋& 假设存在两个不动点x ，y 则 i i g ( x ) 一g ( y ) l l = l i g ( x ) ( g - 1 ( y ) 一g - 1 ( x ) ) g ( y ) i l i i g ( x ) l l l i g ( 1 ，) l i l l g - 1 ( x ) 一g q ( y ) 8 ( 斋南) 2 i i g _ 1 ( x ) - g _ ( 眦 我们有 g 一c 义，= 眄鼯 g _ 1 ( y ) - 浯鬲 一2 0 一 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 硕士学位论文 由引理( 3 2 1 ) 得 若g 1 ，则 i i g ( x ) 一g ( y ) 0 ( 斋南) 2 去( 揣闩弘y = 恚( 斋南) 2 ( 错问肛y = 恚( 斋南) 2 ( c ( 卅1 ) 州) ) 铡x y = g i i x y i | g ( x ) 一g ( y ) i i g i i x y 0 l i x y 1 1 由定理( 3 2 1 ) ，若p 1 ，我们得 i i g ( x ) 一g ( y ) 0 三( 掣掣) 铡x y 峙 一几c 、1 一口 7”。”。 p 0 x y 0 f | i x y 怯 因此，若仇i 佗( p ，q ) l ，则映射g ( x ) 在上有唯一的不动点贾，不动点可以用如下 迭代 虬+ l = g ( 咒) ，s = o ，l ，k ( 3 2 7 ) 得到，即又= g ( 又) 所以又是矩阵方程( 1 4 ) 的唯一的正定解证毕 定理3 2 3 若刁i 等式( 3 2 4 ) 成立，则m 2 n ( p ，q ) = p ，其中p ，口由式( 3 2 5 ) 和( 3 2 6 ) 所定义 一2 l 一 多项式矩阵方程的约束解 证明 由小等式( 3 2 4 ) 得 c ) c l 旷l l i = c i l 鲴1 2 高每南， 洲矿1 ， p 定理3 2 4 若g ( x ) 在k 上存在唯一的不动点又，则不动点又是矩阵方程 ( 1 4 ) 的最小正定解，即又= 证明由引理( 3 2 4 ) 我们得知矩阵序列 托= g ( 虬一1 ) ，= 衙 收敛到妊 因为 刮衙i i i i c 南南风斋南 则k ，又= 托证毕 对已知条件数c 和b 我们有 0 c b 芋b 一1j e i 芋0 c i i b 芋1 1 2 | i b 一1 i l n n n 万丽， 胡铷- 1 脯 高斋， 阳1 高知伊+ 硕士学位论文 因为函数妒( z ) = z ( 1 一z ) 在( o ，i 备) 上单调递增，则对任意的p ( o ，石) 我们 矿( 1 一p ) 妒( 归妒( 熹) = ( 斋) n 熹， 则存在p ( o ，i 备) ，使得 c 男1 “【l 一) b 而且，存在q ( o ，i 各) ，使得 q n ( 1 一口) b n c b 因此若条件( 3 2 4 ) 成立，则存在两个实数a ，p ( o ，i 备 且口 屈使得 q n ( 1 一q 1 b n c b 一1 矿( 1 一p ) b ( 3 2 8 ) 可见条件( 3 4 ) 是g ( x ) 在k 上存在不动点的充分条件，而不是必要条件我们利 用式( 3 8 ) 考虑矩阵序列( 3 7 ) 中的不同的 考虑迭代方法 ( 3 2 9 ) 其中初值适当选取 定理3 2 5 若矩阵方程( 1 4 ) 有解，则由式( 3 2 9 ) 定义的迭代序列 五) ，磊 【o ，彤西刁单调递增且收敛到矩阵方程( 1 4 ) 的最小正定解始 证明 令z o 是【o ，彤历习内的一个正定矩阵考虑由式( 3 2 9 ) 定义的迭代序 列 k ) ，其中k = 彤；萨，由引理( 3 2 4 ) 知它收敛到最小正定解砖 考虑由式( 3 2 9 ) 定义的迭代序列 毒) ，其中= o ，我们有 磊 q 。b ，则 x = 卿浜 因此x q 。b 对s = 0 ，1 都成立 实数序列 a ，) 单调递增且 口。， 口 x b 芋 b 寻8 b 寻：， 则 1 ，s = 0 ，1 ， 所以 口。) 收敛，设a 是它的极限，则有 q2 = a 。+ l b 说明a 是如。f 方程 口n ( 1 一q ) = 砩( b 丑掣) 的解又此方程有解的条件是 醒( b 掣) 卸 l 】州l 叫= 群杀 曼望当z 2 i 备 l 时，妒( z ) 取最大值，所以方程在【o ，1 】上有两个解设q 。 磊万 和 a s + l2孵 腼 一2 4 一 礼 2 再万， 硕士学位论文 所以 兄) 单调递减且收敛到矩阵方程( 1 4 ) 的正定解h b ，a 矧一 l i ! i ! 薹囊皇芎i 雪i 箕i 二i 雾；垂ti 。菱窭i 产广；墓耋粪耋蓁妻，匿i 羹室至奏毫囊蓁= 羹 雾翼 蓁雾 鬟 酉蒂嘿薹鏊羹耄 垂塞雯蓁一萋j 季。：篓 萎冀 垂蓁 薹 薹萋霎i 耋耋1 l 蓁 毳l b 茎x ow 鏊b 囊a b 。 a b 鏊x 3 善耋b i 蠢擎s 一蓁羹熏+ _ 羹妻；蠢 a b 弋：x s 喜 于妻警， ，& ，其中& 的所有特征值的模比 & ，岛，一t 的所有特征值的模小，则称& 为最小解 定义4 1 2 令 y ( s ，岛，& ) ：( 主。，二! 。，；三曼。，) 矩阵循环4 2 的通解有以下定理给出 ( 4 1 ) ( 4 2 ) 定理4 1 1 若矩阵方程( 4 1 ) 有非奇异的解研，岛，晶，且y ( s ，岛，& ) 非 奇异，则 m = 野q l + s q 2 + + 靠q 。 多项式矩阵方程的约束解 其中：塑，则 工一口 i l 咒押一咒l l 丢导l i ( b 一五一- ) 一1 ( 咒一一咒+ p 一) ( b 一托切一) 一1 丢导( f 旧_ 1 i i ) 2 i l 咒押一五o ( 丢f 等( r 旧- 1 i i ) 2 ) 川局一i i = 酊| | 墨一1 1 由定理( 3 2 1 ) 中的证明，p = 矽得 0 兄+ p 一咒0 冬去( 等等) 华i i 咒+ 州一咒1 l l f = 口2 | i k 一| i f 因为仇i n ( 叮l ，口2 ) 0 ，b 为正定矩阵，本文给出了它的正 定解的存在性条件和存在区问 对矩阵方程x n + l b x n c j = 0 ，其中c 0 ，b 为正定矩阵，本文给出了它的 正定解的存在性条件，并对解进行扰动分析 对矩阵方程x n + l 日x “+ c ，= 0 ，其中c 0 ，b 为正定矩阵，本文给出了它的 正定解的存在性条件和迭代方法 对矩阵方程x n + a n 一1 x n 一1 + + a l x + a o = 0 ，其中a t c m x m ，i = 0 ，1 ，2 ，n ，本文用b e r n o u u i 迭代方法研究其最小解，给出了求最小解的收敛性定理，并构造 了求三次矩阵方程最小解的迭代格式，还进行了数值实验 经过国内外数学工作者的不断研