（理论物理专业论文）dirac方程的对称性及唯象学研究.pdf

摘要 摘要 一般人们认为库仑势和谐振子势下的薛定谔方程所表现出来的高度对称性在 相对论性的d i r a c 方程中应该得到保留。如果这一原理是正确的话，氢原子的d i r a c 方 程中势能应该具有学( 一) 的形式。然而，此时的d i r a c 方程中的轨道自旋耦合项 也被消去了，这与对氢原子光谱的观察中得到的谱线精细结构矛盾，所以d i r a c 方 程的s o ( 4 ) 对称性必须降为s u ( 2 ) 。量子电动力学( q e d ) 和量子色动力学( q c d ) 都 是矢量型理论，因此领先项中只有矢量势得到保留。然而，高阶效应可能会引 入标量势，这样s 0 ( 4 ) 对称性可能会部分的恢复。在本文的工作中，我们发现对 于q e d ，这种对称性恢复基本可以忽略；但是对于q c d 情况下，标量势的作用可 能得以显现。为了证明这种推测，我们对b 介子进行了类似于氢原子的唯象的研 究。 关键词d i r a c 方程，对称性，唯象 a b s t r a c t a b s t r a c t i ti s s u g g e s t e dt h a tt h eh j 【曲s y m m e t r i e si nt h es c h r f d i n g e re q u a t i o nw i t ht h e c o u l o m bo rh a r m o n i co s c i l l a t o rp o t e n t i a l ss h o u l dr e m a i ni nt h er e l a t i v i s t i cd i r a ce q u a - t i o n i ft h ep r i n c i p l ei sc o r r e c t ，i nt h ed i r a ce q u a t i o nt h ep o t e n t i a ls h o u l dh a v eaf o r m a s 半( 一吾) f o rh y d r o g e na t o m h o w e v e r , b yt h i sc o m b i n a t i o nt h es p i n o r b i tc o u p l i n g t e r mw o u l dn o te x i s ta n di ti si n c o n s i s t e n tw i t l lt h eo b s e r v a t i o n a ls p e c t r ao fh y d r o g e n a t o m ，s ot h a tt h es y m m e t r yo fs o ( 4 ) m u s tr e d u c ei n t os u ( 2 ) t h eq e da n dq c d w h i c hi n d u c et h ep o t e n t i a l s ，a r ev e c t o r - l i k et h e o r i e s ，s oa tt h el e a d i n go r d e ro n l yv e c t o r p o t e n t i a le x i s t s h o w e v e r , t h eh i g h e ro r d e re f f e c t sm a yc a u s eas c a l a rf r a c t i o na n dt h e s 0 ( 4 ) s y m m e t r yc o u l db ep a r t l yr e s t o r e d i nt h i sw o r k ，w es h o wt h a tf o rq e d ，t h e r e s t o r a t i o ni sa l m o s tn e g l i g i b l e ，b u tf o rt h eq c dc a s e ，t h ef r a c t i o no fs c a l a rp o t e n t i a l m a yb es i z a b l e t ot e s t i f yt i f f sc o n j e c t u r e ，w ep h e n o m e n o l o g i c a l l ys t u d yt h es p e c t r ao f b - f a m i l ym e s o n si na n a l o gt ot h eh y d r o g e na t o m k e yw o r d sd i r a ce q u a t i o n ，s y m m e t r y , p h e n o m e n o l o g y 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：李 作 2 d o 年5 月冲日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下； 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工 行取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包 壬何他人创作的、己公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所 受的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本 立论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：李 作 劭o j 年5 月z t l e t 南开大学学位论文电子版授权使用协议 ( 请将此协议书装订于论文首页) 论文d ；r 西c 了j 程的对稚惶疋唯慕尊研究 系本人在 南开大学工作和学习期间创作完成的作品，并已通过论文答辩。 本人系本作品的唯一作者( 第一作者) ，即著作权人。现本人同意将本作品收 录于“南开大学博硕士学位论文全文数据库 。本人承诺：已提交的学位论文电子 版与印刷版论文的内容一致，如因不同而引起学术声誉上的损失由本人自负。 本人完全了解笪直珏太堂图盘焦羞王堡在：焦厦堂僮论塞的筐理壶洼滏! 同意 南开大学图书馆在下述范围内免费使用本人作品的电子版： 本作品呈交当年，在校园网上提供论文目录检索、文摘浏览以及论文全文部分 浏览服务( 论文前1 6 页) 。公开级学位论文全文电子版于提交1 年后，在校园网上允 许读者浏览并下载全文。 注：本协议书对于“非公开学位论文”在保密期限过后同样适用。 院系所名称：物理科学骞院 作者签名： 鸯 作 学号： 2 120p 占0l dg 日期：2 d 0 7 年箩月珥日 第一章引言 第一章引言 1 1 量子力学的诞生 自古以来，人类就渴望揭示物质结构的奥秘，并通过各种途径来了解我们的 世界。几千年前，古代哲人们借助猜想来推测物质的结构；几百年前，科学实验 把人类对世界的认识建立在坚实的物质基础之上，从而揭开认识物质本原的新篇 章。在1 9 世纪末，物理学家中普遍存在一种乐观情绪，认为对复杂纷纭的物理现 象本质的认识已经完成，剩下的只是一些修补工作。物理学家们陶醉于1 7 世纪建 立起来的力学体系，1 9 世纪建立起来的电动力学以及热力学和统计物理学，也就 是今天我们说的经典物理学。的确，经典物理学曾经对众多的物理现象给出了相 当满意而漂亮的描述 1 。 然而自然科学总是在不断发展的，在充满喜悦的气氛中，一些敏锐的物理学 家已经逐渐认识到经典物理学理论中潜伏着危机。2 0 世纪伊始，k e l v i n 勋爵就指 出 2 】：经典物理学大厦的上空悬浮着两团乌云。第一团乌云涉及电动力学中的 “以太”，当时人们认为电磁场依托于一种固态介质，即“以太”，电磁场描述的 是“以太”的应力。第二团乌云则涉及物体的比热容，即观测到的物体比热容总 是低于经典统计物理学中能量均分定理给出的值。可以注意到，k e l v i n 的文章中 未涉及原子结构的问题，在当时，人们对此问题还很陌生 1 】。 2 0 世纪物理学取得的两个划时代的进展是相对论 3 和量子理论 4 6 。相对论 的建立从根本上改变了人们原有的空间和时间的概念，并指明了非相对论经典力 学的适用范围。量子理论的建立，则开辟了人们认识微观世界的道路，原子和分 子的谜团被揭开了。物质的属性以及在原子水平上的物质结构这个古老而又基本 的问题才原则上得以解决。在量子力学中，人们找到了化学与物理学的紧密联系。 大量事实证明，离开了量子理论，任何一门近代物理学科及其相关的边缘学科的 发展都是不可能的。可以毫不夸张地说，没有量子理论的建立，就没有当代物质 2第一章引言 文明【1 。 1 2薛定谔方程的成功 薛定谔方程是非相对论量子力学的基础。它成功的解释了氢原子能谱和谐振 子能级问题，此外，考虑自旋轨道耦合之后，进一步给出了氢原子光谱精细结构 的计算，所有的预测都与实验值高度吻合。 1 3 进一步发展 为了建立一个完整的理论框架，随后相对论和量子力学的结合，出现了满 足l o r e n t z 协变性的描述零自旋粒子的k l e i n g o r d e n 方程和j 自旋粒子的d i r a c 方程， 它们是相对论量子力学的基础。在非相对论近似下，k l e i n g o r d e n 方程和d i m e 方 程都可以完美地退化为薛定谔方程，在中心势场中哈密顿量还自动包含了自旋轨 道耦合项，这符合实验观测，而在薛定谔方程中这需要手动加入，这体现了d i r a c 方 程的成功和完美。 然而，随着探测技术和设备的不断发展，理论预测值与实验观察的细小偏离 出现在了人们的视线中，例如l a m b 移动，这是先前理论所无法处理的，这也使我 们可以进一步验证不同理论模型下结果的细微区别。应用相应修正之后的哈密顿 量，我们可以对氢原子的光谱数值进行更精确的计算。 1 4 对称性的丢失 一般地来说，n 维氢原子具有s o ( n + 1 ) 对称性，这不是几何对称性，而是动力 学对称性，三维的s o ( 4 ) 群的生成元可以退化为2 组s u ( 2 ) 算符，他们分别对应自 旋和轨道角动量 7 】。文献 8 的研究发现，中心势场中的薛定谔方程( 哈密顿量h = 嬖+ y ( 7 ) 中，v ( r ) 只是库仑势) 满足s o ( 4 ) 对称性，而d i r a c 方程没有s o ( 4 ) 对称 性，因为自旋轨道耦合项破坏了这种对称性；谐振子也有类似的问题，薛定谔方 程具有s u ( 3 ) 对称性，但是对应的d i r a e 方程却没有，g i n o c c h i o 9 在2 0 0 5 年研究了 这个问题，给出了具有s u ( 3 ) 对称性的d i r a c 方程，它也可以退化为非相对论的薛 定谔方程。文献 8 在这个思想的启发下，也给出了具有s o ( 4 ) 对称性的d i r a c 方程， 他们给出的方程具有标量势和矢量势，它可以退化为相应的薛定谔方程方程。 第一章引言 3 然而，氢原子的s o ( n + 1 ) 对称性并不是严格的，因为氢原子光谱实验证 实自旋轨道耦合相互作用的存在，所以哈密顿量h = 芒+ v ( r ) 中需要加入自 旋轨道耦合项，薛定谔方程的s o ( n + 1 ) 对称性受到了破坏。我们相信再增加 一些来自场论的高阶修正和辐射修正，薛定谔方程的s o ( n + 1 ) 对称性会受到 更多的破坏。相应地，具有s o ( 4 ) 对称性的d i r a c 方程也需要破缺，他们的哈密顿 量砸爹+ m c 2 p + 半y ( r ) 需要写成以痧+ 竹舻p + ( 1 一o ) y ( r ) + o 卢y ( r ) ，当o = ；时， 对称性得到了完全恢复；而如果a = 0 ，则完全变成一般的中心势场下d i r a c 方程， 对称性在一阶修正被比较严重的破坏，如果如果a 0 ，说明在一阶修正还保留了 部分的对称性。我们在工作中将根据文献给出的2 r 2 与2 p 3 2 的能级差，对a 的值 进行拟合。 人们用势模型研究强子系统的时候，引入的唯象势，一般都包含标量势和矢 量势，和电磁作用相比，强相互作用带来的对称性更高。内在的原因我们还需要 深入地研究。 1 5 论文结构u。 根据研究内容，论文的结构安排如下： 第一章引言简单介绍了有关d i r a c 方程解决氢原子光谱的成功和问题。 第二章介绍电子在中心势场中运动时具有s 0 ( 4 ) 对称性的d i r a c 方程。 第三章引入当d i r a c 方程为库仑势和标量势混合时的一般解。 第四章根据实验值对方程参数进行拟合，并对结果做分析与总结。 第五章对于标量势的来源进行讨论，并把拟合结果与q e d 要求作比较。 第二章具有s o ( 4 ) 对称性的d i r a c 方程 5 第二章具有s o ( 4 ) 对称性的d i r a c 方程 2 1d i r a c 方程的对称性 为了阅读的方便和论文的完整性，首先简要介绍一下在库仑势场下的d i r a c 方 程的解，以及对于薛定谔方程对称性的恢复。 为 考虑电子在原子核( 电荷+ z e ) 的库仑中心势场中的运动，相应h a m i l t o n 算符 其中， h = 。a + m 乎b 一z l e - 2 。 、 0 口5l 矿 多= 一i 危v 吾) 肛( 舌三) ( 2 1 ) 盯和，为二阶p a u l i 矩阵和单位矩阵，利用a 、p 、的代数关系，可将上式化 成 1 0 】 h ：c o ( r 磊+ t k 吾口，玄p + m c 2 p 一z e _ 2 ， ( 2 2 ) ，r 其中砖为径向动量算符， 西= 1 ( r p i 危) = 一i 壳( 昙+ 妄) 6 第二章具有s o ( 4 ) 对称性的d i r a c 方程 口，面；r 一；( ? 。i ) = 听( 2 1 口r = 口一= 盯一l ，、i2 听i ， r r fu ， 危詹= p ( - + 动= ( 危+ 盯- ) ( 舌一0 j ) 如再定义总角动量算符 = 盯( 舌? ) j = l + 互h ， 可以证明，h 、霞，尸、以相互对易，他们的本征值为 j 2 = j ( j + 1 ) h 2 ，j = 掳 以= m j h ，= 歹，j 一1 ，( - j ) g = g = 士。+ 互1 ) = 士1 ，士2 ， k = j + ；时，( h 、詹、尸、以) 的共同本征函数为 ( 2 3 ) 妒= ( | | ) 锻洲箸) ， 其中扩，b 是二分量的( 尸，以) 的本征函数( 口，妒的函数，与r 无关) ，令f ( r ) = 掣，夕( r ) = i 掣是为了运算方便，利用公式 第二章具有s o ( 4 ) 对称性的d i m e 方程 7 有 癣华叫h l rd f 矿( r )rr口r c r r 扩= 一b ，“b = 一a 一嘶( 篙) = 铒( 篙p ( 嚣)嘶舯一b ( 硝夕一h m 净夕2 等b 警j 同理， 溉1 r 罐一型c h k k r ( 篓g t i ) r 1，fj m c 2 卢矽= m c 2 ( 三；譬) 一等一等( 荔) 那么按照文献【8 的要求，我们给出并讨论具有半；形式的d i r a c 方程。实际 上在文献 7 中详细的证明已经给出，但我们只给出这种具体参数的解及能谱的形 式。 中心势场中满足s o ( t ) 对称性的d i r a c 方程为 c & 西+ m c 2 卢+ l - v ( r ) 一司矽= o ( 2 5 ) 只需将式( 2 2 ) 中的y ( r ) = 一譬换为y ( r ) = 一半每! ，相应有 8 第二章具有s 0 ( 4 ) 对称性的d i r a c 方程 z e 21 + 6 z e 2 2 i 一_ ，j 一妒2 一百10 吕) 矽= 一芋( 咖三等) 可以看到，由于奇异矩阵半的作用，学因子把矩阵右下角变成了o ，从而去 掉了反粒子的作用。 相应代z 入, d i r a c 方程，则有f ( r ) 、g ( r ) 的联立方程为： 莨薹警即 其中，q = 笔而1 为精细结构常数。 考虑在奇点r - - o ，0 0 附近f 和g 的行为， r _ 0 0 ，式( 2 6 ) 可近似取为 因此 可见，物理上允许的f 、g 的渐近行为是 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) g p 警警 担一打 掘一咖 薹脚 舸萨 册万 第二章具有s o ( 4 ) 对称性的d i r a c 方程 9 r 一0 ，易见f 、g 应属同级大小，即 代入式( 2 6 ) ，得到 f _ a r 8 ，g _ g ， 由于g ，q 不能同时取零，由此解出，肛k 引入无量纲变量 根据以上分析，可令 则 f ( r ) = v m c 2 + e u ( p ) + u ( p ) 矿e 一2 g ( r ) = v m c 2 - e u ( p ) 一 ( p ) 矿e p 2 2 v m 2 c 4 e 2 u 12 _ _ 一 r t c m c 2 + e u 22 f m 孑一e w 32 一 入= x m 2 兰c 4 _ e 2 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) q = 学姗 = + q 岛 k k 1 0 第二章具有s 0 ( 4 ) 对称性的d i r a c 方程 式( 2 6 ) 化为 p = 2 r 譬- - - 6 0 1 r ，咖= u l d r 将式( 2 11 ) 对p 求导，有 i d f ：x m c 2 + e ( u + ，) 口p i d g ：x m c 2 - e ( u i _ v i ) d 口 s 上 p s 上 p t 正+ 让一u 1 2 1 2 u + 让一 利用式( 2 1 2 ) 给出的u 1 、忱、的关系，式( 2 6 ) 可化为 ( u 7 + u 7 ) + ( u 7 一钞7 ) + 令 ：下aza(mc2+e)x02 下i m 以上式( 2 1 5 ) 和式( 2 1 6 ) 相加，有 两式相减，得 p s e 一黑 p s e 一暑 ( 2 1 4 ) 去( u 一口) ( 2 1 5 ) 掣( m c 2 + e ) ( u + ) 互一厂( m + e ) ( u + ) 肚7 + ( 8 + x o j d ) u = ( k x o ) v ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) fz 一 坦p u g 扩 忱 0 = = f g 竽等 一 + 塑和 丝印 u ，-、【 = = 、，、l， ” 口 + 一 u 珏 k p 一p 一 + 川川 移 十 一 u u 1 2 1 2 一 一 、，、l， 秒 移 + 一 u 让 s p s p 第二章具有s o ( 4 ) 对称性的d i m e 方程 + ( 8 一x o ) v = ( k + x o ) u 对p 求导，并f h s = k ，可以得到 这正是合流超几何方程，这种方程的标准形式是 p w + ( c p ) w 7 一a w = 0 当c 不是负整数时，方程的两个独立解为 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 肌叫n ，c 三1 + 寒岩矿+ 寒嚣高矿+ w 2 = p l - 。f ( a c + 1 ，2 一c ，p ) 式( 2 1 9 ) u 和v 的方程分别相当于c = 2 s + l ，a = s + l x o 和c = 2 s + l ，a = s z o ， 符合物理要求的解为胍，即 弃。 乱= f ( s + 1 一x o ，2 s + 1 ，p ) v = f ( s 一黝，2 s + 1 ，p ) ( 2 2 1 ) f 2 2 2 ) 另一个解，e 1 w 2 ，当p _ 0 时_ p - 2 8 ，导致f ig _ p 一，带来发散应予舍 = 训 扣 + 一 0 0 一 一 v v 力 力 一 一 + + q q + + 盼 1 2 第二章具有s o ( 4 ) 对称性的d i r a c 方程 当合流超几何级数f = ( a ，c ，p ) 为无穷级数时，其渐近行为和e 舛目似，即u 、移一 e p ，结果导致eg e p 2 。为了避免p _ 处f ，g 发散，由式( 2 2 2 ) 表示的口( p ) 必 须中断成竹7 次多项式，礼7 = 0 ，1 ，2 ，其条件是 由此解出 s 一知：s 一譬、竺业：_ n t ( 2 2 3 )s 一知2s t v m d - e 。u e = 硼1 一篇 其中主量子数n = 8 + 式( 2 2 2 ) 刚a 重新表示成 u ( j d ) = f ( - n 7 ，2 s + 1 ，p ) 代入式( 2 1 8 ) ，并利用递推公式 即得 p 昙确，c ，力= 口砷+ 1 c ，p ) 一。f ( n ，c ，p ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) k + x o u = 一f ( 1 一n 7 ，2 s + 1 ，p ) ( 2 2 6 ) 只要左边的常数因子不为o ，由此得到钍( 力。当礼，_ o 时，u = o ；当礼7 为正整数 时，u 为( 一1 ) 次多项式。 第_ 二章具有s o ( 4 ) 对称性的d i r a c 方程 1 3 2 2 精细结构的消失 由上一节的讨论可以看到，能级e 取决于量子数j 和，后者即径向量子数。 由于此处s = k ，而k = j + 互1 ，代入式( 2 2 4 ) 的能级表达式中，即 e = 仇孑 1 一面汤f f 可以记为r ，j 或，n 为“主量子数”，即 n = n 7 d - 吲= + 歹+ 丢 ( 2 2 7 ) 容易看到，在此能量表达式中，当给定钍后，歹和的不同组合并不会给出不同 的能级，即同一礼下对应不同j 的能级简并了，因此光谱的精细结构也就消失了。 波函数移的四个分量当中，前两个分量( 即含有f 的分量) 为大分量，后两个分 量( 即含有g 的分量) 为小分量。大分量相当于非相对论近似下的波函数，因此! 掣相 当于非相对论近似下的径向波函数。大分量所含球谐函数( m m ) 的阶z ，常被用做谱 项的标记。在此章所讨论的满足s o ( 4 ) 对称性d i r a c 方程中，同一礼下的不同歹能级 简并了。 下： 以氢原子，n = 1 ，2 为例，各量子数的组合及谱项表和实验给出的能级记如 表2 1 氢原子谱项图 n竹 j ki 101 210 211 21o 211 211 203 221 谱项玩。, d e v l s l 2 1 3 6 0 6 2 s 1 2 3 4 0 2 2 p l 2 3 4 0 2 2 p 3 2 3 4 0 1 1 4 第二章具有s 0 ( 4 ) 对称性的d i r a c 方程 从表中可以看到，实验测定的印3 2 能级和印1 2 能级并不相同，而是存在细微 的差异的两个独立能级，这就是能级的精细结构。而具有半k7 ) 形式的d 妣方 程中由于s o ( 4 ) 对称性的恢复这些能级简并了，这也就是说，实验告诉我们，中心 势场中的d i r a c 方程应该存在s 0 ( 4 ) 破缺。 第三章库仑势和标量势混合时d i r a c 方程的一般解 1 5 第三章库仑势和标量势混合时d i r a c 方程的一般解 3 1 库仑势和标量势的混合 在上一章节中单独讨论了具有平权标量势和矢量势的d i r a c 方程( s v p e m ) ，这 也是近年来被广泛关注的问题 1 1 1 8 。本章的主要内容是基于上一章讨论的基础 上，考虑势场为库仑势和标量势的混合情况下的一般解，并得到能级的一般表达 式，由此为基础进一步讨论d i r a c 方程的s o ( 4 ) 对称性遭到了多大程度的破缺。对 于库仑势的情况，习惯性的使用了最小耦合；而在标量势情况下，标量势进入 了d i r a c 方程的质量项中，因此可以看做一项位置相关的有效质量。类似于库仑势 来自带电粒子( 本文中为原子核和外围电子) 之间交换无质量的光子，标量势来自 无质量标量介子的交换。文献中普遍引用的盯介子拥有较大的质量，因此相应的 标量势是一种短程力。本章所讨论的= 一q 7 r 及其对能量本征值的影响可以看 做一种研究模型，标量势也可以理解为一种牛顿势的形式。 3 2 求解带有标量势的d i r a c 方程 在文献 7 中给出了具有标量势及矢量势的证明，为了论文的完整性和接下来 讨论的方便，我们将它单独列出。 对于由库仑势和标量势混合的势场，相应d i m c 方程为 定义 c a 叠+ ( m c 2 + k ) 卢一( t 7 一k ) 妒= 0( 3 1 ) ：一砘竺，k ：一施垡 rr 口，口为库仑场和标量场的耦合常数，相应的有 ( 3 2 ) 1 6 第三章库仑势和标量势混合时d i r a c 方程的一般解 竺一kf=mc2+e+1(0l-oldrrh cr ) g，j 一 筹+ g rc = 【、m c a - - e r 1 - ( 0 r - - o l ) i f ( 3 3 ) ( 3 4 ) 对于库仑势和标量势的混合情况，处理过程类似于求解库仑势中的d i r a c 方 程。首先考虑r , - 一o 的区域，与质量和能量成比例关系的常数项可忽略，有 _ d f 一一k f ：幽g d rrr 磐+ 丝g ：一! 竺竺2f d rrr 可知f 、g 仍然为同级大小，即f g 广，g q p 则有 代入，得到 c 1 s r 8 1 一k c l r 8 1 一( 口一口7 ) c s 8 1 = 0 c 2 s r 5 1 + k c 2 r 8 1 + ( 口+ 0 1 7 ) c s 8 1 = 0 ( s k ) a 一( q 一口7 ) 伤= 0 ( q + q 7 ) g + ( 8 + k ) c 2 = 0 研，q 不能全为0 ，因此必须 由此解出 8 一k 一( a q 7 ) o l 七o c8 七k j - 0 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 第三章库仑势和标量势混合时d i r a c 方程的一般解l7 另外考虑r _ 时f 和g 的行为， 因此 可见f 、g 的渐近行为是 r o o ， f 、g e - r “静7 = 萨施 设 2 r m 2 c 4 一e 2 p2 i 一= w 1 7 ， 凡c 2 j m 2 c 4 一e 2 w 12 i _ 一 f t c m 孑+ e w 22 _ 一 九c m 孑一e w 32 = 一 g f 譬宰 护打 把一咖 薹解器貉 1 8 第三章库仑势和标量势混合时d i r a c 方程的一般解 有 微分方程化为 可以令 则有 入= w 2 1 u 1 2 w 3 1 w 1 2 u 2 蛐 1 u 4 t m c 2 + e a + 孚 g = ( 尝+ 孚) g 【型挚入一孚】f = ( 等一孚) f f = v m c 2 + e u ( p ) + ( p ) 矿e p 2 g = v m c 2 - - e u ( p ) 一v ( p ) p s e 一2 瓦d f = v m c 2 + e l ( u 7m + 石8 ( 钍+ 口) 一互1 ( 仳+ 移) 矿e 一呈 万d g = v m c 2 - e l ( u i _ v i ) + 昙( 让一u ) 一互1 ( u 一秒) 】舻暑 代入式( 3 7 ) ，得到 ( 3 7 ) 一一一一一一一 = = f g k p 一p 一 + 塑和 签却，-_j(1-l 第三章库仑势和标量势混合时d i r a c 方程的一般解 1 9 【( “+ 丢( 心刊一互1 ( 仳刊】。万k ( u 刊= ( 互1 + 警学 w ) + 丢( u 叫一互1 ( 让叫 + 万k ( 札叫= 互1 一等半 令 即 式( 3 8 ) + 式( 3 9 ) 得 x o + y o = m c 2 a o e + e a a 7 z o y o = 一e a a m c 2 a a 7 z 。珈= 三( 口2 一以) p u 7 + ( 8 一p ) u 一( x o y o ) u = k v 一( 铂+ y o ) v 两式相减，有 p v 7 + 8 v + ( x o y o ) v = k u + ( x o + y ou 对p 求导，分别有 】( u u ) ( 3 8 ) 】( t 正+ 钐) ( 3 9 ) 如 珈 = 1 | 吖 q 一 + 3 1 崆一1 峨一 u u 2 0 第三章库仑势和标量势混合时d i r a c 方程的一般解 要求 解得 由 有 p v + ( 2 s + 1 一j d ) ，= ( k 2 - s 2 _ 4 黝珈) 丢+ ( s + 铷一珈) 口 所以得到 k 2 一s 2 = q 2 一口彪= 4 x o y o + ( 2 s + 1 一p ) 秽7 一( 8 + x 0 一y o ) v = 0 即合流超几何方程 p w + ( a p ) 一a w = 0 ( 3 1 0 ) 其中c = 2 s + 1 , a = 8 + z o y o 为了避免p 一。处f , g 发散，v 的合流超几何方程的解必须截断为, 7 次多项式，扎，_ 0 ，1 ， s + z o y o = 8 一e a a m c a , x a 7 = 一礼7 协 心 恤 一 0 k 叫 n u 训 = y 一川 咄 旷 一 十 + + 陋 陋 + + 吣 ，lcl【 第三章库仑势和标量势混合时d i r a c 方程的一般解 2 l 此时合流超几何方程波函数截断为多项式，得到驻波解。 定义n = 礼7 + 歹+ ；= 1 ，2 ，3 ， 即 化简为 篙：s+、m2c4 e 2 一 e 2 + 面嵩e 十m 2 三端= 。 最终得到能量本征值的一般表达式 ( 3 1 1 ) e = m c 2 五南士 ( 五禹) 2 一罢端 v 2 ) ( 3 2 ) 考虑以下特殊情况： 3 2 1 a = 0 则，s = x k 2 + a r 2 ， 有 e = 士m c 2 显然此时存在正负两个能量解，其中负能量解对应反粒子，这表明标量相互 作用不区分正负电荷。由此得到能级：1 s 1 2 ，2 s 1 1 2 ，却1 2 ，2 p 3 2 和3 s 1 2 等等。能级 变化如图( 3 1 ) 所示，当a 7 _ 。，e 趋近于0 。 2 2 第三章库仑势和标量势混合时d i r a c 方程的一股解 3 2 2 口，- o 相应的，s = x k 2 - a 2 , 式( 3 1 1 ) 在n 7 = 0 时变为， 图3 1 矢量势能谱 7 】 盎= 7、m 2 c 4 一e 2 对于带正电的原子核，式右边大于零，所以负能解应舍去，由此得到电子在 点状原子核的库仑势中的s o m m e r f e l d 精细结构方程能量本征值 3 2 3 o 户口7 肚m c 2 1 + 南 - 1 胆 当口= 口7 时，有s 2 i k i ，钆7 + s 2 n 一歹一互1 + 8 - - - - 1 1 第三章库仑势和标量势混合时d i r a c 方程的一般解 2 3 e = m 未士 = m 孑 未士 篙)v 下呵， = m 孑 未士一n 2 取负号相应的解易= 一m c 2 使得哈密顿量中的势能项相消，但是e = 一m c 2 同 样与式( 3 1 1 ) 矛盾，因此只取正解 e = m 孑 1 一一2 0 1 2 ) 3 3 普适模型 ，对于一般的情况，我们可以用( a z - f6 ) y ( r ) 形势的势能来表示标量势和库仑 势的混合。此时，之需要把前一小节中的a ，口7 做如下变换： 口一6 q ( y ，o c y 即得到标量势和库仑势混合下的一般方程 【c 5 矽+ 仇c 2 p + ( n p + 6 ) y ( r ) 一e 】妒= 0( 3 1 3 ) 相应的能量表达式为 e = m 孑 丽否高士 c 百五嵩，2 一巡b 2 c 。2 + ( s + n ) 2 1 j v 2 ) ( 3 1 4 ) 2 4第三章库仑势和标量势混合时d i r a c 方程的一般解 其中= n j 一，s = 士、瓦f = 驴孑f f 磊夏。 以下考虑几种特解情况。 3 3 1 当a = o ，b = l 时 此时方程完全变成了一般的中心势场下d i r a c 方程，相应的 s = v 9 2 - o t 2 = 肛丽 e ：m c 2 ：m c 2 一 1 + 而萧 当给定主量子数礼后，歹与n 7 取不同的组合时给出一组数值很接近的能级，它 们的差异是由于公式中的存在而造成的，这就是光谱的精细结构，d i r a c 方程 的s 0 ( 4 ) 对称性遭到了彻底的破坏。 3 3 2a = l ，b = o 时 相应有s = 霜霜， e = 士m 孑i 磊( 9 2 ：士m c 2 此时我们可以看到，对应于同一个主量子数n 的能级仍然是非简并的，说明 在一阶修正还保留了部分的对称性。 第三章库仑势和标量势混合时d i r a c 方程的一般解 2 5 3 3 3 当a = b = ；时 对于这种情况，则回到了具有半y ( 7 ) 形式的中心势场，有 s = i k l ，+ s = 竹一j 一 + 8 = 1 1 e = m 孑( 1 一羔) 显而易见，这时对于不同的j 和仃7 的组合，能级已经完全简并了，s o ( 4 ) 对称性 得到完全的恢复。 3 4 本章小结 本章对d i r a c 方程引入了标量势，并推广到了标量势与库仑势混合的一般情况。 对几种特殊情况简单加以讨论，分析了什么时候能级出现精细结构，什么时 候对称性得到了恢复，为接下来讨论d i r a c 方程的对称性发生了多大程度的破 缺做出了铺垫。 第四章实验结果比较2 7 第四章实验结果比较 4 1 理论结果的比较 4 1 1 满足s o ( 4 ) 的d i r a c 方程 果， 由前面两章的讨论和比较，我们已经知道满足s o ( 4 ) 对称性的d i r a c 方程 【c & 多+ m c 2 p + 半附) 一司妒= o ， ( 4 1 ) 对于氢原子y ( r ) = 一了e 2 这正是文献求解的矢量和标量势d i r a c 方程 7 ， 【c a 多+ z ( m c 2 + k ) 一( e 一) 妒= 0 ，( 4 2 ) 如果取= k = 一k 嚣= 一万e 2 ，得到方程( 4 1 ) ，我们引用前面章节给出的结 e = 硼1 一煮杀】 4 1 2 一般i 驹d i r a c 方程 在中心力场中一般的d i r a c 方程 ( 4 3 ) 【c a 多+ m c 2 p + y ( r ) 一剀妒= 0 ，( 4 4 ) 对于氢原子y ( r ) = 一譬 第四章实验结果比较 其本征能量为 e = m c 2 f 1 + 志卜， ( 4 5 ) 其中s = 知丽 为了能够有直观的感觉，我i t n 出n = 1 ，2 的各量子数的组合，谱项和能级： 表4 1 佗竹， kz 谱项 本征能量a ( m e v )本征能量b ( m e v )3 1 0 l 1 0 l s l0 5 1 0 9 8 5 3 1 2 5 6 6 5 8 80 5 1 0 9 8 5 3 1 2 9 2 8 8 5 1 2 可 2o 0 21 2 p _ 3 o 5 1 0 9 9 5 5 1 7 0 0 5 6 l o0 5 1 0 9 9 5 5 1 7 0 2 8 2 5 1 2一 2l l 11 2 p 1 0 510 9 9 5 516 9 6 0 3 2 60 5 1 0 9 9 5 5 1 7 0 2 8 2 5 1 2 一百 2l l 10 2 s ! o 510 9 9 5 516 9 6 0 3 2 60 51 0 9 9 5 5 1 7 0 2 8 2 51 2 表4 1 中本征能量a 用式( 4 5 ) ，即中心势场中一般的d i r a c 方程计算，本征能 量b 用式( 4 3 ) ，即满足s o ( 4 ) 对称性的d i r a c 方程计算，电子的质量和精细结构常 数取卧1 9 。 可以明显的看到，对于表中的本征能量b ，其中的主量子数n = 2 - - 个能级完全 简并，没有精细结构。 4 2 对称性的破缺 根据对氢原子光谱的观测，我们知道氢原子的能级有精细结构和超精细结构， 而上面的分析和数值表明，s o ( 4 ) 对称的d i r a c 方程能级高度简并，所以s 0 ( 4 ) 的 对称性需要发生破缺。由上一章中一般性的标量势与库仑势混合d i r a c 方程，我们 假定实际的d i r a c 方程具备这种形式。为了能够退化为非相对论的薛定谔方程，这 就要求势能v ( r ) 前面的系数( o p + 6 ) 需要满足a + b = 1 ，即实际的d i r a c 方程为 【c a 多+ m c 2 卢+ ( 1 一a ) v ( r ) + a v ( r ) 一司妒= 0 ，( 4 6 ) 这相当于式( 4 3 ) $ t v l = 一( 1 - ，a ) e 2 ，= 一譬 第四章实验结果比较2 9 由上一章给出的能量本征值为： 口 - ( 1 一a ) a a 2 m c 2 ， ，：= = 一 “ ( 1 一o ) 2 0 t 2 + ( n t + q ) 2 + 村 c 巧犏卜若端 5 ， 其中，2 竹一j j 1 文献 2 0 给出了氢原子能级印；，2 p i 拘( 1 e v e l 。c r o s s i n g v a l u e ) 1 0 9 6 9 2 0 ( 6 ) m h z ，我 们可以拟合得到o = - 0 0 0 0 8 9 。 如果需要考虑l a m b 的移动 2 1 以及超精细结构对卸能级影响，拟合的a 稍微 会发生一些变化。我们根据拟合的a ，计算了由式( 4 。7 ) 给出的能级( t a b l e 。4 2 ) 。 表4 2 礼n ， kz谱项 本征能量c ( m e v )j 1o l 1 0 l s lo 5l0 9 8 5 3l2 5 6 5 9 4 3 2 2 0 3 2l 印罢 0 510 9 9 5 517 0 0 5 5 6 9 2 2l 1 11 印吾 o 510 9 9 5 516 9 6 0 2 0 5 2 21 l 1o2 s 1o 510 9 9 5 516 9 6 0 2 0 5 2 有两点需要说明： ( 1 ) 因为a 是一个很小的负数，使得式( 4 6 ) 几乎等于式( 4 4 ) ，可见d 曲c 方程对s o ( 4 ) 对 称性破缺很严重。 ( 2 ) 尽管在e q 4 6 中有标量势，但是我们求解的能级还是无法包含l a m b 移动 2 2 和 超精细结构。 4 3 不足之处 通过讨论看到，当考虑了自旋轨道耦合之后，氢原子方程的对称性下降了。 换句话说，库仑势场下薛定谔方程所具有的s o ( 4 ) 对称性，在相对论的d i r a c 方程 中并不得到保留，而并不是先前所期望的相对论方程具有更高的对称性。在考 3 0第四章实验结果比较 察d i r a c 方程的对称性能在多大程度上得到恢复的时候，通过光谱实验数据拟合了 唯象参数n 。 由于氢原子光谱存在l a m b 移动 2 2 ，因此难以在不同能级的跃迁中选择更多 的数据来对。进行拟合以降低误差或进一步相互检验，而只能选择了能量非常接 近的印1 2 ，2 p a 2 能级的差值对。值进行了拟合。如果考虑l a m b 移动以及超精细结 构对2 p 能级的影响，拟合的。会稍微有一些变化。 4 4 总结 u 。 我们的工作试图寻找一个可以带来可观测谱项的。与b 的可能组合，由此讨 论d i r a c 方程的s o ( 4 ) 对称性遭到了多大程度的破缺，并与q e d 的理论要求做出比 较，这也是我们最初的目标，或许对称性分析能够帮助我们建立一个可供应用的 研究模型。 第五章标量势的来源 3 l 第五章标量势的来源 5 1 标量势的来源 根据最小作用原理，经典的电动力学推导出的带电粒子在电磁场中的h a m i l t o n 为 h = 伊+ m 2 + y ( r ) ，由这个h a m i l t o n 得到得至l j d i r a