（应用数学专业论文）非自伴代数的理想lie理想.pdf

摘要 本文主要探讨了非自伴自反算子代数中的若干问题 第一章介绍了一些预备知识和问题的背景，主要是格和它所对应的算子代数及 常见的几种算子等等 本文中h 是指复的h i l b e r t 空间，b ) 是指h 上的所有有界算子的全体 c s l ，c d c s l 都是m 上的子空间格 第二章，对于c s l 代数和c d c s l 代数，我们得到了如下一些结果： 一设a 是一个c d c s l 代数，l a t a 至少含有一个非平凡的可比元，则 ( 1 ) 若z 是4 的弱闭理想，工。是z 的迹零部分，那么， a ：z 。 = 4 ：习= z 十c 主； ( 2 ) 设l 是且的弱闭子空间，如果存在一个弱闭理想g ，满足如下的关系： g o l 曼 a ：q = g 十c g ， 那么l 是4 的共轭不变子空间 ( 3 ) 设l 是a 的弱闭l i e 理想( 是4 的子空间) 那么存在4 的原子对角不交的理 想z ，如定义235 的肖z ，a 1 a ! ，使得下式成立： ( z v a z ) o l 【a ：工v 月- = ( z v a ) + j 二z 是c d c s l 代数4 的原子对角不交的弱闭理想，对于任意的a i a z ， g = z v a l ，那么( 免= c g 第三章，主要确定tl i e 理想和相似不变子空间的关系： 设是h i l b c r t 空间h 上的一个子空间套，它的原子序同构于整数集的子集， 再设o 是由的区间生成的格，l b ) 是a l g c o = a 的强闭l i e 子空间， 那么l 是4 的相似不变子空间 第四章，本章讨论了a 1 9 c 的理想z 中的迹类算子和工中的秩一算子r 的关 系 ( 1 ) 设月b ( “) 是含有i asa “的弱 闭代数，z 是4 的理想，那么z 中的 每个迹类算子都在工中的秩一算子的范数闭线性扩张冗，( z ) 里 ( 2 ) 设是c s l ，z 是a t g 的理想，那么z 中的秩一算子的范数闭线性扩张 亿- ( 工) 包含了工中的所有的有限秩算子。 ( 1 ) ，( 2 ) 分别覆盖了s h l o m or o s e n o r e 2 9 ，k rd a v i d s o n 1 0 的结论 关键词：c s l 代数c d c s l 代数l i e 理想迹类算子迹零部分 a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h ei n v e s t i g a ，t i o no fs o i i l ep r o b l e m sa b o u tr e f l e x i v e o p e r a f o ra 1 9 e b r a 8 t tc o n s i s t so ff b u rc h a p e r s c h a p t e r1 ：w ei n t r o d u c es e i n ep r e p a r e dk n o w l e d g e ，w h i c hi sl a g t i c e s ，l a t t i c e s c o r r e s p o n d i n go p e r a t o ra l g e b r a s ，u s u a ls e v e r a lo p e r a t o r s ，a n ds u c hl i k ef i n a l l n w e s u m m a r i z et h eb a c k g r o u n d c h a p t e r2 ：w cd i s c u s sc s la l g e b r a sa n dc d c s la l g e b r a s t h e nw eo b t a i n t h ef o i l i n gr e s u l t s o n ( j ，l e tab eac d c s la l g e b r a ；l a t ai n c l u d e da tl e a s tan o e l t r i v i a lc o m p a - r a h i ee l e m e n t ( 1 ) i f 于i st r a ，e e - z e r op a r to f2 7w h i c hi saw e a k l y c o v e r e di d e a lo fa ，w eg e t ： a ：于 = m 习= 工+ q ( 2 ) l e ti b eaw e a l d y c o v e r e ds u b s p a e eo fai ft h e r ee x i s t saw e a k l y c o v e r e di d e a l go f a 、s u c ht h a t g oc lc f a ：g 1 = g + c a ， t l l e nli sac o n j u g a t i o n i n v a r i a n ts u b s p a c co fa ( 3 ) l e tlb eaw e a k l y c o v e r e dl i ei d e a lo fat h e r ee x i s ta na t o m i c - d i a g o n a ld i s j o i n t i d e a lzo faa n das u b s e ta lo ft h ea t o ma za d j a c e n tt ozs u c ht h a t ( z v a l ) o l 【42 7 v a l = ( z v a t ) + ( 五 t w o ：l e t 工b ca na t o m i c - d i a g o n a ld i s j o i n tw e a k l y - c o v e r e di d e a lo fa a za r e a t o n l sa d j a c e n tt oz a l a 2a n dc = 2 7va l ，w cg e t ：晓= c a c h a p t e r3 ：w es h o wt h er e l a t i o n sb e t w e e nl i ei d e a l sa n ds i m i t a r ys u b s p a c e s i c t b cas u b s p a c en e s ta c t i n go nh i l b e r ts p a c e “w h o s ea t o m sh a v eo r d e r t y p ei s o m o r p h j ct oas u b s e to ft h ei n t e g e r s l e t ob eal a t t i c eg e n e r a t e db yt h e i n t c r v a lo fn a g a i ni fli sas t r o n g i yc l o s e dl i es u b s p a c eo fa l g c o = a l i si n v a r i a n t u n d e is i m i l a , r i t i e sh o i l a c h a p t e r4 ：w ed i s c u s st h er e l a t i o n sb e t w e e nt r a c e - c l a s so p e r a t o r sa n d r a n k o t l e o p e r a t o r si n 工w h i c hi sa ni d e a lo f a l g c f 1 ) l e t4 b ( “) b ea w e a k + c l o s e da l g e b r ac o n t a i n i n ga m a s aa a n dzb e a ni d e 出。fat h cc v e r yt r a c e c l a s so p e r a t o ri nz l i e smt h en o r m - c l o s u r eo ft h e l i n e a rs p a no fr o n k o n eo p e la t o r si n 工 f 2 ) l 【j t b cac s l zi sa ni d e a lo fa 1 9 , t h en o r l l lc l o s u r eo f1 ( z ) c o n t a i n s a uf i n i t e r a n ko p e r a t o r si nz k e yw o r d s ：c s la l g e b r a c d c s la l g e b r a l i ei d e a l t r a c e - c l a s so p e r a t o r p a r t so ft l a c ( 、一z e r o r 7 6 3 5 9 0 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：趣眇年夕月，日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：趔 哆年_ 7 月日 南京理工大学硬士学位论文非自伴代数的理想，d i e 理想 第一章预备知识和背景 1 1 术语符号表示 在本文中，下面的术语和符号有如下含义 h 是指复的h i l b e r t 空间，b ( 丸) 是指h 上的所有有界算子的全体，c s l ，c d c s l 是州上的子空间格；子空间都是指闭子空间；投影都是指正交投影，对于投影目， 用e 1 表示其正交补k ( m ) 表示b ( n ) 中的紧算子的全体；s ( w ) 表示b ( h ) 中 的h i l b e i s c h m i d t 算子的全体；c l 表示b ( 嘲中的迹类算子的全体；c ? 表示c l 中的迹零算子的全体川1l ，分别表示范数，迹范数，表示单位元，算子r + 表示丁的自伴算子。 1 2 格 这里简单的回顾一下格的内容 定义1 2 1 在一个偏序集( ，s ) 中，如果任意两元素z ，y 都有上确界z v 和下 确界z 八v ，则称偏序集( ，) 为一个格 这时，。v 目和z 八y 分别叫做z 与y 的并和交 ( 墨) 叫做一个完备格，如果的任意非空子集s 都有上确乔vs 和下确 界 s 分配格 定义1 2 2 一个格c 满足分配恒等式 z 八( v z ) = 们v 。) ( 1 ) 或 z v 。) = x v v ) a ( 。v z ) ( 2 ) z ，z c j 。那么格c 叫做一个分配格 易知( 1 ) 和( 2 ) 是等价的 5 第一章预备知识和背景 定义l 2 3 一个格c ，对所有的 h ：a a ) 有 a ( v 毋) = v 八，( a ) f e r m xa e a 或 v ( 八毋) = 八( v ，( a ) ) a e a f e l 3 毋x e a 成立，就说这个格是完全分配格 1 3 格与它所对应的代数 6 设爿是一个b a n n a c h 空间，z 上的所有有界线性算子做成的集台连同它的 加法，乘法，数乘作成一个b a n n a c h 代数，我们把这个代数记为b ( x ) 。 很显然，h i l b e r t 空间州上的所有有界线性算子b ( m ) 也作成了b a n n a e h 代 数 定义1 3 1 设闭子空间l h ，算予a b ( 州) ，若有a l 工则称l 是a 的不 变子空间 定义1 3 2 设是州的一族子空间，称c 是一个子空间格，如果下列条件满足： 以j ( 0 ) “i 俐对的任意一族子空间 蜀) 。 ，总有v ，a 岛和八。ae 属于c 这里 ”v ”和”八”分别表示子空间的闭线性扩张运算和集合论意义下的交运算 特别地，称子空间格c 是套，如果c 中的元素按包含关系构成全序集；称子 空问格是交换子空间格，如果子空间格c 中的任意两个元素作为投影可交换 一个交换子空间格简记为c s lmc o m m u t a t i v es u b s p a c el a t t i c e ) ；一个完全分 配的交换子空间格简记为c d c s l r nc o m p l e t e l yd i s t r i b u t i v ec o m m u t a t i v es u b s p a c e l a t t i c e ， 记 a l g = ，1 b ( h ) i t l 至l ，l ) 则a i g 是一个弱闭的b a n n a c h 代数易见，a l g c 是含有单位元的弱闭代数 定义1 3 3 如果是套，称a 1 9 是套代数一，果c 是c s l ，称削9 c 是c s l 代 数j 如果c 是c d c s l ，称a l g c 是c d c s l 代数 第一章预备知识和背景 对应地，设一4 是口m ) 的子代数，记 7 l a t a = 上f l 是h 的闭子空间且对所有的t 一4 ，丁己l 对于l a t a 中的任意闭子空间l ，m ，定义l v m 是l u m 的闭线性扩张， l 八m 是l n m ，那么l a t a 构成了一个格 显然，l a t a 包含0 和h 的格，a l g a ( 包含单位元，) 是b ( 州) 的子代数， 定义l 3 4 一个子空间格c 被称为自反格，如果c = l a t a i g c ；一个算子代数 4 b ( _ h ) ，被称为4 自反代数，如果a = a l g l a t a 易得：一个算子代数a 是自反的充要条件是存在某个子空间格c 使得a = a 1 9 c ；一个子空间格c 是自反的充要条件是存在某个算子代数a s ( n ) 使得 = l a t a 定理1 3 1 ( 1 0 ) 门j 任意c s l c 是自反格，特别地，c d c s l 和套也是自反格， 即：c = l a t a l 9 俾) c s l 代数且是自反代数，特别地，c d c s l 代数和套代数也是自反代数， 印：a = a 1 9 l a t a 1 4 几种常见的算子 h i l b e i t s c h m i d t 算子，迹类算子，秩一算子等都是重要的算予以k ) 表示 h i b e r t 空间“上的紧算子的全体，s ( “) 表示符上的h i l b e r t - s c h m i d t 算子的全 体。 定义1 4 1 。设 a 。 是( p 丁) ；的正特征值全体球重的特征值，则在f h ) 中出现 ：次j t k ( h ) 称为h i l b e r t s c h m i d t 算子，是指 其中 砖 。 t ，( 爿) 的充要条件是：对于州的任意的正交规范基 日) 有 1 2 。 ( 悱川2 ) 第一章预备知识和背景 称为r 的h i l b e lt s c h m i d t 范数。 定义1 4 2 设( h ) 是( j 1 4 t ) 的正特征值全体，t ( h ) 称为迹类的，是指 k o o n 8 此时称 i i t l l ，= h n 为r 的迹范数，记全体迹类算子为c 1 显然，每个迹类算子都是h i l b e r t s c h m i d t 算子。 命题1 4 1 迹类算子的性质： “归c 1 车号t + c l 强t e l ，a b ( “) 辛t a ，a t 0 i 俐五，t 2 s ( 州) j 乃t 2 c l 定义1 4 3 设z ，y 7 - 且。0 ，y o ，定义：r ( z ) = ( ) ( z ) = ( z ，v ) x ，z h 称r ( ) 为秩一算子 易知，每个秩一算子是迹类算子，也是h i l b e r t s c h m i d t 算子 命题1 4 2 口，爿上的有限秩算子在k ( “) 中是按范数川l 稠密的t 俾j 4 - 1 上的有限秩算子在c 1 中是按范数i i 1 1 1 稠密的 1 5 问题背景 “自反”一词是由h a j m o s 于6 0 年代首先提出的，但是最先出现在r a d j a v i r o s e n t h a j 在1 9 6 8 年的论文f 34 】中。关于自反算子代数的第一个结果是s a r a s o n 于 1 9 6 6 年给出的， 3 5 l 即以b ( “) 含有单位元的交换的弱闭算子代数，并且它是 由正规算子构成的，4 则是自反的这篇文章大大地促进了自反算子代数的研究 工作1 9 7 5 年，l o g i n o v 和s u l m a n 给出了一般算子空间的自反性概念容易证 明：一个含有单位元的算子代数如果是代数自反的，那么它就是子空间自反的。换 句话说l o g i n o v s u h n a n 将代数自反推广到了更一般的子空间自反上，可以知道， 自伴的自反代数是v o nn e u m a l l l l 代数；反之v o nn e u m a n n 代数都是自反的f 3 6 1 ， 所以自伴的自反代数和v o nn c u l l l 3 n n 代数等同的。v o nn e u m a n n 代数已经发展 得相当成熟，但是非自伴的自反算子代数的研究进展缓慢。 第一章预备知识和背景 9 从某种意义下套代数是非自伴算子代数中最简单，但它却既有实际意义又有理 论价值的代数。它在控制论和自动化都有应用，并且在三角代数占有重要地位自 6 0 年代开始研究套代数以来，人们也在其他诸如完全分配格代数，原子b o o l e a n 代 数，c s l 代数和c d c s l 代数等非自伴代数上取得了大量的研究成果( f 7 ，8 ， 9 ，1 0 ，1 6 ，3 0 ，3 1 1 ) 。尽管如此，非自伴自反算子代数的发展仍然不完善， 其中有很多有意义的问题等待解决。 理想，l i e 理想和共轭不变子空闯在套代数和其他的非自伴代数的研究起着十 分重要的作用，许多作者对此进行了研究( 6 ，7 ，8 ) 本文主要探讨的是非白伴算子代数的理想，l i e 理想和共轭不变子空间等等 南京理工大学硕士学位论文非自伴代数的理想，l i e 理想 第二章c s l 代数的l i e 理想和共轭不变子空间 2 1 引言和预备知识 设a b ( h ) 是一自反代数，m 至日) 是一子空间，如果m a ，a m m 则称m 是4 的双边模设l a t a l a t a 是一映射，如果当日，f l a t a 并 且e f 时，恒有咖( e ) s ( f ) 成立，则称是l a t a 上的序同态h o m l a t a 表示l a t a 上的所有序同态的全体设咖h o m l a f a ，定义： = t b ( h ) ：眵( e ) 1 t e = o ，v e l a t a ) 易知a 是一个a 的自反双边模，通常称a 是被确定的 jae r o d s 和s cp o w e r 在文 8 中得到：当a 是一个套代数时，任何j 一弱 闭双边模都有( 2 1 1 ) 形式韩德广在 1 】中有推论：设a 是一个含有单位元的 一一弱闭代数，并且4 中秩一算子生成的子代数在a 中口一弱稠的那么4 的弱 闭的双边模m 是4 的理想的充要条件对每个e l a t a ，都有币( 8 ) e ，其中 e 一+ 咖( e ) 是l a t a 到l a t a 的由m 所对应的序同态 如果代数4 中的线性流形l 满足m ，明l 就说l 是，4 的l i e 理想，其中 【4 ，l 】= a b b a ，y a a ，6 l ) 如果a 中的线性流形s ，对任意的可逆元a 4 满足a - 1 s a s ，就说s 是4 的共轭不变子空间 这两者之间的关系已经被许多作者研究过：在b a n a c h 代数中，共轭不变的闭 子空间是l m 理想，这个结论被t o p p i n g 2 1 已证明过 lw m a r c o u x 和a r s o u r o u r 在 7 中得到：在套代数4 中，l i e 理想和共轭不变子空间是等价的， 并且得到了有关l i e 理想的其他重要结果h o p e n w a s s c r 和v e r np a u l s e n 3 3 1 ：设 l 是a f ( 逼近有限维) 代数的规范子代数嚣的闭子空间，那么l 是嚣的l i c 理 想等价l 是嚣的共轭不变子空间 本章，把lwm a r c o u x 和ars o u r o u r 的相应结果推广到c d c s l 代 数上，其主要结果： ( 1 ) 设一4 是一个c d c s l 代数，l a t a 至少含有个非平凡的可比元，再设工是 1 0 第二章c s l 代数的l i e 理想和共轭不变子空间 4 的弱闭理想，哥是工的迹零部分那么 ：z 。】= 【a ：z = 工+ q 1 1 ( 2 ) 设工是c d c s l 代数a 的原子对角不交的弱闭理想如定义2 3 5 的a z ， 其中a l a z ，再设g = z - v a l ；那么国= ( 3 ) 设a 是一个c d c s l 代数，并且l a t a 至少含有一个非平凡的可比元l 是 c d c s l 代数a 的弱闭子空间，如果存在一个弱闭理想g ，满足如下的关系： g o l 【a ：g = g + c 音 那么l 是a 的共轭不变子空间 ( 4 ) 设a 是一个c d c s l 代数，l a t a 至少含有一个非平凡的可比元再设l 是 a 的弱闭l i e 理想( 是a 的子空间) ，那么存在a 的原子对角不交的理想工和 z 相邻的原子如的子集a - ，使得下式成立： ( z va 1 ) 。lc 【4 ：工v a - = ( z v a ) + c t 总结| 二述的结果有：4 是一个c d c s l 代数，l a t a 至少含有一个非平凡的可比 元，a 的弱闭子空间l 是其l i e 理想的充要条件l 是a 的共轭不变子空间由 此，它包含了 7 1 的结论 2 2c d c s l 和c d c s l 代数 定理2 2 1 r t o p p i n g 2 a 是一个b a n a c h 代数，如果s 是a 的共轭不变闭子 空间，那么s 是4 的l i e 理想 证明：取f ：= i = a ，并且zc - s ，那么f ( t ) = e “。x e - “s ，( t r ) 对f ( t ) 求导数得到，( t ) = i c l f ( t ) 一，0 ) z s 在t = 0 时，所以得到。一z o s ，因 此s 是4 的l i e 理想 引理2 2 2 1 a 垦b ( “) 是一个自反代数，z 是4 的弱闭双边模， a 是4 中的秩一算子生成的含有单位元的弱闭代数佗i ( 4 ) 即有：a = 佗l ( 4 ) ：l 吖4 ，l a t ，4 、e 一一e 是由z 所对应的左连续的序同态 门) 若z 是4 的弱闭理想，任意的e l a t a ，都有e 墨e 伯j 若任意的e l a t a ，e 茎e 那么 z = 丁口( 咒) ：( ，一e ) ? 1 e = 0 第二章c s l 代数的l i e 理想和共轭不变子空间 1 2 是4 的弱闭理想 引理2 2 3 1 0 设h 是h i l b e n 空间，c 是7 - t 上的c d c s l ，那么a l g 之中 的秩一算子的线性扩张佗l ( a l g c ) 在a l g c 中按弱算子拓扑稠的 即：c 是c d c s l ，a l g 是由a 1 9 c 中的秩一算子生成的弱闭代数a l g = 7 4 l ( a 1 9 ) 由上述的引理2 2 2 和引理2 2 3 易得： 定理2 2 4 a b ( m ) 是一个c d c s l 代数，l a t 4 是h 上的c d c s l z 是4 的弱闭观边模西：l a t a + l a t a ，e + e 是由z 所对应的左连续的序同态， r j 若工是a 的弱闭理想，任意的e l a t a ，都有e 墨e i 俐若任意的e l a t a ，e e 那么 z 一 丁 | e ( “) ：( i e ) t e = o ) 是a 的弱闭理想 z 也可以象定理2 2 5 表示 定理2 2 5 a b ( 咒) 是一个c d c s l 代数，l a t a 是h 上的g s l ，工是 算于代数4 的弱闭理想，那么 工= 丁_ a ：( e e ) t ( e e ) = o ) 对任意的e l a t a ，上式均成立这里的e ，e ，z 都是和定理2 2 4 表示的意义 一样 证明：( 1 ) 设y = t a ：( ee n l ( e e ) = o ) 任意的e l a t a ，e e ， 故有e e = el a t a 是c d c s l ，所以t e = e t e 当t z 时， 0 = ( i e ) t e = ( ( ，一e ) ( e 丁) e 一 ( ，一e ) ( e t ) e e = f ，一e ) s t e f i e ) e t e = ( 一e ) e t ( e e ) = f e e ) t ( e e 、 所以得到t y ，因此工y ( 2 ) 任意的t y ，任意的e l a t a ，便有 0 = ( f 一面) 丁( f 一豆) = ( ，一豆) 丁昂 第二章c s l 代数的l i e 理想和共轭不变子空间 得到t z ，故y z ，又工y 由此得： z ： r a ：( e e ) t ( e 一豆) = 0 ) - 2 3 c d c s l 代数的l i e 理想 定义2 3 1 l 是c d c s l 代数4 的弱f * ll i e 理想，定义 工= 五：= s - 9 蒯 e t ( i e ) ：t l ，e l a t a 其中，聊“ ) 表示 ) 在弱算子拓扑下的闭包 命题2 , 3 ll 是c d c s l 代数a 的弱闭l i e 理想，z 如上定义，那么z 是a 的弱闭理想，并且工l 证明：显然z 是代数一4 的弱闭子空间分两步进行 ( 1 ) 首先证明 工= 死一两，丽” e 丁( ，一e ) ：t l ，e l a t a ) 与 k = 可而霄” 丁l ： e l a t a ，t = e t ( i e ) ) 相等 显然z 当e 丁( ，一e ) 工时，其中t l ，注意到l a t a 是c d c s l ，故有e l a t a a 由已知l 是4 的l i e 理想，因此 e t ( i e 1 = e t e t e = e t t e l 由k 的定义，e ( e 7 1 ( ，一日) ) ( ，一e ) = e t ( i e ) k ，所以工k 故有工= k 又由定义，易知k l ，从而z l ( 2 1 2 再证明z 是a 的弱闭理想 设a a ，t 工，由z = k 和，( 的定义知：存在某些e l a t a ，使得 t = e t g e ) ，同时t l 从而， f e a e ，t 1 一= ( e a e ) t r ( e a e ) = ( s a e ) t 一( e t u e ) ) ( e a e ) = e a e t ( 1 ) 第二章c s l 代数的l i e 理想和共轭不变子空间 由e l a t a 知e a e = a e ，从而e 1 a e t = a e t e a e t = 0 ，即 a e t = e a e t 1 4 ( 2 ) 由丁f 的定义，我们有 a t = a e t ( i e ) = a e t a e t e = a e t a e ( ( i e ) t e ) = a e t ( 3 ) 比较( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 得到 a t = ( e a e ，明 注意t l ，e a e 并且l 是a 的弱闭l i e 理想，则有a t = 【e a e ，t 】l 进一步，e a t ( i e ) = e a e t ( i e ) = a e t ( i e ) = a t 耳 t = e t ( i e ) ，k 是弱闭子空间，所以k 是且的弱闭左理想 同理考虑 t 、( i e ) a ( i e ) ，得出是a 的弱闭右理想 而= z ，所以z 是a 的弱闭理想 定义2 3 2 设c 是h 上的子空间格， f 纠e c 的前继元定义为：e 一= v l c l l 垄e ) ，0 一= 0 e 的后继元定义为：e + = a l i l l 垡e ) ，7 - 十= “ 若e + = e 一= e ，则称e 为连续点 f 2 j c 的原予定义为：e - e e 原子的集合记为：a t = e e e 一：v e ) ， 通常把e e e 一记为p 在h i l b 。z t 空间州中，子空间和在该子空间上的投影是一一对应的，因此常用 子空间所对应的投影来代替该子空间下面的e 和f 分别表示空间e 和f 所对 应的投影，空间f f 写为投影e f ，空间e 鐾f 写为投影e 基f 对于通常 的子空间格来说，e 和e 一是没有大小关系的；但有e e 一e ；特别地，在套 中有e e = e se 在c s l 中，原子e e e 一= e e 兰有下列的性质 命题2 3 2 是州上的c s l ，任意的e ，n c ，e 一是e 的前继元，那么有： e e ! n = e o e 。n n ，z e e 。 证明当n 芝e 时，由前继元的定义得，n e e e ! n = e ( ，一e1 n = e n e e n = e n e n = 0 第二章c s l 代数的l i e 理想和共轭不变子空间 1 5 当n2e 时， e e s n = e ( i e j n = e n e e n = e e e n0 2 3 2 、 是c s l ，因此e n = j v n ， 1 2 3 2 、= e e n e 一= e e e 一= b e + 命题得证。一 注1 特别地c d c s l ，上述性质亦成立 注2 在c s l 中，e e 一是和e 阽be 一1 - j 相距“最近”的元素 定义2 3 3 设l a t a 是“上的c s l ，a + = i t + i t a ) ，把a n a + 称为a 的对 角，记作d ( a ) 容易知道，d ( a ) 是一个v o nn e u m a n n 代数 l a t a = ：是咒上的c s l ，把( p b ( 丸) p t p a t ) 生成的弱闭代数称为代 数4 的原子对角，记为：口。( ) 命题2 3 3 设l a t a = c 是c s l ，则d 。( c ) 是4 的子代数，并且是一个v o n n e u m a n n 代数 证明：由d 。( 1 的定义，易知d 。( c ) 是一个v o nn e u m m a n 代数 在这里只需证d 。( c ) 以v p t p d 。( ) ，其中t b ( z t ) ，则 p t p a 甘( 一e 7 ) ( _ p t p ) ( e ) = o ，v e 7 c ( 1 ) 当e e 时，注意到c 是c s l ，故e ( f e e 一) = e e e 一， ( ，一目7 ) ( e e e 一) 了1 ( e e e 一) e = ( e e e 一) 一( e e e 一) 】t ( e e e _ ) = o ； ( 2 ) 当e 芝e 时，由c s l 的性质，( e e e 一) e = 0 ， ( ，一e 。) ( e e e _ ) t ( e e e _ ) e = ( e e m ) t o = 0 综合( 1 ) ( 2 ) ( ，一e7 ) ( 尸丁p ) ( e ) = ( ，一e ) ( e e e 一) 丁( e m m ) e = 0 因此d 。( ) 是4 的子代数一 从上述命题知，代数4 的原子对角是a 的对角的子代数由 1 0 】可知，从 c s l 代数一到d 。( c ) 上存在一个标准的期望，这个期望用”表示，定义： ( t ) = p 豳p t p 第二章c s l 代数的肋。理想和共轭不变子空间 1 6 定义2 3 4 设m 是c s l 代数4 的子集，l a t a 是h 上的c s l ，如果对每个 t m 都有 r 丁) = - 1p t p ：0 、z p e a 称肘是原子对角不交的 例2 3 1 由定义2 3 1 知：z j 是g d 册l 代数a 的原子对角不交理想事实 上，任意的p a 和任意的丁1 工j ，都有p t p = 0 由定理2 2 4 ，c d c s l 代数a = a l g e 的任意一个弱闭理想z 对应着一个左 连续的序同态c c ，e 一e ，且e 茎e 现扩大理想z ，使其成为一4 的”更大 ”理想 定义2 3 5 设a ：= a l y f - 是州上的c d c s l 代数，z 是a 的原子对角不交的弱 闭理想，则e e 设e c ，e 是e 所对应的格的序同态像，当e = e e 时，e e f 称为 和z 相邻的原子 记a z = e e e 一：e c ，e = e e 一 对于a z 中的一个子集a l ，定义： z v a = 丽w z + p b ( h ) p ) ，p a ，) 命题2 + 3 4 设c 是州上的c d c s l ，a = a 1 9 , ，z 是4 的原子对角不交的弱闭 理想，z v a i 如上定义，则工v a l 是4 的弱闭理想 证明由命题2 3 3 ， 尸b ( “) 尸) a ，因此z v a l a v a z va l ，则a = 丑十_ p t 2 p ，其中，五工，t 2 b ( h ) ，p a 1 ，任意的 t a 则 t a = 7 ( 五十p 咒p ) = t 五+ t p t 2 p 和 a t = ( 丑十p t 2 p ) a = 丑t + p t 2 p t z 是4 的理想，易知丁五，孔t z z v a l 由c s l 的性质，易证 t p t , 2 p = t ( e 月n ) 五( e f 目一) z va 1 第二章c s l 代数的l i e 理想和共轭不变子空间 和 p t 2 p t = ( e e e 一) 乃( e e e 一) t z v a l 1 7 得证 命题2 3 5 设c 是一个c d c s l ，4 = a 1 9 c ，工是a 的原子对角不交的弱闭理 想，z = 蜀，工v a l = ，则对于任意ee ， 焉j e 当f = e e 一，并且e e e 一a i 。一1e 其它 其中，e = ( e ) ，e = 妒( e ) 证明由命题2 3 4 知，工v a l 是a 的弱闭理想，e l a t a 所对应的序同 态的像可、对任意的tez va 1 满足 = r z e ) t e = 0 ( 1 ) 当面e e 一时；t z v a l ，由z va i 的定义，那么t z ，故e = e ( 2 ) 当厅= e e 一，但是e e e 一掣a 1 时；t z v a i ，由z v a l 的定义， 易得t 工，所以嚣= 豆 ( 3 ) 当豆= e e 一时，并且e e e 一a 1 ；t z v a l ，设t = 噩+ p 乃p ，其 中：t 1 z 、如b ( “) ，那么， ( ，一e ) ( 乃+ p 咒p ) e = ( ，一e ) 乃e 十( j e ) p 马p e = 0 则e = e 定义2 3 6 设l ，是c s l 代数a 的理想，我们定义j 的迹零部分j o 为， i ，o = a 。，打( ( e e e 一) a ( e e e 一) ) = o ，任意的eel 凸t 4 满足d t m ( e e e 一) + o 。) 命题2 3 6 设l ，是c s l 代数a 的理想，则j o 是代数a 的l i e 理想 证明：设ae 。，d ，那么当d i m ( e e e 一) + 。，有 t r ( e 一目e ) a ( e e e 一) = 0 由于d i m ( e e e 一) + ， ( e e e ) a t ( e e e 一) 第二，章c s l 代数的l i e 理想和共轭不变子空间 和 ( e e e 一) t a ( e e e 一) 都是迹类算子 l ，是4 的弱闭理想，t a 故a t t a ， t r ( e e e 一) ( a t t a ) ( e e z l ) = 打( ( e e e 一) a t ( e e e 一) ) 一打( ( e e e _ ) t a ( e e e 一) ) = 0 即：( a t t a ) j o ，所以j o 是4 的l i e 理想一 对定义2 3 5 的弱闭理想z va t ，其迹零部分是： ( z v a l ) o = 司页耐。 工+ p b ( t i ) p ：p a l ，d i m p = o 。) + 。 p ( f j p ：p a 1 ，d i m p = n 。) ) 其中，矗表示矩阵，中的迹零矩阵所构成的l i e 理想 定义2 3 7 设l 是代数4 的l i e 理想，定义l i e 剩余商为 4 ：l = o a ：【o ，z 】l ，v xe4 ， 我们称 a ：l 为由l 生成的a 的l i e 剩余商 命题2 3 7 删设是代数4 的l i e 理想 r 那么【a ：l 】是包含l 的4 的l i e 理想； 进一步，设m 是满足下式的线性流形， l m 【4 ：纠， 则硝是4 的l i e 理想 r 2 ) 若a 是弱闭的，l 是弱闭的，那么【a ：l 也是弱闭的 证明：( 1 ) 先证陋：l 13l 。 设z l a 任意的o a ，则( o z t a ) l ，所以3 2 a ：翻，可得 l f a ：l 。【一：纠，y a a ，由 4 ：纠的定义，o z 一。l 4 ：l 】，因此 a ：纠是 4 的l i e 理想 第二章 c s l 代数的l i e 理想和共轭不变子空间1 9 z m ( _ l ，y a a ，则o 。一x a l m ，故a x z o m ，所以m 是4 的l i e 理想 ( 2 ) 显然一 命题2 3 8 l 1 和如是代数4 的l i e 理想， ， 若l 1 l 2 ，那么， a ：l 1 f a ：l 2 倒若a 是可换的，即v a ，b a 有a b = b a ，并且o l 1 4 那么 a ：l 1 = a ：l 2 1 证明( 1 ) 设z m ：l l 】，v 。a ，则： ( o z x a ) l 1 ，由已知l 1 l 2 所以 ( 。嚣一t a ) l 2 ，故z 【a ：l 2 1 ，弭b 么 4 ：l 1 f a ：l 2 ( 2 3 8 ) ( 2 ) 设y m ：l 2 ，v 。a ，则( 。g y a ) l 2 又a 是可换的，所以o y 一o o l 1 ，【a l 2 a ：l l 】；又由( 2 - 3 8 ) ，故有 a ：l 1 = 【a ：l 2 l 一 定义2 3 8 设是一个c s l ，a = a l g e