（应用数学专业论文）schur+q函数和不相交行走的组合性质.pdf

摘要 摘要 这篇论文主要研究了s c h u rq - 函数和不相交行走的一些组合性质。由 c l i f f o r d 最近提出并发展起来的s c h u rq - 函数上的移位秩理论平行于s c h u r 函 数上的秩理论，它在代数组合以及射影表示论中都具有重要意义。不相交行走 或不相交路是组合数学的另一重要研究对象。不相交行走者模型是指直线上的 一个对称的简单随机行走系统，使得在给定的时间段内，没有一个行走者和 其他行走者相遇。这个模型最早由f i s h e r 在1 9 8 4 年引入到数学物理中。近年 来，该模型受到统计力学家和组合数学家的广泛研究。 本论文由两部分组成。第一部分研究了s c h u rq 函数上的移位秩问题，给 出了s c h u re - 函数上的移位秩的一些组合性质。第二部分研究了不相交行走的 计数问题，给出了三不交行走构形和四不交行走构形的计数公式的组合推导。 第二章和第三章构成了本文的第一部分。在第二章，我们给出了s c h u r 函 数的一个概括性介绍，包括s c h u r 函数的代数定义和组合定义、s c h u r 函数和 对称群的不可约表示之间的联系、m u r n a g h a n n a k a y a m a 法则以及斜s c h u r 函 数的r a n k 和z r a n k 。 第三章主要研究了s c h u re - 函数上的移位秩问题。我们证明了各部分互异 的任一分拆入的移位秩，等于s c h u re a 函数的幂和对称函数展开式中所有项 的最低次数，从而证明了c l i f f o r d 猜想。c l i f f o r d 指出，移位秩的概念可自然地 推广到斜分拆入弘上，定义为所有斜条表中条的个数的最小值。尽管移位秩猜 想对斜分拆并不成立，我们仍给出了一个算法计算移位秩。在本章的最后，对 于任一严格分拆入，我们引进了a 的s z r a n k 的概念，并提出一个公开问题： 对于任意的严格分拆a ，是否总有s z r a n k ( $ ) = s r a n k ( a ) 成立? 第四章是本文的第二部分。我们建立了三格路径对的一个反射原理，利用 该原理把三不交行走构形的计数简化为了二不交行走构形的计数，从而给出了 三不交行走构形的个数所对应生成函数公式的一个组合解释。这一生成函数公 式最初由b o u s q u e t m a o u 和g e s s d 分别独立得到。对于四不交行走，我们同 样找到了一个反射原理，从而导出了g e s s d 的一个公式的组合解释。 关键词：s c h u r 函数，幂和对称函数，移位秩，条表，s c h u re 一函数，不相交 摘要 行走，c a t a l a n 数，反射原理 i i a b s t r a c t t h et h e s i sm a i n l ys t u d i e ss o m ec o m b i n a t o r i a lp r o p e r t i e so fs c h u r sq f u n c t i o n s a n d 访c i o u sw a l k s t h es r a n kt h e o r yo ns c h u r sq f u n c t i o n s ，p a r a l l e lt ot h et h e - o r yo fr a n ka n d z r a n kf o rs c h u rf u n c t i o n s ，w a sr e c e n t l yi n t r o d u c e da n dd e v e l o p e d b yc l i f f o r d i ti so fc e n t r a li n t e r e s ti na l g e b r a i cc o m b i n a t o r i c s ，a sw e l l a si np r o - j e c t i v er e p r e s e n t a t i o nt h e o r y v i d o u sw a l ko rn o n i n t e r s e c t i n gp a t hi s a n o t h e r i m p o r t a n to b j e c ti nc o m b i n a t o r i c s t h ev i c i o u sw a l k e rm o d e li st h es y s t e mo f o n e - d i m e n s i o n a ls y m m e t r i cs i m p l er a n d o mw a l k s ，i nw h i c hn o n eo fw a l k e r sh a s 舶_ e to t h e r si nag i v e nt i m ep e r i o d i tw a u sf i r s ti n t r o d u c e dt ot h em a t h e m a t i c a l p h y s i c sl i t e r a t u r eb yf i s h e ri n1 9 8 4 i nr e c e n ty e a r s ，i th a s b e e ne x t e n s i v e l ys t u d - i e db ys t a t i s t i c a lm e c h a n i c sc o m m u n i t ya sw e l la st h ec o m b i n a t o r i c sc o m m u n i t y t h et h e s i sh a st w op a r t s t h ef i r s tp a r ti st oi n v e s t i g a t et h e s r a n kp r o b l e mo n s c h u r sq f u n c t i o n s ，w h e r es o m ec o m b i n a t o r i a lp r o p e r t i e so fs r a n k a r ep r e s e n t e d t h es e c o n dp a r ti st os t u d yt h ee n u m e r a t i o np r o b l e mo fv i c i o u sw a l k e r s ，i nw h i c h c o m b i n a 七o r i a ld e r i v a t i o n so ft h ef o r m u l a sf o rt h en u m b e r o fc o n f i g u r a t i o n so ft h r e e a n df o u rv i c i o u sw a l k e r sa r eo b t a i n e d c h a d t e r2a n dc h a p t e r3c o n s t i t u t et h e f i r s tp a r to ft h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ， w ema no v e r v i e wo fs c h u rf u n c t i o n s ，i n c l u d i n gt h ea l g e b r a i ca n d c o m b i n a t o r i a l d e 五血t i o n so fs c h u rf u n c t i o n s ，t h ec o n n e c t i o no fs c h u rf u n c t i o n sa n d i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n so fs y m m e t r i cg r o u p s ，t h em u r n a g h a n n a k a y a m ar u l e ，a n dt h e r a n ka n dz r a n kt h e o r yf o rs k e ws c h u rf u n c t i o n s i nc h a p t e r3 w ei n v e s t i g a t et h es r a n kp r o b l e mo i ls c h u r sq f u n c t i o n s w e s h o w t h a tt h es h i f t e dr a n k ，o rs r a n k ，o fa n yp a r t i t i o n 入w i t hd i s t i n c tp a r t se q u a l s t h el 伪陀s td e g r e eo ft h et e r m sa p p e a r i n gi nt h ee x p a n s i o n o fs c h u r sq af u n c t i o n i nt e r m so fp o w e rs u ms y m m e t r i cf u n c t i o n s t h i sg i v e sa na f f i r m a t i v ea n s w e rt o ac o n i e c t u r eo fc l i f f o r d a sp o i n t e do u tb yc l i f f o r d ，t h en o t i o no ft h es r a n k c a n b en a t u r a l l ye x t e n d e dt oas k e wp a r t i t i o n 入 阻a st h em i n i m u mn u m b e ro fb a r s 锄o n gt h ec o r r e s p o n d i n gs k e wb a rt a b l e a u x w h i l et h es t a n kc o n j e c t u r ei sn o t v a l i df o rs k e wp a r t i t i o n s ，w eg i v ea na l g o r i t h mt oc o m p u t et h es r a n k t oc o n c l u d e t h i sc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h en o t i o no fs z r a n kf o ras t r i c tp a r t i t i o n 入a n dp r o p o s e i i i a b s t r a c t a l lo p e np r o b l e m ：f o ra n ys t r i c tp a r t i t i o n 入，w h e t h e rs z r a n k ( a ) = s r a n k ( a ) a l w a y s h o l d s ? c h a p t e r4i sd e v o t e dt ot h es e c o n dp a r to ft h i st h e s i s w be s t a b l i s har e - f l e c t i o np r i n c i p l ef o rt h r e el a t t i c ew a l k s ，w h i c hi su s e dt or e d u c et h ee n u m e r a t i o n o fc o n f i g u r a t i o n so ft h r e ev i c i o u sw a l k e r st ot h a to fc o n f i g u r a t i o n so ft w ov i c i o u s w a l k e r s h e n c ew ef i n dac o m b i n a t o r i a li n t e r p r e t a t i o no ft h eg e n e r a t i n gf u n c t i o n f o r m u l af o rt h en u m b e ro fc o n f i g u r a t i o n so ft h r e ev i c i o u sw a l k e r s ，o r i g i n a l l yd e - r i v e db yb o u s q u e t - m 6 l o ua n d i n d e p e n d e n t l yb yg e s s e l w 色a l s of i n dar e f l e c t i o n p r i n c i p l ef o rf o u rv i c i o u sw a l k st h a tl e a d st oac o m b i n a t o r i a li n t e r p r e t a t i o no fa f o r m u l ad u et og e s s e l k e yw o r d s ：s c h u rf u n c t i o n ，p o w e rs u ms y m m e t r i cf u n c t i o n ，s r a n k ，b a rt a b l e a u x ， s c h u r sq - f u n c t i o n ，v i c i o u sw a l k s ，c a t a l a nn u m b e r s ，r e f l e c t i o np r i n c i p l e a m ss u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ( 2 0 0 0 ) ：0 5 e 0 5 ，2 0 c 2 5 ，0 5 a 1 5 ，8 2 8 2 3 i v 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：蹇全惫 2 d q 年月牛日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： j 。1 一一“一一“。h 。十” 内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) 秘密* 1 0 年( 最长1 0 年，可少于1 0 年) ：机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：霆金焱 为。q 年6 月牛日 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1 b a c k g r o u n d sa n dn o t a t i o n s 1 1 1 b a c k g r o u n d s o n eg o a lo ft h i st h e t i si st os t u d yt h es r a n kt h e o r yo ns c h u r sq f u n c t i o n s s c h u r sq f u n c t i o n sa r eaf a m i l yo fs y m m e t r i cf u n c t i o n s 仉( z 1 ，沈) i n d e x e db y p a r t i t i o n s 入w i t hd i s t i n c tp a r t s t h e ya r i s ei nt h es t u d yo ft h ep r o j e c t i v er e p r e s e n t a t i o n so fs y m m e t r i cg r o u p s s c h u r sq f u n c t i o n sw e r eo r i g i n a l l yd e f i n e db ys c h u r i nh i s1 9 11p a p e r 4 8 】a st h ep f a f f i a n so fc e r t a i ns k e w - s y m m e t r i cm a t r i c e s t h e m a i np o i n to fs c h u r sp a p e rw a st op r o v et h a tt h es c h u r sq - f u n c t i o n s “e n c o d e ” t h ec h a r a c t e r so ft h ei r r e d u c i b l ep r o j e c t i v er e p r e s e n t a t i o n so fs y m m e t r i cg r o u p s ， i nt h es a m es e n s et h a ts c h u rf u n c t i o n se n c o d et h eo r d i n a r yi r r e d u c i b l ec h a r a c t e r s o fs y m m e t r i cg r o u p s i tw a sn o tu n t i lt h e1 9 6 0 st h a ts u b s e q u e n td e v e l o p m e n t s o ft h es t u d yo ft h e s er e p r e s e n t a t i o n sb e g a nt oa p p e a r i n1 9 6 0 s ，m o r r i sw r o t ea s e r i e so fp a p e r s 3 5 ，3 6 】a d d r e s s i n gt h e s ep r o b l e m s ，i n c l u d i n gg i v i n gap r o j e c t i v e a n a l o g u eo ft h em u r n a g h a n n a k a y a m ar u l e o n eo ft h eo b s t a c l e sw h i c hp r e v e n t e d t h i sd e v e l o p m e n tw a st h e1 a c ko fas u i t a b l ec o m b i n a t o r i a ls t r u c t u r ea n a l o g o u st o y o u n gt a b l e a u x t h i sd i f f i c u l t yh a ss i n c eb e e no v e r c o m eb yt h ea d v e n to fs h i f t e d t a b l e a u x t h e s et a b l e a u xf i r s ta p p e a r e di na1 9 5 2p a p e rb yt h r a l l 5 7 ，a l t h o u g h i ti su n c l e a rt h a tt h r a l lk n e wo ft h e i rr e p r e s e n t a t i o n - t h e o r e t i cs i g n i f i c a n c e i nr e c e n ty e a r s ，t h e r eh a sb e e nar e s u r g e n c eo fi n t e r e s ti nt h ep r o j e c t i v e c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n r e p r e s e n t a t i o n so fs y m m e t r i cg r o u p sa n dt h e i ra s s o c i a t e dc o m b i n a t o r i a la n da l g e - b r a i cs t r u c t u r e i tt u r n so u tt h a ts h i f t e dt a b l e a u xa r ec l o s e l yr e l a t e dt os c h u r s q f u n c t i o n sa n a l o g o u st ot h er o l eo fo r d i n a r yt a b l e a u xt ot h es c h u rf u n c t i o n s s a g a n 4 5 】a n dw o r l e y 5 8 h a v ei n d e p e n d e n t l yd e v e l o p e dac o m b i n a t o r i a lt h e o r y o fs h i f t e dt a b l e a u x t h ec o n n e c t i o n sb e t w e e nt h i sc o m b i n a t o r i a lt h e o r yo fs h i f t e d t a b l e a u xa n dt h et h e o r yo fp r o j e c t i v er e p r e s e n t a t i o n so ft h es y m m e t r i cg r o u p sa r e f u r t h e re x p l o r e db ys t e m b r i d g e 5 3 r e c e n t l y , t h es t u d yo ft h er a n ka n dz r a n kt h e o r yf o rs c h u rf u n c t i o n sb e c o m e s a c t i v e r e c a l lt h a tt h er a n ko fa no r d i n a r yp a r t i t i o ni sd e f i n e da st h en u m b e r o fb o x e so nt h em a i nd i a g o n a lo ft h ec o r r e s p o n d i n gy o u n gd i a g r a m n a z a r o v a n dt a r a s o vg e n e r a l i z e dt h en o t i o no fr a n kt oas k e wp a r t i t i o ni nt h e i rs t u d y o ft e n s o rp r o d u c t so fy a n g i a nm o d u l e s 4 2 】ag e n e r a lt h e o r yo fb o r d e rs t r i p d e c o m p o s i t i o n sa n db o r d e rs t r i pt a b l e a u xo fs k e wp a r t i t i o n sw a sd e v e l o p e db y s t a n l e y 5l 】i th a sb e e ns h o w nt h a tt h er a n ko fas k e wp a r t i t i o ni st h el e a s t n u m b e ro fs t r i p st oc o n s t r u c tam i n i m a lb o r d e rs t r i pd e c o m p o s i t i o no ft h es k e w d i a g r a m m o t i v a t e db ys t a n l e y st h e o r e m ，c l i f f o r d 7 】g e n e r a l i z e dt h er a n ko fa p a r t i t i o nt ot h er a n ko fas h i f t e dp a r t i t i o n ，c a l l e ds r a n k ，i nt e r m so ft h em i n i m a l b a rt a b l e a u x f u r t h e r m o r e ，i nh i sp h d t h e s i s 6 】c l i f f o r da l s og e n e r a l i z e dt h e d e f i n i t i o no fb a rt a b l e a u xt os k e ws h i f t e dc a s e sa n dp r o p o s e da no p e np r o b l e mo f d e t e r m i n i n gt h em i n i m u mn u m b e ro fb a r sa m o n gb a rt a b l e a u xo fas k e ws h i f t e d s h a p e o nt h eo t h e rh a n d ，c l i f f o r dh a sn o t i c e dt h a tt h es r a n ki sc l o s e l yr e l a t e d t os c h u r sq - f u n c t i o n ，a ss u g g e s t e db yt h ew o r ko fs t a n l e y 5 1 】o nt h er a n ko f ap a r t i t i o n s t a n l e yi n t r o d u c e dad e g r e eo p e r a t o rb yt a k i n gt h ed e g r e eo ft h e p o w e rs u ms y m m e t r i cf u n c t i o np pa st h en u m b e ro fn o n z e r op a r t so ft h ei n d e x i n g p a r t i t i o np t o g e t h e rw i t hc l i f f o r d ，h ed e f i n e dt h eb o t t o ms k e ws c h u rf u n c t i o n 毛| t ob et h es u m o ft h et e r m so ft h el o w e s td e g r e ew h i c ha p p e a ri nt h ee x p a n s i o n o ft h es k e ws c h u rf u n c t i o ns v pi nt e r m so ft h ep o w e rs u ms y m m e t r i cf u n c t i o n s i np a r t i c u l a r ，t h e yn o t i c e dt h a tt h ed e g r e eo f 专c o i n c i d e sw i t ht h er a n ko f 入 u i s e e 【8 ，5 1 a n a l o g o u s l y , c l i f f o r ds t u d i e dt h el o w e s td e g r e et e r m si nt h ee x p a n s i o n o fs c h u r sq - f u n c t i o n si nt e r m so fp o w e rs u ms y m m e t r i cf u n c t i o n s h eo b t a i n e d t h ef o l l o w i n gl o w e rb o u n do ft h el o w e s td e g r e eo fas c h u r sq f u n c t i o n 2 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h e o r e m1 1 1 t h et e r m s 吖t h el o w e s td e g r e ei nq ah a v ed e g r e ea tl e a s t s r a n k ( a ) m o r e o v e r ，c l i f f o r dp r o p o s e dt h ef o l l o w i n gc o n j e c t u r e ： c o n j e c t u r e1 1 2 ( 7 ，c o n j e c t u r e6 4 】) t h et e r m so ft h el o w e s td e g r e e 讥队 h a v ed e g r e es r a n k ( a ) t h eo t h e rg o a lo f t h i st h e s i si st oe n u m e r a t et h en u m b e ro fc o n f i g u r a t i o n so f t h r e ea n df o u rv i c i o u sw a l k e r s t h ep r o b l e mo fv i c i o u sw a l k e r so rn o n i n t e r s e c t i n g p a t h sw a si n t r o d u c e dt ot h em a t h e m a t i c a lp h y s i c sl i t e r a t u r eb yf i s h e r 【1 0 】i n 1 9 8 4 w h oa l s od i s c u s s e dan u m b e ro fp h y s i c a la p p l i c a t i o n s t h eg e n e r a lv i c i o u s w a l k e r sm o d e li so n eo frr a n d o mw a l k e r so nad - d i m e n s i o n a ll a t t i c e ，w h oa t r e g u l a rt i m ei n t e r v a l ss i m u l t a n e o u s l yt a k eo n es t e pw i t he q u a lp r o b a b i l i t yi nt h e d i r e c t i o no fo n eo ft h ea l l o w e dl a t t i c ev e c t o r s i nr e c e n ty e a r s ，t h ev i c i o u sw a l k e r m o d e lh a sd r a w nm u c ha t t e n t i o n i th a sb e e ns t u d i e db yt h es t a t i s t i c a lm e c h a n i c s c o m m u n i t yw h oh a v eb e e ni n t e r e s t e di nt h e ma ss i m p l em o d e l so fv a r i o u sp o l y m e r a n do t h e rp h y s i c a ls y s t e m s ，a n di n d e p e n d e n t l yb yt h ee o m b i n a t o r i c sc o m m u n i t y w h o s ei n t e r e s ti si nc o n n e c t i o nw i t hb i n o m i a ld e t e r m i n a n t s ，y o u n gt a b l e a u xa n d s c h u rf u n c t i o n s i nt h ea r e ao fc o m b i n a t o r i c s ，t h ep r o b l e mo fn o n i n t e r s e c t i n gp a t h sw a ss o l v e d b yag e n e r a lt h e o r e mo fg e s s e la n dv i e n n o t 1 5 ，i s ，f o l l o w i n gt h ew o r ko fl i n d - s t r s m 【3 2 ，a n dk a r l i na n dm c g r e g o r 【2 5 ，2 6 1 i ti sw e l lk n o w n t h a tc o n f i g u r a t i o n s o fv i c i o u sw a l k e r sc a nb er e p r e s e n t e db yt a b l e a u x s ot h et h e o r yo ft a b l e a u x a n ds y m m e t r i cf u n c t i o n sc a nb ee m p l o y e dt os t u d yv i c i o u sw a l k e r s r e s o r t i n g t ot a b l e a u xa n ds y m m e t r i cf u n c t i o nt h e o r y , g e s s e l 1 4 】o b t a i n e dt h eg e n e r a t i n g f u n c t i o nf o rt h ec o n f i g u r a t i o n so ft h r e ev i c i o u sw a l k e r sw i t hf i x e ds t a r t i n gp o i n t s a n da r b i t r a r ye n d i n gp o i n t s ，w h i c hw a so b t a i n e di n d e p e n d e n t l yb yb o u s q u e t - m 6 1 0 u 1 b yu s i n gt h ek e r n e lm e t h o d l e tu sf i xt h es t a r t i n gp o i n t s ( 0 ，o ) ，( 0 ，2 i ) a n d ( 0 ，2 i + 2 j ) 。l e tv ( i ，j ，冗) b e t h es e to ft h r e ev i c i o u sw a l k s ( l 1 ，l 2 ，l 3 ) o fl e n g t h 记，w h e r el li st h ep a t ho ft h e f i r s tw a l k e rs t a r t i n gf r o m ( 0 ，0 ) ，l 2i st h ep a t ho ft h es e c o n dw a l k e rs t a r t i n gf r o m ( 0 ，2 i ) ，a n dl ai st h ep a t ho ft h et h i r dw a l k e rs t a r t i n gf r o m ( 0 ，2 i + 2 j ) d e f i n e 3 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h eg e n e r a t i n gf u n c t i o nk ，j ( t ) t ob e k ，j ( ) = i v ( i ，j ，n ) l t n ， w h e r ehd e n o t e st h ec a r d i n a l i t yo fas e t l e tc ( t ) ( 1 1 1 ) b et h eg e n e r a t i n gf u n c t i o no ft h ec a t a l a nn u m b e r sg = 击( 蛩) ， t h a ti s ， o o c ( ) = g 俨 n = 0 r e c a l lt h a tc ( t ) s a t i s f i e st h er e c u r r e n c er e l a t i o n c ( t ) = 1 + t c 2 ( ) d ( t ) = t c 2 ( ) = c ( t ) 一1 = g + 1 t n + 1 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) g e s s e la n db o u q u e t - 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