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一个股市价量关系的统计模型 摘要 l ，华尔街有句名言，“价走量先行”。股价和成交量存在非同一般的 【 关系卜已是一个普遍接受的事实。近一、二十年已有不少学者对股价 与成交量进行了深入的研究。一些人提出了著名的双变量模型，用信 息到达次数把收益率和成交量联系起来，目的在于找出股价和成交量 之间的联系，用成交量的时间序列表示产生波动的信息。国外还有人 从信息的角度进行观察。他们建立均衡模型，分析交易量和价格序列 的信息含量，证明了交易量提供了从价格那里不能推测的资产信息， 以及证明了交易量和价格序列是如何揭示信息的。国内也有不少学者 对股价与成交量的关系进行了研究。有人提出基于成交量过程推进的 殳价变化模型，把从时间维度转换到成交量维度，重新构造基于成交 瞳的股价序列进行分析。 上述模型或利用一个与成交量有关的间接变量( 如信息到达次数) 来解释股价的变化，或通过成交量改造股价序列，它们的共同特点就 是间接的描述股价和成交量之间的关系。我们希望得到一个直接的模 型，使得该模型能够从直观上描述收益率和成交量之间的关系。于是 ， 我们参考大量金融文献，仔细分析数据，针对成交量对收益率的影响，i 提出个直接的统计模型。这个模型仅包含成交量和收益率：事实上， 成交量对收益率的影响是很难量化的。我们通过研究，认为成交量的 变化起着重要的作用，并且这种作用是以成交量变化和收益率乘积的 形式出现的。首先，我们将成交量的变化定义为量率，并且认为第一 天的量率和收益率的乘积对第二天的收益率起着不可忽视的影响，就 此我们提出该统计模型。然后，根据股市的走势，分牛市、熊市和盘 整三个阶段，我们分别检验模型的正确性。接着，我们进一步对模型 进行分析，得出单只股票期望收益率和风险的表示形式，以及两个股 票之间的协方差，并且我们得出股票收益率是均方收敛的这个重要的 结论。接下来，我们还讨论了该模型在投资组合方面的应用。最后， 我们分析了该模型本身的特点，对下一步的研究进行了展望。 、 关键字收益率，量率，投资组合，风险，均方收敛 as t a t is t i c a lm o d e l o fs t o c kp r i c e a n dt r d i n gv o l u m e a b s t r a c t i t i st h ef a c t t h a tt h e r ee x i s t sr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e s t o c kp r i c ea n dt r a d i n gv o l u m e m a n ys c h o l a r sh a v e d o n e l o t s o fr e s e a r c ho ni t af a m o u sb i v a r i a t em o d e lh a sb e e np r o p o s e d t of i n do u tt h er e l a t i o n s h i p i nt h eb i v a r i a t em o d e l ，t h el a t e n t n u m b e ro fi n f o r m a t i o n a r r i v a l s j o i n t l y d i r e c t s p r i c e v o l a t i l i t ya n dt r a d i n gv o l u m e o t h e r s u s ei n f o r m a t i o nt h e o r y t od e s c r i b et h er e l a t i o n s h i p t h e ye s t a b l i s h s o m eb a l a n c e m o d e l s ，d e m o n s t r a t e t h a t t r a d i n gv o l u m e p r o v i d e s m o r e i n f o r m a t i o nt h a np r i c e ，a n dh o wt h et r a d i n gv o l u m e a n dp r i c e r e v e a lt h ei n f o r m a t i o nj o i n t l y s o m es c h o l a r si nc h i n a t h i n k t h a tt h ec h a n g eo fp r i c ed e p e n d so nt h et r a d i n gv o l u m e ，w h i c h i sn o ti nm e a n so ft r a d i t i o n a lf i x e d l e n g t ht i m e a l lo ft h e s em o d e l su s ea ni n d i r e c tv a r i a b l et oe x p l a i nt h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e np r i c ea n dt r a d i n gv o l u m e ，o r u s et h e l t r a d i n gv o l u m es e r i e st or e c o n s t r u c tt h ep r i c es e r i e s t h e i r c o 皿。nc h a r a c t e r i s t i c i s t o e x p l a i n t h e r e l a t i o n s h i p i n d i r e c t l y w eh o p et op r o p o s ead i r e c tm o d e lt od e s c r i b et h e r e l a t i o n s h i p a f t e ra n a l y z i n gl o t so ff i n a n c i a lp a p e r sa n dt h e d a t ao fs t o c km a r k e t ，w ep r e s e n tad i r e c tm o d e lo f t h ep r i c e a n dt r a d i n gv o l u m e w et h i n kt h a tc h a n g er a t eo ft r a d i n gv o l u m e a f f e c t st h er e t u r nr a t ed i r e c t l y ，a n dt h i se f f e c tisi nt h ef o r m o ft h ep r o d u c to fc h a n g er a t eo ft r a d i n gv o l u m ea n dr e t u r nr a t e f i r s t ，w ed e f i n et h ec h a n g er a t eo ft r a d i n gv o l u m ea sv o l u m e r a t e a n dc o n s i d e rh o wr e t u r nr a t et + ld a y sr e t u r nr a t e i s a f f e c t e db yt h etd a y sv o l u m e t h e nw ep r e s e n tt h es t a t i s t i c a l o fd e s c r i b i n gt h ep r i c ea n dt r a d i n gv o l u m e a f t e rt h a t ，w eu s e t h ed a t ao fs t o c km a r k e tt ot e s tt h em o d e l t h e nw et e s tt h e m o d e lb yu s i n gt h ed a t ao fs t o c km a r k e t w i t ha n a l y z i n gt h e m o d e l ，w eg e tt h er e s u l t so fe x p e c t e dr e t u r nr a t e ，r i s ko f a s i n g l es t o c k ，a n dc o v a r i a n c eo ft w os t o c k s ，a n dp r o v et h a tt h e e x p e c t e dr e t u r nc a nc o n v e r g e t oar a n d o mv a r i a b l ei nt h e m e a n s q u a r el i m i t w ea l s oa p p l yt h em o d e li n t h ep o r t f o l i o a tl a s t ，w eg i v es o m ec o m m e n t sa n dd i s c u s s i o no nt h em o d e l k e y w o r d sr a t eo fr e t u r n ，r a t eo fv o l u m e ，p o r t f o l i o ，r i s k ，m e a n - s q u a r e c o n v e r g e n c e 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于， 不保密口。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名：柱氧 1 日期：o ；年月6 日 指导教师签名： 日期：够年z 月，细。 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：程象 j 日期：沙d 多年上月l6 日 海交通大学坝：【：论文 第一章绪论 第一节发展历史仅考虑价格 要研究殷市的价量关系，还得先从时问序列经济计量学说起。时间序列经济 计量学一个重要的研究方向，是探索经济时间序列数的动态结构，研究它们的统 计特性，理解这些经济数据的特点和性质，从而能有效的利用经济数据构造和建 立经济计量模型，并用作经济预测。每天，股市都会产生大量的股票价格变化和 相应成交量的数据，它们是人们关心的对象，也是时间序列经济计量学研究的重 要对象。 传统的时问序列经济计量学在进行这些研究时，通常假设经济数据和产生这 些数掘的随机过程是平稳过程，在此基础上对经济模型中的参数作估计和假设检 验。平稳过程是数理统计和随机过程理论中最常研究的一种过程，已有很多成熟 的研究结果m 。以下给出平稳过程的定义： 定义1 1 1 ：单变量的平稳过程 随机过程扛，f = 1 , 2 ， ，其中x ，为一随机变量，是平稳过程，若 ( a ) 在每一时刻f ，= 1 , 2 ，x ，的期望为一常数，e ( x ，) = 0 0 ( b ) 饽，= l 2 一) 二一阶距有穷，且协方差c o v ( x ，x ，) ，只与随机变量一、x 7 在 过程中的间隔f j 有关，而与它们的具体位置无关，即 c o v ( x ，x 卜。) = f ( ( z ，一) ( x ，一。一声f ) = u 。 o o 但是，许多经济指标的时制序列数据并不具有平稳过程的特征。比如，英国 的m 货币的供应量和物价指数的年时间序列都不会由平稳的随机过程生成，因 为它们显然不具有固定的期望值。 对于由非乎稳过程生成的时间序列数据，传统的数理统计和经济计量学的方 法显得无能为力，特别是这时传统的中心极限定理不再适用。 值得注意的是，如果对英国m 1 货币的供应量和物价指数的年时间序列值取 一阶差分，则其图像表现出平稳过程的特征。这就是所谓的单位根过程。在特殊 情况下，就成为随机游动过程。我们先介绍随机游动过程。 定义1 1 2 ：随机过程 y ，= 1 , 2 ， 称为随机游动过程，着 y ，= y f l + f ；，= 1 , 2 ， 其中， 占，) 为独立同分布，且e ( s ，) ；0 ，d ( e ，) = e ( s ? ) = 盯2 o o 。 较随机游动更一般的，是单位根过程。 海交通大学颂： 硷文 定义1 1 3 ：单位根 随机过程 y ，f = 1 , 2 ，) 称为单位根过程，若 y r = 历一i + “，；f = 1 , 2 ， 其中，p = 1 ， “，) 为一平稳过程，且e ( u ，) = 0 ，c o v ( ”，。) = 1 。 0 0 5 ，残羞符合正态分布 3 牛市的情况 从2 0 0 0 年1 月4 闩到2 0 0 0 年8 月9 日，大盘指数在5 1 9 行情沉寂一段时间 后，再次上冲，形成一个牛市，我们对数据进行分析，得到参数如下： q = 08 0 2 9 4 7 对残差进行正态分布检验得 均值 8 9 3 1e 一0 4 标准差 2 1 6 2 e 一0 2 检验值 2 5 5 概率图纸如下： n o r m a lq qp l o to fv 1 o o s e r v e dv a l u e 显然0 2 5 5 0 0 5 ，也就是说残差满足正态分布。 通过上述对模型的检验，我们可以看出模型是可以接受的，也就是随我们找到了 一个可以较好描述股i l i 价量关系模型。此外，对盘整、熊市和牛市的三种情况， 憎分别为0 0 0 0 7 3 ，0 0 0 0 7 9 和0 0 0 0 8 9 ，因此，我们可假设模型中，f ，= 0 。 一azieu !；一口gzila ! ：塑奎鎏查堂些生笙兰一一 第三章模型的分析及应用 在上一章，我们得到了一个量率和收益率的模型，并通过数据检验，验证了 这个模型是可行的。在本章中，我们开始对模型本身进行分析，并计算单只股票 的收益率和风险，以及两只股票的协方差，然后讨论此模型在投资组合中的应用。 以下分析不加说明的都是计算第f + l 天的收益率。 第一节模型的分析 定理3 1 ：记圪= 玎( 1 + a v ，) k = 1 2 ，i ，( i ) 若e ) 与 ，v ， ，( f ，= 0 , 1 2 ) ；i 独立，则占是口的无偏估计。( i i ) 若 r 2 v ，) 为平稳过程，且协) 与，0 和 v ，) ( f ，= 0 , 1 ，2 ) 相互独立，则a 是“的渐近无偏估计。 证：由( 1 ) 可得： l + 1 = + a v 。+ = ( 1 + 删，) + 占川= l l ( 1 + j ，) ( 1 + 伽卜1 ) + 占川+ 占r ( 1 + 鲋，) 一= r o ( 1 + 倒，) ( 1 + 倒川) ( 1 + 伽o ) + 占+ 占，( 1 + 伽，) + s 川( 1 + 倒，) ( 1 + o w h ) + + 占f 1 + 倒) ( 1 十倒旧。) - ( 1 + c w l ) 注意到，k = 兀“+ g w ，) ，则上式化为 j = k + l = + 占+ l + 以吒 注意到，s 。与v 。独立，则f 。与v ，也是相互独立的，于是f 一与l 也是相互 独立的。 由( 1 ) ： 一1 ( v ，+ s “) v f _ i 一， 1 2 v ? ，= i 嘶2 v 卜s 。v 一生j 生一 一 一i 1 2 v ? 一i 、 r , 1 ， i = 口+ 爿丁一 2 v ? l 】 ( i ) 若 8i ) 与 q v j ) ( i j = o ，1 2 ) 独立，则有 v 一 一一 l 一蜉一一矿 “而 m r 厶生= 口 e a = e a + - 】 = 口+ ，；l 海交通大学顾小论文 口+ e 即占是口的无偏估计。 ( i i ) 若 ，v ， 为平稳过程，且慨) 与和 v 烈f ，= 0 , 1 ，2 ) 相互独立，则有 n - 1 s 。 e a = e a + 专甚广) = 口+ e 2 、，； f t l 因为 r j r ， 为平稳过程，则p 川r ，v ，) 和 ，? v ；) 均为平稳过程，则 e ( s 2 r i r ) = e c 2 e ( r , v 1 ) = 0 于是上式当斗0 0 时，就有 e a = d + e f 即占是口的渐近无偏估汁。 证毕。 ) 与叶器卸 在下面的各定理中均假设溉 与和 v ( f = 0 , 1 ，2 ) 相互独立。 第二节单个股票的收益率和风险 当我们得到这个可以恰当描述收益率和量率的非线性模型后，我们来看看单 个股票的收益率和风险。 定理3 2 ：设单只股票第0 天的收益率是r o 是常数，令圪= 兀( 1 + a v ，) ( k = 0 , 1 2 ，i ) ，则此股票第i + 1 天收益率期望为 4 乒w h 靶w 一一 觏莎 乒驴 导矽 嚣 豢 海变通大学硪j 论文 方差为 d ( 1 “) = 右d + 仃三f 也即第f + 1 天股票收益率的风险为4 ，o d v o + c r y , ， 证：由( 1 ) 可得： k = + 占+ 吼圪 注意到，f ，与v i 竹l 互独立，于是 e r , re ( r o v o + e + 1 + 气圪) = e , - 0 v 0 + e s 十e o 圪 女= i k = l = e + 0 + 0 = e 下面我们再来计算第i + 1 天收益率的方差。我们有， d ( 0 1 ) = d ( r o v o + f 。+ 毛) = d ( r o v o ) + d ( s h ) + d 毛 k = l = + 2 c o v ( v o ，唧k ) = q d v , ，+ 盯五+ 2 c o v ( k ，) = i k = l 又 c o v ( v 0 ，吼k ) = e ( ( v o 一) ( 吼圪一e 吼圪) ) = e ( ( v o e v o ) z 吼k ) = e ( v o 唧圪一唧l e v o ) = lt df ；l = e 吼v f o - e 吼v , e v o 女- j女= i = e ( e k v k v o ) 一e ( e k v k ) e v o 注意到，s ，与相互独立，于是 c o v ( v o ，“k ) = 0 即j 9 ( k ，) = 4 d v o + 盯2 ，证毕。 由此可见，第i 天平均收益率与前f 天的成交量率均值和第0 天的收益率有 关，量是股价的动力t 量的变化 巳决定了收益率。收益率的波动可分聋两部分， 一部分是督d ，代表成交量率的变动及第0 天收益率对笫f 天平均收益率的贡 献，这是市场波动体现在成交量率对收益率波动的贡献，另一部分是以，可以 海交通大学颈= l 论义 看作是这段时期股票自身的波动。 第三节两只股票的协方差 针对两只股票，我们有如下结论： 定理3 3 ：设f 股票和s 股票的第i + 1 天的收益率分别为l ! 净o 譬，则它们的 协方差为c o “”l * 1 ) = ，0 ”球“c o v ( v o ) , ) ，其中圪”= 兀( 】+ 伽) ，石= ，j 。 ，t 证：由( 8 ) 可知，这两只不同的股票收益率分别如下， j， ? ? = 0 v o ”+ s 船+ ”啄”和l 等= 略”咏“+ f 卜m 嘭舢 ；l。i 于是有， 于 c o v ( ! ? ，笄) = 以( 略”瑶”+ s 删+ s 吲“一0 ”e 啄”) ( 呓”w ”+ s 卜s w 一_ ，e 曙”) r i 又因为f 股票和j 股票的残差和巧”及嘭”两两之间都是独立的，于是上式等 c o y ( c ，o ：i ) = ( ，i ”昧”曙”一巧o e 略。拶曙。) = 0 0 e ( 瞪曙一e 略“e 珞”) = 0 0 c o v ( 曙”，曙一) 证毕。 从以上计算可以看出，当我们选择两个股票的时候，他们之间的协方差完全 由它们的量率确定。两者本身的波动被相互抵消了。 第四节股票期望收益率的收敛性 人们希望能够有效的预见股票收益率在足够长的时间内有什么样的变化。在 某些条件下，股票的收益率是可以预测的。下面的定理能够说明这点。 定理34 ：对单只股票，没凸亏 + 。，d ，= o ( j = 1 , 2 ，) ，盯； 0 ，3 n ，使得 e v ； n n ，由模型应有 o + 。= 略州+ 占。+ “啄“ k ，= + s 。+ 毛嘭” 于是 。一_ + ，1 2 = ( w ”+ s 。+ l + 善s + 嘭 一( 瑶”) + s 。+ + 喜占。嘭吣) 1 2 = k ( w 叫一略”) + ( + 一c n + 1 ) + ( 巳w 一s 。w ”1 ) l zr 0 ( v 0 o - v 0 ) 1 2 + l c 善。w ) 一荟ns 。r i i ，+ c s 。+ l s 。i ，i2 我们先看e 州一略m ) 2 的性质： 首先，我们有 e 川一曙m ) 2 = e ( 1 + 倒。) ( 1 + 伽，) ( 1 + ) 2 e o + 倒。) ( 1 + g v 。) 一1 】2 因为 e r l + 倒。) ( 1 + 1 2 w i ) ( 】+ 伽。) 】2 = e ( 1 + a v 。) 2 ( 1 + a v 。) 2 】 ：1 e ( 1 十倒：兀ne ( 1 + 2 洲，+ 口2 v ；) = 卉( 1 + 2 咖，+ 口2 西；) 由题意， e v ，= 0 于是 一 l 丌n ( 出，+ 口：西沪f 1 ( 1 + 口一陋驴。“。 因为 ! 塑奎翌盔堂塑! ：丝兰 一 e v ； a 所以，当， k 时，e v ；充分小，于是 即 因为 l n ( 1 + 口2 e v ；) a2 e v ； i n ( 1 + 矿e v ；) 口2 e v ； 2 = k i = k e v j n 所以口2 e v ；有界。也就是说， 。砉岬一n 2 ) ：8 妻i = ( i m 2 州) + i 主= k * ( 1 v 。有界，即j m o ，使得 e 【( 1 + 鲫。) ( 1 + ，i ) ( 1 + ，) 】2 n l ，使得当，” n 2 时，有 e ( 1 十( 1 + 伽1 2 n 2 时，e r o ( v o ( 川一瑶”) i2 ，时，有 盯； 1 并且存在一个正实数b ，使得对任意的，有盯； n 4 时，我们有 砉盯；e ( 嘭l 略m ) 22 善盯；e ( 碟一嘭12 。善4 - ，e ( 嘭一w ”1 ) 2t t l k = 【 海交通大学硕：j ：论史 因为对任意的k ， e ( 呀w 一曙”，) ：e i 以w ) ：r i + 鲫。) ( 1 + 0 9 2 。) 一1 】2 = e ( 砟”) 2 e o + 倒。+ ，) ( 1 + 倒。) 一1 】2 与前面分析类似，我们可以得到，对上述s 0 ，存在整数n ；和一个实数c ，使 得当聊，月 。时，有 e ( 吲一啄“) 2 ( 1 s 于是我们有 一e ( 曙一啄) 2 n 4 b c c 和 善n 搴e 哆一y 丫 ：j n4 8 c s m ，时，有 盯；e ( 叼 现在我们来看盯；e ( 唆“) 2 + o l + l + 盯二 t i 由前面分析可知e ( w ) 2 有界，即存在整数n ，和大于零的实数f ，使得当 埘，n n ，的时候，e ( w 川) 2 f ，于是 羔盯；e ( 曙”) 2 + 盯。2 + 仃：+ f e + s + 占= f f + 2 ) e 0 ，使得当 m 月 n 时，有 e h + 一k 。1 2 2 l r o ( 搿“ o 代表买入( 做多) ，n ， o 代表卖出( 做空) ，那么称向量( l ，：，。) 为投资者的投资组合。 令 w ，= l ( i ，= 1 2 月) 则我们把向量( w ，w ：，w 。) 称为投资组合比例。 假设市场上有n 种风险资产，其收益率分别为r ，r i - ) ，我们以向量 ( r ”，r ”，”) 表示。投资者投资于此月种风险资产的投资组合比例为 w = ( w ，w ：，m ，。) ，那么该投资组合可以记为j r ，= w ，r “1 。于是该资产组合 f ；i 的期望收益率为e ( r 。) =w , e ( r 7 ) 。庀两资产收益率的协方差为 盯= c o v ( i “，( f ，= l ，2 ， ) ，其对应的协方差矩阵记为= p f ) ，于是资 产组合的总风险为盯：= w z w 。我们应用得到的模型，就有 定理4 5 ：设有n 只股票，每只股票第i + 1 天的收益率分别为* ( t ；1 , 2 ，n ) ， 投资组合比例为h ( f ：1 , 2 ，) ，即满足w = 1 ，则投资组合收益率为 ，2 1 r ，= w ，! ? ，且该投资组合收益率风险为 f = 【 海交翅大学倾。l 论史 瓦啊= 拓面 其中 a = w ，培”c o v ( ，v 0 州) 一i = i b = 以盯j ”2 证 d ( r ，) = w ，c o y ( c , ，l ：) 。 i = 1 = i = w ，w kc o v ( z ，竺) + w ，w 。c o v ( c ；，删) ，# 女j ； = i = w ，w 。巧”c o v ( v o 曙) + w ? 咭”巧c o v ( 聪”，v o ) + 砰( 盯j 。) 2 ，a l，= l = w ，m c o v ( z o 7 ，- i - l = a + b ，w ) + w ? ( 盯j ”) 2 证毕。 从上述推导中可以看，组合收益率的市场风险a 可由”只股票的量率组合的协 方差表出，而且当分散投资的股票个数越来越多的时候，做为非市场风险存在的 b 将趋于零。 ：海交通大学埘j 论史 第四章结束语 对于一个股市投资者来说，他所关心的不仅仅是股价的高低，而更在意收益 率的大小。当他在股市上投入元钱以后，能产生多少回报是他所真正关心的。 当他根据股票基本面做出买入还是实出的决策后，在决定买入点还是卖出点时， 成交量的变化是其考虑的关键。本文根据收益率和量率，提出一个非线性的描述 股市价量关系的统计模型。通过统计检验，我们认为所提出的模型是可行的。在 这个模型中，收益率和量率的关系是直接给出的，没有任何中间变量，而且也没 有对原始数据进行修j 下。并且我们由模型得出，收益率在一定的条件下是可以由 它的量率来确定。 模型还有需要进一步分析的地方。首先，我们在检验模型时，采用的是分段 检验的方法，而在分析的时候用的是统一的模型，其中的差异有待进一步的分析。 其次，在检验过程中，我们发现误差项是近似的服从正态分币i ，因此可以考虑误 差项满足肥尾分布的情况。还有，定理3 4 中的条件比较强，我们可以放松条件， 考虑概率意义下的收敛性。最后，在收益率预测方面，我们需要确定其在定显 著水平下第，+ 1 天收益率预测值的鬣信区间，这是很重要的一个方面，直接关系 到这个模型的实用性。 模型也有很多值得改进的地方。首先，在模型中，我们认为第f 天的收益率 是直接对第i + 1 天的收益率产生影响，如果更深一步的话，可以考虑在第i 天的 收益率前加上一个参数，认为第f 天的收益率对第i + 1 天的收益率的影响可以 有口倍数的波动。相应的，模型为如下形式 “= 成+ ( 珥v ，+ 占，+ 当然参数a 和卢代表的是当时某段时期内的股市状况，是常数。 更一般的，我们对a 和进行细化。我们认为a 和不是常数，它们是可 以变化的，是一个每天都在变化的随机过程。乜就是既，它们代表的是每天的股 市状况。相应的，模型可以是如下形式： r j “= p j r j 七? r j v j 七j “ 至于口和口满足什么样的随机过程，很值得推敲。 让我们回过头来研究模型，可以看到，模型仅仅考虑了第i 天的收益率和量 率对第f + 1 天的收益率的影响，我们可以称之为1 阶的模型。进一步，i 我们可以 考虑第f ，i l ，i 一天的收益率和量率的影响，我们称之为k + 1 阶的模型。按照 怎样的算法来确定七的值，使得模型能够更符合实际，也很值得进一步研究。 海变通犬学倾i ：论文 从更高的层次来看，本文的模型实际上是如下模型的一个特例 “= ，( ，v 。) + 占，+ 上式中的厂( ，v ，) 是指和v ，的函数，代表l 和v ，对k l 的影响的量化函数。我们 相信肯定有其他的函数形式，使得在该函数形式下的模型比本文提出的函数形式 能更好的模拟股市数据，并能进一步的预测下一步的收益率。 本文所提出的模型还可以推广到连续时间情况， d r ( t ) = a r ( t ) v ( t ) d t + 盯2 d b ( 1 ) 其中b ( t ) 为b r o w n 运动。或更一般地 d r ( t ) = 厂( ，( 咄v ( t ) ) d t + c r ( r ( t ) ，f ) 柏( ，) 其中量率 v ( t ) ) 是一个随机过程。若从随机控制论的角度看，可把 v ( t ) ) 看作一个 可控制的随机过程。实际上，股市上大户操纵股市价格，就是通过控制成交量来 达到其目的的。至于量率过程是一个具有什么性质的随机过程很值得进一步研 究。 i f | = 变通火学坝l 论文 参考文献 【1 1 陆懋机t 曲等时间序列经济计量学1 海人民龊礼i9 9 9 f 2 】e n g l e rf ，a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t r o s k e d a s t i c i t mw i t he s t i m a t e se lt h ev a r i a n c e o f u n i t e d k i n g d o mi n f l a t i o n s e c o m ) m e t r i c a , 1 9 8 2 v o l u m e5 0 。9 8 7 1 0 0 7 3 b o l ie ls l e v ，t ，g e n c l “l iz e da t l f o r e g te s s i v ec o n ( 1 ir jo n h lh e t e r o s k e d a s t i c i t y ，j o b r n a lo f e e o n o u l e t ii c s ，1 9 8 6 ，v o l u m e3 1 ，3 0 7 8 2 7 【4 】n e l s o n ，db ，c o n d i t i o n a lh c t e r o s k c d a s t i c i t yl na s s e tr e t u t n s ：an e wa p p e a c h ，e c o n o m e t r i o a , 1 9 9 1 ， v o l u m e 5 9 ，3 4 7 - 3 7 0 【5 1刘国旗，非线性g a r c h 模型枉中固股市波动预测中的舸用研究，统计研究，2 0 0 0 年第i 期，4 9 5 2 【6 】陈忠潍，杨启智，胡金泉中国股架市场的波动悱研究e g a r c h m 模型的碰用，决策借箍，2 0 0 0 年1 0 月