（应用数学专业论文）时变种群系统的最优控制.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 对种群系统的最优控制的研究具有十分重要的经济价值和实际意 义，近二十年来，人们越来越关注具有年龄结构和空间扩散的时变种 群动力系统l o t k a m c k e n d i c k 模型的最优控制问题。本文在泛函分析和 分布式参数系统最优控制理论基础上，主要研究具状态观测的单种群 系统的最优控制，三种群捕食与被捕食系统及n 维食物链模型的最优 收获问题。 本文在非线性单种群系统中考虑到自然生育率和死亡率受种群总 体数量因素的影响，研究具状态观测的最优控制。首先，根据第二章 的预备知识，出紧性定理和m a z u r s 定理证明系统控制问题最优解的 存在，并借助于法锥概念得到了控制问题的最优必要条件。其次，以 收获率为控制变量讨论了三种群捕食与被捕食系统的最优收获，用种 群系统的比较原理和b a n a c h 不动点原理证明了系统解的存在唯一性， 得到最优收获问题的必要条件，进一步证明最优控制的存在。最后， 把三种群的系统推广到n 个种群g o n 维食物链模型，研究其最优收获问 题，得到类似的结论。 关键词：最优控制，状态观测，最优收获，年龄结构， j 空间扩散，种群系统，食物链模型，最优条件 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h es t u d yo ft h eo p t i m a lc o n t r o lo fp o p u l a t i o nd y n a m i c sh a si m p o r t a n t e c o n o m i cv a l u ea n dp r a c t i c a lm e a n i n g r e c e n t l yp e o p l em o r ea n dm 6 r e a r ec o n c e r n e do ft h ec o n t r o lp r o b l e mo ft i m e v a r i n gp o p u l a t i o nd y n a m i c s l o t k a m c k e n d i c km o d e lw i t ha g e d e p e n d e n ta n ds p a t i a ld i f f u s i o n o nt h e b a s i so ft h ef u n c t i o n a la n a l y s i sa n dd i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m s ，t h ep a p e r c o n s i d e r so p t i m a lc o n t r o lf o ran o n l i n e a rp o p u l a t i o nd y n a m i c sw i t hs t a t eo b - s e r v a t i o n ，o p t i m a lh a r v e s t i n gf o rp r e d a t o r - p r e ys y s t e mo ft h r e es p e c i e sa n d n d i m e n s i o n a lf o o dc h a i nm o d e l o nt h eb a s i so fp r e s e n t e dr e s u l t s ，w et a k ea ni m p o r t a n tf a c t o rt h a tt h e n a t u r a ld e a t h - r a t ea n df e r t i l i t y r a t eo fa ni n d i v i d u a ld e p e n d so nt h et o t a lp o p - u l a t i o ns i z ea tt h et i m ei n t oa c c o u n ti nt h ea r t i c l e ，a n di n v e s t i g a t et h eo p t i m a l c o n t r o lw i t hs t a t eo b s e r v a t i o n f i r s t l ya c c o r d i n gt op r e l i m i n a r yk n o w l e d g ei n c h a p e r 2 ，w ee s t a b l i s he x i s t e n c er e s u l to fo p t i m a l c o n t r o lb yt h eb a n a c hf i x e d p o i n tt h e o r yu s i n gt h en o r m a lc o n e a tt h es a m et i m e ，t h ep a p e ra n a l y z e s o p t i m a lh a r v e s t i n gf o rp r e d a t o r - p r e ys y s t e mo ft h r e es p e c i e s ，w h i c hi sc o n t r o l l e db yf e r t i l i t y , t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o nf o rt h es y s t e m a r ep r o v e nu s i n gt h ec o m p a r i s o np r i n c i p l eo fp o p u l a t i o nd y n a m i c sa n dt h e b a n a c hf i x e dp o i n tt h e o r y , a n da l s og e te x i s t e n c er e s u l to fo p t i m a lh a r v e s t - i n ga n dn e c e s s a r yo p t i m a lc o n d i t i o n s f i n a l l y ，w ee x t e n dt h et h r e es p e c i e s s y s t e m t ot h end i m e n s i o n a lc h a i nf o o dp o p u l a t i o nd y n a m i c sa n dd i s c u s si t s o p t i m a lh a r v e s t i n g ，w eo b t a i nt h es i m i l a rr e s u l t k e yw o r d s ：o p t i m a lc o n t r o l ，s t a t eo b s e r v a t i o n ，a g e d e p e n d e n t ， o p t i m a lh a r v e s t i n g ，s p a t i a ld i f f u s i o n ，p o p u l a t i o n d y n a m i c s ，f o o dc h a i nm o d e l ，o p t i m a lc o n d i t i o n 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密叼。 学位论文作者签名：胆走军指删币躲修凡 2 。b 年i 月 日2 v 。易年1 1 月幻 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：j - 疋壶军 日期：2 u t 易年i t 月 日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景和价值 2 0 世纪初，生物物理学的发展促进了数学向生物学进一步渗透，人们应用 各种数学工具，建立起各种各样的数学模型模拟生命过程。数学物理方法把微 分方程模型带进生物学领域，生态模型在严格的假定条件下推导出来，它们有 严格的数学和物理学的基础，表达式简练，精确地描述了一些理想情况下生态 过程的变化。1 9 1 1 年s h a r p 和l o t k a 考虑到对于不同年龄的种群的个体，将有不同 的生育率与死亡率，于是按年龄区别来改进m a l t h u s 人口模型而得至i j s h a r p l o t k a - m c k e n d r i c k 年龄结构线性模型： i 甓+ 丽o u = 一i z ( a ) u ( a ，t ) ， o 0 ， 0 ， , 4 0 ，t ) = 蔚”卢( b ) u ( o ，t ) d a ， 【u ( o ，。) = 二( 。) ， 接着一系列关于生物数学模型的研究工作都发展开来。人类的生存环境状况 越来越不容乐观，乱捕乱伐破坏了种群食物链结构，致使某些种群灭绝。因 此，对种群系统的研究已是刻不容缓，生物种群系统的最优控制在这种情况 下异军突起。1 9 8 5 年，德国学者m a r t i nb r o k e 首次研究了具有年龄结构的种群 动力系统的最优控制问题，证明了控制问题的p o n t r y a g i n s 极大值原理。1 ，接着 又研究了具有连续年龄结构的最优收获问题。因为研究种群系统的最优控 制问题具有十分重要的实际意义，所以许多学者都致力于这方面工作，特别 是g u r t i n ，m u r p h y “”及s m i t h ”为这方面研究奠定了基础，他们的工作主要是在非 周期环境下考虑最优控制的最优性( 极大值原理) 和最优控制的近似方法。 种群系统的最优控制是控制理论在生物种群上的应用，现代控制理论研究的 问题主要包括以下几个方面：( 1 ) 最优控制规律的寻求。如何根据给定的目标函数 和约束条件，寻求最优的控制规律的问题，即最优控制问题。在解决最优控制问题 的方法中，庞特里亚金的“最大值原理”和贝尔曼的“动态规划法”得到了较为广泛 的应用；( 2 ) 系统数学模型的确定。如何根据系统的输入和输出确定系统的数学模 型，即系统辨识问题；( 3 ) 状态向量的求得。在系统数学模型已经建立的基础上， 如何根据受随机干扰的输出来求状态向量，即最优估计问题；( 4 ) 最优控制和自适 应控制的实现。如何用辨识系统动态特性的方法随时调整控制规律以实现最优控 制，即自适应控制的问题。 从理论上讲，施加于系统的控制作用，在于影响系统的行为，以达到某种预 定的目标，当控制作用是为了系统的性能按某种指标达到最小( 或最大) 时，就是 最优控制问题。显然人们设计控制系统总希望他达到某种最优的性能，例如我们 江苏大学硕士学位论文 从事某项工作时，总希望在已有的条件下，能以最小的代价换取最大的收益，采 取何种手段来达到这样的目的就是我们要研究的最优控制问题，也就是现代控制 理论研究的第一个方面。 人类认识客观世界和改造客观世界的历史进程总是由低级向高级，由简单到 复杂，在控制领域也是这样。最先研究的控制系统都是线性的，但是随着科学技 术的不断发展，人们认识的不断深入，逐渐意识到了任何一个实际的物理系统都 是非线性的。非线性是普遍的现象，而所谓的线性只是非线性在特定的条件下的 一种特殊的表现形式。因此，近年来非线性问题已成为控制领域的热门研究方 向。 在进行控制系统的研究时，通常将其划分为线性和非线性琵大类。线性系统 用常微分方程来描述，称为集中参数系统，系统在每一瞬时状态是有穷维空间中 的一个点，具有有穷多个自由度。非线性系统用偏微分方程或偏微分积分方程， 或偏微分方程与常微分方程的耦合方程来描述，称为分布参数系统，具有无穷多 个自由度，系统在每一瞬时状态都是一个函数，是无穷维空间的一个元。古典控 制论主要研究集中参数控制，但现实世界中所发生的各种现象，大部分是非线 性，如用粱振动方程描述导弹结构弹性振动的控制系统，用梁振动偏微分方程和 常微分方程的耦合方程来描述的柔性_ 冈0 性机器人的控制系统，物体温度变化，地 下水渗流，汽油形成，生物种群演化等都是分布参数系统。现代控制论的研究方 法从建立在传递函数基础上的频域法，发展为建立在状态空间上的时域法，其研 究对象从线性系统发展到非线性系统，从确定性系统发展到随机系统，从集中参 数系统控制，反馈控制发展到最优控制。对被控系统根据工程实际要求提出实现 准则，寻求系统在满足一定条件下，使实现准则达到最优的控制方案，就是最优 控制研究的课题，最优控制理论已成为现代控制理论的重要组成部分。 几十年来，最优控制理论在系统工程，经济管理与决策，特别是空间技术等 众多领域都有其广泛的应用，收到了非常显著的效果。人们对最优控制的研究日 趋深入，如今对分布参数系统的最优控制研究已成为学术界非常活跃的一门学 科。特别是对种群系统的最优控制正处于数学，生物学和计算机科学交叉发展的 前沿。 1 2 研究现状和趋势 具有年龄结构的种群动力系统的最优控制是分布参数系统最优控制在种群 系统上的应用，分布参数系统主要向最优解的存在性，最优性条件，系统的 可控性，稳定性和最优控制问题的求解等方向发展。在最优解的存在性及最 优性条件方面，人们根据不同系统作了大量工作，由于分布参数本身的复杂 2 江苏大学硕士学位论丈 性，早期的研究工作主要集中在线性，半线性且不考虑对状态和控制约束的情 形。a h m e d 和t e o ( 1 9 8 2 ) 的i 作最具代表性”。a h m e d ( 1 9 8 9 ) 利用算子半群、伴随系 统及变分不等式等工具，把分布参数系统最优控制理论引入到参数识别之中， 在b a n a c h 空间中，给出了该领域的一抽象理论体系”。 f a t t o r i n i 系统讨论了b a n a c h 空间中的最优控制问题、最优解的存在性及其最 优性条件，给出了具有非线性边界条件分布参数系统的非凸最优控制的最大值 原理，对具有状态约束最优控制问题的p o n t r a g i n 原理进行了深入研究”“。同时 对最优控制理论( 主要是关于最优解的存在性及其必要条件) 及所作的工作进行 了全面的概括和总结”“。在f a t t o r i n i 等人的工作基础上，r a y m o n d 与z i d a n i ( 1 9 9 9 ) 着 重研究了半线性抛物系统的最优控制问题，在边界条件的非线性项既不单调又 非l i p s c h i t z 连续及分布，边界控制没有有界性约束的条件下，利用一种新的正则 性结果，获得了关于分布、边界及初值控制的三个分离形式的p o n t r y a g i n 原理，且 该结果可以应用于具有状态约束的最优控制问题之中“”。 近几年来许多学者致力于年龄结构的种群动力系统最优控制问题的研究， 得到了不少研究成果。这些文献中所选控制变量有收获率、迁移、生育率及 边界。罗马尼亚学者s e b a s t l 6 l nm q 玎a 在( 1 9 9 8 ) 分别讨论了线性时变周期种群 系统和一类非线性种群系统的解的存在唯一性和最优收获的存在唯一性，并 给出了最优性条件”1 ”，在( 2 0 0 0 ) 对时变和具有空间扩散的种群系统的解的适定 性及最优收获问题进行了详细的讨论，获得了最优控制的必要条件和存在唯一 性”1 。v b a r b u 和m i a n m e l l i 研究了一类用来描述具年龄结构种群的g u r t i n m a c c a m y 型系统的最优控制问题，给出t e u l e r - l a g r a n g e 系统形式的必要最优条件，并用 艾克兰原理证明了最优控制的存在”国内学者陈任昭基于l i o n s 的理论体系， 具体应用于人口、生物种群等系统的最优控制中，取得了许多重要的成果， 在( 2 0 0 3 ) 讨论了与年龄相关的非线性时变种群发展方程，证明了其局部解和整体 解的存在性、唯一性与稳定性”，并研究了具有空间扩散的种群系统解的存在唯 一性与边界控制问题1 。李健全和陈任昭在( 2 0 0 2 ) 讨论了时变种群扩散系统最优 生育率控制的非线性问题，证明了最优生育率控制的存在性，给出了控制为最优 的必要条件及其最优性组8 ”；借助该文献的思想，赵春研究了一类非线性时变种 群扩散系统的适定性及最优收获问题。利用压缩不动点原理讨论了该种群系统的 解的存在唯一性，证明了最优收获控制的存在性，并且获得了最优控制的唯一性 和所满足的必要条件2 1 。对单种群最优控制的研究已经相当完善，近年来国内外 学者越来越多的关注多种群控制问题的研究。一1 ，他们的工作主要是获得必要最 优条件和最优控制的近似解，其中f i s t e r 研究了具有增长的捕食种群和黎曼边界条 件的捕食与被捕食模型。1 ，其中的控制变量是需要被收获的种群比例，l e n h a r t 等 3 江苏大学硕士学位论文 人在( 1 9 9 9 ) 证明了边界不适合居住的竞争种群的最优控制的存在唯一性1 ，种群 个体的年龄是种群控制研究中的一个重要因素。国内学者赵春等人讨论了具有空 间扩散和年龄结构的捕食与被捕食系统的最优收获问题，运用不动点理论证明 了系统解的存在唯一性，并得列最优控制的存在，获得最大值原理”。何泽荣等 人研究了具有年龄结构的三种群捕食与被捕食系统的最优策略，其中控制量为 生育率，通过d b o v i t s k i i m i l y u t i n 广义理论得到具有自由最终状态问题的最大值问 题。 由于工程技术领域，经济管理和资源分配等实际应用部门的需要及非线性规划 算法和计算机技术的迅速发展，对求解最优控制问题的优化算法研究近年来受到人 们的重视，并得到了较大的发展，成为最优控制理论中的一个重要的组成部分和解决 实际问题的一有力工具。 最优控制的优化算法主要是研究这类问题的各种数值计算方法，并研究算法 的收敛性和收敛速度等。这些内容多数是把变分法和求解非线性规划的方法加 以改造、移植和拓展而得到。早在1 9 6 0 年h o r n 和k e l l e y 就发表了后来在庞特里亚 金最大值原理中利用的伴随方程组的梯度法，b r e a k w e l l 和b r y s o n 等以不同的方式采 用n e w t o n 方法研究了求解最优控制问题，r u e e s l 证明当系统关于控制为线性时可 用罚函数方法求解约束最优控制问题，b a l a k r i s h n a n 提出了 b a l a k r i s h n a n 一方法”， 而且推出了庞特里亚金最大值原理， l e o 在p o l a k 和m a y n e 关于集中参数系统最优控 制优化算法研究的基础上，对分布参数系统最优控制问题的优化算法进行了深入 的研究。分别就第一类、第二类边界条件的二阶线性抛物型偏微分方程描述的无 约束最优控制和松弛最优控制问题的优化算法进行了研究，并针对不同的目标泛 函提出了强变分法，条件梯度法和可行方向法，且从理论上证明了各种算法的收 敛性，还给出了相应的数值计算实例。在我国，富锡芳对最优控制问题的计算方 法作过系统的研究。陈祖浩研究了约束最优控制问题的罚函数方法，用统一的理 论提供了若干充分和充要条件来处理带罚函数的最优控制问题趋于原最优控制问 题，还解决了r u e e s l 提出的困难问题。 在应用方面，最优控制已经在很多领域发挥了重要的作用。在随机最优控 制、分散最优控制、时间最短、能耗最小、线性二次型指标最优、跟踪问题、调 节问题、伺服机构问题中起到关键的作用。但最优控制有一个显著的缺点就是： 最优控制理论与实践不是同步发展的，理论离能在实践工程得到应用还有一段很 大的距离。目前研究人员面对一个重要的问题：如何把最优控制理论转化为实际 应用。很多需要最优控制去解决的实际应用领域还有待开发。如简单实用的优化 集成芯片及最优化控制器的开发和推广利用，智能最优化方法、最优模糊控制器 设计的研究、复杂系统模糊动态模型的辨别与优化方法的研究等。相信随着对这 4 江苏大学硕士学位论文 些问题的不断研究与探索，最优控制会越来越成熟和实用。 1 3 研究方法 最优控制问题从数学上来说，是一个变分学问题。但是经典变分理论只能 解决一类简单的最优控制问题，因为它只对无约束或开集性约束是有效的， 而实际上碰到更多的却是容许控制属于闭集的一类最优控制问题。这类问 题从数学上可作如下描述，设受控系统的状态方程为掣= ，( o ( t ) ，u ( t ) ，t ) ，其 中z 即是系统的状态，乱( ) 是控制作用。由于技术条件等众多因素的限 制，控制作用的取值“( t ) 不可能是任意的，而必须是有限制的，在数学上可 以把这种限制表示为u ( t ) uc 舻。这里u 是胛中的给定集合，称为控制 域。当控制u ( ) 具有某种可测性，并且适合于对控制作用的限制时，称u ( ) 为 容许控制，记为“( ) 出通常既d 是由逐段常值，逐段连续或可测函数组 成。设给定了t o r ，z o 形和lc 形，扎( ) 以d ，o ( t o ) = o o ，状态方程的解 为z ，o = z ( ) ，t ) 如果存在t l t o ，使得z ( 札( ) ，t i ) l ，就称乱( ) 把系统从状 态z o 迁移到l 。最优控制问题在数学上可叙述为：选取u ( e ) u o d ，使得状态方程 初值的解为z ( u ( ) ，t ) l ，且性能指标j ( u ( ) ) = r ，( z ( “( ) ，t ) ，钍( ) ，t ) d t 取最小。 在5 0 年代末6 0 年代初，对于最优控制理论出现了众多的新方法，有两种方法 最富有成效，它们和变分法奠定了最优控制的理论基础。一种方法是原苏联数 学家庞特里亚金的“极大值原理”1 ：另一种是美国学者贝尔曼( b e l l m a n ) 的“动态规 划”9 ”。受分析力学中哈密尔顿原理的启发，庞特里亚金等人把“极大值原理”作为 一种推测首先提出来，随后作出了严格的数学证明。古典变分法对于处理闭集性 约束是无能为力的，“极大值原理”发展了经典变分原理，是一种现代变分法，成 为处理闭集性约束变分问题的强有力的工具。两者都以解决常微分方程所描述 的变分问题作为目标，结果得到了由一组常微分方程所表示的必要条件。“动态 规划”是贝尔曼5 0 年代中期创立的，他依据最优性原理，发展了变分学中哈密尔 顿一雅可比理论，构成了“动态规划”，贝尔曼用动态规划方法讨论最优控制问 题，得到了人们称之为贝尔曼方程的必要条件。它是一种适用于计算机计算，处 理问题范围更广的方法，对于连续系统的最优化问题，它给出了一个偏微分方 程。到了6 0 年代，卡尔曼( k a l m a n ) 等人具体研究了线性二次最优控制，建立了最 优线性反馈调节器设计的理论基础，提出了可控制性及可观测性概念”。”，建立 了最优估计理论。 本课题主要研究的是几类椭圆型和双曲型方程的最优控制，属于分布参数系 统，是由微分方程( 组) 所描述的系统。为进一步说明怎样对分布参数系统进行最 5 江苏大学硕士学位论文 优控制，我们引用典型 拘m c k e n d f i c k 年龄结构线性模型最优控制实例。”。 害+ 裳州州) p ( r 归o ，在q = f t ( o 内， ( 1 1 ) 其中p ( r i t ) = 墅笋为时刻t 且年龄为r 岁的单种群年龄密度；t 为某时刻，0 t + o o 。g ( r ，t ) 为时刻t 年龄不超过r 岁的种群总数；p ( r t ) 为时刻年龄为r 岁的 种群死亡率；q = ( 0 ，a ) 。考虑边界条件， f a p ( o ，t ) = p ( r t ) p ( r ，t ) d r ， 在( 0 ，t ) 内 j 0 ( 1 2 ) p ( r ，o ) = p o ( r )在q = ( 0 ，a ) 内( 1 3 ) a 为种群的最高寿命，0 a 0 我们的目标是最小化该目标泛函。因为u 作用在年龄边界上，所以该问题称为边界 控制问题。 以上就是引用的关于时变种群的典型的双曲型分布参数系统最优控制实例， 这将有助于我们进行进一步的研究。 最大值原理在最优控制中占有很重要的地位。古典变分学中极值曲线的必要 条件及最优开关原理等都可以由最优控制的必要条件一最大值原理来得到。但 是，古典变分学不能处理最优开关控制问题。所以人们说最优控制理论是变分学 适应控制过程问题的新发展。然而，美国的伯科维茨( l d b e r k o v i t z ) 1 9 6 1 年指出， 运用芝加哥( c h i c a g o ) 学派在本世纪三十年代发展的变分学方法，也可证明最大值 原理。但是，庞特里亚金关于最优控制问题的叙述和最大值原理是与控锖系统的 最优设计问题紧密结合的，所以人们还是愿意把最优控制理论视为变分学的新发 展，而不把它归结为变分学的一部分。从抽象的观点来看，最大值原理无非是一 个极值问题的一阶必要条件，所谓极值问题的一阶必要条件，粗糙地说，是指： 对于一个定义在某个带线性结构的集合上的函数，如果它在该集合的某点上达到 极小值，那么函数在该点上对于任何“容许方向”上的“方向导数都”不小于零。如 果集合很正规，例如m 维空间( 对应m 个变量的无约束最优化问题) ，由多变量光滑 函数的等式确定的流形( 对应带等式约束的最优化问题) ，而被求极值的函数又是 光滑的，那么我们立即导得熟知的f e r m a t 定理和l a g r a n g e 乘子定理。最优控制问 题的困难恰恰在于它所涉及的极值问题中，自变量变化的集合不太正规：这里被 求极值的函数是控制问题的目标函数，其自变量是状态和控制，而它们的变化范 围由状态方程和容许控制集等来决定。即使目标函数对状态与控制来说都很正 规，但状态方程与容许控制集合会使这个函数在一个古怪的集合上求极值；或者 把控制也用状态来隐含表示时，目标函数会变成状态的古怪的函数。这样一来， 要弄清集合在一个点上的“容许方向”和函数的“方向导数”都交得不太容易，这就 引起后来的最大值原理的非光滑分析。微分方程是描述控制系统的数学工具，所 以微分方程理论成为最优控制系统设计理论的基础和工具。 1 4 本课题研究的基本内容 本文主要研究时变种群的最优控制，有具状态观测的单种群模型，三种群捕 食与被捕食系统和几维食物链模型的最优收获，包括证明方程解的存在唯一性， 给出最优控制，导出状态方程的伴随方程，从而得到最优控制问题的最大值原 理，具体内容如下： 7 江苏大学硕士学位论文 第三章：在前人对单种群状态观测控制的基础上，在自然生育率和死亡率中 考虑种群总体数量因素，深入研究非线性单种群系统的状态观测最优控制问题。 运用预备知识证明了系统控制问题最优解的存在，同时借助于法锥概念，还得到 最优解存在的必要条件。 第四章：研究三种群捕食与被捕食系统的最优收获问题，运用压缩不动点原 理，证明系统在给定的边界条件和空间下解的存在性和有界性，选择代表利润的 目标泛函，通过状态方程及其伴随方程得到必要条件。对足够小的最终时间t ， 证明了最优控制的存在唯一性。 第五章：将三种群推广到具有空间扩散和年龄结构的n 维食物链模型，以收 获率为控制变量研究其最优收获问题，同样用b a n a c h 不动点原理证明了系统解的 存在唯一性，得到一个紧性结果，用m a z u r s 定理证明了最优控制的存在性，并得 到了最大值原理。 8 江苏大学硕士学位论文 第二章预备知识 2 1 分析基础知识 ( 1 ) b a n a c h 不动点定理一压缩映像原理 定理2 1设( x ，p ) 是一个完备的距离空间，丁是( x ，p ) 到其自身的一个压 缩映射，则t 在x 上存在唯一的不动点。 证明 ( 存在性) 若丁：( x ，p ) 一( x ，p ) 是一个压缩映像，则取初始点z o x ，构造迭代产生的序列， z n + 1 = t o n ， ( 礼= 0 ，l ，2 ，) 则有p ( x 。+ 1 ，z 。) = p ( t z 。，t x 。一1 ) sa p ( x 。，x n 1 ) o t “p ( x l ，x o ) ，从而对任 意的p n ，有 p ( z 唧，) p ( 一州一1 ) t = l ( c t n + p 一1 + + o t n - 1 ) _ ；d ( z l ，z o ) 乇p ( x l ，x o ) 一0 ( 当 1 2 一( 2 0 时) 一u 由此可知( z 。 是一个基本列。 又因为( x ，p ) 是完备的，所以存在矿x ，使得2 2 。一矿 t x 。，两边取极限，则有矿= t x + ，故矿为不动点。 ( 唯一性) 若o 、z 叫匀为不动点，则 i z 一z ”l = j t x + 一2 k ”l a l z 一z ”i _ o o ) 。又z n + 1 = 由此推出矿= x ”，故不动点是唯一的。综上所述，定理得证。 ( 2 ) o s t r o g r a d s k i 公式 设a t 为一正实数且o = 0 ，刁 0 ，a t ，令u l 2 ( e ；日1 ( q ) ) 使得( a + 磊) “属； 于l 2 ( e ；【h 1 ( q ) 】7 ) 则下列等式成立 上 d t d a = l 。 也f 川。n u 2 ( t ，口，引d a d x + r i o a 十肿“2 ( t , a t , x ) 出如 一； u 2 ( o ，o ，z ) d a d z + f u 2 ( t ，0 ，x ) d t d x 2 2 函数空间 ( 1 ) 典型的函数空间 q 表示一个在舻空间中的一个开的而且有界的集合，研中的点表示为z = 9 江苏大学硕士学位论文 ( z - ，z 2 ，x n ) ，如果a = ( a l ，a n ) 是一个n 维的数组，而且为非负整数，扩表示 为z ：1 ，z 。a n ，则称a 为一个多重指标。我们可以定义h = a j ，则 j = l 俨= 爵嚣， 表示一个阶为i o l 的微分算子。对于在q 中的函数妒，d ( o “一o ) 妒= 妒，gc cq 表 示gcq ，而且g 是一个形中的紧子集，如果# 是一个在g 中的函数，我们可 以定义它的支集，s u p p 妒= z g ：妒( z ) o 。如果s u p p 妒c cg ，则可以 说妒在q 中有紧支集。对任意的非负整数m ，c ”( q ) 是一个包括所有的妒以及它的 阶h m 的所有偏导数的向量空间，并且妒以及它的阶l a i m 的所有偏导数在q 中是连续的。c o ( q ) = c ( q ) ，取c o o ( q ) = n 黧l c ”( q ) ，那么空间c 铲( q ) 是包括 在g 。o ( q ) 中且在q 中有紧支集的函数集合。 线性空间沪( q ) 中所有函数妒c ”( q ) ，而且d o 妒在q 上对所有0 1 a i m 是 有界而且一致连续的。如果给线性空间c m ( q ) 赋予模， 1 1 妒| l 卵( 面2 。! m i 。a i s x 。s 。u q p d 。妒( z ) i ，那么空间”( q ) 是完备的 ( 2 ) l e b e s g u e 空间及几种特殊函数空间 空间驴( q ) 是所有定义在q 上的可测函数妒的集合，且满足如1 妒 p d z o o ，范 数怕| i l ，( n ) = ( 矗p 出) ；是妒在空间( q ) 中的模，这里的1 p o 。a 函数妒在q 上是可测的，如果存在一个常数c ，几乎处处满足f 妒( z ) i c ， 那么这个函数就称为在q 中本质有界函数，其范数表示为e s s s u p z 。ni 妒( z ) l 口所有 在q 中本质有界的函数妒组成空间l o 。( q ) ，范数i i z l l l 一( n ) = e s ss u p x ol 妒( z ) i 是妒在 空间铲( q ) 中的模。 c ( 瓦二2 ( q ) ) 垒 忍：琴一三2 ( n ) ： 是连续的 ， a c ( s ；工2 ( q ) ) 垒 危：s + l 2 ( q ) ：h ( a o + ，t o + ) ：( 0 ，o ) ，l 2 ( q ) 在任意紧子集上是绝对连续的l 其中( a o ，t o ) 0 ( 0 ，t ) u ( 0 ，a ) 0 e l ( a o + o t ，t o + o t ) a ( 0 ，t ) u ( 0 ，a ) xt ，s 为 特征线，s 垒( a ，t ) ( 0 ，a ) ( 0 ，t ) ：a t = a o t o = ( a o + 8 ，t o + 8 ) ：8 ( 0 ，o ) ( 3 ) s o b o l e v 空i 司 定义一个范数l l 1 1 w 。，f o ) ，其中m 是非负整数而且1 p 。o ， l l 妒l l w - , 州埘= ( l i d 。妒；， o o ，使得， ，扣) 一f ( w ) l l v , s7 川臼一加i i h ， 其中可，w v z ( 2 ) m a z u r s 定理 引理2 4 ( b a n a c h s a k s m a z u r s ) ”设x 是一实线性赋范空间， 为x 中的 一列元素，且 z 。 在x 中弱收敛到z o ，则一定存在 的凸组合列，使其强收敛 g u z o 。 引理2 5 设x 是一实线性赋范空间，且 z 。 为x 的序列，且在x 中弱收 敛到z o ，贝对于任意自然数n ，都存在 卅 ( j = 0 ，1 ，2 ，) 的一个有限凸组 合：釜a ：“) z 密使得， i = 1 七nk n l i “o l ；( n z 材一如i i n i = 1 t = l ( 3 ) 正切锥与标准锥1 设u 4 = 和o 。( q ) ；7 z ( a ) v ( a ，t ) 他( o ) ) ，其中q = ( 0 ，a t ) ( 0 ，f ) 且 1 l ( ) ，讹( ) 是给定的可测函数，使得7 i ( a ) 1 l ( ) 7 ，e 在( 0 ，a t ) q b 1 ) 凸集合“中的正切锥咒似) 具有如下性质：口l ) ，当且仅当几乎处处在q 上 有， v ( a ，) 0 ，如乱( d ，t ) = 住( 口) 2 ) 标准锥肌似) 有如下性质：1 1 ) 0 ) 当且仅当几乎处处在q 上， 钏 ，t ) 0 ，如u ( 口，) = 您( 口) ， t ，( 口，t ) = 0 ，如7 1 ( o ) l t ( a ，t ) 伽( o ) ， w ( a ，t ) 0 ，如u ( 。，) = 7 z ( a ) 2 4 对偶系统与最优条件 引入具有约束问题的l a g r a n g e 泛函，最优问题： m 制i n j ( u ，) ，s t e ( y ，u ) = 0 ，( 2 1 ) 贝t j l a g r a n g e 泛函定义为， ：y u z + ，l ( u ，u ，a ) ：= j ( u ，u ) + z ，三， 其中 z z 表示z 和其对偶空间驴的内积，由于是p d f 约束问题，e 是向 量。我们有z = z i 磊，因而扩是对偶空间露笛卡尔积的等距同构， 即矿笺彳磊，给出内积， 矛，z = z t ，互 = 1 1 2 江苏大学硕士学位论文 令关于变量( ，札，z ) 在所有可容许方向内的方向导数为零，通过计算得到l 的鞍点 的必要最优条件和( 2 1 ) 的最小值，从而我们有最优条件， l 甜( 9 ，u ，a ) 可= 山( 可，u ) 可+ z ，z = 0 ，v 可y ； l 。( 可，a ) 面= 五( 可，让) 西+ z ，z = 0 ，v 瓦阢 ( 2 2 ) 三a ( ，u ，a ) a = z ，z ：= 0 ，v 西矾 其中符号表示相应的偏导数，第一个方程称为对偶方程；第二个方程给 出l a g r a n g e 乘子a 和控制之间的关系；第三个为状态方程。对偶方程也可写 成， e 。( 可，u ) + a = 一以( 可，t ) ， 在中 2 , 5 博克纳积分 设一o o a b + o 。，空间p ( o ，6 ；b ) 表示所有从( 口，b ) 至l j b a n a c h 空间b 的可 测函数舻组成的空间。 1 ) 妒对t 可测， 2 ) | i 妒l i p ( 。j ；日) = ( r 忪( t ) 峪战) ； o o ， 当1 p o o ， i i 妒i i l * ；b ) = e s s s u pl i 妒( t ) l l b o o ， 当p = 0 0 t e ( a 6 ) 当不容易混淆时我们可以简写为驴( b ) 注： a ) 设任意c ，d ：有f a c d b ，如果妒p ( c ，d ；b ) ，则我们称妒上乞( o ，6 ；b ) ， 并且，当p = l 时称妒是局部可积的。 b ) b i ，b 2 是两个b a n a c h 空间，而且b 1 号b 2 ，则对l p 。o ，b a n a c h 空f 日q n p ( b 1 ) 连 续嵌入p ( 岛) 。 c ) 当0 b o 。时，x 是一个b a n a c h 空间，x 。是它的对偶。则我们把上2 ( x ) 的 对偶空间表示为2 ( x ) 嘲。 如果b 。是一个b a n a c h 空间，下面我们寻找一个合适函数空间来紧嵌入一个b a n a c h 空间2 ( b 1 ) 定理2 2 如果玩，b 1 和岛是三个b a n a c h 空间，有b o = 争b l 号b 2 ，且p ，q e ( 1 ，o o ) ，空间渺= 如：妒p ( b 0 ) ，仇工。( b 2 ) ) ，定义模| | = | | p ( 岛) + i i 饥l l l 。( 丑。) ，则w 紧嵌入( b i ) 1 3 江苏大学硕士学位论文 设b 是一个b a n a c h 空间而且0sa 6 o o ，则空间e ( o ，h i ；b ) 是由所有的连续函 数妒：k6 】一口组成，而且模为1 i c ( 陋，q ；口) = m a x c p ，b li i 妒( t ，* ) 1 1 - 。让我们来考虑 两个实的可分的h i l b e r t 空间y 和日。假设y 在日中是稠密的，日是日的对偶空间所 以有 v 号h = h + 净v 。其中每个嵌入都是稠密的。 空间w ( 口，玩y ) 可以定义为缈( 口，6 ；v ) = 妒：妒l 2 ( 矿) ，忱三2 ( 矿) ，有时我们 简洁的用w ( y ) 来代替w ( a ，6 ；y ) 引理2 6 空f 日q w ( a ，6 ；y ) 是一个h i l b c r t 空间，其中妒的模为| | ( y ) = 、1 1 2 z ( + i l 忱1 1 2 ：( y ) 证明见【4 4 1 。 引理2 7当osa b 0 使得， i c ( 日) c 钏训( y ) 对所有的妒( y ) 2 6g a t e a u x 与f r 6 c h e t 微分 g l i t e a u x 微分概念是数学分析中方向导数概念的推广，常应用于泛函极值的讨 论。 定义2 3设e 1 ，易为b a n a c h 空间，a ：d e 2 ( d 是e l 中开集) ，z o d 若 对任何h e l 极限 l i m a ( x o + t _ h ) - a 一( x o ) ， ( 2 3 ) t 一0c 都存在( 是易中的元素) ，则称为a 在点z o 处g a t e a u x 可微，极限( ) 叫做a 在z o 处沿方 向h 的g i t t e a u x 微分，记为d a ( x o ) h ，即 d a ( x o ) h i = 忉坐型# 必， ( 2 4 ) 如果g & t e a u x 微分可以表为d 阻( x o ) h 】= b h ，这里b ( e 1 一e 2 ) ，则称a 在x 0 处具 有有界线性的g a t e a u x 微分，b 叫做a 在点z o 处的g a t e a u x 导算予，记为a ，( z o ) 即 d 阻( z o ) 叫= a ( z o ) h ( 2 5 ) 定义2 4设e l ，e 2 为b a n a c h 空间，dce 1 为非空开集，a ：d 一易，z o d 若j b ( e l e e ) c ( e z 一易) 表映入的线性有界算子