2016年高考数学(新课标版)-专题19-立体几何大题(文)-含解析.doc

【名师精讲指南篇名师精讲指南篇】 【高考真题再现高考真题再现】 1.【2013新课标全国】如图，三棱柱 111 ABCABC中，CACB， 1 ABAA， 1 60BAA . （）证明： 1 ABAC；（）若2ABCB， 1 6AC ，求三棱柱 111 ABCABC的体积. C1 B1 A A1 B C 2.【2014高考全国1文】如图，三棱柱 111 CBAABC 中，侧面CCBB 11 为菱形，CB1的中 点为O，且AO平面CCBB 11 . （1）证明：; 1 ABCB （2）若 1 ABAC , 1,60 1 BCCBB 求三棱柱 111 CBAABC 的高. 3.【2015 新课标 2 文 19】如图所示，长方体 1111 ABCD ABC D中，16AB ，10BC ， 1 8AA ，点E，F分别在 11 AB， 11 DC上， 11 4AED F.过点E，F的平面与此 长方体的面相交，交线围成一个正方形. F E DC B A1 D1 C1 B1 A （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由） ； （2）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值. 4.【2015 全国 1 文 18】如图所示，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点， BE 平面ABCD. （1）求证：平面AEC 平面BED； （2）若120ABC ，AEEC，三棱锥EACD的体积为 6 3 ，求该三棱锥的侧面 积. 解析解析 （1）因为BE 平面ABCD，所以BEAC. 又ABCD为菱形，所以ACBD. 又因为BDBEB，BD，BE 平面BED， 所以AC 平面BED.又AC 平面AEC，所以平面AEC 平面BED. G E D CB A 【热点深度剖析热点深度剖析】 2013 年以三棱柱为几何背景考本题考查线面垂直的判定、线面垂直的性质以及三棱柱的体 积公式，考查学生的化归与转化能力以及空间想象能力. 2014 年以平放的三棱柱为几何背 景考查线线垂直的判定和求三棱柱的高，突出考查线线，线面垂直的转化，点到面的距离， 等面积法的应用以及空间想象能力和计算能力. 2015 年全国卷 1 考查了截面的作法及体积 问题，全国卷 2 考查了面面垂直的证明及三棱锥的侧面积。从近几年的高考试题来看，线 线垂直的判定、线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质、几何体的体积，表面积，几何 体的高等是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高，客观题主 要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查线面角的概念及求法；而主观题不仅考查 以上内容，同时还考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能 力而直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定连续三年在高考大题都没涉及， 而在小题中考查，直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定是高考的热点，故 预测 2016 年高考，可能以四锥体或斜棱柱为几何背景，第一问以线面垂直或平行为主要 考查点，第二问以求体积或表面积为主，也可能利用等积法求距离，突出考查空间想象能 力和逻辑推理能力，以及分析问题、解决问题的能力 【重点知识整合重点知识整合】 1.直线与平面平行的判定和性质 （1）判定：判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条 直线和这个平面平行； 面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行. （2）性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行. 注意：在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用 线面平行的性质. 2.直线和平面垂直的判定和性质 （1）判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个 平面垂直.两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂 直. （2）性质：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂 直.如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. 3.平面与平面平行 （1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行. 注意：这里必须清晰“相交”这个条件.如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的所 有直线与另一个平面无公共点，即这些直线都平行于另一个平面. （2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 注意：这个定理给出了判断两条直线平行的方法，注意一定是第三个平面与两个平行平面 相交，其交线平行. 4.两个平面垂直的判定和性质 （1）判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互 相垂直. 定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角； 注意：在证明两个平面垂直时，一般先从已知有的直线中寻找平面的垂线，若不存在这样 的直线，则可以通过添加辅助线解决，而作辅助线应有理论依据；如果已知面面垂直，一 般先用面面垂直的性质定理，即在一个平面内作交线的垂直，使之转化为线面垂直，然后 进一步转化为线线垂直. （2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一 个平面. 两个平面垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. 注意：性质定理中成立有两个条件：一是线在平面内，二是线垂直于交线，才能有线面垂 直. (3)立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即： 线线线面面面 判定 线线线面面面 性质 线线线面面面 【应试技巧点拨应试技巧点拨】 1. 线线平行与垂直的证明 证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性 质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件. 证明线线垂直的 方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性 质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面 垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的 多样性. 2.线面平行与垂直的证明方法 线面平行与垂直位置关系的确定，也是高考考查的热点，在小题中考查关系的确定，在解 答题考查证明细节. 线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平 行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平 行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直. 线面平行的证明思考途径：线线平行线面平行面面平行. 线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂 直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行. 线面垂直的证明思考途径：线线垂直线面垂直面面垂直. 3.面面平行与垂直的证明 （1）面面平行的证明方法：反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾； 面面平行的判断定理；利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面 的两个平面平行；向量法：证明两个平面的法向量平行. （2）面面垂直的证明方法：定义法；面面垂直的判断定理；向量法：证明两个平 面的法向量垂直. 解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在 于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂 直之间的转化. 4.探索性问题 探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可 采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论， 或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算. 【考场经验分享考场经验分享】 1在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误 2在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理和性质 定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化 3面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线，通 常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可 【名题精选练兵篇名题精选练兵篇】 1 【2016 届江苏省南京市高三第三次模拟】如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D 为棱 BC 上一点 （1）若 ABAC，D 为棱 BC 的中点，求证：平面 ADC1平面 BCC1B1； （2）若 A1B平面 ADC1，求 BD DC 的值 【答案】 （1）详见解析（2）1 （2）连结 A1C，交 AC1于 O，连结 OD，所以 O 为 AC1中点 因为 A1B平面 ADC1，A1B平面 A1BC，平面 ADC1平面 A1BCOD， 所以 A1BOD 因为 O 为 AC1中点，所以 D 为 BC 中点， 所以 BD DC 1 2 【2016 届江苏省泰州市姜堰区高三下期初考试】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD，PD=DC=1，点 E 是 PC 的中点，作 EFPB 交 PB 于点 F. （）求证：PA平面 EBD； （）求证：PB平面 EFD 3 【2016 届河南省洛阳市一中高三下学期第二次模拟】如图（1） ，等腰直角三角形 ABC的底边4AB ，点D在线段AC上，DEAB于E，现将ADE沿DE折起到 PDE的位置（如图（2） ） （1）求证：PBDE；（2）若PEBE，1PE ,求点B到平面PEC的距离 4 【2016 届湖北省沙市中学高三下第三次半月考】如图，多面体ABCDEF中，四边形 ABCD是边长为 2 的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，/EFBD， 1 2 EFBD，平 面EFBD平面ABCD. （1）证明：AC平面EFBD； （2）若 2 10 BF，求多面体ABCDEF的体积. 5 【2016 届河北省衡水中学高三下学期一模考试】如图，在斜三棱柱 111 ABCABC，侧 面 11 ACC A与侧面 11 CBBC都是菱形， 111 60 ,2ACCCC BAC . （1）求证： 11 ABCC； （2）若 1 6AB ，求四棱锥 11 ABBC C的体积. 6 【2016 届宁夏六盘山高中高三第二次模拟】如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，底面 ABC 是正三角形，点 D 是 BC 的中点， 1 BCBB. B1 A1 C1 BC A D （1）求证： 1 / /AC平面 1 AB D； （2）试在棱 1 CC上找一点 M，使得 1 MBAB，并说明理由. （2）当 M 为棱 1 CC中点时， 1 MBAB ，理由如下： 因为在直三棱柱 111 ABC-A B C 中， 1 BCBB 所以四边形 11 BCC B为正方形 所以 M 为棱 1 CC 中点，D 为 BC 的中点，易证 1 B BDBCMAA 1 ,BB DCBM 所以 11 2 BB DBDB 又因为 11 2 CBMBDBBMB D 所以，故. 因为DBC,ABCA是正三角形，是的中点 .ADBC所以 因为平面 1111 ,ABC=,ABCBBC CBBC C BC ADABC平面平面平面平面 所以 11 ADBBC C 平面 因为 11 BMBBC CADBM平面，所以, 因为 111 ,DADB DD AD BAB D 平面 所以 1 BMAB D 平面 因为 111 ,ABAB DMBAB平面所以 7 【2016 届福建省漳州市高三下学期第二次模拟】如图，四边形PCBM是直角梯形， 90PCB，/ /PMBC，1,2PMBC，又1,AC 120ACB， ABPC，AM=2 （）求证：平面PAC平面ABC； （）求三棱锥PMAC的体积 因为1,ACCN120ACB，所以30ANC A B C MP 在Rt AHN中，有 13 22 AHAN 而 11 1 1 22 PMC S 1133 32212 P MACA PMC VV 8 【2016 届甘肃省天水市一中高三下第四次模拟】如图，四棱锥PABCD，侧面 PAD是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是 0 60ABC的菱形， M为PC的中点 （1）求证：PCAD； （2）求点D到平面PAM的距离 在PAC中2,6PAACPC，边PC上的高 22 10 2 AMPAPM， A B C MP N H 所以PAC的面积 111015 6 2222 PAC SPC AM， 设点D到平面PAC的距离为h，由 D PACP ACD VV 得， 11 33 PACACD ShSPO， 又 2 3 23 4 ACD S， ，解得 2 15 5 h ， 所以点D到平面PAM的距离为 2 15 5 9 【2016 届重庆市巴蜀中学高三 3 月月考】如图，在边长为4的菱形ABCD中， 60DAB，点FE,分别是边CD，CB的中点，OEFAC，沿EF将CEF翻 折到PEF，连接PDPBPA,，得到如图的五棱锥ABFEDP，且10PB. （1）求证：PABD ； （2）求四棱锥BFEDP的体积. （2）解：设HBDAO连接BO， 60DAB， ABD为等边三角形，3, 32, 2, 4POHOHABHBD， 10.10. 【湖南省怀化市 2015 届高三上学期期中考试】如图所示的长方体 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点， 1 2BB ， M是线段 11 B D的中点 （）求证：/ /BM平面 1 D AC； （）求三棱锥 11 DABC的体积 【解析】 （）连接 1 DO，如图，O、M分别是BD、 11 B D的中点， 11 BD D B是矩形， 四边形 1 DOBM是平行四边形， 1 /DOBM， 1 DO 平面 1 D AC，BM 平面 1 D AC，/BM平面 1 D AC； （）连接 1 OB，正方形ABCD的边长为 2， 1 2BB ， 11 2 2B D ， 1 2OB ， 1 2DO ，则 222 1111 OBDOB D， 11 OBDO，又在长方体 1111 ABCDABC D中， ACBD， 1 ACD D，且 1 BDD DD，AC 平面 11 BDD B，又 1 DO 平面 11 BDD B， 1 ACDO，又 1 ACOBO ， 1 DO 平面 1 ABC，即 1 DO为三棱锥 11 DABC的高， 1 1 11 2 222 2 22 AB C SAC OB ， 1 2DO ， 111 1 114 2 222 333 DAB CAB C VSDO . 11.11. 【山东省济南市 2015 届高三上学期期末】如图，在三棱柱 111 ABC中，四边形 1111 ABB AACC A和都为矩形. （I）设 D 是 AB 的中点，证明：直线 1/ / BC平面 1 ADC; （II）在ABC中，若ACBC，证明：直线BC 平面 11 ACC A. 12.12. 【山东省日照市 2015 届高三 3 月模拟】如图，已知四边形 ABCD 是正方形，PD 平 面 ABCD，CD=PD=2EA,PD/EA，F，G，H 分别为 PB，BE，PC 的中点. （I）求证：GH/平面 PDAE； （II）求证：平面FGH 平面 PCD. 13.13. 【广东省广州市 2015 届高中毕业班综合测试】如图 4，在边长为4的菱形ABCD中， 60DAB ，点E，F分别是边CD，CB的中点，ACEFO沿EF将 CEF翻折到PEF，连接PA,PB,PD，得到如图 5 的五棱锥PABFED，且 10PB （1）求证：BD 平面POA； （2）求四棱锥PBFED的体积 图 4 O F E D C B A 图 5 F E P O D B A 【解析】 （1）证明：点E，F分别是边CD，CB的中点，BDEF. 菱形 ABCD的对角线互相垂直，BDAC. EFAC. EFAO， EFPO. AO 平面POA，PO 平面POA，AOPOO，EF 平面 POA. BD 平面POA. H F E P O D B A 14.14. 【广东省广州市 2015 届高三 1 月模拟】如图，在多面体ABCDEF中，DE 平面 ABCD，ADBC，平面BCEF 平面ADEFEF ， 60BAD ，2AB ， 1DEEF （1）求证：BCEF； （2）求三棱锥BDEF的体积 F E D C B A H F E D C B A 【解析】 （1）ADBC，AD 平面ADEF，BC 平面ADEF， BC平面 ADEF. 又BC 平面BCEF，平面BCEF 平面ADEFEF，BCEF （2）在平面ABCD内作BHAD于点H， DE 平面ABCD，BH 平面ABCD， DEBH. AD平面ADEF，DE 平面ADEF，ADDED，BH 平 面ADEF. BH是三棱锥BDEF的高在 RtABH中， o 60BAD，2AB ， 故3BH . DE 平面ABCD，AD 平面ABCD， DEAD. 由（1）知，BCEF，且ADBC， ADEF. DEEF. 三棱锥BDEF的体积 1113 1 13 3326 DEF VSBH 15.15. 【辽宁省朝阳市三校协作体 2015 届高三下学期开学联考】如图，在四棱锥 PABCD中，PD 平面ABCD，底面ABCD是菱形，60BAD ， 2,6ABPD,O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点 （）证明：平面EAC平面PBD； ()若PD平面EAC,求三棱锥PEAD的体积. 16.16. 【唐山市 2014-2015 学年度高三年级第一次模拟】如图，在斜三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 ACC A与侧面 11 CBBC都是菱形， 0 111 60ACCCC B ， 2AC . （）求证： 11 ABCC； （）若 1 6AB ，求四棱锥 11 ABBC C的体积. P A B C D E O H P A B C D E O 【名师原创测试篇名师原创测试篇】 1已知三棱锥PABC中，PA面ABC,D是PC的中点，PDDB， 2,4.PAACAB ()求证：ABAC; ()若G是PB的中点，则平面ADG将三棱锥PABC分成的两部分的体积之比. 【解析】() 证明：PA=AC,D是PC的中点，ADPC，PDBD， BDADD，PC面ADB， PCAB， PA面ABC, PAAB，PAPCP， AB面PAC，PAAC; （）由()知，ABAC，PA面ABC，AC=PA=2，AB=4， P ABC V = 11 2 4 2 32 = 8 3 ，BC= 22 ACAB=2 5，PC= 22 ACPA=2 2, PB= 22 ABPA=2 5, PBC S= 22 1 2 2(2 5)( 2) 2 =6，D,G分别为PC、 PB的中点， PDG S= 1 4 PBC S= 3 2 ，设A到面PCB的距离为h， P ABC V = A PBC V = 1 3 PBC Sh ，=h 8 3 3 6 = 4 3 ， A PDG V = 1 3 PDG Sh = 134 323 = 2 3 ， A BCDG V = A PBCA PDG VV =2， A PDG A BCDG V V = 1 3 . 2. 如图，已知矩形CDEF所在的平面与直角梯形ABCD所在的平面垂直，且 / / / 1 ,1,2,3., 2 ABCD BCCD ABBCCDMBFC MBFCP Q分别为 ,BCAE的中点 （I）求证：/ /PQ平面MAB； （II）求证：