（运筹学与控制论专业论文）海冰热力系统区域分解及连续性条件的控制.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文根据雪层、冰层与水层海冰热力系统抛物型方程的极大不可微性，采用非重叠 区域分解，应用分布参数系统的参数辨识与最优控制理论，研究海冰温度场的参数辨识 与最优控制问题。北极海冰是北极地区的主要环境因子之一，对北极和全球环境变化有 着极其重要的影响。人们在对北极海冰进行观测、积累资料的同时，一直在不断探索和 研究海冰数值模拟，用于揭示北极海冰的各种机制。随着模拟水平的不断提高，近年来 海冰温度场的数值模拟正在用于对北极海冰场的预报以及全球气候变化的研究。海冰温 度场的数值模拟已成为北极海冰研究必不可少的手段。因此，本文研究具有重要的理论 意义与应用价值。本论文的主要工作如下： 本文根据雪层、冰层与水层海冰热力系统抛物型方程的极大不可微性。采 用非重叠区域分解，使每个子区域充分光滑，从而克服其不可微性，很好 地利用了雪层、冰层与水层海冰热力系统的局部光滑性。 通过区域分解及在内边界上引入连续性条件，将分片光滑分布参数系统的 抛物型方程定解问题转化为一个最优控制模型。该最优控制问题以各个子 区域的温度为状态变量，以内边界上的连续性条件为控制变量，其性能指 标是使得所有相邻子区域交界面上的连续性条件的差的平方和最小。 3 为克服控制问题的不适定性，引入正则化方法，并论述了最优控制的存在 性。构造数值优化算法，依实测数据进行数值模拟，收到良好效果。 关键词：最优控制；区域分解法；半隐式差分法；海冰；数值模拟 海冰热力系统区域分解及连续性条件的控制 t h ed o m a j nd e c o m p o s i t i o no ft h e n n o d y n 砌i cs e ai c es y s t e ma n dt h e c o n t r o lo fc o m i n u o u sc o n d i t i o n a b s t r a c t i nv i e wo fp r o b l e m so ns o l v i n gp a r a b o l i ce q u a t i o no fs e ai c e 血e m m d y n a m i cs y s t e mo fs n o w l a y e r i c e1 a y e ra 1 1 dw a t e rl a y e rw i mn o n d i f f e r e n t i a b i l i t y ，o 州m a lc o n 廿0 lo n 让【ep r o b l e m si s d i s c u s s e di nm i sp a p e rb yn o n o v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d a r c t i cs e ai c e p l a y sak e yr o ki i lt 蛤g l o b a lc l i n l a t es y s t e m w h e np e o p i eo b s e 九，ea 1 1 da c c u m u l a t e i n f o n n a a o no nt 1 1 e 盎r c t i cs e ai c e ，t h e ya 】s od i s c u s st h en 姗e r i c a ls i m u l a t i o no fa r c t i cs e ai c e t or e v e a lm em e c h a n i s m so f 盯c t i cs e ai c e as e ai c ei i 哪e r i c a ls i m u l a t i o ni su s e f u lf b r f o r e c a s t i n gt h es t a t u sa n dv a r i a t i o no fs e ai c ed i s t r i b 埘o na i l di t se f f to nt h e9 1 0 b a ic l i m a t e s y s t e mw i t ht h ed e v e i o p m e n to fn 眦e r i c a is i m 山a t i o n n o w ，n 啪e r i c a ls i m u l a t i o ni sa i r e a d y b e m ga b s o l u t e l yn e c e s s a r i l ym e a l lf o rs m d y i n ga r c t i cs e ai c e t h e r e f o r et h er e s e a r c h e so ft m s p a p e rh a v eai m p o n a n tv a l u eo ft 1 1 e o r y8 n dp r a c t j c e m a j nf c s u n so ft h 括p a p e ra r e a s f o l l o m n g ： 1 w h e nm a n yr e s e a r c h e r ss t u d yt h es e ai c e 丽m 趼o wc o v e r e d ，t h e yd ol i m eo nm e l u b r i c o u ss u b d o m a i n s t h i sp a p e ri sb a s e do np a r a b 0 1 i ce q u a t i o no fs e ai c e m e r h l o d y l l 锄i cs y s t e mo fs n o wl a y e r ，i c el a y e ra n d 、州c rl a y e rw i t hn o n d i 圩e r e r n i a b i l i 可 n o n - o v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e m o di sd i s c u s s e d t h e n 伽em e t h o dm a k e e v e r ys u b d o m a i n sl u b r i c o u 8a n dc o n q u e rn o n - d i f f e r e n t i a b i l i t yo f t l l ep r o b l e m s 2 t h r o u 曲i n 咖d u c i l l g t h ec o n t j n u o u sc o n d i t i o n s0 ni n t e r n a lb o u n d a 掣，ad i s 订j b u t e d o p t i m a lc o n t r 0 1m o d e li se s t a b l i s h e d 1 1 1t 1 1 e m o d e ls t a t ev a r i a b l ei st e m p 口a t u r ei n s u b d o m a i n 5 ，a n dc o n t r o lv a r i a b i ei s 恤ec o n t i n u o u sc o n d i t i o n s n so b i e c t i v em n c t j o n a li s t om i n i m i z em es 啪o f m ed i 丘b r e n c eb e t w e e nt h ec o n t i n u o u sc o n d i t i o l l so nt h ei n t e r f a c e s 锄o n ga 1 1n e i g h b o rs u b d o m a i n s 3 t h em e t l l o di sd i s c u s s e dt oc o n q u e ru n c e f t a j n t yo ft h ec o n 的1p _ r o b k m s ，a n dt h ee x i s to f o p t i m a lc o n 臼o li ss h o w i ln 眦e r i c a ls i m u l a t i o ni se s t a b l i s h e db ya c t u a ld a t a ，a n dt 壬l e r e s u l t sa r e 碍r e 】 k e yw o r d s ：o p t i m a lc o n t r o i ；d e m a i nd e c o m p o s i t j o nm e t h o d ；s e m i i m p i i c i td i f ! f b r e n c e m e t h o d ： s e ai c e ；n u m e r i c a ls i m u l a t i o n l i 独创性说明 作者郑重声明；本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：至塞簦 导师签名 垄! 笸年月堡绸 大连理工大学硕士学位论文 引言 区域分解算法作为求解偏微分方程的一类有效的新技术，正在受到极大的关注。该 算法能够将大型偏微分方程分解为一系列小规模问题。在并行计算机上有效地求解。目 前关于区域分解算法的工作已有很多。几乎所有的非重叠区域分解算法都是通过基于内 交界面上的传输条件的子区域迭代法，d n 算法与n n 算法是其中具有代表性的算 法。另一方面，目前的区域分解法绝大多数是针对椭圆型方程的。若用该算法求解抛物 型偏微分方程，须先将方程对时间变量离散，然后在每个时间步上用区域分解迭代算法 求解离散化后的抛物型方程。 控制论是现代应用数学的一个重要分支；在过去的几十年里无论在理论上还是在应 用上都有极大的发展，在这一领域中有许多有效的数值方法。 在海冰温度场上的研究工作已经有了众多成果( u n t e r s t e i n e r ，n 1 9 6 4 ； m a y k u t ，g a ，a n dn u n t e r s t e i n e r ，1 9 7 1 ：p a r k i n s o nc l a n dw m w a s h i n g t o n ，1 9 7 9 ： g a b i s o nr ，1 9 8 7 ) 等，以往的研究工作在考虑海冰有积雪覆盖的情况下，没有充分利用 整个区域的局部光滑性。本文将雪层、冰层和水层作为考虑的系统，由于此系统的抛物 型方程的极大不可微性，采用区域分解方法，利用最优边界控制方法解决区域分解方法 的关键步骤，即将子区域之间的连续性条件作为控制变量，建立最优控制模型，确定区 域内交界面上方程解的值。构造数值优化算法，依实测数据进行了数值模拟。区域分解 方法的优点是，使每个子区域充分光滑，从而克服了其不可微性，很好地利用了雪层、 冰层与水层海冰热力系统的局部光滑性。为克服控制问题的不适定性引入正则化方法， 并论述最优控制的存在性。而且，在数值模拟各层温度场分布时，应用半隐式差分方法， 此算法具有无条件稳定和计算量小的特点，明显优于已有的全隐式差分方法。 大连理工大学硕士学位论文 1 综述 1 1 分布参数系统参数辨识与最优控制概论 1 1 1 分布参数系统参数辨识与最优控制问题描述 分布参数系统是指有无穷个自由度的物理系统，用数学的语言讲，就是用偏微分方 程、偏微分一积分方程或偏微分方程和常微分方程的耦合方程来来描述其运动规律的系 统。在实际问题中，从数学的角度来说，绝大部分物理过程都是偏微分方程描述的系统， 是非线性的、分布的。例如，温度场，弹性振动，地下水的渗流、油气的形成与开发等 都是分布参数系统。分布参数系统是一个无穷维空间中的一个元，其状态空间是一无穷 维的函数空间。 参数辨识是指从某些实测资料中确定描述系统的模型中的未知参数，从而使模型的 输出在某种给定的意义下充分接近实际过程的观测值。分布参数系统的未知参数可以是 常数，或者是一个或多个时间、空间变量的函数，一个系统的参数辨识问题必须具备如 下四个前提：系统方程，容许参数集，观测值和拟合准则( 或目标泛涵) 。 在实际工作中，建立数学模型时往往将演绎法和归纳法结合起来，尽量利用被研究 系统的已知规律和原理，采用演绎法确定系统模型的数学结构，然后利用实测数据将系 统模型中尚末知道的部分( 如模型参数) 辨识出来。系统辨识可以起到对初步建立的机 理模型迸一步完善的作用。在实际应用中，人们虽然可以通过众多的原理推导出物体的 运动规律，并使用适当的数学模型描述这些规律，例如建立一组微分方程或代数方程等， 但对其中许多参数，仍需通过别的手段来获取。许多经典的、现代的学科或工程都与系 统参数确定这一基本问题有关。经过试验或经验确定化学比率、热物性参数、电磁性质、 空隙率、扩散常数、弹性模量、应变能力等参数的工作是整个科学界的一项重要的任务， 通常，测量这些基本的参数必须在严格控制的条件下进行，当实验控制条件能够满足时， 则用直接测量方法确定有关参数。但是，在模拟操作过程中。许多复杂的现象不能服从 实验条件，对于这样的模型的分析，允许噪声时序资料的的辨识方法是一个强有力的工 具。 人们对各种复杂系统的认识并不满足对系统的被动的认识，而是一种能动的行为， 也就是试图对各种系统进行主动认识和控制，使系统按照指定的或者预定的方式运行， 从而达到对系统能动的干预，实现为我所用的目的。二十世纪六十年代初期，由于科学 技术的发展和实际工程控制系统设计的需要，以及集中参数系统最优控制发展的影响， 现代控制理论的一个新分支一分布参数系统的控制理论开始萌芽、发展。例如，在核反 海冰热力系统区域分解及连续性条件的控制 应堆中，在变压器温度场中等，如何通过外界的反应，控制系统内部的变化，这就是分 布参数系统的最优控制问题，它是现代控制理论的一个重要的且具有广泛应用前景的分 支。 最优控制，又称为动态过程最优化，是现代控制理论和实践的一个中心课题。它包 括确定性最优控制和随机最优控制。它所研究的中心问题是：如何根据受控系统的动态 特性，去选择控制规律，才能使得系统按照一定的技术要求进行运转，并使得描述系统 性能或品质的某个“指标”在一定的条件下达到最优值。 最优控制问题用数学描述出来，通常都包括以下五个组成部分： ( 1 ) 受控动态系统的数学模型，即动态系统的状态方程。 ( 2 ) 受控动态系统的初态与终态，即状态方程的边界条件。 ( 3 ) 目标集。 ( 4 ) 容许控制集。 ( 5 ) 性能指标。该指标通常称为性能指标或性能泛涵、目标函数、代价函数等等。 从数学的角度来讲，分布参数系统最优控制与参数识别两者在本质上是一致的，只 是着重点有所不同，在分析与研究方法上有异曲同工之效。因此，把它们归结在一起进 行研究。当然，这两种情况，在实际的系统或应用中可能也同时发生。分布参数系统的 最优控制与参数辨识两者最终均归结为求解一个具有约束条件的函数空间中的最优问 题。 1 1 2 分布参数系统参数辨识与最优控制的研究工作 分布参数系统的参数辨识与最优控制在许多方面都有着广泛的应用，如：地下水资 源、石油勘探、地震、气象等方面。在实践需要的推动下，分布参数系统的参数辨识与 最优控制的研究在其短短的历史中有了突飞猛进的发展。许多科学家、系统科学家和工 程师在这一领域作出了开辟性的工作。j l l i o n s 的早期著作f 1 9 7 2 ) ”1 问世后，引起了强 烈的反响。他对描述分布参数系统的偏微分方程的定解问题做了专门的研究，为最优控 制理论和系统最优辨识奠定了理论基础。他的另一部经典著作f 1 9 7 1 ) 乜1 是关于由偏微分 方程描述的系统的最优控制理论的著作，在其中l i o 邶以泛函分析为基础，用变分不等 式做主要工具。探讨了各类典型的二阶偏微分方程的二次指标最佳控制问题，对正问题、 反问题的定性理论都得出了比较系统的结果。此后这一领域的许多理论工作都是从这里 导出的。 分布参数系统参数识别的研究工作，主要从最优解的存在性及最优性条件、系统的 可辨识性、稳定性和最优控制问题的求解等方面展开，并向具体化、清晰化以及应用化 4 大连理工大学硕士学位论文 方面发展。在最优解的存在性及最优性条件方面，人们根据不同的系统作了大量的工作。 由于分布参数本身的复杂性，早期的研究工作主要集中在线性、半线性且不考虑对状态 和控制约束的情形。这方面n u a 1 1 m e d 和k l t e o ( 1 9 8 1 r 的工作最具代表性，以 o a 删y z e n s 姆a 和v a s o l o n n i l o v 关于线性与拟线性抛物方程的定解理论f 1 9 6 8 ) ”1 为基 础，他们将l i o n s 的结论进行了较为全面的推广；n u a h m e d ( 1 9 8 2 尸给出了一类二阶双 曲型分布参数系统最优控制的解存在的必要条件，这是研究双曲型系统最优控制方面较 早的研究工作之一；n u m l l n e d f l 9 8 6 r 利用算子半群、伴随系统以及变分不等式等工 具，把分布参数系统最优控制理论引入到参数辨识中，在b a n a c h 空间中，给出了这一 领域的一抽象理论体系，同时研究了参数辨识的可辨识性及最优解存在的必要条件；在 1 9 8 9 年出版的另一部专著l7 j 中，以算子半群为工具，研究了由发展方程描述的系统的最 优控制的p o n t f y a g 证原理。n u 甜l i n e d 的上述工作均是建立在一种抽象的理论体系下。 此后，n u 甜l n l e d 与其合作者还做了大量的工作，讨论了具有强非线性的发展方程描述 的系统最优控制的存在性及其必要条件；同时，a l l m e d 还在分布参数系统最优控制中， 首次引入了测度解的概念，并作了大量的研究工作，这也是最优控制理论研究中新开创 的一大领域。 在国内，关肇直、宋健等研究了分布参数系统的镇定问题。此后，对确定性分布参 数系统最优控制理论的研究逐步展开。复旦大学李训经、何瑛、姚允龙和雍炯敏等一批 学者利用算子半群、粘性解、凸分析、s o b o i e v 空间理论，在分布参数系统的时间最优 控制、最大值原理、缺乏c e s a r i 条件下最优控制的存在性以及可控制性等诸多方面取得 了许多有代表性的成果；并就具有时滞的抛物型分布参数系统最优控制进行了深入的研 究；李训经和雍炯敏的论著( 1 9 9 5 ) 阳 ，对分布参数系统最优控制和无穷维空间最优化理论 的发展产生了重大的影响。高夯( 1 9 9 9 尸把c l a r k 的非光滑分析理论 洲o n s m o o t l la i l 蛳i st h e o r y ) 引入分布参数系统最优控制之中，证明了一类半线性抛物 方程描述的非凸最优控制问题的最优解的存在性及其基于变分不等式的最优性必要条 件；同时，还研究了由椭圆型方程描述的空间区域最优控制问题，给出了最优控制区域 存在的基本条件，该研究工作在区域最优控制理论方面具有一定的代表性。王康宁在文 献( 1 9 9 5 ) 【0 1 中，基于线性算子理论、泛函分析、映象微分和发展方程的定性理论，把集 中参数系统最优控制中的相关理论推广到分布参数系统之中，并主要对问题最优解存在 性、可控性、能达性以及可观性进行了较为深入的探讨；同时，还研究了具有双层、单 层介质的有压力系统的参数识别问题及可辨识性；还分别研究了具有二次性能指标和具 海冰热力系统区域分解及连续性条件的控制 有时间性能指标的线性抛物型分布参数系统最优控制存在的必要条件，并给出了用算子 方程形式描述的半线性抛物型系统控制存在的最大值原理。喻文焕在无穷维最优控制， 尤其在分布参数系统参数识别方面做了大量重要工作，在( 1 9 9 6 ) ”就参数带有逐点约束 与不等式约束的识别问题作了详细的探讨，将原问题抽象为一个约束最优化问题，利用 d u b o v i s 虹i m i l u t i n 引理证明了问题的泛函极值原理。 由于求解分布参数系统最优控制与参数辨识问题计算的复杂性，与分布参数系统最 优控制与参数识别问题的定性理论，尤其是由单个方程描述的系统相比，相应的最优化 算法的研究发展明显滞后。因为各工程技术领域、经济管理和资源分配等实际应用部门 的迫切需要，以及有穷维非线性规划优化算法和计算机技术的迅速发展，对于求解最优 控制问题的优化算法研究近年来越来越受到人们的重视，并得到了较大的发展，成为最 优控制理论中的一个重要的组成部分和解决实际问题的一个有力的工具。最优控制的优 化算法主要内容是研究求解最优控制问题的各种数值计算方法，并研究算法的收敛性和 收敛速度。这些内容多数是把变分法和求解非线性规划最优化问题的一些数值方法与技 术加以改造、移植和拓展而得至0 的。从数值计算角度来说，分布参数系统最优控制与参 数识别问题是一种以状态方程及对相应控制、状态变量的限制为约柬条件的犬规模最优 化问题。近年来，人们试图从已有的有穷维优化算法中寻找一种有效的算法移植到分布 参数系统最优控制与参数辨识问题求解之中。f t r o l t z s c h 等学者对求解分布参数系统最 优控制与参数识别问题的基于s q p 方法的优化算法进行了深入的研究，提出了求解一类 抛物型最优控制的s q p 法，并证明了算法的收敛性，在( 1 9 9 9 ) “部中研究了一种求解由半 线性抛物型方程及其初、边值条件描述的最优控制问题的 l ，n s q p ( i a g r a n g en e w t o ns q p ) 法，其基本思想是：基于状态方程弱解、最优控制存在 性及相应的正则条件和b 蛐a c h 空间中的微分学理论，把最优控制问题用一适当的 b a n a c h 空间中的二次规划问题来逼近，然后用l a g m g e n e 州0 n 法求解相应的二次规划 问题，类似于有限维空间中相应算法的构造方法，得到b a m c h 空间中求解最优控制问 题l n s q p 方法，并基于最优控制存在的一弱二阶充分条件和求解b a l l a c h 空间中的广 义方程组的n e 、v t o n 法理论，证明了算法的局部二阶收敛性。此外，h t b a l l k s ( 1 9 8 5 y ”3 等从逼近的角度研究了分布参数系统参数辨识的计算方法。其算法的基本思想是：用一 系列的有限维问题逼近无穷维识别问题将偏微分方程d e ) 约束下的优化问题转化为 一系列常微分方程( o d e ) 约束下的优化问题，将函数参数的求取简化为求有限个常数参 数，使得参数识别问题可以利用已有的集中参数系统识别的标准程序。在国内，龚六堂 6 大连理工大学硕士学位论文 ( 1 9 9 5 ) ”们等人讨论了一类简单的椭圆型最优控制问题的增广l a g r 锄g e 乘子法，并把并行 算法的思想引入到分布参数系统最优控制的优化算法研究中。 二十世纪八十年代后期，出现了广义分布参数系统，它是比分布参数系统更为广泛 的一类系统，如电缆信号传播、图像处理、气体吸附、磁流、弱解耦合系统和电磁耦合 超导线路中的电压分布等。它与一般的分布参数系统有着本质上的区别，当系统受到干 扰时，不仅会使系统失稳，而且会使系统结构发生很大的变化。1 9 8 7 年，k a c z o r e k 和l e v v i s l l5 】分别从理论上提出了一类广义分布参数系统。此后，广义分布参数系统的研 究开始为人们所重视，从而提出了广义分布参数系统的最优控制与参数识别的概念。对 于前者在理论上的结果极少，而对于后者的研究目前尚未开展。由于广义分布参数系统 最优控制与参数识别具有广泛的应用前景，对该问题的研究必将对工程系统、经济与社 会系统、生命科学与材料科学等发展产生重大的影响。 1 2 区域分解算法概述 1 2 1 区域分解算法描述 在实践中提出的科学与工程问题，如油、气藏的勘探与开发、航天飞行器的设计、 大兴水利设拖的建筑、大型结构工程、天气预报、反应堆的设计等等，其数学模型都是 高维、大范围的大型偏微分方程，计算区域也往往是高维、大范围的，其形态可能很不 规则，给计算带来很大困难。 科学与工程计算的大规模性对计算方法提出了更高的要求，并行计算机的问世和日 益普及以及并行算法的发展为设计更有效的算法提供了物质保障。8 0 年代，一类被称为 区域分解算法的偏微分方程数值解的新技术骤然崛起。简而言之，区域分解算法是将一 个复杂的计算区域，按照一定的原则分解成若于简单的子区域，子区域的形状尽可能规 则，在每个子区域上相应地建立适当的规模较小的子问题，于是原问题的求解转化为在 子区域上求解。一个子问题用一个c p u 来处理，并通过高效、快速的并行的迭代方法 求解一系列子问题。从而获得整个区域上原始问题的解。由于该算法能将问题分解，由 大型问题分解为小型问题、复杂边值问题分解为简单边值问题、串行问题分解为并行问 题，因此1 9 8 5 年以后，愈来愈受到人们的重视和关注，研究渐趋活跃。进入九十年代， 区域分解算法无疑已成为当今计算数学的热门领域，是当前并行数值计算中最活跃的研 究与应用领域之一。 区域分解方法特别受关注，是因为它具有其他方法无以比拟的优越性： ( i ) 它把一个大的问题化为一些较小的子问题，缩小了计算规模。 海冰热力系统区域分解及连续性条件的控制 ( 2 ) 子区域形状如果规则( 如长方形) ，其上或者允许使用熟知的快速算法，如快速 f o 谢e r 变换陋f n 、谱方法等；或者已经有解这类规则问题的高效率软件备用。 ( 3 ) 允许使用局部拟一致网格，无需用整体拟一致网格，甚至各子域可以用不同离 散方法进行计算。这对于形态极不规则的问题更加适用，如锅炉燃烧问题：炉体部分与 烟筒部分几何尺寸相差很大，整体计算为了对付烟筒部分，不得不把网格加得很密。而 区域分解算法可以把这两部分分别处理，具有很大的灵活性。其他如建筑中的板、梁组 合结构等也有类似情况。 ( 4 ) 允许在不同的子域选用不同的数学模型，以便整体模型更适合手工程物理实际 情况。例如，油、气藏的模拟中，靠近井管部分流速快，应服从非d a r c y 流规律，而远 离井管处则服从d a r c y 流规律，在边界层附近为粘性流，在边界层外为无粘流，二者有 不同的数学模型，使用区域分解算法易于在不同子区域选用更适合于实际的模型；再如 对数学中颇为棘手的混合型方程，如果我们把区域的椭圆型部分与双曲型部分作为两个 子区域考虑，在子区域内进行计算就简单多了。 ( 5 ) 算法是高度并行的，即计算的主要步骤是在各子域内独立进行的。 ( 6 ) 其它。对对称区域问题有更简单的区域分解算法。 上述各点以缩小规模及并行计算尤为根本。 区域分解方法的发展史，最原始的思想可追溯到1 8 7 0 年德国数学家h a s c h w a r z 提 出的著名的s c h 咄交替法。s c h w a r z 本意是借用交替法论证非规则椭圆型方程解的存 在性与唯一性，直到二十世纪五十年代，才有人把s c h 啪r z 方法用于计算。由于并行计 算机的出现，并行处理与并行计算已成为世界高科技领域的主要研究方向，而区域分解 算法正是将并行求解技术用于大规模科学计算的主要方法之一，由于并行计算机问世和 日益普及，经典的串行计算格局不适应于并行计算机，传统的算法受到挑战，区域分解 算法正是在这种背景下应运而生。 区域分解算法属于当前偏微分方程数值鳃的前沿领域，它集并行算法、预处理技术、 多网个多水平技术、快速算法之大成，有着广泛的应用前景，其发展趋势方兴未艾。 1 2 2 区域分解算法的研究工作 目前区域分解算法仍处于发展阶段，美国、苏联、法国、意大利皆形成了自己的流 派，我国康立山教授在八十年代初就提出以s c h w a r z 交替法为基础的异步并行算法，并 出版专著1 “。 区域分解算法的重要基石是偏微分方程快速算法。快速算法主要针对规则域导出， 而区域分解的子域往往是规则域，特别有利于用快速算法求解。目前，所研究的区域分 大连理工大学硕士学位论文 解方法主要有：不重叠型、重叠型、虚拟型及多水平型区域分解算法【l “。 不重叠区域分解方法，源于有限元子结构方法，有限元刚度矩阵若按子结构分解成 块结构形状，则使用g a u s s 块消去法就导出容度方程。不重叠区域分解法的特征是先对 区域作原始剖分，各子区域之间互不重叠。 有无内交点是不重叠区域法的主要类别。无内交点情形较容易处理，离散d _ n 交替 法，l d m a r i n i h e 和a q u 甜e r o n i 【”1 方法，可证得迭代矩阵的条件数与剖分参数矗无关； 有内交点情形计算比较复杂，b r a m b l e 等与w i d l l l n d 提出不同的预处理器，其结果是相 似的：算法的条件数为o ( ( 1 + i o g ( h m ) ) 。) ，挖= 2 ，3 是维数。此外，g i o 、v i n s l ( i 还建议阻 迹平均算子法去处理有内交点的区域分解计算，储德林m 】讨论了这方法的收敛性。 对称区域分解法最早由康立山，邵建平，饶传霞口”基于误差对称原理提出，需要 两步并行计算求出准确解；吕涛，刘波口2 1 基于函数的奇、偶分解法用一次并行就求出 准确解。前者我们可在专著瞳”中找到详尽叙述，后者可在文献“”中找到。 重叠型区域分解算法以s c 交替法为理论依据。1 8 7 0 年德国数学家 h a s c h w a i z 首次用交替方法论证了两个相互重叠的和集上l a p l a c e 方程d i r i c l l l e t 问题 解的存在性。稍后n e 啪锄注意到这思想可以用于求解两个相互重叠区域的d m c h l e t 问 题。1 8 9 0 年p i c a r d 进一步发展了s c h w a r z 的思想，用之于解非线性椭圆型偏微分方程， 并把算法定名为s c h w a r z 交替法。 自从h a s c h w 貔提出交替方法后，经许多著名数学家的研究，以p l l i o n s 1 的投 影解释最简单和易用。数值s c h w a r z 算法开始较晚，六十年代，k m i l l e r 口叫是最早把 s c h w 8 r z 方法用于计算的数学家，康立山在1 9 7 9 年推广s c h w a r z 方法于数值计算上。康 立山【2 ”应用解的渐近展开，论证了矩形域上p o i s s i o n 方程的s c h 啪r z 交替法的收敛速度 与重叠域的关系；p l “o n 口日应用极值原理论证了一般域上的二阶椭圆型方程的 s c h w a i z 交替法的收敛速度与重叠域的关系。这些重要的结果，在文献 1 7 中作了介绍。 基于混乱松弛法，康立山提出s c h w a r z 异步并行算法，吕涛阽6 j 使用l i o n s 的投影解 释给出异步并行算法较为严格的收敛性证明。在 1 7 中对这结果作了改进，证明了异 步并行算法的收敛速度是几何的。 加性或并行s c h w a r z 算法克服了s c h w a r z 交替法串行性。吕涛，石济民，林振宝 2 7 3 提出了用平均法构造的并行s c h w a r z 方法，w i d l u n d 利用l i o n s 关于s c h w a r z 方法的投影 解释及h y 鲫耐i 协n t 2 8 3 的多水平方法思想，提出最优迭代精细方法【”】。吕涛，石济民和 林振宝还考虑了变分不等式的并行s c h 眦方法。有关并行s c h w a r z 方法的收敛速度， 变分不等式近似解的单调收敛性及变权因子加速收敛方法在 1 7 皆属首次发表。 9 海冰熟力系统区域分解及连续性条件的控制 虚拟区域法的研究主要属苏联学者的工作。早在1 9 6 3 年v - k s a u l e v 就开始研究虚 拟方法，提出了借助虚拟方法解边值问题的快速算法。其后，k o p c h c n o v ( 1 9 6 8 ) ， k d n o v a l o v ( 1 9 7 3 ) ，r u l d l 0 0 v e t s ( 1 9 6 7 ) 都作出了杰出的贡献。c i m a r c h u k 论述了虚拟方 法原理及早期的有关虚拟方法的详尽文献。k d b e u ( o v 和b a k h v a l o v 建立的迭代法在 1 7 】 中给予了详细的介绍。当今区域分解方法研究中最活跃的苏联学者y 、1 a 硒z n m s o v 建立 的子空间内迭代法，使迭代矩阵的条件数仅受制于a 的不变子空间对应的本征值。 m a r c h u k ，k u 趾e t s o v 和m a t s o l 【i n 详述子空间方法对区域分解法和虚拟方法的应用。 k i l z n e t s o v 还引进部分解概念，使计算过程更节省运算和存贮。 多水平方法是区域分解方法中崛起的新方向，撇开多层网格法不谈，多水平方法应 为y s e r e l l t a n t 所突破。y s e 阳n t a r l t 发现有限元空间如果按多水平分裂，得到的子空间“几 乎”是正交。b a i l i 【，d u p o m ，y s e r e n t a m 用此方法阐述等级基多网格法；w i d l l l f l d 用它 构造有内交点子结构区域分解法的预处理器；s m i t h 和w i d l u n d 把结点基和等级基之间 转换与s c h u r 分解相结合得到新的区域分解方法。b r a m b l e ，p a s c i a k 和许进超，引八多 水平结点基克服了等级基在高维遇到的困难。许进超的博士论文多水平方法理论， 详细地阐述多层网格法的相关点和多水平结点基的应用。这方法有广泛的应用前景， 是大型科学与工程计算方面的研究主流。 区域分解方法是适应并行计算机的工作原理应运而生的偏微分方程数值解法，意在 借助于并行计算机求解规模巨大的工程问题。近十多年来，将区域分解方法用于求解偏 微分方程从各个不同的角度己经有所发展。关于区域分解算法的工作已有很多，几乎所 有的非重叠区域分解算法都是通过基于内交界面上传输条件的子区域迭代法，d - n 算法 和n n 算法是其中具有代表性的算法。另外，目前区域分解算法在椭圆型问题中的应用， 已有很多人在这方面作了大量的工作。而对抛物型问题来说，由于问题的特殊性，对区 域分解方法在抛物型问题中的应用研究却很少，并绝大多数是以有限元法为基础的。 d a w s o n 等 2 叼对于一维热传导方程的模型问题给出了有限差分区域分解方法，把通常整 个计算区域上的隐式计算化为多个子区域上的可彼此独立操作的隐式计算，实现了整个 空间上隐式计算的分裂。 j e a n - d a v i d b e n a m 0 u 叫对于波动方程的最优控制问题。给出了一个具有成对的 r o b i n 传递条件的非重叠区域分解算法，并证明了它的收敛性。 h y e s u k k w o n l e e ( 2 0 0 0 ) ( 3 j 1 提出了求解非线性问题的非重叠区域分解方法。该方法通过 在每个子区域的交界面上寻求n 咄n a i l n 边界条件，将原问题转化为一个最优化问题。 文中证明了最优解的存在性，并导出了一个确定这些解的最优系统。该文还将区域分解 大连理工大学硕士学位论文 方法阐述为一个最小二乘问题，并对非线性问题构造了数值算法。随后，他将陔方法应 用于研究控制自然对流问题的b o u s s i n e s q 方程。 1 3 海冰热力系统研究概况 海冰热力系统内的温度变化，实际上是种十分复杂的传热过程，因此海冰热力系 统的数值模拟属于计算传热学( 或数值传热学) 。计算传热学是近三十年来形成的一门 传热学分支。为解决能源，交通，动力，化工，冶金等工程技术领域中的大量传热学问 题，传统上采用基于相似理论指导下的实验研究与理论分析方法解决。随着计算方法和 计算技术的迅速发展，大大推进了用数值计算方法研究传热闯题的进展。计算传热学的 特点是以传热学现象为研究对象，建立合理的数学模型和离散方法，在计算机上实现传 热过程在时间与空间上的定量变化规律。 计算传热学的主要优点是模拟真实条件的能力强，能以较少的费用和较短的时间预 示有实用意义和较完整信息的研究结果。对于投资大，周期长的实验研究，它的上述优 点更为突出。虽然计算传热学不可能代替实验研究，但大量的传热学计算实例表明，计 算传热学确实是一种研究复杂传热问题的有力工具。将计算传热学与试验研究相结合， 不仅有助于实验方案的设计和改进，进而可以德到最优方案，而且还可以拓宽实验研究 的范围，缩减实验参数范围，减少实验工作量等。因此，计算传热学是一种有效的，经 济的研究手段。 北极海冰是北极地区的主要环境因子之，对北极和全球环境变化有着极其重要的 影响。人们在对北极海冰进行观测、积累资料的同时，一直在不断探索和研制海冰数值 模拟，用于揭示北极海冰的各种机制。随着模拟水平的不断提高，近年来海冰温度场的 数值模拟正在用于对北极海冰场的预报以及全球气候变化的研究。海冰温度场的数值模 拟已成为北极海冰研究必不可少的手段。因此，建立海冰温度场的最优控制模型并进行 数值模拟，具有十分重要的意义。 海冰热力系统迄今为止考虑最全面的是一维海冰热力模式，他们用表面热平衡决定 冰增长率，以扩散方程控制冰内热传导，且引入了雪盖、冰盐度、冰内卤水、气泡、短 波辐射透射加熟、冰密度垂直变化、传导率和比热的影响。模拟出北极中心的平均冰厚、 表面消融量和冰内温度场与观测资料一致。前人对该模式的研究取得了众多成果 ( u m e r s t e i n e r n ，1 9 6 4 ；m a y k u t ，g a 。a i l d n u n t e r s t e i r l 1 9 7 1 ；p m 血s o n c la n dw m w 髂h 协群o n ，1 9 7 9 ；g a b i s o nr ，1 9 8 7 ) 等，该模式给定入射辐射、湍流通量、海洋热通量和 降雪量，但没有涉及相应的大气和海洋物理量，无法讨论大气和海洋边界层的湍流通量 以及无冰水面向冰盖状态的转化。同时，模式达到平衡所花的模拟时间长，也不利于发 海冰热力系统区域分解及连续性条件的控制 展成为三维模式。后来，s e m t n e r f l 9 7 6 1 对该模式作了大量简化，使其适合于三维模拟， 后人的热力模型大部分在s e m 廿l e r 工作基础上继续发展。p a r l d n s o n f l 9 7 9 ) 将冰热力学模 式扩展成为大尺度三维模式，对s e m t l l e r 的热力学计算作了部分改进，特别是考虑了水 道的影响。尽管水道的空间尺度只是o 1 1 0 枷，但其海一气热量交换比冰面大一个量 级，冰与水道以及冰下水与水道问的热交换对热平衡起着重要作用。该模式考虑了这一 热力过程，并作出较为合理的水道参数化方案对冰厚和范围的季节变化作出了合理的模 拟，同时也因其热力学考虑合理、全面而得到广泛引用。 9 0 年代以来，对海冰热力学过程的考虑更加细致、全面。e b e r t 等( 1 9 9 3 1 考察了冰 与大气间的热力过程，i _ ，e d l e y ( 1 9 9 1 ) 考察了雪盖对冰热收支的影响，这些研究都改进冰 热力模式和冰模式对热力过程的模拟。 青岛海洋大学物理海洋研究所王志联f 3 2 1 研究和讨论了海气相互作用过程中海冰演 变的物理过程；大气和海洋对海冰的热力作用以及冰内物理过程；大气和海洋热力学参 数对冰厚和密集度等冰情参数的影响和上述物理过程的数学处理。计算了冰面与水面能 量收支，并分析海冰热力增长函数的特征；将热力模式与动力模式连接构成热动力模式。 结果表明，考虑热力过程的热动力模式，对类似海冰融化过程显示出明显的优越性。模 拟结果与卫星和海上观测相符合。 国家海洋环境预报中心吴辉锭、李海、白珊和张占海1 3 ”在海冰动力学和热力学研究 基础上，提出一种海冰动力一热力模式。该模式包括平整冰、堆积冰和开阔水三要素， 采用粘一塑性本构关系计算冰内应力。利用参数化方法处理变形函数和热力增长率。 南京信息工程大学大气科学系宋洁，孙照渤【圳针对h i b l e r 热动力海冰模式的不足， 以1 个3 层热力模式为基础改进了其热力部分，比较了原模式中的零层热力模式和用于 改进的3 层热力模式；并应用改进前后的两种热动力模式对1 9 8 3 年的北极海冰进行了 模拟。模拟结果表明，海冰厚度比原模式厚，季节变化减弱，海冰密集度与观测资料更 为符合。 南京大学大气科学系余志豪和自学志1 给出了一个改进后的海冰热力模式，主要通 过海面和冰面的温度变化及热量收支，用来计算海冰面积和厚度的时空分布。取北极区 大气和有关场的气候资料，由该模式模拟了北极海冰空间分布和季节变化循环特征。模 拟结果与部分研究工作，以及实况相比较，基本状况近于一致。这为进一步建立冰一气 耦合特征模式，探讨冰气隅合相互作用，提供了较好豹基础。 国家海洋环境预报中心王可光等】根据水文气象观测，详细分析了太阳短波辐射、 长波辐射、云量、感热和潜热等对海冰热力增长函数的贡献，给出了一种海冰热力过程 1 2 大连理工大学硕士学位论文 的参数化方案。并选取2 个典型的个例进行了对比研究。模拟结果表明，该参