（概率论与数理统计专业论文）马尔可夫转换garch模型的平稳性和高阶矩.pdf

中文摘要 摘要 资产定价理论表明预测收益与时变风险报酬、随机理论泡沫、学习机制呈现 出非线性的结构，用于捕捉这种结构的一种灵活方法就是采用离散混合分布模型， 它具有时变条件均值和条件方差，时尖峰厚尾的分布，详见t i m m e r m a n n ( 2 0 0 0 ) 1 i 该模型中应用最广泛的是h a m i l t o n ( 1 9 8 9 ) 2 1 提出的马尔可夫转换模型由于马尔 可夫转换模型能更好的阐述非线性的特征，近年来常被用于刻画金融时间序列波 动率的动态行为不过，在刻画与时变波动率相关的非线陛特征方面，还是普遍 使用g a r c h 类模型由于这两种方法或者在参数估计上存在着一定的麻烦，或 者在刻画动态特征b 丕不够准确，所以一直存在着将两种方法结合起来使用的想 法g r a y ( 1 9 9 6 ) 3 l 给出了马尔可夫转换g a r c h 模型，随后k l a a s s e n ( 2 0 0 2 ) 4 对 其加以改进然而，上述模型却不能用g a r c h 类模型的观点给出令人满意的解 释( 见h a a s ，m i t t n i k & p a o l e l l a ( 2 0 0 4 ) 5 1 ) 因此，h a a s ，m i t t n i k & = p a o l e l l a ( 2 0 0 4 ) 5 l 给 出了一种新的马尔可夫转换g a r c h 模型，通过该模型给出的方差过程的分解较 之前已有的其他形式更合理这种方法通过一些汇率收益率序列给出了很好的解 释，结果表明带有非对称条件混合密度的马尔可夫转换g a r c h 模型是刻画较好 的波动率模型 本文主要研究h a a s ，m i t t n i k & p a o l e l l a ( 2 0 0 4 ) 5 给出的马尔可夫转换g a r c h 模型的一些结构性质首先，给出了该模型存在二阶矩平稳解的充分必要条件 同时，也推导了其平稳解的明显表达式，本文所用的技术不同于h a a s ，m i t t n i k & p a o t e l l a ( 2 0 0 4 ) i s t ，避免了要求过程在无限长时间前具有有限方差的限制条件的假 设进一步，利用平稳解的明显表达式，给出了该过程高阶矩存在的充分条件 关键词：马尔可夫转换g a r c h ；二阶矩平稳性；高阶矩存在性 英文摘要 a b s t r a c t a s s e t p r i c i n gt h e o r ys h o w st h a tf o r e c a s tr e t u r n st i m e - v a r y i n gr i s kp r e - m i u m ，s t o c h a s t i cb u b b l e s ，l e a f i n gm e c h a n i s m ，e t c ，p r e s e n t sn o n l i n e a rs t r u c t u r e af l e x i b l em e t h o dt oc a p t u r ei t i st oi n t r o d u c ed i s c r e t em i x t u r eo fd i s - t r i b u t i o n s ，w h i c hh a st i m e - v a r y i n gc o n d i t i o n a lm e a na n dv a r i a n c ea n dl e p - t o k u r t i cu n c o n d i t i o n a ld i s t r i b u t i o n ，s e et i m m e r m a r m ( 2 0 0 0 ) t “a n dm a r k o v - s w i t c h i n gm o d e lp r o p o s e db yh a m i l t o n ( 1 9 s o ) t “i sp o p u l a r l ya d o p t e d t h e u s eo fm a r k o v - s w i t c h i n gm o d e l st oc a p t u r et h ev o l a t i l i t yd y n a m i c so ff i n a n c i a l t i m es e r i e sh a sg r o w n c o n s i d e r a b l yd u r i n gp a s ty e a r s ，i np a r tb e c a u s et h e yg i v e r i s et oap l a u s i b l ei n t e r p r e t a t i o no fn o n l i n e a r i t i e s n e v e r t h e l e s s g a r c h - t y p e m o d e lr e m a i nu b i q u i t o u si no r d e rt oa l l o wf o rn o n l i n e a r i t i e sa s s o c i a t e dw i t h t i m e - v a r y i n gv o l a t i l i t y e x i s t i n gm e t h o d so fc o m b i n i n gt h et w oa p p r o a c h e sa r e u n s a t i s f a c t o r y , a st h e ye i t h e rs u f f e rf r o ms e v e r ee s t i m a t i o nd i f f i c u l t i e so re l s e t h e i rd y n a m i cp r o p e r t i e sa r en o tw e l lu n d e r s t o o d ag e n e r a l i z a t i o nt om a r k o v - s w i t c h i n gg a r c hm o d e l sw a sd e v e l o p e db yg r a y ( 1 9 9 6 ) 1 3 1a n ds u b s e q u e n t l y m o d i f i e db yk l a a s s e n ( 2 0 0 2 ) 1 “w h e r e a st h e s em o d e l sc a nn o tp r e s e n ts a t - i s f y i n gi n t e r p r e t a t i o nw i t ht h ev i e w p o i n to fg a r c h - t y p rm o d e l s ( s e eh a a s ， m i t t n i k & p a o l e l l a ( 2 0 0 4 ) n ) t h e r e f o r e ，h a a s ，m i t t n i k & p a o l e l l a ( 2 0 0 4 ) 1 5 i p r e s e n t e dan e wm a r k o v - s w i t c h i n gg a r c hm o d e l t h ed i s a g g r e g a t i o no ft h e v a r i a n c ep r o c e s so f f e r e db yt h en e wm o d e li sm o r ep l a u s i b l et h a ni nt h ee x - i s t i n gv a r i a n t s t h ea p p r o a c hi si l l u s t r a t e dw i t hs e v e r a le x c h a n g er a t er e t u r n s e r i e s t h er e s u l t ss u g g e s tt h a ta p r o m i s i n gv o l a t i l i t ym o d e li sa ni n d e p e n d e n t s w i t c h i n gg a r c hp r o c e s sw i t hap o s s i b l ys k e w e dc o n d i t i o n a lm i x t u r ed e n s i t y t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e ss o m es t r u c t u r a lp r o p e r t i e so f t h em a r k o v - s w i t c h i n g 英文摘要 v g a r c h p r o c e s s e si n t r o d u c e db yh a a s m i t t n i k & p a o l e l l a ( 2 0 0 4 ) “，as u f f i c i e n t a n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo ft h es e c o n d - o r d e rs t a t i o n a r ys o l u - t i o ni sd e r i v e d ，a n dt h ee x p l i c i te x p a n s i o no ft h es t a t i o n a r ys o l u t i o nm a r k o v - s w i t c h i n gg a r c hp r o c e s si sa l s oe s t a b l i s h e d t h et e c h n i q u eu s e di nt h i s p a p e rf o rt h es t a t i o n a r 时o fi sd i f f e r e n tf r o mt h a tu s e di nh a a s ，m i t t n i k & p a o l e l l a ( 2 0 0 4 ) 5 ，a n da v o i d st h ea s s u m p t i o nt h a tt h ep r o c e s ss t a r t e di nt h e i n f i n i t ep a s tw i t hf i n i t ev a r i a n c e f u r t h e r m o r e ，u s i n gt h ee x p a n s i o no ft h es t a - t i o n a r ys o l u t i o n ，e x i s t e n c ef o rt h eh i g h - o r d e rm o m e n t so ft h ep r o c e s si sa l s o p r e s e n t e d k e yw o r d s ：m s g a r c h ；s e c o n d - o r d e rs t a t i o n a r i t y ；e x i s t e n c eo fh i g h - o r d e rm o m e n t s 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的 研究成果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研 究成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担 由此论文而产生的责任。 声明人( 签名) ：粕怛竣 珈g 年f 月吁e t 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门 大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和 电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行 检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 本学位论文属于 l 、保密() ，在年解密后适用本授权书 2 、不保密。 ( 请在以上相应括号内打” ”) 作者签名：李扫旺 导师签名： 沏g 年f 月j 7 日 年月日 马尔可夫转换g a r c h 模型的平稳性和高阶矩 1 引言 金融市场的波动率是资产收益的条件方差，是风险的一种度量；波动率的预 测在资产组合理论，特别是期权定价理论中起重要的作用，其准确的度量和良好 的预测十分重要，因此波动率理论及其实证研究受到广大研究者的关注近几十 年来，研究者们普遍认识到了金融市场收益率具有尖峰厚尾分布这个事实，因此 考虑时变波动率将会提高参数估计的效率和区间预测的精确度，构造合适的时变 波动率模型来刻画金融市场收益率就成为热门的研究方向，为此就提出了一系列 的模型，比如a r c h 类模型、m a c h 模型、c h a r m a 模型、r c a 模型、s v 模型；其中a r c h 类模型因为其简单化、易于估计而引起广泛注意，实证研究 表明a r c h 类模型能很好的刻画大部分金融市场资产收益率的“波动率聚类” 和“尖峰厚尾”特征因此，a r c h 类模型在金融波动建模和预测等方面有着广 泛的应用 a r c h 类模型的隐含假设是拟合期数据与预测期数据基于同一模型，金融市 场在拟合期和预测期不存在波动结构的变化然而金融市场经常由于政策变化、 股市泡沫和一些突发事件而起伏动荡，周斯眭地在高波动和低波动体制问，或者说 在牛市和熊市间相互转换，特别是我国的金融市场仍处于不断的调整和转轨中， 经济规律不断变化，金融市场的金融波动结构变化是实际存在的而所有时期都 采用单体制固定参数的g a r c h 模型，并不考虑体制间经常性地转换，这显然会 低估高波动时期的波动率，高估低波动时期的波动率波动率的结构变化对衍生 证券的定价和最优套期保值比率的构造有着重要的意义比如说，波动率有由低 至高的体制变化，而定价时仍假定一个固定的历史无条件波动率，那么期权价格 就会被低估因此，对金融波动采用变结构的波动模型建模是十分必要的 波动率的其中个重要研究方向是波动率持续性( v o l a t i l i t yp e r s i s t e n c e ) ， 对于其的定义，通常认为是当前的外部冲击对条件方差影响的长久和大小程度。 马尔可夫转换g a r c h 模型的平稳性和高阶矩 2 对于标准g a r c h ( 1 ，1 ) 过程： = o t 0 + ( 1 i c t 一1 + l t 一1 条件方差的向前s 期最小均方误差预测服从一阶差分方程： 如k = q o + ( 0 1 + z 1 ) h t + a - l i t v s 1 p = 。+ 风是该一阶差分方程的衰减参数，也正是波动率持续 生的度量( 以 下称为持续性系数) 如果持续性参数越接近1 ，则波动率的持续性越强，外界冲击对波动率的影 响越持久。这一发现导致了e n g l e & b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 6 1 的i g a r c h ( i n t e g r a t e d g a r c h ) 模型的产生，此时，p = 1 ，外界冲击对波动率的影响不随时间的推 移而逐渐消失，而是一直持续很长时间已经有研究表明，冲击的强持缵 生可能 是由于过程中的无条件方差的变化而引起的，即以上式子中旺。的变化，而这些 并不能由以上式子的单体制模型来完全刻画 如果这些无条件方差的变化是持续不断的，则波动率的持续性有两种可能的 来源，即由冲击引起的持续陆和由方差方程中参数的体制转换引起的持续性d i e - b o l d ( 1 9 8 6 ) 7 i 首先在这个方向上进行了研究最近m i k o s c h & s t a r i c a ( 2 0 0 4 ) 8 l 的研究表明，无条件方差确定性的变动是使得p 接近1 的真正原因国内外利用 单体制a r c h 类模型对金融市场的股票或股指收益率、利率、汇率等数据作实 证分析，黻现持续性系数十分接近于1 ，表明当前的外部冲击对未来条件方差 的影响是不可忽略的和长久的，这必然导致动态模型在易变( v o l a t i l e ) 时期过高 地预测波动率 根据d i e b o l d 的假设，l a m o u r e u x & l a s t r a p e s ( 1 9 9 0 ) 9 认为这种高度持续 性是由条件方差方程的误设定造成的；他们通过实证发现，g a r c h 模型中未考 姻唠蓑方程中常数项确定性的结构变化时，就会隐含过多的持续性，即结构变 化被误认为”波动率聚类”时期；因此能更稳健地描述数据的时变结构变化的更 般化的g a r c h 模型k i m & k o n ( 1 9 9 9 ) ”l 对国外多支股票和股指收益率 作实证分析表明，当在g a r c h 模型中考虑到利用统计方法检测到的无条件方差 马尔可夫转换g a r c h 模型的平稳性和高阶矩 3 变化点之后，持续性系数将极大的降低 然而，以上采用的条件方差结构变化模型存在以下几个弊端； 1 它的变化点检测方法与估计方法分离，比如k i m & k o n f l 9 9 9 ) f 训，结构变化 的检测方法采用b a y e s 统计方法，而参数估计时却采用经典统计方法； 2 通常需要估计大量的参数，计算效率很低； 3 未考虑均值方程的参数变化和方差过程中其他参数的变化，灵活性不够； 4 只能用于解释过去，预测效果非常差 将体制转换模型和g a r c h 模型联合正好消除了以上这些不足之处； 1 它有更灵活的参数结构，所有不同体制的对应系数皆不同，或者不同体制采 用不同的( g ) a r c h 标准，( g ) a r c h 模型只是其中的个特性； 2 它可以产生比单体制g a r c h 模型更广泛的偏度、峰度和序列相关，适用于 些过度尖峰厚尾的数据近年来一些实证表明，单体制a r c h 类模型并不 足以描述由结构变化引起的过度尖峰厚尾现象； 3 结构变化点被看作数据生成过程( d a t a - g e n e r a t i n gp r o c e s s ) 内生的个结构 性事件，在参数估计的同时可以进行识别 在时间序列的统计分析中，模型的平稳性和高阶矩的存在性是非常重要的 因为在时间序列模型的估计理论中，无论是参数估计方法，还是非参数估计方法， 或者是半参数估计方法，都需要模型有平稳遍历性本文将在h a a s ，m i t t n i k & p a o - l e l l a ( 2 0 0 4 ) 5 1 给出的一种新的马尔可夫转换g a r c h 模型的基础上，给出该新模 型的一些结构性质本文各章的结构如下；第一章介绍马尔可夫转换模型类的理 论来源和模型形式，并对相关文献做一番综述第二章重点介绍了h a a s ，m i t t n i k & p a o l e u a ( 2 0 0 4 ) 5 l 给出的新的马尔可夫转换g a r c h 模型的模型形式及其特点 第三章推导出了这种新的马尔可夫转换g a r c h 模型二阶平稳解存在的充分条 件和必要条件同时，还给出了m s g ( k ) 过程的高阶矩存在条件第四章对本文 的工作和结论做一番总结 马尔可夫转换g a r c h 模型的平稳性和高阶矩 4 第一章背景知识 1 1 马尔科夫转换模型 许多宏观经济或金融时间序列的正常行为会发生偶然 生中断，致使经济系统 从一个体制转换到另个体制，此类动态行为可能源于战争、经济危机、股市泡 沫、政策变化等。当这种转换发生时，数据的分布特征也要改变，比如，宏观经 济周期陛地在扩张和紧缩间不断相互转换，这两个时期应该有不同的动态行为， 须用不同的时问序列模型来刻画，等价地说经济时间序列有两个不同的体制显 然，如果在样本研究周期内存在结构变化，而仍利用固定参数的线陆模型来建模 将导致错误的统计推断 假设犰为某经济变量增长率，在扩张时期其动态行为服从如下形式： y t 一弘l = 砂( 玑一1 一t , q ) + 氏 而在经济紧缩时期，均值增长水平必然发生变化，采用另一形式来刻画其动 态行为更适合： 玑一“2 = 西( 讥一1 一p 2 ) + 日 我们可以将上面两式合并用同一的表达式来描述： 虮一肛。= t j ( 玑一1 一卢卜，) + 白t = 1 或2 ( 1 1 ) 这就是h a m i l t o n ( 1 9 8 9 ) 提出的状态相依的马尔可夫转换( m a r k o v - s w i t c h i n g 简记为m s ) 自回归模型，用以刻画宏观经济相依序列的结构变化，并描述其非 对称的经济周期现象，它构造了一个复杂灵活的结构，将由不同经济机制生成的 数据结合进个单模型中由于体制的转换不能视作完全可预见的、确定性事 件，即研究人员并不确知结构变化发生的时间，所以假设体制之间的转换由不可 观测的外生变量。来控制是合理的通常指定该变量服从k 状态的遍历和不可 约齐次马尔可夫链，其转移概率如下： p ( t = j ) l a t 一1 = i ) = 黝i ，j = l ，2 ，k 马尔可夫转换g a r c h 模型的平稳性和高阶矩 5 马尔可夫转换模型最早由h a m i l t o n ( 1 9 8 9 ) 2 1 提出，并很陕广泛运用于金融 时间序列分析中例如e n g d & h a m i l t o n ( 1 9 9 0 ) 1 ”，e n g e l ( 1 9 9 4 ) ”j ， f = ( i s s o d ( 1 9 9 7 ) i “，b o h e n ，g r a y & w h a l e y ( 2 0 0 0 ) 【圳，d e w a c h t e r ( 2 0 0 1 ) 埘， k l a a s s e n ( 2 0 0 2 ) 4 1 ， b r u n e t t ie ta 1 ( 2 0 0 3 ) 1 6 和b e i n e ，l a u r e n t l e c o u r t f 2 0 0 3 ) 1 7 1 研究了外汇汇率的体制转换；b o l l e n ，g r a y & w h a l e y ( 2 0 0 0 ) 1 4 】讨论 了不同汇率政策体制下带来的不同汇率行为；在f r a n k e l f r o o t ( 1 9 8 8 ) 1 8 】模型 的基础上，v i g f u s s o n ( 1 9 9 7 ) 13 】研究关于汇率动态行为的两体制马尔可夫转换 模型a h r e n s & r e i t z ( 2 0 0 4 ) 1 9 i 把v i g f u s s o n 的模型运用于德国马克一美元汇 率数据t u r n e r ，s t a r t z & n e l s o n ( 1 9 8 9 ) w ，p a g a n & s c h w e r t ( 1 9 9 0 ) 2 ”， h a m i l t o n s u s m e l ( 1 9 9 4 ) ”】，d u e k e r ( 1 9 9 7 ) 2 a ，r y d e n ，t e r a s v i r t a & a s - b r i n k ( 1 9 9 8 ) 2 4 1 ，b i l l i o p e l i z z o n ( 2 0 0 0 ) 1 2 5 1 ，m a h e u & m c c u r d y ( 2 0 0 0 ) 吲， s u s m e t ( 2 0 0 0 ) 1 2 7 ，p e r e z - q u i r o s & t i m m e r m a m l ( 2 0 0 1 ) 1 2 s l 和b h a r & h a m o r i ( 2 0 0 4 ) 2 q 把马尔可夫转换模型运用于股票收益率的建模上特别是h a m i l t o n & s u s m e l ( 1 9 9 4 ) 2 2 】通过股票收益率周数据区分低波动，中等波动和高波动体制， 并得出高波动体制与经济不景气有关而m a h e u & m c c u r d y ( 2 0 0 0 ) 2 q 区分牛 市和熊市并发现熊市的波动率要比牛市的高 1 2a r c h 类模型 资产收益的波动率不仅是时变的，而且在同段时间内会出现偏高或偏低， 呈现波动率聚类和尖峰厚尾现象为了刻画这两类现象，e n g l e ( 1 9 8 2 ) a o 提出了 自回归条件异方差( a r c h ) 过程：资产收益的波动率不仅是时变的，而且在同一 段时间内会出现偏高或偏低，呈现波动率聚类和尖峰厚尾现象为了刻画这两类 马尔可夫转换g a r c h 模型的平稳性和高阶矩 6 现象，e n g l e ( 1 9 8 2 ) 1 3 0 1 提出了自回归条件异方差( a 缸h ) 过程： = z t h j 2 ； g h f o o + q ；乙：( 1 2 ) i ；1 z t i i d ，e ( a ) = 0 ，v a r ( z t ) = 1 其中，是给定信息集舅一l 时，岛的条件方差 实证也表明，a r c h 模型能够很好地反映某些随机经济金融过程的特征 ( 见e n g l e ( 1 9 8 2 ) ) a r c h 模型的个重要特点是，给出了计算时间序列的条件方差的方法在 每一个时刻t ，a r c h 过程的条件方差是过去的随机干扰的函数，可以通过递 推公式计算我们知道h t 表示a r c h 模型岛在时刻t 的条件方差，给定随机 变量p l ，一2 ，f 一口的值，则 q h t = d b i e t - l ，c t 一。，t 一。) = n o + 啦e 色 ( 1 3 ) i = 1 所以，只有知道参数。o ，n l ，a 。的值，就可以在时刻t 一1 ，利用给定的数据 e ，龟- 2 ，氏一。，准确地预测在时刻t 的条件方差h 。进步。还可以预 测岛在时刻t + i ( f 0 ) 的条件方差 但是，a r c h 模型也有其不足之处若a r c h 模型的阶数q 过大，而样本有 限时，些涉及估计和预测的效果就会明显降低为了弥补这一弱点，b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 3 1 1 提出了广义条件异方差( g a r c h ) 模型，这个模型也可以看作a r m a 模型在方差水平上的应用，g a r c h ( p ，q ) 形式如下： 口p h t 一口。+ 啦靠，+ 岛忍 j ( 1 4 ) i = 1 = l 事实上，g a r c h 模型的本质是，阶数q o o 的a r c h 模型： h 产a o + 仉e 冬， t = 1 ( 1 5 ) ，lili_j(-l_il 马尔可夫转换g a r c h 模型的平稳性和高阶矩 7 很明显，当p = 0 时，岛服从a r c h 过程；当p = q = 0 时，矗就是个白噪声 过程+ 模型中，残差的条件方差不仅是前段时刻残差平方的函数，而且还是前段 时刻残差条件方差的函数g a r c h ( p ，q ) 过程允许了更长的记 乙和更灵活的滞 后结构，而只需估计少数参数，且能有效地排除收益率中过度的峰值 g a r c h 模型由于其简单化、易于估计及实证中对时变波动率的成功刻画而得到广泛的应 用 针对a r c h 模型其他一些不足，众多学者又提出了许多变体e n g l e ，l i l i e n & r o b i n s ( 1 9 8 7 ) 3 2 1 考虑到风险与收益之间的跨时权衡关系而提出了a r c h - m 模型；由于i g a r c h 过程缺乏理论依据及g a r c h 过程参数非负约束问题， n e l s o n ( 1 9 9 1 ) 3 3 j 提出了e g a r c h 模型，并考虑到正负冲击的非对称影响； g l o s t e n ，j a g a n a t h a n r u n k l e ( 1 9 9 3 ) a 4 提出了g j r - g a r c h 模型以简洁的 结构同样刻画了波动菲对称性，揭示了导致波动菲对称性的“杠杆效应”和“反馈 效应”，在实际中收到广泛的应用；以上模型统称为a r c h 类模型a r c h 类模 型广泛的实际背景，使得它们在经济领域中倍受重视此外，在许多其他领域中 也有类似的应用背景，例如在气象、水文等领域中( 见安鸿志，陈敏( 1 9 9 8 ) a s ) 另外，对a r c h 或g a r c h 模型，为了保证其平稳性，对参数的限制可能 有些苛刻例如a r c h 模型( 1 2 ) ，为了使该模型有平稳解( 有限二阶矩) ，系 数必须满足： o 0 ( i = 1 ，2 ，一，g ) ，乜 0 ，n t ，p 0 马尔可夫链的平稳分布 由舀= 丌l o 。，7 7 2 。，一，7 r k 。r 来表示我们把由( 2 6 ) 一( 2 8 ) 定义的k 体制m s g a r c h 模型简记作m s g ( k ) 如果在( 2 6 ) 一( 2 8 ) 中，m n z 卢1 ，风) 1 成立，则( 2 8 ) 可以写成： 蠢2 = ( 卜p ) 一1o ! o + 矿1 n s h 2 ， t = 1 由卢的对角性可得： 嗉= a o j ( 1z j ) 。1 + a l j 谚1 e 乙，j = 1 ，k t = 1 因此，口毳的发展仅依赖于体制内g a r c h 参数的变化另外，盯毳的a r c h ( o o ) 表示式类似于单体制模型下的相应表达式，a 1 ，( 1 一岛) - 1 代表一单位冲击对分 量j 的未来方差的总影响，其中。，度量冲击对下期的盯毳的即时影响程度， 风反映的是这样个冲击对分量j 的方差产生的记忆陛 对照m s c ( k ) 模型和( 2 3 ) 给出的模型可以看到：如果对于时刻t 有t = 。一1 ，则两个模型的方差的动态行为是相同的；而当体制转换发生时，它们的方差 动态行为就不同了假设就存在两种体制，一种低波动率一种高波动率，且低波动 体制在t 时刻转换成高波动体制在( 2 3 ) 中，由于不考虑体制转换，波动率动态行 为是由t - 1 时刻的低波动体制方差决定的，而在m s g ( k ) 模型中则立刻转由高波 马尔可夫转换g a r c b 模型的平稳性和高阶矩 1 2 动体制方差来控制，这就导致了方差的瞬间变化这个结论与h a m i l t o n ( 1 9 9 0 ) 4 5 1 提出的在潜在的随机过程中存在着“偶然的离散替换”，即所谓“体制替换”( r e g i m e s h i f t ) 的概念是一致的这个结论和d u e k e r ( 1 9 9 7 ) i 2 通过观测得出的波动率在 骚乱多发期间常会在短时间内迅速增长的论断也是相一致的 在时间序列的统计分析中，模型的平稳性和高阶矩的存在性是非常重要的 因为在时间序列模型的估计理论中，无论是参数估计方法，还是非参数估计方法， 或者是半参数估计方法，都需要模型有平稳遍历性，以及高阶矩的存在条件在 h a a s ，m i t t n i k s zp a o l e l l a ( 2 0 0 4 ) 5 】中，讨论了m s g ( k ) 模型的很多动态性质，给 出了m s g ( k ) 模型存在二阶矩平稳解的条件以及存在四阶矩的条件然而，在 h a a s ，m i t t n i k & p a o l e l l a ( 2 0 0 4 ) 5 中，他们假设了过程在无限长时间前具有有限 方差，这一条件是不容易验证的在本文中，首先，给出了该模型存在二阶矩平 稳解的充分必要条件同时，也推导了其平稳解的明显表达式本文所用的技术 不同于h a a s ，m i t t n i k & p a o l e l l a ( 2 0 0 4 ) 引，避免了要求过程在无限长时间前具有 有限方差的限制条件的假设进一步，利用平稳解的明显表达式，给出了该过程 高阶矩存在的充分条件 马尔可夫转换g a r c h 模型的平稳性和高阶矩 第三章m s c ( k ) 模型的一些结构性质 3 1m s g ( k ) 过程的二阶矩平稳性 在本节中，我们将考虑( 2 6 ) 一( 2 8 ) 定义的m s g ( k ) 的二阶平稳性首先，我 们需要些记号定义 a t = 和 其中 a l t i z l f l ，t l ：l a l t i , t ：1 ，t 一1 ：2 ) 一a l t i z l t 1 ，t l ：埘 a 2 t i z l t ：2 ，t 一1 ：i a 2 t i t ：2 ，一l ：2 ) 一a 2 t i v , t ：2 ，t 一1 ：衅 a k t 丑t = ，# 一1 = 1 )a k t i a 。= k ，一1 = 2 ) 一 a k t i z l f k ，一l = 蚺 m = 舰lm 2 l m 1 2 埘- 沈 m k l 2 m l km 强，m b k ( 3 1 ) ( 32 ) a 甜= ( 卢+ 呱2 0 1 e i ) ，m j t = p j 。( p + 1 ) ，i ，j = 1 ，k ，( 3 3 ) “) 表示示性函数令 和 恐一( & 。一。；1 ) ，& 。一。：2 ，t 。，k ) ) 79 玎f 2 ( 3 4 ) b = ( t ，1 ) ，丑，2 ) ，丘，k ) 7 o o ， ( 3 5 ) 其中 表示矩阵的k r o n e c k e r 积则，由( 2 6 ) 一( 2 8 ) ，有 五= a 一1 五一l + b 一1( 3 6 ) 马尔可夫转换g a r c h 模型的平稳性和高阶矩 引理3 1 对任意的n 1 ， e 夏a e 一，i t 一。 = 且护q 。一。m ”， c 。， 知 e 黔，卜鲫， s ， 其中吼= d i a g ( 1 a ，l 厶，丑，q 厶) ， c t = d i a g ( 1 t 厶，丌乩 ) ， ( a ，z ) 和m 分别由何圳和p 纠定义，以及；t i t = p ( a t = i ) ，i = 1 ，k 证明：我们先证明( 3 7 ) 成立 当n = 1 时，( 3 ，7 ) 显然成立，即 e a i t 一1 = 彳q t i m 现在，假设( 3 7 ) 在n = m 时成立注意到 e 卧，卜- e e 恿a t 一，i t 一。，t 一。一，吼一。 i t 一，) e e 夏a t 一，i a t - m , a t - m - l , t t - m a t m 1 五一。一- ) e e 融小小小一t ) 朋”e q t 一。a t 一。ia t - m - 1 】= m ”e a t 一。la t - m - 1 】 彳”+ 1 q t m 一1 m ”十1 1 4 马尔可夫转换g a 朐h 模型的平稳性和高阶矩 1 5 这就证明了( 3 7 ) 成立我们接下来证明( 3 8 ) 实际上，对于每个n 1 ，由 ( 3 8 ) 我们可以得到 e 黔，h e 卧，卜 ) = e m 1 q t 一。】= m “g 一。sm n 引理证明完毕 定理3 1 由偿砂一俾纠定义的m s g 阳过程有唯一的二阶矩平稳解，当且仅 当p ( m ) 1 其中，m 由p 缈定义，p ( m ) 表示m 的谱半径而且，该平 稳解有如下表示： e 。= ，兀圭 c ，；。最，卜一，+ 三f i i a 。一：一，1b 。一。一， 1 4 i = 1n = l j - - o 。：；，) 1 7 2 龟= 吼 ( 1 ；。最) i 马一，+ lna z 一 b 一。一z l。) lljj ( 3 9 ) 证明：先证明充分性 假设p ( m ) 0 ， 脯 1 、 n “一j 码。x o ，a s n = l j = o 这就证明了序列：。e ( f 1 ， ；- 。1a t jb ，一。 收敛从而得到了 。e 陪+ ，) 码扣 c 。圳 然而，注意到m m t = m m 0 0 ，其中m 。= 7 t o o n o 0 ，7 r o 。= ( 7 r 1 。，”2 。，7 r k o 。) 7 屉马尔可夫链t 的平稳分布结合引理3 1 ，我们有 e ( j i fa t 一，) b 一一。= e e ( j 墓a 一- 一，i 一，一。) b 一一。 = m ”e f q l 。b 一1 一。】 = m “e 【b 一1 一。1 = 胛m 一1 一。 = m “m o 。 所以， l i mm “= 0 即p ( m ) 1 定理证毕 马尔可夫转换g a r c 打模型的平稳性和高阶矩 3 2m s g ( k ) 过程的高阶矩 在这一节中，我们将使用前面给出的m s g ( k ) 过程平稳解的明显表达式，来 研究m s g ( k ) 过程的高阶矩 首先，我们注意到 其中 a 擐曲= a 尹3 a 譬 a 霈 a 鲁 a 客 a 譬 a 辩 船簟镌 ( 3 1 5 ) o d = j l a 掣1 。l i = ! 。 ：掣1o d = i “；：芦。k so d = ! “；挚_ ! = ：塑1k 一 、 k k l k 一1 k o 陬始珲型 鬈3 i a t = i , a t - i 1 ) o 枞此晖 型 o i ! = ! 。 ；掣1 。i i = ! “ ：掣1o i ! = ! “；：掣。 so _ ! = ! “；：。i ! = 2 h ：! 掣 一 “ k 一1 。 k 一】k l i ，j = 1 ，2 ，k ，a t 由( 3 1 ) 定义令 其中 ( 0 8 ) = 譬5 ) 器3 譬8 ) 兽3 ) 接8 ) 鬟3 ) 髫8 譬”鬟。 r 3 1 6 ) o ( i - - 1 ) ( k k 2 81 - - k s ) 1 i i = ! “ ：芦1o i = ! 。 ；掣1 。k 。o i ! i 1 ；- ! = i m ! k ! - - ! = 1 1 = 坚jk k k “ k l o 枞笔掣幽鼢e 隅s 0 k s 。世峰竽盟 o i ! = ；! 掣。l i = ! “；：掣o _ ! 二9 i ：! 掣。k 。o i ! = ! ；：掣i ! = i h ：；! = ! 兰 | 1 畛。 e 马尔可夫转换g a r c h 模型的平稳性和高阶矩 i ，j = 1 ，2 ， 再记 f = x ：i x l i = ( e i x l 5 ) o o ，s 1 ) 这里的x 是个随机变量最后，为参考方便，我们重述矩阵拉直运算的定义及 运算性质记吼0 = 1 ，2 ，k ) 为矩阵a 的列向量，则矩阵拉直运算记为： 并有如下关系式 v e c ( a ) = ( 理；，o ；) 7 v e c ( a b c ) = ( c 7 a ) v e c ( b ) 类似引理3 1 的讨论，我f j 可以得到以下引理 引理3 2 对于任意n ，s 1 ， e fjj-j-ioa 2 ；i t 一。 = c c e s ，”z k 一。c c 8 ，”， c s ， 知 h 1 ei a 为i = ( 临旬) ”d h ( ( ) “， ( 3 1 8 ) 其中兄= d i a g ( i ，l 厶z ， ，h 厶。) ，d t = d i a 9 ( t r u l k 2 ，7 r k t i , ：) ， a ，t z 和( 。) 分别由p 和p j 砂定义