（课程与教学论专业论文）中学生数学思维培养的教学策略.pdf

中文摘要 在数学教学中，要求学生通过自己的思维来学习，这是普通教育首要的教学目的和 要求。学生学习数学，不仅要掌握教学大纲所规定的数学实践知识、技能和能力，而且 要掌握数学思维的方法，促进思维的发展。因此，在中学数学教学中，教师必须注重学 生的数学思维过程及其培养，然而实际教学的缺陷之一，却恰好表现为忽视或压抑学生 的数学思维过程：有的教师采用注入式和题海战术，把数学的学习仅仅看成感知和再认 知，把学生的思维固定住了，变成了一种模式，学生的思维处于僵化状态，有了惰性： 有的教师把数学思维活动仅仅看作形式逻辑思维，而忽视了从整体看问题的辩证的、发 展的思维活动。可见，要改变这种数学教学状况，对数学思维的重要性、教师教学方式 的研究是非常有必要的，从根本上提出和解决这一闯题，才会真正使学生的思维得到发 展，不仅能够更好地理解和掌握数学中的基本知识，更能把这种数学思想应用到实际生 活中去。 本文对思维及数学思维进一步认识，通过对课堂教学过程进行记录，课后对教学过 程中的教学手段、教学方法进行分析，就中学数学课堂教学中的教育现状和学生数学思 维的培养等问题进行分析和阐述，结合课堂观察、教学实际情况，教学效果，寻找问题 根源，探究解决中学生数学思维培养的方法。 关键词：教师；数学教学；数学思维；数学思维的培养 a b s t r a c t h lm a mt e a c h i i l 舀l ef o r e m o s t9 0 a la n dr e q u i r e m e n ti st l l a ts t u d e n t ss h o u l dl e 锄o u 曲 t h e i ro w nt l l i i l k i l l g m a t h 1 e a n l i n gi s n o t 0 1 1 l y a b o u ta c q u i r i n gp r a c t i c a lm a t h e m a t i c k n o w l e d g e ，s k i l l sa n da b i l i t i e s ，b u ta l s om a s t 甜n gi n j 抽一t i l i n k i n ga p p r o a c h e sa n dd e v e l o p i n g t l 血此n gc a p a b i l i 哆 t l l e r e f o r e ，i nh i 曲s c h o o lm a t ht e a c l l i n g ，t e a c h e r sm u s tp a ya t t e n t i o nt 0t h ep r o c e s sa n d c u l t i v a t i o no fs t l l d e n t s 胧曲t l l i i l ：k i n g h o w e v e r o n eo ft 1 1 ed e f e c t si np f a c t i c 2 i lt 1 1 i i l ：虹n g h a p p e l l st 0b ei 乎1 0 r m g0 rd e p r e s s i n gt l l ep r o c e s s o fm a t h - 蛐n g ：s o m et e a c h e r sa d o p tm e m e t l l o do f f e e d i i l go rl a 唱e 锄o m l to fe x e r c i s e d o i i 培，c o n s i d e r i n gm a t hl e a n l i n g 嬲p e r c e p t i o n a r l dr e c o g l l i t i o na n dt h u ss t u d e n t st i l i i i k i n gi ss t i 伍，n e da n dt t l e yb e c o m er e l u c t a n tt om i i l l ( ； s o m et e a c h e r sh o l dt l l ev i e wm a tm a mm i m 【i i 玛i sm e r e l yl o 舀c a lm i m 血g ，i g n o r i n gm a ti ti s a l s oh o l i s t i c ，d i a l e c t i ca n dd y n a l i l i c i ti s0 b v i o u st l l a tt oc h a l l g et l l i ss i 似i o n ，s t u d i e so n l e 呻o r t a l l c eo fm a t l lt h i m 【i n ga i l dt e a c h e r s t e a c l l i n g 印p r o a c h e sa r el l i g i l l yn e c e s s a 哆o l l l yb y s o l v i n gt h ep r o b l e m 缸l d 锄e n t a l l yc 锄s n l d e n t s m 乏曲蛐g b ed c v e l 叩e d 孤dc a nt h e y n o t o m ym a s t e rb 嬲i cm a mk n o w l e d g eb u t 印p l ym eh o w l e d g e t oe v e r y d a yl i f e 7 r l l i sm e s i sf i l r t b e rd i s c u s s e st l l i i l l d n ga i l dm a _ t ht l l i i l k i i l g b yr e c o r d i n gc 1 嬲s r o o m t e a c h i n g 锄da i l a l y z i i l gt e a c l l i n ga p p r o a c h e sa n dt e a c l l i n ge 彘c t ，t l l i sm e s i si s d e v o t e dt 0 d i s 伽【s s i n gt h ei s s u e so ft h ec u l t i v a 主i o no fs t 畎l e 觚m a mt h i i l k i i l g 弛dm ea p l p r o a c h e so f c u l t i v a t i i 培m a mt l l j i l k i n g k e yw o r d s ：1 c a c h e r s ；m a mt e a c h i n ga 垂 p f o a c h e s ；m a ：mt l l i n k i i l g ；1 蕾a j n i n go f n l a mq ：l i n k i i l g i i 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取得 的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了 明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期：型垒! ：么 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东 北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、 汇编本学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士学位论文全文数据库 ( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论文全文数据库( 中国科学技 术信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式出版发行和提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 日 期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名： 日期： 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 引言 ( 一) 问题的提出 现代数学教学理论认为，数学教学是数学思维的教学。有人形象地把数学誉为“思 维的体操 ，学生学习数学的过程就是在头脑中建构认识结构的过程。数学教学的核心 是发展学生的思维能力。数学教学就是要使学生逐步认识到数学知识形成和发展的思维 过程，使学生从不自觉到自觉地运用思维方法，善于对问题进行分析、综合、归纳、类 比和概括，即“学会数学地思维，从而获得对数学知识本质和规律的认识能力。 2 1 世纪的教育要解决的最重要的问题就是如何培养和造就大批具备创造力的人才， 这就要求我们的教育必须把培养学生的思维放在第一位，使得每一个受过教育的学生都 能够自己发现问题，解决问题，做出科学决策，进行有所创新的工作。通过接受教育， 真正学会了思维的受教育者，无论对于社会还是受教育者个人，其意义都是重大而深远 的。从宏观角度看，通过教育，培养出适应时代需要的，善于思维，懂得思考，具有创 新能力的高素质人才，是提高整个民族创新水平的关键。从微观角度看，通过接受教育， 发展个体的思维品质和水平，使每一个人都成为创造的主体，都能够不断从自己的创造 性工作过程和成果中体验到生命的价值、体验到成功的感动。 因此，培养一个人成才，很重要的一个因素在于思维，在于科学的思维。思维作为 一种能力和品质，是人的智力的核心。正因为如此，中外教育家总是把对学生思维能力 的培养作为学校教育的一项重要任务。让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系， 体会数学的价值，增进对数学的理解和应用数学的信心；学会运用数学的思维方式去观 察、分析现实社会，去解决日常生活中的问题。赫钦斯说“教育不能复制学生毕业后所 需的经验，它应当使学生致力于培养思维的准确性，作为达到实际的智慧，即理智行为 的种手段。”因此，让学生学会思维，培养学生的思维能力是非常重要的。而研究促 进学生数学思维发展的策略对于学生数学思维的培养有十分重要的意义。 ( 二) 研究意义和研究方法 “在即将到来的2 1 世纪，以高科技为核心的知识经济将占主导地位，国家的综合国 力和国际竞争力将越来越取决于教育发展、科学技术和知识创新的水平，教育将始终处 于优先发展的战略地位”。圆 数学教育作为学校教育的主要学科教育之一，其教育价值一方面体现在数学本身的 科学技术价值，数学文化价值和数学理性思维价值；另一方面“以数学的特点及其优良 傅海伦在层次教学中培养学生的思维能力 j 中学数学教学参考，1 9 9 7 ，1 0 。 中华人民共和国教育部编：面向2 1 世纪振兴行动计划学习参与资料北京；北京师范大学出版社，1 9 9 9 。 l 东北师范大学硕士学位论文 品质决定了它不仅在技术方面，而在教育人、陶冶人、启迪人等全面发展人的素质方面 都起着十分重要的作用。 从1 9 8 5 年第一次全国教育工作会议开始一直到第三次全国 教育工作会议的召开，全面推进素质教育在我国进入了新阶段。素质教育赋予了教育方 针以新的时代内涵，它要求基础教育不仅要使学生得到知识和认知的教育，而且应将能 力及情感、价值观和行为方式的教育和培养放在重要的地位，使学生的基本素质得到全 面的、充分的发展。使每一个学生学会做人、学会学习、学会生存、学会创造。所以， 构建符合素质教育要求的课程体系，就要大力推进基础教育课程改革，调整和改革基础 教育的课程体系、结构、内容，使传统的基础教育课程内容和教育手段向素质教育转轨， 积极构建与素质教育的目标相吻合的课程体系。新的课程体系应把学生能力的培养、综 合性的学习及价值观的形成等放在重要的位置。这意味着我国基础教育课程体系必须走 出目标单一、过程僵化、方式机械的“培养模式 ，让每一个学生的个性获得充分发展， 培养出丰富多彩的人格。这也是我国素质教育课程体系的根本要求。 美国未来学家警告说：“未来的文盲不再是不识字的人，而是没有学会学习的人。 2 l 世纪需要的是有自主意识、创新意识，以及有自我适应能力和自我完善能力的人，要 求学生具有科学的学习方法和良好的学习习惯，让学生学会思考，但往往这只是一句空 话，或没有真正从行动上去支持这一观点。学生上课的时候也许会积极动脑思考问题， 并提出自己的观点和方法，但教师往往没有予以理会，没有对学生的观点给以明确的评 价，忽视了学生的思考，久而久之，学生也就不思考了，现在就要研究怎样才能从根本 上、从行动上解决这一问题。 数学课堂是全体学生主动探索和认识数学的殿堂，数学教学是师生共同创造生命价 值的过程。立足于新课程，运用好新理念，追求数学教学的整体感悟和生命体验，让数 学教学充满智慧与激情，使数学课堂更具有魅力，更好地实践新课程，新课程的理念， 使学生真正解放思想，学会用数学思维，经过思考掌握知识。 当前，素质教育已经向我们传统的高中数学教学提出了更高的要求。要坚持以学生 为主体，以培养学生的思维发展为己任，势必会提高数学教学的质量，摆脱题海战术， 真正减轻学生学习数学的负担，从而为提高学生的整体素质作出应有的贡献。 本文主要采取课堂观察法和文献分析法对问题进行研究。结合日常听课时对课堂教 学手段、方法的观察，实际的课堂教学效果，教学中的实际例子，学生数学思维发展的 情况，和对这方面研究文献的分析学习对问题进行研究。 对课堂教学全过程进行观察，教师课堂讲授的教学目标确立是否准确，课堂内容如 何引入、是否新颖有效，讲课思路是否清晰，课堂提问是否有效，板书是否完整，拓展 和小结是否到位，对学生的疑问、困惑是否解决，解决的是否恰当，观察教师的课堂教 学素养、策略、教学环节等多方面。学生课堂中的认知能力、学习态度及注意力情况， 学生对问题的反映，理解的程度，学生之间交流的情况和情绪表现。 看师生在整个教学过程中的活动、表现、情感、态度，听师生在活动中交流发言和 。义务教育数学课程标准( 实验稿) s 北京：北京师范大学出版社，2 0 0 l 。 2 东北师范大学硕士学位论文 由此反映的思维状况，在理性思考的基础上，探究发现执教老师的教学经验、特色和在 教学过程中暴露出来的问题，以及提出解决问题的方法。 听课时对课堂过程进行记录，课后对教学过程中的教学手段、教学方法进行分析， 找出其中的主要成绩和存在的问题，分析形成这一问题的原因，并提出相应的解决策略， 帮助学生掌握适合自己的有效的学习方法，促进中学生数学思维的发展。 东北师范大学硕士学位论文 一、数学教学中的思维与数学思维 ( 一) 思维 在现代心理学中，思维被理解为“受社会所制约的，同言语紧密联系的，探索和发 现崭新事物的心理过程，是对现实进行分析和综合中间接概括反映现实的过程。思维在 实践活动基础上由感性认识产生并远远超出了感性认识的界限。 也有人说：“思维是 人脑对客观现实概括的和间接的反映，它反映的是事物的本质与内部规律性。 把他们 的叙述概括起来：思维包括两个方面，一是能反映，二是有意识。能反映，在这点上， 人和动物是一样的，反映的仅是事物的个别属性、个别事物及其外部联系，属于感性认 识。有意识，这是指人和动物的一个显著区别，人脑可以产生意识( 头脑中已有知识和 自觉摄取知识的习性) ，而动物没有意识。 用意识装备起来的头脑去反映的可以是一类事物共同的、本质的属性和事物间内在 的、必然的联系，即这时已超出了感性认识的界线，属于理性认识。这就是思维的直接 本质。 思维是对客观事物的内在联系和本质属性的反映；反映的方式不是直观的，零散的， 而是间接的和概括的：思维要依靠感性认识，但远远超脱于感性认识的界限之外，去 认识那些没有直接感知过的或根本无法感知到的事物，以及预见和推知事物发展的进 程，其间接性关键在于知识与经验的作用，它随着主体知识经验的丰富而发展起来的， 因此知识和经验对思维能力有重要影响。思维之所以能揭示事物的木质和内在规律 性，主要来自抽象和概括的过程，以大量的己知事实为依据，在已有知识经验的基础上， 舍弃个别事物的个别特征，抽取他们的共同特征，从而得出新的结论。 ( 二) 数学思维 1 数学思维的定义 数学思维通常是指人们在数学研究与数学学习活动中思想的或心理的过程与表现。 数学思维是通过对数学问题的提出、分析、解决、应用和推广等一系列工作，以获得对 数学对象( 空间形式、数量关系、结构模式) 的本质和规律性的认识过程。也可以简单 地说，数学思维是数学活动中的思维。这个过程是人脑的意识对数学对象信息的接受、 分析、选择、加工与整合。苏联学者奥加涅相强调数学思维是人们认识具体的数学科学， 或是应用数学与其他科学技术和国民经济等过程中的辩证思维。王梓坤院士在：今日 数学及其应用一文中指出：当代数学思维是一种定量思维。 4 东北师范大学硕士学位论文 2 数学思维的品质 数学思维的品质一方面来自于数学学科本身的特点，即“高度的抽象性 、“严密 的逻辑性 、“结论的精确性”以及“应用的广泛性 。另一方面来自于数学用以认识 现实世界现象的方法，正如徐利治教授指出的：数学思维同时还具有类似自然科学思维 的“观察、实验、类比、归纳”等特点。我国众多的数学教育专家与学者在不同的论 著中也提出了许多大同小异的看法：广泛性、创造性、概括性、批判性、灵活性等。又 基于众多数学家与数学工作者的数学思维活动的亲身感受和体验，可以认为数学思维具 有广泛的涵义，在教育教学中不断探索。 下面从一些实际例子中介绍数学思维的几大主要品质。 ( 1 ) 数学思维的深刻性 数学思维的深刻性是学生对实际事物中的数学关系进行抽象概括而获得数学问题， 对具体数学材料、数学问题进行分析概括而得出数学模型，选择恰当的数学方法、用合 适的数学计算求出此模型的解或近似解，以及对解的实践检验、对模型的修正等过程中， 思考的广度、深度、难度和严谨性水平的集中反映。它表现在能深入地钻研与思考问题， 善于从复杂的事物中把握它的本质，而不被一些表面现象所迷惑，特别是在学习中克服 思维的表面性、绝对化与不求甚解的毛病要培养学生思维深刻性，首先，在概念的教 学中，要让学生了解概念的形成，既要知其所以，又要知其然，充分认识概念的内涵和 外延，分清一些容易混淆的概念，如正数与非负数，方根与算术根等在定理、公式、 法则的教学中，要让学生完整地掌它们( 包括条件结论和适用范围) ，领会其精神实质， 切忌形式主义、表面化和一知半解、不求甚解 例如：比较l 0 9 78 和l 0 9 89 的大小。 1 0 9 7 8 1 0 9 8 峙苗 嚣( 1 9 8 ) 2 1 9 7 1 9 9 1 9 7 1 9 9 f ! 咚望1 ：( 1 9 瓶) 2 ( 1 9 8 ) 2 二 【1 9 8 ) 2 1 9 7 1 9 9 可以推广l 0 9 2 0 0 62 d d 7 l 0 9 2 72 0 0 8 ，即l o g 刀 l o g 。刀+ 1 0 2 ) 若方穆2 + ( 小一2 b + ( 5 一所) = o 的两个根都比2 大，求实数的范围。 解：设两个根为x l ，x 2 ，= ( 肌一2 ) 2 4 ( 5 一聊) = 肌2 1 6 f 工l 2f 工，z 4 由题意得 x 2 2j 而x 2 4 j 研 一4 k o江二。 但是当m = 一5 时，x = 2 ，这个条件不是充分且必要的。 题设中有明显的显性条件，也隐藏了重要的隐性条件o ( 方程有两个根l ， 还要注意特殊值。 东北师范大学硕士学位论文 求) ，= s i l l 2 口+ 的最小值。 解：由黝= s i n 2 口+ 壶= ( s i l l + ( 志) 2 s m 口 s m 口 根据不等式口2 + 6 2 2 动得 y 2 1 s i i l 2 口_ * = 4 ，由于s i l l 2 口熹取不到“= 号 y s l n 口s m 。口 以上实例充分说明遇到复杂数学问题要把握它的实质，深刻挖掘题目条件与结论之 间的深刻内涵及内在联系建立桥梁。 ( 2 ) 数学思维的广阔性 数学思维的广阔性是指思路宽广，善于从多方面、多角度去思考问题。它表现在能 多方面、多角度去思考问题，善于发现事物之间的多方面的联想，找出多种解决问题的 办法，并能把它推广到类似问题中去思维的广阔性还表现在学生对所学数学知识进行 归类与概括，并运用概括扩大解题结果的适用范围，把个别在一定条件下推广到一般情 况。 例如：已知识肋锐角，s i l l 缸+ ) = 2 s i l l 口，求证：k i s i i l 甜 s i i l l t a n 水t a i l 分析 仃一胀。 通过分析可知本题可以从上述四个方面求证结论。 i s i l l 旦 s i n 鱼 l 22 方法i ：s i i l ( 口+ ) = s i n 口- c o s + c o s 口s i i l 胚s i l l 口+ s i i l s i l l ( 口+ ) = s i l l 口+ s i n 防 s i i l 口+ s i l l s i n 眯s i l l 届即认 方法：s 协( 口+ ) 一s i n 口= s i l l 口 c o s f 口+ 鱼1 s i i l 笪：s i n 竺c o s 旦 l2 2 22 s i n 竺 s i n 鱼，即水 已知型= 盥= 坐= 瓣的值。 zx y 利用比例性质型兰趔= 后，当x + y + z o 时， x + y + z 得后= 2 或后= 一1 。 通常我们只求得七= 2 ，忽视了觐+ y + z = o 时的情形，因为可以利用 数学思维的广阔性来秕+ ) ，+ z = o 时的植。 6 东北师范大学硕士学位论文 ( 爹设口、6 、c r + ，求证：口”+ 6 ”+ c “口p 6 9 c 7 + 口7 6 p c 9 + 口9 6 7 c p ， 其中刀，p 、小，都是非负整数，勘+ q + ，= 拧 欲证明较复杂的不等式，直接入手比较困难，我们可以先观察p = 2 ，g = 1 ， 厂= 0 时的特殊情况口3 + 6 3 + c 3 口2 6 + 6 2 c + c 2 口 不难看出，此不等式证明可以采用“均值不等式”，即由 垒之墨抓忑可：口：6 ，丝兰6 ：c ，竺羔c ：口，三式相加即得到特殊情况， 再考察一般问题， 阳”+ p 6 ”+ g c ” 以 仿照上面可知丝：丝：兰竺 疗 口r 6 p c 。，丝：丝：丝： 玎 口，6 9 c 7 ， 口9 6 7 c p ，由此即证。 充分体现了数学思维的广阔性。 ( 3 ) 数学思维的灵活性 数学思维的灵活性主要是指能够根据客观事物的发展与变化，及时调整自己的思 路，改变已有的思维过程，寻找新的解决问题的方法。数学思维的灵活性主要是学生在 数学思维活动中，思考的方向多、过程活、思维技巧能够适时转换，即思维的应变能力 强，在数学学习中活跃地表现为解题能力，即有的放失地转化解题方法的能力，灵巧地 从一种解题思路转向另一种思路的能力，或是具有超脱习惯处理方法约束的能力，当条 件变更时，能迅速找到新的方法，也能随着新知识的掌握和经验的积累重新安排己学的 知识，还表现为从己知因素中看出新的因素，从隐蔽的数学关系中找到解决向题的实质。 例如：已知口，o ( 扛1 ，2 ，9 ) 证明三阶行列式 l 口- 口z 口s i l 口4 口5 以6 i2 口l 口5 口9 + 口2 口6 口7 + 口3 口8 口4 一口3 口5 口7 一口l 口6 口8 一口2 口4 口9 中自q 岁弋项中， l 口， 口8 二，l 至少有一项是负数，也至少有一项是正数。 4 若孤立地考虑哪一项是正，哪一项是负，这是困难的。若能够灵活地从整 体考虑这一问题，注意到这六项的乘积是一( q 口，口。) 2 、丝、 等和数学语言“且、或、有且仅有、至多、至少 等表 达出来。某位教师在课堂上曾这样与学生讨论、交流。 例如：已知s i 时c o 昕肌，x 0 ，7 r 总有两个解，求所的取值范围。 学生a 给出了一种解法。 解：由s i 耐c o s 矛朋可得is i n g + 等) = 朋， 4 画图：令尸2s i n 等) ，尸聊在x o ，棚上方程有两个解， 4 则图像尸2s i n ( ；) ，与尸所有两个交点。 4 1 聊 压 东北师范大学硕士学位论文 l ，p - ，“ 一h 一 一o 寻书j 4 4 在讲完这个题后，教师问学生还有其它解法吗? 学生b 给出了第二种解法。 解：由s i m 汁c o 溯，令s i n x _ y ，c o 渊，则 问题转化为半圆x 2 + y 2 = 1 与直线x + y = 垅的图像 有两个交点，求掰的值。观察图像立刻可以知道1 聊 互。 广 l 心| | f 口 i 一 这时学生c 又给出了下面一种方法。 解：由s i 眦+ c o 沂朋可得s i n 结m 2 1 ，。x 0 ，羽，数 o ，2 棚， 一1 聊2 1 l ，o 聊2 2 ，一互聊压 此时学生马上会发现这个答案与上面结果不一样，教师与学生们进行讨论，寻找到 底哪儿出现了问题? 学生d 说变形后定义域出了问题，并做了如下修正。 解：由s i 时c o 瓯= 朋可得s i n 弘聊2 1 ，工 0 ，胡，及 0 ，2 棚， 而s i n 结( s i 眦+ c o 鳓2 ，故方程有两解的条件为0 掰2 - j 1 ， 1 朋2 2 ，1 朋 虿 针对上一题有四名学生提出了不同的解题想法，这样教学效果很好，教师在课堂上 说到“同学对问题要积极思考，能够表述自己的想法，与老师和同学进行讨论，交流自 己的解题想法，能够用数学语言和数学符号呈现自己的解题过程，确认自己的思维发展 1 6 篙劾 x x y 厂l 东北师范大学硕士学位论文 是否正确。 3 注重数学思想方法 受到数学思想的熏陶与启迪，以此去解决所面临的实际问题。通过纯数学知识的学 习，使学生掌握数学的思想和方法，通过解决实际问题使学生在掌握所要求的数学内容 的同时，形成那些对人的素质有促进作用的基本思想方法，如试验、猜测、模型化、合 情推理、系统分析等。课堂实录中例2 讨论排列中常见的相邻排列和分离排列问题，以 及排除法、插空法等解法在应用中需注意的事项。 某位教师对学生说过，新课改删减了一些比较“繁、难、偏、旧的数学内容，例 如代数式、方程与不等式、分式方程等降低了计算的要求。加强对运算概念的建立和对 运算意义的理解，能够根据题目条件寻求合理的、简捷的运算途径和一些具体的、技巧 性较强的方法，如换元法、因式分解法、公式法等。传统的这些内容侧重于有关数的运 算和式的恒等变形，充满大量的代数式的计算，方程的求解，函数问题的讨论。现在应 该重新认识数学、认识数学的价值和教育价值；关注数学化的过程、建立数学模型的过 程；重视数学的交流和推理能力的培养，有助于学生解释现实世界中的数量关系和变化 规律，有助于学生形成运用数量进行思考的思维方式。 ( 三) 课堂教学中学生数学思维培养存在的问题 1 忽视不同学习水平学生的数学思维的差异 课堂实录的例1 中教师在重难点问题的提问时，找了一位水平较高的学生来回答， 接着教师就只是对这名学生的回答给予了肯定，简单的强调了“重复 和“遗漏 的问 题，是解决排列、组合题时要特别注意的，水平低的学生是否理解了，思维是否跟的上 就没有关注到。学生的学习必然存在着好、中、差，教师在课堂提问时统统都让好学生 回答，而忽略了学习困难的学生，就会造成两节分化。 2 教师思维代替学生思维 课堂上会出现这样的现象，教师以自己的想法决定对一些问题不讲或一句话带过， 常常埋怨学生，“这么简单的题都做不出来 ! 误认为教师的思维逻辑就是学生的思维逻 辑，没有充分关注学生知识基础和思维特点，导致教师教学过程与学生思维错位或脱节， 全然不顾学生的已有学力，搭桥平坡，把一个问题可以解决的，非要列出两三个问题进 行引导，逼着学生“走碎步 。孰不知，教师与学生的认识水平与接受能力往往存在很 大反差，就学生而言，接受新知识需要一个过程，用教师的水平衡量学生的能力，教师 从自身的角度设计问题、解答问题，忽视了学生思维发展的过程。 3 问题情境的设计影响学生数学思维的发展 课堂提问是数学课堂教学的重要手段之一，是教师开启学生心智、促进学生思维、 1 7 东北师范大学硕士学位论文 增强学生的主动参与意识的基本控制手段，准确、恰当、有效的课堂提问才能激发学生 的学习兴趣，更好地提高课堂教学效率。 目前的课堂教学中，多数教师的课堂提问存在着一些问题：经常问学生“是不是 、 “对不对 、“好不好”等，有的已成了口头禅。这些问题属于单纯性判断，几乎没有 思维的价值，这类问题多了，学生就会感到单调乏味，失去学习的兴趣。随意性大，一 节课多的课题几十个问题，少的只提几个问题；事实性问题和理解性问题比例较高，粗 效提问，实效不高；让学生阐述观点、答案开放的问题比较少；几乎没有为学生留出提 问时间，也很少有学生主动提出问题，学生的学习主体地位得不到落实。课堂提问的设 计也存在以下不足之处： ( 1 ) 问题意思不明。课堂上教师提出的每一个问题都好比罗盘和路标，直接引导学 生的思维和方向。实践教学中往往因教师的提问模糊不清而导致学生数学思维障碍的现 象比较突出。 ( 2 ) 问题的思考价值不强。难易恰当的问题可以刺激学生的思维，促使学生积极思 考探索，寻求问题的解决。反之，则会造成学生思维的障碍。课堂上，问题难度不当有 两种表现：一是过浅，一是过深。课堂实录中的例3 的问题设计就过浅。 ( 3 ) 问题失去时效。部分教师对问题的时效性重视不够，无意中设置了障碍、兜圈 子，浪费了有限的课堂时间。一是问题超前，学生无法思考。二是问题滞后，学生无需 思考。三是缺少候答时间，学生没有时间思考。 4 理解错误导致思维发展遇到障碍 课堂实录中例3 的问题“每个盒子至少放一个”是从8 个相同的小球中拿出放到盒 子里，看的是放的结果，盒子里放的是1 个球，还是2 个球，但是学生习惯按照一贯的 思想，仍然看成是简单的取球问题，此题解法就被看成是取到球的过程，即从8 个球中 去的是a 、b 球，还是a 、c 球，学生未对问题理解准确，计算时出现错误，问的是不同 的“放法，不是不同的“取”法。日常教学过程中经常会发展学生出现这样的错误， 对题设的理解出现偏差。 5 课堂小结只是简单总结课堂内容 课堂实录中，课堂内容讲解之后的“小结，只是单纯的把这堂课的知识内容做一 个总结，而像内容的衔接、数学思维的转换这些都没有给学生一个明确、完整总结。学 生在学习的初期，往往会因新的知识与学生原有的知识结构不相符时或者新旧知识中间 缺乏必要的“媒介点”，新知识就会被排斥或经“校正后吸收。新旧数学知识不能顺 利“交接，那么这时就势必会造成学生对所学知识认识上的不足、理解上的偏颇，从 而在解决具体问题时就会产生思维障碍，影响学生解题能力的提高。 1 8 东北师范大学硕士学位论文 三、课堂教学中数学思维未得到充分开发的原因 对课堂教学中学生数学思维培养存在的问题，通过从学生、教师、教学手段等多方 面的了解、分析，发现学生数学思维培养的过程中存在如下几个方面的原因。 ( 一) 教师旧的教学理念未更新 在传统的教学中，传统的教学观念总是把教师作为既定课程的阐述者和传递者，学 生只是既定课程的接受者和吸收者。“教师拥有绝对的权力和权威，是知识的传达者， 是课程的主宰者，控制着学生的学习，控制着学生的活动，控制着学生的行为，甚至控 制着学生的思想。教师负责教，学生负责学，教学就是教师对学生单向传授知识的活动， 学生没有丝毫的自主选择、自主决定的权力和机会，学生的主动性、自主性、创造性被 消磨、被扼杀。 教师按照自己准备的教案进行授课，学生提出的异议、不同想法简单 讲解或说放到课后解决，简单讲解不能完全让学生明白，学生不知道从类似的这种角度 思考是否可以，而课后解决往往教师会忘记，学生也会忘记当时的想法，久而久之容易 使学生思考问题的积极性减退。数学教学的任务之一，就是训练学生的思维能力。提高 学生的思维能力，不仅是数学教学的根本，同时也是素质教育、创新教育的要求之所在。 赞可夫认为，数学教学不在于知识和技能本身，而在于想象、智力和思维的训练。在数 学教学中，教师应注重思维过程，培养学生的数学思维能力，提高学生的数学修养。教 师不能被传统的评价标准所束缚，应该不断更新教学观念，才会出现教育改革的曙光。 它表现为：学生只能跟着教师学，复制教师教授的内容。在这样的课程上，师生的 双边活动变成了教师的单边活动，教代替了学，先教后学，教支配和控制着学。学生是 被教会，无条件地服从于教，可看成是储存知识的容器，学生的独立性丧失了，主体性 不可能得到充分发挥。教师越教，学生越不会主动学。形成了学生听老师讲，学生跟老 师学的简单的教学过程，教师完全主宰着学生的思维。 ( 二) 教师教学机智缺乏 教师的教育机智是教师良好的心理素质和熟练的教育教学技巧的结合，是教师熟练 自如地综合运用各种教育知识、能力和经验的表现，是一种高度的数学艺术，因而也是 现代高素质教师的必备条件。乌申斯基说过：“教师缺乏了所谓的教育机智，无论他怎 样研究教育理论，都不可能成为一个优秀的实践的教师。 在教学中，不可能一切都完 全跟着教师的意图走，当教学中的意外发生时，就会手足无措。教师如果可以因势利导， 顺水推舟；可以随机应变，就地取材；可以冷静思考，灵活变通；可以幽默风趣，掌握 分寸，课堂的教学反应将会得到意想不到的效果。 国姜秀珠，闰海涛新课程背景下的新型师生关系鞍山师范学院学报，2 0 0 4 一1 0 ，6 ( 5 ) 。 1 9 东北师范大学硕士学位论文 ( 三) 教师与学生思维脱节 新的时代每天都有新的事物不断涌现，新的事情不断发生，学生是年轻的一代，本 能地喜欢追求新鲜时尚的东西，他们的接受能力和理解能力也很强，获取信息的渠道多 样，很快就能了解到各种各样的新鲜事物，很好的接受新鲜事物。而教师工作任务繁重， 加上还有很多的生活琐事，除了教好书，做好本职工作，基本没有空余时间去激发他们 接触新鲜事物。而年龄的差异更是最大的问题，年龄较大的老师，已经习惯了一本教材、 一套教参、一支粉笔“打天下 的方式，对网络也不太感兴趣，不会上网去查找或者分 享教学资料，接触、关注的事情也很是不同，师生之间就很难有共同语言，形成交流障 碍，这样就很难取得显著的教学效果。教师不能控制所有学生不接触网络、不受网络的 影响，那教师唯一能做的有效途径就是不停止学习，勇敢地尝试接受新事物，努力跟上 学生的步伐，把学生接触到、能接受的事物，变为课堂上与学生拉近距离的媒介，也可 以把一些新鲜事物与课堂知识相联系，学生对此感兴趣，也会很快、很有兴致的进入学 习状态。 ( 四) 新课改注重形式，缺乏实效 1 研究性学习只是口号，没有真正落实 新编高中数学新课程标准中明确提出：为了加强创新意识的培养，在必修课的内容中安 排“研究性课题。比如，人教社最新出版的教材中几乎每一章后都安排了阅读材料或 实习作业或研究性课题，教师可以提供思路，学生自己提出问题或给出研究内容，设计 解决方案，调查收集数据，分析解决问题，通过网络、图书馆、专家访谈等方式，收集 资料，通过调查、实验、小课题研究、专题讨论、社会实践等方式进行学习。在教师指 导下学生自主发现问题、探究问题、获得结论，让学生自主探究知识的发生过程，从问 题的提出、方案的设计与实施，到得出结论，均由学生来做，这种研究式教学方式相对 于接受式教学方式，学生是主体，整个研究过程中，学生的思维一直是积极的、活跃的。 但是部分学校教师忽视了这种教学方式，没有真正开展这项研究性学习。大多数教师本 身是传统教学方法培养出来的，这种传统习惯势力的惯性很强；对实施新的教学方法的 教学效果没有把握，宁可沿用传统的教学方法；要改革、要推陈出新，就要付出更大的 劳动，大多数老师还是求稳，固守陈章。深入研究教材，从教材中取得课题：新编的高 中数学教材( 练习部分) 已经为我们提供了大量的研究性学习的课题。如在学完数列后， 有的学生可能会产生疑问有没有“等和数列”和“等积数列”昵? 但教师往往就忽视 学生易产生的这些想法。 2 培养学生的思维能力出现种种偏误 ( 1 ) 认为推行新课程，课堂就必用多媒体 东北师范大学硕士学位论文 多媒体教学是课堂教学的全新形式。它能将知识活灵活现地展现在学生面前，并且 能将知识的形成过程体现出来，是一块黑板、一支粉笔、一张嘴不可替代的。多媒体教 学的优点我不必多谈，许许多多的文章由不同角度介绍过多媒体教学的好处，但我要说 任何事情有利必有弊。主要体现在：多媒体课堂会在一定程度上制约教师的灵活机制； 多媒体课件束缚了学生的思维走向；会妨碍师生之间的情感交流。 ( 2 ) 认为自主学习就是自学，教师退居二线，甚至可有可无 新课程标准主张学生是学习的主人，让每一个学生的个性充分发展，不应以教师的 分析来代替学生的实践。“新课标 中的种种提法对学生学习能力的培养和个性的张扬 的确不无益处，但有些教师把握不好角色的转变幅度和分寸，不免转过了头。教师因怕 自己的课被指责为“一言堂”、“满堂灌而不敢讲授，只做发问者、旁观者、旁听者， 对学生的发言、解答不置可否。要么一味地迎合、迁就，学生答什么都说“好”，要么 听之任之。对学生回答问题中出现的偏激与错误放纵之，不做及时的纠正与及时引导。 总之，为了突出学生的“主体 和“自主，教师甘心退居二线，甚至可有可无。于是， 教师的主导作用就无处发挥了，以为这样就体现了“以学生为主体”、“自主学习 的新 课程标准理念，实为过矣。 ( 3 ) 把叛逆当作求异，把偏激当作创新，这种现象更具危险性 叛逆是学生思维发展中常常会存在的区域。在强烈的自我表现欲的驱使下，学生可 能会通过这种方式引起别人的注意，在态度和言行上逾越家庭、学校和社会给自己提出 的要求。这种心理如果严重会导致青少年出现对人对事多疑、偏执、冷漠、不合群的病 态性格，使之信念动摇、理想泯灭、意志衰退、学习被动、精神萎靡等，对学生的人生 观的形成和身心健康都是不利的，是需要学校和社会以平等民主的方式进行引导的，与 “求异 心理是不同的。所谓的求异思维，是指思维的逆向发散，让思维形成对立面， 从问题的相反方面进行多方探索，导致新的认识。具有求异思维的学生所表现出来的进 取精神和旺盛的求知欲教师应给予足够的重视，引导他们发展创新思维。如果在理解上、 认识上把“叛逆作为“求异”进行鼓励，势必会与新课程改革的方向背道而驰。 偏激心理是指人的意见、主张等过火。在认识上片面性很大，看问题绝对；在情绪 上缺乏理性的态度和客观的标准；行动上表现为莽撞从事，不顾后果。对于这样的学生 需要帮助他们拓宽兴趣范围，掌握丰富的知识经验，掌握基本的思维方法，引导他们全 面、灵活、完整地评价事物，冷静、客观地看待问题。创新思维是在强烈的创新意识的 支配下借助于直觉思维和想象，将自己有的知识、信息进行重组的一种思维活动。创新 意识是创新活动的内部心理倾向，表现为好奇心、求知欲、怀疑感、创新需求、思维的 独立性等方面，是创新心理素质形成的必要前提。创新的意义勿庸置疑，但千万不能 把冲动、偏激的思维方式误认为创新，是很危险的。这是需要教师在新课程实践中必须 注意的。 o 刘君告别偏误执着前行新课程带给我们的思考，中国教育学刊，2 0 0 6 ( 7 ) 。 郑毓信改革热潮中的冷思考 j 中学数学教学参考，2 0 0 2 ( 9 ) ：3 5 3 8 。 2 1 东北师范大学硕士学位论文 ( 五) 思维的惰性、惯性、线性影响其的再发展 1 思维惰性造成思维模糊 学生遇到难题的处理方式，多是等老师讲解、问同学或问老师、继续思考、等以后 再解决。思维指向模糊主要表现在对关键信息感知把握不准，思维指向性模糊，表现出 思维的惰性。学生在学习数学的过程中，对一些数学问题的发生、发展过程没有深刻的 理解，观察只停滞在感知表象中，即使撞上关键信息，也不能加工形成有价值的反馈信 息，致使思路受阻，从而懒于动脑，久而久之，养成了思维的惰性。 2 思维线性造成思维中断 学生经常出现思维的方向性错误，是由于思维的单一性，呈线性状态，导致思维过 程常常中断而受阻。 3 思维惯性造成思维机械 思维的惯性常伴随着思维的惰性而存在。解题时出现错误的原因多为审题不清。学 生在解数学题时，经常未看清题意，见术语，便罗列公式，生搬硬套；见数据，便代入 演算，拼凑解答等。 由于学生已经具备相当的解体经验，往往对自己的某些想法深信 不疑，很难使其放弃一些陈旧的解体经验，从而使思维陷入僵化状态，不能根据新问题 的特点做出灵活的反应，常常抑制更合理有效的思维，甚至造成歪曲的认识。 ( 六) 教育评价理解和认识不足 教育评价在上个世纪6 0 年代传入我国，成为改进教育政策方案、改善管理体制的 效率、核定教育机构办学效能、评定个人工作绩效、促进教育质量不断提高的必要手段。 但相对与国外，我国教育评价起步较晚，取得一些可喜成绩的同时，仍然存在一些问题。 ( 1 ) 教育评价的最终目的是为实现教育的目的服务。然而在现在的教育实践中，教育 评价的目的常常被简单化、片面化，甚至曲解。( 2 ) 我国传统的教育制度一直认为教师 在教学过程中起主导作用，是理所当然的评价主体，学生只能接受教师的评价，因此一 些教师在评价中不重视学生的自我评价，不注意调动学生在评价活动中的积极性，影响 了评价目的的实现。( 3 ) 我国目前的教育评价体系是以迎合应试教育为目的的，以学业 成绩优劣为主的单一评价形式，忽略了发展个体特色和个性建设。 东北师范大学硕士学位论文 四、促进中学生数学思维发展的策略 ( 一) 教师以鼓励的态度关注中学生数学思维发展 常言道“十个手指不一样齐”，更何况人的学习水平呢? 学生的学习必然存在着好、 中、差，不可“一视同仁 。2 0 0 1 年的中国教育报基础教育课程改革指导纲要( 试行) 中提到：新课程方案要求处理好“传授知识与培养能力的关系 ，“促进学生在教师指导 下主动地、富有个性