（光学专业论文）矢量与标量光束通过复杂光学系统和介质的传输及散射研究.pdf

浙江入学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰弓过的研究成果，也不包含为获得逝姿盘鲎或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论义 中作了明确的晚明并表示谢意。 学位论义作者签名：杠新杉0 签字目期： 伽p 年厂月j 口日 学位论文版权使用授权书 本学佗论文作者完全了解逝姿盘鲎有权保留并向国家有关部门或机构送 交本论文的复印件和磁盘，允许论文破查阅和借阅。本人授权逝至三盘堂可以 将学位论文的仝部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采川影印、 缩印或扫捕等复制于段保存、汇编学何论文。 r f 宋蒈l ：i ，f ，j f 、，沦爻亿f 0 罕r 羔1 , - o 盯j 玉f j 小授 = 义f s ) 学何论文作者签名：杠新也 导师签名： 铭征 浙江大学博士学位论文 摘要 摘要 直到近期，光传输的研究工作依然大量受限于标量理论的框架，而光束偏振 特性的研究要求使用矢量的处理手段。将研究从标量场拓展到电磁矢量场实际上 是概念的一般化、广义化w o l f 教授于2 0 0 3 年提出的相干偏振统一理论指出， 光的相干和偏振是统计光学体系之中紧密联系的两个方面，只有在这样的理论前 提下，涨落电磁光场的许多特性才能被完全地认识和理解。该理论不仅丰富了光 学的理论体系，而且已经给出了统计光学许多层面的新见解，并进一步在应用领 域产生了重要的价值，如跟踪、遥感、光通讯等。毫无疑问，更加广泛的应用即 将来临于此背景之下，本论文重点研究了矢量理论框架下的随机电磁光束通过 湍流大气和光学系统传输的统计光学特性，分别考虑了光阑、聚焦，成像等复杂 传输条件以及光束的h a r t l e y 变换。然后基于标量理论框架分析了平面光波经由 各向异性介质和各向异性粒子系统的散射；研究了受到椭圆光阑截取的椭圆高斯 光束，以及椭圆c o s h 高斯光束与椭圆h e r m i t e c o s h 高斯光束通过复杂光学系统的 传输变换特性。 第一章首先从三个方面介绍了本论文的研究背景，分别为：随机电磁光束相 干偏振统一理论；光散射现象中的相干效应；多种光束模型及其传输。通过了解 和分析国内外相关领域的研究现状和发展趋势，进一步指出了本论文研究工作的 目的和意义然后介绍了研究工作中所使用的主要方法和理论基础，包括三个部 分：随机电磁光束的交叉谱密度矩阵；部分相干光散射理论；矩阵光学方法和广 义衍射积分公式。 第二章推导得到了各向异性随机电磁光束通过湍流大气传输，输出平面内交 叉谱密度矩阵元的解析表达式通过使用该表达式计算了光束传输过程中光谱密 度、光谱相干度以及光谱偏振度的变化。研究发现，当各向异性随机电磁光束在 湍流大气介质中传输足够远的距离时，光束的光谱偏振度将不会回到它的起始 值。进一步推导得到了经过狭缝光阑截取的随机电磁光束通过湍流大气传输，输 出平面内交叉谱密度矩阵元的解析表达式。该表达式可以被应用于研究电磁高斯 浙江大学博士学位论文 摘要 谢尔模光束在大气中传输的光谱偏振度调制问题。研究发现输出平面内的光谱偏 振度可直接通过改变狭缝光阑的宽度来控制，模拟计算结果同时反映了狭缝光阑 对偏振度分布的整形效果。最后分析了完全非偏振随机电磁光束和完全偏振随机 电磁光束通过湍流大气和自由空间的传输，找到了偏振度保持不变的必要条件。 第三章将随机电磁光束通过轴向非对称a b c d 光学系统的传输式表述为张 量形式，研究电磁高斯谢尔模光束通过轴向非对称光学系统的传输，得到了输出 平面内交叉谱密度矩阵元的解析表达式使用该式分别计算了光束传输时光谱偏 振度、光谱相干度以及光谱密度的变化。接着推导了受不同大小矩形光阑截取的 电磁高斯谢尔模光束通过轴向非对称光学系统传输的交叉谱密度矩阵元解析表 达式通过使用该表达式计算了受限光束通过自由空间、聚焦系统，双焦系统传 输过程中光谱偏振度的变化规律最后针对均匀偏振电磁高斯谢尔模光束通过 a b c d 光学系统的传输进行了一系列的参数研究进一步推导了随机电磁光束的 一般化成像公式，并通过模拟计算验证了理论分析结果 第四章将光学h a r t l e y 变换描写为张量形式，获得了离轴椭圆高斯光束以及 离轴电磁高斯谢尔模光束通过h a r t l e y 变换系统传输的解析表达式。模拟计算结 果表明，有关于输入平面内光束的离轴距离和离轴方向的信息将在输出平面内以 不同空间振荡频率和空间振荡方向的条纹分布的形式反映出来。该现象在我们计 算光强，光谱密度和光谱偏振度的过程中均会出现。其中光束的离轴信息能够以 光谱偏振度分布的形式反映这一点启示了一种信息记录的新方法，即使用不同相 干性的随机电磁光束经过光学h a r t l e y 变换，通过记录其输出平面内光谱偏振度 的分布即可获得输入平面内的有关信息。 第五章首先分析了光束经由高斯关联的准均匀各向异性介质的散射，得到了 散射光场交叉谱密度函数的解析表达式。该表达式为我们研究多色平面波经由高 斯关联的准均匀各向异性介质的散射问题提供了有效而又便捷的途径，计算结果 反映了介质的各向异性对散射场光谱密度和光谱相干度的影响。我们进一步考虑 了多色平面波经由具有固定分布位置的各向异性粒子组成系统的散射，获得了散 射光场交叉谱密度函数的解析表达式。模拟计算发现经过完全相干入射光波照射 浙江大学博士学位论文 摘要 的每个粒子都会形成一个新的波源，从这些波源发射的散射光波会在传播过程中 产生相干效应。我们的研究结果表明可以通过测量散射场获得系统内粒子数量、 形状和相对位置的信息。 第六章通过使用张量方法将椭圆光阑函数展开为有限个复高斯函数和的形 式，推导得到了受到椭圆光阑截取的离轴椭圆高斯光束通过轴向非对称a b c d 光 学系统传输的解析表达式。使用该表达式进行了模拟计算，并将计算结果与直接 使用衍射积分方程的计算结果相比较，发现使用解析式的计算能够在保证计算精 度的前提下极大地提高计算效率。在此基础上将椭圆环形光阑函数表示为两个椭 圆光阑函数相减的形式，推导得到了受到椭圆环形光阑截取的椭圆高斯光束通过 轴向非对称光学系统传输的解析表达式，并针对椭圆环形光阑、椭圆黑屏、椭圆 光阑等受限环境进行了模拟计算。然后研究了受截取椭圆高斯光束的分数f o u r i e r 变换，分析了受截取椭圆高斯光束焦移和焦开关现象的物理成因。 第七章首先使用张量方法建立了一种新型的光束模型，即椭圆c o s h 高斯光束 模型，获得了椭圆c o s h 高斯光束经过轴向非对称a b c d 光学系统传输的解析表 达式。通过模拟计算研究了椭圆c o s h 高斯光束经过自由空间和聚焦系统的传输特 性。在此基础上进一步提出了离轴椭圆h e r m i t e e o s h 高斯光束的物理模型，推导 得到了椭圆h e r m i t e c o s h 高斯光束通过分数f o u r i e r 变换系统传输的解析表达式， 并进行了相应的模拟计算。本章所使用的理论分析手段可以进一步拓展到其它离 轴与非离轴椭圆正弦类高斯光束，以及离轴与非离轴椭圆h e r m i t e 正弦类高斯光 束传输变换的研究。 第八章总结本论文已经完成的工作和主要创新点，提出对未来工作的展望。 关键词：各向异性随机电磁光束；交叉谱密度矩阵；光谱密度；光谱相干度；光 谱偏振度；湍流大气；轴向非对称a b c d 光学系统；光学h a r t l e y 变换；散射场 交叉谱密度函数；准均匀各向异性介质；各向异性粒子系统；椭圆光阑；椭圆c o s h 高斯光束；椭圆h e r m i t e c o s h 高斯光束 浙江大学博士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t u n t i lr e c e n t l y , t h ep r o p a g a t i o np r o p e r t i e so fl i g h tb e a m sh a v eb e e ni n v e s t i g a t e d l a r g e l yo nt h e b a s i so ft h e s c a l a rt h e o r y , w h e r e a sp o l a r i z a t i o nr e q u i r e sav e c t o r t r e a t m e n t i ti s a c t u a l l y ag e n e r a l i z a t i o no ft h e s t u d yf r o ms c a l a r f i e l d st o e l e c t r o m a g n e t i cv e c t o rf i e l d s i nt h ey e a r2 0 0 3 ，w o l fi n d i c a t e di nh i su n i f i e dt h e o r yo f c o h e r e n c ea n dp o l a r i z a t i o nt h a tt h ec o h e r e n c ea n dp o l a r i z a t i o no fl i g h ta l et w oc l o s e l y r e l a t e da s p e c t si ns t a t i s t i c a lo p t i c s m a n yf e a t u r e so f f l u c t u a t i n ge l e c t r o m a g n e t i cf i e l d s c a nb ef u l l yu n d e r s t o o do n l yi nt h i st h e o r e t i c a lf r a m e w o r k i th a sn o to n l ye n r i c h e dt h e t h e o r yo fo p t i c s ，b u ta l s ob r o u g h tn e wi n s i g h t si n t om a n ya s p e c t si ns t a t i s t i c a lo p t i c s t h ed e v e l o p m e n th a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o n s ，s u c ha st r a c k i n g ，r e m o t es e n s i n g ，a n d o p t i c a lc o m m u n i c a t i o n o t h e ra p p l i c a t i o n sw i l lu n d o u b t e d l ye m e r g ei nc o m i n gy e a r s i nt h i sd i s s e r t a t i o n , w es t u d yt h es t a t i s t i c a l o p t i c a lp r o p e r t i e s o ft h es t o c h a s t i c e l e c t r o m a g n e t i cb e a m sp r o p a g a t i n gi nt u r b u l e n ta t m o s p h e r ea n do p t i c a ls y s t e m sb y u s i n gt h ev e c t o rt h e o r y w ec o n s i d e rt h ec o m p l i c a t e dc o n d i t i o n so fa p e r t u r e d ，f o c u s i n g ， i m a g i n g ，a n dt h eo p t i c a lh a r t l e yt r a n s f o r m u s i n gt h e s c a l a rt h e o r y , w es t u d yt h e s c a r e f i n go fap l a n ew a v eb ya n i s o t r o p i cm e d i a o rc o l l e c t i o n so fa n i s o t r o p i cp a r t i c l e s t h ep r o p a g a t i o no ft h ee l l i p t i c a lg a u s s i a nb e a m , w h i c hi st r u n c a t e db ye l l i p t i c a l a p e r t u r e s ，t h ee l l i p t i c a lc o s h - g a u s s i a nb e a m , a n dt h ee l l i p t i c a lh e r m i t e c o s h g a u s s i a n b e a ma r ea l s os t u d i e d i nc h a p t e rl ，w ei n t r o d u c et h er e s e a r c hb a c k g r o u n do ft h i sd i s s e r t a t i o ni nt h r e ep a r t s ： t h eu n i f i e dt h e o r yo fc o h e r e n c ea n dp o l a r i z a t i o no fs t o c h a s t i ce l e c t r o m a g n e t i cb e a m s ； t h ec o h e r e n c ee f f e c ti ns e a r e r i n go fl i g h t ；l a s e rb e a mm o d e l sa n dt h e i rp r o p a g a t i o n s a f t e ra n a l y z i n gt h es i t u a t i o na n dt r e n da th o m ea n da b r o a d ，w ee m p h a s i z et h e m o t i v a t i o na n ds i g n i f i c a n c eo ft h i sd i s s e r t a t i o n t h e nw ei n t r o d u c et h ef u n d a m e n t a l m e t h o da n dt h et h e o r e t i c a lb a s i su s e di no u rw o r k ：t h ec r o s s - s p e c t r a ld e n s i t ym a t r i xo f t h e s t o c h a s t i ce l e c t r o m a g n e t i cb e a m s ；s c a t t e r i n gt h e o r yo fp a r t i a l l yc o h e r e n tb e a m s ； m a t r i xo p t i c sa n dt h eg e n e r a l i z e df o r mo ft h ed i f f r a c t i o ni n t e g r a l i nc h a p t e r2 ，a n a l y t i c a le x p r e s s i o n sf o rt h ee l e m e n t so ft h ec r o s s - s p e c t r a ld e n s i t y m a t r i xo ft h ea n i s o t r o p i cs t o c h a s t i ce l e c t r o m a g n e t i cb e a m sp r o p a g a t i n gt h r o u g ht h e 浙江大学博士学位论文a b s t r a c t t u r b u l e n ta t m o s p h e r ea r eo b t a i n e d t h ec h a n g e si nt h es p e c t r a ld e n s i t y , t h es p e c t r a l d e g r e eo fc o h e r e n c e ，a n dt h es p e c t r a ld e g r e eo fp o l a r i z a t i o na r ec a l c u l a t e db yu s eo f t h ed e r i v e d e x p r e s s i o n s n u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a t t h e s p e c t r a ld e g r e eo f p o l a r i z a t i o no ft h ea n i s o t r o p i cs t o c h a s t i ce l e c t r o m a g n e t i cb e a m sd o e sn o tr e t u r nt oi t s v a l u ei nt h es o u r c ep l a n ea f t e rp r o p a g a t i n gas u f f i c i e n t l yl a r g ed i s t a n c ei nt h et u r b u l e m a t m o s p h e r e f u r t h e r m o r e ，a n a l y t i c a le x p r e s s i o n sa r ed e r i v e df o rt h ee l e m e n t so ft h e c r o s s - s p e c t r a ld e n s i t ym a t r i xo fas t o c h a s t i ce l e c t r o m a g n e t i cb e a mt r u n c a t e db yas l i t a p e r t u r ea n dp a s s i n gt h r o u g ht h et u r b u l e n ta t m o s p h e r e t h ef o r m u l ac a nb eu s e di nt h e s t u d yo ft h em o d u l a t i o ni nt h es p e c t r a ld e g r e eo fp o l a r i z a t i o no ft h ee l e c t r o m a g n e t i c g a u s s i a ns c h e l l - m o d e lb e a mo np r o p a g a t i o n w ef i n dt h a tt h es p e c t r a ld e g r e eo f p o l a r i z a t i o na tt h eo m p mp l a n ec a nb ed i r e c t l yc o n t r o l l e db yt h ew i d t ho ft h es l i t a p t 薯c u f e t h ee f f e c to fp o l a r i z a t i o ns h a p i n gi sa l s oi l l u s t r a t e d w ef i n do u tt h ec r i t e r i o n f o r k e e p i n gc o m p l e t e l yu n p o l a r i z e do rc o m p l e t e l yp o l a r i z e ds t o c h a s t i ce l e c t r o m a g n e t i c b e a m so np r o p a g a t i o ni nf r e es p a c eo rt h r o u g ht h et u r b u l e ma t m o s p h e r e i nc h a p t e r3 ，t h ef o r m u l af o r t h ep r o p a g a t i o no ft h es t o c h a s t i ce l e c t r o m a g n e t i cb e a m t h r o u g ht h ea x i a l l yn o n s y m m e t r i c a la b c do p t i c a ls y s t e mi sw r i t t e ni nt e n s o rf o r m t h ea n a l y t i c a le x p r e s s i o n sf o rt h ee l e m e n t so ft h ec r o s s s p e c t r a ld e n s i t ym a t r i xo f e l e c t r o m a g n e t i cg a u s s i a ns c h e l l - m o d e lb e a m st h r o u g ha x i a l l yn o n s y m m e t r i c a lo p t i c a l s y s t e m sa r eo b t a i n e d t h ec h a n g e si nt h es p e c t r a ld e g r e eo fp o l a r i z a t i o n ，t h e s p e c t r a l d e g r e eo fc o h e r e n c e ，a n dt h es p e c t r a ld e n s i t ya r ec a l c u l a t e d a n a l y t i c a lf o r m u l a sf o r t h ee l e m e n t so ft h ec r o s s s p e c t r a ld e n s i t ym a t r i xo ft h es t o c h a s t i c e l e c t r o m a g n e t i c g a u s s i a ns c h e l l - m o d e lb e a mt n m c a t e db yr e c t a n g u l a ra p e r t u r e s 、析t l ld i f f e r e n ts i z e s a n dp a s s i n gt h r o u g ht h ea x i a l l yn o n s y m m e t r i c a lo p t i c a ls y s t e ma r ed e r i v e d n u m e r i c a l e x a m p l e sr e l a t i n gt ot h ec h a n g e si nt h es p e c t r a ld e g r e eo fp o l a r i z a t i o no ft h et r u n c a t e d b e a m sp a s s i n gt h r o u g hf r e es p a c e ，f o c a ls y s t e ma n dd u a l - f o c u ss y s t e ma r ei l l u s t r a t e d ap a r a m e t r i c s t u d y i s p e r f o r m e d i n i n v e s t i g a t i n g t h e u n i f o r m l yp o l a r i z e d e l e c t r o m a g n e t i cg a u s s i a ns c h e l l - m o d e lb e a mp a s s i n gt h r o u g ha b c do p t i c a ls y s t e m s t h eg e n e r a li m a g i n gf o r m u l ao ft h es t o c h a s t i ce l e c t r o m a g n e t i cb e a mi sd e r i v e d n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n sa r ea l s op r e s e n t e dt ov e r i f yt h et h e o r e t i c a la n a l y s i sr e s u l t s i nc h a p t e r4 ，t h eo p t i c a lh a r t l e yt r a n s f o r mi se x p r e s s e di nt e n s o rf o r m a n a l y t i c a l 浙江大学博士学位论文 a b s t r a c t f o r m u l a sa r eo b t a i n e df o rd e s c r i b i n gt h ep r o p a g a t i o no ft h eo f f - a x i a le l l i p t i c a lg a u s s i a n b e a ma n dt h eo f f - a x i a le l e c t r o m a g n e t i cg a u s s i a ns c h e l l - m o d e lb e a mp a s s i n gt h r o u g h t h e o p t i c a lh a r t l e y t r a n s f o r ms y s t e m n u m e r i c a l e x a m p l e s i n d i c a t et h a t t h e i n f o r m a t i o na b o u tt h ed i s p l a c e m e n tm a g n i t u d ea n dd i r e c t i o no ft h es o u r c ec a nb e r e p r e s e n t e di n t h ef o r mo ff r i n g e s 、i t l ld i f f e r e n ts p a c ef r e q u e n c i e sa n do s c i l l a t i n g o r i e n t a t i o n sa tt h e o u t p u tp l a n eo ft h eo p t i c a lh a r t l e yt r a n s f o r ms y s t e m t h i s p h e n o m e n o nc a nb eo b s e r v e dw h e nc a l c u l a t i n gt h ei n t e n s i t y , t h es p e c t r a ld e n s i t y , a n d t h es p e c t r a ld e g r e eo fp o l a r i z a t i o n t h ei n f o r m a t i o na b o u tt h ed i s p l a c e m e n to ft h e s o u r c ec a l lb ee x h i b i t e db yt h ed i s t r i b u t i o no ft h es p e c t r a ld e g r e eo fp o l a r i z a t i o n , i t m a yi n d i c a t ean e wt e c h n i q u ef o ri n f o r m a t i o nr e c o r d i n g ，w h i c hm e a n st h a to n ec a n r e c o r dt h ei n f o r m a t i o na b o u tt h es o u r c ei nt h ef o r mo fd i s t r i b u t i o n so fs p e c t r a ld e g r e e o fp o l a r i z a t i o nb yl l s eo fa no p t i c a lh a r t l e yt r a n s f o r ms y s t e ma n ds t o c h a s t i c e l e c t r o m a g n e t i cb e a m sw i md i f f e r e n ts t a t e so fc o h e r e n c e i nc h a p t e r5 ，w ea n a l y z et h eg e n e r a lc a s ew h e nt h el i g h tb e a mi ss c a t t e r e db y g a u s s i a n - c o r r e l a t e d ，q u a s i h o m o g e n e o u s ，a n i s o t r o p i cm e d i a t h ea n a l y t i c a le x p r e s s i o n f o rt h ec r o s s s p e c w a ld e n s i t yf u n c t i o no ft h es c a t t e r e df i e l di sd e r i v e d ，w h i c hp r o v i d e s a ne f f e c t i v ea n dc o n v e n i e n tw a yt oi n v e s t i g a t et h es c a t t e r i n go ft h ep o l y c h r o m a t i c p l a n ew a v eb yg a u s s i a n c o r r e l a t e d ，q u a s i - h o m o g e n e o u s ，a n i s o t r o p i cm e d i a n u m e r i c a l e x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t e t h e s p e c t r a ld e n s i t y a n dt h e s p e c t r b 1d e g r e eo f c o h e r e n c eo ft h e s c a t t e r e df i e l d f u r t h e r m o r e ，w es t u d yt h es c a t t e r i n go ft h e p o l y c h r o m a t i cp l a n ew a v eb yt h es y s t e mo fa n i s o t r o p i cp a r t i c l e sw i t hd e t e r m i n i s t i c l o c a t i o n sa n do b t a i nt h ea n a l y t i c a le x p r e s s i o nf o rt h ec r o s s s p e c t r a ld e n s i t yf u n c t i o no f t h es c a t t e r e df i e l d n u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h ei n t e r f e r e n c ee f f e c ta r i s i n gf r o mt h e c o h e r e n c eo ft h ef i e l d ss c a t t e r e db ye a c ho ft h ep a r t i c l e s o u rr e s u l t si n d i c a t et h a tt h e i n f o r m a t i o na b o u tt h en u m b e r , s h a p ea n dr e l a t i v ep o s i t i o no ft h ep a r t i c l e sm a yb e o b t a i n e df r o mm e a s u r e m e n t so ft h es c a t t e r e df i e l d i nc h a p t e r6 ，t h ee l l i p t i c a la p e r t u r ei sd e s c r i b e da p p r o x i m a t e l yb yat e n s o rf o r m ， w h i c hc a l lb ee x p a n d e da saf i n i t es u mo fc o m p l e xg a u s s i a nf u n c t i o n s t h ea n a l y t i c a l e x p r e s s i o nf o ra no f f - a x i a le l l i p t i c a lg a u s s i a nb e a mt r u n c a t e db ya ne l l i p t i c a la p e r t u r e a n dp a s s i n gt h r o u g ha na x i a l l yn o n s y m m e t r i c a la b c do p t i c a ls y s t e mi so b t a i n e d 浙江大学博士学位论文 a b s t r a e t n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n sa r ep r e s e n t e db u yu s eo ft h ed e r i v e df o r m u l a t h er e s u l t sa r e c o m p a r e dw i t l l t h en u m e r i c a l l yi n t e g r a lo n e s i ti ss h o w nt h a t0 1 1 1 m e t h o dc a l l s i g n i f i c a n t l yi m p r o v et h ee f f i c i e n c yo fn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n t h ee l l i p t i c a la n n u l a r a p e r t u r ef u n c t i o ni se x p r e s s e da st h es u b t r a c t i o no ft w oe l l i p t i c a la p e r t u r ef u n c t i o n s t h ea n a l y t i c a le x p r e s s i o nf o ra ne l l i p t i c a lg a u s s i a nb e a mm o d u l a t e db ya ne l l i p t i c a l a n n u l a ra p e r t u r ea n dp a s s i n gt h r o u g ha l la x i a l l yn o n s y m m e t r i c a lo p t i c a ls y s t e mi s o b t a i n e d n u m e r i c a le x a m p l e sa r ei l l u s t r a t e df o rt h ep r o p a g a t i o no ft h eb e a mi nf r e e s p a c e 诵t l la ne l l i p t i c a la n n u l a ra p e r t u r e ，a ne l l i p t i c a ls c r e e n , o ra ne l l i p t i c a la p e r t u r e t h ef r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mo ft h et r u n c a t e d e l l i p t i c a l g a u s s i a nb e a mi s i n v e s t i g a t e d t h ef o c a ls h i f ta n df o c a ls w i t c ho f t h et r u n c a t e de l l i p t i c a lg a u s s i a nb e a m a r es h o w n n e c e s s a r yp h y s i c a le x p l a n a t i o n sa r eg i v e nf o rt h ep h e n o m e n a i nc h a p t e r7 ，an e wk i n do fl i g h tb e a mn a m e dt h ee l l i p t i c a le o s h - g a u s s i a nb e a mi s i n t r o d u c e db yu s eo ft e n s o rm e t h o d t h ea n a l y t i c a le x p r e s s i o nf o rt h ee l l i p t i c a l c o s h - g a u s s i a nb e a mp a s s i n gt h r o u g ha x i a l l yn o n s y m m e t r i c a la b c do p t i c a ls y s t e m si s d e r i v e d n u m e r i c a le x a m p l e sa r ei l l u s t r a t e df o rt h ep r o p a g a t i o np r o p e r t i e so ft h eb e a m i nf r e es p a c ea n dt h e f o c a ls y s t e m t h eo f f - a x i a le l l i p t i c a lh e r m i t e - c o s h - g a u s s i a n b e a mi si n t r o d u c e db yu s eo ft e n s o rm e t h o d t h ea n a l y t i c a le x p r e s s i o nf o r t h e f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mo ft h ee l l i p t i c a lh e r m i t e - - c o s h g a u s s i a nb e a mi so b t a i n e d a n dn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n sa l ep r e s e n t e d t h em e t h o du s e di n t h i sc h a p t e rc a nb e e x