（应用数学专业论文）对称性分析和适应控制在参数激励单摆模型和helmholtzduffing振子中的应用.pdf

北京交通大学硕士学位论文 中文摘要 摘要：本文首先应用非线性动力系统中的分岔和混沌理论，研究一个包含偏项( b i a s t e r m ) 的参数激励单摆模型对称性破缺的影响其次，给出了采用简单的适应反馈 方法对h e l m h o l t z - d u f f i n g 振子出现混沌现象进行控制的一些结果最后，对本文 所做的工作进行了总结 全文共包括四章 第一章，介绍与本文有关的非线性动力系统方面的知识，例如；p o i n c a r 6 映射、 中心流形定理，m e h a i k o v 方法、分岔理论和混沌理论、以及对本文中所用到的一个 数值模拟软件d y n a m i c s 进行了简单的介绍 第二章，分析了一个包含偏项的参数激励单摆模型对称性破缺的影响首先， 定性分析和数值模拟显示未扰动单摆( 无阻尼，未受迫) 安全区域( 由同宿轨或异宿 轨所围成的内部区域) 的面积将随着偏项的增大而减小由于偏顼的影响，扰动单 摆的临界同宿分岔值将增加，且在p o i n c a r 瞅射中稳定和不稳定流形之间发生同宿 横截相交的区域将增大第二，随着偏项的增大，定性和定量分析表明p o i n c a r d 映 射的吸引子数量和类型，相轨迹，吸引盆以及分岔图将产生巨大的变化尤其，一 旦当偏项超过一个l 临界值的时候，参数激励单摆的稳定性将失去在这种情形中， 不再存在任何稳定的状态这些结果建议要保持系统的稳定性，应该更加关注于控 制偏项的增加上，尤其当参数激励单摆模型作为一种主要的组成部分应用到一些实 际系统中的时候 第三章，应用一种简单的适应反馈控制方法到具有不同的左右同宿分岔值的 非对称h e l m h o l t z - d u f f i n g 振子上首先。分析了未扰动h e l m h o l t z - d u f f i n g 振子对 于不同对称参数值的不动点和左右同宿轨的情况；进而利用m e l n j k o v 方法分析了 扰动后的h e l m h o l t z - d u f l i n g 振子的同宿分岔；最后，加入适应反馈控制项，通过 m e l n i k o v 方法和数值模拟，并应用数值模拟软件d y n a m i c s 分别从吸引盆和相应的 最大l y a p u n o v 指数方面，证实了这种控制方法的有效性 第四章，对全文进行总结 关键词：非线性动力系统；p o i n c a r d 映：射；m e l n i k o v 方法；分岔；混沌；混沌控制； 适应反馈控制；d y n a m i c s 软件 分类号；0 1 7 5 1 2 ；0 1 7 5 1 4 ；0 1 9 a b s t r a c t a b s t r a c t a b s t r a c t ：i nt h i st h e s i s ，w ea tf i r s ti n v e s t i g a t et h ee f f e c to ft h es y m m e t r y - b r e a k i n go nt h ep a r a m e t e r i c a i l ye x c i t e dp e n d u l u mi n c l u d i n gab i a st e r mb yu s i n g t h et h e o r yo fb i f u r c a t i o n sa n dc h a o st h e n ，w ei n t r o d u c eas i m p l ea d a p t i v e - f e e d b a c k c o n t r o lm e t h o dt ot h eh e l m h o l t z - d u f f i n go s c i l l a t o r ，w h i c hi sa na r c h e t y p eo fac l a s s o fa s y n u n e t r i co s c i l l a t o r sh a v i n gd i s t i n c th o m o c l i n i cb i f u r c a t i o n sc o r r e s p o n d i n gt o d i f i e r e n tp a r a m e t e r so ft h eo s c i l l a t o r ，f i n a l l y , w ee n do u rt h e s i sw i t hs u l n n l a l ya n d s u g g e s t i o n s t h e l a y o u to ft h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，ab r i e fr e v i e wc o n c e r n i n gt h et h e o r yo fn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s - t e r n si si n t r o d u c e d ，s u c ha sp o i n c a r dm a p ，m e l n i k o vm e t h o d ，t h e o r yo fb i f u r c a t i o n a n dc h a d s m e a i l w h i l e au s e f u ln u m e r i c a ls i m u l a t i o ns o f t w a r e “d y n a m i c s ”i si n t r o - d u c e di nt h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，t h ee f f e c to ft h es y m m e t r y - b r e a k i n go nt h ep a r a m e t e r i c a l l ye x - c i t e dp e n d u l u mi n c l u d i n gnb i a st e r mi si n v e s t i g a t e d a tf i r s t ，0 1 1 1 q u a l i t a t i v ea n a l y - s e sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n ss h o wt h a tt h ea r e ao ft h es a f er e g i o no ft h eu n e x c i t e d p e n d u l u m ( w i t h o u td a m p i n ga n dw i t h o u tf o r c i n g ) w i l ld e c r e a s ew i t ht h ei n c r e a s i n g o ft h eb i a st e r m d u et ot h ev a r i a t i o n ，t h ec r i t i c a lh o m o c l i n i cb i f u r c a t i o no ft h e e x c i t e dp e n d u l u mw i l li n c r e a s e ，a n dt h er e g i o nw h e r et h eh o m o c l i n i ct r a n s v e r s a l i n t e r s e c t i o no c c u r 8b e t w e e nt h es t a b l ea n dm u s t a b l em a n i f o l d si nt h ep o i n c a , 6m 印 w i l lb ee n l a r g e d s e c o n d ，a st h eb i a st e r mi n c r e a s e s ，o u ra n a l y s i sd e m o n s t r a t e st h a t t h en u m b e ra n dt h et y p eo fa t t r a c t o r so ft h ep o i n c a r dm a p ，t h ep h a s ep o r t r a i t s ， t h eb a s i n so fa t t r a c t i o n ，a n dt h eb i f u r c a t i o nd i a g r a m sw i l lp r o d u c eac o n s i d e r a b l e v a r i a t i o n i np a r t i c u l a r ，t h es t a b i l i t yo ft h ep a r a m e t e r i c a l l ye x c i t e dp e n d u l u mw i l l l o s eo n c et h eb i a st e r me x c e e d sac r i t i c a lv a l u e i nt h i se a s et h e r ei sn ol o n g e ra n y s t e a d ys t a t ee x i s t i n g t h e s er e s u l t ss u g g e s tt h a tm u c h a t t e n t i o ns h o u l db ep a i do n c o n t r o l l i n gt h ei n c r e a s i n go fb i a st e r m ，e s p e c i a l l yw h e nt h ep a r a n a e t e r i c a i l ye x c i t e d p e n d u l u ma sam a i nd e v i c ei sa p p l i e dt os o m ep r a c t i c a ls y s t e m s i nc h a p t e r3 ，as i m p l ea d a p t i v e - f e e d b a c kc o n t r o lm e t h o di sa p p l i e dt ot h e h e l m h o l t z - d u f f i n go s c i l l a t o r ，w h i c hi n c l u d e sap a i ro fa s y m m e t r i ch o m o c l i n i co r b i t s w h e nt h ed a m p e dt e r ma n dt h ep e r t u r b e de x c i t a t i o na r er e m o v e d a tf i r s t ，t h e 丘) ( e dp o i n t sa n dh o m o c l i n i co r b i t so ft h eu n p e r t u r b e dh e l m h o l t z - d u f f i n go s c i l l a t o r f o rd i f f e r e n tv a l u e so ft h es y m m e t r i cp a r a m e t e ra r ei n v e s t i g a t e d t h e n ，u s i n gt h e m d n i k o v sm e t h o d t h ed i s t i n c th o m o c l i n i cb i f u r c a t i o n so ft h ep e r t u r b e dh e l m h o l t z - d u f f i n go s c i l l a t o ra r eo b t a i n e d f i n a l l y , w ea d dt h ea d a p t i v e - f e e d b a c kc o n t r o lt e r m v 北京交通大学硬士学位论文 i n t ot h ep e r t u r b e ds y s t e ma n dg e tas a f er e g i o nw h e r et h e r ei sd ol o n g e rt h et r a n s - v e r s ei n t e r s e c t i o n sb e t w e e nt h es t a b l ea n du n s t a b l em a n i f o l d si nt h ep o i n c a y 6m a p t h es u b s e q u e n tb a s i no fa t t r a c t i o n sa n dt h em a x i m u ml y a p u n o ve x p o n e n t sa y ei n t h ea g r e e m e n tw i t ht h ea b o v et h e o r e t i c a lp r e d i c t i o n s i nc h a p t e r4 ，w ee n dt h i st h e s i sw i t hs l m l l n , i ya n ds u g g e s t i o n s k e y w o r d s ：n o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m ；c h a o s ；m e l n i k o v sm e t h o d ；b i f u r c a - t i o n ；c h a o sc o n t r o l ；a d a p t i v e - f e e d b a c kc o n t r o l ；s o f t w a r eo fd y n a m i c s c l a s s n 0 ：0 1 7 5 1 2 ；0 1 7 5 1 4 ；0 1 9 、，1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 l 9 1 1 0 1 1 1 插图目录 p o i n c a c d 映射p o i n c a r * m a p p i n g 鞍结分岔s a d d l e - n o d eb i f u r c a t i o n 超临界分岔t r m m c r i t i c a jb i f u r c a t i o n 叉式分岔p i t c h f o r kb i f v x c a t i o n p o i n c a x d - a n d r o n o v - h o p f p o i n c a c 6 - a n d r o n o v - h o p f b i f u r c a t i o n 同宿轨h o m o c l i n eo r b i t ， ， 同宿分岔h o m o c l i n i cb i f u r c a t i o n 全局分岔g l o b a lb i f u r c a t i o n ， 斯梅尔马蹄映射s m a l eh o r s e s h o em a p p i n g 用微分方程计算l y a p u n o v 指数的演化替换过程， d y n a m i c s 模拟图s i m u l a t i v ef i g u r eb yd y n a m i c s 2 1 未扰动系统( 2 3 ) 对应于不同的偏项值7 的势能函数图和相图：( a ) t = 0 时的 势能函数图；( b ) 7 = 0 时的相图；( c ) 7 = 0 0 5 时的势能函数图；( d ) 7 = o 0 5 时 的相图p o t e n t i a lf u n c t i o nc u r v ea n dp h a s es p a c e so fu n e x c i t e ds y s t e me q ( 2 ) a r ep l o t t e dc o r r e s p o n d i n gt od i f f e r e n tv a l u e so fb i a st e r m7 ：( a ) t h ep o t e n t i a l f u n c t i o nw h e n7 = 0 ；( b ) t h ep h a s es p a c ew h e n1 = o ；( c ) t h ep o t e n t i a lf u n c t i o n w h e n l = 0 0 5 ；( d ) t h ep h a s es p a c e w h e n l = 0 0 5 ，2 7 2 2 ( a ) 方程( 2 3 ) 对应于不同的偏项7 的安全区域；( b ) 随着1 的增加，安全区域 面积的变化曲线( a ) t h ev a r i a t i o no fs a f er e g i o no f u n e x c i t e de q ( 2 ) i sp l o t t e d c o r r e s p o n d i n gt od i f f e r e n tv a l u e so fb i a st e r m ；( b ) t h ec u r v eo f8 r e ao fs a f e r e g i o n i bp l o t t e d t h eb i a s t e r m i n c r e a s e s ，2 8 2 3 当1 0 时未扰动系统( 2 3 ) 的一条同宿轨和个双曲型鞍点2 3 、一个转向点 t p ah o m o c l i n i co r b i t ，ah y p e r b o l i cs a d d l e ，a n dat u r n i n gp o i n tt po f u n e x c i t e d e q ( 3 ) a r e p l o t t e dw h e n l 0 。，。，。，。，3 0 2 4 ( a ) 当7 = 0 时的临界同宿分岔曲线；( b ) 当7 = 0 、7 = o ，0 0 1 、1 = 0 毗和 1 = 0 0 5 时的临界同宿分岔曲线t h ec r i t i c a lh o m o c l i n i cb i f u r c a t i o nc u r v 目a r e p l o t t e d w h e n l = 0 ，1 = 0 0 0 1 ， = 0 0 1 ，a n d - y = o 0 5 ，r e s p e c t i v e l y 3 1 2 ，5 当( b ) 叮= 0 0 2 ；( b ) 1 = o 1 6 时，参数激励单摆存在不同吸引子的区域模拟 圈r e g i o n s o f e x i s t e n c e o f d i f f e r e n t a t t r a c t o r s o f p a r a m e t r i c a l l y e x c i t e d p e n d u l u m a r ep l o t t e d w h e n ( a ) 7 = o 0 2 ；( b ) 7 = 0 1 6 3 2 2 6 当，= 1 8 7 ，p = 1 1 和1 = 0 1 0 时s 和s 凡的相轨迹及其吸引盆p h a s e t r a j e c t o r i e sa n db a s i n so fa t t r a c t i o no f 靠la n d a r ep l o t t e dw h e n = 1 8 7 ， p = 1 1 ，a n d l = 0 1 0 3 3 2 6 7 8 9 n 心坞m 船 北京交通大学硕士学位论文 2 7 对应于u = 2 1 和( a ) 丁= 0 3 ，( b ) 1 = o 3 8 8 ，( c ) = 0 4 8 4 时的分岔图b i f u r c a t i o n d i a g r a m sc o r r e s p o n d t o 。= 2 1a n d ( a ) = 0 3 ，( b ) 7 = 0 , 3 8 8 ( c ) 7 = 0 4 8 4 3 4 3 1对应于不同的非对称参数一的值，未扰动系统( 3 ) 的势能函数曲线和相图：( a ) 当盯= 2 时的势能函数图；( b ) 当口= 2 时的相图；( c ) t 当一= 时的势能函数 图；( d ) 当口= 时的相图p o t e m t m lf u n c t i o nc i l , - - v 嚣a n dp h a s es p a c e so fu n e x - 血e ds y s t e me q ( 3 ) 口ep l o t t e dc o r r e s p o n d i n gt od i f f e r e n tv a l u e so fa s y m m e t r i c p a i i l e t 目口：( a ) t h ep o t e n t i a lf u n c t i o nw h e n 口= 2 ；( b ) t h ep h a s es p a c ew h e n j = 2 ；( c ) t h ep o t e n t i a lf u n c t i o nw h e n 口= ；( d ) t h ep h a s es p a c ew h e n 口= ；3 9 3 2 ( a ) 当口= 2 ，口= 3 和，= 4 时的临界同宿分岔曲线；( b ) 当，= ，口= 和口= 时的临界同宿分岔曲线( a ) t h ec r i t i c a lh o m o c l l n l cb i f u r c a t i o nc u r v e w h e n 口一2 ，口= 3 ，a n d 口= 4 ，r e s p e c t i v e l y ；( b ) t h ec r i t i c a lh o m o c l i m cb i f u r c a t i o n c u r v e w h e nd = ，口= ，a n d ，= ，r e s p e c t i v e l y 3 ，3 方程( 3 1 9 ) 和方程( 3 2 0 ) 的左( 8 ) 和右( b ) 临界同宿分岔瞳线t h el e f t ( a ) a n d r i g h t ( b ) c r i t i c a lh o m o c l i n i cb i f u r c a t i o nc l u t e so fe q ( 3 1 9 ) a n de q ( 3 2 0 ) 3 4方程( 3 1 9 ) 和方程( 3 2 1 ) 的左( a ) 和右( b ) 临界同宿分岔曲线t h el e f t ( 8 ) a n d r i g h t ( b ) c r i t i c a lh o m o c l i n i cb i f u r c a t i o n o fe q ( 3 1 9 ) a a de q ( 3 2 1 ) ， 3 5 当口= 2 ，t o = 2 对的系统( 3 1 9 ) 的吸引盆；( a ) 7 = o 0 8 ；( b ) 7 = 0 1 3 ；( c h = o 1 8 t h eb a s i n so fa t t r a c t i o no fs y s t e m ( 3 1 9 ) w i t h 口= 2 ，t o = 2 ：( 的7 = o 0 8 ； ( b h = o 1 3 ；( c ) 1 = 0 1 8 ，r e s p e c t i v e l y , 3 6 当口= 2 ，v = 2 时系统( 3 ，2 1 ) 的吸引盆：( b h = 0 1 1 ；( b ) 7 = 0 2 1 ；( c h = 0 3 1 t h eb a s i n so fa t t r a c t i o no fs y s t e m ( 3 2 1 ) w i t h ，= 2 t ，= 2 ：( a ) 7 = 01 1 ； ( b ) 7 = 02 1 ；( c ) 7 = 0 3 1 ，r e s p e c t i v e l y 3 7 当口= 2 ，u = 2 时的最大l y a p u n o v 指数 。：国) 系统( 3 1 9 ) 的左佣；( b ) 系 统( 3 1 9 ) 的右侧；( c ) 系统( 3 ，2 1 ) 的左侧；( d ) 系统( 3 2 1 ) 的右饲t h em a x i m a l l y a p u n o ve x p o n e n t sw i t h 口= 2 ，u = 2 ：( a ) t h el e f t - s i d eo fs y s t e m ( 3 1 9 ) ；( b ) t h e f i g h t - s i d eo fs y s t e m ( 3 1 9 ) ；( c ) t h el e f h i d eo fs y s t e m ( 3 2 1 ) ；( d ) t h er i g h t - s i d eo f x 4 1 4 3 4 4 4 7 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留，使用学位论文的规定椅授 权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采 用影印，缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有关 部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名 导师签名 签字日期t年月日 签字日期；年月 日 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书而使用 过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月 日 5 7 致谢 本研究及学位论文是在我的导师曹鸿钧副教授的悉心指导下完成的他严肃的 科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我从课 题的选择到论文的最终完成，曹老师都始终给予我细一l - 的指导和不断的鼓励两年 多来，曹老师不仅在学业上给我以精心的指导，同时还在生活上给我以无微不至的 照顾，在此谨向曹老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意 同时感谢关，l - 我们成长的学校和学院领导们，感谢给我以传道授业解惑和在生 活学习上支持帮助过我的所有老师们尤其要感谢师母蒋尧珍老师，两年来，她在 生活和学习上也给了我极大的关心和帮助 感谢同门的师弟师妹们和已经毕业的师姐，共同的学习、探讨与合作使我收获 颇多感谢所有一路走来，互相勉励的同学和朋友，感谢他们在学习和生活中给予 我的关心和帮助 感谢我的室友们，从遥远的家来到这个陌生的城市里，是你们和我共同维系着 彼此之间姐妹般的感情，维系着寝室那份家的温暖时间转瞬即逝，2 0 0 5 年的9 月 8 号仿佛就在昨天一起度过的那些快乐日子，我会永生难忘的 感谢我的爸爸妈妈，没有你们的鼓励和支持就不会有今天的我 最后，诚谢各位专家和学者在百忙中审阅我的论文诚恳接受您的宝贵意见和 建议，并期待您的批评和指导 周培培 2 0 0 7 年1 1 月 于北京交通大学理学院 1 引言及背景知识 混沌( c h a o s ) 是一种貌似无规则的运动，指在确定性非线性系统中，不需附加 任何随机因素亦可出现类似随机的行为( 内在随机性) 从数学上讲，对于确定的 初始值，由动力系统就可以推知它的长期行为甚至追溯其过去性态但是大量的实 例表明，有很多系统当初始值产生极其微小的变化时，其系统的长期性态有很大的 变化，即系统对初始条件十分敏感因此从长期意义上来讲，系统的未来行为是不 可预测的所以，从物理意义上讲对这种系统的长期行为进行预测完全是随机的 但这是一种。假”随机现象。它与由于系统本身具有随机顼或随机系数而产生的随 机现象完全不同对于个真正的随机系统，从某一特定时刻的量无法知道以后任 何时刻量的确定值，即系统在短期内也是不可预测的而对于确定性系统，它的短 期行为是完全确定的，只是由于对初始条件依赖的敏感性，使得确切运动在长期内 不可预测这正是它内在固有的随机性引起的，因此这种现象只发生在非线性系统 中 1 1 非线性动力系统 所谓系统( s y s t e m ) ，就是指由一些相互联系( 或相互作用) 的客体组成的集合 系统的性质或特征是用一些所谓的状态变量( s t a t ev a r i a b l e s ) 所表征的但这类状 态变量随时间是在变化的，也就是系统是处于非平衡状态的，此时的系统就称之为 动力系统( d y n a m i c a ls y s t e m ) 状态变量的规律既可以表示为连续形式的微分方程 或微分积分方程，也可以用关于状态变量的离散方程表示过去对动力系统的研究 一般多限于线性系统，然而实际的自然现象或社会现象毕竟是很复杂的，其动力学 规律往往需要用非线性方程表示随着2 0 世纪6 0 年代计算机科学技术的迅速发 展，人们可以容易地求得一般非线性方程的数值解，这才使人们对非线性系统有了 较深刻的了解，而且使非线性动力学在自然科学和社会科学许多领域中得到广泛的 应用非线性动力系统理论的主要研究内容包括系统的结构稳定性轨道的稳定性 分岔和混沌等 1 1 1p o i n c a r 瞅射 p o i n c a r 映射 1 1 是研究流的闭轨的稳定性的一种重要方法，它实质上是把研究 的连续时间系统( 流) 简化为与之相连的离散时间系统( 映射) 这样做的好处不仅 可以展现所研究系统的全局动态、使得概念很清晰，而且更重要的是可以降低系统 的维数，研究起来比较简便 考虑自洽系统； 圣= ，( z ) ，z 彤，( 1 1 ) 1 北京交通大学硕士学位论文 图1 1p ( 妇c ”6 映射蹦n c a 拍m a p p i n g 其中，：u 一舻是，函数，u c 舻中的某一开集，忱( ) 是( 1 1 ) 的流 定义1 1 设为舻中的m 一1 ) 维超曲面日的一部分，对任何z e ，( z ) 不 与e 相切，即( z ) r n ( g ) 0 ，其中n ( z ) 为在。处的法向量，则称为流忱( - ) 的一个截面，在截面e 上，流忱( ) 处处都与横截相交只要点z 不是平衡点， 我们总可以作过点z 的截面 设( 1 1 ) 有一个周期为t 的周期解忱( z o ) ( 妒件t ( z o ) = 忱( z o ) ) ，；t 0 ，p 是周期 解的初始位置e 为过z o 的( n i ) 维横截面，由于( z ) 是c r 函数，所以妞( z ) 也是c r 的，因此可以找到开集vc ，使在接近t 的一段时间有轨线开始于y 返回到e ( 如图1 1 ) ，使得y 中的点与第一次返回到的点联系起来的映射就称 为p o i n c 缸锹射，简记为p ，即 p ：v _ ( 1 2 ) ”竹( 。) ( z ) 其中r 0 ) 为点z 第一次返回e 的时间由构造知r 扣o ) = t ，p ( x o ) = z o 一般地，当面z o 时，r t ( x o ) = t 但当i z o 时，r ( i ) 一t ，于 是上述构造得到帆中闭轨r 附近的一个离散流p k ，且易知卸是映射尸的不动 点。对应于( 1 1 ) 的条周期轨p 的个周期为的解对应于( 1 ，1 ) 的一条闭合 之前k 次穿过的周期鳃所以对( 1 1 ) 的流的研究可以归结为对p o i n c a r d 映射的 研究又由于p o m c a r 瞅射是在( n - 1 ) 维空间中的映射，因此研究起来比原来简便 2 第一章引言及背景知识 定理1 1 设r 为忱的一条闭轨。点z r ，且z 是p o i n c a r 6 映射的双曲不动 点，d p ( x ) 的一切特征值的模都小于1 ，则闭轨r 是轨道渐近稳定的 p o i n c a r 6 映射不仅在流的闭轨研究中起重要作用，而且是研究连续动力系统的 次谐运动或超谐运动，拟周期运动以及混沌运动必不可少的工具一般要用理论方 法得到p o i n c a r 6 映射的结果时很难的，因为这需要用到流的表达式；但是我们可以 用数值方法得到p o i n c a r 6 映射的结果 1 1 2 中心流形定理 我们知道在系统( 1 ，1 ) 的双曲不动点附近，非线性流的拓扑结构可以用线性化 流描述但是对于非双曲不动点，在不动点附近的流的结构可能是很复杂的中心 流形定理1 1 , 2 1 提供了这样一种降低所研究系统的维数的研究方法，因此它在研究非 双曲不动点的稳定性和分岔问题中有重要的作用 i 向量场的中心流形定理 考虑向量场 士= 血+ 他，v ) ， ( z ，) 牙f( 1 3 ) 口= b y + g ( z ，f ) ， n l ( o ，0 ) = 0 d g ( o ，0 ) = 0 a 是一个特征值的实部为零的c c 矩阵，b 是个特征值的实部为负数的s 8 矩阵，和g 都是c r 函数( r 2 ) 定义1 2 个不变流形称做向量场( 1 3 ) 的中心流形。假若对于充分小的6 不变 流形可以表示为如下的式子 w 7 。( o ) = ( z ，y ) r 。酽ly = h c x ) ，iz i 正h ( o ) = 0 ，d h ( o ) = 0 定理1 2 ( 中心流形存在定理) 向量场( 1 3 ) 存在一个中心流形，且其动力学可以 限制到中心流形上得到t n = a + 1 0 ， m ) ) ，( 1 4 ) 对于充分小的u 定理1 3 ( 中心流形定理) ( i ) 假定向量场( 1 4 ) 的零解是稳定的( 渐近稳定的) ；则 向量场( 1 3 ) 的零解也是稳定的( 渐近稳定的) ；( i i ) 假定向量场( 1 4 ) 的零解是稳定 3 0 o = = 0 o 八“ 中 其 北京交通大学硕士学位论文 的，( z ( ) ，f ( ) ) 是向量场( 1 3 ) 的一个解，则对于充分小的( z ( o ) ，g ( o ) ) ，向量场( 1 3 ) 存在一个解( t ) ，使得 。0 ) = ( 。) + d ( e 一1 ) ， ( 1 5 ) ( t ) = ，l ( 札( t ) ) + d ( e 一，) ， 当t o o 时，其中1 是一个常致 i i 映射的中心流形定理 考虑映射 z ”血+ ，( 。，口) ， ( z ，口) p f( 1 6 ) y - - + b y + 9 ( z ，) ， 或 + 12 觚+ m m 鲰) ， f 1 7 1 口1 = 蜀+ g ( ，) ， 其中 i ( o ，0 ) = 0 ，o l ( o ，0 ) = 1 ， g ( o ，0 ) = 0 ，d g ( o ，0 ) = 1 ， ，g 在原点的某邻域内是的a 是一个特征值的模等于1 的c c 矩阵，b 是 个特征值的模小于1 的8 s 矩阵显然( z ，y ) = ( 0 ，0 ) 是映射( 1 6 ) 的一个不动 点其线性化的映射是不能判定它的稳定性的因而有以下几个定理 定理1 4 映射( 1 6 ) 存在一个伊中心流形，且可以被局部的表示为如下