硕士论文概率潮流与概率最优潮流算法研究

图分类号：图分类号： 单位代号：单位代号：10280 密密 级：级： 学学 号：号：11721280 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 SHANGHAI UNIVERSITY MASTERS DISSERTATION 题题 目目 概率潮流与概率最概率潮流与概率最 优潮流算法研究优潮流算法研究 作作 者者 肖肖 青青 学科专业学科专业 系统工程系统工程 导导 师师 邹邹 斌斌 完成日期完成日期 2014 年年 1 月月 1 日日 I 上海大学 本论文经答辩委员会全体委员审查,确 认符合上海大学硕士学位论文质量要求。 答辩委员会签名： 主任： 委员： 导 师： 答辩日期： 上海大学硕士学位论文 II 原原 创创 性性 声声 明明 本人声明： 所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签 名： 日 期： 本论文使用授权说明本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 （保密的论文在解密后应遵守此规定保密的论文在解密后应遵守此规定） 签 名： 导师签名： 日期： 上海大学硕士学位论文 III 上海大学工学硕士学位论文 概率潮流与概率最优潮流算法研究概率潮流与概率最优潮流算法研究 姓 名：肖青 导 师：邹斌 学科专业：系统工程 上海大学机电工程与自动化学院 2014 年 1 月 上海大学硕士学位论文 IV A Dissertation Submitted to Shanghai University for the Degree of Master in System Engineering The Research of Probabilistic Power Flow and Probabilistic Optimal Power Flow Algorithm MACandidate：Xiao Qing Supervisor：Zou Bin Major：System Engineering School of Mechatronics and Automation, Shanghai University January, 2014 上海大学硕士学位论文 V 摘 要 本文旨在建立快速、准确的算法求解概率潮流和概率最优潮流问题，在考 虑电力系统相关输入随机因素的前提下，得到输出随机变量的统计信息，从而 为电力系统的规划和稳定运行提供依据。 本文结合 Johnson 系统和一维降维法求解概率潮流问题， 用 Johnson 系统将 概率潮流问题转换到相互独立的标准正态空间。将概率潮流输出变量的前四阶 标准化中心矩（数学期望、标准差、偏度和峰度）视为关于多维独立标准正态 随机向量的积分，并选用一维降维模型计算输出变量的前四阶标准化中心矩。 最后利用 Johnson 系统建立输出随机变量的累积分布函数。 相对于概率潮流，概率最优潮流中存在着优化目标和各种不等式约束，其 输出、输入变量函数关系的非线性很大，若用一维降维法计算统计矩，会带来 很大的误差。而且，在概率最优潮流中，很多输出变量的概率分布并非常规的 单峰分布，无法用 Johnson 系统描述。因此，本文选用 9 阶多项式正态转换模 型和拟蒙特卡洛模拟求解概率最优潮流问题。 本文用 9 阶多项式正态转换模型模拟各种非正态概率分布，并推导出计算 相关系数的多项式方程，解决了相关系数求解问题。将概率最优潮流问题映射 到独立的标准正态空间，用拟蒙特卡洛法求取输出变量的统计矩；通过等边际 概率转换原则，将 Sobol 数列转换到原相关非正态空间进行最优潮流运算。最 后，基于输出变量的概率加权矩，用 9 阶多项式正态转换模型构筑输出变量的 累积分布函数。 关键词：关键词：概率潮流；概率最优潮流；Johnson 系统； 降维法；拟蒙特卡洛；9 阶多项式正态转换模型；相关性 上海大学硕士学位论文 VI ABSTRACT This dissertation aims to develop efficient and accurate algorithms to solve the probabilistic power flow (PPF) and probabilistic optimal power flow (P-OPF) problem. The goal is to obtain the statistical information of the output variables with the consideration of the dependency among the input random variables, whereby the power system planning and stable operation are guaranteed. This dissertation proposes an algorithm to solve PPF problem by combining Johnson system and univariate dimension reduction method. The Johnson system is introduced to transform PPF problem into the independent standard normal space, whereby the first four standardized central moments (mean, standard deviation, skewness and kurtosis) of the PPF outputs are regarded as integrals with respect to the multivariate independent standard normal vector. The univariate dimension reduction method is employed to calculate the first four standardized central moments of the output variables. Finally, the cumulative distribution functions are established by the Johnson system. Compared with PPF problem, due to the optimization objective and the inequality constraints, the nonlinearity of the function relationship between P-OPF inputs and outputs is severe, the univariate dimension reduction method would introduce high residual errors to calculate the statistical moments of the outputs. Furthermore, many output variables of P-OPF follow irregular distributions, which cannot be accurately modeled by Johnson system. Thus, the ninth-order polynomial normal transformation technique and Quasi Monte Carlo simulation are employed to solve the P-OPF problem. The ninth-order polynomial normal transformation technique is used to simulate various non-normal distributions, the polynomial equation solved for correlation coefficient is also derived, whereby the correlation coefficient calculation issue is easily handled, and the P-OPF problem is mapped into the independent standard normal space. The statistical moments of the outputs are obtained by Quasi Monte Carlo method. According to marginal transformation，the Sobol sequence is transformed into the original correlated nonnormal space to perform the 上海大学硕士学位论文 VII optimal power flow calculations. Using the probability weighted moments of the outputs, the cumulative distribution function is reconstructed by the ninth-order polynomial normal transformation model. Keywords: Probabilistic power flow; Probabilistic optimal power flow; Johnson system; Dimension reduction method; Quasi Monte Carlo simulation; Ninth-order polynomial normal transformation model; Correlation 上海大学硕士学位论文 VIII 目 录 第一章 绪论 . 1 1.1 研究背景 . 1 1.2 国内外研究概况 . 2 1.2.1 概率潮流问题 . 2 1.2.2 概率最优潮流问题 . 3 1.3 研究内容和方法 . 4 第二章 正态转换技术 . .6 2.1 引言 . 6 2.2 Johnson 系统 . 7 2.2.1 模型选择与系数求解 . 7 2.2.2 相关性处理 . 9 2.3 9 阶多项式正态转换技术 . 13 2.3.1 系数求解 . 13 2.3.2 相关性处理 . 15 2.4 本章小结 . 17 第三章 基于 Johnson 系统和降维法的概率潮流算法 . 19 3.1 点估计 . 19 3.2 单变量函数 . 20 3.2.1 Hong 的点估计和 MBQR . 20 3.2.2 Gauss-Hermite 积分 . 20 3.3 多变量函数 . 22 3.3.1 多变量函数的降维模型 . 22 3.3.2 Hong 的点估计 . 24 3.4 概率潮流的数学模型 . 25 3.5 算法步骤 . 26 上海大学硕士学位论文 IX 3.6 算例分析 . 27 3.6.1 算例数据 . 27 3.6.2 样本验证 . 29 3.6.3 结果分析 . 30 3.7 本章小结 . 34 第四章 基于 9 阶多项式正态转换技术的概率最优潮流拟蒙特卡洛算法 . 35 4.1 低偏差序列 . 35 4.2 概率最优潮流的数学模型 . 37 4.3 算法步骤 . 39 4.4 算例分析 . 40 4.4.1 样本验证 . 40 4.4.2 结果分析 . 41 4.5 本章小结 . 45 第五章 结论与展望 . 46 5.1 结论 . 46 5.2 展望 . 46 参考文献 . 48 作者在攻读硕士学位期间公开发表的论文 . 53 致 谢 . 54 上海大学硕士学位论文 1 第一章 绪论 1.1 研究背景研究背景 潮流运算与最优潮流运算是电力系统中应用最广泛、 最基本和最重要的电气 运算。在电力系统的实时监控中，需要进行大量快速的潮流运算；在电力系统的 运行规划中，也要进行最优潮流运算比较各种运行方式、规划方案的可行性、可 靠性和经济性。 随着国民经济的发展， 电力需求不断增长， 传统火电、 水电的压力日益增加。 为缓解供能压力，风能、太阳能等可再生能源被持续接入电网；而可再生能源出 力的间歇性，使电力系统原有的各种不确定性（如机组停运、阻塞等）进一步增 强。 由于实际电力系统非常庞大，变量较多，不可能采用穷举方式，对输入变量 的各种可能组合状态逐一进行确定性潮流运算，以此研究系统中随机因素的影 响。常用的策略是，采用概率的方法分析和研究电力系统的运行状态，为此而提 出的概率潮流 12 （Probabilistic Power Flow, PPF）和概率最优潮流 34 （Probabilistic Optimal Power Flow, P-OPF）是解决实际问题的重要工具。 概率潮流和概率最优潮流将电力系统的网络结构、节点注入的有功功率、无 功功率等不确定量视为服从某种概率分布的随机变量，旨在求得节点电压幅值、 相角、支路有功、无功潮流等输出变量的统计信息，比如：数学期望、标准差、 偏度、峰度、概率密度函数（Probability Density Function，PDF）和累积分布函 数（Cumulative Distribution Function，CDF）等。 相对于传统的确定性潮流分析， 概率潮流可以考虑电力系统中各种随机扰动 的影响，为电力系统的经济运行、可靠性分析以及安全稳定分析提供更有价值的 参考信息，已被广泛地应用于概率负荷分析、概率稳定等领域。而概率最优潮流 中的各种不等式约束和优化目标，能够满足电力系统对经济性、安全性和电能质 量的要求，自诞生之日起，便受到广泛的重视。 上海大学硕士学位论文 2 1.2 国内外研究国内外研究概况概况 1.2.1 概率潮流问题 至今提出的概率潮流求解方法可分为三类：模拟法（Simulation method） 、 解析法（Analysis method）和近似法（Approximation method） 。 蒙特卡罗模拟法5（Monte Carlo Simulation, MCS）是求解概率潮流最典型、 最直接的方法，其操作简单，适用性广。只要建立起合适的模型描述输入变量的 概率分布，再抽取大量随机样本，代入潮流运算，就可得到输出变量的样本，并 用其描述输出变量的概率分布。但对大系统而言，其输入变量较多，需要庞大的 随机样本数保证所得的结果准确、收敛，计算时间长。 解析法中最具代表性的是累积量法（Cumulant method）6-9。该方法基于一 阶泰勒展开式线性化潮流方程。若输入随机变量相互独立，则可利用其累积量和 潮流运算方程的雅可比矩阵，求取输出变量的累积量；再利用 Cornish-Fisher 级 数重建输出变量的 PDF 和 CDF。半不变量法的优点是速度快、精度较好，但其 仅限于随机变量相互独立的情况。然而目前的电力系统中，可再生能源出力间存 在显著的相关性，尤其是风力发电并网机组出力间的相关性，必须纳入考虑。文 献10对累积量法做了改进，可以处理含有相关正态随机变量的 PPF 问题，但若 随机变量为相关的非正态变量，PPF 问题就无法用累积量法求解。 近几年， 用近似法求解 PPF 问题的研究有了很大进展。 文献11首次将 Hong 的点估计（Point Estimate Method，PEM）引入 PPF 问题的计算，求取了输出变 量的数学期望和标准差。 点估计法12的基本思想与半不变量法有类似之处， 也是 利用输入随机变量的统计信息来获取输出变量的统计信息（各阶原点矩或中心 矩） 。相对于半不变量法，PEM 采用另一种模型逼近潮流运算方程中输入、输出 量间的函数关系，易于与正态转换技术结合，能对输入随机变量的相关性进行处 理1314。 上海大学硕士学位论文 3 PEM 的实质是将输出变量的统计矩视为关于输入随机变量的多维积分，用 简化的数学模型逼近被积函数，从而以较小的计算量得到输出变量的统计矩。文 献15对 PEM 的各种方案做了系统的比较研究，发现三点估计法的精度远高于 两点估计法， 而且两者的计算时间相当。 在文献610中， 研究者通过算例分析， 发现 Hong 的点估计在求取三阶及以上的统计矩时，精度很低；而为描述非正态 随机变量的概率分布，至少需要前四阶的统计矩（数学期望、标准差、偏度、峰 度） 。因此，仅仅依靠 Hong 的点估计不能完全解决 PPF 问题。 文献16引入一种无迹转换（Unscented Transformation， UT）的方法求解 PPF 问题。与 Hong 的点估计相比，该方法的最大优点是可以直接对输入变量的 相关性进行处理。但 UT 法也仅限于求解输出变量的数学期望和标准差，没有求 解更高阶的统计矩。 1.2.2 概率最优潮流问题 概率最优潮流（P-OPF）问题是由 M. Madrigal，K. Ponnambalam，V. H. Quintana 等首次提出17，该问题源于最优调度中随机因素的研究18。现有的 P-OPF 问题解法同样也有蒙特卡洛模拟法（MCS） 、半不变量法（Cumulant method）和点估计法（PEM）这三种。 相对于概率潮流运算， 由于优化目标和各种不等式约束的存在， P-OPF 输入、 输出变量间函数关系的非线性很大， 很多输出变量的概率分布并非常规的单峰分 布，上述几种方法在解决 P-OPF 问题时面临很多新的问题。其中，蒙特卡罗模 拟法19-21仍可直接使用现有确定性最优潮流的模型和方法，展显出良好的适应 性，但缺点仍是其庞大的计算量。 半不变量法22-25和点估计2627将概率最优潮流运算的优化过程视为一种概 率映射，通过简化 P-OPF 输入、输出变量的隐式函数关系求取输出量的统计信 息。在解决 P-OPF 问题时，这两种方法仍有较快的计算速度。但由于 P-OPF 输 入、输出变量间的非线性很大，半不变量法为减少计算量而略去的泰勒展开式高 阶项，引入了较大的误差。对于部分输出变量，所得的标准差（二阶矩）就已存 在极大的误差22；点估计法也存在类似的问题26。在解决 P-OPF 问题时，半不 上海大学硕士学位论文 4 变量法和点估计法很难准确求取三阶及以上的中心矩， 无法建立输出变量的 PDF 和 CDF。 由于 P-OPF 输入、输出变量间的高非线性，即便所有的输入随机变量是正 态的，输出随机变量也未必是正态的，很多输出随机变量的概率分布并非常规的 单峰分布。本已局限于部分概率分布的 Cornish-Fisher 级数在模拟输出随机变量 的概率分布时更显捉襟见肘。而且，对于现有的概率模型而言，很难基于原点矩 或中心矩来描述服从非单峰分布的随机变量。虽然文献28中的五阶多项式正阶 转换模型可以实现对部分非单峰分布的模拟， 但需要求解极其复杂的非线性方程 组来确定其系数。 1.3 研究内容研究内容和方法和方法 本文在处理 PPF 和 P-OPF 问题时，将各节点的负荷需求（有功和无功）以 及风力发电机组的出力（有功和无功）视为输入变量；节点电压的幅值和相角， 线路的潮流等视为输出变量。将 PPF 和 P-OPF 的输出变量视为关于输入变量的 多变量函数；在考虑输入随机变量相关性的情况下，将输出量的统计矩视为关于 输入变量的多重积分。 对于 PPF 问题，本文用 Johnson 系统对电力系统的随机变量进行建模。基于 目标随机变量的数学期望、标准差、偏度和峰度，选取适当的转换模型，求取模 型的系数。为处理输入变量间的相关性，本文推导了 9 个公式计算两个相关随机 变量映射到标准正态空间的等效相关系数。考虑到 PPF 输出变量与输入变量间 的函数关系是隐式的，无法获得具体的代数解析式，故选用无需求导的一维降维 法（Univariate Dimension Reduction，UDR）求取输出变量的数学期望、标准差、 偏度和峰度。基于 UDR 法所得的中心矩，选用 Johnson 系统构筑输出随机变量 的 CDF。 对于 P-OPF 问题，本文选用 9 阶多项式正态转换（Ninth-order Polynomial Normal Transformation，NPNT）模型模拟电力系统中随机变量的概率分布；并利 用概率加权矩（Probability Weighted Moment，PWM）求解多项式模型的系数。 由于 NPNT 能实现对目标随机变量更高阶统计矩的匹配， 故能处理很多 3 阶多项 上海大学硕士学位论文 5 式正态转换（Third-order Polynomial Normal Transformation，TPNT）模型、5 阶 多项式正态转换（Fifth-order Polynomial Normal Transformation，FPNT）模型模 拟效果较差、甚至无法模拟的概率分布。考虑到随机因素的相关性对 P-OPF 计 算结果的影响显著21， 本文基于标准正态随机变量的交叉矩公式， 推导出了一元 9 次方程，方便地求解原相关随机变量映射到标准正态空间的相关系数，从而将 P-OPF 问题转换到独立的标准正态空间来处理。同时，选用拟蒙特卡洛法求取输 出量的统计矩，用 Sobol 数列中的低偏差序列替代蒙特卡洛模拟的伪随机序列， 加快收敛速度， 并保证较高的精度。 最后， 基于输出变量的概率加权矩， 用 NPNT 建立输出量的累积分布函数。 上海大学硕士学位论文 6 第二章 正态转换技术 2.1 引言引言 电力系统的随机因素间往往存在着不同程度的相关性， 比如可再生能源的出 力、各节点的负荷需求等；为得到准确的计算结果，在 PPF 和 P-OPF 计算中需 将这些随机因素的相关性纳入考虑。然而，直接建立多维相关非正态随机变量的 数学模型是很困难的。考虑到多维正态分布的相关性很容易处理，不少学者提出 了一种正态转换的方法，即：基于等边际转换原则，将相关的非正态随机向量转 换到相关的标准正态空间处理，用多维正态分布对多维非正态分布进行建模。常 用的正态转换技术有 Rosenblatt 转换和 Nataf 转换两种。 Rosenblatt 转换29是于 1950 年提出的一种正态转换技术，能直接处理非正 态随机向量的相关系数矩阵。但该方法有两个缺陷： （1）Rosenblatt 转换需要多 维随机变量的完全联合分布概率密度函数，这个要求在工程应用中是很苛刻的。 （2）对于m维输入向量，Rosenblatt 转换共有!m种转换次序，而且每种转换次 序所得的结果并不相同，当输入变量较多时，很难用穷举的方法对所有转换次序 逐一进行验证。 相比于 Rosenblatt 转换，Nataf 转换30-35仅需要已知随机向量的边际概率分 布和相关系数矩阵，这恰恰是工程中最常见的情况；而且，Nataf 转换易于操作， 不存在转换次序的问题。Nataf 转换的最大难点在于等效相关系数的求解：设有 两个相关系数为x随机变量，通过等边际转换，两者在标准正态空间的等效相 关系数为z。然而，这个正态转换过程是非线性的，所得的z值与x是不一样 的，对于给定的x，需要确定一个合适的z。 在求解相关系数z的问题上，学者们进行了大量的研究工作。其中，以 Dir-Kiureghian 和 Liu 给出的 49 个半经验公式最为快捷3031， 但其涵盖的概率分 布类型有限，仅限于文献3031中所列出的概率分布。李洪双等基于 Gauss-Hermite 积分提出了一种搜索法32，可完成所有类型概率分布的相关系数 上海大学硕士学位论文 7 求解，但对于m维的随机向量，需求解(1)/ 2m m个非线性方程，其计算速度 略低。此外，无论是半经验公式还是一维搜索法都需要已知各输入随机变量的概 率分布，对于只有大量观测样本的随机变量，需要先找到合适的概率模型对其进 行分布拟合。 Fleshman 所提出的三阶多项式正态转换（TPNT）技术36，利用标准正态分 布的三项多项式来模拟非正态分布， 理论上可以解决分布拟合问题。 文献3940 基于相关正态随机变量的积矩公式，利用 TPNT 技术解决了相关系数的求解问 题。现在，TPNT 技术已被广泛地应用于 PPF 问题的求解15213738，但其所能 模拟的非正态概率分布有限。为拓展多项式转换技术的涵盖范围，Headrick 建议 将之拓展到更高阶。在文献28中，Headrick 提出了一种五阶多项正态转换 （FPNT）模型，通过与 TPNT 的对比41，发现 FPNT 可以更加精确地模拟许多 TPNT 无法处理的概率分布；但 FPNT 的缺点在于其系数的求解十分复杂（可参 见文献28附录 A） 。 本文基于 Johnson 系统和 9 阶多项式正态转换技术，提出了两种方法来求解 相关系数z。Johnson 系统是基于传统的标准化中心矩，来选择转换模型、求解 系数，用标准正态分布模拟非正态概率分布；而 9 阶多项式正态转换技术用概率 加权矩来求解系数，以标准正态分布模拟非正态分布。 2.2 Johnson 系统系统 2.2.1 模型选择与系数求解 在工程应用中，常常需要对某个随机变量的大量观测数据进行分布拟合，即 寻找合适的概率模型来描述样本的分布。 为此， 学者们已提出了大量的理论模型， 比如：正态分布、伽马分布、贝塔分布、T 分布、对数正态分布等。但在实际应 用中，很难对诸多概率模型逐一进行拟合测试，再挑出一个合适的模型。常用的 一种方法是，以某种基本的概率分布(比如：均匀分布、标准正态分布)为基础， 对其进行初等变换，使其能灵活地模拟其它概率分布，并用其进行分布拟合。 上海大学硕士学位论文 8 Tadikamalla 对各种转换模型做了总结42，一共列出了 6 种转换技术，其中以 Johnson 系统的覆盖面最为广泛。 在文献43中，Johnson 讨论了用标准正态分布来模拟非正态分布的可行性， 提出了一个 4 参数的转换系统；并基于偏度和峰度，将目标随机变量x分成 L S、 U S、 B S 3 类，再加上正态分布 N S，Johnson 系统一共有 4 种转换模型： exp ()/ ( ) sinh ()/ / 1exp ()/ N L U B zS zS xJ z zS zS (2-1) 其中：z是标准正态随机变量；是数学期望，是标准差；、是由数学期 望、标准差所决定的系数；、则是由偏度、峰度决定的系数。只要选择合适 的模型和参数，就能将标准正态随机数z转换成其有指定概率分布的随机数，从 而实现用标准正态分布对各种概率分布的模拟。 随机变量的统计特性可由其各阶统计矩来描述， 各种概率分布都有其独特的 前四阶标准化中心矩，即：数学期望、标准差、偏度和峰度。因此，研究者常采 用矩匹配 （Moment Matching） 的方法来求解 Johnson 系统的参数， 即： 使 Johnson 系统的前四阶标准化中心矩与目标随机变量x的前四阶标准化中心矩相等，建立 4 个非线性方程，再通过求解非线性方程组来确定 Johnson 系统的系数。这里将 数学期望、标准差、偏度 3 和峰度 4 的计算公式列出： 22 3 3 3 33 4 4 4 44 ( ) ( ) ( ) ( ) E xx f x dx E xxf x dx xf x dx E x xf x dx E x (2-2) 其中：( )f x为x的概率密度函数。 基于数学期望、 标准差、 偏度和峰度， 采用矩匹配求解 Johnson 系统的系数， 需要繁琐的数学计算。幸运的是，文献44中给出了求解系数的程序，只要输入 上海大学硕士学位论文 9 随机变量的数学期望、标准差、偏度和峰度，便可快速准确地选择一个合适的转 换模型，并求得系数、。 对随机变量x，求得 Johnson 系统的系数后，借由标准正态分布的累积分布 函数（CDF）便可建立x的 CDF： 1 ( )( ) ()/ ln() z sinh()/ ln ()/() N L U B F xz xS xxS xS xxxS (2-3) 2.2.2 相关性处理 设 1 x、 2 x是相关系数为x的两个随机变量， 两者都通过 （2-1） 式中的 Johnson 系统，由标准正态随机数 1 z、 2 z生成： 111 222 ( ) () xJ z xJz (2-4) 其中： 1() J、 2() J表示 N S、 L S、 U S、 B S中的某个转换模型。 为确保生成的随机数 1 x、 2 x具有相关性，首先需要生成相关的标准正态随 机数 1 z、 2 z，这