（应用数学专业论文）一类不确定系统的h∞滤波器设计及鲁棒镇定.pdf

摘要 本文主要研究了一类不确定系统的降阶风。滤波器设计及鲁棒镇定问题。 首先，论文第一部分解决了带有不确定性的奇异系统的降阶风。滤波器问题， 设计了具有阶数低于所给定系统阶数的线性滤波器，使得滤波误差系统是正则 的、无脉冲的、稳定的且满足指定的月0 性能。文中给出了问题可解性的充分 必要条件，这些条件是用线性矩阵不等式及耦合的非凸秩约束来刻画的。同时 更进一步，给出了所期望的滤波器的精确参数化模型。实际上，当所设计的滤 波器是静态( 零阶) 的时，问题就简化为一个凸l m 川司题。其次，文中第二部 分进一步对一类奇异开关系统设计了一个风。观测器，并利用状态观测值设计 出系统的切换信号和反馈控制律，证明了开关系统在反馈控制律和切换信号作 用下其原点具有渐近稳定性最后，第三部分讨论了二维切换系统原点的渐近 稳定性。我们利用类多胞型l y a p u n o v 函数，给出了系统渐近稳定的充分条件 并设计了相应的反馈控制律和切换信号 关键词：凰。滤波器；线性矩阵不等式；降阶滤波器；奇异系统；开关系 统；反馈镇定；多胞型l y a p u n o v 函数；不确定性 a b s tr a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yc o n s i d e rt h ep r o b l e mo fr e d u c e d - o r d e rh o of i l t e r i n ga n dr o b u s t s t a b i l i z a t i o nf o rac l a s so fs y s t e mw i t hu n c e r t a i n t y i nt h ef i s tp a r to ft h i sp a p e r ，w es o l v et h e p r o b l e mo fr e d u c e d - o r d e rh f i l t e r i n gf o rs i n g u l a rs y s t e mw i t hu n c e r t a i n t y t h ep u r p o s ei s t od e s i g nl i n e a rf i l t e r sw i t ht h eo r d e rl o w e rt h a nt h eg i v e ns y s t e ms u c ht h a tt h ef i l t e r i n g e r r o rs y s t e mi sr e g u l a r ，i m p l u s e - f r e e ，s t a b l e ，a n ds a t i s f i e sap r e s c r i b e dh o op e r f o r m a n c e l e v e l o n em a j o rc o n t r i b u t i o no ft h i sp a p e ri st h a tn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r t h es o l v a b i l i t yo ft h i sp r o b l e ma r eo b t a i n e d t h e s ec o n d i t i o n sa r ec h a r a c t e r i z e di nt e r mo f l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m l s ) a n dac o u p l i n gn o n - c o n v e xr a n kc o n s t r a n i t m o r e o v e r ，a n e x p l i c i tp a r a m e t r i z a t i o no fa l ld e s i r e dr e d u c e d o r d e rf i l t e r si so b t a i n e d i np a r t i c u l a r ，w h e n as t a t i co rz e r o t h - o r d e rh o of i l t e ri sd e s i r e d i ti ss h o w nt h a th o of i l t e r i n gp r o b l e mr e d u c e s t oac o v e xl m ip r o b l e m i nt h es e c o n dp a r t ，w ed e s i g nah o oo b s e r v e rf o rad a s so fs i n g u l a r s w i t c h i n gs y s t e m s b yu s i n gt h em e a s u r eo ft h es t a t e s ，w ec a no b t a i nt h ef e e d b a c kl a w sa n d s w i t c h i n gs i g n a lf o rt h es y s t e m m o r e o v e r ，w es h o wt h a to r i g i no ft h es y s t e mi sa s y m p t o t i c s t a b l eu n d e rt h eg i v e nf e e d b a c kl a w sa n ds w i t c h i n gs i n g a l i nt h et h i r dp a r t ，w ec o n s i d e r t h ep r o b l e mo fa s y m p t o t i cs t a b l i l i t yf o r2 - s w i t c h i n gs y s t e m s b yu s i n gt h ep o l y t o p i c - l i k e l y a p u n o vf u n c t i o n ，w es o l v et h ep r o b l e mf o rt h es w i t c h i n gs y s t e m s w eg a i nt h es u f f i c i e n t c o n d i t i o no ft h ep r o b l e ma n dd e s i g nt h er e s p o n d i n gf e e d b a c kl a w sa n ds w i t c h i n gs i g n a l k e yw o r d s ：h o of i l t e r i n g ； ；s i n g u l a rs y s t e r m ；s w i t c h i n gs y s t e m f u n c t i o n ；u n c e r t a i n t y l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ；r e d u c e d o r d e rf i l t e r s f e e d b a c ks t a b i l i z a t i o n ；p o l y t o p i cl y a p u n o v 2 第一章不确定系统降阶月0 滤波器设计 本章主要解决了带有不确定性的奇异系统的降阶玩。滤波器问题，设计了 具有阶数低于所给定系统阶数的线性滤波器，使得滤波误差系统是正则的、无 脉冲的、稳定的且满足指定的舅k 性能。 众所周知，在滤波器理论中最著名的便是卡尔曼滤波器，它利用状态估计 的方法，使得误差变量最小化由此，卡尔曼滤波器被广泛的应用到控制与信 号处理的各个领域f 1 】但使用卡尔曼滤波方法是需要前提条件的，1 、所研 究的动力系统是适定的，2 、外部噪音须是具有静态特性的白噪。然而在实际 应用中，这些条件并不能经常满足同时，业已证明当系统带有不确定性时， 标准的卡尔曼滤波器算法不能保证得到令人满意的结果【4 】。故而，提出了一 种新的替代方法，称之为月0 滤波器。它的设计目标是使得滤波器误差系统稳 定且其丑0 范数小于指定的值。相对于卡尔曼滤波器而言，它具有两个优点， i 、不需要外扰噪音的静态假设。2 、当系统具有参数不确定性时，滤波器具 有良好的鲁棒性。因而在实际应用中，这种方法更具有效性。无论是对确定的 还是随机的模型，已有不少文献给出了关于爿0 滤波器的一些结果【89 】。 另一方面，我们也试图去寻找一种滤波器，它的阶数根据给定的判据低于 系统的阶数，这便是降阶滤波器设计问题。问题提出的动机源自于实际应用， 比如计算机计算能力的有限性，实时的要求以及在一定处理能力的条件下数 据快速处理的要求等等。在这一问题上，已有了大量的方法，发表了不少的文 献。例如 17 】中，给出了两种收敛算法使得全阶数字滤波器与降阶滤波器之间 的脉冲响应平方积分最小化，并且进一步推广到一般的m i m o 系统中。1 16 】考 虑了离散时变系统的降阶月高滤波器设计问题，给出了滤波器设计方法，其方 法涉及求解非线性微分方程。对于连续系统，【1 4 通过将问题转化成为一般的 距离问题，解决了降阶风。滤波器设计问题。【1 2 l 也研究了降阶上k 滤波器设 1 计问题，文中给出连续和离散两种情况下降阶滤波器问题的充分必要条件。所 有的关于滤波器参数设计的问题都可以通过求解某个线性矩阵不等式和与之 耦合的非凸秩约束问题而得到解决这些结论也被推广到随机的情况【1 3 】 奇异系统因其在某些领域中具有重要的实际应用，而得到广泛的的重视。 例如，电子电路、机器人控制、飞行器模型【1 9 】、社会学、生物学、多区域经济 系统、动态核反应堆等等。奇异系统又被称为描述系统、隐含系统、广义状态 空间系统、微分代数系统、以及半状态系统 71 0 】已有许多研究者研究过奇 异系统的月啬滤波器问题。例如f 2 】中通过正交变换使得一个可估的线性奇异 系统等价于一个一般的正常系统，从而得到其最优滤波器【5 】借助于时域修 正方法设计离散奇异随机系统的最优递归滤波器同时，【1 8 】研究了带有外扰 的奇异系统的降阶滤波器设计问题，并且应用与前不同的方法得到了降阶观测 器设计的一些条件【6 】讨论了奇异系统降阶月0 滤波器的设计方法，但未考 虑当系统具有不确定性时的情况 本章针对带有不确定性的奇异系统，讨论其降阶月k 滤波器设计问题。目 标是设计阶数低于系统阶数的线性滤波器，使得滤波器误差系统是正则的、无 脉冲的以及稳定的同时满足其月麓范数低于指定的值。借助于线性矩阵不等式 和与之耦合的非凸秩约束得到问题可解的充分必要条件。非凸的不等式可以通 过文献【2 3 中的a l t e r n a t i n gp r o j e c t i o n 算法得到解决。当这些不等式是可行的， 我们可得到降阶月k 滤波器的精确参数化模型。实际上，当研究的是静态( 零 阶) 妇0 滤波器时，可解条件就简化为凸的l m i 可行性问题，这更易解决 2 0 1 2 1 2有关定义、引理及问题描述 本文中，对于实对称矩阵x 和y ，记号x y ( x y ) 表示矩阵x y 是半 正定( 正定) 矩阵，是具有适当阶数的单位矩阵。 矿，m + 和m + 分别表 示矩阵( 或矩阵函数) 膨的转置、共轭转置和m o o r e p e n r o s e 逆对任意矩阵 m r m m ，r a n k m = r ，若存在分解m = m l m r 其中m 1 , 舻”，m r 形且分 别为列满秩和行满秩，则称此分解为矩阵m 的满秩分解。 设a c ”“，且记a 的n 个特征值为九0 = 1 2 竹) 则称九的算术平方 根仉= 瓶0 1 2 n ) 为矩阵a 的奇异特征值矩阵奇异值所代表的物理意 义在于反映了当伊中的向量z 被矩阵月映射到c m 上时，其象向量a x 的长度 被放大或缩小的倍数之上下界值。我们用盯( ) 表示一个矩阵的最大奇异值，则 可以定义矩阵a 的2 范数怕即l i a i l 2 = 盯( a ) 对一个给定的矩阵m 舻一，设其秩为r 则其正交补矩阵m 上定义为一 个( 一般不唯一) 一r ) xn 矩阵使得m 上m = 0 和m 上 彳 o , m 1 可以通过 奇异值分解计算得到；m 上= 孔巧其中丁是任意的非奇异矩阵且巩可以通过 如下的奇异值分解得到： m = 巩巩 f ：。o 订v 芗 l 。空间：在实平面的闭右半平面上解析，且满足以下条件的函数，( ) ： 矿一r 的全体所构成的集合。 fl s ( t ) 1 2 d t 0 0 对任意的函数，( f ) 如，其范数定义为i l f l l 。： f 佃i f ( t ) 1 2 出捧1 如范数具有明 显的工程意义：即若将歹看成时域信号，则可认为，的。范数描述了这一信 号所蕴含的能量。由此可以定义相应的毋空间，毋空间就是礼维函数向量 ，( t ) = ，l 似厶( ) 】所构成的空间，其中，( t ) 的分量五( ) l u 对任意的函数 ，( ) 2 ，其范数定义为i l f l l l = t 。，( t ) t ，( ”斑) 凰空间：在复平面的闭右半平面上解析，且满足以下条件的函数( s ) ： c c 的全体所构成的集合。 f ( j w ) + f ( j w ) d w o o 对任意的函数，( s ) 2 ，其范数定义为r l l l 啦： 嘉，佃，u u ) ( j u ) 幽 ；，与毋 空间相似，可以定义田空间及其上的范数。 月k 空间：在复平面的闭右半平面上解析，且在虚轴上其模有上确界的有 理复函数( 8 ) ：c c 的全体所构成的集合，即 s u p i ( j w ) i o o 类似可以定义竹m 维的函数矩阵空间蛾，要求函数矩阵f ( s ) = 岛( s ) ) 的 各个分量属于风。，即s u pf , j 0 “) i 0 0 实际上这个条件等价于 s u pa ( f ( j w ) 、 o 。 这样对于一个给定的传递函数矩阵c ( s ) ，其风。范数可以定义为 i i g ( s ) i | 。= s u p 盯( g 0 u ) ) 其物理意义为系统频率响应的最大奇异值的峰值。 关于时域函数空间和频域函数空间毋，可以通过l a p l a c e 变换或反变 换实现二者之间的映射，即 v f ( t ) 毋，f ( s ) = ( ，( ) ) 2 o ，( ) e - s t d t 磁 v f ( s ) 日孑，f ( t ) = l 一( f ( s ) ) = f ( s ) e 5 2 d s l ； 而对于l 。范数和岛范数的关系我们有如下的定理( p a r s e v a l 定理) v f ( t ) 毋，f ( 8 ) = 己( ，( ) ) 兮i i f ( t ) l l l ；= l i f ( 8 ) i i h 假定a ( 8 ) 俨为月? 空间到月暑空间的一个函数矩阵，则有下述定理 定理：v u ( s ) 日，( s ) 砑有如下等式成立 懈川一s 喇u p 踹= s 卿u p 涨 后一等式是从p a r s e v a l 定理得来。 4 问题描述： 对于如下系统 ( e 。) e 圣( ) = a x + ( b + b ) u ( 磅) y ( t ) = c x ( t ) ( 1 1 ) z ( t ) = l x ( t ) 其中状态x ( t ) 舻；可( t ) f p 是可测输出；z ( t ) r q 是待估计的信号；u ( t ) i v 是干扰输入且u ( t ) 酽，甜( ) 逻矩阵e p “，我们记e 的秩为r a n ke ，且 假定r a n ke = r n a ，b ，c ，和l 为已知具有适当维数的实常数矩阵a b 是 系统矩阵的不确定项，且不确定项可以写为a b = m f ( a ) n ，其中m 和为已 知的实常数矩阵，f ( o ) 为未知的矩阵，满足条件： f ( 盯) t f ( 盯) 0 ，设计一个形如( 1 3 ) 的 滤波器满足如下的条件： ( t 1 ) 误差动态系统e 。，是允许的。 ( t 2 ) 误差动态系统e 。，的传递函数0 ( s ) 具有性质1 1 0 ( 8 ) 1 1 。 7 误差动态系统e 。的允许条件表明奇异系统e 。和滤波器如应当是允许 的在讨论状态空间中系统的降阶风。滤波器问题时，系统和滤波器都要求是 稳定的，故而这一点对奇异系统也自然成立。我们设计的滤波器是降阶的，因 此要求元 竹考虑到要求降阶滤波器应当是允许的，不失一般性我们可以假 定滤波器如的形式如下： ，： ( o ) = a ( ) + 雷 ) ( 1 5 ) l z ( ) = ( t ) + d y ( t ) 这样只需设计，满足条件( t 1 ) ，( t 2 ) 当元= 0 时，降阶滤波器e ，变成： 在这种情况下，降阶滤波器退化为静态( 零阶) 月0 滤波器问题 1 2 】 在给出主要结果之前，我们先介绍以下引理，这些引理将在主要结果的证 明中用到。 弓l 理1 ( s c h u r 丰p 弓l 理) 对任意的矩阵西中。和圣。，其中m m 圣。是对称的，则下列l m i s 等价 ( i ) 1 1 ： o ( 2 ) 中1 1 0 ，西2 2 一圣毛圣矗垂1 2 0 ( 3 ) 圣2 2 0，垂l l 一圣1 2 西丢圣艺 0 引理2 ( 1 w a s a k ia n ds k e l t o n 2 1 ) 给定的对称矩阵三r t l 。n 和矩阵f 舻，i i r 舨”，r a n k f n ，r a n k i i n 考虑如下问题： 寻找矩阵o 使得 三+ p o l i + f r o n ) ? 0 此问题可解当且仅当 f 上e ( f 上) r 0 ，( t ) 上三( ( t ) 上) t 0 以及矩阵p ，使得峻j 】v 忆 1 且p 满足下列 的l m i s ： e r p = p t e 0 a t p + p t ap t b 尸r mc r b t p d 2 100 孵p 0 一萨1 0 c0 0- i 7 ( 1 7 ) o ( 1 8 ) 引理3 的证明： ( s 1 ) 表明系统c 是月k 的，则由前述定理可知有如下关系式成立 l i a ( s ) l i u 。p 踹 ，y u l l l v i j 2 其中l i 。表示l z 范数。 以下由( s 2 ) 证明( s 1 ) ，( 证明中z ( ) 简记为z ，其他类似) 证明：由l i ；n l i 2 1 可知矿t 1 2 j 号vu 噬，有p 2 u t n t n w 3 , 2 u t u 成立由于不等式是严格的小，所以可以适当的选择( 0 e 1 ) ，使得不等 式矿u t n t n w 0 ，使得 p 2 u 1 n 1 n w 一( 1 一e ) 1 2 u l u 一6 2 u l u 另，任意的向量( 或向量函数) z ，y 有如下的关系： 缸丁鲈肛t x - i - 石1 对于矩阵不等式( 1 8 ) ，根据s c h u r 补引理可知有下述不等式成立 a t p + p t a + 嘉芦b b r p + 孑1 p r m m t p + 伊g 。 设矿( z ) ：z r e r p z ，则应用匕述不等式可得： v ( x ) = 主1 e 1 p z + z 1 p 1 e i = ( a x + ( b + 曰) ) t p x + ：t t p t ( a x + ( b + a b ) w ) = x t ( a t p + p r a k + u t b t p z + x t p t b w + u t a b t 尸z + x t p t k b w = x t f a t p + p t a ) x + 2 w t b t p x + 2 w 丁( m f ( c r ) n ) t p x x t ( a t p + p r a ) z + 2 u t b t p x + 矿u ? n t n w + 击z t p t f 矿p z = x v ( a t p + 矽a ) n2 w t b t p x + 幽t 舻+ 击p m 胪m + 可t y 一( 1 一e ) ( a i t o j y t y + ( 1 一e ) 7 2 u =z t ( a t p + 尸t a ) z + 2 w t b t p x 一6 2 u t u + 击z t 尸t 彳a p 尸膏 + z t c t c x y t y + f 1 一e ) 7 2 u t u 8 =z r ( a t | p + 尸r a ) z + x t c r c x + 壶z r 尸r m m ? p x 一( 氘一一 b t p 口) t ( 6 “j 一 b t p z ) + 刍p t b b t p y t y + ( 1 一e ) 7 2 叫丁u x t ( a t p + p t a ) x + x t c t c x + 专z 了1 p t m m t p x + 嘉尸t b b r p y t + ( 1 一e ) 1 2 u t u 一y t y + ( 1 一e ) 7 2 u t u 即 矿 ) 一y t y + ( 1 一e ) 7 2 u 对不等式两边在区间【0 ，卅进行积分， r 矿。础 j ( t 【一可t 可+ ( 1 一e ) f u 】出 则在零初始条件下，有 y o ( t ) ) 0 ，则有 。z t ”t 出f ( t e ) 7 2 u t w 托 在上式两边令t o o ，得到 l i y l ；( 1 一( ) 7 2 | | u i ； 7 2j uj i ；= i 可| | 。 o 满足 和 i i ；n i i t 1 ， l ，t a + a t yy t by t m b r y- 5 2 1 0 m r y0 一p 2 i u ( x e + y ) r a + a r ( x e + y ) 】沪 b t ( x e + y ) 旷 m t ( x e + y ) 旷 l 旷 u ( x e + y 1 t b - 5 2 1 o o 0 满足下列 l m l 8 伊p + = p 玎亩0 j r p + p + t ap + 丁b + p + r m ，i 尹 b + t p 4- 6 2 100 m + t p 0一护j0 000 一i 上述不等式( 1 1 4 ) 可以化为 ( a + f g h ) t p + + p 4 t ( a + + f g h ) b + r p + m * t p * c + s g h 进一步可以简记为 p + t b + _ 6 2 1 o o p + t m 0 一毋1 0 q + a g t + f a g t ) t 0 1 1 ( 1 1 3 ) 0 ( 1 1 4 ) ( + s g h ) t o 0 一， o 其中 q = a = a * t p + + p t 岔 b + t p m + t p t c p t f 0 o s p + t b ， 一占2 j o 0 p + 丁 扩e t oo p 2 10 o 一， t ：h0o l 应用引理2 可知上述矩阵不等式有解，即存在一个g 使得不等式成立的 充分必要条件为： 通过计算可得到 a l = a 1 q ( a 上) r 0 ，( t t ) 上q ( ( t t ) 上) t 0 ，o 】00 0 0 0，o 0 0 00 1 0 由( 1 1 4 ) 可得到 ( p ) _ t 0 0 o 0 0 0 ，0 0 o，0 o 0， ( t 丁) 上= 五t 尸+ p + r a 0 ( 1 1 5 ) 结合( 1 1 3 ) 推知p + 是非奇异的。 因此，我们可将p + ，( p ) _ 1 写为 p + 2 w 其分块是与矩阵a 相适的。 m w 3 ( p ) = zz l z 2z 3 【u0 1 0 0 00 0o o o o ，o o o，0 0 0 j 因为 由( 1 1 3 ) 可得到 酽w 口w l v 矿2w s ；t r p ： 则由 a tc t 伊 0a r w t ew ! w t e 孵 a0 b ga 。c-。，=，：e芝tw三筹=w言te。l；j；ii a t 仰7 + 夕亩t w 2a t m + c r 雷丁砰毛 a 丁俨 a t p + + p + t a 0 其中形= w 一啊盱1 町e 因为p + 是非奇异的，则( 1 1 3 ) 、( 1 1 5 ) 可改写为 ( p ) 一t 啻t = e ( p + ) 一1 0 ( 1 2 0 ) ( p + ) 一t a t = a ( p + ) 一1 0 ， 类似可以得到 z t e t = e z ，则z 是非奇异的。由p ，( p ) 。的分块写法 iz t a ? + a z 0 可以得到 利用前述的不等式 z 一1 = w w l w 3 - 1 w - e = 咖 a 上q ( a 上) t 0 ，( t t ) 上q ( ( t t ) 上) ? 0 代入q ，a 上和( t t ) 上可得到 1 3 ( 1 2 1 ) a z + z t r a t b r m t u ( w t a + a t 1 沪 b t 矿r 谬w 俨 工旷 b - 6 2 i 0 u w 7 r b 一6 2 f 0 0 m 0 一铲i 0 ，根据x 的表达形式，我们可知r a n k x 厅由 ( 1 2 0 ) ，( 1 2 1 ) ，可得到( 1 1 1 ) 中的矩阵等式 口 接下来我们在定理1 条件成立的情况下，给出如何设计降阶。滤波器的 方法【2 1 】 首先，我们给出引理2 中矩阵不等式在条件成立的假定下，求其通解参数 化形式的具体步骤。 s t e p l ：给出矩阵r ，n 的满秩分解：f = n 如，1 2 = i i l i i r s t e p 2 ：选择矩阵r 使得下述不等式成立 圣一1 ：= f l r 一1 r e 一皇 0 s t e p 3 ：任意选择矩阵l ，且i i l l 2 o a r p + 尸t ap t bp t mf l a c ) t b r p 一6 2 ，0 0 烀p0 一p 2 1 0 ( l g c ) 0 0- i 0 满足 i p n l l 2 1 ， a t x + x t ax t bx t m b 丁x- 6 2 10 m t x0 一p 2 i 0 0 ，若矩阵z 满足i i ；z i i 。 0 ( 2 4 ) 其中6 与p 有关则 a 尸+ p t 五 三t p m t p j p t 工尸t m， - s h00 0 p 2 1 0 0o 一， h l i m 。量( t ) = 0 0 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 对子系统。应用第一章引理3 ，可知对任意指定的7 ，p ，若矩阵z 满足 ；z 1 1 2 0 1 4 t p + p t 五 l r p 孵p i p r lp r m ， - 5 2 100 0 一铲1 0 ooj o 其中6 与p 有关则蜀是允许的，且i 盼( 8 ) 1 1 。 1 若对任意的五，( i l ，2 ，) ) 都满足上述的矩阵不等式组( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，我 们可利用l m j 方法求解g ，p ( 可使用许多成熟的软件如m a t l a b 等) 由引理3 的证明可知求解出的g ；，p 在任意切换下可以保证观测误差系统是目击的即 蚓i l 。 7 1 1 u 1 1 翰由于u l ! 及，y 的任意性，可知f y ：t 叠d t 0 2 1 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) n 磊【( a + b ，如) t 户+ 尸( a ；+ b i k d 一叼， ( 2 1 0 ) l = i 则系统( 2 1 ) 是渐近可镇定的。此时切换方案盯( ) 和子系统控制器n 可取 盯( t ) ：= a r g m i n i ：t 【( a + b i k i ) r 户+ 尹( a 。+ b i k 3 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 证明：为叙述简单，记e ( t ) = 圣，五= a i + 鼠若户，k i r m “，i 1 ，2 ，) ，满足式( 2 7 ) ( 2 1 0 ) ，令矿( 圣) = 畲t 酽鼢，则在切换控制方案盯和子系统n 作 用下，有 矿( 圣) = ( ( 如+ 伤如) 圣一g g 童) t 融+ 矿户r ( ( 如- 4 - 毋如) 畲一g o c , j c ) =岔t ( a ；户+ p r a 。) 量一2 ( g ，乃矛) t 户岔 岔t ( a ；户+ p r a ，) 量+ 岔t 圣+ ；童t c 孑g ：p p t g ，( 乃圣 = 圣r ( 碍户+ 尸露+ 啦+ ：量丁四鳄户户r g ，g 雪 由( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 ) 可知 童r ( a 户+ p r a + 叩，) 圣 t 时蚓1 2 e 因此有 矿 )2 t ( a ；户+ j p r 五，+ ，) 圣+ ；孟t c ；g ；户p t g ，c 0 孟 o ，9 0 ，则有 矿( 童) t 解上述不等式利用比较原理可得到 矿 ( f ) ) 1 ，西q ( ) 具有以下的性质 ( a ) 偿) 之0 ，西q 晦) = 0 = f = o ；( b ) v 芦 0 ，圣口( p 荨) = f 西q ) ； 2 5 口 ( c ) v 1 ，已r ，垂q ( l + 2 ) s 币g ( 1 ) + 垂q ( 如) 考虑如下的闭集 i i 口= k r ：( f ) 曼1 = r ： 1 v1 i s q ) ， 可知集合。是有界的多面体集合且原点为其内点，故而它是一个多胞型的c 一 集合如果我们将晶记为一个将五视为其第i 个行向量的矩阵，则i i 。可以表 述为 i i q = r ：局( ) i ) ， 其中j 表示彤- 中各元都为1 的列向量s 为分量形式的关系，即列向量中各 对应元的关系。须指出多胞型幻n 础礼倒函数吼( ) 同样是集合1 i 。的m i n k o w s k i 函数，即 ( ) = i n f # 0 ：f 肛n 口) 若多胞型c 一集合是0 一对称的，即x i i 。兮一z i i g ，则由。诱导出的 多胞型l y a p u n o v 函数可以表示为 i i a 。峨( 刚o 。2 思笺 i ) 接下来我们记如下离散系统 ( + 1 ) = l 口【+ r a q ( t j ) 1 r g ( k ) ， 七z + ( 3 4 ) 为辅助系统( 3 3 ) 的欧拉近似系统( e a s ) 定义2 ：给定一个标量a ，0 a 0 和一个0 a 1 ，使 得对所有的0 r 于，。= 妊r ：舀si ，相对于( 3 4 ) 是a 收缩的。因而， 6 对于辅助系统我们有 日k 【，4 - r 厶( 删) 】r a 1 ， v 1 i 口= r ：日i ) ，1 1 ) w 都成立 对任意的包含于岛象空间的z ，可记为z = r 。，r 将蜀的象空间记 为i m g ( r 口) 即i m g ( r $ = z ：z = 兄口，r ，它是兄2 中的线性子空间。因为， 由例1 可知列向量并不是唯一的，故我们可以将所有符合条件的r q 的象空 间的全体记为 t q = u i m p ( r q ) 岛 由前述可知vz l 一i ) n k ，我们可得到 日l