（物理海洋学专业论文）非线性偏微分方程的概周期型粘性解.pdf

摘要 摘要 本文研究h a m i l t o n j a c o b i 方程的回复解，主要包括两部分内容：一部分是 关于h a m i l t o n j a c o b i 方程的遥远概周期粘性解的存在性和唯一性，另一部分是 关于二阶非线性抛物型偏微分方程的周期、概周期和遥远概周期粘性解的存在 性和唯一性。 h a m i l t o n - j a c o b i 方程是流体力学、大气动力学、海洋内波动力学和光学中 非常重要的数学模型之一。它在哈密顿动力学、最优控制理论以及微分对策理 论中也有非常重要的应用。做为完全非线性的偏微分方程，h a m i l t o n - j a c o b i 方 程的经典光滑解不容易求出甚至不存在。许多应用学科的发展需要解决这个问 题。上世纪八十年代初，c r a n d a l l 、e v a n s 和l i o n s 等人打破了这个僵局，利用极 值原理，创立了h a m i l t o n j a c o b i 方程的粘性解理论，极大地推进了偏微分方程 弱解理论的发展。粘性解理论是l i o n s 获得菲尔兹奖的重要内容。八十年代后 期，c r a n d a l l 、l i o n s 、i s h i i 和j e n s e n 等人推广了这一理论，建立了二阶h a m i l t o n j a c o b i 方程和椭圆型方程的粘性解理论。这一理论还在发展过程中，目前这方面 的文献已有数千篇之多。其中非常值得注意的一个动向是，这一理论与动力系 统的a r n o l d 扩散和弱k a m 理论有着深刻的联系。 b o h r 等人创立的概周期函数理论领域已经得到很大的发展，产生了许多具 有更广泛意义的函数类，譬如概自守函数、渐近概周期函数、弱概周期函数， 一致概周期函数等。到了上世纪八十年代s a r a s o n 提出了遥远概周期函数和缓慢 震荡函数。九十年代初，张传义提出了伪概周期函数。这些函数类的分析与代 数性质得到广泛研究。它们在动力系统和微分方程定性理论中有着广泛的应 用。 本文欲在上述两个数学发展进程的交叉领域开展研究，主要研究h a m i l t o n j a c o b i 方程的概周期型粘性解的存在唯一性。我们应用p e r r o n 方法和粘性解 的比较定理，对h a m i l t o n j a c o b i 方程及二阶非线性抛物型偏微分方程( 二 阶h a m i l t o n - j a c o b i 方程) 的概周期和遥远概周期粘性解的存在性和唯一性进行 了系统研究。 本文主要做了以下工作 第一，提出并证明了遥远概周期函数和缓慢震荡函数的几个性质和引理。 第二，对h a m i l t o n j a c o b i 方程，证明了其遥远概周期粘性解的存在性和唯 一i 一 摘要 一性，并证明了该方程的高频率的遥远概周期粘性解的渐近行为。 第三，推广了已有的h a m i l t o n - j a c o b i 方程粘性解的比较定理，得到适用于 有界区域上带有d i r i c h l e t 边界条件的h a m i l t o n j a c o b i 方程的比较定理，并证明了 该方程的遥远概周期粘性解的存在性。 第四，推广了适用于h a m i l t o n - j a c o b i 方程粘性解的比较定理，得到了适用 于二阶非线性抛物型偏微分方程的比较定理，并证明了该方程的周期、概周期 及遥远概周期粘性解等回复解的存在性和唯一性，研究了该方程的高频率的概 周期及遥远概周期粘性解的渐近行为。 关键词：概周期函数；遥远概周期函数；缓慢震荡函数；h a m i l t o n - j a c o b i 方 程；抛物型偏微分方程。 一一 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e rs t u d i e sr e c u r r e n ts o l u t i o n so fh a m i l t o n j a c o b ie q u a t i o n s ，i tc o n s i s t s m a i n l yo ft w op a r t s ：o n ep a r tc o n c e r n so nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fr e m o t e l ya l - m o s tp e r i o d i cv i s c o s i t ys o l u t i o n so fh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n s ，t h eo t h e rp a r tc o n c e m s o nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fp e r i o d i c ，a l m o s tp e r i o d i ca n dr e m o t e l ya l m o s tp e 。 d o d i cv i s c o s i t ys o l u t i o n so fs e c o n do r d e rn o n l i n e a rp a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a 。 t i o n s t h eh a m i l t o n j a c o b ie q u a t i o ni so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tm a t h e m a t i c a lm o d e l s o ff l u i dm e c h a n i c s ，a t m o s p h e r i cd y n a m i c sa n do c e a ni n t e r n a lw a v ed y n a m i c s a l s o i th a sv e r yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nh a m i l t o n i a nd y n a m i c s ，o p t i m a lc o n t r o lt h e o r y a n dd i f f e r e n t i a lg a m e s a saf u l l yn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h ec l a s s i c a l s m o o t hs o l u t i o no fh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o ni sn o te a s yt of i n do re v e nn o te x i s t i ti s n e c e s s a r yt os o l v et h i sp r o b l e m f o rt h ed e v e l o p m e n to fm a n ya p p l i c a t i o nd i s c i p l i n e s i n t h ee a r l y1 9 8 0 s ，c r a n d a l l ，e v a n sa n dl i o n sb r o k et h i si m p a s s e ，u s i n ge x t r e m u mp r i n c i p l e ，t h e yf o u n dt h ev i s c o s i t yt h e o r yo fh a m i l t o n j a c o b ie q u a t i o nw h i c hh a dg r e a t l y a d v a n c e dt h ed e v e l o p m e n to fw e a ks o l u t i o nt h e o r yo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e v i s c o s i t yt h e o r yi st h ek e y e l e m e n t sf o rl i o n st og e tf i e l d sm e d a l i nt h el a t e19 8 0 s ， c r a n d a l l ，l i o n s ，i s h i ia n dj e n s e ne t cp r o m o t e dt h i st h e o r y , b u i l tt h ev i s c o s i t yt h e o r yo f s e c o n do r d e rh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n sa n de l l i p t i ce q u a t i o n s t h i st h e o r yi ss t i l li n t h ed e v e l o p m e n t ，t h o u s a n d so fa r t i c l e si nt h i sa r e ah a v eb e e nw r i t t e ns of a r o n eo fa v e r yn o t e w o r t h yt r e n d sa r ed e e pc o n t a c tb e t w e e nt h i st h e o r ya n dt h ea r n o l dp r o l i f e r a 。 t i o na n dw e a kk a m t h e o r yo fd y n a m i cs y s t e m t h ef i e l do fa l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o nt h e o r yf o u n d e db yb o h re t ch a sb e e nd e v e l o p e dg r e a t l gt h e r ea r em a n yf u n c t i o nc l a s s e sw h i c hh a v eb r o a d e rs e n s e ，f o re x a m p l e ， a l m o s ta u t o m o r p h i cf u n c t i o n ，a s y m p t o t i c a l l ya l m o s tp e r i o d i cf u n c d o n ，w e a k l ya l m o s t p e r i o d i cf u n c t i o n ，u n i f o r m l ya l m o s tp e d o d i cf u n c t i o ne t c u pt o 19 8 0 s ，d s a r a s o n p r o p o s e dr e m o t e l ya l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o na n ds l o w l yo s c i l l a t i n gf u n c t i o n i nt h e e a r l y19 9 0 s ，c h u a n y iz h a n gp r o p o s e dp s e u d oa l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n t h ea n a l y s i s a n da l g e b r ap r o p e r t i e so ft h e s ef u n c t i o nc l a s s e sh a v eb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e d t h e y h a v ee x t e n s i v e l ya p p l i c a t i o n si nd y n a m i cs y s t e ma n dq u a l i m t i v et h e o r yo fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s 一一 a b s t r a c t t h i sp a p e rw i l ls t a r tt h er e s e a r c hi nt h ec r o s s c u t t i n ga r e a so ft h et w oa b o v em a t h e - m a t i c a ld e v e l o p m e n tp r o c e s s e s ，m a i n l yf o c u so nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fa l m o s t p e r i o d i ct y p ev i s c o s i t ys o l u t i o n so fh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n s w ew i l lu s ep e r r o n s m e t h o da n dc o m p a r i s o nt h e o r e mo fv i s c o s i t ys o l u t i o n st od os y s t e m a t i cs t u d yi nt h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fa l m o s tp e r i o d i ca n dr e m o t e l ya l m o s tp e r i o d i cv i s c o s i t y s o l u t i o n so fh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n sa n ds e c o n do r d e rn o n l i n e a rp a r a b o l i cp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( s e c o n do r d e rh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n s ) 。 i nt h i sp a p e r , s o m ea s p e c t so fc o n c r e t ew o r ka r ed o n e f i r s t ，w ep r o p o s ea n dp r o v es o m ep r o p e r t i e sa n dl e m m a so fr e m o t e l ya l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n sa n ds l o w l yo s c i l l a t i n gf u n c t i o n s s e c o n d ，f o rh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n s ，w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f t i m er e m o t e l ya l m o s tp e r i o d i cv i s c o s i t ys o l u t i o n s ，a n da l s ow es t u d yt h ea s y m p t o t i c b e h a v i o ro ft i m er e m o t e l ya l m o s tp e r i o d i cv i s c o s i t ys o l u t i o n sf o rh i g hf r e q u e n c i e s t h i r d w ee x t e n dt h ec o m p a r i s o nt h e o r e mo fv i s c o s i t ys o l u t i o n so fh a m i l t o n j a c o b ie q u a t i o n s ，a n dg e tan e wc o m p a r i s o nt h e o r e mo fh a m i l t o n j a c o b ie q u a t i o n sw i t h t h ed i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o ni nab o u n d e dd o m a i n t h e nw ep r o v et h ee x i s t e n c eo f t i m er e m o t e l ya l m o s tp e r i o d i cv i s c o s i t ys o l u t i o n so fs u c he q u a t i o n s f o u r t h ，w ee x t e n dt h ec o m p a r i s o nt h e o r e mo fv i s c o s i t ys o l u t i o n so fh a m i l t o n j a c o b ie q u a t i o n s ，a n dg e tan e wc o m p a r i s o nt h e o r e mo fs e c o n do r d e rn o n l i n e a r p a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h e nw ep r o v et h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n d a s y m p t o t i cb e h a v i o rf o rh i g hf r e q u e n c i e so ft i m ea l m o s tp e r i o d i ca n dr e m o t e l ya l m o s t p e r i o d i cv i s c o s i t ys o l u t i o n so fs u c he q u a t i o n s k e yw o r d s ： a l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n s ；r e m o t e l ya l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n s ；s l o w l y o s c i l l a t i n gf u n c t i o n s ；h a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n s ；p a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 一一 主要符号对照表 r q 口 c ( q ) u s c ( f 2 ) l s c ( f 2 ) u c ( f 2 ) b u c ( f 2 ) s ( n ) ( ，) 4 p ( r ) n a p ( r ) s o ( r ) t i m s u p f 詹士u ( z ) o 士u ( z ) 士 avb 主要符号对照表 实数集 r 中的有界开集 r n + i 中的开集 q 上的连续函数 q 上的上半连续函数 q 上的下半连续函数 q 上的一致连续函数 q 上的有界一致连续函数 n n 的对称矩阵 ，的平均值 r 上的概周期函数的集合 & 上的遥远概周期函数的集合 r 上的缓慢震荡函数的集合 函数，的上极限 u ( 茁1 在z 点的二阶超( 次) 节 乱( z ) 在z 点的超( 次) 微分 m a x ( + a ，o ) ) v a m a x ( a ，b ) 一v 一 独创声明及使用授权书 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得或其他教育机构的学位 或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论 文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：剥士栋签字日期：2 , o o t 年月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学 技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网 络向社会公众提供信息服务。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：张仕林 签字日期：川年6 月7 日 一一 导师签名： 签字e l 期：知四年6 月7e t 秤 第一章绪论 1 1h a m i l t o n j a c o b i 方程 第一章绪论帚一早三：酉下匕 h a m i l t o n - j a c o b i 方程是流体力学、大气动力学、海洋内波动力学和光学中 重要的数学模型之一【1 7 】。它在哈密顿动力学、最优控制理论以及微分对策理论 中也有着很重要的应用，例女l l f l e m i n g 8 ，9 】、f l e m i n g 和r i s h e l 1 0 、f r i e d m a n 11 ， 1 2 、l s a a c s 1 3 。h a m i l t o n j a c o b i 方程在最优控制理论中也被称作相关的控制 问题的b e l l m a n 方程。h a m i l t o n j a c o b i 方程同变分法也是密切相关的( 见【1 4 - 1 7 】) ，它可以用来解决物理应用中与变分法相关的很多问题，比如在力学中的 问题【14 1 。 从2 0 世纪中期开始，随着计算机和新的数控技术的发展，经典光滑解已 经不能很好的描述实际应用中的物理状况。而作为完全非线性的偏微分方 程，h a m i l t o n - j a c o b i 方程的经典光滑解不容易求出甚至不存在。许多应用学 科的发展需要解决这个问题。上世纪八十年代初，c r a n d a l l 、e v a n s 齐l a l i o n s 等 人打破了这个僵局，利用极值原理，创立了h a m i l t o n - j a c o b i 方程的粘性解理 论【l 她0 1 ，极大地推进了偏微分方程弱解理论的发展。粘性解理论是l i o n s 获 得菲尔兹奖的重要内容。八十年代后期，c r a n d a l l 、l i o n s 、i s h i 和j e n s e n 等人 推广了这一理论，建立了二阶h a m i l t o n - j a c o b i 方程和椭圆型方程的粘性解理 论 2 1 - 2 7 1 。1 9 8 8 年j e n s e n t 2 1 1 提出了关于二阶方程唯一性的几个关键的论据，其中 一些论据被j e n s e n 、l i o n s 矛a s o u g a n i d i s 2 2 、l i o n s 和s o u g a n i d i s 2 3 】与j e n s e n 2 4 】 所简化。这一理论还在发展过程中，目前这方面的文献已有数干篇之多( 可 参考文献【2 蝴5 】) 。其中非常值得注意的一个动向是，这一理论与动力系统 的a r n o l d 扩散和弱k a m 理论有着深刻的联系晰j 。 在研究粘性解的文献中，对h a m i l t o n j a c o b i 方程周期粘性解有了深入的研 究( 可参考【4 7 - 5 1 】等) ，对概周期粘性解的研究则刚刚开始【5 1 1 ，而对遥远概周 期粘性解，据我们所知，尚未见报道。文献【4 9 】证明了h a m i l t o n - j a c o b i 方程 周期粘性解的一些存在性结果，i s h i i 和m i t a k e 在 5 0 1 中研究了带有d i r i c h l e t 边界 的h a m i l t o n - j a c o b i 方程周期粘性解的存在性，b o s t a n 和n a m a h 在【5 l 】中同时研究 了h a m i l t o n - j a c o b i 方程的周期和概周期粘性解的存在唯一性。对二阶抛物型偏 微分方程，关于其粘性解的定义和性质都有了研究【5 2 - 5 6 1 ，而对其概周期型粘性 第一章绪论 解尚未见报道。 1 2 概周期函数的发展概况 周期函数是我们常见的一类函数，但是在实际问题中，由于受到某些干扰 或测量时的人为因素，测到的数据总是有误差的，这种有误差的、受到某些干 扰的周期函数在数学上就可称之为概周期型函数。在自然科学和社会科学中， 概周期现象是比周期现象更容易见到的，例如，天体力学、机械振动、电力系 统、生态学系统以及工程技术中出现振荡现象的许许多多实际问题往往都可归 结为寻求以微分方程为数学模型的周期解和概周期解，其中有些问题( 诸如天 体运转、生态环境以及市场供需规律等) 考查其概周期现象有时比考查其周 期现象更切合实际。在理论上，全体周期函数在任何范数下都构不成b a n a c h 空 间，而概周期函数全体在上确界范数下则构成b a n a c h 空间。因此，研究概周期 函数的应用更有实际意义。 在研究概周期问题时，有时可以从相应周期问题已有的结论中得到启示， 但由于概周期性和周期性的差异，周期问题的许多结果却很难直接推广到概周 期的情况，因此有必要建立一套研究概周期问题的理论和方法。 丹麦数学家h b o h r 于1 9 2 5 1 9 2 6 年间在研究傅里叶级数时提出了概周期 函数理论 5 7 1 。经过b o c h n e r 、b e s i c o v i t c h 、f a v a r d 、n e u m a n n 、b o g o l i u b o v 等人 的努力，又提出了概周期函数的一系列等价定义，从各个角度用不同的 方法刻画和描述了概周期函数，使得这一理论得到了长足的发展1 5 8 - 6 3 1 。 随后，数学工作者们又进一步发展了概周期型函数理论及其应用。f r e c h e t 在1 9 4 1 年定义了渐近概周期函数m 6 5 ，e b e r l e i n 于1 9 4 9 年建立了弱概周期函 数理论【6 6 1 ，1 9 5 9 年m e i s t e r s 讨论了一类微分方程的概周期解【6 7 】，c o r d u n e a n u 于1 9 6 8 年发表了( ( a l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n s ) ) 【6 8 】，全面的阐述了概周期函数 理论及它与其它领域( 如群论、微分方程等) 的联系。1 9 7 4 年f i n k 发表了 a l m o s tp e r i o d i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 【6 9 】，全面讨论了线性和非线性概周 期微分方程。越来越多的数学工作者们对概周期函数理论产生了浓厚的兴 趣。1 9 8 0 年，y o s h i z a w a 在 7 0 】中将概周期函数的定义推广到了一致概周期函 数上。1 9 8 4 年，s a r a s o n 在研究积分算子过程中提出了遥远概周期函数和缓慢 震荡函数f 7 ，7 甜，他证明了遥远概周期函数空间是由概周期函数空间和缓慢震 荡函数空间所生成的连续函数空间上的闭子代数，其中缓慢震荡函数空间还 在文章 7 3 ，7 4 中出现过。张传义在 7 5 】中给出了遥远概周期函数在抛物型方 一2 一 第一章绪论 程的c a u c h y d i r i c h l e t l 6 j 题中的一些应用。1 9 9 2 年，张传义提出了伪概周期函数 的概念【7 6 1 。关于概周期函数理论的专著也不断涌出( 如 7 7 7 9 等) 。张传义 于2 0 0 3 年出版了专著( ( a l m o s tp e r i o d i ct v p ef u n c t i o n sa n de r g o d i c i t y ) ) 8 0 1 ，全面 阐述了概周期型函数理论及其与调和分析、代数、微分方程、积分方程等领域 的联系以及遍历性理论。 概周期型函数在动力系统和微分方程定性理论中有着广泛的应用。在常微 分方程中，文 8 l 】详细讨论了概周期函数在几类微分方程中的应用，文 8 2 1 讨 论了带反射变量微分方程的概周期解存在的条件，还有很多文献就其它类 型的微分方程的概周期解进行了讨论( 如 8 3 - 9 1 ) 。在偏微分方程中，最 初是m u c k e n h o u p t # l l b o c h n e r 进行了概周期函数在双曲型偏微分方程中的研 究【9 2 29 3 1 。随后a m e r i o 、z a i d m a i n 等人都在这个领域做出了重要的工作 9 4 - 9 6 1 ，他 们对抛物型偏微分方程和椭圆型偏微分方程及一些有实际背景的偏微分方程进 行了研究【8 0 ，9 7 - t 0 4 1 。 1 3 本文的主要内容与结构 本文欲在上述两个数学发展进程的交叉领域开展研究，主要研究h a m i l t o n j a c o b i 方程的概周期型粘性解的存在唯一性。我们应用p e r r o n 方法和粘性解 的比较定理，对h a m i l t o n j a c o b i 方程及二阶非线性抛物型偏微分方程( 二 阶h a m i l t o n - j a c o b i 方程) 的概周期和遥远概周期粘性解的存在性和唯一性进行 了系统研究，获得了其存在唯一性的充分条件，并讨论了这些方程高频率概周 期与遥远概周期粘性解的渐近行为。 本文共分四章。 第一章，阐述了课题的背景和发展概况。 第二章，叙述了粘性解的基本定义，概周期函数的定义和基本性质及其遥 远概周期函数和缓慢震荡函数的定义，并证明了遥远概周期函数的两个性质。 第三章，讨论了h a m i l t o n - j a c o b i 方程的遥远概周期粘性解。 第3 1 节，叙述了本章的预备知识。 第3 2 节，讨论了h a m i l t o n - j a c o b i 方程 侥u + h ( x ，u ，d u ) = 厂( t ) ，( z ，t ) r v r ( 1 1 ) 一3 一 筇一章绪论 的时间遥远概周期粘性解的存在性和唯一性，其中证明了关于缓慢震荡函数和 遥远概周期函数的两个引理。 第3 3 节，讨论了上述h a m i l t o n j a c o b i 方程的高频率的时间遥远概周期粘性 解的渐近行为。 第3 4 节，讨论了r v 中的有界区域q 上的h a m i l t o n j a c o b i 方程 u ( z ，。) + 日( z ，u ( z ，。) ) d u ( z ，。) ) = f ( t ) ) ( z ，。) q r ， ( 1 2 ) iu ( z ，t ) = 夕( z ，) ，( z ，t ) a q r ， 遥远概周期粘性解的存在性，其中改进了 5 l 】中的粘性解的比较定理，使它适 用于有界区域上的h a m i l t o n j a c o b i 方程。 第四章，讨论了二阶非线性抛物型偏微分方程 ( 1 3 ) 的周期、概周期与遥远概周期粘性解。 第4 1 节，叙述了本章的预备知识。其中推广了文献【5 1 】中h a m i l t o n j a c o b i 方 程的比较定理，得到适用二阶抛物型方程的比较定理。 第4 2 节，讨论了二阶非线性抛物型偏微分方程的周期粘性解的存在性和唯 一性。 第4 3 节，讨论了二阶非线性抛物型偏微分方程的概周期粘性解的存在性， 并研究了该方程的高频率时间概周期粘性解的渐近行为。 第4 4 节，讨论了二阶非线性抛物型偏微分方程的遥远概周期粘性解的存在 性，并给出了该方程高频率时间遥远概周期粘性解渐近行为的定理。 一4 一 rc ： 幻 ，r i | 猢5 苦 d 咖 q 矾 = 1 l 矗 讹啦 ，il-(1【 第二章基本定义和性质 第二章基本定义和陛质 弟一早 莶令疋x 卟土j 贝 本章中我们来看看一些定义及性质。 2 1 粘性解 1 9 8 1 1 9 8 3 年，c r a n d a l l 与l i o n s 在文章 1 8 ，1 9 中引入了粘性解概念，随后粘 性解理论的重大突破是1 9 8 8 年当j e n s e n 在【2 l 】中证明了二阶方程粘性解的唯一 性，接着，在1 9 9 8 年，l i o n s 和s o u g a n i d i s 又将粘性解这个概念引入到非线性随 机偏微分方程的领域中( 见 1 0 5 ，1 0 6 】) 。至今已有上千篇文章发表在世界上有 名的数学杂志上，这些文章的研究包含了理论、应用以及数值计算，它们的主 题横越了很大的范围，从控制理论到图像处理，从相变到数学金融都有涉及。 粘性解出现在偏微分方程的许多应用中，例如优化控制中的一阶偏微分方 程( h a m i l t o n - j a c o b i b e l l m a n 方程) ，微分对策中( i s a a c s 方程) ，前端演化问 题【1 0 7 】。还有在二阶方程中，例如在随机优化控制或随机微分对策中出现的。 本节中我们列出下面h a m i l t o n - j a c o b i 方程 o t u + h ( x ，t 正，d u ) = 0 ，( z ，t ) r r ， ( 2 1 ) 二阶非线性椭圆型偏微分方程 f ( x ：仳，d u ，d 2 u ) = 0 ， ( 2 2 ) 与抛物型偏微分方程 侥仳+ f ( x ，t ，u ，d u ，d 2 钍) = 0 ， ( 2 3 ) 的粘性下解、粘性上解和枯性解及相关符号的定义。这里d u 表示仳的空间梯 度，d 2 u 表示“的二次导数的矩阵。 首先来看h a m i l t o n - j a c o b i 方程的粘性解定义( 参考 1 0 8 】) 。 定义2 1 称函数u u s c ( r r ) 是( 2 1 ) 的粘性下解，如果对所有的( z ，t ) r r 与( u ，p ) o + u ( t ，z ) ，有 u + h ( x ，1 2 ( x ，t ) ，p ) o ； 一5 一 笫二章基本定义和性质 称函数u l s c ( r r ) 是( 2 1 ) 的粘性上解，如果对所有的( z ，t ) r r 与( u ，p ) a u ( t ，z ) ，有 u + h ( x ，u ( z ，t ) ，p ) o ； 称函数u c ( 酞) 是( 2 1 ) 的粘性解，如果它同时是( 2 1 ) 的粘性下解和粘性上解。 在定义2 1 中的符号0 仳( z ) 可见定义2 2 。 定义2 2 令乱是酞r _ h 的实值函数，如果对( z ，t ) r r ，( u ，p ) r r ，当r r 弓( x 7 ，t 7 ) _ ( x ，) 时有 u ( x ，t 7 ) 乱( z ，t ) + u ( t 7 一t ) + 佃，x 7 一z ) + d ( z 7 一x ，t 一) ， 则称所有这样的( u ，p ) 组成的集合为乱在点( z ，) 的超微分，记作0 + u ( 童) 。 类似的有，如果当r r 弓( z 7 ，t 7 ) _ ( x ：t ) 时有 乱( z 7 ，t 7 ) u ( x ，t ) + w ( t 7 一t ) + 函，x 7 一z ) + o ( x 7 一z ：t 7 一) ， 则称所有这样的( u ，p ) 组成的集合为乱在点( z ，) 的次微分，记作0 一u ( 圣) 。 在列出二阶方程粘性解的定义之前，我们先来看f 的一个基本性质。 令f c ( d r r & ) ，其中d r 十1 是开集，s ( ) 表示的对 称矩阵。我们列出f 的一个主要的单调性条件，即：对任意的7 s 与y x ， f ( z ，t ，r ，p ，x ) f ( x ，t ，s ，p ，y ) ( 2 4 ) 其中r ，s r ，( z ，t ) d ，p r ，x ，y s ( ) 。这时我们称f 是适当的。 对二阶非线性椭圆型偏微分方程粘性解的定义，可见定义2 3 ( 参考文 献 1 0 9 】) 。 定义2 3 f 1 叫令尸是连续适当的二阶非线性椭圆型偏微分算子，q r 。则 称函数u u s c ( q ) 是f = o 在q 上的粘性下解，如果对所有的z q 与 ，x ) 培+ u ( z ) ，有 f ( z ，u ( z ) ，p ，x ) o ； 一6 一 第二章基本定义和性质 称函数札l s c ( q ) 是f = o 在q 上的粘性上解，如果对所有的z q 与 ：x ) 后一让( z ) ，有 f ( x ，札( z ) ，p ：x ) o ； 称函数仳c ( q ) 是f = 0 在q 上的粘性解，如果它同时是f = 0 在q 上的粘性下解 和粘性上解。 关于定义2 3 中的符号后士乱( z ) 以可见定义2 4 。 定义2 4 【1 删令( p ，x ) r s ( ) ，u ：q _ r 。童q 。则 ，x ) 詹+ 仳( 岔) ， 如果在q 上当z 一圣时有 u ( z ) u ( 圣) + 仞，z 一仝) + i 1 ( x ( z 一2 ) ，( z 一金) ) + d ( i z 一岔1 2 ) ， 这时话+ 乱( 岔) 被称为仳在童点的二阶超节； 类似的有，x ) 冶一钍( 圣) ，如果在q 上当z 一畲时有 1 u ( x ) u ( 仝) + ，。一仝) + 去( x ( z 一仝) ，( z 一金) ) + d ( i z 一仝1 2 ) ， 这时培一u ( 岔) 被称为“在岔点的二阶次节。 对粘性解的定义2 3 ，我们有其等价定义如下，类似的可以推出h a m i l t o n j a c o b i 方程的等价定义。 定义2 5 【1 0 9 】令f 是连续适当的，q 是r 中的开子集，让u s c ( a ) ， l s c ( f 2 ) 。则称札是f = o 在q 中的粘性下解，如果对每一个妒c 2 ( q ) 和u 一妒的 局部最大值点畲q 有 f ( 2 ，让( 仝) ，d 妒( 2 ) ，d 2 妒( 奎) ) o ； 类似的有， 是f = o 在q 中的粘性