（运筹学与控制论专业论文）凸多胞形的度量极值性质.pdf

摘要 凸体几何是现代几何学的一个重要分支凸多胞形是凸体几何的主要研究对象 之一凸多胞形在线性规划和对策论中有着极其重要的应用 本硕士论文以凸多胞形的几何不等式为主要研究内容，此外对凸函数以及i 弦 对称体也做了一定的研究首先在第一章第一节介绍了凸体几何的发展历史以及国 内外数学工作者在凸多胞形的几何不等式方面的研究概况，着重介绍关于凸多胞形 中单形和带胞形两方面的几何不等式的主要研究成果其次介绍了我们所做的一些 结果 著名数学家b a l l 曾给出了由j o h n 基构成的带胞形的体积的下界估计，我们首 先给出了这个定理的一个简单证明，并把这个定理由j o h n 基推广到了一般满秩向 量进一步我们给出了由一般满秩向量构成的带胞形的体积的上界估计，最后我们 给出了关于一般带胞形内径和外径之间的关系不等式，这些工作在第二章第二节完 成在第二第三节，我们解决了一个关于内心单形的猜想，并放宽了原猜想中所述 等式成立的条件 在第三章，我们引进了一类新的凸函数一t 凸函数，并研究了它的性质和等价 条件作为应用，我们推广了著名的j e n s e n 不等式，h a d a m a r d 不等式，l a h - r i b a r i c 不等式进而我们将t 凸函数推广，引进了咒凸函数，并讨论了凸函数的性 质，进一步，建立了一些关于死凸函数的不等式 在最后一章，我们建立了一些关于i 弦对称体的b r u n n - m i n k o w s k i 型不等式， 并给出了i 弦对称体，i 次相交体以及对偶混合体积之间的等价关系 关键词：带胞形，内心单形，t 凸函数，咒凸函数，i 弦对称体 a b s t r a c t i i c o n v e xg e o m e t r yi sa i m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e r ng e o m e t r y c o n v e xp o l y t o p e s w h i c ha r eo n eo fm a i ns t u d yo h j e c t so fc o n v e xg e m n e t r y ，h a v ev e r yp r i m a r ya p p l i c a t i o n s i ns o m ef i e l d ss u c ha sl i n e a rp r o g r a m m i n g t h e o r yo fg a m e se t c t h i sm a s t e rd i s s e r t a t i o nm a i nr e s e a r c h e st h ei n e q u a l i t i e so fc o n v e xp o l y t o p e s ，m o r e - o v e r ，t h ep r o p e r t i e so fc o n v e xf u n t i o u sa n di - c h o r d a ls y m m e t r a l sa r ed i s c u s s e d i nt h ef i r s t c h a p t e r 、v ei n t r o d u c et h eh i s t o r yo fc o n v e xp o l y t o p e sa n ds h o ws o m eg r a n dr e s u l t si nt h e a s p e c to fc o n v e xp o l y t o p e s ，e s p e c i a l l yo fs i m p l i c e sa n dz o n o t o p e s 1 阳r t h e r ，s o m er e s u l t s a r ee s t a b i l s h e d t h el o w e rb o u n df o rt h ev o l u m eo ft h ez o n o t o p ef o rj o h n b a s i sh a db e e ng i v e nb y b a l l w ef i r s tp r o v i d eas i m p l ep r o o fo fb a l l si n e q u a l i t y , t h e nw eg e n e r a l i z et h er e s u l to f b a l if r o mj o h n - b a s i st oas e q u e n c eo fn o n - z e r ov e c t o r sw h i c h3 x ef u l lr a n k f u r t h e r m o r e ， w eg i v et h eu p p e rb o u n df o rt h ev o l u m e so fz o n o t o p e s a tl a s t mp r o v i d et h ei n e q u a l i t i e s f o rt h ei n r a d i n sa n dc i r c u m r a d i u so fac e r t a i nz o n o t o p e ，t h i sw o r ki sf i n i s h e di nc h a p t e r t w os e c t i o nt w o i nc h a p t e rt w os e c t i o nt h r e e ，w ep r o v eac o n j e c t u r eo fi n c e n t e rs i m p l e x a n di m p r o v et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h ce q u a l i t y i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ef i r s ti n t r o d u c et - c o n v e xf u n c t i o n sa n dd i c n s st h ep r o p e r t i e s a n de q u i v a l e n c ec o n d i t i o n so ft - c o n v e xf u n c t i o n s a sa p p l i c a t i o n s ，w ee s t a b l i s hs o m en e w i n e q u a l i t i e s ，w h i c ha r eg e n e r a l i z a t i o n so fj e n s e n si n e q u a l i t y , h a d a m a r d si n e q u a l i t y , l a h r i b a r i c si n e q u a l i t y , r e s p e c t i v e l y m o r e o v e r ，w eg e n e r l i z et - c o n v e xf u n c t i o n st o 咒一c o n v e x f u n c t i o n s m e a n w h i l e ，w ed i s c u s st h ec h a r a c t e ro f 咒一c o n v e xf u n c t i o n s f u r t h e r m o r e ， s o m en e wi n e q u a l i t i e so f 死一c o n v e xf u n c t i o n sa r ee s t a b f i s h e d i nt h el a s tc h a p t e r ，w ee s t a b l i s hs o m eb r u n n - m i n k o w s k it y p ei n e q u a l i t i e sf o r - c h o r d a l s y m m e t r a i sa n dc h a r a c t e r i z et h ee q u i v a l e n c eo f - c h o r d a ls y m m e t r a l si nt e r m so ft h a to f i n t e r s e c t i o nb o d yo fo r d e rio rd u a lm i x e dv o l u m e s k e y w o r d s ：z o n o t o p e s ，i n c e n t e rs i m p l e x ，t - c o n v e xf u n t i o n ，死一c o n v e xf u n t i o n ，i - c h o r d a ls y m m e t r a l s 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了 文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写 过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名：垫垦羔日期：趔二丛 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 繇嫂兰导师猕蝰淞啉如上笪 第一章绪论 1 1 学科综述 凸体几何是以凸体或星体为主要研究对象的现代几何学的一个重要分支，它是 以微分几何、泛函分析、偏微分方程、点集拓扑为基础的现代几何学 凸体几何起源于1 9 世纪末和2 0 世纪初，h b r u n n 和h m i n k o w s k i 是两位杰出 的奠基者2 0 世纪3 0 年代，前苏联著名数学家a d a l e k s a n d r o v 以及t b o n n e s e n 和 w f e n e h e l 引进凸体的混合表面积测度，使得凸体几何成为一个独立的数学分支 在随后的几十年中，凸体几何理论发展迅速，一些经典的古老问题陆续得以解决， 新的富于挑战性的问题大量产生在这个过程中，它与数学的其他学科，如泛函分 析、群论、代数拓扑结合，产生了许多新的富于魅力的数学分支，其中最引人注目 的是它与泛函分析结合的产物一b a n a c h 空间的局部理论，这被认为是现代国际数 学研究的主流方向之一进入2 0 世纪7 0 年代后，凸体几何的研究领域迅速扩大， 研究对象从凸体扩大到星体 经典凸性的核心在于包括m i n k o w s l c i 混合体积理论的b r u n n m i n k o w s k i 理论成 为理想的研究体系b r u n n - m i n k o w s k i 理论起源于1 8 8 7 年h b r u n n 的论文和h m i n k o w s k i 开创性工作的实质部分，1 9 3 4 年b o n n e s e n 和f e n c h e l 的著名论著收集了 当时已出版的主要结果r s c h n e i d e r 的专著 4 9 1 是一部最近出版的极其优秀的参 考书如果把欧氏空间中的向量加( 通常称为m i n k o w s k i 加) 和体积联系起来，就产 生了混合体积的记号和b r u n n - m i n k o w s k i 理论由于混合体积记号的灵活性，它满 足的一系列不等式被广泛用于解决极值问题，而局部意义下的混合体积则可产生混 合面积测度均质积分、m i n k o w s k i 函数、表面积测度、曲率测度都是混合体积和 混合面积测度的特殊情形，与微分几何及积分几何密切相关 b r u n n m i n k o w s k i 理论最核心的定理是b r u n n - m i n k o w s k i 不等式：设a 和b 是 黔中的紧集，则 y ( ( 1 一a ) a + a b ) 音( 1 一a ) y ( a ) 去+ a 矿( b ) 音， v a 【0 ，1 由于它基本的几何内涵，它被认为是b r u n n m i n k o w s k i 理论的基石，是处理各类涉 及体积、表面积、宽度等度量关系难题的有力工具 凸多胞形是凸体几何的主要研究对象之一，凸多胞形理论也是凸体几何的重要 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 2 组成部分根据研究内容的不同，凸多胞形理论又可分为组合理论和度量理论两部 分组合理论侧重研究凸多胞形各种不同维的面数( 如顶点、棱) 的数量关系；而度量 理论侧重研究凸多胞形的长度、角度、体积、投影等度量关系凸多胞形在线性规划 和对策论中有着重要的应用近年来在凸多胞形的研究领域中，有一批活跃并有成 效的数学家，他们以v k l e e ，p m e r n u l l e n ，r s c h n e i d e r ，c m p e t t y 等为代表，在国内， 以吴文俊、杨路、张景中为首的一批数学精英张击、冷岗松、毛其吉、左铨如等所 做出的凸多胞形方面的一系列研究成果，居世界领先地位( 2 3 】， 2 5 ，【2 7 】，【2 9 ，【6 5 ， 6 6 等) 1 2 研究课题和主要工作 本硕士论文共分四章，以凸多胞形的性质和不等式为重点研究内容，下面对各 章内容作一简要介绍 第一章介绍本学科领域的发展概况和本文的主要工作 第二章主要工作是推广了b a l l 关于由j o h n 基构成的带胞形的体积的下界估 计，并给出了原定理的一个简洁证明，同时给出了一般带胞形体的体积的上界估 计，圆满完成一般带胞形的体积估计，另外给出了一般带胞形内径和外径之间的一 个关系式 定理1 2 1 设 圩是r ”中一列非零向量，并且它i l l 不- 包含在一个超平面上， n i ) m 是一正数列若 z = o 。【_ 0 3 i ，u ， 则 吲扭c d e t a ) 1 亟( 去) 。， 其中k = ( a 。u 。，毗) ，并且 a = 1 ，u 2 ) ( u 2 ，u 2 ) 定理1 2 2 设 岫 为形中一非零向量，且它们不包含在同一个超平面上 、 i ， ， ， 1 2 n u u u 叭 5 l 5 l 忱 ，。一 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文3 n t 是一正数列若 则 z = 啦 一岫肭 i = 1 邪( m ) 5 ( 势旷) 2 定理1 2 3 设k 是e ”中的一个紧凸集令畸s ”，q 0 ，1 j m 用z 表示一般带胞形 m z = 叼 一屿，】， j = l 注上述结果已发表在上海大学学报( 英文版) 2 0 0 5 年第6 期第9 卷4 7 9 4 7 9 页 在本章中，我们另外一个重要的工作是证明了下面这个猜想的正确性 1 9 9 4 年，唐立华和冷岗松 5 4 】提出如下猜想； 设e ”中n 维单形n a 各顶点所对m 一1 ) 维面，i 的内心为厶0 = 0 ，1 ，n ) ，内 心单形n = c o n v i o ，1 1 ，厶) 满足 1 ( j ) 嘉( a ) ， 等式成立当且仅当n a 是正则单形 同时我们放宽了猜想中所述不等式等式成立的充要条件 注此结果已投克罗地亚数学杂志m a t h j n e q u a l a p p l 第三章的主要工作是引进了新的推广的凸函数一t 凸函数，并研究了其一系 列的性质和应用 定义1 2 1 实值函数f 是t 凸函数，若对于所有的。1 ，z 2 m ( cd ) ，0 as1 有 ，( z 1 + ( 1 一a ) x 2 + t ) a f ( x 1 ) 十( 1 一a ) ，( z 2 ) ， 其中t 为固定常数，且a z l + ( 1 一a ) x 2 + t d 在定义1 2 1 中，令入= 妻，我们得到下面的定义 一n 一 一 0k “ zr 凡一2 一 种 吩 m 赳 0 ，我竹1 有 ，l ( ! 壹三；卜p i x i “0 茎 ep j ( z t ) ， ，l ! 三；卜+ k tl 茎丝i 广一， i p l p i 仁= l，i = 1 其中m 表示满足2 “1 n 2 ”的正数，当n = 2 “，f n = m ；当2 ”一1 o ，i = 1 ，2 ，m ，若vx 1 ，恐r ? ，a 0 ，1 】， 我们有 a f ( x 1 1 ，z 1 2 ，x l m ) + ( 1 一a ) ，( z 2 1 ，z 2 2 ，x 2 m ) ( t 1 1 搿2 1 1 - - 1 ，2 。1 2 z 船1 - 3 ，t m x k 茁5 0 ) + t 等式成立当且仅当x 1 = x 2 ，则对于托冗? 0 = 1 ，2 ，n ，n22 ) ，纯20 ，p i = 1 ， t = l 有 mnnn p i i ( x d2 巾 磺，争壤，t 蠹瑞) + f n ， i = 1i = ii = 1 4 = 1 等式成立当且仅当五= x 2 = = 墨 定理1 2 9 设s ( x ) 是r m ，啦o ，赴 0 ，i = l ，2 ，m ， 【0 ，1 ，r 0 上的非负函 数，如果对于任意的凰，x 2 础! ，我们有 a ，r ( 。1 1 ，z 1 2 ，z 1 。) + ( 1 一a ) ，rx 2 1 ，z 2 2 ，x 2 m ) 】 l11 ，i ( a z 置+ ( 1 一 ) z 嚣+ t 1 ) 可，( a x e 2 + ( 1 一x ) x 2 + t 2 ) 可，( z 鬻+ ( 1 一 ) z 魏+ t m ) i 磊 等式成立当且仅当x 1 ：x 2 ，那么v 墨r + o ：1 ，2 ，m n 2 ) ，肌0 ，量鼽：1 ，我 们有 rn1 ；rn1 n 1 n 1 l 鼽，7 ( 托) l ，i ( 纯。署+ k t l ) 亩，( 肌z 髫+ k 2 ) 亩，( 肼z 船+ k ) 赤l ， l t = 1jli = 1i = 1 i = 1j 等式成立当且仅当x 1 = x 2 = = 注此章节内容已被上海大学学报( 英文版) 录用 第四章的主要工作是建立了关于i 弦对称体的b r u n n - m i n k o w s k i 型不等式，并 给出了i 弦对称体，i 次相交体以及对偶混合体积之间的等价关系 定理1 2 1 0 设墨l 佛a n d i 1 ，0 sj n 则 砺( 或( k 轧) ) 南砺( 亏。k ) 罚1 + 砺( 亏。l ) 南， 当i 1 时等式成立当且仅当k 是三的扩张， 定理1 2 1 1 设l ，尬，k 2 佛，n 2 且i 1 ，0 j n ，则 或( f ( 啻t ( k + - - l ) ) ) 耳司1 而2 可s 厩( f ( 寺。k ) ) 耳习1 雨2 可+ 厩( j ( 亏。l ) ) 耳可1 再可， 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 6 当i 1 时等式成立当且仅当k 是工的扩张 定理1 2 1 2 设硒，k 2 四，那么对于每一个星体k ，下列论述时等价的 i t k l = i t k 2 亏。髓= 亏。k 2 ； 矿( 所，i ；b ，n i 一1 ；k ) = i f ( k ：，i ；b ，n i 一1 ；k ) 注此章节内容已投韩国数学杂志( b u l l k o r e a nm a t h s o c ) 第二章凸多胞形的极值问题 带胞形是凸体几何的一个重要分支，它有着悠久而复杂的历史近年来，带胞 形引起了大量数学家的关注，并做了一系列的工作( 【4 】，【1 6 ， 3 3 ， 5 6 等) 带胞形的研 究很自然的带动很多学科的发展，例如函数分析，凸性，多胞形几何以及统计几何 等等其中以g o o d e y 和z h a n g 1 5 】以及m m - t i n i 4 1 】的工作最为显著单形是凸多 胞形的最简单的情况，单形的研究有着悠久的历史国内，2 0 世纪八十年代，杨路 教授和张景中院士利用代数的方法，在单形的高维几何不等式与几何极值、初等图 形的嵌入等方面作了许多开创性的工作( 见 5 9 ， 6 0 】， 6 1 ， 6 2 等) ，至今仍被国际同行 广泛引用，获得了国际数学界的广泛好评2 0 世纪九十年代，冷岗松教授取得了 一系列有意义的结果( 见 2 2 】， 2 4 】， 2 6 1 ，( 2 7 】等) ，其中彻底解决了单纯形内的最大超平 行体的体积估计问题，被著名数学家v k l e e 教授评价为是对“这一领域的实质性的 贡献” 2 1关于带胞形的不等式 2 1 1 基础知识和准备工作 我们的研究假定在n 维欧氏空间r “ 2 ) 上进行用b 表示形中的单位 球，妒- 1 表示单位球面用k 表示形中维l e b e s g u e 测度，其中1 n ，并 且用矿代替k 若k 是r “中一个非空凸集，其支撑函数k 定义如下 h k ( u ) = i l l a x x y ：y ) ，vz 彤( 2 1 1 1 ) 由支撑函数的定义可得下面一个显然的事实： h k h l 当且仅当kc l ( 2 1 1 2 ) 我们甩c “表示n 维欧几里得空间础中所有凸体( 有非空内点的紧凸集) 的集 合若k 疋”且u 扩我们用k “表示k 在与u 垂直的子空间上的( n 一1 ) 维 正交投影由广义的c a u c h y 投影公式 1 3 】，我们有 v ( k “) = ；正。一。，训d s ( k ；v ) ( 2 垆) 其中d s ( k ，) 表示k 的表面积测度 7 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 8 设k 舻，则k 的i 次均质积分定义如下 w ( 耳) = y ( 芝。兰 n - - i 特别地，w o ( g ) 为通常意义下的的体积，而n w i ( k ) 则是耳的表面积 r “中的带胞形就是有限个线段的m i n k o w s k i 组合， z = z 1 】+ x 2 4 - 4 - 陋。 ( 2 1 1 4 ) ( 2 1 1 5 ) 其中 x i 表示e o n v 0 ，托) 特别地，当m = n ，。1 ，。2 ，z 。线性无关时，z 是一个超 平行体 设x i = ( x i l ，。协，x i 。) ，i = 1 ，2 ，m 是舻中的点， 。l ，。2 ，。 的秩为n 令t i 0 表示耽的质量，我们就得到一个质点系【p = z 1 ( 0 1 ) ，x m ( ) ) 设x i l ，x i 2 ，x i k ，k 茎n 是质点系p 中的点，d i ”2 ，o k 表示z i 2 瑶= 陬1 + 【x i 2 】4 - 4 - x i k 的k 维体积则有 现“2 畦= 旧1ax i 2a a 拙l ，( 2 1 1 6 ) 其中a 表示向量的外积 2 1 2 关于带胞形的体积估计 1 9 9 0 年，著名数学家b a l l 在【1 】中给出了一个基本而又重要的定理 定理a 设 u 。 m 是f p 中的一列单位向量，b ) r 是一正数列，且满足 吼 q “。o 地= 厶， ( 2 1 2 1 ) t = 1 其中“。 “。表示地在啦的张成上的一维正交投影，厶表示舻中的单位变换， ) m 是另一正数列若 z = 啦 一“洲。】， ( 2 1 丑d o = 1 那么 t z l 2 “( 睾) “ i = 1 。 满足条件( 2 1 2 1 ) 的向量组称为j o h n 基j o h n 基有三个等价定义( 具体见1 ) b a l l 在定理a 的基础上将著名的l o o m i s w h i t n e y 不等式 3 0 】推广剑厂j o h nl r 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 9 为证明定理a ，我们需要下面的引理 引理2 1 2 1 设q 0 ，且铲，i = 1 ，m 满足 c i u i u f 厶 t = 1 若 l 1 ( r ) 是非负函数，i = 1 ，m ，则 - - 册s u n 里m ( 荔) 4 ：z = 薹q 猁t 墒r ) 如里r n ( 五， ( z ) 出) 6 引理2 1 2 1 由著名数学家b a r t h e 证明( 具体见 2 ) 定理a 的证明 由( 2 1 2 2 ) ，我们有 z = q i t = 1 令，= 1 z ， = 1 争u 洲 根据引理2 1 2 1 ，可得 l z l = i ( z ) d x j r ” 一 m j r 。s u p 1 丌= 1 ( ) “ 亘( 胁，出) 4 趔亘( 詈) “ 臼警 一u 洲t c t = 1 , c i z , u i ，磊r d x 我们得到要证的结论( 2 1 ，2 3 ) 在本文中，我们将定理a 由j o h n 基推广到了一般满秩向量 定理2 1 2 1 设 u 。) m 是r “中一列非零向量，并且它们不包含在一个超平面 上， q t ) m 是一正数列若 m z = 啦【_ 蛾1 ， ( 2 i 2 4 ) t = 1 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文1 0 则 其中九= ( a 一1 咄，咄) ，并且 耻z w e 讲亘( 去) 。， ( 2 地柳 ( u 1 ，u 1 ) ( 叫2 ，u 1 ) ( 叫1 ，“也) ( u 2 ，岫) ( u l ，“) ( “恐，w 。) ( “如，u 1 )( u 。，0 3 2 ) u 。，“h ) 证明设q 是一非退化的矩阵，满足a = q 丁q ，令y = q x ，则 卯= ( a x ，z ) = ( 岫，。) = 九( u 删) i = 1 i = 1 其中t = a f q 一7 ，那么咄= 碍q t 啦 由j o h n 基的等价定义容易看出他) r 是j o h n 基 由( 2 1 2 4 ) ，我们有 z = o “一咄，0 3 i t = 1 暑毗q r a ；q t 到 ( 2 1 2 6 ) ”l1 = o i 一q t u i ，q t 毗 t = 1 在( 2 1 2 6 ) 式两边同乘以q t ，得 q z = n 。a ； _ 蛳，啦 根据定理a ，我们可以得到 a e t ( q - t 悱。”亘( 警产 注意到d e t a = ( d e t q t ) 2 ，则 即为所证一 旧揖( d e t a ) 3 里( 去) k 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 定理2 1 2 2 设 咄) r 为r “中一非零向量，且它们不包含在同一个超平面上 n o r 是一正数列若 z = o i 毗，u t 】， 则 例( 批辨旷 为了证明定理2 1 2 2 ，我们要用到杨路，张景中的质点系不等式质点系理论 在近年的有限点集的研究中起到了很重要的作用( 2 4 j ， 2 9 】， 4 3 】) 引理2 12 2 6 2 j 对于质点系妒= z 1 ( t 1 ) ，z 。( ) ) 中的每一个变量 m k l k = 1 ，2 ，n ) ，我们有 可m i 鼯瑞洲) l _ 出) ； 峨生 掣峨一，呱+ - ( 0 ，1 至j 曼m 用 z 表示一般带胞形 m z = a j - w j ，屿】， j = l 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 则 ；r ( z ) 碱+ - ( k ) 茎j 妻= l 哟毗( k 叫) 茎；r ( z ) 睨十，( k ) ， 。e n 一1 ( 2 1 3 1 ) 证明由( 2 1 _ 1 3 ) ，可得 y ( ( k + b ) ”) = 互1 上。一。i u ，) jd s ( k + b ；吐 ( 2 1 3 2 ) 设h 是包含单位向量u 的一个超平面，则由s t e i n e r 平行公式，( 2 1 4 2 ) 的左边 可以表示成 荤( “斗 皿 司 再次运用s t e i n e r 平行公式，可以得到 =n一-1-n-i-1s(k a b ； 卜咄 仁n30 a ， + w ) = 一r 1 j & ( k ； ) ( 2 1 4 、0， 将( 2 1 3 4 ) 带入( 2 1 3 2 ) 的右边，并且比较a j 的系数，我们有 w a k “) = 互1z 。一。”) id 岛一( ；”) ( 2 1 舶) 因此 i i = ：1 - iw ( k “) = ；上。一。 耋a 。i ( “t ，”) 1 ) a s n 一- ，( k ；”) ， ( z ，。e ) 其中 ，k 是正实数 h ( z ，) = ql 哟，) = 1 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文1 4 且r ( z ) bcz ，由( 2 1 1 2 ) ，( 2 1 3 6 ) ，可得 = ；r ( z ) y ( ，n t 一1 ；b ，i + 1 ) = ；1 s - - ，h r ( z ) b ( ”) d 晶一( k ，”) ；f s - , h z ( 州岛牛- ( e ”) = 扳。j 拍= l ( 酬_ 1 ( 酬 薹吩；正。一，i 吣，训a 晶一t 一，( k ，”) a j 瞩( 胖) = 1 类似地，我们可以得到关于z 外径的关系式 说明：该节内容已发表在上海大学学报( 英文版) 2 0 0 5 年第6 期第9 卷 2 2 单形的几何不等式与极值问题 2 2 1 关于单形内点的几何不等式 近年来，关于单形内点的几何不等式的研究引起了广大数学家的关注，并取得 了一系列优秀成果，其中冷岗松，唐立华，张圭，苏化明等尤为突出( 2 7 】， 2 9 ， 5 2 ，【6 5 】， 6 6 等) 定理2 2 1 1 1 2 5 】设点p 是n 维单形n 内部任意一点，r 为n 的外接超球半 径，0 为n 的外心，p 到侧面 的距离为吐( 0 茎isn ) ，则 n 2 r 2 n 2 妒+ o p 2 ( 2 2 1 1 ) i = o 当且仅当p 为9 - 月, i 单形n 的重心时等号成立 2 0 上海大学硕士学位论文 1 5 定理2 2 1 2 2 7 1 条件同定理2 2 j j ，r 为q 的内切超球半径，则对r 1 有 薹毒i 2 + 虿n - 1 仁z 工z ， 等号成立当且仅当p 为正则单形n 的中心 定理2 2 1 _ 3 2 3 条件同定理2 ，2 j j ，则对正整数m ，有 。；蓦鱼赤堋。( 击+ 掣) - 江z ， 等号成立当且仅当q 为正则单彤且p 为n 的中心 定理2 2 1 4 2 4 】若e “中n 维单形q = a o ，a 1 ，厶) ，q = 岛，出，如) 的体积分别为kv 7 ，n 中内部任意点p 到侧面 的距离为画( 0 曼i n ) ，顶点a ： 到n 的侧面爿的距离为h ：( 0 茎i n ) ，则 壹f l 嘭玛哮； ( 2 2 1 4 ) 嘭玛坠三i i = ；笋二矿y ； ( 2 2 1 4 ) i = 0 j = o ，j 和 。 薹壶( 紫) i 1 c 而1 庀 仁z ， 等号成立当且仅当n ，n 为正则单形且p 为n 的中心 定理2 2 1 5 2 5 】条件同上，n 的棱长为o ：，( 0 i j 茎n ) ，则 等号成立当且仅当n 定理2 2 1 6 2 5 a j ( 0 i j 礼) ，贝1 j 。! 蓦! 。鸶s 2 ：( 娄护 n 为正则单形且p 为n 的内心 若e n 中n 维单形f 2 ，n 7 的高分别为h i 和h ： 。! 蓦! 。警：( 薹铲 。s 篆。蕞孙删2 n 2 ( 羹纩 ( 2 2 1 6 ) n 的棱长为 ( 2 2 1 7 ) ( 2 2 1 8 ) 等号成立当且仅当q 为正则单形，n 的重心与内心重合 1 9 8 9 年，张击定义了e n 中任一点p 关于n 维单形的垂足单形，并给出了垂 足单形的顶点坐标公式和有向体积公式，且证明了苏化明 5 0 提出的猜想，给出了 正确的等号成立的充要条件 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 1 6 定义2 2 1 1 1 6 6 】设= a o ，a 1 ，a 。) 是驴m 2 ) 中的n 维单形，p 为n a 中任意一点，自p 向侧面， = a o ，a _ 1 1 a 件1 ，如) 作垂线，垂足为 鼠( i = 0 ，1 ，n ) ，称n 维单形f 2 日= b o ，b 1 ，鼠) 为点p 关于n a 的垂足单形 定理2 2 1 7 6 6 设维单形n 及其垂足单形q 口的体积分别为k ，则 v 7 s 者矿 ( 2 - 2 1 9 ) 等号成立当且仅当 a e = 而丽再c 丽o so 蕊i j 丽 其中沁为p 关于坐标单形q a 的重心规范坐标，为侧面 和疗所夹内二面 角 苏化明 5 1 】给出了定理2 2 1 7 的一个新的证明，钟晓珠 6 8 】证明了不同于 5 1 的垂足单形体积公式，并且证明了给定单形的垂足单形体积达到最大时，点p 是唯 一的孙明保 5 2 】改进了此不等式，建立了该不等式的一个加细 定理2 2 1 8 5 2 设e “中体积为v 的n 维单形q a = a 1 ，a 2 ，a 。+ 1 ) 内任意 一点p 关于d a 的垂足单形n b 的顶点集为b = b 1 ，b 2 ，- r ，k + 1 ) ，体积为v 7 ，任 取b 中两个点玩，b j ，由点b t ，只岛所支撑的二维单形的体积为，p 马，q a 中去 掉顶点a i ，山后剩下的n 一1 个顶点所支撑的n 一2 维单形的体积记为，则有 岖( 志) ”y 字( 埘) 2仁。， 南，。；差。p 马去k 等号成立条件同定理2 2 ，j 5 ， 定理2 2 1 9 2 4 】设毗= a o ，a 1 ，厶) ，【峻一 粕，q ，以) 是e “中的n 维单形， n 的内点p 到侧面五的距离为也，点p 关于n a 的垂足单形的体积为 p 1 ，顶点a 7 到n 的侧面 的距离为h ：( 0 isn ) ，n 的体积为v ，则 薹耠( 等) i ，( 2 2 1 1 1 ， 其中等号成立当且仅当n a 为正则单形，p 为r h 的中心 定理2 2 1 1 0 【6 3 设p 是五”中t t 维单形n a = a 0 ，a 1 ，厶) 内任意一点， 点p 关于坐标单形a 的重心规范坐标为( o ， l ，k ) 设n a 的体积为v ，单形 、i， l 等 一 相 一 不l 互 仉 k n | | 一 ， 0 b ，jilii、 2 0 d 6 上海大学硕士学位论文 1 7 b o ，b i 一1 ，p 1 b i + 1 ，巩) 的体积为) ，则对任意一组实数x i ( i = 0 ，1 ，n ) ， 有 n1 n 、“ 跚q “吼嘉睡九戤jk ( 2 2 1 1 2 i = 0 ) t = 0 等号成立当且仅当质点组 a ( m i ) ( i = 0 ，1 ，n ) 的密集椭球为球，其中m i = 击，h i 为1 2 a 的侧面， 上的高 。x i n 。 在定理2 2 1 1 0 中取z o x l- = z 。，注意到凡= 1 ，k ) = v 7 ( 其中v 7 为点p 关于单形n 的垂足单形体积) ，可推出定理2 2 1 7 2 2 2 一个关于内心单形猜想的证明 设n a = c o n v a o ，a 1 ，a 。) 表示r “m 3 ) 中顶点为a o ，4 1 ，a 。的维单 形，k ( 4 ) 表示q a 的n 维体积我们用p l j 表示边a a j 的长度显然有p i j = p j i ，肌= 0 ，且矩阵( 肋) 是一个n n 阶正定矩阵设五表示由 a o ，a 1 ，a t 一1 ，a i + l ，a n ) 张成的( n 一1 ) 维面，且厶表示面 o = 0 ，1 ，2 ，n ) 的内心 2 2 2 1 引言 在【5 0 】中，苏化明应用重心坐标与行列式计算，证明了如下关于n 维单形体积 的不等式： 定理2 2 2 1 设p 为n 维e u c l i n d 空间中n 维单形n a = c o n v a o ，a 1 ，a 。) 内 任意一点，连线a p 的延长线分别交对面矗“= 0 ，1 ，n ) 于点最，则 ( b ) 去( a ) ) 等号成立当且仅当p 为单形q a 的重心，其中n 且= c o n v b o ，b 1 ，b 。) 1 9 8 7 年，毛其吉，左铨如在【3 8 】中证明了关于切点单形的一个不等式 定理2 2 2 2 设n 维单形嘶= c d m ，乃，) 是非退化单形 的内切超球 的切点乃构成的单形，则有 ( t ) 茎去k ( a ) 当n a 为正则单形时等式成立 在 6 5 中，张盘证明了关于垂心单形的一个不等式 ( 2 2 2 1 2 ) 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 1 8 定理2 2 2 3 自单形n a = c o n v a o ，a 1 ，a 。) 内任意一点p 作各面 的垂线 分剐交各面干甄“= 0 ，1 ，n ) ，则 ( 日) 去( a ) 其中q 日= c o n v o ，凰，巩) 称为垂足单形 ( 2 2 2 1 3 ) 上面的不等式( 2 2 2 1 3 ) 原是文献 5 0 】提出的一个猜想1 9 9 2 年，张圭又给 出了这个不等式一个新证明，并给出了( 2 2 2 1 3 ) 式等式成立的充要条件不等式 ( 2 , 2 2 1 3 ) 是一个很强的结果，由此可导出切点单形的体积不等式( 2 2 2 1 2 ) 和下面 的外心单形不等式 推论2 2 2 1 若单形n a = c o n v ( a o ，a 1 ，a 。 的外心0 在其内部，则0 在各侧 面 上的射影q 0 = 0 ，1 ，n ) 亦为各侧面的外心，且在各侧面内，于是，外心单 形n o c o n v ( 9 0 ，0 1 ，0 。) 满足 ( o ) s 去( a ) 一个十分自然的问题是：对单形n a 的各一1