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一类更新跳扩散模型下的期权定价研究 摘要 金融衍生工具是一类新型的风险管理的金融工具。期权是最基本的金融衍 生工具之一，而期权理论研究的重点之一就是如何确定日趋复杂的期权的价值。 1 9 7 3 年b s 期权定价公式问世以后，关于b s 模型的改进不断受到研究学者的 关注。m e t t o n 在1 9 7 6 年首次提出期权定价的跳扩散模型，随后，国内外大量关 于跳扩散的研究蓬勃开展起来。 本学位论文在m e r t o n 的p o i s s o n 跳跃基础上，推广为更一般的跳过程 类特殊的更新跳过程，即事件发生时间间隔五，五，为相互独立且同服从g a m m a 分布r ( a ，a ) ( a 0 ，a o ) 的随机变量序列，在此模型下考虑几类期权的定价问 题，得到相应的结果。 本文所做的工作有以下两点：首先在这种模型下考虑股票支付红利的情形。 在市场无套利条件下建立随机微分方程，以随机分析和鞅理论为基础，用未定 权益的鞅定价方法得到了支付红利股票的跳一扩散过程的欧式看涨期权的定价 公式及欧式看涨看跌期权之间的平价公式然后在风险中性的假设下，利用鞅 方法推导出了在随机利率下的两种奇异期权一上限型权证和抵付型权证的定价 公式。 关键词：更新过程；跳扩散过程；鞅测度；红利：随机利率；期权定价 a s t u d yo no p t i o np r i c i n gw i t hak i n do fr e n e w a l j u m p - d i f f u s i o np r o c e s s a b s t r a c t f i n a n c i a ld e r i v a t i v ei san e wt y p eo fr i s km a n a g e m e n to ff i n a n c i a li n s t r u m e n t s o p t i o n sa r et h em o s tb a s i cf i n a n c i a ld e r i v a t i v e s ，a n dt h a tt h eo p t i o n st h e o r e t i c a l r e s e a r c ho n eo ft h ep r i o f i t i e si sd e t e r m i n i n gh o wt h eg r o w i n gc o m p l e x i t yo ft h e o p t i o n sv a l u e b l a c k s c h o l e sp r i c i n gf o r m u l a sc a m eo u ta f t e r1 9 7 3 ，t h ei m p r o v e m e n t o nb sm o d e lw a sp a i dc o n s t a n ta t t e n t i o nb yr e s e a r c h e r s i n1 9 7 6 ，m e r t o nf i r s t p r o p o s e dt h ej u m p d i f f u s i o no p t i o np r i c i n gm o d e l ，a n dt h e n , al a r g en u m b e ro f d o m e s t i ca n df o r e i g nr e s e a r c hv i g o r o u s j u m p d i f f u s i o nc o n d u c t e d t h i sd i s s e r t a t i o nt h e s i si nm e r t o no nt h eb a s i so ft h ep o i s s o nj u m p ，p r o m o t i o n f o rt h em o r eg e n e r a lj u m pp m c e s s as p e c i a lk i n do fr e n e w a lj u m p - d i f f u s i o np r o c e s s t h a ti st h ec a s et i m ei n t e r v a l ，a n d 五，e ，f o rt h em u t u a li n d e p e n d e n c ea n d o b e d i e n c eg a m m ad i s t r i b u t i o n f ( a ，a ) ( 口 o ，a 0 ) w i t ht h es e q u e n c eo fr a n d o m v a r i a b l e s i nt h i sm o d e l ，c o n s i d e rt h et y p e so fo p t i o n sp r i c i n g , a n dc o r r e s p o n d i n g e s u l t s t h ew o r kd o n eb yt w op o i n t si nt h ed i s s e r t a t i o ni sf o l l o w i n g ：f i r s t l y , c o n s i d e ri n t h i sm o d e ls t o c kd i v i d e n dp a y m e n to ft h es i t u a t i o n ，b u i l d 叩s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nu n d e rt h ec i r c u m s t a n c eo ft h em a r k e tn oa r b i t r a g eb a s e do ns t o c h a s t i c a n a l y s i sa n dm a r t i n g a l et h e o r y t h ee u r o p e a nc a l lo p t i o np r i c i n ge q u a t i o na n d c a l l - p u tp a r i t ya r ed e d u c e du n d e rt h ec o n t i n g e n tc l a i mb ym e a n so fm a r t i n g a l e n l e a s r l ep r i c i n gm e t h o d s e c o n d l y , d e r i v et h ep r i c i n gf o r m u l a so ft h et w oe x o t i c o p t i o n s - c a p p e d c a l l sa n dd e d u c t i b l ec a l l su n d e rt h es t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e sb y m a r t i n g a l em e t h o dw i t ht h er i s k - n e u t r a lh y p o t h e s i s k e yw o r d s ：r e n e w a lp r o c e s s ；j u m p - d i f f u s i o np r o c e s s ；m a r t i n g a l em e a s u r e ；d i v i d e n d ； s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e s ；o p t i o np r i c i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我所 目除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果 e 不包含为获得盒匿王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 自同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 姗签牛蝴w 射溯日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒蟹王些丕堂有关保留、使用学位论文的规定。有权保留并向 目家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金壁王些基7 l 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 苗等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) # 位论文作者毕业后去向： 作单位： 匝讯地址： 导师签名 矽钐拉 日乒月 l ： ： 钟 蜥蝴 q ) 期日字签 7 切) 9 扩名伽 一。 锋 名 7 签 尹， 者 办 | | l 叩 致谢 首先，感谢我的导师杜雪樵教授。在我的研究生学习过程中，亲爱的杜老 师一直在学业和生活上给予我精心的指导和温暖的关怀，不断为我指明前进的 道路和明确的方向。老师严谨的治学态度、广博的学识和朴素的作风深深感染 了我，为我树立了学习的榜样，这些都将使我受益终生。 感谢理学院的凌能祥、惠军等很多老师，是你们的谆谆教导和辛勤培育使 我顺利完成硕士阶段的学习。感谢沈明轩、毕学慧等几位师兄师姐和同寝王献 东、邹和仕和温华洋、武志辉、王莉等很多同学好友的帮助，你们使我进步。 感谢我的家人，你们无私地给予了我物质的资助和精神的鼓舞。 最后，感谢并祝福所有给予我帮助关怀的人! 作者：彭勃 2 0 0 7 年1 1 月1 5 日 第一章绪论 本章作为全文的开篇。将对金融衍生工具的基本概念和金融衍生工具市场 及其作用的相关知识作一个简明而直观的介绍。首先介绍金融衍生工具的基本 概念；接着介绍金融衍生工具市场及其作用的相关知识。 1 1 金融衍生工具 金融衍生工具( d e r i v a t i v ei n s t r u m e n t s 。以下简称为衍生工具) ，又称为金融衍 生品( d e r i v a t i v e s ) 或金融衍生证券( d e r i v a t i v es e c u r i t i e s ) ，它是一类新型的风险 管理的金融工具，其价格或投资回报最终取决于标的资产( u n d e r l y i n ga s s e t ) 的 价格也就是说，金融衍生工具的价值是由其标的资产价值衍生( d e r i v e d ) 而 成的。其中，用来作为标的资产的可以是债券，股票，货币等基础金融工具， 可以是其他实物资产，也可以是金融衍生工具本身。在金融市场中，商品市场 有很多形式的金融衍生工具，但远期合约( f o r w a r dc o n t r a c t s ) ，期货( f u t u r e s ) 和 期权( o p t i o n s ) 是三种最基本的金融衍生工具。下面对这三种衍生工具进行简要的 描述： 远期合约在未来确定时间，以确定价格购( 销) 一定数量和质量的某 原生资产的协议。它是一张用确定性来代替风险的协议。合约的购入方称为多 头( 1 0 n g p o s i t i o n , l i p 买方) ，销售方称为空头( s h o r t p o s i t i o n ，即卖方) ，合约中标 明的确定价格和确定时间称为交割价( d e l i v e r yp r i c e ，即远期价格) 和交割日 ( m a t u r i t y ，又称到期日) 。在远期合约的交割日，合约的空头方按交割数量将 标的资产交给合约的多头方，而合约的多头方则需要按交割价格向空头方支付 现金。需要指出的是，对于远期合约来说，在交割日进行标的资产实际交割之 前，合约双方均不发生任何的现金支付，它一般都在场外交易若记交割日标 的资产市场价格为s ，远期合约的交割价格为k ，交割数量为q 一，则远期合约 的价值矿可表示为矿= ( s k ) q ，如果s k ，则远期合约的价值为正；反之， 如果s 0 ) 的齐次泊松过 程，若它满足： ( 1 ) ( o ) = 0 ； ( 2 ) ( f ) 是齐次独立增量过程； ( 3 ) 存在正的常数旯，使得对充分小的f 0 ， p n c t + r ) - ( ，) = 1 = 2 r + o c t ) ( 2 1 ) p n ( t + r ) - n ( t ) 2 = d ( f ) ( 2 2 ) 定义中条件( 2 1 ) 式表明，在充分小的时间间隔中事件出现一次的概率与 时间间隔的长度成正比，条件( 2 2 ) 式表示很小的时间间隔中事件不能出现两 次或两次以上。实际问题中很多随机现象都近似地满足这两个条件，可用p o i s s o n 过程来描述。 下面给出p o i s s o n 过程的另一种定义方法： 定义2 2 计数过程 ( ，) ，2 0 是参数为丑( z o ) 的p o i s s o n 过程，如果每次 事件发生的时间间隔五，正，相互独立，且服从同一参数五的指数分布 注：由于p o i s s o n 过程有平稳独立增量，过程在任何时刻都“重新开始”， 6 换言之这恰好就是“无记忆”的体现，与指数分布的“无记忆性”是对应的。 因此p o i s s o n 过程的这两种定义是等价的，其等价性的详细证明与相关内容见 参考文献 2 1 1 - 【2 3 】。 现在将其做以下推广：保留五，五，的独立性和同分布性，但是分布可以任 意，而不必局限为指数分布，这样得到的计数过程叫做更新过程。 定义2 3 设写，五，为一列相互独立同分布的非负随机变量，分布函数为 ，o ) ，r f ( o ) l ，= o ，定义计数过程 k - l m = s u p n ：w 。s f 则称 ( f ) ，t - - o 为更新过程。 在更新过程中我们将事件发生一次叫做一次更新，从而上述定义中就是 第n 一1 次和第n 次更新相距的时间，呒是第r 1 次更新发生的时刻，称为更新点， n ( t ) 就是f 时刻之前发生的总的更新次数。 2 2 2 鞅 鞅( m a r t i n g a l e ) 是一类特殊的随机过程，是近代概率论的一个重要分支。在 研究实际问题中，诸如数理金融，保险精算等方面都有广泛的应用。在给出鞅 的定义之前，首先介绍有关概念 设( q ，ep ) 是完备的概率空间，我们所讨论的随机变量都是定义在这个概 率空间上的 e ，打2 0 ) 是f 上的一列子仃代数并且使得贬c e + ，h 0 ( 此时称 之为子口代数流) 。随机过程f k ，”2 0 l 称为 e 适应的，如果对任意的”0 ， 以是e 可测的，即对任意的x e r ， 以s x ) e e 。此时称 以，e ，h 0 ) 为适应列。 定义2 4 设 e ，刀0 ) 是f 上的盯代数流。随机过程 以， o 称为关于 e ，疗o ) 的鞅，如果 k 是 b 适应的，u p 以，e ，n o 为适应列， e n 五d 0 ，x o ) 一( o 盯2 t ) 。 则称 x ( f ) ，t o 是布朗运动或维纳过程( w i e n e rp r o c e s s ) 。 注：若口2 = l ，则称之为标准布朗运动。常记为 曰( o ，r 0 ) 或 ( ，) ，r 0 。 由上述定义可知，标准布朗运动f 矽( f ) ，t 0 具有下述性质： ( 1 ) ( 正态增量) w ( t ) - w ( s ) n ( o ，t - s ) ，即矿( f ) 一w ( s ) 服从均值为0 ， 方差为，一j 的正态分布； ( 2 ) ( 独立增量) w ( t ) - w ( s ) 一n ( o ，t j ) ，独立于过程过去的状态 矿0 ) ，0 u s ； ( 3 ) ( 轨道连续) 对v 印q ，( f ) 是f 的连续函数。 2 2 4 n 0 过程与i f o 公式 下面介绍另一种类型的随机过程n o 过程( i t op r o c e s s ) 。它是一个一般化的 维纳过程，其中参数口和b 是标的变量和时间的函数。i t o 随机积分过程和i t o 随机微分过程统称为n 0 随机过程，在此我们给出i t o 随机微分过程的数学表达 式： a x ( t ) = a ( t ，( f ) ) d t + 6 0 ，工o ) ) d 日( f ) ( 2 4 ) 式中，e ( t ) 是一个维纳过程，a ( t ，x ( f ) ) 和b ( t ，x ( f ) ) 分别为i t o 过程x ( t ) 的漂移 系数和扩散系数 定理2 1 ( i t o 公式) 设x ( t ) 满足( 2 4 ) 式为i l o 过程，r ( t ) = f ( t ，x ( f ) ) 是 二元可微函数，则得到的随机过程y o ) 也是n o 过程，且有 d w ) = + 口芸+ 等等) ( ，x ( 啦西+ 6 篆( f ，x ( f ) ) 船( r ) ( 2 5 ) 成立。 注：i t o 定理是一种通过变量本身所遵循随机过程来计算该变量的函数所遵 循的随机过程的方式，它可以视为是随机分析中与通常的微积分中的复合函数 求微分的对应法则。 第三章b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型及其推广 b l a e k - s c h o l e s 期权定价模型( 以下简称为b s 模型) 是期权定价理论的核 心和基础作为本章的开始，我们首先简要介绍一下期权定价的发展。曾经有 不少研究者致力于建立一个合理的期权定价理论体系和未定权益估值的一般理 论。现代期权定价理论的历史开始于1 9 0 0 年，法国数学家l o u i sb a c h e l i e r 得到 一个期权定价公式，他的模型基于股票价格遵循布朗运动的假定。从此以后， 大量关于期权估值的研究蓬勃开展起来，提出的公式包括一个或多个参数。2 0 世纪六七十年代，它们又被s p r e n l d e ( 1 9 6 1 ) ，a y r e s ( 1 9 6 3 ) ，b o n e s s ( 1 9 6 4 ) ， s a m u e l s o n ( 1 9 6 5 ) ，t h o r p 和k a s s o u f ( 1 9 6 7 ) ，s a m u e l s o n ( 1 9 6 9 ) 以及c h e n ( 1 9 7 0 ) 等 进一步发展。b l a c k - s e h o l c s ( 1 9 7 3 ) 期权定价公式的出现【l 】解决了周扰经济学家 半个多世纪的难题，这一公式在期权定价问题的攻坚战中代表了一次意味深长 的突破相关内容参见文献【3 】【6 】 3 1b l a c k s c h o l e s 期权定价公式 基本假设： ( 1 ) 股票价格遵循期望收益率a 和波动率盯为常数的随机过程； ( 2 ) 允许使用全部所得卖空衍生证券； ( 3 ) 无风险利率，是常数且对所有到期日都相同； ( 4 ) 在衍生证券的有效期内没有红利支付； ( 5 ) 不支付交易费用和税收。所有证券都是高度可分的： ( 6 ) 证券交易是连续的； ( 7 ) 不存在无风险套利机会。 股票价格s 遵循以下随机过程的假设： d s = # s d t + f r s d w ( 3 1 ) 假设厂是基于s 的某个看涨期权或其它衍生证券的价格，变量厂一定是s 和，的某一函数，由n o 公式有： a t = c 等+ 誓筇+ 三窘仃2 s 2 ) a t + 善仃跗矿 c ， ( 3 1 ) 和( 3 2 ) 式的离散形式为； a s = s a f + a s a w( 3 3 ) a ，= c 等+ 芸心+ 圭窘盯2 趵“+ 善盯乳矿一 c ，舢 9 其中，a 5 和a ，是s 和厂在短时间间隔“后的变化量，从i f 0 定理可知s 和厂所 遵循的维纳过程相同。因此，选择某种股票和衍生证券的组合就可以消除维纳 过程。通过构造证券组合的衍生证券和+ 善的股票，即买入数量为+ 善的 股票的同时卖空一份衍生证券，设该组合的价值为v ，则： v = - f + 杀s ( 3 5 ) “时间后，证券组合的价值变化o y 为： v = - a 厂+ 善a s ( 3 6 ) 。 瓠 将方程( 3 _ 3 ) 和( 3 4 ) 代入方程( 3 6 ) ，得到： 肌暗 警哟“ ， 在代入过程中，a w 正好抵消，说明经过“后证券组合y 必是无风险的依b s 的假设，可知该证券组合的瞬时收益率一定与其他短期无风险证券的收益率相 同，即a y = r v a t ，其中，r 为无风险利率，再由( 3 5 ) 和( 3 7 ) 联立并化简可 得： 笪+ 心笪+ 三盯：s z 善：r f ( 3 8 ) 耐西2剪 方程( 3 8 ) 就是著名的b s 微分方程。 我们看到方程中不包含股票的预期收益率，也就是b s 微分方程独立于 风险偏好。因此，对厂定价时，可以假设所有的投资者都是风险中性的。在一 个所有投资者都是风险中性的世界里，所有证券的预期收益率皆为无风险利率 ，因为风险中性的投资者不要求风险补偿，而且在风险中性的世界里，将其期 望值用无风险利率贴现可获得任何现金流的现值。因此世界是风险中性的假 设，在很大程度上简化了衍生证券的分析。 在风险中性世界里，欧式看涨期权到期日的期望价格为：e m a x ( 品一k ，o ) 】，其 中，e 表示风险中性世界的期望。此时： c = e - ”g m a x ( 8 f - k ，0 ) 】 ( 3 9 ) l n 品一【l i i s + ( ，一- 譬- ) t , o 2 t 对方程( 3 9 ) 右边求值是一个积分过程，结果为： c = s n ( d i ) - k e ”( 蟊) ， 即为b s 公式。 l o 其中，d j ：i n 叁s t 矿+ ( r + 2 ) t ，吐：! ! 学，畋：d i 一盯f r 0 ) 为标准正态分布变量的累积分布函数。 同样可得看跌期权的价格为：p = k e 吖j v ( 一d 2 ) - s n ( 一4 ) 注：在风险中性的假设下获得的b s 微分方程解对于所有世界都有效，而 不仅仅是风险中性世界。当我们从风险中性世界进入到风险厌恶世界时会发生 两件事情，股票价格的期望增长率改变了：在衍生证券任何损益中所用的贴现 率改变了。然而，他们的效果总是正好可以相互抵消的。相关内容可参阅文献 【1 0 1 3 】。 3 2b l a c k s e h o l e s 模型分析及推广 自从1 9 7 3 年布莱克和斯科尔斯提出b s 期权定价模型以后，大批的学者在 这一领域研究探索，在原模型的基础上进行修正并进行实证检验。在修正的过 程中发现，b s 期权定价模型并不是完美无缺的，它至少建立在1 0 个以上不符 合现实的基本假设前提下，如：在期权到期日之前，标的股票不存在发放股利 的问题，显然，这一假设是不符合现实的，把它推广到存在股利支付的场合具 有十分重要的意义：假定无风险利率为常数，在现实的金融市场中，利率不仅 仅可以是时间的函数也可以是随机利率；股票市场交易是连续不间断进行的， 即假定股票价格服从连续扩散过程，但实际分析股票价格行为过程时，发现股 票价格不是总连续等等，关于红利和利率的有关问题会在本文下面两章分别讨 论。以下我们就股票价格的行为模式这一问题作深入的探讨，股票价格一般都 围绕一个期望变化率在一合理范围内作平滑波动，但也常出现与连续平滑波动 完全不成比例的异常变化，它可以视为由经济中的某些不寻常情况带来的不正 常变化，如：突发战争、一国政变、重大政治事件、人为投机等。我们知道， b s 模型中仅仅假设股票价格服从几何布朗运动，然而，基于以上的讨论，考 虑在几何布朗运动中加入一些随机的跳跃，作为新的价格模型可能会更有益。 1 9 7 6 年，m e r t o n 发表的论文1 2 首次考虑了股价作非连续变化场合下的期权定价 问题，他假设股价服从下列跳跃扩散过程，即： d s ( t ) = s ( f ) ( 一2 0 ) d t + 盯d 乙+ u d n ( t ) 】， 其中( f ) 表示股票在【o ，f 】内的跳跃次数。是参数为五的p o i s s o n 过程。m e r t o n 推导出了在这种跳扩散模型下的欧式期权定价公式。而实际中跳跃形式不止一 种，也不一定仅局限于欧式期权因此，关于跳扩散方面的各种期权研究在 m e r t o n 之后逐渐开展起来本文现在考虑一种特殊的更新跳扩散模型，即股票 价格的跳过程服从下述的一类更新跳跃过程。 我们知道，p o i s s o n 过程是事件发生时间间隔正，五，相互独立且服从同一指 数分布的计数过程，若保留五，五，相互独立同分布的要求，但不限制其为指数 分布，而改为一般的分布函数，o ) ，这样就可以把泊松过程推广到更新过程。 注意到，指数分布实际上是g a m m a 分布r ( a ，五) 当a = l 时的特例r ( 1 ，a ) 。我们现 在就假设上述的f o ) 为r 0 ，五) 分布，即事件发生时间间隔五，正，为相互独立且 同服从r ( a ，五) 0 o ，五 o ) 的随机变量序列，这样就把m e r t o n 的p o i s s o n 跳扩散 过程推广为更一般的跳过程类特殊的更新跳过程。本文下面两章就是建立 在这种跳扩散模型下所做的工作 4 1 引言 第四章一类更新跳扩散模型下的欧式期权定价 m ) = 南 “i 刚) 则称x 服从g a m m a 分布，记作z r ( 口，a ) ，口称为形状参数，a 称为尺度参数， 且口 0 ，2 0 ，其v e g a m m a 函数r ( 口) = r 工。1 一d x 。 注：( 1 ) 当a = 1 时，( 功= 2 e 一“i x o ) ，此时r ( 1 ，就是参数为a 的指 ( 2 ) 当a = n e n 时，八x ) 2 i 而r 。p 一1 x o ，r ( 厅，五) 就是e r l a n g 一1 ) ! 分布，此时r ( n ，五) = e r l ( n ，五) ： 孙n = 圭= 鬈，1 病 o ，帅哮n 争就 是常见的z 2 ( n ) 分布。 引理4 1 若x r ( 4 ，a ) ，则x 的均值和方差分别为： e 何) = 三，d = 导i f ,， 。 引理4 2 ( g 锄m a 分布的可加性) 设随机变量五，五，以相互独立，并且 都服从g 彻a 分布，即五一r ( q 。五) ，i = 1 2 ，斤，则： + 五+ + l r ( q + 吗+ + 吒， 4 2 模型假设 下面定义本文中提到的这荚史新崩e 扩散模型： 定义4 2 ( 巧) 。是独立同服从g 彻a 分布r ( a ，a ) 0 o ，a o ) 的随机变量 序列，令f = 窆巧，则计数过程 = s u p 聘：。r ，f o ) 为一类特殊的更新过程。 引理4 3 如果( | ) 。是定义4 2 中的这类更新过程，则 州叫= 南f x ”- i e - t g 出一蒜f x ( s + 1 ) a - l e - , 1 。出一叫， 当口为正整数时 p c m = 疗，= 蒌；为。，n = 。，- ， c 4 z ， 特别地，当a = l 时 州叫= 警e ， 删l ( 4 3 ) 其中，g a m m a 函数r ( 口) = f x a - i e - 。d r 。 证明：由引理4 2 g a m m a 分布的可加性，f l = 互- f ( n a ，旯) ：其概率密度函 姚矗= 志一e 4 i 例 p ( ，= n ) = p ( ，刀) 一p ( m n + 1 ) = p ( f f ) 一p ( “f ) = f 旦r ( n a ) 广矿r 篇x ( n + l a - l e - a 。出 ：c一坐 x ( n + l a - l e - x , * - * e - x , d x) a - - e - “出 ：一f 一生f “出 r ( n a ) 山 r “盯+ 1 ) 口) 山 剐臌c m 圳= 志r x m - l e - “凼一篇南f x l n + 1 ) a - l e - 2 z 出 ：兰：一x * - * e - x d x 一( 一宇! 型：二= 二呻一山+ 兰= = 一 广一- 。一“出) ( n a 一1 ) ! 一、鲁( ( n + 1 ) 口一j ) ! ( h a - 1 ) ! 山 ：争型：! ! = = = 。 智( ( n + 1 ) a - s ) t 1 4 当a = l 时，由上式可得( 4 3 ) 。 在本文第三章我们提到过b s 结果可以推广到基于支付红利股票的欧式看 涨期权和看跌期权的情况，现在我们就在上述更新跳扩散模型基础上考虑有红 利支付时的情形如前面所述，在期权定价过程中，“红利”可以定义为在除权 日由红利支付引起的股票价格的减少额。考虑一种支付连续红利率g 的股票， 如果支付连续红利率q 的股票价格从t 时刻的s 增加到t 时刻的品，那么，没有 红利支付时的股票价格将从f 时刻的s 增加到r 时刻的s p “r _ ”，也可以认为股 票价格是从f 时刻的s e 州“。增加到r 时刻的母。现在我们就给出支付红利股票 的服从上述更新跳扩散过程的期权定价模型 在给定的金融市场中，一种为可连续交易的风险资产，即股票价格过程墨满 足下面的随机微分方程( s d e ) ： j a 芋= 一q ) 出一坩圮( f ) + 甜彤+ u d n ， ( 4 4 ) 其中为期望回报率；q 为红利提供的收益率；盯为无跳时股票价格的波动率； 形是标准的布朗运动；u ( u - 1 ) 为股票价格发生跳跃时股票价格的相对跳跃高 度，为随机变量；坩n 只( f ) 是由更新跳跃带来的平均增长。 由d o l e a s e - d a d e 指数公式，方程( 4 4 ) 的解为： 墨- - s i “- 1 0 + s f i ou ) 。x p o q 一串f 一，妻。只( f ) + 盯彤 ( 4 5 ) 墨 u ) e x p o 一一f v ”只( f ) + 盯彤 ( 4 5 ) i - o l 二 h o j 其中，u 为_ 时刻股票价格的相对跳跃高度，u l ，是独立同分布的随机变 量。 另外一种为无风险资产，称为债券。其价格过程满足下面的微分方程： 鹕= 皿d t ( 4 6 ) 令风= l ，则有e = p “t 其中，为无风险利率。 4 3 未定权益的鞅定价方法 在没有给出期权定价公式以前，首先介绍一下未定权益的鞅定价方法m 。我 们知道，金融衍生物定价的中心问题是，找到一个测度q 使资产价格的折现过 程在该测度下为鞅，则该衍生物的价格就是这个测度下的期望折现值。已知未 定权益在r 时的值为x ，下面通过构造股票和债券组合复制策略来复制这个未 定权益，从而给出它在任意时刻的价格e ( o f 乃。 引理4 4 1 5 1 ( c a m a n o v ) 设随机过程，e ) 。满足p ( r 砰4 0 ； 否则为0 。证明见文献u 6 t h 6 4 注：g i r s a n o v 定理实际上给出了一个b r o w n i a n 运动满足一定条件的平移， 在一个与原先测度等价的测度下仍是b r o w n i a n 运动。 引理4 5 ( 鞅表示定理) 设m 是一个q - 鞅，其波动率q 满足p ( q o ) = i ， i 为任意q 鞅，则存在一个f - 可料过程旃使f 砰砰出 ：甩只( r f ) 其中：西： 茎 ：兰：皇： 1 a 4 t t 以= 吐一盯五 证明：m s , ：s l - “i o + u 。) e x p t ( # 一q 一争一，宝雠) + 盯彤 证明： = + 一一专- ) f v ，以( r ) + 盯彤 m l _ = o j a s , = 墨( 声一g ) 出一蝎d 只( f ) + 仃墨d 彤+ u s , a n , 令y = 竽则彬= 彤+ ，鹕= 墨( ，一q ) a t 一蝎d 艺n 只( f ) + 盯墨d 町+ u s a z r , 盯= 所以s ：s f l ( 1 + u 。) e x p t ( ，一q 一审f 一，妻，以( f ) + 盯彤l 所以s = s 兀( 1 + r 一一争f - v 圮( f ) + 盯彤 o l - i o j 因为在q 测度下晖( o ，n ，所以讲晖+ ( r g 一了0 - 2 ) r 一( ( r - q - - ，r t 2 ) t , o - 2 n 此时昌： ” +q)“pf(，一t+z-v妻，圮(f)，其中z(-譬t,o-zslli(1 q ) r d ，此时昌= + q ) “p ( ，一，圮( f ) ，其中z ( - d ， i - 0 l n i o j 为欧式看涨期权，则z = ( 品- g ) + = n 瞰( 品- k ，o ) ，在等价鞅测度下， c ( s ，t ) = e - r ( t - o 岛( ( 品一置) + ) ：e - r ( t - o 岛 ( s 箭( 1 + q ) e x p ( ( r 一拟r f ) + z v 妻月只( r f ) ) 一足) + = 岛 ( s 兀( 1 + q ) e x p ( ( r 一叮) ( r f ) + z v 月只( r f ) ) 一足) + l i - o p o j 2 扣哦晒高岛斋，肌帅扣倚一俨”驴盯。m ， 唧 - 尝卜黝= ( s f t ( 1 + u k ，而! 笋4 砉”一k e ) e - t 7 d u ( s 兀( 1 + u 弦1 7 。p 2 鲁 一。“7 4 巷哦去s 如“，华弘，。孕q 扣如 ! e _ _ _ _ - 一 o d t - 一兰：叫) 2 石 = 耄w 一州去s 冉c - + 咿咿1 ) 一妇一，7 1 o ( e ”争盯f l e 一1 竺乒d f 埘 e 2 d 芒 ) 】，( 令f = 叫) 疵魄皓机咿。，莘鲨掌掣。莲k , 4 q x r w b - ( t - o 州卅。一锄 h ! t = - + ( r 一= ! 二型一，5 1 只- 2 荟丑( r - r h 【- 杀s 珥( 1 + u 弘吲 i 石r _ e d “一e 二 砌 一k e 邮卅o ( 删 ， ( 令，7 = f + 仃f j ) 出 一了 叱 _学 ：砉，：。，一，弘l 。s 虫。+ 。，。一。，一，。一r 喜m ecrr，。!：!；!：；!；!；!：!：!；i；!：!生竺， 一k e 一“中( 吐) 】 ：至丑口一f h s 血( 1 + 弦吲“卜荟嵋”( 吐) 一& - ，( r - ) 中( 吐) 】 s l - i o 。+ u , ) 雩) ( t - t ) - v 妻i n , o i - ( r - q + t - t ) - vn p , ( t - t ) 一 乓中碣：生毒业一，吐：一一盯两， 盯r t i 乇是关于兀( 1 + u ) 的分布的期望算子， i - 0中( x ) = 忑1 p 一譬幽为标准正态分布 l 勺累积分布函数。于是定理4 1 得证。 如果在期权的有效期中红利率g 不是恒定的，只要令g 等于期权有效期中的 平均红利率即可。在欧式看涨期权的定价公式中不含，这再次说明测度q 是 虱险中性测度，它排除了投资者的风险偏好 利用看涨看跌期权的平价关系 c + 缸一7 ( r 。) = 口( ) + p ， 可得到看跌期权定价公式： p ( j ，f ) ：妻只( r f h 【一 r - i ) m ( 一吐) 一s 矗( 1 + 珥弦吲7 。卜圣嵋“中( 一) 】， 乓中d id ：同上所述 注：( 1 ) 在定理4 1 中，当q = 0 时，即为文献【1 8 】的结果； ( 2 ) 当a = 1 时，( m ) 。即为p o i s s o n 过程，代入定理化简后可得文献 2 m e r t o n 的结果。 1 9 第五章一类更新跳扩散模型下的两种奇异期权定价 本章继续在上述的更新跳扩散模型中讨论期权定价问题，考虑两种奇异期 权一上限型权证和抵付型权证。首先简要介绍一下标准期权和奇异期权的概念， 然后给出模型假设，接着推导在这类更新跳扩散模型中随机利率下的两种奇异 期权的定价公式，最后讨论结果，给出了几点记注 5 1 标准期权与奇异期权 标准期权( v a n i l l ao p t i o n s ) ，通常是指在期权市场被投资大众广泛了解 和接受的期权商品，或者说是普通的期权在标准的期权基础上，金融工程师 运用期权理论和分析方法创造出的具有各种不同特征的期权新品种，就是我们 所说的奇异期权( e x o t i co p t i o n s ) 。简单的说凡是不属于标准期权的期权， 自然就应归入奇异期权的范畴。因此，从广义上讲，奇异期权是指那些在市场 上出现时间不久、在某一方面的特征与标准期权不同、投资者尚不熟悉的期权 新品种。 显然，由于金融市场的发展日新月异，标准期权的概念本身是相对的，因 此奇异期权的概念也随时间的推移而变化一般说来，当一种新的期权刚刚出 现时，由于大家对其特点尚不了解，人们都会将其视为奇异期权。不过，随着 人们认识和实践的不断深入，新的期权品种将逐渐走向成熟和标准化，进而成 为标准期权 从广义上讲，一个期权合同的基本特征可以从以下3 个方面来描述“”。对 于标准期权来说，其特征分别属于这3 个方面的最基本成分。如果将其中任何 一个方面加以延伸，都可以得到与之相对应的奇异期权。这三个基本特征是： ( i ) 收益结构的同质性和连续性； ( 2 ) 期权的维数和阶数； ( 3 ) 路径相关性。 所以，我们把常见的奇异期权分成以下三类，即改变标准收益结构的奇异 期权，高维和高阶期权以及路径相关的奇异期权。 5 2 模型假设 在前面第三章我们提到b - s 模型可以从无风险利率为常数推广到利率是时 间的函数或随机利率的情形。在本章中我们就考虑借贷利率是随机的，满足i t o 型随机微分方程。其次，在实际市场交易中。无风险利率的调整会给股票市场 带来一定的影响，影响利率的随机因素与影响股票价格的随机因素这两者并不 是独立的，而是相互依赖相互影响的，因此我们假定影响利率的随机因素与影 响股票价格的随机因素相关。在此基础上，我们仍假设股票价格的跳过程为上 一章所述的一类更新跳过程。下面给出这类更新跳扩散中随机利率下的期权定 价模型： 假设市场中仅有两种资产一种是风险资产( 股票) ，另一种是无风险资产 ( 债券) ，在给定的风险中性概率空间( q ，f ，p ) 中，其价格分别满足以下随机微 分方程( s d e ) a 。s , ：，( t ) d t 一记艺n 只( f ) + 叮( f ) d 彤( f ) + u d n , ， s ( o ) ：瓯 ( 5 1 ) u a - o 等辫= r ( f 肌讹d 删f ) 即加1 ( 5 2 ) 其中r ( f ) 为可能随机的短期利率；a c t ) 为无跳时股票价格的波动率；a ( t ，乃 为债券波动率：t j l ( t ) ，( f ) 为概率空间( q ，f ，p ) 上的是标准一维布朗运动，且 p ( 暖( f ) ( f ) ) = p ，o m l p l s l ；( 己) 。为( ) 。时刻股票价格的相对跳跃高度， 【，( ( ， 一1 ) 为股票价格发生跳跃时股票价格的相对跳跃高度，是与( 配九。独立同 分布的随机变量：设( u ) 。，( ，) 。与彤( f ) ，( j = 1 ，2 ) 相互独立；。v d n 只( f ) 是 n = 0 由更新跳跃带来的平均增长，v = 占( u ) ，其中e 为期望算子；令 e ) o a t ；t 为由s ( f ) 及b ( t ，n 产生的满足通常条件的滤波。 5 3 一类更新跳扩散模型中随机利率下的两种奇异期权定价 在本节中，我们考虑的两种奇异期权是上限型权证和抵付型权证首先简 要介绍一下权证的基本概念。权证是一种基础的金融衍生产品，设计比较简单， 风险也相对较小。因此，许多发展中的市场都选择权证作为发展金融衍生产品 市场的第一步。与期权类似，权证的本质是一种合同，其持有者以权证的挂牌 交易价格购买了该权证后，就拥有了一个选择权，他可以选择在未来的某个时 间，行使权证合同中规定的以某一个价格( 即行权价格) 买入或卖出该权证规 定的标的资产关于权证的发展历程、分类，市场影响等在此就不一一赘述了， 2 l i- v ) 以( 7 3 c ( o ，晶) = 丑( t