（应用数学专业论文）σ自动机和低维ca.pdf

! 垒! ! ! 竺苎! ! 坚! ! ! ：里! 竺! 竺翌! 型曼垒 里! 竺j 坠鱼型 a b s t r a c t c e l l u l a ra u t o m a t a ( c a ) a r ed i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e r n sw h i c he v o l v eo nl a t t i c e s o rv e r t i c e s o fg r a p h sa c c o r d i n gt os o m el o c a lr u l e t h e ya r eu s e f 【l li nm a n yf i e l d s r e s e a r c ho nc ah a s b e e nm u c ha c t i v ef o rs e v e r a lt i m e sa b r o a d i nt h i st h e s i s ，w ee x p l o r e 口- a u t o m a t ao ng r a p h s j p r o p e r t i e so fl o w d i m e n s i o n a lc a jt h ea p p l i c a t i o no fc a t oi m a g ee n c r y p t i o n ，a n do b t a i ns o m e r e s u l t s t h eo u t l i n eo ft h i st h e s i si sa sf o l l o w s ： ( 1 ) i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w em a i n l yd i s c u s so n 口- a u t o m a t ao ng r a p h s ，w e 百v e ，f o ra n y s o l u t i o no fat r e e ，ac l e a rd e s c r i p t i o no nt h ee l e m e n t si nt h es o l u t i o n ，b yi n t r o d u c i n gt h ec o n c e p t o f “q u a s i a i i o n e sp r o b l e m ”a f t e ra n a l y z i n gt h ea l g o r i t h mc r e a t e db vg a l v i nt oc o n s t r u c ta s o l u t i o nt ot h ea 1 1 - o n e sp r o b l e mf o rt r e e st h o r o u g h l y t h i sl c a d st oa ne n u m e r a t i o nf o rt h e n u m b e ro fs o l u t i o n si nat r e e a sap r o d u c to ft h i sd e s c r i p t i o n w ea l s og e tt w oa l g o r i t h m sf o r f i n d i n gs o l u t i o n si uau n i c y c l eg r a p h t h e s er e s u l t sa r ep a r t so f 7 i i nt h el a t t e r p a r to ft h i sc h a p t e r w ei n t r o d u c et w og e n e r a l i z a t i o nf o r m so ft h ea 1 1 - 0 u e s p r o b l e m ：t h es t r o n g - a 1 1 c o l o r sp r o b l e ma n dt h ew j a k a 1 1 c o l o r sp r o b l e m f o rt h es t r o n g a l l - c o l o r sp r o b l e m ，w eg i v ear u l en a m e d “d e l e t i n ga3 - c o n n e c t e dp a t h ”，a n dp r o v et h a tar a d i o a c t i v e t r e eh a ss o l u t i o n st ot h es t r o n g - a l l c o l o r sp r o b l e m f o rt h e ，e a k a l l c o l o r sp r o b l e m w eg i v e ar u l en a m e d “a d d i n gal e a r l a n dp r o v et h a ta n yt r e eh a sas o l u t i o nt ot h ew j a k a l l c o l o r s p r o b l e m i t sp r o v e dt h a tc i r c l e sa n du n i c y c l i cg r a p h sh a v es o l u t i o n st ot h e e a k ，a i i c o i o r s p r o b l e ma sw e l l ，ec o n j e c t u r et h a tt h e r ei sas o l u t i o nt ot h ew j a k a 1 l 。c o l o r sp r o b l e mf o ra n y g r a p h e s p e c i a l l y , a n yt r e ec a n h a v eas o l u t i o nc o n t a i n i n go n l y0a n d1t ot h ew e a k a l l c o l o r s p r o b l e mo n 历w h e t h e rt h es i m i l a rr e s u l th o l d sf o rt r e e so n ( m 4 ) o r g r a p h s ，i sp u t f o r w a r da sc o n i e c t u r e s f i n a l l y , w ei n t r o d u c et h ek r a n d o mw a c p w h i c hi sc o n n e c t e dt i g h t l y t ot h ee r d s s - g i n z b u r g z i vp r o b l e mi nc o m b i n a t o r i a ln u m b e rt h e o r y , w eh a v es o l v e dl tp a r t l y b yu s i n gt h er e s u l t si n 1 5 ，4 3 】 ( 2 ) i nt h es e c o n dc h a p t e r w es u m m a r i z ev a r i o u sp r o p e r t i e so f1 0 w ，d i m e n s i o n a lc a ，s u c ha s i n j e c t i v ef o rc ”，“s u r j e c t i v ef o rc ”，“i n j e c t i v ef o rc f ”，“s u r j e c t i v ef o rc f ”，“w i t h o u tg a r d e n - o f - e d e n ”，“m u t u a l l ye r a s a b l e ”，e t c ，a n dc h a r a c t e r i z et h e i rr e l a t i o n s n o t et h a tt h ef i r s tf o u r p r o p e r t i e sa r eb a s i c a f t e r w a r d sw er e p r e s e n tt h r e ea l g o r i t h m st od e t e r m i n ew h e t h e rao n e d i m e n s i o n a lc ai si n j e c t i v ef o rc ，s u r j e e t i v ef o rc ，s u r j e c t i v ef o rc f ，r e s p e c t i v e l yt h ef o r m e r t w oa l g o r i t h m sa r eb r o u g h tf o r w a r db ys a m o r o s oa n dy n p a r tt h ea l g o r i t h mt od e t e r m i n e “s u r j e c t i v ef o rc f ”i sc r e a t e db ym y s e l f a t1 a s tw ee n u m e r a t ea l lt h eo n e d i m e n s i o n a lc a w h i c h h a v et h ef o u rf u n d a r n e n t a lp r o p e r t i e sa n dl i s tt h e mi na p p e n d i xa b cw i t hs o m ec o m m e n t s ( 3 ) a f t e ri t sa p p e a r a n c e ，c a h a v eb e e nu s e di nm a n yf i e l d ss u c ha sp h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y ， m e d i c i n e ，e t c i nt h et h i r dc h a p t e ro ft h i st h e s i s ，1w i l lb r i n gf o r t han e w a p p l i c a t i o no fc a o n t h ei m a g ee n c r y p t i o nf i e l dt h a th a s n tb e e nm e n t i o n e db e f o r e w jg i v ea na l g o r i t h mt ou s ea t w o - d i m e n s i o n a lc at oe n c r y p ta ni m a g e t h i sa l g o r i t h mh a ss o m ev i r t u e ss u c ha sl a r g ea m o u n t o fk e y s ，h i g he f f i c i e n c y ，g r e a ts p e e d ，e t c a f t e ri t st h e o r e t i c a lp r o o fh a v i n gb e e ng i v e n ，i tw i l l b e c o m eap r o m i s i n gi m a g e e n c r y p t i o na l g o r i t h m k e y w o r d s ：c e l l u l a ra u t o m a t a ，w o l f r a mr u l en u m b e r ，g a r d e n s o f - e d e n la i l ，0 n e sp r o b l e m ， s t r o n g a l l c o l o r sp r o b l e m w e a k a l l c o l o r sp r o b l e m ，。r a n d o mw a c p ，i n j e c t i v ef o rc ，s u r j e c t i v ef o rc ，i n j e c t i v ef o rc p ，s u r j e c t i v ef o rc f ，i m a g ee n c r y p t i o na l g o r i t h m g r a u t o m a t aa n dl o w d i m e n s i o n a lc a c h a ow a n g c h a p t e r 1 仃a u t o m a t a 1 1 p r e l i m i n a r y a g r a p hi s ap a i rg = ( k e ) w h e r ee v v t h e s es t r u c t u r e sa l l o wf o rs e l fl o o p sw ew i l l i n s i s tt h a tgi sl o c a lf i n i t e ，i e ，e v e r yv e r t e xi ngi s a d j a c e n tt oo n l yf i n i t em a n yv e r t i c e s i ti s c o n v e n i e n tt oi d e n t i f yew i t ht h ea d j a c e n c ym a t r i xo fgc o n s t r u c t e da sam a t r i xi n 兀v v 毋 h e r ef 2 = f o ，1 ) i st h et w o - e l e m e n tf i e l da n dt h e r ei sa1i nt h eu t “r o w 如d t “c o l u m no fe i fa n d o n l yi ft h e r ei sad i r e c t e de d g ef r o mv e r t e xut ov e r t e xui ng av e r t e x “i sap r e d e c e s s o ro f 即i fa n d o n l yi ft h e r ee x i s t sa ne d g e ( ，口) i ng t h ec o l l e c t i o n o fa l lp r e d e c e s s o r so f w i l lb ed e n o t e db y r a ( v ) = f y l ( ， ) e ) n o t et h a tp v ( v ) m a yo rm a yn o ti n c l u d eud e p e n d i n go nw h e t h e r h a sas e l f l o o pi ng o rn o t w ew i l lr e f e rt of a ( v ) a st h en e i g h b o r h o o do f i ng ac o n f i g u r a t i o no fg i saf u n c t i o n x ：v _ 岛 t h ec o l l e c t i o no fa l l c o n f i g u r a t i o n so fgw i l lb ed e n o t e db yc a d e f i n et h e t r a n s i ，t 。i o n r u l e 口g ：c a - + c ab y 一( x ) ( 。) ：= x ( “) m o d 2 a = ( g ，o g ) i sc a l l e dt h e a - a u t o m a t o no ng a 盯- a u t o m a t o na = ( g ，o - g ) i ss y m m e t r i ci f a n do n l yi ft h ea d j a c e n c ym a t r i xeo fgi ss y m m e t r i c t h u ss y m m e t r i c 口一a u t o m a t aa r i s ef r o m u n d i r e c t e dg r a p h s i nt h ef o l l o w i n gs e c t i o n s ，w ew i l lc o n s i d e ro n l ys y m m e t r i c 口a u t o m a t ao n u n d i r e c t e dg r a p h s l e tgb ea nu n d i r e c t e dg r a p hw i t h o u ts e l fl o o p sa n ddas u b s e to fv d e f i n ea ( d ) t ob e t h eg r a p ho b t a i n e df r o mg b ya d d i n gs e l fl o o p sa ta l lv e r t i c e si nd 口- a u t o m a t ao ft h ef o r m ( g ，c r a w ) ) o r ( g ，a g ( o ) ) a r ec a l l e d l i n d e n m a y e ra u t o m a t ao ng t ol i g h t e nn o t a t i o nw ew i l lu s u a l l yo m i tt h es u b s c r i p tg a n dw r i t er ( u ) ，o - a n d ( g ，们a n d s of o r t h a l s ow ew i l lw r i t e 口+ f o r a r t y ) a n d 口一f o rc r g ( 0 ) w ew i l lw r i t e0f o r t h ee m p t ys e t a n d1f o rva sm e m b e r s o f c a ，s oo ( 口) = 0a n d1 ( 口) = 1f o ra l l 口i nv 1 g r a u t o m a t aa n dl o w d i m e n s i o n a lc a c h a ow a n g c h a p t e r 1 仃a u t o m a t a 1 1 p r e l i m i n a r y a g r a p hi s ap a i rg = ( k e ) w h e r ee v v t h e s es t r u c t u r e sa l l o wf o rs e l fl o o p sw ew i l l i n s i s tt h a tgi sl o c a lf i n i t e ，i e ，e v e r yv e r t e xi ngi s a d j a c e n tt oo n l yf i n i t em a n yv e r t i c e s i ti s c o n v e n i e n tt oi d e n t i f yew i t ht h ea d j a c e n c ym a t r i xo fgc o n s t r u c t e da sam a t r i xi n 兀v v 毋 h e r ef 2 = f o ，1 ) i st h et w o - e l e m e n tf i e l da n dt h e r ei sa1i nt h eu t “r o w 如d t “c o l u m no fe i fa n d o n l yi ft h e r ei sad i r e c t e de d g ef r o mv e r t e xut ov e r t e xui ng av e r t e x “i sap r e d e c e s s o ro f 即i fa n d o n l yi ft h e r ee x i s t sa ne d g e ( ，口) i ng t h ec o l l e c t i o n o fa l lp r e d e c e s s o r so f w i l lb ed e n o t e db y r a ( v ) = f y l ( ， ) e ) n o t et h a tp v ( v ) m a yo rm a yn o ti n c l u d eud e p e n d i n go nw h e t h e r h a sas e l f l o o pi ng o rn o t w ew i l lr e f e rt of a ( v ) a st h en e i g h b o r h o o do f i ng ac o n f i g u r a t i o no fg i saf u n c t i o n x ：v _ 岛 t h ec o l l e c t i o no fa l l c o n f i g u r a t i o n so fgw i l lb ed e n o t e db yc a d e f i n et h e t r a n s i ，t 。i o n r u l e 口g ：c a - + c ab y 一( x ) ( 。) ：= x ( “) m o d 2 a = ( g ，o g ) i sc a l l e dt h e a - a u t o m a t o no ng a 盯- a u t o m a t o na = ( g ，o - g ) i ss y m m e t r i ci f a n do n l yi ft h ea d j a c e n c ym a t r i xeo fgi ss y m m e t r i c t h u ss y m m e t r i c 口一a u t o m a t aa r i s ef r o m u n d i r e c t e dg r a p h s i nt h ef o l l o w i n gs e c t i o n s ，w ew i l lc o n s i d e ro n l ys y m m e t r i c 口a u t o m a t ao n u n d i r e c t e dg r a p h s l e tgb ea nu n d i r e c t e dg r a p hw i t h o u ts e l fl o o p sa n ddas u b s e to fv d e f i n ea ( d ) t ob e t h eg r a p ho b t a i n e df r o mg b ya d d i n gs e l fl o o p sa ta l lv e r t i c e si nd 口- a u t o m a t ao ft h ef o r m ( g ，c r a w ) ) o r ( g ，a g ( o ) ) a r ec a l l e d l i n d e n m a y e ra u t o m a t ao ng t ol i g h t e nn o t a t i o nw ew i l lu s u a l l yo m i tt h es u b s c r i p tg a n dw r i t er ( u ) ，o - a n d ( g ，们a n d s of o r t h a l s ow ew i l lw r i t e 口+ f o r a r t y ) a n d 口一f o rc r g ( 0 ) w ew i l lw r i t e0f o r t h ee m p t ys e t a n d1f o rva sm e m b e r s o f c a ，s oo ( 口) = 0a n d1 ( 口) = 1f o ra l l 口i nv 1 o - a u t o m a t aa n dl o w d i m e n s i o n a lc a c h a ow a n g c o n f i g u r a t i o n sa r ec o n v e n i e n t l yi d e n t i f i e dw i t hs u b s e t so fv ，i e ，x i si d e n t i f i e dw i t h ” v l x ( v ) = 1 ) o b s e r v et h a ta l g e b r a i c a l l yc a i sav e c t o rs p a c eo v e rf 2 ，c a = 兀vf 2 ；a d d i t i o n h e r ea m o u n t st ot a k es y m m e t r i cd i f i e r e n c e s w jw i l lc a l lt h i ss p a c et h ec o n f i g u r a t i o ns p a c e f u r t h e r m o r e ，口i sal i n e a rm a pf r o mt h ec o n f i g u r a t i o ns p a c et oi t s e l f ( s u c hr u l e sa x ec a l l e d a d d i t i v ei nf 3 6 1 ) i fo n et h i n k so fc o n f i g u r a t i o nx a sac o l u m nv e c t o ro v e rf 2 ，i ti so b v i o u sf r o m t h ed e f i n i t i o nt h a t 口f x l = e t xw h e r ee oi st h et r a n s p o s eo fa d j a c e n c ym a t r i xo fg t h i sc h a p t e ri s o r g a n i z e da sf o l l o w s i ns e c t i o n1 2 w es t u d y “a l l - o n e sp r o b l e m ”h e r e w ee m p h a s i z eo nt r e e sa n du n i c y c l eg r a p h s s o m er e s u l t sc a nb es e e ni nf 7 1 i ns e c t i o n1 3 ， w ei n t r o d u c et h e “a 1 1 一c o l o r sp r o b l e m ”，ag e n e r a l l z a t i o no f “a 1 1 0 n e sp r o b l e m ”，w h i c hc a nb e d i v i d e di n t ot w os u b p r o b l e m s ：s t r o n g a 1 1 c o l o r sp r o b l e ma n d ，e a k a 1 1 一c o l o r sp r o b l e mw e g e ts o i n en e wr e s u l t sa b o u tt h e s ep r o b l e m s i nt h ee n do fs e c t i o n13 w ei n t r o d u c ean e wk i n d o fa 1 1 c o l o r sp r o b l e m ，k r a n d o m k a k a i i c o l o r sp r o b l e m w h i c hi sr e l e v a n tt oc o m b i n a t o r i a l n u m b e rt h e o r y 1 2a 1 l o n e sp r o b l e m t h et e r ma i i 0 n e sp r o b l e mw a si n t r o d u c e db ys u t n e r ，s e ef 1 0 1 i th a sa p p l i c a t i o n si nl i n e a r c e l l u l a ra u t o m a t a ，s e e 1 1 1a n dt h er e f e r e n c e st h e r e i n t h ep r o b l e mi sc i t e da sf o l l o w s ：s u p p o s e e a c ho ft h ev e r t i c e so fau n d i r e c tg r a p hw i t hnv e r t i c e si se q u i p p e dw i t ha ni n d i c a t o rl i g h ta n d ab u t t o n ，i ft h eb u t t o no fav e r t e xi sp r e s s e d ，t h el i g h to ft h a tv e r t e xw i l lc h a n g ef r o mo f ft o o i la n dv i c ev e r s a ；t h es a m eh a p p e n st ot h el i g h t so fa l lt h ee d g e ，a 4 i a c e n tv e r t i c e s i n i t i a l l ya l l l i g h t sa x eo f f n o w c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gq u e s t i o n s ：i si tp o s s i b l et op r e s sas e q u e n c eo fb u t t o n s i ns u c haw a yt h a ti nt h ee n da l ll i g h t sa r eo n ? t h i si sr e f e r r e da st h ea f z 0 n e 8p r o b l e m i ft h e r e i ss u c haw a y h o wt of i n das u c hw a y ? h e r ea n di nw h a tf o l l o w s w ec o n s i d e rc o n n e c t e ds i m p l e u n d i r e c t e dg r a p h so n l y w h e nd i s c o n n e c t e dg r a p h sm u s tb ec o n c e r n e d ，w ec a nd e c lw i t ht h e m c o m p o n e n tb yc o m p o n e n t f o ra l lt e r m i n o l o g ya n dn o t a t i o n so ng r a p h s ，w er e a rt o 5 】a n e q u i v a l e n tv e r s i o no ft h ea l l o d e sp r o b l e mw a sp r o p o s e db yp e l e di nf 2 8 1 ，w h e r ei tw a sc a l l e d t h el a m pl i g h t i n gp r o b l e m ，ec i t ei ta sf o l l o w s l i g h tb u l b sl l ，l 2 ，l n a r ec o n t r o l l e db ys w i t c h e ss 1 ，s 2 ，s z 。s w i t c hs c h a n g e st h e o n o f fs t a t u so fl i g h tl ta n dp o s s i b l yt h es t a t u so is o m eo t h e rl i $ l h t s a s s u m et h a t 吣s ic h a n g e s t h es t a t u so “g h tl i t h e ns 3c h a n g e st h es t a t u so fl i g h tk i n i t i a l l ya l lt h ek 9 h t sa r eo f p r o v e t h a ti t 妇p o s s i b l et oo p e r a t et h es w i t c h e si ns u c haw a yt h a ta l lt h el i g h t sa r eo n t h er u l eo ft h ea i i o n e sp r o b l e mi s 口+ r u l eo ng r a p h s w h i c hm e a n st h a tab u t t o nl i g h t s n o to n l yi t sn e i g h b o r sb u ta l s oi t so w nl i g h t 厶i fab u t t o nl i g h t so n l yi t sn e i g h b o r sb u tn o t i t so w n l i g h t t h i sr u l eo ng r a p h si sc a l l e d 口一一r u l e t h e r eh a v eb e e nm a n yp u b l i c a t i o n so nt h e a l l - 0 n e sp r o b l e m ，s e es u t n e r 3 8 ，4 0 1 ，b a r u ae ta lf 4 1a n dt h er e f e r e n c e st h e r e i n u s i n gl i n e a r a l g e b r a ，s u t n e r 3 7 p r o v e dt h a ti t i sa l w a y sp o s s i b l et ol i g h te v e r yl a m pi na n yg r a p h sb y 口+ r u l e l o s s e r s 2 2 1g a v ea n o t h e rb e a u t i f u lp r o o f a l s ob yu s i n gl i n e a ra l g e b r a ag r a p h - t h e o r e t i c p r o o fw a sg i v e nb ye r i k i s s o ne ta l 1 3 i ng r a p h t h e o r e t i ct e r m i n o l o g y ，as o l u t i o nt ot h ea i i o n e sp r o b l e mw i t ho - + 一r u l ec a nb e s t a t e da sf o l l o w s ：g i v e nag r a p hg = ( k e ) ，w h e r eva n ded e n o t e st h ev e r t e x - s e ta n dt h e e d g e - s e to fg ，r e s p e c t i v e l y , as u b s e tx o fvi sas o l u t i o ni fa n do n l yi ff o re v e r yv e r t e x o f gt h en u m b e ro fv e r t i c e si nx a d j a c e n tt oo re q u a lt o i so d ds u c has u b s e tx i sc a l l e da u o d dp a r i t yc o u e ri n 【3 7 1 s o ，t h ea l l 一0 n e sp r o b l e mc a nb ef o r m u l a t e da sf o l l o w s ：g i v e na g r a p h 2 o - a u t o m a t aa n dl o w d i m e n s i o n a lc a c h a ow a n g c o n f i g u r a t i o n sa r ec o n v e n i e n t l yi d e n t i f i e dw i t hs u b s e t so fv ，i e ，x i si d e n t i f i e dw i t h ” v l x ( v ) = 1 ) o b s e r v et h a ta l g e b r a i c a l l yc a i sav e c t o rs p a c eo v e rf 2 ，c a = 兀vf 2 ；a d d i t i o n h e r ea m o u n t st ot a k es y m m e t r i cd i f i e r e n c e s w jw i l lc a l lt h i ss p a c et h ec o n f i g u r a t i o ns p a c e f u r t h e r m o r e ，口i sal i n e a rm a pf r o mt h ec o n f i g u r a t i o ns p a c et oi t s e l f ( s u c hr u l e sa x ec a l l e d a d d i t i v ei nf 3 6 1 ) i fo n et h i n k so fc o n f i g u r a t i o nx a sac o l u m nv e c t o ro v e rf 2 ，i ti so b v i o u sf r o m t h ed e f i n i t i o nt h a t 口f x l = e t xw h e r ee oi st h et r a n s p o s eo fa d j a c e n c ym a t r i xo fg t h i sc h a p t e ri s o r g a n i z e da sf o l l o w s i ns e c t i o n1 2 w es t u d y “a l l - o n e sp r o b l e m ”h e r e w ee m p h a s i z eo nt r e e sa n du n i c y c l eg r a p h s s o m er e s u l t sc a nb es e e ni nf 7 1 i ns e c t i o n1 3 ， w ei n t r o d u c et h e “a 1 1 一c o l o r sp r o b l e m ”，ag e n e r a l l z a t i o no f “a 1 1 0 n e sp r o b l e m ”，w h i c hc a nb e d i v i d e di n t ot w os u b p r o b l e m s ：s t r o n g a 1 1 c o l o r sp r o b l e ma n d ，e a k a 1 1 一c o l o r sp r o b l e mw e g e ts o i n en e wr e s u l t sa b o u tt h e s ep r o b l e m s i nt h ee n do fs e c t i o n13 w ei n t r o d u c ean e wk i n d o fa 1 1 c o l o r sp r o b l e m ，k r a n d o m k a k a i i c o l o r sp r o b l e m w h i c hi sr e l e v a n tt oc o m b i n a t o r i a l n u m b e rt h e o r y 1 2a 1 l o n e sp r o b l e m t h et e r ma i i 0 n e sp r o b l e mw a si n t r