（计算数学专业论文）两类发展方程的数值方法与分析.pdf

s h a a l d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 两类发展方程的数值方法与分析 王波 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 现代科学技术的发展在很大程度上依赖于物理学、化学和生物学的成就和进展， 而这些学科自身的精确化又是它们取得进展的重要保证，学科的精确化又往往是通过 建立数学模型( 即非线性发展方程) 来实现的神经传导问题是生物医学研究中的重 要课题，对当今社会的发展有着深远的影响建立神经传导问题的数学模型，寻求其 在某种意义下的近似解并建立相应的数值分析理论，通过计算机数值模拟神经传导信 号的传播方向、速度及变化的趋势，对于生物医学及遗传学的发展有着重大的指导意 义而抛物型积分一微分方程在描述多孔介质中地下水的非局域反应运移问题、热传 导问题，流体中放射性核物质的衰变过程，物质有记忆的形变( 尤其是聚合物的形变) 半导体模型及生物工艺学等实际问题中有广泛的应用，具有深刻的物理背景，因此无 论从理论上，还是从数值分析及其应用上都有必要进行深入的研究全文共分五章 论文前三章针对两类神经传导问题给出了变网格有限元法、特征变网格有限元方法、 交替方向变网格和交替方向多步法数值分析在本文的后两章就针对抛物型积分一微 分方程给出了交替方向变网格有限元方法和全离散有限体积元法数值分析 第一章采用变网格有限元法对一类二维神经传导问题进行求解在神经传播过程 中，神经传递信号“及其关于时间和空间的变化率，在数学上表现为一类非线性拟双曲 方程，这类方程最初由n a g u m o 等人提出孔后由著名学者p a o 【2 “a r i m a h a s e g a w a 和y a m a g u t i 【6 j 仔细推导并完善了该类问题的模型，g p o n c e 、万维明、刘亚成等 卜8 】对这一问题解的存在唯一性及解的渐进性质做了一些工作，这些定性理论为我们 对神经传导信号的传播方向、速度及变化趋势进行数值模拟提供了理论依据，而关于 这一问题的数值方法研究工作还没有见到太多的结果 1 7 以往求解各类偏微分方程问 题的数值解法均是在固定网格上进行的，但是在实际问题中，解在定义域中的变化经 常是不均衡的，往往某一部分变化剧烈，某一部分变化平缓而在非稳态问题中，这种 变化剧烈的部分随时间而移动，例如火焰的传播、尖峰、冲击波、油水两相混溶驱动等 问题，在空间域解曲面的峰值随着时间而推移，对这类问题，只有对不同时刻的空间 区域采用不同的网格，在变化剧烈的区域配置细网格，保持峰值始终落在网格的局部 加密处，才能够得到更好的逼近结果，而在整体上又不太增加计算量r b o n n e r o t 和 p j a m e t 于1 9 7 4 年在【9 j 中提出了时空有限元方法，这是一种很有用的变网格有限元 法，后由p j a m e t 在特殊情况下证明了由这种方法推导出的差分格式具有最优的 收敛阶，但是这种差分格式的分析方法在理论上很难推广到一般情形目前关于变网 格有限元方法的工作主要有：k m i l l e r 和r n 、 i l l e r 【“d 的变网洛有限元方法，袁 v i s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r m d i s s e r t a t i o n 益让 1 3 “1 4 】的油水两相渗流驱动问题的变网格有限元方法及非线性对流扩散问题的变 网格特征有限元方法，梁国平 1 6 “1 8 的一般抛物问题的变网格有限元法，孙澈、王振 彪【1 9 】的二阶双曲型方程及戴培良、沈树民的抛物型积分微分方程的变网格有限 元方法等我们在1 1 引言部分先引入了一个常规变换口= i t t ，得到了与原问题等价 的变分形式，在5 1 2 中引入驴投影，给出了问题的一种变网格有限元格式，在5 1 3 对提出的变网格有限元格式进行误差分析，应用微分方程先验估计的理论和技巧，得 到最佳阶l 2 模误差估计，由手氇在实际生产中也是非常重要的物理量，应用这种格 式在得到u 的误差估计的同时也得到了札t 的最佳阶工2 模误差估计1 4 给出一种 修正的变网格有限元格式，得到关于u 的最佳阶日1 模误差估计、关于“c 次优阶 模误差估计，且将时间的精确度提高一阶在1 5 给出一个算例，证明这种计算方法 是有效的 第二章研究了一类三维神经传播方程的变网格特征有限元方法二十世纪八十年 代初由d o u g l a s 2 1 2 2 】教授等对一类对流占优扩散方程提出了沿特征线的离散方法， 同时，o p i e o n n e a u 【2 “】也推导出了类似的方法，和传统的方法相比较，该方法沿 特征线截断误差小、能避免数值解发生震荡、计算格式简单且稳定、能对时间采用较 大时间步长进行计算、节省计算量【2 “2 2 珂“多年来不断得到发展与完善1 2 9 “3 2 1 我 在5 2 ，1 引言部分先引入了一个常规变换u = ：采用特征线法处理它的一阶双曲部 分可以达到较高的精度，在5 2 2 中对原问题提出了一种变网格特征有限元格式，并在 5 2 3 中给出该格式的误差分析应用微分方程先验估计的理论和技巧，得到关于u 和 c 的最佳阶工2 模误差估计在5 2 4 中针对一类更为复杂的神经传播方程，引入一个 变量，提出了变网格特征有限元新格式，经过细致的分析，得到了最佳阶工2 模误差 估计采用这一格式避免了普通的有限元法先逼近“再逼近札。造成的误差积累，同 样应用微分方程先验估计的理论和技巧，得到关于珏和m 的最佳阶l 2 模误差估计 第三章对三维神经传导问题采用交替方向变网格有限元方法和交替方向多步法进 行数值分析在各类工程技术领域中，要解决的实际问题其数学模型往往是高维大范 围的偏微分方程，用通常的有限元法或差分法离散所得到的代数方程组都是高阶的， 计算非常复杂，因此，研究对高维问题进行降维处理的数值方法有着非常重要的意义 d o u g l a s ，d u p o n t ! “j 首次将交替方向法和有限元法相结合，提出了交替方向有限元方 法，利用在原方程中加入扰动项将高维问题化为一系列简单的一维问题逐次求解，它 具有存储量少、计算量低、计算效率高等优点，并且它能达到与有限元一样的逼近度 在此基础上，d e n d y ，f a i r w e a t h e r ”“h a y e s 3 7 “3 8 】，王申林，孙淑英 4 0 “圳崔霞 等作了进一步的研究在第一章中我们考虑了这类方程的变网格有限元方法，在32 将交替方向有限元法和变网格方法结合，对三维神经传播方程构造了交替方向变网格 有限元格式，在这一节，为了逼近解能保持原有的物理性质且能够形成交替方向计算 格式，应用常规恒等变换技巧，使得方程能够进行交替方向计算，运用这种格式进行 误差分析，可以得到关于“和的最佳阶e 2 模误差估计多步法和分数步长法作 为高精度和计算效率高的数值方法，迄今为止已经有许多人在这万面做了研究工作： v i i s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n t h o m 6 e , “1 b r a m b l e “j 对线性抛物问题提出多步有限元格式，m i c h e l “1 g e o r g i o s 4 6 j 等对非线性抛物问题构造了隐显多步有限元格式，袁益让 4 7 、4 8 在油田勘探与开发及 半导体器件数值模拟中提出的分数步长特征差分格式，、a n e n k o h m a r c h u k ”j 的分 数步长法，b r a m b l e ，e w i n g 3 9 】对非线性抛物问题提出的交替方向多步法在5 3 3 利用 在第二节中的技巧，对三维神经传播方程构造了交替方向多步法格式，并进行了误差 分析，同样得到了关于u 和u 。的最佳阶l 2 模误差估计，并且将时间精确度提高至三 阶在5 3 4 中给出一个算例，证明本章所用数值方法的理论分析的正确性和有效性 计算格式简便，稳定，且容易实现，计算效率提高，适于大规模科学工程计算 第四章给出三维非线性抛物型积分微分方程的交替方向变网格有限元方法抛物 型积分微分方程在描述多孔介质中地下水的非局域反应运移问题、热传导问题 5 2 1 5 3 j 流体旁放射性核物质的衰变过程 5 4 】，物质有记忆的形变( 尤其是聚合物的形变) 阿半 导体模型及生物工艺学等实际问题中有广泛的应用，该模型是数学家、工程师和 生物学家们致力研究的跨学科领域对于这类问题数值方法的研究已经有：d o u g l a s t h o m 6 e 5 7 ”5 8 1 等人的有限差分法，t h o m e 5 9 “6 0 等人对线性问题的有限元法数值分 析对于不带时间积分项的抛物型微分方程，d o u g l a s 和d u p o n t 6 1 定义了一种非 线性日1 投影得到了最优的误差估计，但是对于方程中出现的时间积分项( 即、b l t e r r a 项) 采用用这类投影方法所得到误差估计只能达到次优阶，由林延平，c a n n o n ”“3 等首次定义r i t z v o l t e r r a 投影来做数值分析则有效的解决了这一问题，得到了最优的 误差估计，后由林延平，t h o m 6 e w a h l b i n 6 4 “6 5 】等对线性及非线性抛物型积分一微 分方程的不同边值问题又做了进一步的工作，戴培良，沈树民【2 0 】对该问题进行了变 网格有限元方法的数值分析，但是采用传统方法求解，往往工作量很大，崔霞蚓在 其文章中运用a d i g a l e r k i n 方法将求解该问题的方法由高维方程化为一系列一维 方程来求解，大大缩减了计算量，但是在解的峰值附近的精确度不是很高，胡齐芽【6 6 j 用配置法对该方程做了数值分析，虽然其配置解在粗网格结点集上有理想的多层外推 估计，但是这种方法不存在通常的误差估计在本章我运用交替方向变网格有限元方 法对这类方程进行了数值分析，在4 2 中通过引入粘性项提出了交替方向变网格有限 元格式，既降低了工作量，同时还提高了峰值附近的精度，在4 3 运用应用微分方程 先验估计的理论和技巧得到了最优的日- 模及驴模误差估计 第五章仍旧是对抛物型积分微分方程进行研究，采用向后e u l e r 差分有限体积 元法对该问题进行数值分析有限体积元法( 即广义差分法) 自1 9 8 2 年由李荣华教授 提出【“j 至今已经有了很大的发展 6 8 、6 9 】这种方法最大的优势就在于它可以很好的保 持质量守恒，这对于地下流体的计算是十分重要的有限体积元方法的基本思想是： 对求解区域做适当的剖分死及其对偶剖分霸然后构造n 上的试探函数空间“和 写上的检验函数空间i 在利用广义g a l e r k i n 方法的思想求试探函数空间c 上的近 似解“，在此基础上后人又做过许多工作：孪荣华、陈悼英等【7 “】作了三角形网格 上椭圆型方程的广义差分法，李潜、陈仲英m 73 】则将此方法推广到了抛物型方程，李 永海l “对四边形网格上的抛物方程做了广义差分法的数值分析，r k 。h a r e le r l j w h o v i i i s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n l j v s 对三角形网格抛物型积分微分方程做了半离散有限体积元法的研究，在本章 我用向后e u l e r 差分有限体积元法对该方程进行离散，三角形网格与四边形网格是两 种基本的分割空间的方法，在实践中使用哪一种网格，要根据空间区域的集合形状而 定，本章选用剖分比较简便的三角形网格来进行数值分析在5 j 2 引入r i t z v o l t e r r a 投影，对三角形网格上的方程提出了向后e u l e r 差分有限体积元格式，在晒3 推导出 最优的日1 模及工2 模误差估计，在最后一节给出一个数值算例，指明这种方法在实 际计算中是高效可行的 关键词：发展型方程，变网格有限元法，交替方向有限元法，有限体积元法，误 差估计 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n n u m e r i c a lm e t h o d sa n da n a i y s e sf o rt w o t y p e so fe v o l u t i o n e q u a t i o n s w a n gb o ( i n s t o fm a t h s y s s c i ，s h a n d o n gu n i v ，j i n a n2 5 0 1 0 0 】 a b s t r a c t t h e d e v e l o p m e n t o fm o d e r ns c i e n c ea n d t e c h n o l o g yi sg r e a t l yd e p e n d e n t o na c h i e v e m e n t a n dp r o g r e s so fp h y s i c s ，c h e m i s t r ya n d b i o l o g y w h i l ea c c u r a c yo ft h o s es u h j e c t si sa ni m p o r t a n tg u a r a n t e ef o rm a k i n gp r o g r e s s m a t h e m a t i c a lm o d e l s ( n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ) a r et h eb a s i so fa na c c u r a c yo ft h o s es u b j e c t s t h ep r o p o s e dd i s p o s a lo fn e u r v ec o n d u c t i o n e q u a t i o ni sa ni m p o r t a n tb i o m e d i c a lt o p i ca n dh a sd e e p l yi n f l u e n c eo nt h ed e v e l o p m e n to f e c o n o m i c sa n ds o c i e t y d e c i s i o n so nt h ef e a s i b i l i t ya n d s a f e t yo ft h ev a r i o u ss i t e sa n dd i s p o s a l m e t h o d sw i l lb eb a s e do nn u m e r i c a lm o d e k sf o rd e s c r i b i n gt h en e u r v ec o n d u c t i o ns i g n a lua n d i t s v a r i a b i l i t yw i t hr e s p e c tt ot i m ea n ds p a c ei np r o c e s so fn e u r v ec o n d u c t i o n t h er e s e a r c h o fn e u r v ec o n d u c t i o ne q u a t i o nh a sa ni m p o r t a n tg u i d i n gm e a n i n gf o rb i o m e d i c a la n dh e r e d i t a r yt o p i c m a t h e m a t i c a lf o r m u l a t i o n so ft h i sk i n do fp r o b l e ma l s oa r i s en a t u r a l l yi nv a r i o u s e n g i n e e r i n gm o d e l s s u c h a sn o n l o c a lr e a c t i v et r a n s p o r ti nu n d e r g r o u n dw a t e rf l o w si np o r o u s m e d i a ，h e a tc o n d u c t i o n ，r a d i o a c t i v en u c l e a rd e c a yi uf l u i df l o w s ，o rv i s c o e l a s t i cd e f o r m a t i o n s o fm a t e r i a l sw i t hm e m o r y ( o n p a r t i c u l a rp o l y m e r s ) s e m i c o n d u c t o rm o d e l l i n g ，a n db i o t e c h n o l o g yt h e r e f o r i ti sn e c e s s a r yt od e v e l o pt h es t u d i e sa l l - s i d e l l ya n dd e e p l ye i t h e rf r o mt h e t h e o r e t i c a lp o i n to fv i e wo rf 。r o mt h en u n l e r i c a la n a l y s i sa n dp r a c t i c a lp o i n to fv i e w t h et h e s i si sd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s w ew i l lc o n s i d e rn e u r v ec o n d u c t i o ne q u a t i o n w i t ht h em o v i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t h em e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c sw i t ht h em o v i n gf i - n i t ee l e m e n tm e t h o d a d g a l e r k i nm e t h o dw i t hm o v i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o da n da d m u l t i s t e pm e t h o di nt h ef o r m e rt h r e ec h a p t e r s w ea l s oc o n s i d e rt h ea d g a l e r k i nm e t h o d w i t hm o v i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dt h ef i n i t ev o l u m em e t h o df o rt h en o n l i n e a rp a r a b o l i c i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o ni nt h el a t e rt w oc h a p t e r s i nc h a p t e ri ，w ec o n s i d e rt h e2 - d i m e n s i o n a ln e u r v ec o n d u c t i o n e q u a t i o nw i t ht h em o v i n g f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( m f e m ) i np r o c e s so fn e u r v ec o n d u c t i o n n e u r v ec o n d u c t i o ns i g n a l “a n di t sv a r i a b i l i t yw i t hr e s p e c tt ot i m ea n ds p a c ec a l lb ec h a r a c t e r e dac l a s so fn o n l i n e a r p s e u d o h y p e r b o l i ce q u a t i o ni nm a t h e m a t i c s t h i sk i n do fm o d e lw a sp r o p o s e db yn a g u l n o 1 | a n dp a o 2 划a r i m a h a s e g a w a 5 】a n dy a m a g u t i s g a v es o l n ef l l r t h e rs t u d ya n de x t e n s i o nf o r t h en u m e r i c a lm o d e r g p o l i c e h nw e i m i n ga n dl i u y a c h e n g 【? 剐h a v eg i v e ns o l n er e s u l t s a b o u tt h eu n i q u e n e s sa n de x i s t e n c e a n dt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o u st o rt h i sc l a s s n e wn o n l i n e a re v o l u t i o ne q n a t i o n t h e s ew o r k sp r o v i d et b ru st h et h d ) r e t i c a lf o u n d a t i ) 1 1 8 o f i n l l n e r i c a ls i m u l a t i o no fn e u r v ec o n d u c t i o ns i g n a la n dj t s v a r i a b i l i t yw i t hr e s p e c tt ot i m p s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n a n ds p a c e t h e r ei sn on u m e r i c a la n a l y s i sw o r ko fm f e m 3 5 a h n o s ta l lo ft h er e s e a r c h e s o fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eb e e nd o n eo i lf i x e dm e s h e s i nr e c e n ty e a r s m o v i n g g r i dh a sb e e ni n u s ef o ri t s e a s i l ya d a p t i n gq u a l i t yf o r v a r i o u ss i t u a t i o n s i tc a nc h a n g e g r i dw h e nt h es p e c i f i cc o m p u t a t i o nr e q u i r e s w ea d o p td i f f e r e n t f i n i t ee l e m e n tg r i d sf o r d i f f e r e n td o m a i na r e a i nr a p i dc h a n g i n ga r e a w eu s ef i n eg r i d s a n dt h eg r i d sc h a n g i n gw i t h t i m e u s ed i f f e r e n tn e t w o r k sa td i f f e r e n tt i m el a y e r s t h i sk i n do fm e t h o dp r o v e st ob ev e r y u s e f u li nm a n yr e a l i s t i cc o m p u t a t i o n r b o n n e r o ta n dpj a m e t 恻p r o p o s e dt h es p a c e - t i m e f i n i t ee l e m e n tm e t h o di n1 9 7 4 w h i c hi sav e r yu s e f u lf i n i t ee l e m e n tm e t h o dw i t hm o v i n g g r i d p j a m e t 1 0 1 p r o v e dt h eo p t i m a le r r o re s t i m a t e si nd i f f e r e n c em e t h o d s b u t i tc a n n o t b ee x t e n d e dt og e n e r a lc a s e s t h ee a r l i e s tw o r ko na d a p t i v em e t h o d s ，b a s e d0 nm o v i n g f e i v lw a sd o n eb ym i l l e r 【“1 2 】y u a ny i r a n g 【1 3 “1 4 】p r o p o s e dm o v i n gf e mf o rt w o - p h a s e i n c o m p r e s s i b l ed i s p l a c e m e n ti np o r o u sm e d i a l i a n gg u o p i n g 1 s l s p u tf o r w a r dm o v i n g f e mf o rp a r a b o l i ce q u a t i o n b e s i d e s t h e r ea r em f e mf o ro t h e rt y p e so fe q u a t i o n s ，s u c h a sh y p e r b o l i ce q u a t i o n 1 9 】p a r a b o l i ci n t e g r a l - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n 2 0 1a n ds oo n i n 1 1 ，w e o b t a i nac l a s so fe q u a t i o ne q u i v a l e n tt o ( 1 1 1 ) b yu s i n gg e n e r a lt r a n s f o r m a t i o n ”= n t i n 1 2 m f e mw i t hm o v i n gm e s hi se s t a b l i s h e d i n 1 3 u s i n gt h et h e o r ya n dt e c h n i q u eo f p a r t i a ld i i r e r e n t i a l w eo b t a i n e dt h eo p t i m a ll 2e r r o re s t i m a t e so ft h em f e m b e c a u s e l qi s a ni m p o r t a n tp h y s i c a lp a r a m e t e r ，u s i n gg e n e r a lt r a n s f o r m a t i o n w ec a no b t a i nt h eo p t i m a l l 2e r r o re s t i m a t e sf o ru t am o d i f i e dm f e mi sg i v e na n da n a l y z e di n 1 4 ，u s i n gt h et h e o r y a n dt e c h n i q u eo fp o r t i a ld i f f e r e n t i a l w eo b t a i nt h eo p t i m a l 日1e r r o re s t i m a t e sf o rua n dt h e s u b o p t i m a ll 2e r r o re s t i m a t e sf o ru t a n di m p r o v ea c c u r a c yo nt h et e m p o r a ld i r e c t i o nt o o ( ( a t ) 2 ) i n5 1 5 ，w ep r e s e n tan u m e r i c a le x p e r i m e n t a n dt h en u m e r i c a lr e s u l t sc o n f i r m o u r c o n c l u s i o n i nc h a p t e ri i c o m b i n i n gt h em e t h o do fc h a r a c t e i s t i c sw i t ht h em o v i n gf i n i t ee l e n l e n t m e t h o d w ec o n s i d e rt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no ft h e3 - d i m e n s i o n a ln e u r v ec o n d u c t i o ne q u a t i o n t n1 9 8 0 s d o u g l a s 【2 1 “2 2 lc o m b i n e dt h em e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c sw i t hf i n i t ee l e m e n t a n df i n i t ed i f f e r e n c et oa n a l y z ec o n v e c t i o n - d o u f i n a t e dd i f f n s i o np r o b l e m s a n da tt h es a a l l e t i m e 0 p i e o n n e a u 2 a “2 a a l s oo b t a i n e dt h es a m er e s u l t c o m p a r e dw i t ht h es t a n d a r dm e t h o d s ，c h a r a c t e r i s t i cm e t h o d sc a na v o i dn o n p h y s i c a l o s c i l l a t i o n st ot h en u m e r i c a ls o l u t i o n s m a k et h ep r o c e d u r es i m p l e h a v es m a n e rt i m e - t r u n c a t i o ne r r o r s u s el o n g e rt i m es t e p sw i t h n 0l o s so fa c c u r a c y 2 1 、2 2 2 7 “2 s 1i nr e c e n ty e a r s i th a sb e e ng i v e ns o m ef u r t h e rs t u d ya n d e x t e n s i o n l 2 9 a 2 i n 2 1 w e g i v ea g e n e r a l t r a n s f o r m a t i o nu = “f u s i n g c h a r a c t e r i s t i c s m e t h - o d st ot r e a tt h eh y p e r b o l i cp a r t so fc o n c e n t r a t i o ne q u a t i o n w ew i l lo b t a i n e dh i g ha c c u r a c y c h a r a c t e r i s t i c se l e m e n tm e t h o d sw i t hm o v i n g g r i da r eg i v e ni n 2 2 i n 2 3 ，u s i n gt h et h e o r y a n d t e c h n i q u e o f p a r t i a ld i f f e r e u t i a l w eo b t a i n e dt i l eo p t i m a ll 2e r r o re s t i m a t e sf o rua n d l l t an e wc h a r a c t e r i s t i c se l e m e n tm e t h o d sw i t hn l o v i n gg r i d ；u eg i v e ni n 2 4t ot r e a tt h en l o r e c o m p l e xac l a s so fg e n e r a l i z e du e l l r v ec o n d u c t i o ne q u a t i o n t h i ss c h e m ea v o i da r i s i n gt w o t i m e se r r o rb yu s i n gc o n l u l o ne l e m e n tm e t h o dt oa p p r o x i n l a t e a tf i r s t t h e nt oa p p r o x i m a t e i i s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n u t u s i n gt h et h e o r ya n dt e c h n i q u eo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l w eo b t a i n e dt h eo p t i m a l 三2e r r o r e s t i m a t e sf o rua n d u t i nc h a p t e ri i i t h ea ，d g a l e r k i nm e t h o dw i t hm o v i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o da n d a d m u l t i s t e pm e t h o da r ep u tf o r w a r dt ot h e3 - d i m e n s i o n a ln e u r v ec o n d u c t i o ne q u a t i o n f o rt h el a r g es c a l es c i e n c ea n de n g i n e e r i n gc a l c u l a t i o n ，t h e i rn u m e r i c a lm o d e l sa r eu s u a l l y m u l t i d i m e n s i o n a l p r o b l e m s ，t h ec a l c u l a t i n gw o r k sa r ev e r yh e a v y , s o i ti sd i f f i c u l ta n dc o m p l e x t oc o m p u t e i n1 9 7 0 s d o u g l a s d u p o n t 【3 4 jf i r s tc o m b i n e dt h ea l t e r n a t i n gd i r e c t i o nm e t h o d s w i t hf i n i t ee l e m e n tm e t h o d st h a th a v et h ev i r t u e so fa l t e r n a t i n gd i r e c t i o nm e t h o d sa n df i n i t e e l e m e n tm e t h o d s b a s e do ut h i sw o r k ，d e n d yf a i r w e a t h e r 3 5 3 6 | ，h a y e sj a r a s ，w a n gs h e n l i n a n ds u n s h u y i n g1 4 0 “4 1 1 ，c u ix i a 4 2 1g i v es o m ef u r t h e rs t u d y a l t e r n a t i n g - d i r e c t i o n c a ni i l a k e u 8t os o l v el a r g em a t r i c e sw h i c hm u s tb ei n v e r t e da te a c ht i m es t e po ft h es o l u t i o np r o c e s s a r ei n d e p e n d e n to ft i m ea n dr e q u i r eo n l yo n ed e c o m p o s i t i o n ，t h es t o r a g er e q u i r e m e n tc a l l b eq u i t el o w i nc h a p t e ri ，w eh a v eg i v e nm f e mf o rt h e2 - d i m e n s i o n a ln e u r v ec o n d u c t i o n e q u a t i o n ，i n 3 2 ，t h ea d g a l e r k i nm e t h o dw i t hm o v i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o di sp u tf o r w a r d t ot h e3 - d i m e n s i o n a ln e u r v ec o n d u c t i o n e q u a t i o n i no r d e rt od e r i v et h en u m e r i c a ls o l u t i o no f c o n f o r m i n g t or e a l i t ya n d k e e p i n g t h ei n t r i n s i c p h y s i c a lp r o p e r t y , w ea p p l y ak i n d o f e q u i v a l e n t t r a n s f o r m a t i o n ，w h i c hm a k et h ep r o b l e mt ob es o l v e db ya l t e r n a t i n gd i r e c t i o nf i n i t ee l e m e n t m e t h o d a tl a s t ，o p t i m a ll 2e r r o re s t i m a t e sf o rua n dn ta r eo b t a i n e d m u l t i s t e pm e t h o d ( t h ef i n i t ee l e m e n t ，d i f f e r e n c em e t h o d ) a n dt h em e t h o do ff r a c t i o n a ls t e p sa r eh i g ha c c u r a c y a n de f f i c i e n c yn u m e r i c a lm e t h o d t h e r ea r em a n yt h e o r i a t i c a la n dp r a c t i c a lr e s u l t sa b o u t t h