（原子与分子物理专业论文）二维圆环弹子球体系的量子谱分析.pdf

山东师范大学硕士学位论文 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 张彬乡 ，、 导师签字： 学位论文版权使用授权书 乡反忿 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权堂 垃可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：导师签字： ；蟊媳 签字日期：2 0 0 9 年印月t 口日签字日期：2 0 0 3 年争月c 7 日 山东师范大学硕士学位论文 二维圆环弹子球体系的量子谱分析 中文摘要 在量子力学中有很多不同的半经典计算工具，利用它们我们可以更好的了解 介于经典和量子力学之间的一些体系的有关问题。自从g u t z w i l l e r 对混沌体系提 出的周期轨道理论以来，周期轨道理论已经成为人们研究定态体系的量子谱和所 对应粒子经典运动的关系的半经典主要工具之一。对可积和混沌体系运动行为的 经典力学和量子力学之间关系的研究一直延续不断。用半经典的方法来研究粒子 经典运动已成为处理某些量子问题必不可少的工具。对于体系的量子描述和经典 描述的对应关系，周期轨道理论也给出了深层次的解释。 近年来，随着人造原子( 量子阱) 的研究，纳米技术越来越受到人们的青睐， 微腔结构及其输运问题成为人们的热门话题。微腔输运性质的研究可以采用弹子 球( 又叫量子台球) 作为模型，在研究动力学性质特别是量子混沌中，这种模型已经 证明是很有意义的，在理论和实验上都有很好的发展前景。 早期的量子力学中，半经典技术给出的嘞( w e n t z e l ，k r a m e r s b r i l l o u i n ) 量 子化方法和e b k ( e i n s t e i n b r i l l o u i n k e l l e r ) 量子化方法，这两种方法分别适用于 一维体系和n 个自由度的体系。但是，这些半经典量子化方法仅适用于可积体系。 g u t z w i l l e r 从格林函数迹的精确量子表达式出发，用格林函数的半经典近似代替它 的量子形式，应用稳定相近似得到态密度的半经典表达式。g u t z w i l l e r 的半经典迹 公式适用于完全混沌的体系。这些方法有利于我们提高对一个体系经典与量子性 质，以及它们之间相互作用的认识。 本文应用周期轨道理论，运用量子谱函数，这种量子谱函数的傅利叶变换包 含了体系许多经典轨道的信息。以二维无限深圆环势阱为例，利用它们的能量本 征值和本征函数，用态密度公式，计算周期轨道的情况下，量子能态密度的傅立 i r i - 3 f j ( i 鬯p ( l ) 。在i p ( l ) 1 2 随三变化的函数图像中得n t - - 系列的峰，量子峰的位置 与用经典方法得到的轨道长度符合得很好，这不但说明了周期轨道理论的正确性， 还给出了量子描述和经典描述精确符合的例子。 本文所研究的体系圆环与其它体系( 如圆、正方形等) 最大不同就是：它有 r 一个可变的参数2 亡，内圆不同体系的性质有也不同。通过比较外圆相同内圆 山东师范大学硕士学位论文 不同的体系的量子谱以及圆环与圆这两种相近体系的量子谱，我们发现了一些有 用的信息。 论文共分为四章。第一章为综述，从总体上介绍了半经典理论的要点及其发 展。第二章介绍了周期轨道理论。第三章专门研究圆环无限深势阱体系的弹子球 运动，应用周期轨道理论，寻求它们的经典描述和量子描述之间的关系，以及它 们之间的对应关系，并把所得到的结果进行比较，发现量子谱峰的位置与经典轨 道的长度在误差允许的范围内符合得很好。从这个体系可以看出半经典理论为经 典和量子力学提供了很好的桥梁作用。最后一章是本文的结论和对将来工作的展 望结果。 近年来随着实验技术的提高，量子经典相互作用的研究逐渐成为一个重 要的课题。晶体生长技术和光刻技术的发展，使得纳米器件的生产成为可能。在 纳米器件中，通过控制门电压可以控制电子的运动，这就是量子弹子球体系在实 验中的实现。本文的讨论对于实验研究有一定参考价值。 关键词：周期轨道理论，圆环弹子球体系，傅立叶变换谱，量子谱函数，量子经 典之间的对应 分类号：0 5 6 2 3 2 山东师范大学硕士学位论文 q u a n t u ms p e c t r a la n a l y s i so ft w o - d i m e n s i o n a la n n u l a rb i l l i a r d s a b s t r a c t s y s t e m s t h e r ee x i s taw i d ev a r i e t yo fs e m i c l a s s i c a lc a l c u l a t i n g l yt o o l si nq u a n t u m m e c h a n i c sw h i c hh e l pt om a k ec l e a rt h es u b s t a n t i a lo v e r l a pb e t w e e nt h ec l a s s i c a la n d q u a n t u mm e c h a n i c a ld c s c r i p t i o n so f a s y s t e m 。s i n c et h ep e r i o d i co r b i t ( p o ) t h e o r y f o r c h a o t i cs y s t e m si sd e v e l o p e db yg u t z w i l l e r , i ti sr a p i d l yb e c o m i n go n eo ft h em o s t u s e f u ls e m i c l a s s i c a lt o o l so ft h es t u d yo ft h ec o n n e c t i o n sb e t w e e nt h eq u a n t i z e d e n e r g ye i g e n v a l u e so fab o u n ds t a t ea n dt h ec l a s s i c a lm o t i o n sf o rt h ec o r r e s p o n d i n g p o i n tp a r t i c l e t h es t u d yo fi n t e g r a b e la n dc h a o t i ci n t e r f a c ec o n t i n u eb e t w e e nc l a s s i c a l m e c h a n i c sa n dq u a n t u mm e c h a n i c s t h es e m i c l a s s i c a lm e t h o dh a sb e c o m ea n e c e s s a r yi n s t r u m e n tt os t u d yt h e c l a s s i c a lm o v e m e n to ft h ep a r t i c l e f o rt h e c o r r e s p o n d i n gc o n n e c t i o no ft h es y s t e m sb e t w e e nq u a n t u ma n dc l a s s i c a ld e s c r i p t i o n ， t h et h e o r yh a sg i v e nad e e p e re x p l a n a t i o n i nr e c e n t l yy e a r st h es t u d yo f a r t i f i c i a la t o m s ( q u a n t u mw e l da n dn a n o d e v i c e s h a sb e e no fg r e a ti n t e r e s ti nt h er e l a t i v e l yn e wf i e l d t h es t u d yo fm i c r o j u n c t i o n sa n d t h e i rt r a n s p o r tb e h a v i o r sh a v eb e c o m ea ni m p o r t a n tf i e l d t h em o d e l sh a v eb e c o m e i n c r e a s i n g l yi n t e r e s t i n ga n di m p o r t a n ta n dw i l ld e v e l o p m e n tv e r yw e l li nt h e o r ya n d e x p e r i m e n td u r i n gt os t u d yt h ed y n a m i cc h a r a c t e ra n de s p e c i a l l yq u a n t u m c h a o s i nt h e e a r l yq u a n t u mm e c h a n i c s ，t h eq u a n t i z e d m e t h o do fw k b ( w e n t z e l - k r a m e r s b r i l l o u i n ) a n d e b k ( e i n s t e i n - b r i l l o u i n k e l l e r ) p r e s e n t e db y s e m i c l a s s i c a lt e c h n o l o g ya r ea p p l yr e s p e c t i v ei no n e d i m e n s i o na n dn d i m e n s i o n s b u ts e m i c l a s s i c a lq u a n t i z e dm e t h o d sa r ea p p l i c a b l ei ni n t e g r a b e ls y s t e m g u t z e i l l e r s t a r t e df r o mt h ee x a c te x p r e s s i o no ft r a c eo fg r e e nf u n c t i o ni n s t e a do fi t sq u a n t i z e d f o r m ，a n dg a i n e dt h es t a t e dd e n s i t yo fs e m i c l a s s i c a ls y s t e m w h i c hm a d et h e s e m i c l a s s i c a lf o r mo fg u t z w i l l e rw e r ep e r f e c t l ya p p l i e di nc o m p l e t ec h a o ss y s t e m s i nq u a n t u mm e c h a n i c st h e r ea r ek i n d so fs e m i c l a s s i c a lc a l c u l a t i n g l ym e a n s w h i c h m a yh e l pu st ou n d e r s t a n dt h ei n t e r f a c eb e t w e e nc l a s s i c a la n dq u a n t u m w eu s eaq u a n t u ms p e c t r a lf u n c t i o nw h i c hc o n t a i nr i c hi n f o r m a t i o no fc l a s s i c a l 1 山东师范大学硕士学位论文 o r b i t si nw e l l w es t u d yt h ec o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nq u a n t u ms p e c t r aa n dc l a s s i c a l o r b i t si nt h ea n n u l a r t w o - d i m e n s i o n a lb i l l i a r d s y s t e m sh a v ep r o v i d e de a s i l y v i s u a l i z a t i o ne x a m p l e sr e l e v a n tf o rb o t ht y p e so f a n a l y s e s a sas i m p l ee x a m p l eo f t h e a p p l i c a t i o nt oab i l l i a r do ri n f i n i t ew e l ls y s t e mo fp e r i o d i co r b i tt h e o r yw ec o m p u t e t h ef o u r i e rt r a n s f o r m ( 户( 三) ) o ft h eq u a n t u mm e c h a n i c a le n e r g yl e v e ld e n s i t yo f 觚。d i m e n s l 。h a la n n u l a rb i l l i a r ds y s t e m s t h er e s u l t i n gp e a k si np 1 0 t s 。fl p ( 三) f 2 v e r s u sla r ec o m p a r e dt ot h el e n g t h so ft h ec l a s s i c a lt r a je c t o r i e si nt h e s eg e o m e t r i e s t h el o c a t i o n so fp e a k si n p ( l ) a g r e ew i t ht h el e n g t h so fc l a s s i c a lo r b i t sp e r f e c t l y , w h i c ht e s t i f i e st h ec o r r e s p o n d e n c eo fq u a n t u mm e c h a n i c sa n dc l a s s i c a lm e c h a n i c s w ef r e dt h a tt h ep e a kp o s i t i o n si nt h ef o u r i e r - t r a n s f o r m e dq u a n t u ms p e c t r am a t c h a c c u r a t e l yw i t ht h el e n g t h so ft h ec l a s s i c a l 舡t h ep 绷e t e r ( i n 锄sc a s e 厂= i r i n ) i sc 。n t i n u 。u s l yv 撕e d ，t h es y s t e m 。f a n n u l a ri sl a r g e l yd i f f e r e n tf r o mo t h e rs y s t e m s p r o v i d i n gt h eo u t e rc i r c u l a ri ss a l t l e a n di n n e rc i r c u l a rc h a n g e s ，w ec o m p a r et h eq u a n t u ms p e c t r ao fd i f f e r e n ts y s t e m si n t h i sp a p e r w ea l s oc o m p a r et h eq u a n t u ms p e c t r ao fc i r c u l a rs y s t e ma n da n n u l a r s y s t e mi nt h i sp a p e r i ti ss u r p r i s i n gf o ru st h a tv a l u a b l es o m e t h i n ga p p e a r s t h i st h e s i si sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri ss u m m a r i z a t i o n ， w h i c hb r i e f l yi n t r o d u c e st h ed e v e l o p m e n to fs e m i c l a s s i c a lp e r i o do r b i tt h e o r y i nt h e s e c o n dc h a p t e rw ei n t r o d u c e dt h ep e r i o do r b i t st h e o r y i nt h et h i r dc h a p t e r , w es t u d y t h ec o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nq u a n t u ms p e c t r aa n dc l a s s i c a lo r b i t si nt h ea n n u l a r b i l l i a r db ya p p l y i n gt h ea n a l y t i ca n dn u m e r i c a lm e t h o d t h el o c a t i o n so fp e a k si n p ( l ) a g r e ew i t ht h el e n g t h so fc l a s s i c a lo r b i t sp e r f e c t l y i nt h el a s tc h a p t e ra r et h e c o n c l u s i o n so fo u rs t u d ya n dp l a ni nt h ef u t u r e t h i se x a m p l e ss h o we v i d e n t l yt h a t s e m i c l a s s i c a lm e t h o d sp r o v i d e sa b r i d g eb e t w e e nq u a n t u m a n dc l a s s i c a lm e c h a n i c s w i t ht h ed e v e l o p m e n to fm o d e me x p e r i m e n t a lt e c h n i q u e s ，t h es t u d yo ft h e c l a s s i c a l - q u a n t u mi n t e r f a c eh a sb e c o m ea ni m p o r t a n ts u b je c t a d v a n c e si nc r y s t a l g r o w t ha n dl i t h o g r a p h i ct e c h n i q u e sh a v em a d ei tp o s s i b l et op r o d u c ev e r ys m a l la n d c l e a nd e v i c e s ，k n o w na sn a n o d e v i c e s t h ee l e c t r o n si ns u c hd e v i c e st h r o u g hg a t e 4 山东师范大学硕士学位论文 v o l t a g ea r ec o n f i n e dt oo n eo rt w os p a t i a ld i m e n s i o n st h e ns h o u l db er e g a r d e da sa n e x p e r i m e n t a lr e a l i z a t i o no faq u a n t u mb i l l i a r d o u rr e s u l t sp o s s e s sa ni m p o r t a n t i n s i g h tf o re x p e r i m e n tr e s e a r c h k e y w o r d s ：t h e p e r i o d i c o r b i t s t h e o r y , a n n u l a rb i l l i a r d s y s t e m ， f o u r i e r - t r a n s f o r m e ds p e c t r a , q u a n t u ms p e c t r af u n c t i o n ，c o r r e s p o n d e n c eb e t w e e n q u a n t u ma n dc l a s s i c a l c l a s s i f i c a t i o n ：0 5 6 2 3 5 山东师范大学硕士学位论文 第一章综述 1 ，1 半经典理论复苏和发展 自从上个世纪初量子力学诞生以来，量子力学的方法和计算技术已经成为原 子和分子体系中精确计算的强大工具。量子计算的结果和实验测量结果的精确的 符合已经消除了人们对量子力学基本概念的任何质疑，直到今天量子力学仍然是 人们解决微观体系的精确理论。尽管如此，在过去的几十年里，半经典理论已经 引起了人们越来越多的兴趣。半经典理论的复苏主要有以下两个方面的原因： 首先，在应用量子力学的方法解决多维的不可积体系时，需要进行大量的数 值计算( 虽然通过可以选取合适的基矢，优化哈密顿量，但对角化哈密顿量时的 计算量仍然十分庞大) ，然而这些数值计算的结果对于我们了解体系的动力学性 质的作用甚微。应用半经典方法可以很好的解释实验上或应用量子力学方法计算 得到的数据，这种半经典的解释方法对于我们了解体系的动力学性质起到了重要 的作用。第二，微观体系中量子力学和宏观世界中的经典力学的对应关系一直是 人们十分感兴趣的一个问题，了解这种对应关系对人们更深的理解自然的本质有 着重要的作用。例如：1 9 8 6 年德国的( b i e l e f e l d ) 大学的威尔格( w e l g e ) 教授首次 用h 原子作实验时发现了回归谱的例子。在电离阈附近，氢原子的吸收谱出现振 荡，变为许多振荡项的叠加。如果把能量的分辨率提高很多倍之后，电离阈附近 的振荡项会突然消失，测到的吸收谱简直就像噪音一样，如图1 1 1 - 2 1 0 但是当 把吸收谱作为能量的函数通过傅立叶变换而变为时间的函数时，可以看到，在很 多分离时间标度上，变换后的函数都有尖峰，一个振荡峰对应着一条稳定的半经 典闭合轨道，如图1 2 。其实早在6 0 年代末，古茨维乐g u t z w i l l e r 以及法国的b a l i a n 和b l o c k z 早就指出正是周期经典轨道使得量子系的态密度发生振荡 3 1 。 在早期的量子力学中，经典力学和量子力学的对应关系非常明显，半经典 技术给出的w k b 量子化方法和e b k 4 - 6 3 量子化方法分别应用于一维体系和胛个自由 度的体系。但是，这些半经典量子化方法仅适用于可积体系。在非可积体系中 k a m p 吨 环面被破坏，体系的本征态不能通过一套量子数来表示。a l b e r te i n s t e i n 早在1 9 1 7 年就曾经指出h 1 ，用这些半经典量子化方法不可能对混沌的体系进行量 子化。由于旧的量子理论在描述复杂体系的失败，而波动力学的发展和成功，人 7 山东师范大学硕士学位论文 们在后来的几十年里并没有对半经典理论引起足够的重视，特别是对于混沌体系 来说，波包动力学和经典动力学的对应关系一直是一个有待于探索的问题。 半经典闭合轨道或周期轨道理论一般是在相应体系经典动力学或者混沌或 者可积或者具有较多的对称性的情况下得出的。当系统参数的改变使得其经典行 为既不是混沌又不是可积的，而是处于更加复杂的混沌和规则混合的状态时，闭 合轨道不是完全在这些参量值点上，谱表现出发散趋势，产生聚焦效应，闭合轨 道理论需要修正。因为半经典闭合轨道理论公式推导中采用了两个近似条件：( 1 ) 返回的入射波函数近似为从无穷远处出发，沿返回角秒，方向而来的旋转柱对称 的零能库仑波。( 2 ) 毗邻的闭合轨道可以分辨，彼此独立，不发生相干。而在发 散点附近，闭合轨道周围许多毗邻轨道形成一个尖端结构，轨道不再独立，返回 入射波函数会变成无限大，半经典闭合轨道理论不再适用，这就是焦点奇异造成 的发散。这种现象在物理的其他领域也是很常见到的。 图1 1h 原子在强度为b = 5 9 6 t 的磁场中的光吸收谱。 一翳_一嚣，奈ko一一埘一螂， 山东师范大学硕士学位论文 撕 麓 o a j i - - 扭 图1 - 2 吸收谱的傅立叶变换图。每一个峰位与一个闭合轨道的运动时间相对应。 1 2 周期轨道理论 1 9 6 7 年，m a r t i n c g u t z w i l l e r 重新研究了这个问题。由于对混沌体系的 分立的本征态进行量子化是不可能的，g u t z w i l l e r 给出了一个态密度的半经典公 式，他从格林函数迹的精确的量子表达式出发，用格林函数的半经典近似代替它 的量子形式，应用稳定相近似得到态密度的半经典表达式，式中包括一个平滑项 ( w e y l 项) 和一个包含了对应经典体系的所有周期轨道振荡求和项。g u t z w i l l e r 的理论通常又被称为周期轨道理论 9 - - 1 2 1 态密度是量子概念，轨道作用量是经典 概念，“g u t z w i l l e r 迹公式提供了联系量子性质和经典性质的唯一桥梁”。 g u t z w il l e r 的半经典迹公式适用于完全混沌的体系，在这些体系中的周期轨道是 分立并且是不稳定的。 对于可积体系来说，b e r r y 和t a b o r “3 _ 埔给出了一个类似与g u t z w i l l e r 迹公 式的态密度的半经典表达式，同样是把态密度表示成周期轨道求和的形式，因此 被称为可积体系中的周期轨道理论。b e r r y t a b o r 的迹公式与e b k 环面量子化在形 式上是等价的，该公式还可以推广到近可积体系。 现实的体系通常既不是可积的又不是完全混沌的，而是混合体系。这些混合 体系中周期轨道( 闭合轨道) 可能含有分岔，在分岔点处它们既不是分立的，又 不属于相空间中的一个规则环面。g u t z w i l l e r 的迹公式b e r r y t a b o r 的迹公式的 振幅在分岔点附近都变得发散，就是说这两个公式在分岔点附近不再适用。 周期轨道理论受到人们的普遍重视是在闭合轨道理论提出以后，因为对于原 9 山东师范大学硕士学位论文 子、分子或其他体系，实际出现的是闭合轨道而不是周期轨道。1 9 8 8 年，杜孟利 和j b d e l o s 等人在g u t z w ill e t 周期轨道理论基础上采用格林函数和库仑散射 方法提出了半经典闭合轨道理论，并以磁场中的氢原子为例，给出了清晰的理论 推导和物理图像的描述n 引。作为周期轨道理论的修正和改进，闭合轨道理论由 于具有物理图像清晰，应用范围广泛等特点，成为人们解决原子或离子在强外场 中的光吸收现象的主要工具，成为实现联结经典理论和量子理论的重要桥梁。应 用闭合轨道理论的统一近似方法不但能处理分岔点附近的振幅发散问题 8 - 2 0 还 能够处理“鬼轨道 的问题啪吨引。 对于分立的周期轨道应用g u t z w i l l e r 的迹公式，对于规则的环面应用 b e r r y t a b o r 的迹公式，当处理分叉问题和“鬼轨道”问题时应用闭合轨道理论 统一近似方法，原则上对于混沌、可积和混合体系，我们都可以应用半经典方法 来处理。 1 3二维量子弹子球体系的特点和研究进展 自从混沌动力学出现以来，弹子球问题一直是人们研究混沌和规则行为的典 型例子。近二十年来，人造原子( 量子阱) 和纳米器件逐渐成为当前的热门课题， 研究这些微腔结构及其输运问题对于新一代计算机的研制将产生重大的影响。量 子弹子球( 特别是二维弹子球) 作为这些研究的理论模型成为人们感兴趣的一个 体系。假设一个自由点粒子完全限制在一个固定的区域内，粒子的运动完全由薛 定谔方程和狄拉克边界条件来描述，且粒子与边界的碰撞为完全弹性碰撞。如果 这个弹子球体系的边界条件不随时间变化，且边界之间是可以完全分离的，那么 这个弹子球体系是可积体系。 量子弹子球体系介于宏观和微观，可以假想为一个非常小的台球桌，一百个 这样的球桌才有一个针尖的大小，制造这样一个又光滑又平整的微器件需要很高 的精度。弹子球以每秒钟几百米的速度射到体系中并和球桌发生完全弹性碰撞， 在与壁碰撞过程中完全符合反射定律，碰完之后，弹子球沿直线传播，直到最后 进入桌洞中。 我们把电子看作入射的弹子球，众所周知，电子在直线导线中的运动并不是 完全的直线运动。金属导线中的杂质把电子反射到各个方向，因此电子在导线中 1 0 山东师范大学硕士学位论文 的运动变得完全不可预测。一种标度杂质对电子影响的物理量叫做自由程，这是 电子在与杂质发生碰撞之前运动的主要路径。在所研究的问题中，电子的自由程 要远远大于弹子球台大小，因此它在球台上的运动是完全自由的。 对于实验方面来说，晶体生长技术和光刻技术的发展，使得纳米器件的生产 成为可能瞳引。在纳米器件中，通过控制门电压可以控制电子的运动，这就是量子 弹子球体系在实验中的实现。人们应用微腔( 构造任意形状的二维弹子球体系) 的能级结构和统计数字来探测和检验理论的正确性，并得到体系混沌行为的统计 数据。根据这些微观器件电导波动性的测量数据，检验理论得到弹子球体系的能 谱的频率特性。最近几年来，通过激光构造任意形状的二维弹子球体系限定超冷 原子，就是原子光学弹子球体系的实现心6 0 电子器件已成为半导体制造业中一种高精的技术，制造这种器件是要使电子 的平均自由程变得很大，需要尽量提高半导体材料的纯度，为了达到这个目的， 人们最常用的是所谓的分子束生长技术。晶体在一定的时间内畏成一层原子，在 这一层内的原子格点完全被填满。由于这个过程是在原子尺度下进行的，因此我 们在晶体中改变这一层的原子组成是可能的。通过分子生长技术畏成的晶体就相 当于我们弹子球体系的台球桌，虽然不是特别的光滑，但是相当的平整。 在量子力学中，存在着各种各样的半经典的计算方法，这些方法有利于我们 提高对一个体系经典与量子性质，以及它们之间实质性质交迭的认识。对于上面 提到的两种半经典理论，二维弹子球体系给出了非常直观的例子，r w r o b i n e t t 等人已经利用周期轨道理论做了大量的工作瞳6 - - 3 0 3 。 在本文中选取二维圆环体系的无限深势阱体系，弹子台球的本征波函数是由 第一类贝塞耳函数和第二类贝塞耳函数共同构成的，它们可以给出精确的数值 解。应用周期轨道理论，我们应用几何的方法详细的给出了经典轨道的信息( 形 状、轨道长度) ，并把这些轨道和体系的傅立叶变换的量子谱的峰值一一对照。 结果发现量子谱的峰位置与经典轨道的长度在误差允许的范围内符合的很好。我 们把外圆相同、内圆不同的体系做了量子谱的对比，又对圆形体系和圆环体系做 了对比，结果许多新的信息。从我们的研究可以再次证明周期轨道理论的正确性 d 卜3 5 | ，也可以看出半经典理论为经典和量子力学提供了很好的桥梁作用。 山东师范大学硕士学位论文 第二章：周期轨道理论 a l b e r te i n s t e i n 早在1 9 1 7 年就曾经指出“1 ，用当时的物理方法不可能对混 沌的体系进行量子化。这虽然是量子力学发展以来长期存在的一个巨大问题，但 一直被人们所忽略，甚至当氦原子被证明是一个经典的混沌体系，刖门也没有引 起足够的重视。1 9 6 7 年，m a r t i nc g u t z w i l l e r 提出用半经典的迹公式可以把体 系的能态密度表示成体系的经典闭合轨道的形式，用这种方法可以使许多问题变 得容易。 2 1 量子体系的迹 如果一个体系的波函数满足s c h r s d i n g e r 方程，则可以用波函数完全描述这 个量子体系的性质，有： 一i h a ，l 矿( g ，f ) = h ( q ，一i h v ) ( q ，f ) ( 2 1 ) 对于一个定态量子力学体系，在希尔伯特空间中存在着一套完备正交的波函数 织( g ) ，形式如下： p d g 吮( g ) 盛( g ) = 6 二， ( 2 2 ) 丸( g ) 簖( g ) = 万( g q ) ( 2 3 ) 且波函数丸( g ) 满足s c h r s d i n g e r 方程膏( g ，一访v ) 矽( g ) = e 矽( g ) ，对于任何满足 s c h r s d i n g e r 方程( 2 1 ) 的波函数都可以写成基矢波函数的求和形式： e t y ( g ，) = g e l 一h 丸( g ) ( 2 4 ) 其中系数e = p d g 杉i g ) 矽( g ，o ) 波函数写成下面的形式： j f ，( g ，) ：p d g ，杉( g ，) 矽( g ，o 弦一t e n ! 丸( g ) = p d g 簖( g ) 矽( g ，o ) e - g ( q ，o ) e 。f = p d q k ( q ，g ，f ) ( 9 7 ，o ) ( 2 5 ) 1 3 山东师范大学硕士学位论文 其中，k ( q ，q ，r ) = 。衍( g7 ) 丸( g ) 8 “t 为传播子，为波函数y ( g ，f ) 中含有坐标和 时间的项，它必然满足s c h r 6 d i n g e r 方程： 一i a ，k ( q ，q ，f ) = 1 2 i ( q ，一i h v ) k ( q ，q ，f ) ( 2 6 ) 当t = o 是，k ( q ，q ，o ) = 8 ( q - q 7 ) 。 格林函数g ( q ，q ，e ) 是传播子k ( q ，q ，z ) 的傅立叶变换，定义格林函数时，我 们把能量e 扩展到复数区域e 专e + 捃，当占一0 对传播子进行积分，得到： g ( g m 砷= 去j c o 砒渺m 加) ：1f dte言砌。(g，)丸(譬ih 一ni “ih 、l 。 = 去。西( g ) 吮( g ) f 魂e x p ( 云( e e + 话) f ) ( 2 7 ) ：v 五堕丝垡 e e n + t 对格林函数求迹： 删q , q , e + i 6 ，= p a q g c q , q , e + i s ，= j d a q 军矬等 ：y j l ：y l ( 2 8 ) e e 。+ i s e e n + i 6 邑为能量本征值。因为： 8 ( x - x ) = 觋砉h i 毛 ( 2 9 ) 当能量值为实数时，根据( 2 8 ) 和( 2 9 ) 把态密度写成关于格林函数的迹的形 式： 夕( e ) 。；万( e e ) = 一觋寺1 m 乃g ( g ，g ，e + f 占) ( 2 l o ) 因此为了得到封闭量子体系的能量谱，首先需要计算出量子体系格林函数的迹。 2 2 马斯洛夫指标 存半绎施沂似中，应用w k b 法。波甬数可以写戍下而的形式： 1 4 山东师范大学硕j ：学位论文 杪( g ，f ) 三a ( q ，t ) e 限9 。 ( 2 1 1 ) 把( 2 1 1 ) 代入s c h r 6 d i n g e r 方程( 2 1 ) ，其中哈密顿量为日( g ，p ) 2 乞+ 矿( g ) ， p 得到的实部和虚部分别为： 。= 警+ 去c v 舻+ u c g ，一芸筹 c 2 胞) o ：昙+ ! ( v 尺) ( 剐) + 士a ( a r ) ( 2 1 3 ) o t 聊z m 设尸= a 2 ( g ，f ) ，y = 1 v r ( q ，r ) ，则( 2 1 2 ) 变成：挈+ v ( p v ) ：0 ，这就是 mo t 关于密度p 和速度矢量场矿的流量连续性方程。 在半经典近似中，壳一0 ，所以( 2 11 ) 与哈密顿雅可比方程是等价的： 瓦o r + ( g ，( 删) = 0 ( 2 1 4 ) 这个关于p 和矿的流量称为m a d l u n g 流量。 对于从点g ( o ) = q 出发的轨迹，初始的动量为p ( 0 ) = p = v r ( q ，o ) ，根据 m a d l u n g 流量的表达式，终点的r 值满足公式： 掣：_ o r ( _ q , t ) + v r ( q , t ) ( 1 ：一h ( q , p ) + p o ：l ( q ( f ) ，枞f ) ( 2 1 5 ) d to t 其中三为经典体系的拉格朗曰算子。那么r ( q ，f ) 的值为： 尺( 9 9 ) ，f ) = 只( 矿，o ) + d t l ( q ( t ) ，毒( f ) ) ( 2 1 6 ) 其中f 西z ( g ( f 7 ) ，q ( t ) ) 量尺( g ，g ，力。从( 2 1 6 ) 得到初始动量值和，时刻的动量值 分别为： p = 一v 矿r ( q ，g 7 ，f ) ( 2 1 7 ) p = v r ( q ，q ，f ) ( 2 1 8 ) m a d l u n g 流量是关于时间量守恒的，那么随时间变化时，在一个无穷小空间 体积中的流量也是守恒的： p ( g ( ，) ，f ) d d g = 尸( 9 7 ，o ) d d g = p ( 9 7 ，o ) d e t ( - 婺 ) d d q ( 2 19 ) 山东师范大学硕士学位论文 其中尸( g ( 晚r ) = d e t ( 普) p ( 玑。) ，么( g ( ，) ，) = d e t ( 3 q ) a ( “。) 。通过( 2 1 6 ) 和 o a ( 2 1 9 ) ，把( 2 11 ) 中的含时部分分离： 嘶) = a ( q , t ) e j f r ( q , o n = | 、，晤d e t ( o q ) a 仃朋胁o ) 州州，) ) ， = d e t ( 鼍q ) e j r ( q , q , t ) s a c g7 ，。，p 识( g ，。) 6 c2 2 。， = 孵哟力胪眦。， 上式平方根的符号可以写成马斯洛夫指标的形式y ，马斯洛夫指标计算了在从矿 到q 的轨迹中雅可比行列式变号的次数。 、，码d e t ( o q ) = 一! 苎! f 垡! 望：! 1 2 = e 2 ( 2 2 1 ) 在考虑连接两个点的轨迹时，波函数必须对所有可能的轨道路径求和。每个路径 对应不同的马斯洛夫指标0 ，行列式和r ( g ，g ；，f ) ，所有的经典轨迹必须在同一 时间f 到达点q ，有： 嘲，= 咖c 割e t n j ( q , q j , t ) r a - l a v j ( q , q , t ) 2l ( q 弘，2 2 ， 2 3 传播子 为了得到传播子我们应用( 2 5 ) 式中含时波函数的积分形式，而不是含时波 函数的求和形式( 2 2 2 ) 。从点g 出发的波函数可以看成一个在g 点的万分布， 然后对q 7 进行积分。为了避免位形空间中出现无限大振幅，我们可以在动量空间 中研究振幅的分布情况。在位形空间中点的分布对应着动量空间中常数分布 i c l 2 ，其中守。i 鳓m a d l u n g 流量可以写成 如) d d q = c m 埘d e t ( 等确 ( 2 2 3 ) 应用关系式：p = 一v 。，r ( q ，q ，f ) 和= 一a q j r ( q ，q ，f ) ，态密度随时间的变化形式 1 6 山东师范大学硕士学位论文 可以写成： 础) - | c 1 2 d e t ( - 篱) ( 2 - 2 4 ) 把( 2 2 4 ) 代入( 2 11 ) 中并对初始点9 7 进行积分，把得到的含时波函数写成下 面的希望的形式： 少( g ，f ) = p d q k (