（应用数学专业论文）基于计算机符号计算的wbk、变系数kdv等方程求解方法研究.pdf

北京邮电火学硕士研究生学位论文 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所 知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得北京邮电大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢 意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 某人盛名：左壶本人签名：丝盘日期：型9 ：f ：夕 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电大学。学校有权保留并向国家有关部门或 机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部 或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论 文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密在一年解密后适用本授权书。非保密论文注释：本 学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 本人签名： 盔耋 ， 新签名：f 碰 日期：旦? 二， 北京邮电人学硕上研究生学位论文 基于计算机符号计算的w b k 、变系数k d v 等方程求解方法研究 摘要 孤子理论在自然科学的各个领域里扮演着非常重要的角色。孤子理论一方 面在量子理论、粒子物理、凝聚态物理、流体物理、等离子体物理和非线性光 学等各个分支及数学、生物学、化学、通信等各自然科学领域得到了广泛的应 用，另一方面极大地促进了传统数学理论的发展，从而孤子理论的研究引起了 物理学家和数学家的极大兴趣。随着研究的深入和科学的发展，特别是非线性 科学的日益繁荣，使得孤子理论进一步成熟，各国在这上面投入的人力物力也 日益增加。这方面的研究论文和杂志也如雨后春笋般不断涌现，国际性的学术 会议相继召开。如在英国牛津召开的“凝聚态物理中的非线性孤子结构和动力 学会议以及在哥德堡召开的“物理学中的孤子会议。我国孤子理论的研究 开始于2 0 世纪7 0 年代。当时杨振宁、李政道、陈省身教授等回国讲学时向国 内同行介绍孤子理论的研究进展，并指出它的重要性。随后在中国科学院和国 内部分高等学校相继开展了这方面的研究工作。曾于1 9 8 0 年在厦门和1 9 8 6 年 在上海分别召开了小型讨论会，推动了孤子理论的研究活动。 本文正是以非线性偏微分方程的理论为基础，研究了几种重要的求解方法， 在符号计算基础上，对w h i t h a m - b r o e r - k a u p ( w b k ) 方程，变系数k o r t e w e g - d e v r i e s ( k d v ) 方程，变系数s c h r 6 d i n g e r 方程等求解方法进行研究。 本文章节及内容安排如下： t t 北京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章首先介绍孤子的发展史，孤子理论的研究现状和一些研究非线性物 理方程的常用方法。 第二章主要介绍研究生阶段学习的d a r b o u x 变换，l a x 对， a b l o w i t z k a u p n e w e l l s e g u r ( a k n s ) 系统等知识。 第三章具体介绍w b k 方程及物理背景，利用规范变换方法建立w b k 方 程与a k n s 系统下的一个方程之间的变换，对变换后的方程求解，通过变换关 系得到原方程的解。 第四章给出四种基本变换并介绍它们的性质，利用这些变换将变系数 k d v ，变系数s c h r 6 d i n g e r 等方程进行简化并得到相应方程的l a x 对，b t 等性质。 关键词：非线性偏微分方程解析解d a r b o u x 变换方法b f i c k l u n d 变换规范 变换 i i i 北京邮 乜大学硕士研究生学位论文 t h es t u d yo fs o l u t i o n st ow b ka n d v ck d ve q u a t i o n sb ys y m b o l i c c o m p u t a t i o n a b s t r a c t s o l i t o nt h e o r yp l a y sav e r yi m p o r t a n tr o l ei nv a r i o u sf i e l d so fn a t u r a ls c i e n c e o no n eh a n d ，s o l i t o nt h e o r yh a sb e e nw i d e l yu s e di nt h eb r a n c h e so f q u a n t u mt h e o r y , p a r t i c l ep h y s i c s ，c o n d e n s e dm a t t e rp h y s i c s ，f l u i dp h y s i c s , p l a s m ap h y s i c sa n d n o n l i n e a r o p t i c s ，a s w e l li nt h ea r e a so f m a t h e m a t i c s ，b i o l o g y , c h e m i s t r y , c o m m u n i c a t i o n sa n do t h e rn a t u r a ls c i e n c e s ；o nt h eo t h e rh a n d ，i tg r e a t l yp r o m o t e st h e d e v e l o p m e n to ft h et h e o r yo ft r a d i t i o n a lm a t h e m a t i c s ，t h e r e f o r e ，t h ei n v e s t i g a t i o no n s o l i t o nt h e o r ya t t r a c t s g r e a ti n t e r e s to fp h y s i c i s t sa n dm a t h e m a t i c i a n s w i t ht h e i n - d e p t h o fr e s e a r c ha n dt h e d e v e l o p m e n to fs c i e n c e ，e s p e c i a l l yt h eg r o w i n g p r o s p e r i t yo fn o n l i n e a rs c i e n c e ，s o l i t o nt h e o r yh a sm a d eag r e a tp r o g r e s s ，a n dm o r e a n dm o r eh u m a na n dm a t e r i a lr e s o u r c e sh a v eb e e nf o c u s e do i li t al a r g en u m b e ro f p a p e r sa n dm a g a z i n e si nt h i s a r e ah a v ea p p e a r e d ，a sw e l la sm a n yi n t e r n a t i o n a l a c a d e m i cc o n f e r e n c e so nt h i sp o i n th a v eb e e nh e l do n ea f t e ra n o t h e r f o re x a m p l e ， t h ec o n f e r e n c e so f ”t h en o n l i n e a rs o l i t o ns t r u c t u r ea n dd y n a m i c si nt h ec o n d e n s e d m a t t e rp h y s i c s ”h a sb e e nh e l di no x f o r d ，a n d ”s o l i t o n si np h y s i c s i ng o t e b o r g s t u d i e so ns o l i t o nt h e o r yi nc h i n ah a sb e e ns t a r t e di nt h e19 7 0 s a tt h a tm o m e n t ， 北京邮电大学硕士研究生学位论文 p r o f s z h e nn i n gy a n g ，z h e nd a ol e e ，x i n gs h e nc h e na n do t h e rd o m e s t i c c o u n t e r p a r t s i n t r o d u c e dt h ed e v e l o p m e n tp r o g r e s so fs o l i t o nt h e o r ya b r o a da n d p o i n t e do u ti t si m p o r t a n c e a f t e r w a r d s ，c h i n e s ea c a d e m yo fs c i e n c e sa n ds e v e r a l h i g h e re d u c a t i o ns c h o o l sg r a d u a l l yc a r r i e do u tr e s e a r c hw o r k si nt h i s a r e a s m a l l s e m i n a r sr e s p e c t i v e l yh e l di n19 8 0 ( x i a m e n ) a n d19 8 6 ( s h a n g h a i ) h a v ep r o m o t e dt h e r e s e a r c ha c t i v i t i e so ft h es o l i t o nt h e o r y b a s e do nt h et h e o r yo fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dw i t ht h eh e l po f s y m b o l i cc o m p u t a t i o n ，t h i sp a p e rm a k e ss o m er e s e a r c ho nt h es o l u t i o nm e t h o d so f t h e w h i t h a m b r o e r - k a u p ( w b k ) ，v a r i a b l e c o e f f i c i e n tk o r t e w e g d ev r i e s ( k d v ) ， v a r i a b l ec o e f f i c i e n tn o n l i n e a rs c h r r d i n g e re q u a t i o n s t h ec h a p t e r sa n dc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： t h ef i r s tc h a p t e ri n t r o d u c e st h eh i s t o r yo fs o l i t o n s ，p r o g r e e so fs o l i t o nt h e o r ya n d r e s e a r c hm e t h o d sf r e q u e n t l yu s e di nn o n l i n e a rp h y s i c a le q u a t i o n s t h es e c o n dc h a p t e rf o c u s e so nt h ek n o w l e d g eo fd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ，l a x p a i ra n da b l o w i t z - k a u p n e w e l l - s e g u r ( a k n s ) s y s t e m ，w h i c ha r es t u d i e dd u r i n gm y p o s t g r a d u a t et e r m s t h et h i r dc h a p t e ri n v e s t i g a t e st h ew b ke q u a t i o na n di t sp h y s i c a lb a c k g r o u n d ， t h e nu s e sg a u g et r a n s f o r m a t i o nm e t h o dt og e tt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ew b k e q u a t i o na n dt h ea k n ss y s t e m ，a sw e l lb e t w e e nt h e i rs o l u t i o n s t h ef o u r t hc h a p t e ri n t r o d u c e sf o u rb a s i ct r a n s f o r m a t i o nw h i c ha r eu s e dt od e r i v e t h el a xp a i ra n db tf o rt h ev a r i a b l e c o e f f i c i e n tk d va n ds c h r r d i n g e re q u a t i o n s v 北京邮电大学硕士研究生学位论文 k e yw o r d s ：n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n a n a l y t i c a ls o l u t i o n d a r b o u x t r a n s f o r m a t i o nm e t h o db i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d g a u g et r a n s f o r m a t i o n m e t h o d v l 北京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章绪论。 目录 l 1 1p a i n i e v d 分析法3 1 2b 五c k i u n d 至窆换5 1 3 反散射方法7 第二章d a r b o u x 变换方法介绍 9 2 1 介绍9 2 2 原始d a r b o u x 变换9 2 3l 】【p a i r 知识介绍1 0 2 4a k n s 系统1l 2 5a k n s 系统的d a r b o u x 变换1 4 2 6 规范变换一1 7 第三章似方程规范变换 3 1 w b k 方程介绍一2 3 3 2 规范变换2 3 3 3d a r s o u x 变换：2 5 3 4 结论；：一2 7 第四章一些变换在非线性偏微分方程研究中的应用 4 1 基本变换2 8 4 2 交换在非线性偏微分方程中的应用3 0 我的工作 参考文献 致谢 作者攻读学位期间发表的学术论文 v h 3 5 3 6 3 8 3 9 北京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 2 0 世纪6 0 年代以来，非线性问题是数学、物理学领域非常活跃的一个研究课题，其中 一个重要的方面是寻找低维非线性系统的解析解，即所谓可积性问题的研究。孤子理论就是 关于可积性问题的理论。在这种研究中，提出许多重要的概念和方法，现在它们已经在凝聚 态物理、通信、等离子体物理等许多领域中得到广泛的应用。孤子理论主要限于经典问题， 7 0 年代以后，关于量子可积系统的研究不仅更深刻地揭示了数学、物理学等领域中许多不同 分支之间的一些相互联系，更重要的是其中所涉及的新概念和新方法，特别是一些新的代数 结构，为物理学相关问题的研究提供了更广泛的基石出【卜4 1 。 1 8 3 4 年秋，英国科学家、造船工程师罗素在运河河道上看到由两匹骏马拉着的一 只迅速前进的船突然停止时，被船所推动的一大团水却不停止，积聚在船头周围激烈地 扰动，然后形成一个光滑而又轮廓分明的大水波，高度约为0 3 - 0 5 米，长约1 0 米， 以每小时约1 3 公里的速度沿着河面向前滚动。罗素骑马沿运河跟踪这个水包时发现， 它的大小、形状和速度变化很慢，直到3 - 4 公里后，才在河道上渐渐地消失。罗素马 上意识到，他所发现的这个水包不是普通的水波。普通水波由水面的振动形成，振动沿 水平面上下进行，水波的一半高于水面，另一半低于水面，并且由于能量的衰减会很快 消失。他所看到的这个水包却完全在水面上，能量的衰减也非常缓慢( 若水无阻力，则 不会衰减并消失) 。并且由于它具有圆润、光滑的波形，所以它也不是激波。罗素将他 发现的这种奇特的波包称为孤波，并在其后半生专门从事孤波的研究。他用大水槽模拟 运河，并模拟当时情形给水以适当的推动，再现了他所发现的孤波。罗素认为孤波应是 流体力学的一个解，并试图找到这种解但没有成功【l 巧j 。 罗素十年后向英国科学促进会报告了自己的观点，但却没能说服他的同事们，罗素 所发现的孤波现象也未能引起人们的注意。 5 0 年以后即1 8 9 5 年，两位数学家科特维格与得佛里斯从数学上导出了著名的浅水 波k d v 方程，并给出一个类似于罗素孤波的解析解即孤波解，孤波的存在才得到普遍 承认1 14 1 。 在罗素逝世1 0 0 周年即1 9 8 2 年，人们在罗素发现孤波的运河河边树起了一座罗素 像纪念碑，以纪念1 4 8 年前他的这一不寻常的发现。 孤波解只存在于非线性色散方程之中，亦即非线性与色散是孤波存在的必要条件。 色散即波的传播速度依赖于波的频率和波长，它导致波包散开，而非线性却导致波阵面 卷缩，两者共同作用的结果便形成稳定的波包即孤波【l 巧】。 北京邮电大学硕士研究生学位论文 起初人们认为虽然单个孤波在行进中非常稳定，但在孤波相互碰撞时，就可能被撞 得四分五裂，稳定波包将不复存在。但通过计算机对孤波进行研究的结果表明，两个孤 波相互碰撞后，仍然保持原来的形状不变，并与物质粒子的弹性碰撞一样，遵守动量守 恒和能量守恒。孤波还具有质量特征，甚至在外力作用下其运动还服从牛顿第二定律。 因此，完全可以把孤波当做原子或分子那样的粒子看待，人们将这种具有粒子特性的孤 波称为孤子1 5 剖。 孤子的高度稳定性和粒子性引起了人们对孤子的极大兴趣。人们还发展了一套研究 孤子的系统方法，即反散射方法或称逆散射问题方法，找出了一批非线性偏微分方程的 普遍解法，并通过计算机实验和解析方法相结合，发现很多非线性偏微分方程都存在孤 子解。这些纯粹数学上的孤子，很快在流体物理、固体物理、等离子体物理和光学实验 中被发现。更令人振奋的是，这些似乎是纯数学的发现，不仅为实验所证实，而且还找 到了实际应用。例如光纤通讯中传输信息的低强度光脉冲由于色散变形，不仅信息传输 量低、质量差，而且需在线路上每隔一定距离加设波形重复器，花费很大，7 0 年代从 理论上首先发现的“光学孤子 可以克服这些缺点，并可大大提高信息传输量，目前这 一成果已进入实用阶段暇7 1 。 对孤子的更深入研究发现，孤子不仅像原子或分子，更像基本粒子，这表现在【5 7 】： 1 孤子不仅具有质量、能量和动量特征，而且还具有电荷特征。 2 孤子有的像光子、电子、质子那样，稳定而不衰变，有的像中子、子那样可 以衰变，具有衰变性不稳定性。 3 和基本粒子都存在其反粒子一样，孤子也存在其相应的反孤子。 4 对应于运动方程的种种对称性，孤子也存在相应的守恒定律，如动量守恒、能 量守恒和“粒子数 守恒等等。 孤子原本是波，却具有粒子的特性，而物质粒子原本是粒子，却具有波的特性。两 者原本风马牛不相及，但却具有共同的属性一“波粒二象性 【3 5 】。人们曾确信，孤子 和物质粒子之间一定存在某种必然联系，并预料孤子必将在基本粒子研究中起到独特的 作用。但是，由于孤子解只存在于非线性偏微分方程中，而非线性偏微分方程没有一般 解法，孤子解很难找到，尤其对于多维孤子的研究目前还只是刚刚起步。人们对基本粒 子的了解远多于孤子，因而，借用孤子理论还难以对基本粒子作出完备的描述。 自然界中错综复杂的现象激发人们去进一步探索其本质，这使得非线性科学得以蓬勃发 展。因为相比予线性系统，非线性模型能更好更准确的描述自然现象，从而更接近现象的本 质。由此，很自然的，非线性系统得以大量涌现，从而研究这些非线性系统就顺其自然的成 为非线性领域的首要任务之一。在非线性科学的研究中，经常会遇到大量能反应各种因子或 者各种物理量之间相互制约和相互依存关系的非线性偏微分方程。非线性科学广泛应用于自 然学科的各个领域，如生物学、化学、数学、通讯、凝聚态物理、场论、低温物理、流体力 2 北京邮电大学硕士研究生学位论文 学、等离子物理、光学等。本章将对非线性偏微分方程研究方法作一些说吲3 捌。 1 1p ainle v 6 分析法 长期以来，对非线性偏微分方程的可积性研究一直是科研工作者关注的焦点。p a i n l e v 6 检测就是用来检测一个非线性偏微分方程是否完全可积的重要手段1 7 。 如果一个非线性偏微分方程， f ( u ，u t ，虬，) = 0( 1 - 1 ) 的解u 具有如下l a u r e n t 展开形式， “( z l ，z 2 ，乞) = 矿。( z 拗也) 一，l o 且满足： 1 口是一个负整数。 2 吩= i d j ( z i ，乞，：一，乙) ( ，= 1 ，2 ，) 在流形 ( 1 - 2 ) 痧( z 。，z 2 ，乙) = 0一(1-3) 的邻域内解析。 一 3 u ，( j = l ，2 ，) 满足的方程有自相容的解，则称偏微分方程( 1 一1 ) 具有p a i n l e v 6 性质。 一般来说，对于一个非线性偏微分方程进行p a i n l e v 6 分析有如下的步骤 r l ： 考虑给定的偏微分方程， f ( “( z ) ，u ( z ) ，“( z ) ，u ”( z ) ) = 0( 1 - 4 ) 设其有如下罗朗级数形式解， 吩( z ) = 舻( z ) 吩，t ( z ) t ( z ) ， i = 1 ，2 ，m ， ( 1 5 ) k ；0 其中“( z ) 是关于z 的解析函数，在这个流形的邻域内l g h o ( z ) o r a ，是积分常数( 至少有一 个 。 a ”7 j_j j = o ，= ( 三二) 尸= ( ：言 y = ( 罢三 ( 2 - 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) 彳= 吩( 五f ) 五”7 y = o 召= 屯( x ，t ) 2 胪， j = o c = 勺( z ，f ) 五”， ( 2 1 2 ) 其中p ，g ，吩，岛，0 是z ，t 的函数，五是复参数，称为谱参数。 ( 2 1 0 ) 式的可积条件是， u ，矿】+ u 一圪= 0( 2 1 3 ) 对一切名成立，将( 2 1 3 ) 写成分量形式，即， 4 = p c q b 绞= p f + 2 2 b 一2 p a( 2 1 4 ) e = 吼一2 2 c + 2 q a 上式中等式两端都是力的多项式，按照兄的幂次展开，则有， b o = c o = 0 。 n j 毒2p c 一q b j 。 。 ，岛+ 。= 吉乃，+ p a , _(2-15) 一 1 、 勺+ i2 一j 勺。，+ g 吩 及 。 只= 瓯，+ 2 p a , , 吼：q ，一2 瞩( 2 - 1 6 ) 这时( 2 - 1 5 ) 可以看成是彳，b ，c 的系数满足的微分方程，而( 2 1 6 ) 是p ，g 所满足的偏微分方 程，在( 2 - 1 5 ) k , 的a j ，包，巳可以通过代数运算逐次求得，( 2 1 6 ) 就是p ，口所满足的非线性偏微 分方程【5 1 。 对_ ，= o ，l ，2 ，3 ，有， a o = o t o ( t ) b o = c o = 0 口i = 口i o ) 2 5 l = a o ( t ) pc l = c t o ( t ) q 1 2 北京邮电大学硕士研究生学位论文 口2 = 一三1 ( 咖+ ( f ) 6 2 = 互1 ( f ) 见+ q ( f ) p c 3 ：一i 1 吼+ q o ) g c 32 一j 吼+ 口i u ) g 口3 = l a o ( f ) ( p 以一q p x ) 一三1q ( f ) 卵+ ( f ) 魏= 去o ) ( 以一2 p 2 9 ) + 芎1 口。o ) p x 2 p ) p x + a 2 ( f ) p 魏2 专( f ) ( 以一2 9 ) + 三口t o + f ) p c 3 = 百1 ( f ) ( 一2 9 2 p ) 一互1 口。( 慨+ ( 啊 这里( f ) ，q ( f ) ，a 2 ( t ) ，( f ) 是f 的任意函数， 积分而出现的积分常数。 ( 2 1 7 ) 它们是由( 2 1 5 ) 1 拘第二式为求a o ，a 。，a ：，吩所作 下面举出几个常见的例子【7 】 例一取刀= 3 p = ”，q = - 1 ，a o = q = a 2 = a 3 = o ，这时， ， a 3 = 一心，6 3 = 叫搿- - 2 u 2 , g = 2 u ( 2 - 1 6 ) 化为k d v 方程， 哆+ + 6 u u , = o 例二取刀= 3 ，p = 甜，q = 吲，= - 4 ，q = a 2 = 吃= o ，这时， 口3 = o ，岛= 一- 2 u 3 , c 3 = 。+ 2 u 3 则得到m k d v 方程【1 3 5 1 ， + ”。+ 6 “2 蚝= 0 例三取以= 2 ，p = 甜，q = - - u ，a o = - 2 i ，q = a 2 = 0 ，这时， 口2 = 一f 盯，包= - i u x ，c 2 = - i u 一， ( 2 1 6 ) 式给出非线性s c h r 6 d i n g e r 方程【1 3 捌， i u , = + 2 1 u 1 2 “ 还有一些例子不再举出，在a k n s 系统中( 2 1 6 ) 对应系列方程，这一系列方程称为 a k n s 梯队。一个系统的梯队一般都是针对l a x 空间部分来说，不同的系统有不同的空间l a x 部分，用此节相同的求法可以求出不同的梯队。 北京邮电大学硕士研究生学位论文 2 5 a k n s 系统的d a r b o u x 变换 考虑一个偏微分方程( 组) 【7 】 ， ，以，) = 0( 2 1 8 ) 其中“可以是单一的函数或矩阵值的函数。如果有a k n s 形式的l a x 对， ，= u o = 2 d o + p o ，= v o ：n 巧见一一7 ( 2 - 1 9 ) j = 0 其中，只巧满足上一节的条件，当p 是“的适当的微分多项式时，( 2 1 8 ) 式与( 2 1 9 ) 式的可积 条件( 2 - 1 3 ) 等价，称( 2 1 8 ) 式有l a x 对( 2 1 9 ) 式。 假设p 的各个元素是互相独立的，那么( 2 1 8 ) 式是关于p 的各个非对角元的二个微分方程 组。这时称a k n s 系统是无约化的。下面讨论无约化a k n s 系统的d a r b o u x 变换。 定义设d ( x ，t ，五) 是一个n x n 矩阵，如果对已给的p 和( 2 1 9 ) 式的任意解，使7 = d o 满足形状和( 2 1 9 ) 相同的线性方程组【7 】 一 。 眼= u = 2 d o + p o ：y ，中，：窆哆一一，( 2 - 2 0 ) j = 0 其中尸，是对角元为0 的适当n xn 矩_ 阵，则称变换( p ，) 专( 尸，) 为无约化a k j n s 系统 的d a r b o u x 变换，d ( x ，t ，五) 为d a r b o u x 阵。 依据这个定义，p 所满足的方程是， f 谚一y 磐+ 【尸，k 】= 0( 2 2 1 ) 这里圪是p ，的适当的微分多项式，够表示矩阵除去主对角线元素后的其余部分。 将= d o 代入上述方程组，得到u ，的表达式【7 】 u = d u d h d ，d 一1 ：d 助一1 + d 1 l 命题如果d 是( 2 - 1 9 ) 0 勺d a r b o u x 阵，d 是( 2 2 0 ) 1 拘d a r b o u x 阵，nd d t g 是( 2 1 9 ) f f q d a r b o u x 阵【7 】o 证明因d 是( 2 2 0 ) 的d a r b o u x 阵，故而存在u 。= 五+ ，矿= 巧允州，使 j = 0 1 4 北京邮电大学硕士研究生学位论文 = d = d ，d o 满足 ，z ( 2 - 2 3 ) ! = v 。 从而由定义知d d 是( 2 - 1 9 ) 的d a r b o u x 阵。 考虑五的一次d a r b o u x 阵，不妨假设它具有形式兄，一s ，这里s 是一个适当的n x n 矩阵， ，是单位阵。现在要导出s 所需要满足的微分方程，由( 2 2 0 ) 式的第一个方程得【刀， ( 力，+ ，) ( 以一s ) = ( ( 名，一s ) 巾) ， ( 2 - 2 4 ) = ( 兄，一s ) ( 2 j + p ) 一 此式应对( 2 1 9 ) 式的任意解都成立，比较五的系数得， p = 尸+ ，s 】( 2 - 2 5 ) 这就是p 表达式。 ( 2 2 4 ) 式中与a 无关的项给出 鼠= p s s p = p s s p + j s 2 一s i s 即 & + 【s ，i s + p 】= 0 这是s 所满足的一个微分方程。 由( 2 - 2 0 ) 式的第二个方程，有 彬”7 ( 一s ) = ( ( 五，一s ) ) ， = ( 以一s ) z v “一7 一墨中 j = o 比较见州，五的系数，可以递推地决定 巧 如下， 瑶= 。= 巧+ 。+ 垆一s v , 同时还得出s 满足的第二个方程 墨= v ；s - s k 从( 2 2 8 ) 式解得 1 5 ( 2 - 2 6 ) ( 2 - 2 7 ) ( 2 - 2 8 ) ( 2 2 9 ) 北京邮电大学硕士研究生学位论文 ( 2 - 2 9 ) 式成为 瑶= 形：巧+ 窆 巧一。，s s ( 1 ，以) ( 2 - 3 0 ) 1 = o s + 【s ，z v , s ”一7 】= o j = o 由此有下列定理： 定理 1 i s 是( 2 1 9 ) 1 j 勺d a r b o u x 阵，当且仅当s 满足【7 】 最+ i s ，殿+ p 】= 0 墨+ 【s ，5 s ”7 1 = o 。 。 产o 并且在2 i - s 作为d a r b o u x 阵的变换下，尸，= p + ，s 。 ( 2 - 3 1 ) ( 2 - 3 2 ) ( 2 3 3 ) 证明如果2 i - s 是d a r b o u x 阵，( 2 - 3 2 ) 和( 2 3 3 ) 式就是上面已得到的( 2 2 6 ) 式及( 2 3 1 ) 式。 反之，如果( 2 - 2 6 ) 式及( 2 31 ) 式成立，则对( 2 1 9 ) 式的任何解，有( 2 2 4 ) 和( 2 2 7 ) 式成立，从 亓i j f f l ( 2 2 5 ) 式决定的p ，及由( 2 2 8 ) 式决定的 巧 使( 2 2 0 ) 式成立，因而满足d a r b o u x 阵的定义， 证毕。 由此可见，为找出d a r b o u x 阵，需要从非线性偏微分方程组( 2 3 2 ) 和( 2 3 3 ) 式解出s 。下 面的定理给出了一次d a r b o u x 阵的构造方法【3 1 。 。 取不完全相等的复数五，如，记人= d i a g ( _ a ，厶) ，令鸟为( 2 1 9 ) 式当允= 五时的列向 量解，h = ( a ，九) ，当d e t h o 时，令 s = 日朋。1以一s = 4 1 一日脯一1 ( 2 3 4 ) 证明吩是( 2 - 1 9 ) 式当名= 五时的解，即它满足， 噍j = 以以+ k = 巧4 1 i i - 7 j i i 1 = o 对h = ( j l l ，红，) 分别关于工和f 求导，利用( 2 3 5 ) 可得到， h l = ) h 入+ p h e = v , h a 州 j = o 1 6 ( 2 - 3 5 ) ( 2 3 6 ) 北京邮电入学硕士研究生学位论文 从而， s x = hx 入h 一一h 入h 。1 hx h 。t = 【以日，s 】_ 【刀+ 只s 】 s t = h , a h 一h 入h 。1 h t h _ = q 日一，s 】_ 巧s ”7 ，s 】 y = o 这说明了由( 2 3 4 ) 式所定义的阵s 是( 2 3 2 ) 和( 2 3 3 ) 式的解。由前面定理知，2 1 - s 是( 2 - 1 9 ) 的一个d a r b o u x 阵，证毕【刀。 由上述定理可知，( 2 - 3 4 ) 式给出一个与对角阵相似的矩阵s ，它能使五，一s 是一阶 d a r b o u x 阵。称( 2 3 4 ) 式所表示的d a r b o u x 阵为可对角化d a r b o u x 阵。在实际求解时，它特别 有用，因为它具有用代数算法组成的显式表达式，并且它们也构成所有一阶d a r b o u x 阵的主 体【刀。 2 6 规范变换 设给定两个线性问题【州， 吮= m ( u ，刁) 谚= n ( u ，刁) j 吒= m ( “，7 ) 少= n ( “，刁) 沙 ( 2 - 3 7 a ，b ) ( 2 - 3 8 a ，b ) 其中= ( 识，欢，吮) r 和沙= ( 少。，虬) r 是刀维本征向量函数，m ( u ，r 1 ) 和n ( u ，r 1 ) ( m ( “，7 7 ) 和 n ( “，7 7 ) ) 是依赖于向量位势甜= ( “，“：，u 。) ( ，= ( m ，吃，m ) ) 与谱参数7 7 的以阶矩阵。如果存在 n 阶可逆矩阵r ( “，1 ，刁) ，使得本征向量函数的变换【4 4 1 ， 吵= r ( u ，u ，7 ) 矽 在位势向量u 和v 满足一定关系时，将线性问题( 2 3 8 ) 化为线性问题( 2 - 3 7 ) ， 范变换，且( 2 3 7 ) 与( 2 3 8 ) 称为在规范变换意义下等价。 将变换( 2 3 9 ) 代x ( 2 3 8 ) 容易得到， 互= 肘7 一t m z = n t t n 1 7 ( 2 3 9 ) 则此变换称为规 ( 2 4 0 a ) ( 2 - 4 0 b ) 北京邮电大学硕上研究生学位论文 这是确定变换矩阵丁的一对方程。如果线性问题( 2 3 7 ) - 与( 2 3 8 ) 各自相容，且为规范等价，则 ( 2 4 0 ) 是相容的。事实上，因为一】， 乙= ( 叫+ m ) 丁一m t n n t m r ( m n m ) ( 2 - 4 1 a ) 瓦= ( 吖+ n m 7 ) r n t m m t n r ( m 一 ( 2 - 4 1 b ) 欲使瓦= 瓦，必有， 一m + 【m ，n 】) r = 丁( m m + m ， ) ( 2 - 4 2 ) 但n 阶矩阵m ，与m ，分别满足的零曲率方程，可见( 2 4 2 ) 是一恒等式。 例k d v 方程， + + 6 u u x = 0 的一阶向量线性问题为【删， ”( 到 陋4 3 的 。 p ( 茏 ，= ( 4 “叩- ：4 一r 1 3 2 - 。2 刁u r l 。- 。u x2 甜：4 刁，4 + r 2 2 + “刁2 u + 。 ( 象) c 2 - 4 3 b ， 修正k d v 方程【4 4 1 ， 一 k + + 6 v 2 匕= 0 。 的一阶向量线性问题为， 酚( ：撇) c 2 硝曲 ( 麓) 。= 4 唧：- + 4 2 1 匕3 刁+ + 2 v k 2 r 一2 v ，4 叼2 - 4 刁2 w ，一1 2 + v v ：。刁, 一2 1 ，3 ( 荔：) c 2 - “b ， 作本征函数变换【删， 盼陌- - v 二删 c 2 删 当位势“与1 ，满足m i u r a 6 1 变换 “= 匕一v 2 ( 2 - 4 6 ) r v 是修正k d v 方程的解时，容易验证( 2 - 4 5 ) 将线性问题( 2 4 4 ) 化成( 2 4 3 ) 。反之，( 2 - 4 5 ) 的逆 变换存在且将线性问题( 2 4 3 ) 化为( 2 4 4 ) ，从而它构成这些线性问题的规范变换。而k d v 方 北京邮电大学硕士研究生学位论文 程的线性问题( 2 - 4 3 ) 与修正k d v 方程的线性问题( 2 4 4 1 认为在规范变换的意义下等价4 4 1 。 从( 2 4 0 ) 容易看出，寻找线性问题的规范变换实际上可归结成解一阶线性微分方程组。 因此在理论上只要矩阵函数m ( “，r 1 ) ，n ( u ，r 1 ) 与m ( “，1 7 ) ，n ( 材，r ) 关于各变量足够光滑且分别 满足零曲率方程，则此微分方程组的解存在，因而线性问题之间总具有规范变换，它一般依 赖于谱参数7 7 。但是要写出这种一般规范变换的显式表达式通常是很困难的。这里先从应用 广泛的一类特殊谱问题】， 州一彬忉y 沙= ( 2 - 4 7 ) u = ( 芝笼)矿= ( 芝z ) c 2 - 4 8 ， 开始，寻求不含刁的本征函数变换( 2 3 9 ) ：将它化为a k n s 谱问题【删， 丸= ( t i e r + p ) 妒= p = 其中叶，匕( _ ，= l ，2 ，3 ，4 ) - 与q ，是f ，x 的光滑函数。 设存在行列式值为1 的变换矩阵r ，使( 2 - 4 0 a ) 成立，即有， 正= ( 一f l u + v ) t t ( r l c r + p ) 比较刁的系数矩阵给出【删， u 丁+ 衔= 0 z = v t t p 由( 2 5 2 a ) 推得， 由( 2 5 2 b ) 及钞r = 0 得， t r u = + = 0 d e t u = 一”1 2 一“2 坞= - 1 ( 2 - 4 9 ) ( 2 - 5 0 ) ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 a ) ( 2 5 2 b ) ( 2 5 3 a ) ( 2 5 3 b ) t r v = h + 屹= 0( 2 - 5 4 ) 反之，设谱问题( 2 - 4 7 ) ，( 2 - 4 8 ) 满足条件( 2 - 5 3 ) 与( 2 5 4 ) ，则可求出所需的变换矩阵丁。事实上， 1 9 北京邮电大学硕士研究生学位论文 令其为【删， 从( 2 - 5 2 a ) 得到( 五，互) 的方程组， 与( 互，互) 的方程组， 丁= ( 黝d e t t = 1 ( 一1 ) t l + u e t 3 = 0 鸭五一( “l + 1 ) t 3 = 0 l + 1 ) 互+ u 2 互= 0 。 坞互一( ”l 一1 ) t 4 = 0 由于这些齐次方程组的系数行列式为零，容易算得它们的