（应用数学专业论文）关于仿射几何的一些研究.pdf

摘要 仿射几何是几何的基础内容，主要研究仿射空间点、直线的关系、性质、两个仿射 几何间的直射在数学及工程技术中有广泛的应用除环上的仿射几何研究已较成熟， 近几年b e z o u t 整环上的仿射几何的研究也得到了很多成果，但环上的仿射几何研究目 前仍是很多问题有待解决近年来环上几何是国内外研究的一个活跃的方向，我国学 者对此研究也做出了许多贡献 经典的体上仿射儿何基本定理是：体上两个仿射几何之间的直射是半线性映射 这个基本定理有广泛的应用，它的一般形式是我国数学大师华罗庚在1 9 5 1 年首次证明 的这个基本定理的条件简化与进一步的研究仍为国内外学者所关注但是这个结果 不能直接推广到环上仿射几何一般地讲，环上两个仿射几何之间的直射不一定是半 线性映射 局部环是很重要的一类环，在数学与实际问题中有广泛的应用但是关于局部环 上仿射几何研究难度很大，很少见到文献为了研究局部环上矩阵几何，本文对局部环 上仿射几何理论作初步的探讨本文讨论了局部环上仿射几何的一些性质在什么条 件下，局部环上两个仿射几何之间的直射是半线性映射? 本文初步回答了这个问题，证 明了下列结果： 设m 1 n 1 2 ，m 2 佗2 2 ，r 1 和忌是两个交换局部环设和k 分别是m 维 自由左( 右) r 1 一模和r 2 一模如果妒是一个从a g ( k ) n a g ( v 2 ) 的保幺模性与保直线平 行性的直射，则矽= 妒( z ) 一妒( 0 ) 是半线性双射 关键词：仿射几何；局部环；半线性映射；矩阵几何 a b s t r a c t t h ea f f i n eg e o m e t r yi st h ef u n d a m e n t a lc o n t e n to fg e o m e t r y ，i tw o r k so v e rt h e r e l a t i o n s ，p r o p o s i t i o n sa n dt h ec o l l i n e a t i o nb e t w e e nt w oa f f i n eg e o m e t r i e s t h ea f f i n e g e o m e t r yh a v em a n ya p p l i c a t i o n si nm a t h e m a t i ca n de n g i n e e r i n g t h es t u d yo ft h e a f f i n eg e o m e t r yo v e rad i v i s i o nr i n gh a v er e l a t i v e l ym a t u r a t e d ，i nr e c e n ty e a r s ，t h e s t u d yo ft h ea f f i n eg e o m e t r yo v e rb e z o u td o m a i nh a v em a n yr e s u l t s ，b u tt h ep r e s e n t l y r e s e a r c ha b o u ta f f i n eg e o m e t r yo v e rr i n gh a sm a n yp r o b l e mt ob er e s o l v e d i nr e c e n t y e a r s ，t h eg e o m e t r yo v e rr i n gi sa na c t i v ed i r e c t i o n ，o u rn a t i o n a ls c h o l a r sh a v em a d e m u c hc o n t r i b u t i o no ni t t h ec l a s s i c a lf u n d a m e n tt h e o r e mo v e rad i v i s i o nr i n gi s ：t h e c o l l i n e a t i o nb e t w e e nt w oa f f i n eg e o m e t r i e si sas e m i l i n e a rm a p p i n g t h ef u n d a m e n t t h e o r e mh a v em a n ya p p l i c a t i o n ，a n di t sg e n e r a l l yf o r mf i r s t l yp r o v e db yh u al u o - k e n gi n1 9 5 1 t h ef u n d a m e n tt h e o r e m ss i m p l ec o n d i t i o na n df u r t h e rs t u d i n gi ss t i l l a t t e n t i o nb ys c h o l a r s b u tt h er e s u l tc a n tb ed i r e c t l ye x t e n d e dt oa f f i n eg e o m e t r yo v e r r i n g g e n e r a l l ys p e a k i n g ，t h ec o l l i n e a t i o nb e t w e e nt w oa f f i n eg e o m e t r i e so v e rr i n g sm a y n o tb eas e m i l i n e a rm a p p i n g l o c a lr i n gi si m p o r t a n tt y p eo fr i n g s ，i th a v ew i d ea p p l i c a t i o n si nm a t h e m a t i ca n d p r a c t i c a lp r o b l e m s b u tt h es t u d yo fa f f i n eg e o m e t r yo v e ral o c a lr i n gi sv e r yd i f f i c u l t ， t h u st h ep a p e r so ni t ss t u d yi sr a r e i no r d e rt os t u d yt h eg e o m e t r yo fm a t r i c e so v e r al o c a lr i n g ，t h i sp a p e rp r e l i m i n a r ys t u d i e st h ea f f i n eg e o m e t r yt h e o r yo v e ral o c a l r i n g t h i sp a p e rd i s c u s s e ss o m ep r o p o s i t i o n so na f f i n eg e o m e t r yo v e ral o c a lr i n g w h a tc o n d i t i o n ，t h ec o l l i n e a t i o nb e t w e e nt w oa f f i n eg e o m e t r i e so v e rl o c a lr i n g si sa s e m i l i n e a rm a p p i n g ? t h ea r t i c l ep r e l i m i n a r ya n s w e r st h ep r o b l e m ，a n dp r o v e st h e f o l l o w i n gr e s u l t ： l e tm l n l 2 ，m 2 n 2 2 ，a n dl e tr 1a n dr 2b et w oc o m m u t a t i v el o c a lr i n g s l e ty la n d b em d i m e n s i o n a lf r e er 1 一m o d u l ea n dr 2 一m o d u l e ，r e s p e c t i v e l y i f 妒i s ac o l l i n e a t i o nf r o ma g ( v 1 ) t oa g ( ) s u c ht h a t 妒p r e s e r v e st h eu n i m o d u l a re l e m e n t s a n dt h ep a r a l l e l i s mo fl i n e s ，t h e n 矽= 妒( z ) 一v ( o ) i sas e m i l i n e a rb i j e c t i v em a p k e yw o r d s ：a f f i n eg e o m e t r y ；l o c a lr i n g ；s e m i l i n e a rm a p p i n g ；g e o m e t r yo fm a t r i c e s i i r z r 兄 r + 形 m r r m n g k ( r ) d i m ( v ) a _ b ahb 妒一1 r a d r r m r a n k ( a ) d e t ( a ) 【o t l ，o t r 】 ( 0 1 1 ，o ，) a g ( s ) p ( y ) 本文符号列表 实数域 整数环 一个环，或一个局部环 环r 中非零元的集合 环r 中可逆元素的集合 环r 上的n 维行向量空间 环r 上的m 维列向量空间 环r 上的m n 矩阵的集合 环r 上的佗阶可逆矩阵的集合 子空间y 的维数 从集合a 到集合b 的映射 从元素n 到元素b 的映射 的逆映射 环引约j a c o b s o n 根 自由左尼模 矩阵a 的秩 交换环上矩阵a 的行列式 由乜1 ，q ，生成的自由模 由q 1 ，o t ，生成的子空间 关于仿射平面s 的仿射几何 关于子空间y 的射影几何 i v 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后 果由本人承担 作者签名：垒驹日日期：加口7 年5 月2 一日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密i - 1 ，在年解密后试用本授权书 2 、不保密囱 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：垂翔 日期：如7 年；月上口e t 导师签名，坼日期： j 、月文7e l f 第一章绪论 在本文中，所有的环均有单位元1 ( 1 0 ) 的结合环，即环r 是非平凡的用彤表示 环r 中所有可逆元的集合，冗表示r 中的非零元素的集合用l x l 表示集合x 的势 用舻加表示r 上m n 阶矩阵的集合，记p = r 1 n ，n r = r 似1 用g l n ( 冗) 表示尺上n 阶可逆矩阵的集合设a = ( a i j ) 舻加，用c a 表示4 的转置矩阵用表 示r 7 - 阶单位矩阵 设仃：r _ 彤为环r n r 7 的一个映射，a = ( a i ，) 舻黼，我们记印= ( a s ) 在本文中，用( r y ) 表示环r 上的右( 左) 尼模y 1 1 课题背景与发展状况 矩阵几何是华罗庚于上世纪4 0 年代由于研究多复变函数论的需要所开创的一个数 学研究领域，并由我国数学家万哲先院士等继承和发展( 参见f 1 1 ，f 2 1 ，f 1 0 一4 0 1 ) 为了解 释矩阵几何，我们回忆f k l e i n 于1 8 2 7 年提出的几何纲领：“一门几何就是一些图形在 某个非奇异变换组成的群下的不变性质的集合 这个纲领成为几何学研究的指导性 纲领之一在矩阵几何中，空间的点是某一类矩阵，两点间存在一种算术距离，还有一 个变换群作用在这个空间上，矩阵几何的基本问题就是用尽可能少的几何不变量来刻 画这个矩阵空间的变换群，其答案称为这个矩阵几何基本定理矩阵几何在代数、几 何、组合数学与图论、函数论等领域中均有重要的应用例如：华罗庚应用它开创了多 复变函数论的方向；用它可确定矩阵群上的j o r d a n 同构与李同构：可以简便地解决一 些不变量保持问题1 9 9 6 年以前矩阵几何的工作总结见万哲先院士的专著f 2 1 ，最近的 工作可参见黄礼平教授的专著 1 】，以及文献 1 3 1 - f 4 0 1 近几年来，由于矩阵几何的应用， 它重新激起国内外学者的兴趣，得到新的发展发展趋势之一是将研究范围扩大，例如 将域上或除环上的矩阵扩人到环上矩阵1 ，1 9 ，2 5 ，3 3 ，3 4 ，4 0 或算子代数f 3 9 1 ，将 保距 离”扩大到保其它的不变量其发展的另一方面，是研究矩阵几何基本定理中的条件化 简与等价条件1 8 ，2 l ，2 3 ，2 4 ，3 6 ，3 7 1 ，使之更完美和便于应用 仿射几何是几何的基础内容，也是研究矩阵几何的基础，它主要研究仿射空间点、 直线的关系、性质、仿射几何间的直射，在数学及工程技术中有广泛的应用在1 9 5 1 年， 华罗庚1 1 ，1 0 1 证明了除环上仿射儿何基本定理，该定理如下： 体上仿射几何基本定理( 见【1 】中定理3 4 6 ) 设d 和d 7 是两个除环，n 和礼是 2 的整数，v = d n 或竹d ，v = d ，n 或nd 设妒是从vn v 7 的双射假设妒将a g ( v ) 上的直线变至：i j a g ( v ) 上的直线当佗3 并且d = f 2 时，进一步假设妒还将a g ( v ) 上的平而变到a g ( y ) 上的平面则扎= 佗7 并且d 同构于d 7 或反同构于d 7 当d 同构 于d 7 时，v 和y 7 或者都是左向量空间或者都是右向量空间；当d 反同构于d 7 时，y 和y ，一个是左向量空间而另一个是右向量空间 如果v = d n 和y 7 = d 。，那么妒有这样的形式 妒( z ) = z 仃t + d ，v x d n ； 如果y = n d 并h v = n d 7 ，那么妒有这样的形式 妒( z ) = t x 盯+ 。d ，vz n d ； 上面两个式子中盯是从d 到d 7 的一个同构，t g l n ( d ，) ，并且d d 如粜v = d n 并 4 v = n d 7 ，那么妒有这样的形式 妒( z ) = r ( z r ) + 2 d ，vz d ”； 如果y = 话d 并且y 7 = d 。，那么妒有这样的形式 妒( z ) = ( z7 。) 丁+ d ，vz n d ； 上面的两个等式中7 - 是从d 到d7 的一个反同构，t g l n ( d ) ，并且d d 。 一个非交换的整环r , q 做b e z o u t 整环f 8 1 ，如果r 的每个有限生成的左( 右) 理想均 为主理想b e z o u t 整环是一类重要的环，它是体( 除环) 的真推广例如：整数环z 与体上 一元多项式环均为b e z o u t 整环近些年，黄礼平教授系统研究b e z o u t 整环上的仿射几 何1 1 ，通过研究b e z o u t 整环的予宁间和不变基数环的仿射几何，得到了一些重要性质， 定理，再应用这些重要性质，定理得到了b e z o u t 整环上的仿射几何基本定理下面介绍 黄礼平教授关于b e z o u t 整环上的仿射几何的一些结果： 命题1 1 1 ( 见1 】中定理3 3 1 7 ) 设m ，佗2 ，r 和爿是两个b e z o u t 整环，设y 是一个 有限维的自由左( 右) r - 模，y 是一个有限维的自由左( 右) 冗一模设s 和s 分别是y 和y7 里的仿射平面，并且它们的维数2 如果妒是从a g ( s ) 到a g ( ) 的直射，那么 对任意的7 ，妒将a c ( s ) 的7 l 一维平面映至：u a g ( s ) 的7 一维平面，则我们有d i m ( a a ( s ) ) = d i m ( a g ( s ) ) ，而且，我们有 t ( mvn ) = 妒( m ) v 妒( ) ，v m ，n a g ( s ) 命题1 1 2 ( 见【1 1 中定理3 4 2 ) 设m n 2 ，m 7 礼7 2 ，r 和r 7 是两个b e z o u t 整 环。设v 和y 7 是m 维自由左或右皿模和兄7 一模假设s ：m + a 和= m 7 + 8 分别 是y 和y7 的平面，m 是v 的几维了空间，m 7 是v 的住7 维了空间，a va 7 v 7 如 2 果妒是一个从a g ( s ) 至：i j a g ( s ) 的强直射，即保持直线平行性的直射，那么n = 扎，r 和r 7 是同构的，并且妒= 妒( z + a ) 妒( o ) 是从m 到m 7 的一个半线性双射 上面的定理可以写成下面的形式 命题1 1 3 ( 见 1 】中定理3 4 3 ) 设m n 2 ，m 7 佗7 2 ，r 和硝是两个b e z o u t 整 环，a m = a g ( r 仇) 或a g ( m r ) ，a ，m = a g ( r 7 m ) 或a g ( m r 7 ) 设s 是a m 中n 维平面， 是a ，m 中礼维平面如果妒是从a g ( s ) 至：u a g ( s 7 ) 的强直射，那么n = 佗7 ，并且r 是 到兄7 的同构或是到冗7 的反同构而且，我们有 ( 1 ) 如果a m = a g ( r m ) ，a 二= a g ( r ) ，那么妒有这样的形式 妒( z ) = z 盯t - 4 - d ，v z s ； ( 2 ) 如果a m = a g ( ”r ) ，a 二= a g ( m r ，) ，那么妒有这样的形式 垆( z ) = t x 仃+ d ，比s ； ( 3 ) 如果a m = a g ( 舻) ，a ：n = a g ( m 冗，) ，那么妒有这样的形式 妒( z ) = t z 7 + d ，v x s ； ( 4 ) 如果a m = a g ( m 尺) ，a ，m = a g ( r 7 m ) ，那么妒有这样的形式 妒( z ) = 。( z f ) r - 4 - d ，协 在上面的等式中，盯是从r 到爿的同构，7 是从r 到厅的反同构，t 是可逆的，d 近几年，国外学者a l a s h k h i 和t k v i r i k a s h v i l i 4 ，5 】也研究了有不变基数性质的环 上仿射几何，得到一些结果 一个环r 叫做局部环，如果r r a d r 是一个体( 除环) ，其中r a d r 是r 的j a c o b o s o n 根， 即尉拘所有的极大左理想的交集关于局部环的性质，可参见很多代数方面的著作，例 如 4 2 】中的第1 9 节局部环是很重要的一类环，在数学与实际问题中有广泛的应用关 于局部环上的几何代数与典型群研究己有很长的历史与大量的成果3 ，9 1 但是关于局 部环上仿射几何研究难度很大，很少见到文献，局部环上矩阵几何的研究也是一个空 白为了研究局部环上矩阵几何，我们需要对局部环上仿射几何理论作深入的研究，本 文的目的就是在此方面作一些探讨性的工作 1 2 本文的主要内容 本文主要讨论局部环上的仿射几何，文章共分为三章 3 第一章，主要介绍了矩阵几何的背景、研究动态及发展趋势；并且还介绍了除环 和b e z o u t 整环上的仿射几何基本定理 第二章，介绍了局部环的一些重要性质、定理，例如：如果每一个自由左( 右) 皿 模f 的任意两组基均有同样的势，则称环r 具有不变基数性质；如果一个环冗有i b n 性 质并且任意的稳定自由且模是自由的，则称r 为h e r m i t e 环；如果一个有限环冗的零 元0 和它的零因子构成r 的一个主理想( p ) 则称尺为伽罗瓦环；以及局部环上的仿射几 何、仿射同构、直射、保幺模等重要概念重要结论为： 设r 是一个交换局部环，形是一个n 维尺一模，s 是舻中一个n 维平面，0 1 ，p a g ( s ) 是两个不同的点，并且0 一p 是幺模的，则存在一条唯一的直线包含o l ，p 而且， 这条唯一的直线为 z = ( q p ) + p 第三章，为本文的主要部分，本章初步探讨了在什么条件下，局部环上两个仿射几 何之问的直射是半线性映射；并且在保幺模和保直线平行性的条件下证明了交换局部 环上仿射几何基本定理以及一些结论本文最后还讨论了交换局部环上的射影几何基 本定理以及一些结论主要结果为： ( 1 ) 设m ，n 2 ，r 1 和r 2 是两个交换局部环，令k 是礼维的自由冗。一模，k 是m 维的 自由r 2 一模设妒是从a g ( v i ) 到a g ( ) 的保幺模性与保直线平行性的直射，并且( o ) ： 0 则礼= m ，且妒将中的每个r 维子空间变到中的一个r 维子空间，r = 1 ，n 而 且，任取中的一个r 维子空间( q 1 ) 一，q ，) ，我们有 妒( ( a 1 ，q ，) ) = ( 妒( q ) ，妒( q ，) ) ( 2 ) 设砰和毋分别是交换局部环r 和r 2 上的佗维自由模( 礼2 ) ，设妒是从4 g ( 研) 到a g ( 碴) 的直射，同时妒保幺模性和保直线平行性，并且妒( o ) = 0 则存在一个固定 的环同构口：r i 一疡与一个固定的p g l 礼( 忍) ，使得 妒( z ) = z 盯p vz 月彳 ( 3 ) 设m l n l 2 ，m 2 1 7 , 2 2 ，r 1 和兄2 是两个交换局部环设k 和k 分别是m 维自由r r 模和兄2 一模假设岛= 尬+ a l 和岛= + a 2 分别是和k 中的仿射平 面，尬是的n l 维了空间，尬是k 的n 2 维了空间，n 1 ，凸2 k 如果妒是一个 从a g ( ) 到a g ( 岛) 的保幺模性与保直线平行性的直射，则矽( z ) = 妒( z + n 1 ) 一妒( 0 1 ) 是从m ，到尬的一个半线性双射 4 第二章局部环的基本概念 2 1局部环的性质 这一章我们将讨论局部环上的仿射几何下面我们先来介绍一些相关的基本概念 和基本知识本文所有的环都是有单位元1 的结合环，并且1 0 定义2 1 1 【7 ， 4 2 】环r 的所有的极大左理想的交，叫做环兄的j a c o b o s o n 根，记 作r a d r 引理2 1 2 【4 2 】对于y r 下面的条件等价： ( 1 ) ye r a d r ( 2 ) 1 一x y z r + 对任意的z ，z r ( 3 ) 1 一z 可是左可逆的，对任意的z r 环冗叫做j a c o b s o n 半单的( 或简称j 一半单) ，如果r a d r = 0 j a c o b s o n 半单环也叫做 半本原环对于任意的环r ，r r a d r 是与r 相关的了一半单环 一个环r , q 做局部环，如果r r a d ( r ) 是一个体( 除环) 关于局部环的性质，可参见 很多代数方面的著作，例如 4 2 】中的第1 9 节 定理2 1 3 ( 见 4 2 1 中的定理1 9 1 ) 设j f 2 是一个环，则下面条件等价： ( 1 ) 月是局部环 ( 2 ) r 有唯一的极大左理想 ( 3 ) r 有唯一的极大右理想 ( 4 ) 兄的所有非可逆元集合是r 的一个理想 ( 5 ) r 的所有非可逆元集合是兄的一个加法子群 ( 6 ) 设a r ，则n 可逆，或者1 一。可逆 ( 7 ) 设0 1 ，a n r 且a 1 + + 口n 是可逆的，贝1 j a l ，中至少有一个可逆元 定义2 1 4 【7 ，8 】设r 是一个环，如果每一个自由左( 右) 尼模f 的任意两组基均有 同样的势，则称r 具有不变基数性质( 简称i b n 性质) 如果r 具有i b n 性质，则自由 左( 右) 尼模f 的任一组基的势叫作f 在r 上的维数，记作d i m r e ( 简写为d i m f ) 或r k f 定义2 1 5 i s 】一个环r 叫做+ 一个h e r m i t e 不，如果它有i b n 性质并且任意的稳定自 由尼模是自由的 k a p l a n s h y 于1 9 5 8 年证明了，局部环上的任意个投射模是自由的( 参见【4 2 中的定 5 理1 9 2 9 ) 因此，局部环上每个稳定自由模( 它是投射模) 是自由的，从而得到 引理2 1 6 局部环是h e r m i t e 环 著名数学家p m c o h n 证明了：环兄为h e r m i t e 环的充要条件是：r 上每个有右( 左)