（应用数学专业论文）二阶脉冲微分方程边值问题.pdf

巾北大学学位论文 摘要 脉冲微分方程边值问题作为微分方程的一个重要组成部分，由于它的广泛应用背景而 受到人们的普遍关注研究边值问题的方法很多，其中泛函分析方法应用的最为广泛，存绝 大多数的边值问题文章中我们都或多或少的能看到它的理论，而上下解和单调迭代技术足 另一个有效且简便的方法本文讨论了二阶微分方程边值问题，包括微分系统、脉冲微分系 统和脉冲泛函微分方程而对二阶脉冲泛函微分方程分别探讨了在不同的边界条件和不同 的上下解定义下解的存在情况 本文共分为四章，主要讨论了两大部分的内容第一部分( 第二章) 主要研究了二阶( 脉 冲) 微分系统边值问题解的存在性第二部分( 第三，四章) 主要讨论了二阶脉冲微分泛函方 程在两种不同的非线性边界条件下极值解的存在性问题具体框架如下： 在第一章绪论部分，简单介绍了脉冲微分方程、边值问题、上下解和单调迭代技术等的 产生历史背景、研究目的和理论意义 在第一二章，通过推广一卜下解的定义，利用b r o u w e r ，s c h a u d e r 等不动点定理得到了二阶 微分系统边值问题和二阶脉冲微分系统边值问题解的存在性问题 在第三章，讨论了边界条件为z ( o ) = z ( t ) + 后1 ，9 ( z 7 ( o ) ，x 7 ( 丁) ) = 0 的二阶脉冲泛函微 分方程边值问题极值解的存在性首先建立了个脉冲微分比较定理，然后通过这个比较 定理得到了所研究边值问题对应的线件边值问题解的存在惟一性，接着由建立的比较定理 和单调迭代法得到了所研究边值问题极值解的存在性，并举m 例子加以说明 在第四章，通过建立脉冲微分比较定理，应用上下解和单调迭代技术得到了非线性边 界条件为夕( z ( o ) ，z ( t ) ) = 0 ，h ( z 7 ( 0 ) ，z 7 ( 丁) ) = 0 的二阶脉冲泛函微分方程边值问题在经典的 上下解定义和推广的上下解定义下极值解的存在性问题最后对经典上下解定义下的情况 给出例子加以说明 关键词：微分系统，脉冲微分系统，脉冲泛函微分方程，边值问题，非线性边界条件，不 动点定理，上下解，单调迭代技术 笫i 页 巾北大学学位论文 a b s t r a c t a sa ni m p o r t a n ta s p e c to fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb o u n d - a r yv a l u ep r o b l e m sh a v eg a i n e dm o r ea t t e n t i o nb e c a u s ei th a sw i d ep r a c t i c a lb a c k g r o u n d t h e r ea r em a n ym e t h o d si ns o l v i n gt h e s ek i n d so fp r o b l e m s ，h o w e v e r ，f u n c t i o n a la n a l y s i si s t h em o s tw i d e r a n g i n ga p p r o a c ha n dt h eu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sc o u p l e dw i t hm o n o t o n e t e c h n i q u ea r em o r ec o n v e n i e n ta n de f f e c t i v e i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t es e v e r a lc l a s s e so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs e c o n dd i f f e r - e n t i a le q u a t i o n s ：d i f f e r e n t i a ls y s t e m s ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sa n di m p u l s i v ef u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a n df o ri m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw ec o n s i d e rd i f f e r - e n c eb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dd i f f e r e n c ed e f i n i t i o no ft h eu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s t h et h e s i se n c o m p a s s i n gf o u rc h a p t e r si sd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s t h ep a r tii st h ef i r s t c h a p t e r w h i c hm a i n l yc o n s i d e r sh i s t o r i c a lb a c k g r o u n d ，r e s e a r c ho b j e c t i v e sa n dt h e o r e t i c a l s i g n i f i c a n c e t h es e c o n dc h a p t e ri st h ep a r ti i h e r ew ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m so fs e c o n do r d e r ( i m p u l s i v e ) d i f f e r e n t i a ls y s t e m s b yg e n e r a l i z i n gt h ed e f i n i t i o n o fl o w e ra n du p p e rs o l u t i o n s ，u s i n gb r o u w e ra n ds c h a u d e r sf i x e dp o i n tt h e o r e m s ，w eg e t t h ee x i s t e n c eo fa t1 e a s to n es o l u t i o n t h et h i r da n df o u r t hc h a p t e r sc o n s t i t u t et h el a s tp a r t w ec o n s i d e rs e c o n di m p u l - s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t ht h en o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n s x ( 0 ) = x ( t ) + 忌1 ，g ( x 7 ( o ) ，z 7 ( t ) ) = 0a n d 夕( z ( o ) ，z ( 丁) ) = 0 ，h ( x 7 ( 0 ) ，x 7 ( t ) ) = 0 i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t ht h ef i r s tb o u n d a r y c o n d i t i o n s f i r s t l y , w ee s t a b l i s hi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e sa sc o m p a r i s o np r i n c i p l e s a n dw ep r o v et h ee x i s t e n c e n e s sa n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n sf o rt h el i n e a ri m p u l s i v e f u n c t i o n a le q u a t i o n s n e x t ，b yu s i n gt h ec o m p a r i s o np r i n c i p l e s ，t h em o n o t o n ei t e r a t i v e t e c h n i q u ea n dt h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sw eo b t a i nt h ee x i s t e n c ef o rt h e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fs e c o n di m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht h ef i r s t b o u n d a r yc o n d i t i o n s f i n a l l y , w eg i v ea ne x a m p l et oi l l u s t r a t e 巾北大学学位论文 。 i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs e c o n di m p u l s i v e f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht h es e c o n db o u n d a r yc o n d i t i o n s i n t r o d u c et w od e f t - n i t i o n so fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ，t h a ti s ，t h ec l a s s i c a lo n e sa n dt h ee x t e n d e do n e s w e o b t a i nt h ee x t r e m a ls o l u t i o n so ft h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sb yu s i n gc o m p a r i s o np r i n c i - p l e sa n dm o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u ei nt h ec a s eo ft h ec l a s s i c a lu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s a n dt h ee x t e n d e do n e s ，r e s p e c t i v e l y f i n a l l y , w eg i v et w oe x a m p l e st oe x p l a i nt h ee x i s t e n c e r e s u l t sf o rt h ee x t r e m a ls o l u t i o n si nt h ec a s eo ft h ec l a s s i c a lu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s k e yw o r d s ：d i f f e r e n t i a ls y s t e m s ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s ，i m p u l s i v e f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，n o n l i n e a rb o u n d a r y c o n d i t i o n s ，f i x e dp o i n tt h e o r e m ，u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ，m o n o t o n ei t e r a t i v e t e c h n i q u e 第1 i i 页 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行 研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人或 集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确 论文作者签名： 任由本人承担。 日期： 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包括：学校 有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、 缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借 阅；学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文：学校可以公布学 位论文的全部或部分内容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签名： 主缉篷蛹 导师签名：拐咚虱皇卜 日期： 中北大学学位论文 第一章引言 1 1 研究意义 在科学和技术的许多领域中，如理论物理、工业控制、航天技术、信息科学、生命科学、 种群动力学和流行病动力学等，常常有在同定时刻或不固定时刻发生快速变化或跳跃的发 展过程，我们把描述这类现象的数学模型，称之为脉冲微分方程( 参见 1 3 ) 这类方程最 突出的特点是能够充分考虑到瞬时突变现象对状态的影响，能够更深刻、更精确的反映自 然界的变化规律随着科学技术的快速发展，出现了越来越多的脉冲现象譬如，可应用于 大型空间航天器的减振装置、卫星轨道的转换技术；还可用于神经网络、混沌控制、机密通 讯的等的研究，因而对它的研究也显得越来越重要 边值问题作为微分方程研究的一个重要问题，其相关理论可以追溯到牛顿和莱布尼茨 建立微积分的最初阶段2 0 世纪以来，随着数学相关分支的发展以及在实际问题的推动下， 边值问题的研究在过去的近半个世纪里发展十分迅速至今，无论在问题的深度和广度方 面，还是在研究方法上都有了很大的发展除了传统的一阶、二阶常微分方程两点边值问题 以外，开始研究高阶微分方程的边值问题( 参见3 8 4 0 ，4 4 1 ) 并随着新问题的出现，形成了许 多新的研究方向例如：脉冲边值问题( 参见 3 1 3 4 ) ；奇异边值问题( 参见 6 ，1 3 ，4 4 ) ；无穷区 间上的边值问题( 参见 3 5 一a t ) ； 特p - l a p l a c e 算子的微分方程的边值问题( 参见 4 0 一4 2 ，4 4 ) ；非 局部边值问题( 参见f 3 6 ，4 4 ，4 5 ) 等等研究边值问题的方法很多，其中泛函分析方法应用的最 为广泛，在绝大多数的边值问题文章中我们都或多或少的能看到它的理论；上下解和单调 迭代技术是一个有效且简便的方法 从上世纪九十年代以来，脉冲微分系统引起了许多学者的重视和兴趣一日对其研究日趋 活跃，也取得了许多重要的研究成果但足近几年来研究脉冲微分系统边值问题的文章还很 少见，其中大部分是利用不动点定理等拓扑度理论来讨论的( 见 1 3 1 5 】) 2 0 0 4 年e u nk y o u n gl e e 和y o n g - h o o nl e e 在| 1 3 1 中用上下解和不动点指数讨论了二阶脉 冲微分系统多个正解的存在性 2 0 0 8 年l i s h a nl i u 等在文1 4 1 中在有序b a n a c h 空间中应用不动点指数定理研究了非线性 二阶奇异脉冲微分系统边值问题 2 0 0 8 年j i n gz h a o 等在1 5 1 中通过s h a u d e r 不动点定理讨论了b a n a c h 空间中一阶脉冲微分 巾北大学学位论文 系统无穷边值问题解的存在性问题 2 0 0 3 年x i a o j i n gy a n g 在 1 6 】通过把上下解的概念推j “到微分系统利用b r o u w e r 不动点定 理讨论了二阶微分系统的d i r i c h l e t 边值问题在实际应用中，脉冲微分系统相对于不加脉冲 的微分方程应用范围更广，更能反映现实世界中的一些问题因此，我们迫切从理论上对它 进行研究 单调迭代法和上下解方法的研究至少可以追溯到十九世纪末的e p i c a r d 时期1 9 8 5 年， g s l a d d e ，v l a k s h m i a n t h a m ，a s v a t s a l a 在其论著【8 1 中总结出了使用单调迭代法与上下 解方法的，般步骤，并用此方法解决了一阶常微分方程初值、边值及终值问题解的存在性； 二阶常微分方程的边值问题解的存在性；椭圆方程解的存在性；抛物方程解的存在性：双曲 方程解的初值及周期边值问题解的存在性随后，这一方法引起了许多数学家的注意和广 泛关注，并随着微分方程的不断发展，它的使用越米越多，现已成为解决非线性问题的最有 用的工具之一( 见 3 ，8 ，3 0 】) 近年来，已有许多作者用上下解和单调迭代技术( 见 1 7 - 2 5 】) 讨 论了一阶脉冲时滞微分方程、二阶常微分方程、二阶脉冲常微分方程、二阶泛函微分方程及 二阶脉冲泛函微分方程等，使这一方法得到了很好的发展但是，其中大部分讨论的边界条 件都足线性的( 见 2 1 2 5 1 ) ，研究非线性边界条件的文章还很有限( 见 1 7 - 2 0 ) ，而非线性边界 条件更能反映自然界、应用也更广泛在本文的后三章我们主要探讨了带有非线性边界条件 的二阶脉冲泛函微分方程边值问题 1 2本文主要的工作 本文共分四章在第一章绪论部分，简单介绍了问题产牛的历史背景、研究目的和理论 意义 在第二章，通过推广上下解的定义，利用b r o u w e r ，s c h a u d e r 等不动点定理得到了二阶 微分系统边值问题和二阶脉冲微分系统边值问题边值问题解的存在性问题 在第三章，通过上下解和单调迭代法讨论了带有边界条件为x ( o ) = x ( t ) + k 1 ，9 ( x 7 ( o ) ， z “丁) ) = 0 的二阶脉冲泛两微分方程边值问题极值解的存在性，并举出例子加以说明 在第四章，主要考虑了带有非线性边界条件夕( z ( o ) ，z ( t ) ) = 0 ，h ( x ( o ) ，z 7 ( t ) ) = 0 的二 阶脉冲泛函微分方程边值问题在经典的上下解定义和推广的一卜下解定义下下极值解的存在 性问题，最后并给出例- 了加以说明 第2 页 巾北大学学位论文 第二章二阶微分系统边值问题解的存在性 本章主要研究- y - - 阶微分系统边值问题和二阶脉冲微分系统边值问题解的存在性问题 在第2 1 节，给出了无脉冲效应发生的二阶微分系统边值问题解存在的充分条件；在第2 2 节， 利用不动点定理得到- y - - 阶脉冲微分系统边值问题解的存在性问题 2 1二阶微分系统边值问题解的存在性 近年来，对于二阶微分方程边值问题解的研究已有一些研究成果( 参见 2 6 2 9 ) ，但对于 二阶微分系统的讨论还比较少2 0 0 3 年x i a o j i n gy a n g 在 1 6 通过把上下解的概念推广到微分 系统利用b r o u w e r 不动点定理讨论了边值问题： ， l ( t ) = f ( t ，z ) ， iz ( o ) = x ( 1 ) = 0 ， 得到了该问题解的存在性条件 本文对二阶微分系统： 一z ( ) = f ( t ，z ) ，t 0 ，1 】= i ， ( 2 1 1 ) x ( o ) = o ，z ”) = 0( 2 1 2 ) 解的存在性问题进行了讨论 为了以下讨论的方便我们先给出以下几个定义 定义2 1 1 若函数m ( t ) c 2 j ，r ”】满足( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) ，则称m ( t ) 是边值问题( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 的解 定义2 1 2 定义在c 2 【j ，形】上的仡对函数 0 f t ( t ) ) 翟1 和( 屈( t ) 翟1 ，如果分别满足： q ( t ) 屈( t ) ，t i ，i = 1 ，礼， 一a ? ( t ) 五( t ，x l ，x i 一1 ，o i ( t ) ，x i + l ，z 。) ， q i ( o ) 0 ，q ：( 1 ) 0 ， 一饯i 1 ( t ) 五( t ，x l ，x i 一1 ，觑( t ) ，x i + l ，x n ) ， ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 筇3 页 巾北大学学位论文 屈( o ) 0 ，腰( 1 ) 0 ，( 2 1 6 ) ( 这里t i ，i = 1 ，n ，z q 亍 zq l ( t ) z i 反( t ) ，t i ，i = 1 ，2 ，n ) ) ，则 称 叱( t ) ) 鍪1 和 屈( t ) ) 鍪1 分别为边值问题( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 的下解和上解进一步，若( 2 1 3 ) 和( 2 1 5 ) 中的不等式严格成立，则称 叱( ) ) 鍪1 和 觑( ) 翟1 分别为边值问题( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 的严格下解和严格上解 定理2 1 1 设q 是一个凸集，f ：i r n _ 研上的连续函数，五对单调不减，即： 如果u j v j ，( x l ，x j 一1 ，+ 1 ，x n ) 和( z 1 ，巧一1 ，x j + 1 ，z n ) q ，则 触z 1 ，_ l ，让纳+ 1 ，z n ) 她z l 一， 1 ，+ 1 ，z n ) ， ( 2 1 7 ) i ，j = 1 ，2 ，n ，t i 且存在( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 的n 对下解和一卜解 q t ( t ) 翟1 和 屈( t ) ) 銎1 满足： 量g ，s ) 五( s ，a “s ) ，a n o ”如。“o ，t ，z ：1 ，n ， ( 2 1 8 ) i 片g ( t ，s ) ( s ，p 1 ( s ) ，阮( s ) ) d s 屈( ) ， 、 这里 g c s ，t ，= 0 善三? 三二妻i c 2 9 ， 则边值问题( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 至少存在一个解 证明： 定义n 个连续函数 死) 警1 ： f q t ( ) ， 当 让 叱( ) ， 死( t ，让) = 饥， 当 ( t ) 札屈( ) ， ( 2 1 1 0 ) i 屈( 亡) ， 当 屈( t ) 饥 设f ( t ，z ) = ( r ( t ，z ) ，r n ( t ，z ) ) ，其中 r ( ，z ) = 只( ，x l ，z 竹) = 五( t ，7 r 1 ( t ，x 1 ) ，7 r n ( ，z 几) ) ，i = 1 ，礼，t i ( 2 1 1 1 ) 则当z q 时f ( ，z ) = f ( t ，z ) ，且r ( t ，z ) 是有界连续函数 现在，我们仅需证明微分系统 - - x = f ( t ，z ) ，( 2 1 1 2 ) 第4 页 巾北大学学位论文 在边界条件( 2 1 2 ) 下至少有一个解z ( ) l - t 定义一个算子t ：t x = ( t l z ，瓦z ) ，其 中z 毋和 ，上 t x ( t ) = g ( t ，s ) e ( s ，x l ，x n ) d s ，i = 1 ， t i j 0 利用以上条件可得： ( a ) 丁q q ； ( b ) t 是有界紧算子； ( c ) ( 2 1 1 2 ) 和( 2 1 2 ) 的任意解x ( t ) 都属于q 下面先证( a ) 成立设z q ，即0 f t ( ) 兢( t ) 屈( t ) ，i = 1 ，n ，t ，又因为g ( ，8 ) 0 ，及( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 有 互z ) = 詹c ( t ，s ) 五( s ，z 1 ，z 。) d s 时c ( t ，s ) 五( s ，q ，q 。) d s 0 1 t ( t ) ， 和 互z ( ) = 詹c ( t ，s ) ( s ，z - ，z 。) d s 詹c ( t ，s ) 五( s ，屈，风) d s 屈( t ) i = 1 ，n ，t i ，这就证明了t qcq 由t ，f 的定义以及，的连续性容易看出，t 是有界紧集从而得( b ) 下证( c ) 成立事实上，设z ( t ) = ( x l ( t ) ，z n ( t ) ) 是( 2 1 1 2 ) 和( 2 1 2 ) 的任意一个解 首先，我们在 叱( t ) ) 鍪1 和 屈( ) ) 坠1 是( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 的严格下解和严格上解的情况 下进行证明 令m ( t ) = z t ( t ) 一q t ( t ) ， i = 1 ，孔，t i ， 那么 仇( o ) = 翰( o ) 一及 ( o ) 0 ，硝( 1 ) = z ：( 1 ) 一q ：( 1 ) 0 如果存在幻( o ，1 ) ( 若t 。20 则显然z t ( t ) ( ) ，已证) 使得曾( t ) 2 仇( 。) ，则磋( t 。) = 0 ， 和 吃7 ( t o ) 0 ( 2 1 1 3 ) 另一方面，对任意的幻( 0 ，1 ) ，吃m o ) = z ? ( 如) 一q ? ( 幻) a ( t ，x l ，x i 一1 ，瓯( t ) ，x i + 1 ，z 。) ， ( 2 1 1 5 ) 瓯( o ) = 叱( o ) + ，( 2 1 1 6 ) a ：( 1 ) = a t e ( 1 ) 一e 2 c 一 ( 2 1 1 7 ) 对( 2 1 1 6 ) 和( 2 1 1 7 ) 式两边同时令一。取极限，可得彘( o ) 0 ， a ：( 1 ) 0 所以由 以上证明可得 耽( t ) 嘞( t ) + o l i ( t ) + e 一盯，t i ( 2 1 1 8 ) 对( 2 1 1 8 ) 式令e _ 0 取极限得x i ( t ) o l i ( t ) 同理。日j 证z i ( t ) 屈( t ) 因此o z i ( t ) sx i ( t ) s 屈( t ) ，即z ( ) q 由已知条什及以上证明，利用b r o u w e r s 不动点定理可得丁至少有一个不动点z + q ，再 由t 的定义, - i 失n t 的仟意一个不动点都是( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 的解定理得证 2 2二阶脉冲微分系统边值问题解的存在性 在上一节利用上下解和b r o u w e r 不动点定理讨论y - 阶微分系统边值问题( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 得到了该边值问题解的存在条件在实际应用中，脉冲微分系统【1 3 1 6 】的应用范围更广，更能 反映现实世界中的一些问题因此，我们对它的研究就显得很有必要 本节考虑下列脉冲微分系统边值问题： i z ( t ) = 厂( t ，z ( t ) ) ，t j = 0 ，1 】，t t k ， z o = 厶 o o ) 尼= 1 ，2 ，弘 ( 2 2 1 ) ia x 他k ) = 圪( z ( 南) ) ，k = 1 ，2 ，p ， iz ( o ) = 0 ， z ，( 1 ) = 0 第6 页 中北大学学位论文 这里z = ( x l ，z n ) ，c ( j r n ，r 扎) ，厶，露c ( 只帆，r ”) ，0 t l t 2 t p 1 ，a x ( t 七) = ( z 1 ( t 七) ，a x 。( t 七) ) ，a x 7 ( t k ) = ( j , x i ( t k ) ，z 二( t 七) ) ，a x i ( t k ) = z t ( t 去) 一 z i ( t i ) ，z x x ：( t k ) = z ：( t j ) 一z ：( i ) ，k = 1 ，2 ，p ，i = 1 ，n 定义如= j t x ，t 2 ，t p ，p c ( j , r n ) = z ( t ) ：j 一矽：x ( t ) 当t k 时连续， z ( 去) ，x ( t ；- ) 均存在f t x ( t 七) = z ( t i ) ，k = 1 ，2 ，p ) ，尸c 7 ( zr 几) = z ( t ) ：j _ r ”： z 他) 当t t k 时连续，x t ( 古) ，z 他i ) 均存在且z 7 ( t k ) = z 他i ) ，k = 1 ，2 ，p ) 如果定义范 数i l zi i p c = s u p jz i ( t ) i ：t o r , i = 1 ，n 矛l l l ixi l p c ，= m a x | | xl i p c ，| | z 7i i p c ， n p c ( j , r ”) 和尸c 7 ( z 冗”) 为b a n a e h 空间设q = p c 7 ( zr “) nc 2 ( 山，r ”) ，称x ( t ) q 是 边值问题( 2 2 1 ) 的解当且仅当x ( t ) 满足( 2 2 1 ) 定义2 2 1 称定义在q l - 的n 对函数 叱( t ) ) 鍪1 是边值问题( 2 2 1 ) 的下解，如果 i q ? ( ) 五( t ，q 1 ( ) ，o l 。( t ) ) ， 叱( 。七) k , ( a 1 ( 姐一，n ( 姚( 2 2 2 ) 、二二二， i a ：( t k ) 呢( q 1 ( t k ) ，q 。( t 七) ) ， iq i ( o ) 0 ， q ：( 1 ) 0 如果( 2 2 2 ) 中的反向不等式成立，则称定义在q 上的n 对函数 屈( t ) ) 坠1 为边值问题：2 2 1 ) 的 上解，n _ a i ( t ) 屈( t ) ，t zi = 1 ，n 定义a = xi ( t ) z i ( t ) 屈( ) ，t zi = 1 ，n 定理2 2 1 设a 是一个凸集，：j r n _ 帮上的连续函数，五对巧单调不减，即： 如果u j v j ，( x l ，巧一1 ，巧+ 1 ，z 。) 和( z 1 ，x j 一1 ，v j ，+ 1 ，x n ) a ，则 五( 。，z 1 ，一l ，u j ，+ 1 ，z n ) ( 亡，z 1 ，一1 ，x j + 1 ，z n ) ， ( 2 2 3 1 i ，j = 1 ，2 ，n ，t z 厶。关于巧单调不减，吃关于单调不增，i ，j = 1 ，2 ，n ，且存在边值问- n ( 2 2 1 ) 的n 对 下解和上解( q t ( t ) ) 翟1 和 屈( t ) ) 鍪1 满足： 厶i ( 乜- ( 血) ，a 。( 如) ) 一c ( t ，t k ) 咒( q - ( 如) ，o l 。( t 七) ) 0 。2 j o d 1 ( 2 2 4 ) + 片g ( t ，s ) ( s ，q 1 ( s ) ，q n ( s ) ) d s 叱( t ) ， 厶。( p l ( t 七) ，风( 岛) ) 一ec ( t ，t 七) 磁( 岛( 南) ，风( t 南) ) 0 t k t0 t k l ( 2 2 5 ) + j ? c ( t ，s ) a ( 8 ，p ，( s ) ，风( s ) ) d s 屈 ) ， 巾北大学学俯论文 这里t zi = 1 ，n ，c ( t ，s ) 由( 2 1 9 ) 给出则脉冲微分系统边值问题( 2 2 1 ) 至少存 在一个解 证明： 按照( 2 1 1 0 ) 定义n 个连续函数 f r 。】n ；1 设 ， i f ( ，z ) = ( 只( t ，z ) ，r ( t ，z ) ) ， 凰( z ( 嘲) = ( h k ，( z ( t 南) ) ，风。( z ( 血) ) ) ， 1 日i ( z 缸) ) = ( h ：。( z ( t 七) ) ，日；。( z 0 惫) ) ) ， 其中 lr ( ，z ) = r ( t ，x l ，z n ) = 五( ，7 r 1 ( ，z 1 ) ，( t ，z n ) ) ， 巩 o ) _ 觇x l d “如”乩“丌1 幻研) b ) ， ( 2 2 6 ) i ( z ( t 七) ) = 磁( z ，( t 七) ，z n ( 惫) ) = 呓( 7 1 1 ( t k ，z 1 ) ，7 r n ( t k ，z 订) ， l i = 1 ，n ，t z 贝0 当z ab c f f ( t ，z ) = f ( t ，z ) ，月l ( z ( 七) ) = 厶( z ( t 七) ) ，三瑶( z ( t 七) ) = 露( z ( 七) ) 因止匕，e ( t ，z ) ， h k , ( z ( t 七) ) ，h ；( z ( t 知) ) 是有界连续函数 现在，我们仅需证明下列脉冲微分系统边值问题 i z ( t ) = f ( t ，z ( t ) ) ，t j = 0 ，1 】，t t k ， 血( 如) - 日船x ( 如) ) ，k - 1 ，2 ，一p( 2 删 厶厶lj l z 7 ( t k ) = 域( z ( t 七) ) ，k = 1 ，2 ，p ， iz ( o ) = 0 ， z ，( 1 ) = 0 至少有一个解z ( ) a 定义一个算子t ：丁z = ( t l z ，死z ) ，其中z r n 和 t t x ( t ) = 詹a ( t ，s ) r ( s ，x l ，z n ) d s + h k ；( z l ( t 七) ，z n ( 如) ) 0 t k 一c ( t ，t ) 域。( x l ( t k ) ，x n ( 南) ) ，i = 1 ，n ，t z o t k l 经计算易得，算子丁的不动点就是脉冲系统边值问题( 2 2 7 ) 的解 利用以上条件可得： ( i ) ( 2 2 7 ) 的任意解茁( t ) 都属于a ； ( i i ) t ：a _ a 是紧算子 下面先证( i ) 成立事实上，设z ( t ) = ( x l ( t ) ，z n ( t ) ) 是( 2 2 7 ) 的任意一个解 巾北大学学伉论文 令吼( t ) = z ( ) 一q t ( t ) ，i = 1 ，礼，t i ，因为 碟( ) = z ，( ) 一o ，( ) = - f t ( t ，7 r l ( t ，x 1 ) ，( t ，x n ) ) 一n ，( ) 一a ( t ，7 r 1 ( ，x 1 ) ，7 k ( t ，x n ) ) + a ( t ，q 1 ( t ，z 1 ) ，q 。( t ，x n ) ) = 0 ， a q ：( t k ) = a x ：( t k ) 一a a ：( t k ) r ( i r l ( t k ，z ( 如) ) ，7 c 。( t k ，z ( 九) ) ) 一琨( a l ( t k ，z ( 南) ) ，o l 。( t k ，z ( t 七) ) ) = 0 所以，吭( t ) 在，上是不增的，又因为哌( 1 ) = z ：( 1 ) 一o ：( 1 ) 0 ，所以有班( 亡) 0 又由 于a 叩i ( t k ) i k ；( 丌1 ( 七，z ( t 七) ) ，7 ( n ( t k ，z ( t 七) ) ) 一厶。( o l l ( t k ，z ( 亡知) ) ，o l n ( t 七，z ( t 七) ) ) = 0 我们有仇( t ) 在j 上是非减的，又因为仇( o ) = 兢( o ) 一叱( o ) 0 ，因此吼( ) 0 ，即z i ( t ) a i ( ) ，t i ，i = 1 ，n 同理可证翰( t ) 屈( t ) ，t i ，i = l ，m ， 卜证( i i ) 成立事实上，设z a ，即o t ( t ) x i ( ) 屈( ) ，i = 1 ，n ，t i ，又因 为g ( t ，8 ) 0 ，及( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 有 t t z ( t ) = j g ( t ，s ) 五( s ，z 1 ，z 。) d s + 厶。( z 1 ( t 七) ，x n ( 如) ) 一 o t k t g ( t ，七) 呓( z l ( t 七) ，z n ( 如) ) 片o ( t ，s ) 六( s ，q 一，q 。) d s + o t k 1 厶；( 口1 ( t 七) ，a 。( 七) ) 一g ( t ，如) 坛( a 1 ( t k ) ，a 札( 七) ) q i ( t ) 肃j t x ( t ) = 尉g ( t ，s ) 五( s ，z 1 ，z 。) d s + 厶。( z 1 ( 七) ，x n ( 凫) ) 一 o t k g ( t ，t 七) ( z 1 ( 如) ，z 。( t 惫) ) 爿o ( t ，s ) 六( s ，屈，风) d s + o t k 上 厶。( p ( 如) ，风( 如) ) 一o ( t ，如) 砭( p ( 七) ，风( t 七) ) 岛( t ) 0tk0tk1 i = 1 ，礼，t i ，这就证明了t aca 由丁，f ，凰，域的定义以及厂，死，圪的连续性容易看出，t 是紧算子因而f h s c h a u d e r 不 动点定理可得t 在a 中有不动点，即脉冲微分系统边值问题( 2 2 7 ) 在a 中至少有一个解， 又有( 2 2 6 ) 和死( t ，t t ) 的定义可得脉冲微分系统( 2 2 7 ) 在a 中的解就是脉冲微分系统( 2 2 1 ) 的 解因此，脉冲微分系统边值问题在a 中至少有一个解 第9 贞 中北大学学1 1 f 7 = 论文 第三章 带x ( o ) = x ( t ) + k l ，g ( x 7 ( o ) ，x i ( 丁) ) = 0 的二阶脉冲泛函 微分方程边值问题 3 1引言及引理 近年来，随着一些泛函、拓扑等其它数学分支的发展使得微分方程也有了飞速地发展， 边值问题作为其一个重要的方面也越来越引起人们的关注也有了大量的研究成果：文f 1 2 ， 2 0 ，2