（机械电子工程专业论文）基于awe的机床床身优化设计.pdf

硕士学位论文 摘要 随着精密机床向高速度、高精度、高柔度方向的迅速发展，除了要求机床重 量轻、成本低、使用方便和具有良好的工艺性外，还要求机床具有愈来愈高的加 工性能。机床的加工性能包括其加工质量和切削效率两个重要的方面，通常用被 加工零件能达到的最高精度和表面光洁度来评定机床的加工质量，用金属切除率 或切削用量的最大极限值来评定机床的切削效率。而机床的加工性能又与其静态 和动态性能紧密相关，事实证明，随着机床加工精度的不断提高，对机床性能的 要求也愈来愈高。 机床床身的成本是机床价格的重要组成部分，因此减轻床身的质量能有效的 降低成本。但是床身的各项性能与床身的结构有很大关系，所以研究如何减轻床 身的质量又不影响机床的加工性能成为一个关键的问题。 本文以某型立式加工中心床身为例，对其质量进行了基于响应面法的d o e 优化设计。首先介绍了机床及结构优化的国内外研究状况，其次利用p r o e 对机 床床身的简化建模，通过a n s y sw o r k b e n c h 协同仿真平台下对三种类型的筋板 布置的模型进行简单的静力学和模态分析，通过结果的对比选出静态和动态特性 最优的布置，之后再回到p r o e 中对选出的床身根据床身结构重新建模，并且对 其中的设计变量进行参数化设置，再导入到a n s y sw o r k b e n c h 中根据厂家的要 求加载荷和约束，然后进行静态和动态分析，最后在a n s y sw o r k b e n c h 的 d e s i g n x p l o r e r 模块下，以床身质量的最小化为目标，以床身壁厚和筋板厚度的 尺寸为设计变量，把厂家对床身性能参数的要求作为优化的约束条件，对床身结 构进行d o e 设计优化，之后在给出的几个备选方案中，采用最新的模糊综合评 判法找出最优方案，从而使优化的选择有理论上的依据。本文综合运用了先进的 c a d 软件建立物理模型，有限元的设计方法，优化设计理论，方案评价方法， 为现代的机床铸件部分的设计提供了一种新的设计思路。 关键词：优化设计床身d o e 技术有限元模糊综合评判法 a b s t r a c t a b s t r a c t 、m t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fp r e c i s i o nm a c h i n et o o l si nh i g h e rs p e e d 。h i g h e r p r e c i s i o na n dh i g h e rf l e x i b i l i t y ，b e s i d e st h er e q u i r e m e n to fm a c h i n e sw e i g h tb e i n g l i g h t ，l o w e rc o s t ， c o n v e n i e n ta p p l i c a t i o na n dg o o dt e c h n i c a lc a p a b i l i t yi n c l u d e s m a c h i n i n gq u a l i t ya n dc u t t i n ge f f i c i e n c y m a c h i n e sm a c h i n i n gc a p a b i l i t yi su s u a l l y a s s e s s e db yt h et i p t o pp r e c i s i o na n ds u p e r f i c i a lr o u g h n e s st h a tc a nb er e a c h e do ft h e b e i n gp r o c e s s e dp a r t t h ec u t t i n ge f f i c i e n c yi su s u a l l ya s s e s s e db yt h em o s tl i m i t v a l u eo fr e m o v a lr a t eo rc u t t i n gd o s a g e a n dm a c h i n i n gc a p a b i l i t yi s c l o s e l y c o r r e l a t i o nw i t hm a c h i n e ss t a t i ca n dd y n a m i cc a p a b i l i t y i ti sp r o v e dt h a tt h ed e m a n d o fm a c h i n e sd y n a m i cc a p a b i l i t yi s h i g h e ra n dh i g h e rw i t ht h ei m p r o v e m e n to f m a c h i n i n gc a p a b i l i t y m a c h i n et o o li st h em o s tv a l u a b l ei nm a c h i n i n g t h el i g h t e ro ft h em a c h i n e b e d ，t h el e s s c o s t l yo ft h ep r i c e i t sb e di sa ni m p o r t a n tp a r ti n f l u e n c i n gi t s c a p a b i l i t y i t sb e c o m i n gm o r ei m p o r t a n tt h a th o wt or e d u c et h ew e i g h ta n dn o ta f f e c t i t sc a p a b i l i t y m a c h i n eb e do fv e r t i c a lm a c h i n i n gc e n t e rw a st a k e na sr e s e a r c ho b i e c t ， a n d f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sa n do p t i m i z a t i o nd e s i g nb yd o eb a s e do nr e s p o n d i n gf a c e w e r e u s e dt or e d u c ei t sw e i g h t i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r , h o m ea n da b r o a d r e s e a r c hs t a t u so fm a c h i n et o o l sa n do p t i m i z a t i o nw e r ei n t r o d u c e d ，a n ds i m p l e r s t r u c t u r eo ft h r e ek i n d so fr i bw a l ii se s t a b l i s h e d t h e ns i m p l e rs t a t i ca n dd y n a m i c a n a l y s i si sm a d eb ya n s y s yw o r k b e n c h a n dw i t hr e s u l tt h eb e s tk i n do fs i m p l e r s t r u c t u r ei sc h o s e n a f t e rt h a t ，t h ep a r a m e t e r i z e dm o d e lo fa n a l y s i so b j e c ti s r e e s t a b l i s h e db ys o f t w a r eo fp r o ea n dm o d e l e dp a r a m e t e r i z e d a t1 a s t ，a f t e ra p p l i e d 1 0 a d sa n dc o n s t r a i n t 。s t a t i ca n dd y n a m i ca n a l y s i sa b o v em o d e li sm a d eb ya n s y s w o r k b e n c h a f t e ra 1 1 t h eo p t i m i z a t i o nd e s i g ni sm a d eb yd e s i g n x p l o r e rb a s e do n d o ew h i c ho b je c tf u n c t i o ni st h em i n i m i z a t i o no fq u a l i t yo fm a c h i n et o o lb e d t h e d e s i g nv a r i a b l e si sw a l la n dr i bp l a n tt h i c k n e s sa n dt h ec o n s t r a i n tc o n d i t i o ni s p e r f o r m a n c ep a r a m e t e ro fm a c h i n et o o lb e d t h eb e s tp l a nw h i c hu s e dc h o s e nb y e x p e r i e n c ea r ej u d g e db yf u z z yi n t e g r a t e dj u d g m e n t an e wd e s i g np r o c e s si s s u g g e s t e di nd e s i g nc a s t i n go fm a c h i n et o o l ，w h i c hu s e dm o d e l i n gb yp r o e ，f i n i t e e l e m e n ta n a l y s i s ，a d v a n c e do p t i m i z a t i o nd e s i g nm e t h o da n d p l a nj u d g m e n t k e y w o r d s ：o p t i m a t i o n ；m a c h i n et o o lb e d ；d o e ；f i n i t ee l e m e n t a n a l y s i s ；f u z z y i n t e g r a t e dj u d g m e n t 硕： ：学位论文 目录 摘要一i a b s t r a c t i i 第一章绪论1 1 1 机床行业在国内外发展形式概况1 1 2 结构优化国内外研究状况3 1 3a w e 软件的基本介绍4 1 4 本课题的研究目的和研究内容5 1 4 1 本课题的研究目的及意义5 1 4 2 本课题的研究内容6 第二章有限元法及优化设计概述8 2 1 有限元法概述8 2 1 1 有限元理论基础8 2 1 2 有限元法的一般步骤1 3 2 2 优化设计概述1 4 2 2 1 优化设计1 4 2 2 2 优化设计与c a e 1 5 2 2 3 基于实验设计( d o e ) 的技术优化1 6 第三章床身筋板布置的优选2 3 3 1 床身简化模型的建立2 3 3 - 2 床身简化模型的优选2 3 3 - 3 床身筋板布置优选的结果分析2 6 第四章静力分析与模态分析2 8 4 1 静力分析2 8 4 1 1 网格划分与加载2 8 4 1 2 习电解一31 4 1 3 静力计算结果分析3 1 目录 4 2 模态分析3 3 4 2 1 模态分析3 3 4 2 2 模态分析的结果分析3 6 第五章机床床身优化设计3 7 5 1 机床床身的优化设计3 7 5 2 模糊综合评判法4 1 5 3 优化设计结果分析4 4 第六章全文总结及展望4 6 参考文献4 8 在读期间发表的文章目录5 2 致谢5 3 硕十学位论文 第一章绪论 1 1 机床行业在国内外发展形式概况 装备制造业是为国民经济发展和国防建设提供技术装备的基础性产业，承担 着为国民经济各部门提供工作母机，带动相关产业发展的重任，可以说它是工业 的心脏和国民经济的生命线，是支撑国家综合国力的重要基石【i 】。我国的装备制 造业经过了5 0 多年的发展，取得了令人瞩目的成就，形成了门类齐全，具有相 当规模和定水平的产业体系，成为我国经济发展的重要支柱产业。但我国装备 制造业还存在自主创新能力弱，对外依存度高，产业结构不合理，国际竞争力不 强等问题【2 】。为加快装备制造业的振兴，2 0 0 6 年2 月国务院专门发布了“国发号 2 0 0 6 1 8 号国务院关于加快振兴装备制造业的若干意见。 数控机床是装备制造业的工作母机，是实现制造技术和装备现代化的基石， 是保证高技术产业发展和国防军工现代化的战略装备。若干意见把发展数控 装备和数控系统及功能部件作为了振兴装备制造业重大突破的1 6 个关键领域之 一。其实，纵观振兴装备制造业意见的关键领域，每个领域的振兴都需要大批先 进的数控机床来装备。同时，数控机床作为国防军工的战略装备，是各种武器装 备最重要的制造手段，是国防军工装备现代化的重要保证。因此，国际上一些发 达国家一直把高性能数控机床作为战略物资而严加控制，限制我国进口高性能数 控机床。 随着世界科技进步和制造业的发展，机床工业作为制造业的基础产业和国防 军工发展的战略产业，其地位和作用越来越明显。数控机床作为机床工业的主流 产品，已成为实现装备制造业现代化的关键设备，数控机床的拥有量及其性能水 平的高低是衡量一个国家综合实力的重要标志。振兴装备制造业首先要发展机床 工业，重点是发展数控机床，这已被近代世界产业发展史所证实 3 - 5 】。 近年来，我国机床工业的快速发展为振兴装备制造业初步奠定了发展的基 础。“十五”期间，我国机床工业连续几年快速发展，到2 0 0 5 年我国机床产值从 1 9 5 0 年末期列世界第八位，跃居到世界第三位。其中，2 0 0 5 年数控金属切肖机 床产量达到6 万台，是2 0 0 0 年1 4 万台的4 3 倍，数控机床品种己达到了1 5 0 0 多种。但从总体来看，我国机床工业与世界先进水平相比，差距仍然十分明显： 第章绪论 一、 国产高档数控机床在品种，水平和数量上远远满足不了国内发展需求， 高档数控机床目前仍然大量进口； 二、 数控机床功能部件和数控系统发展滞后，成为我国数控机床产业发展 瓶颈； 三、机床制造企业技术装备水平不高，制造能力，综合管理和服务能力等 方面不能满足市场快节奏发展的要求。 可以说，我们的高速发展更多地是依靠中低档机床数量的膨胀，而在技术含 量高，利润大，持续生命力强的高端市场，我们与国际品牌差距甚大。以加工中 心为例，国产加工中心以低廉的价格，基本可靠的性能和质量占据了国内大部分 市场，而在立式、卧式加工中心等高自动化、高附加值、高利润的产品市场却鲜 见达到量产的本土企业。立式加工中心以其加工适用面广，自动化程度高而大量 配置在汽车及配套件生产线上，而现阶段汽车及配套件生产线几乎完全是进口加 工中心的天下 7 1 。 国际机床工业的竞争，实际上是科研实力的竞争。目前，国内外机床产品技 术水平的差距仍然很大，主要表现在：早在七十年代，西德阿亨工业大学就在机 床结构的设计上应用了结构动态设计方法，其他一些欧美国家随后都陆续采用了 该方法来进行机床的设计与开发；而我国至今基本仍沿用经验、类比的传统设计 方法，因此设计的产品不仅性能差，结构笨重，而且机床设计周期长，制造成本 高，更新换代慢，这些问题使得国内机床在高档机床领域无法和国外机床相抗衡。 由于长期以来对新技术的应用相对滞后，国内机床产品的总体技术水平比之 先进国家同类机床还有着相当的差距，劳动生产率低下，在国际市场中竞争力不 足，经济效益不高。在国外高档机床大举进攻中国市场的情况下，我们只能以积 极的姿态面对这一严峻的形势 8 。尽快应用先进的设计技术，能快速开发出结构 合理、自动化水平高、加工精度高、低振动、低成本的机床新产品响应市场，我 们的机床工业才有出路。为了达到这目的，掌握和应用先进的机床设计方法就 显得尤为重要。我国机床工业的竞争的提高也就取决于机床新品的开发和关键技 术的研究、掌握、应用和迅速推广。 硕士学位论文 1 2 结构优化国内外研究状况 所谓优化设计就是根据具体的实际问题建立其优化设计的数学模型，并采 用一定的最优化方法寻求既满足约束条件又使目标函数最优的设计方案【引。根据 优化问题的初始设计条件，目前结构优化技术有四大领域：( 1 ) 尺寸优化； ( 2 ) 形状优化；( 3 ) 拓扑与布局优化；( 4 ) 结构类型优化 1 。1 1 。 优化设计是设计概念与方法的一种革命，它用系统的、目的定向的和有良 好标准的过程与方法来替代传统的试验纠错的手工方法。优化设计是寻求最好 或最合理的设计方案，而优化方法便是达到这一目的的手段 1 2 1 。虽然对大多数 现实问题而言，由于耗费资源( 时间、费用) 过于巨大，“最好”的不一定能实现， 但它提供了一种指导思想与标准，形成了概念框架( 问题识别、定义、模型化， 求解与评价) 和运作手段。 结构优化设计从马克斯威尔理论( m a x w e l l ) 和米歇尔( m i c h e l l ) 1 3 桁架出现起 已有百年，从史密特( s c h m i t ) 用数学规划来解决结构优化设计算起亦有5 0 余年历 史，自s c h m i t 提出有限元法与数学规划法相结合进行结构优化设计的思想以来， 结构优化设计领域发生了革命性的变化，i m a m 1 4 丰i j v a n d e r p l a a t s 1 5 】系统地阐述了 形状优化设计的基本概念、边界形状描述和优化数值方法。d 1 n gy u n 1 i a n g t l 6 系统地介绍了形状优化的基本步骤，诸如边界形状描述、有限元网格的生成、 自适应分析、敏度分析和优化数值方法等。b a r t h e k e m t 。7 回顾了结构优化问题中 对非线性函数的近似处理方法及各种不同近似函数的分类，r a m a n ag r a n d h i 1 8 】 总结了不同类型的结构在频率约束下的结构动力优化问题，a r o r a j s 和h u a n gm w 1 9 】对离散变量的各种优化算法进行了评述。s e y r a n i a n a p ，l u n d e t l o l h o f f n t 2 0 讨论了结构动力优化中多重特征值的敏度分析问题。c h e nj i a n - j u n * 1 c h e j i a n w e n 2 1 】着重从结构动力特性优化、结构动力响应优化、结构动力敏度分析和 基于可靠性的结构动力优化设计等4 个专题对结构动力优化设计研究的发展进 行了全面的评述。这些都反映了最近2 0 多年来结构优化设计的研究重点己由尺 寸优化转向形状优化和拓扑优化。同时，这一研究正在不断地扩展，由单目标 到多目标函数的优化设计【2 2 - 2 3 1 ，由材料和几何线性的问题到非线性的问题 2 4 1 ， 由确定性的结构优化到随机性的结构优化 2 5 1 ，由结构静力优化到动力优化 2 6 之7 的研究等。目前，结构优化设计的发展正对结构设计产生重大影响，它的出现， 第一章绪论 使结构设计人员从被动的分析、校核而进入主动的设计，这是结构设计的一次 飞跃。 在国外，上世纪六十年代初期，首先在航空领域开始了结构优化设计工作， 不久在土建、机械、造船等领域也相继开展起来。在国内，1 9 7 0 年以前只有少 量零星的研究工作，较多的研究工作和应用是在1 9 7 7 年以后才开展起来的，目 前在航空、土建、机械、造船、水电等领域发展很快 2 8 _ 3 1 1 。 目前结构构件尺寸优化已比较成熟，不论用力学准则法、数学规划法、或 者两者结合，一般都能成功地解决。形状优化是通过调整结构内外边界形状来 改善结构性能和达到节省材料的目的。结构形状优化从对象上区分，主要有桁 架框架类的杆系结构和块体、板、壳类的连续体结构 3 2 - 33 1 。自1 9 8 8 年b e n d s o e 与 k i k u c h i 提出基于均匀化方法的结构拓扑优化设计基本理论以来【3 4 ，近十几年间 结构拓扑设计研究得到深入和广泛的研究，己成为国际工程结构与产品创新设 计领域的热点 3 5 】。布局优化设计的思想在很早以前就被提出，但由于设计的难 度而发展缓慢。结构的拓扑和布局优化在理论上尚处于探索完善阶段，在实际 工程中的应用还不多。更高层次的结构类型优化尚处于探索阶段。 由于结构优化设计给工程界带来了经济效益及近年来有限元研究和应用的 相对成熟，计算机条件的进一步改善和普及，人们对于结构优化设计的研究和 应用的呼声更高了。无论国内还是国外，对这一现代技术的需求都有增长的趋 势。随着设计技术的更新和产品竞争的加剧，结构优化设计将会有更大的发 展。 1 1 3a w e 软件的基本介绍 a n s y sw o r k b e n c he n v i r o n m e n t ( a w e ) 是a n s y s 公司开发的新一代前后处 理环境，搭建了一个具有a n s y s 公司自主知识产权的、集成多学科构成c a e 技术的仿真系统。在a n s y sw o r k b e n c h 协同仿真环境中工作，人们始终面对同 一个环境，而不是在各种设计与分析程序之间频繁切换 4 1 1 。所有设计与分析的核 心技术只是这个环境的后台技术。所有与仿真工作相关的人、技术、数据在这个 统一的环境中协同工作，各类数据之间的交流、通讯和共享皆可在这个环境中完 成。利用a n s y sw o r k b e n c h 开发的协同仿真环境，在企业甚至行业内推广，将 有效地解决部门和企业间数据源的不统一问题。同时，针对同一个大型仿真项目， 4 硕士学位论文 不同职责的人员可以并行工作，在适当的时候进行工作集成，比起传统的串行仿 真模式，并行工程可以大幅度地提高工作效率。 a n s y sw o r k b e n c h 的c a d c a e 协同仿真环境可以很好地实现对设计、仿 真分析和试验的协同与管理，使设计人员、分析人员以及试验人员甚至管理人员 在一个平台上实现同时工作和交流协同，如图1 1 所示。在同一平台下，不仅能 实现对c a d 和c a e 以等各软硬件以及数据等资源的整合，各部门的不同设计、 分析和试验人员也能实现协同研发、数据共享与交换，从而极大地提高设计研发 的效率和管理水平 4 2 l 。 l 模鲜p 黏r k 蚰n c hg u l 一 卧求辩嚣 、r 叫 职融 c d 链接罄 n s y s c 欺件 峪d v n 参重管理墨 8 q u s 眦 n 出汀洲 c 政 $ o l i d w 啦 n s y s p f 馁d s o h 惯 s o l i d a g c u z r s 脚 用户a p i s o l 惯 l n v t o r 图l 一1 基于a n s y sw o r k b e n c h 的协同仿真环境 f i g 1 - 1 a s s i s tw i t he m u l a t i o n b a s e do na n s y sw o r k b e n c h a n s y sw o r k b e n c h 的协同仿真环境与传统仿真环境相比有三个特点： ( 1 ) 客户化。w o r k b e n c h 像p d m ( p r o d u c ed a t am a n a g e m e n t ) 那样，利用与 仿真相关的a p i ( a p p l i c a t i o np r o g r a m m i n gi n t e r f a c e ) ，根据用户的产品研发流程特 点开发实施形成仿真环境，而且用户自主开发的a p i 与a n s y s 的a p i 平等。 ( 2 ) 集成化。w o r k b e n c h 把求解器看作一个组件，不论由哪个c a e 公司提 供的求解都是平等的，在中经过简单开发都可直接调用。 ( 3 ) 参数化。w o r k b e n c h 与c a d 系统的关系不同寻常，它不仅直接使用异 构c a d 系统的模型，而且建立与c a d 系统灵活的双向参数互动关系。 1 4 本课题的研究目的和研究内容 1 4 1 本课题的研究目的及意义 机床在工作过程中，影响加工精度的主要因素有：机床、夹具和切削条件。 第一章绪论 ( 1 ) 机床因素。机床刚度是最重要的因素，由于结构设计的不合理性导致机 床的刚度较低，在加工过程中自身变形较大，结果使所加工的工件精度较差。另 外，机床在长时间、大切削量工作时，会产生大量的热，机床在加工过程中受热 产生变形，亦会影响其加工精度。 ( 2 ) 夹具因素。综合考虑齿向精度，夹具是另一个对工件影响较大的因素。 夹具的几何误差，如对工作台台面的垂直度和工件轴线跳动误差都会引起工件摆 动和锥度。 ( 3 )切削条件因素。强力切削引起过大的切削力，使夹具难以承受而影响加 工质量。随着刀具磨损加重，切削力会逐渐增大。另外，污染严重的切削液会引 起不均匀的表面粗糙度，在加工方向形成进给波痕。 机床对加工工件质量的影响无疑是巨大的，而且它也是加工过程中价格最高 的一个环节。机床床身作为机床的一个重要的结构大件，它起着支撑工件和主轴 箱、工作台、立柱等关键零部件的作用，它的静动态特性直接关系到加工精度和 表面粗糙度。目前，机床的误差补偿法是现阶段提高加工精度的一种主要手段， 但由于在实际过程中，床身的变形情况十分复杂，因此通过给定的进给量来减少 变形误差，本身就有一定的局限性。 本课题从根本上对机床床身的重量进行优化，使其能够达到最小值，直接减 少加工过程中的成本，对于在不降低机床加工性能的情况下，降低机床的价格有 很好的参考作用。 1 4 2 本课题的研究内容 对于厂家提供的立式加工中心图纸，首先对它实体建模，然后对简单的模型 进行不同的筋板布置的有限元分析，并根据静力和模态分析的结果选择最优的布 置方法。之后模拟仿真机床床身在静载荷情况下的真实工况，对其进行静力分析 和模态分析，最后根据分析的结果，对机床床身进行基于实验设计的技术优化， 对优化的备选方案运用模糊综合判定法，确保机床床身的静刚度和振动频率在满 足要求的情况下，把床身的质量降到最低以达到降低成本的目的。 具体施行步骤是： ( 1 )基于p r o e 软件平台，对床身进行各种不同筋板布置的简单建模。 ( 2 )基于a n s y sw o r k b e n c h 软件平台下的s i m u l a t i o n 模块，分别导入以 硕士学位论文 上所建立的实体模型，进行网格划分，添加边界约束条件和外部载荷，对 几种简化模型进行相同条件下的静力学分析和模态分析。 ( 3 ) 根据以上的分析结果选出性能最优的筋板布置，在p r o e 中，对床 身进行基于特征的参数化实体造型。 ( 4 )在a n s y sw o r k b e n c h 软件中，导入以上所建立的实体模型，进行静 力学和模态分析并且根据分析结果确定优化的约束条件。 ( 5 )基于a n s y sw o r k b e n c h 软件平台下的d e s i g n x p l o r e r 模块，根据上 面的静力分析和模态分析的记过进行参数化处理，确定设计变量、目标函 数，快速得到多项指标都趋向于最好的3 种设计方案。 ( 6 ) 运用模糊综合判定法对几种备选方案进行数学处理，根据结果选出 最佳方案。 第二章有限元法及优化设计概述 第二章有限元法及优化设计概述 有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一种数值方法。自2 0 世纪5 0 年代提出该方法以来，随着矩阵理论、数值分析方法、特别是计算机科学与技术 的发展，有限元法无论在理论研究还是在应用上都取得了巨大进步。它从最初的 固体力学领域拓展到了电磁学、流体力学、传热学以及声学等领域，从简单的静 力分析发展到了动态分析、非线性分析、多物理场耦合分析等复杂问题的计算， 有限元法已成为目前最为有效、应用最广的一种数值方法之一，成为计算机数值 模拟中的一种主要手段。由于它的通用性和有效性，受到工程技术界的高度重视。 伴随着计算机科学和技术的快速发展，现已成为计算机辅助设计( c a d ) 和计算 机辅助制造( c a m ) 的重要组成部分 4 3 1 。 2 1 有限元法概述 2 1 1 有限元理论基础 工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界 条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数应满足微分方程组： 彳( ) = 4 ( ) 4 ( ) 0 ( 在q 内) ( 2 1 ) 域q 可以是体积域、面积域等。同时未知函数还应满足边界条件 f 尽( ) rb ( ) = 岛( ) = 0 ( 在r 上) ( 2 _ 2 ) l ； j 1 1 是q 的边界 要求解的未知函数可以是标量场( 例如温度) ，也可以是几个变量组成的 向量场( 例如位移、应变、应力等) 。 由于微分方程组( 3 1 ) 在域q 中每一点都必须为零，因此就有 l v 7 爿( ) 拉三( 爿。( ) + v 2 4 ( ) + 。) d q - 0 ( 2 - 3 ) 硕士学位沦文 同理，假如边界条件( 3 - 2 ) 亦同时在边界上每一点都得到满足，则对于一 组任意函数v ，下式应当成立。 f i 7 b ( ) 订兰f ( 讷( ) + 谫( ) + ) 订三0 ( 2 4 ) 因此，积分形式 v 7 彳( ) d q + f ；2b ( ) d r = o ( 2 5 ) 对于所有的v 和v 都成立是等效于满足微分方程( 2 1 ) 和边界条件( 2 2 ) 。 ( 2 5 ) 式称为微分方程的等效积分形式。 ( 1 ) 加权余量法 在求解域q 中，若场函数“是精确解，则在域q 中任一点都满足微分方程 ( 2 1 ) 式，同时在边界r 上任一点都满足边界条件( 2 2 ) 式。但对于复杂的实 际问题，这样的精确解往往是很难找到的，因此人们需要设法找到具有一定精度 的近似解。 对于微分方程( 2 1 ) 式和边界条件( 2 2 ) 式所表达的物理问题，假设未知 函数可以用近似函数来表示。近似函数是一组带有待定参数的已知函数，一般 形式是 z i = m q = n a ( 2 6 ) ，= 】 其中a i 是待定参数；m 是称之为试探函数( 或基函数、形函数) 的已知函 数，它取自完全的函数序列，是线性独立的。 显然，在通常”取有限值的情况下近似解是不能精确满足微分方程( 2 - 1 ) 式和全部边界条件( 2 2 ) 式的，他们将产生残差尺及r ，即 a ( n a ) = 胎( ) = r ( 2 - 7 ) 残差r 及页亦称为余量。在式( 2 5 ) 中用，z 个规定的函数来代替任意函数v 及v ， 即 v = 形；v = 一 ( = 1 ) ( 2 - 8 ) 可得到近似的等效积分形式 第二章有限元法及优化设计概述 矽r ：a ( n a ) d f f 2 + 矿；b ( 口弦= 0 ( = 1 以) ( 2 9 ) 亦可以写成余量的形式 l 形r j r d q + f 形知r = 0 ( ，_ 1 州) ( 2 1 0 ) 近似函数所取试探函数的项数，2 越多，近似解的精度将越高。当项数, 趋于 无穷时，近似解将收敛于精确解。 采用使余量的加权积分为零来求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。 加权余量法是求微分方程近似解的一种有效方法。 ( 2 ) 虚功原理 设弹性体的体积为矿，s 为该弹性体的表面，由两部分表面所组成：一部分 是给定位移的表面邑，另一部分是给定应力的表面& ，则s = 邑+ & 。变形体 的虚功原理可以叙述如下：变形体中任意满足平衡的力系在任意满足协调条件的 变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。虚 功原理是虚位移原理和虚应力原理的总称。 虚位移原理 首先考虑弹性力学平衡方程 口口+ = 0 ( 在v 内) ( i = 1 ，2 ，3 ) ( 2 1 1 ) 以及力的边界条件 一巧= 0 ( 在毛内) ( i = l ，2 ，3 ) ( 2 - 1 2 ) 可以利用( 2 5 ) 式建立与它们等效的积分形式，现在平衡方程相当于a ( u 1 = 0 ； 力的边界条件相当于b ( u ) = 0 。权函数可不失一般地分别取真实位移的变分皖， 及其边界值。这样就可得到与( 2 5 ) 式相当的等效积分 万“，( + z ) 一l 万o j n j 一霉) 嬲= o ( 2 - 1 3 ) 坑氏一是真实的位移变分，就意味着它是连续可导的，同时在给定位移的边界邑 上瓯= 0 。对上式体积分中的第一项进行分部积分后得到其“弱”形式 ( 一嘞+ 占甜，z ) d y + t 万，私= 0 ( 2 1 4 ) 上式体积分中的第一项是变形体内的应力在虚应变上所作之功，即内力的虚功； 硕上学位沦文 体积分中的第二项及面积分分别是体积力和面积力在虚位移上所做之功，即外力 的虚功。外力的虚功和内力的虚功的总和为零，这就是虚功原理。现在的虚功是 外力和内力分别在虚位移和与之相对应的虚应变上所作之功，所以得到的是虚功 原理中的虚位移原理。它是平衡方程和力的边界条件的等效积分“弱”形式。 虚应力原理 现考虑几何方程( 2 1 5 ) 式和位移边界条件( 2 1 6 ) 式 勺= 去( ，+ 赵) ( 2 1 5 ) = “j ( 2 1 6 ) 它们分别相当于爿( 甜) = o 和b ( u ) = 0 ，权函数可以分别取真实应力的变分峨及 其相应的边界值占z ，占z = 8 a n j ，在边界r 上有万l = 0 。这样构成与( 2 - 5 ) 式相当的等效积分是 【峨卜l ( b l i , j , 渺一州旷虿) ( 2 - 1 7 ) 对上式进行分部积分后可得 工峨勺d y 一弼酗= 0 ( 2 - 1 8 ) 上式第一项代表虚应力在应变上所作的虚功，第二项代表虚边界约束反力在给定 位移上所作的虚功。为和前述内力和给定外力在虚应变和虚位移上所作的虚功相 区别，这两相虚功，从力学意义上更准确地说应称之为余虚功。因此式( 2 1 8 ) 称之为余虚功原理，或虚应力原理。 最小位能原理 最小位能原理的建立可以从虚位移原理一式出发，将弹性力学的物理方程代 入，可得到 l ( 嘞一a y ) d v l 万“j 私= 0 ( 2 1 9 ) 因为是对称张量，并己知弹性力学基本方程中的单位体积应变能( 2 2 0 ) 式 u ( 。) ：委勺 ( 2 2 0 ) 则有 第二章有限元法及优化设计概述 ( 嘞) 铲万巴铲盯 = 酬( 2 - 2 1 ) 在线弹性力学中，假定体积力z 和边界上面力i 双的大小和方向都是不变的，即 可从势函数矽( ) 和( ) 导出，则有 一印( z f i ) = z 艿“，一万y ( ) = t ：u ， ( 2 2 2 ) 将( 2 - 2 1 ) 式和( 2 2 2 ) 式，就得到 8 1 - i ，2 0 ( 2 2 3 ) 其中 兀，= 兀，( 甜沪f u ( 白) + 矽( “，) l a y + l 少( 扰，) 峦 = ( 扛饰琉) 肌动，搬( 2 - 2 4 ) 1 - i ，是系统的总位能，它是弹性体变形位能和外力位能之和。在所有可能位移 中，真实位移使系统总位f j 匕g 7 最小值，因此式( 2 2 3 ) 所表述的称为最小位能原 理。 最小余能原理 最小余能原理的建立从虚应力原理出发，将线弹性物理方程代入，即可得到 扣乒妒u d y 一毫t 6 t i i d s = o ( 2 - 2 5 ) 同样c 胤也是对称张量，并已知弹性力学基本方程中的余能表达式( 2 - 2 6 ) 式 矿8 m 。) = 圭 ( 2 2 6 ) 所以上式体积分内被积函数就是余能的变分。这是因为 鲰= 万b 吼， 万矿( ) ( 2 - 2 7 ) 而( 2 2 5 ) 式面积分内被积函数，在给定位移i 玩保持不变情况下是外力的余能， ( 2 2 5 ) 式可表示为 8 1 - i 。= 0 ( 2 2 8 ) 萁中 1 2 硕十学位论文 1 - i 。= 兀。( ) = i v v ( o m 。) d 矿一i i 勰2 嘞d y l l 虿劣( 2 - 2 9 ) 它是弹性体余能和外力余能的总和，即系统的总余能。在所有可能的应力中，真 实应力使系统总余能取最小值，因此式( 2 2 8 ) 表述的是最小余能原理。 2 1 2 有限元法的一般步骤 对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法求解的基本步骤是相同的， 只是具体公式推导和求解运算不同。有限元法求解问题一般分为以下几个步骤 h s ： ( 1 ) 物体离散化。将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型， 这一步称作单元剖分。离散后单元和单元之间利用单元的节点互相连接起来：单 元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算精度 而定( 一般情况，单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但 计算量越大) 。所以有限元法中分析的结构已经不是原有的物体或结构物，而是 同样材料的由众多单元以一定方式连结成的离散物体。这样，用有限元分析计算 所获得的结果只是近似的。如果划分单元数非常多而又合理，则所获得的结果就 与实际情况相符合。 ( 2 )单元特性分析 1 ) 选择位移模式。在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为 位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法取一部分节点力和一部分节点位 移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以在有限元法 中位移法应用范围最广。当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单 元中的一些物理量如位移、应变和应力等用节点位移来表示。这时可以对单元中 位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，有限元法中我们 就将位移表示为坐标变量的简单函数。这种函数称为位移模式或位移函数。 2 ) 分析单元的力学性质。根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、 位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键 一步，此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程 式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。 3 ) 计算等效节点力。物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到 另一个单元，但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单 第二章有限兀法及优化设计概述 元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力，体积力或集中力都需要等效 地移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。 ( 3 ) 单元组集。利用结构力的平衡条件和边界条件把各单元按原来的结 构重新连接起来，形成整体的有限元方程。 ( 4 )求解未知节点位移。解有限元方程式得出位移。这里，可以根据方 程组的具体特点来选择适合的计算方法。 通过上述分析，可以看出，有限元法的基本思想是“一分一合”。分是为了进 行单元分析，合则为了对整体结构进行综合分析。 2 2 优化设计概述 2 2 1 优化设计 “优化设计”是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术。是根 据最优化原理和方法综合各方面的因素，以人机配合方式或“自动探索”方式，在 计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的 一种现代设计方法。其设计原则是最优设计，设计手段是电子计算机及计算程序， 设计方法是采用最优化数学方法。 实践证明，优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自重或体积，降低工 程造价的一种有效设计方法。同时也可使设计者从