（应用数学专业论文）半直线上奇异泛函微分方程初值与边值问题.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如 没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名：企) 疋j 毽 导师签字： l 7 学位论文版权使用授权书 秀忍 本学位论文作者完全了解堂楚有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权堂撞可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：企7 复j 飞翮擗l 乞7 钇 签字日期：2 0 0 年 月 日 签字日期：2 0 0年月日 山东师范大学硕士学位论文 半直线上奇异泛函微分方程初值与边值问题 摘要 泛函微分方程初值与边值问题起源于各种不同自然科学领域，如传染病学， 核物理学，控制论等现实中很多的现象可以用泛函微分方程来刻画，所以泛 函方程的研究具有重要的理论意义和应用价值二十世纪七十年代，就有了关于泛 函方程的基本理论的著作f 1 3 】而后又有众多国内外学者丰富和发展了泛函微分方 程理论，其中也得到了在不同条件下泛函微分方程解的存在性的结果如，国内的 蒋达清，翁佩宣【6 【8 】 f g 】，【2 6 3 国外的r a v ip a g a r 、阮l 【1 】，吼c h g p h i l o s 【3 】， 3 3 1 d o n 出 o r e g a n | l 】l h e r b e | 5 j 等都做了很多的研究工作其中非线性项有的是奇异的，有 的不是奇异的采用的方法多是用不动点定理，锥上的不动点指数理论及上下解方 法 全文共分两章，主要利用锥上的不动点理论和逼近技巧来克服奇异以及非线性 项变号对方程所产生的困难，从而得出二阶奇异泛函微分方程初值及边值问题正解 的存在性 在第一章中，我们主要讨论半直线上奇异泛函微分方程初值问题 i 高( p ( 归协) ) d ( p ( f l z 心) ) ( o ) z f t ) ：o f f r 0 1 ( 1 ) i i 1 1 聊p ( ) t 缸) = o ， 的正解的存在性其中，( ，矿y ) 可变号且在，t ，t = o 和( 或) y = o 处奇异文f 3 中， r p a g a r w a l c h g p h j l o s 和p c h t s a m a t o s 考虑了如下形式泛函微分方程 i ( p ( t ) z 7 ( t ) ) + ，( t z ，p ( t ) z 7 ( ) ) = o ，o t + 。c ， ? 力- o ， l1 1 婴p ( t ) z ) = l 其中厂( ，v ，) 在= o 奇异第三节中主要考虑p ( ) 西( ) 三l ， o ，+ ) 的情形 就是把上述方程推广到，( ，砂可) 在妒= o ，= o 奇异的形式，利用锥上不动点定理 得出近似方程列的解序列，然后利用a r z e l a - a s c o l i 定理得出所研究方程的正解当 z 者如 。c ，上高d s = 。，( ，妒y ) 恒正且只在可处奇异时，在第四节我们考 虑( 1 ) 正解的存在性此时的条件要比第三节的宽松得多 1 山东师范大学硕士学位论文 f 高( 础) z 咏) ) 7 删w 轧础) 州) _ 0 o t 1z o = o ，z ( o ) = o ， 【f 尘p ( t ) ( t ) - o 的正解的存在性其中，( ，砂，芗) 可变号且在砂= o 和y = o 处奇异 文1 3 3 中，c h g p h i l o s 考虑了如下方程 z ( t ) + 厂( t z ( t n ( t ) ) ，z ( t 一死( t ) ) ? ，z ( 一正n ( t ) ) ) = 0 ，o t + 。g ， z ( ) = 西( t ) ，t 一下，o 】，d ( o ) = o ， l i mt m ) = 0 ， e 一o c ( 2 ) 其中7 = 一毋i n 碘癸( t 一乃( t ) ) 第二节中我们主要考虑p ( ) 口( t ) 三1 ：【o ，+ o 。) 的 情形我们所考虑的方程与上述方程的主要差别在于上述方程厂( t ，2 ：，z 。) 无奇 异且不依赖于z 7 而我们考虑的方程中，( t 移，可) 在妒= o 和= o 奇异且依赖于z 7 通过构造一个锥利用锥上的不动点定理得出算子序列的解，再利用a r z e l a a s c o l i 定 理得出所研究方程的正解在第三节考虑厂( t 妒，可) 恒正时( 2 ) 正解的存在性 关键词：奇异性，泛函微分方程，边值问题，不动点定理，正解，初值 问题，锥 分类号：0 1 7 5 2 1 2 山东师范大学硕士学位论文 i n i t i a la 1 1 db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs i n g u l a r f u n c t i o n a ld i 行e r e n t i 甜e q u a t i o n so nh a l f - l i n e a b s t r a c t i n i t i a la n db o u n d a r y 、斌u ep r o b l e m sa r eg e n e r a t e d 自o mm a r wn a t r u r a ls c i e n c e s f o r e x a n l p l e 1 e n l o l o g ) i1 l u c l e a rp h ) r s i c s c o n t r o lt h e o r 3 a n ds o0 1 1 m a n ) p h e l l o n l e n ac a nb e d e p i c t e di nf u n c t i o n a ld i 舶r e n t 锄e q u a t i o n s s or e s e a c hw o r ka b o u tt h e s ei so fg r e a tv 越u e b o t hi nt h e o r ) a n da p p l i ( a 土i d n i n1 9 7 0 s t h e r pw a j ss o m cf u n d a m e n t a lt h e o r i l b o u t f u n c t i o n a ld i 髓r e n t i a le q u a t i o n s 【1 3 s u b s e q u e n t l fm a 玛r e s e a c hw o r k e r sc o n t i u n e dt o s t u d ) a n dd p v e l o pt h et h e o r yo ft h e s pe q u a t i o n s a l t h e r f w e r es o m ee 妇s t e n c er e s l l l t s m l d e rs o m ec o n d i t i o n s e g j i a n gd a q i n g jw e n gp e i ) 【u a n 8 】，2 6 1i nc h i n aa n dr a v i a g a r 、值l ! l 】f c h g p h i l o s f 3 】，f 3 引，d o n a l o r e g a n ! ，l h e r b e l5 ：a b r o a dh a v ed o n ea l o tw o r k 1 1 1t h e s er e s e a c hw o r k s o m en o n l i l l e a u r i t i e sh a 、伦s i n g u l a r i t i e s ，s o m eh a v en o t m o s tm e t h o d st h e ya p p l i e da r ef i x e dp o i n tt h e o r e m 矗x e dp o i n ti n d e xt h e o r yo nc o n e ， l o w e ra n du p p e rs o l u t i o nm e t h o da n ds oo n t h ed i s s e r t a t i o nc o n t a l i n st w oc h a p t e r s w ew i l l0 、伧r c o m et h ed i 伍c u l t i e sw h i c hh ei n s i 昏lc h a i l g i i l ga l l ds i l l g u l 锻i t i e su s i u gt l l t lf i x e dp o i mt l l e o r y0 1 lc o i l ea n da p p r ( ) x i m a t i o l l t e c h n i q u e t h u sw ec a ng e tt h ee 妇s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rs i n g u a ri i l i t i a la n d h 【) u n d a r ) v a l u cp r 0 1 ) l e i n s i nc h a p t e ro n e w ec o n s i d e rs i n g u l a l ri n i t i 越v a l u ep r o b l e mo nh a l l f - n n e ( 0 。) ( 1 ) w h e r e ，( ? ，分) m 硒b es i g n - c h a n 舀n ga n ds i n g u l a ra t 掣= oa n d 可= o i n 【3 r p a g 脊 w a l c h g p l l i l o s n l dp c h t s a m a t o sc o l l s i d e r e dt h cf o u o w i n gf u i l c t i o l l a ld i n b r e n t i 出 e q u a t i o n ， l 囟( t ) z 7 ( t ) 】7 + ，( t z ，p ( t ) z 7 ( t ) ) = o ，o t + x z o = 西，西( o ) = o ， i l i mp ( ) z 心) = 工， r u w h e r e ，( ，妒，可) m a yb es i n g l l l a r a tt = 0 i nt h et h l r ds e c t i o no ft h i sc h 印t e r ，册m a i n d i s c u s st h ec a s ep ( t ) 西( t ) 兰1 ， 0 ，。) ，i e ，eg e n e r 址i z et h ea b o v ee q u a t i o nt ot h e s i n g u l a r i t i e sa t 砂= 0a n d ( o r ) y = 0 u s i n gf i x e dp o i n ti n d e xt h e o r y ，瓢帕o b t a i nt h e 3 d i 一 佃 仉 卜 叶 = = p 上州删量童 山东师范大学硕士学位论文 s o l u t i o ns e q u e n c eo fa p p r o x i m a t ee q u a 庀i o n s t h e nw eg e tt h es o l u t i o nt o ( 1 ) b 3 a r z e l a 奴o n t h e o r e m w h e n 石2 高 。c z “高= 刈蛔埔脚t v ea n n g u - a u r a t 暑，= o ，飘豫g e tt h ee 妨s t e n c eo fa tl e a s to n ep o s i t j v es 0 1 u t i o ni ns e c t i o n4 t h ec o n d i t o n s a r el e s ss t r i c tt h a nt h e s ei ns e c t i o n3 i nt h es e c o n dc h 印t e r w ec o n s i d e rs i n g u l 盯b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f 嘉( p z ) ) ，= 弛m 删( 0 舛 z ( t ) = o t 卜r o ： ( 2 ) l 。l i mp ( f ) z 协) = o 卜- 呻0 c w h e r e ，( t 母，可) m a 5 b es i g n c h a n g i n ga n ds i n g u l a ra t 砧= oa n d 秒= o i n 3 3 】j c h g p h i l o sc o n s i d e r e dt h ef ；姐a 、v i n ge q u a t i o n iz ( t ) + ，( t z ( f 一乃( ) ) ? z ( t 一死( ) ) ，z ( 一z m ( ) ) ) = o ，o 0 、 7 。 、7 1 ，t 【o ，+ x ) t h pd i 行e r e n c eb e t w e e nt h ea b o 坩e q u a t i o na n dt h eo n p 册c o n s e d e r e di s t h a t ，( t 杪，可) i sd e r i 、r a t i v ei n d e p e n d e n ta n ds i g u l a ra t 砂= 0a n d 可= 0 c o n s t r u c t i n g ac o n e 。飘r eg e tt h ee x i s t e n c eo fa tl e a s to n ep o s i t i v es 0 1 u t i o nt ot h eo p e r a t o rs e q u e n c eb y 矗x e dp o i mt h e o r y t h e l lb ya r z e l a a s c o l it h e o r e m t h ee 妇s t e n c eo fa tl e a s to n ep o s i t i v e s o l u t i o nt o ( 2 ) a l r eo b t a j n e d i ns e c t i o n3 ，( t ， 可) i sp o s i t i v eo n o ，。c ) ( x + 一o ) ( 0 j ) k e y w o r d s ： s i n g u l 嬲i t y ， f 1 1 n c t i o n a ld i f f e r e n t i 以e q u a t i o n ， b o u n d a r yv 出u ep r o b - 1 e m f l x e dp o i n tt h e o r e m ， p o s i t i v es o l u t i o n ， i n i t i a lv 址u ep r o b l e m ，c o n e c l a s s j f i c a t i o n ：0 】7 5 2 1 4 山东师范大学硕士学位论文 第一章半直线上奇异泛函微分方程初值问题 1 1引言 泛函微分方程在微分方程中占有十分重要的地位，它在传染病学，核物理学， 生物学及应用数学等领域都有十分广泛的应用背景，因此对泛函微分方程的 研究具有十分重要的理论意义和实用价值从而一直受到国内外众多学者的关注 【1 卜5 一f 2 9 m 引在文中， r p a g a r w a l c h g p h i l o s 和p c h t s a m a t o s 考虑了 如下泛函微分方程 ( p 0 ) z 7 ( ) ) 7 + ，( ，z t ，p ( t ) 。7 ( t ) ) = o o t + 。c ， z o = 西痧( 0 ) = 0 ( 木) l i n lp ( t ) z 他) = l t o 一 其中新= z ( t + “) ( 一rsuso ) ，c ( ( o + ) xc xr r ) 在某些假设之下，作者 得出( 术) 至少有一个解利用压缩映像原理，作者得出( 球) 有且仅有一个解受此 启发，我们在本章主要讨论如下形式的方程 i 高( p ( ) z 印) ) 7 = d ( t 腓p ( f 脚) ) o 1 有f ( z ) 入z ； ( 2 ) 存在，。( o r ) 使得对于所有的z ：吲l = r j 凡圳捌 则f 在露r 群内有一个不动点( 即，存在z 如a ，r 使得箩= 锄) 铡归z 高艇【0 ，毗 令q = 可：兄+ 一r f 可( 砷在r + 上连续且1 i m 芗( d 存在) 对y q ，定义 j j 羔，jj ，= s u pi y ( ) j 则q 为b a n a c h 空间( 见f 1 4 j 16 】) 令哦p = 可：r + 一r l 可( t ) 在冗+ 上连续， p ( t ) 秒化) 在( o ，+ o 。) 上连续且 熙p ( ) y 亿) 存在且蚝罨) p ( 圳叭圳 则对v q p 有恕r 警= 6 山东师范大学硕士学位论文 ，l i mp 秒伽) 赋以范数 i l 。l = m a x f z f l l ，l j z | | 2 ) ， 其中= 挺茫) r 斋，忪= 。嚣， p ( 蛳z 化”则q p 为b a n a c h 空 间( 见 1 8 ) 引理1 2 2 1 1 8 】q p 是b a n a c h 空间且对任意的z q p 有p ( t ) i z 印) isu ( t ) ( 1 + u ( ) ) 一1 | | z | | v f 【0 ，+ 。) 引理1 2 3 【1 4 ：a fca m 相对紧的一个充分条件为 ( a ) m 在a 中一致有界； ( b ) m 中的函数局部等度连续； ( c ) m 中的函数在+ x 处是等度收敛的 引理1 2 4 | 1 6 】) q 为实b a j l a c h 空间e 中的一个有界开集，p 是中的一个 锥，6 i q 且a ：qn 尸一p 是连续的紧算子若入a z z ，比a qnp a ( o ，1 】 则 i ( a qnp p ) = 1 对z c o ：3 c ) 或z q p 当o fsr 时，我们约定 ，、jz ( o ) f + 钌 f 一7 o z “钆2 1z ( f + 钍) f + “0 1 3j r 变号时奇异初值问题正解的存在性 为方便起见，我们先给出一些假设： f 日1 ) ，( t f ，3 i ) c ( 【o x ) ( c + 一0 ) ( 0 ) ，r ) ( 吼) 存在三个连续函数 后( t ) ：【o ：) 一 o ，。) ，f ( 妒) ：( c + 一o ) 一( o ，) ，g ( 剪) ：( o o 。) 一( o ) 使得 l ，( ，妒，y ) i 忌( t ) f ( 妒) g ( y ) ， 其中f ( 妒) 是非增的，高杀gl 1 ，o 。) u i j ( 风) 存在一个6 ：o o 8 山东师范大学硕士学位论文 使得l l 协l 1 使得 岛南 小州s 州扣，1g ( y ) 7 o 。、。7 、n 7 。 对于任意的p 恻l = 尼。o a 1 我们要证 卵) 洲归害+ 入m a x 0 z 。m 儿+ ( 知m a x 坝乩丢) ) d s ) 假设( 1 3 4 ) 不成立，即存在一个p j = 凰入o ( o 1 使得 y ( t ) = 入。( 功) ( t ) = 鲁+ 知m a x 0 z j f ( 5 ，( 却) 。+ ( 去) 。，m a x y ( s ) 寺) ) d s ) 由i = 如，存在一个( o ，n j 使得( t ，) = 取可( o ) = 三蕴含存在一 个，：o ， 使得圭= 剪( 7 ) y ( f ) 且可( ) y ( f ，) ，vt ”t 我们选择 ；) ( 江1 ，2 ，2 m ) 满足 1 ) 7 = t 1 t 2s 3 4 5 o t 卸。乩坛 = 1 乜m 由式( 1 3 5 ) 对于任意t ( 2 ，t 2 ，：，i = 1 2 m 有 箩协) ( 1 3 6 ) 从t 2 。一1 到2 ，积分式( 1 3 6 ) 得 脏：) 南眨 灿州羚_ m 从而 薹联，南薹膨，蜘膨娟d鲁z ：一) g ( 剪) 一鲁：，一- ) “r u n 川 即 r 嵩小删c 孔 这与式( 1 3 3 ) 矛盾因此( 1 3 4 ) 成立 在引理1 2 1 中选取r = 二有 可( ) 二= r v 剪：j i y l l = 7 因此由引理1 2 1 ，存在一个孙p 使得蜘= 丁y n 且( 1 3 1 ) 成立 定理1 3 1 假设( 日1 ) 一( 凰) 成立则i v p ( 1 1 1 ) 至少存在一个正解 证令 a = m a x ( ) ：f o ，n 】 ，= i n f a 毛) r ，盯= p ( s ) 出由( 风) ， 一y o 假定丁= n l m 一y ，盯，6 ，1 ) n o 二令、b = 佗o n o + 17 ) ( 1 ) 我们证明 鼽( t ) = 三+ z 。，( s ，( a ) 。+ ( 去) 。，( s ) ) d s ，t 【0 n 】 扎0 ( 1 3 7 ) 由于7 - 1 ，必然存在一个如( o ，n 】使得( ) = 7 ，( t ) 丁6 ，t o ，k ) 由( 风) ，( ) 在区间 o ，) 上是增的，只需再证 ( t ) 丁，【。，n ( 1 3 8 ) 假设( 1 3 8 ) 不成立，则存在一个t ，n j 使得( t ) 丁适当选取t 7 ，使得 7 ，佗】，t 7 ，( t 7 ) = 7 - ，砉 ( ) 7 ，( t 7 ，t 】由( 日3 ) ，有 1 0 可、： 幻 “ ，l - ， ，一” 胡 一入“0一“丛鼬 山东师范大学硕士学位论文 o ( 7 ) 一虮( ) 一| ，( s ( 匈) s 上( 去) e ，鼽( s ) ) 凼 o 这是一个矛盾此矛盾蕴含( 1 3 8 ) 是成立的同时( 1 3 7 ) 也成立 ( 2 ) 作延拓 州归 眦) - km n 0 【蜘( n ) ，( 佗+ ) 此时必有 ( t ) ) 在点明上是一致有界且等度连续的 令叫( ) = i n f ( t ) ) ，( f ) = s u p ( ) ) f f o + 。c ) 首先，我们证明 0 o ：使得女( o ) 此式蕴含对于所 有的n 有t o o n 女 这是一个矛盾因此对于所有的t ( o ) 有 札，( f ) o 成立 若存在一个t o ( o ，+ x ) 使得t 1 - f o ) = + 。c 则存在一个f 纰舟( o ) ) c 骱( o ) ) 使 得 协。* ( o ) ) 一+ x 不失一般性，令 知( t o ) ) 就是协。( t o ) ) 本身根据( 1 3 7 ) 和 ( 凰) 有 彳 蜘7 ( t ) = ，( ( a 剪n ) f 一( 妄) f ，可。( t ) ) 七( t ) f ( ( a 可扎) ) g ( 可n ( t ) ) ，ts o ，扎 o ( 1 3 1 0 ) 由( 1 3 1 0 ) 可得 疣纠妒( ( a 蚍 0 n o 兵中k 是在( 1 ) 所定义的 从q 到幻积分式( 1 3 1 1 ) 有 z 岩南f 蜘刚址胁 ， 一 ，p f0 1 一ff4 ，ll ，f 口 掣。( n ) g ( 耵) 一厶“严u 一圳u 驯 注意：到( a 掣n ) ( ) ( a 伽) ( ) o ，有 鼽“南s 广南舶州洲c 删d 在( 1 3 1 3 ) 令n 一。，有 厂南sr 。郴) d s 州删口) ( 1 3 1 2 ) ( 1 3 1 3 ) 1 1 山东师范大学硕士学位论文 ( b ) i n f k ) = o 礼a _ o 其中如为( 1 ) 中所定义 对于固定的呦 b t n 。 妣由( 风) 我们可得 哪，= 翟嚣 则( t ) 砂( t ) t 【o x ) 且( a 掣) ( t ) 在【o ) 上是严格增的 曲志小( s ) f ( ( 瓠 告 g ( 耖) 一o 一”一”一 面 s u p 仲) ：t 阶。】叱f ( ( a 掣) s ) d s + f ( ( a 砂) r ) 。o 】 总之，( a ) 和( b ) 蕴含对于所有的 o ，。) 有( ) 0 ( 3 ) y ( t ) 是如下积分方程 ，f ( ) = ，( s ，( a 可) 。秒( s ) ) d s f ( o ，一。) ( 1 3 1 8 ) j u 的一个解 ， 令z = i n i n q ) 由( 日3 ) 对于t o ， ( t ) ，p ( s ) d s = 毋( ) 再由 ( 1 3 。7 ) 。有 以( t ) 岛( t ) f ( ( a 咖) t ) g ( 鲰( ) ) ，【o ，z ，】 z ：踽妪尉删圳胁【0 叫 即 南s 胁刚叫棚沁【0 叫 则 南+ 怠力南尉删螂肌邛驯 3 舶， 在( 1 3 1 9 ) 令n o 。得到 南翩删删洲沁 o 以 令：一0 + ，则 l i m 箩( ：) = 0 ：，0 从而对于f o + 。) ，蜥( t ) 一剪( ) 由( 1 3 7 ) ，有 ，c1 鼽( ) 一跏( 1 ) = 厶，( s ( a 鲰) 。+ ( 寺) s ( s ) ) d s ( 1 3 2 0 ) j ， ( t ) ) 在任意的【n ，6 】c ( o ，+ o 。) 上一致收敛到杉( t ) ，下证 ( a 可n ) 。) 在任意的闭 区间上f 口，6 1c ( 0 ，+ 。) 一致收敛到( a y ) 1 3 由( 1 3 1 3 ) 与( 1 3 1 6 ) 鼽( f ) ) 在任意的闭区间 n ，纠【o x ) 上是一致有界的 从而我们有 置筠。器。1 n ) ( h 乱) 一( 咖) ( + 乱) l 2 鼢。嚣一，觜扎厂鬻d 丁2 置筠。嚣o ) 以兹孑打一以耢打 厂6 型掣d 丁 鲻z 高打 其中等是w ( t ) 在 0 6 的一个上界 由l e b e s g u e 控制收敛定理，有 。! 骢、墨 熊! u p ，i ( a 协。) ( f + ) 一( a j ；，) ( f + “) j “一叫】u f ，0 1 ”“ 7 、4 “ 厂61 i m 必掣打 ，on 一。 p ( 丁) 从而 ( a ) t ) 在任意的闭区间上f n 6 c ( o ，+ o o ) 一致收敛到( a y ) t 固定( o + 。) ，选取1 ( o ，+ ) 使得一y 叫( 0 川 1 4 山东师范大学硕士学位论文 加之z ( o ) = o 我们有 z ( t ) 0 ，f ( 0 ，o 。) 即z ( t ) 是i v p ( 1 1 1 ) 的一个正解证完 注若把( 风) 中的口( f ) 0 ( o ) 替换为： ( j2o t f o ) 口( s j d s o ，v 1 t 2 【o ? 。) ，t 1 o 成立 因为z ( ) 是( 1 1 1 ) 的一个正解，则对于固定的f ( o + 。) ：存在一个f ( o ，t ) 使得z 7 ( ) o 令d 1 = i n f s ：z 7 ( t ) 0 ( s 胡) d 2 = s u p s ：z ( ) o ，t i ，s ) ) 由丁”) 的连续性，d 1 下证d l = o d 2 = + x 假设上式不正确，即有d 1 o 由z f d l ) o 存在一个l ( o d 1 ) 使得z 他1 ) o 加之p ( 咖咐) 在( o + ) 上的连续性，我们可以取到f 2 旧d 1 】使得o p ( ) 丁7 ( f ) 6 f 【f 1 f 2 ) p ( f 2 1 2 7 ( f 2 ) = o 因此 o 臼f sj d 5 ，f 5 z 。p ( s ) z 7 ( s ) ) d s = p ( t 2 ) z 7 ( t 2j p ( t 1 ) z ( f 1 ) o 矛盾因此，d 1 = o 假定d 2 + 。c 则z 7 ( d 2 ) = o 由p ( t ) ( ) 的连续性，存在一个3 悟d 2 ) 使得 0 p ( f ) 丁7 ( t ) 巧f ( p d 2 ) 因此 o 厂d 2 ( s ) d ss i d 2 ，( s z 。，p ( s ) z ，( s ) ) d s ：p ( d 2 ) z ，( d 2 ) 一p ( f 3 ) z ，( t 3 ) o ，o ( s ) d ss ，( s z 。，p ( s ) z 7 ( s ) ) d s = p ( d 2 ) z 7 ( d 2 ) 一p ( f 3 ) z 7 ( t 5 ) o 成立 由( 1 3 1 8 ) ：我们有 球) = z 筹如吲o + 阱 ( 1 3 - 2 3 ) 令p = m i n 若p ( s ) 如) 我们称存在一个护( o ，+ ) 使得z ( 护) = p ，z ( ) r 时( 1 3 2 4 ) 导致一个矛盾因此存在一个，o ( o + ) 使得 z ( 护) = p ，z ( t ) 肛t f o ，t o ) 下面将证：( t ) p t + 。) 事实上，假设存在一个f 1 ( ，o + ) 使得：( ，1 ) 弘则我们可取到，2 z ( t 1 ) o 2 ( t ) p t 垆 则有 ，c i，t j o 上。p ( s ) d s 上。，( s ，( a ：) s ，z ( s ) ) d s = ：( f 1 ) 一z ( t 2 ) o 成立 由定理1 3 2 有 1 6 = 厂岩如 三乏：粪：二箬三冀主，。乱，。a z ，乱，z 。札，d 札d s + z 。高z 。m ，( 4 z ) u ，2 ( u ) ) 删s ( 静慨妒，+ f 高石撕州砒俐训捌s r 嵩蚺c 邢”f 。高讹灿d s f ( ( 批匕恶，晔) 山东师范大学硕士学位论文 此式蕴含i v p ( 1 1 1 ) 的任一个正解z ( f ) 是有界的 1 4，不变号奇异初值问题的正解存在性 在本部分我们总假设，( ，) ：f7 类 1 。 o ，+ o 。) ，一1 p ( s ) d ( s ) f 局( r ( 1 + t ，) 。) + f 2 ( 配) 】d 一) 0 其州：) = z ：志 f & ) z 小奴肛f s ) 蝴l ( 1 + 等d 5 x ，以p ( s ) d ( s ) 如 zp ( s ) d ( s ) 9 l ( 1 + 三云昔型) d 5 x ， p ( s ) o ( s ) 最( 定1 ( 1 + 可) 5 ) d s x vo o ，t ( o ，+ 。) 使得 ，( t ，剪) p ( t ) t r 一妒c + ，剪( o ，日】 令 p = z c z p l z ( ) o ，【o o c ) ) 显然，p 为空间砚。中的一个锥 定义算子列 ( 以n z ) ( ) = z 。妄z 5 p ( r ) 毋( 丁) ，( n z ，p ( 丁) ( r ) f 一一n _ 1 ) d 丁d s ，n + 引理1 4 1 若( & ) ，( & ) ，( ) 成立，则算子如：p p 连续且全连续 1 7 山东师范大学硕士学位论文 证对任意的丁p i ( z ) ( ) i = 1 z 7 高知晰m 棚1 t ，- 1 ) 删圳 t ，( 驯。p ( s ) 西( s ) 【凡( 忪( 1 + u ) 。) + 局( 石。) 函- ( 忙l i 三专掣+ 1 ) + 夕2 ( n - 1 ) j d s j ou l 5 ， 1 p ( 芒) z l ： ( z ) ) 1 p ( s ) 西( s ) - 厂( s z 。，p ( s ) l z 7 ( s ) i + 礼一1 ) d s p ( s ) 西( s ) f 日讣圳( 1 + 移) 。) 恳( 石。) ：b t 川圳三专掣+ 1 ) + 驼( 挖- 1 ) j d s 上p 啕式表明a n 的定义的合理性显然甭( z ) ( t ) o ，f 【o ：。o ) 且 ! 鱼型生 l + u ( t ) = 南z 志知栅) ，( r 西似刊z 协肛扎1 ) 删s 高办娜州1 州卜即o ) b 川圳掣+ 1 ) 怕旷1 ) 1 d s i p ( z ) ( a n z ) m ) l 胁蜘川( 1 川汁即o ) 】i 掣+ 1 ) 恤( 礼- 1 ) 陋 p ( s ) d ( s ) f 冗( | l z ：f ( 1 + 口) s ) + f 2 ( o o ) 】囟l ( i l z i | 二掣+ 1 ) + 9 2 ( 礼一1 ) d s ，0t 飞5 ， 。c 上瘌式表明( a 。z ) ( t ) p v z p ( a ) 证a n 是连续的假设 o 使 得l 旧 o 使得 o 充分小使得 而r 里一 1 ( 1 4 1 )r o c 7 、， ，- 1 ( ，( ) + p ( s ) p ( s ) f l ( r ( 1 + u ) 。) + 最( o o ) 】如) 取n o 1 ，2 ，) - 使得赤 ，= 扎o ，礼。一1 ；) 令 q = z 皤p | | r ) 我们要证对任意的仃o 0 ，有p z z ，v p ( o 1 1 ，z pn q 若不然，存在一个z o pnq ，肋( o ，1 ，使得坳如跏= z o 从而直接微分有 高( p z 7 m ) ) ，= 刚巾m p “以m ，。 o ( o 。c ) 且在( o 。) 单增而 嘉( m ) z 7 ) ) ， = p o p ( f ) 厂( ，z o ，p ( f ) z 7 0 ( f ) + n 一1 ) s 西( t ) 【f 1 ( r ( 1 + 移) f ) + f 2 ( 6 0 ) 】【晚( p ( t ) z 7 0 ( t ) + 乱一1 ) + 9 2 ( p ( t ) z 7 0 ( t ) 一n 一1 ) 即 ( p ( 亡) z 7 0 ( ) ) 7 永丽石万再可i 而丽再万而可 ( 1 4 2 ) p ( t ) d ( ) 【五( - r ( 1 + 2 ，) 。) 一f 2 ( 石o ) ：v f ( o ，) 因此 o p ( ) t ，o ( ) p ( ) z ，。( ) 一n 一1sj 一1 ( ，( ) + 厂“p ( s ) 西( s ) f 1 ( r ( 1 + f ) 。) 一尼( 0 ) d s ) 由上式可得 j z o j ：2 ，一1 ( ，( 三) + p ( s ) d ( s ) f 1 ( r ( 1