（岩土工程专业论文）遗传—有限元智能计算方法研究.pdf

遗传一有限元智能计算方法研究 摘要 有限单元法目前已经发展成为工程最普遍使用的计算方法。但是由于 本构模型和有关参数不易精确确定，有限元计算结果往往与实际有较大的 差异，实际应用受到了很大的限制。因此，本构模型及其参数确定是有限单 元法应用的“瓶颈刀，但这个搿瓶颈 ，有限单元法本身不能解决，必须 借助其它的方法。本文在总结了遗传算法和有限元理论方法的基础上对遗 传算法和有限元相结合的用于岩土工程的数值方法进行了分析。分析研究 出对遗传有限元智能计算方法的编程步骤及流程图。 首先，简单介绍了国内外研究现状，着重介绍了遗传算法和有限元理 论方法。其次对遗传有限元智能计算方法研究进行了系统的阐述，并对 m a t l a b 软件做了简单介绍。最后本文运用m a t l a b 和m a t l a b 遗传算法工具 箱并结合一个工程实例编辑了遗传一有限元智能计算方法程序并用工程实 例中的实测数据对程序的正确性进行了验证。分析总结了遗传有限元智 能计算方法及其程序在岩土工程中应用的合理性和实用性以及在应用中要 注意的问题。 关键词：遗传算法有限元m a t l a b 地基 t h ei n t e l l e c t i v em e t h o db a s e do ng e n e t i ca i g o r i t hm m f i n i t e e l e m e n t a b s t r a c t f i n i t ee l e m e n tm e t h o di st h em o s tu n i v e r s a lm e t h o dw h i c hi su s e di ne n g i n e e r i n g n o w b u tb e c a u s eo fc o n s t i t u t i v em o d e la n dr e l a t i v ep a r a m e t e rc a n te a s ye n s u r ea c c u r a t e l y , t h e c o m p u t i n gr e s u l to ff i n i t ee l e m e n tm e t h o di ss u p e r i o rd i f f e r e n d 、析t hp r a c t i c e s ot h ea p p l yo f f i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ot h ec o n f i r mo fc o n s t i t u t i v em o d e la n dr e l a t i v ep a r a m e t e ri st h e “b o t t l e n e c k ”o ff i n i t ee l e m e n tm e t h o da p p l i c a t i o n b u tf i n i t ee l e m e n tm e t h o dc a n ts o l v et h e “b o t t l e n e c k i tn e e d st h eh e l pb yo t h e rm e t h o d t h i sp a p e rn o to n l ys u m su pg e n e t i ca l g o r i t h m a n df i n i t ee l e m e n tm e t h o db u ta l s oa n a l y z e st h eu n i o nm e t h o do fg e n e t i ca l g o r i t h ma n df i n i t e e l e m e n tw h i c hi su s e di ng e o t e c h n i c a le n g i n e e r i n g ic o m p i l et h em e a s u r eo fp r o g r a ma n dt h e f l o wc h a r t f i r s t l y , t h er e s e a r c hc u r r e n ts i t u a t i o na th o m ea n da b r o a di sb r i e f l yi n t r o d u c e di n t h i s t h e s i s g e n e t i ca l g o r i t h ma n df i n i t ee l e m e n tm e t h o da r ei n t r o d u c e di nt h i st h e s i s s e c o n d l y , t h e i n t e l l e c t i v em e t h o db a s e do ng e n e t i ca l o g o r i t h m - - f i n i t ee l e m e n ti si n t r o d u c e db yt h e n u m b e r s a n dt h e n ，t h es o f t w a r em a t l a bi sb r i e f l yi n t r o d u c e di nt h i st h e s i s f i n a l l y , t h e i n t e l l e c t i v em e t h o db a s e do ng e n e t i ca l g o r i t h m - - f i n i t ee l e m e n tp r o g r a mi sw o r ko u tu s i n g m a t l a ba n dm a t l a bg e n e t i ca l g o r i t h mb o xa c c o r d i n gt oae n g i n e e r i n ge x a m p l e a n du s i n gt h e a c t u a lm e a s u r e m e n td a t av e r i f yc h e c kt h ec o r r e c t n e s so ft h ep r o g r a m is u mu pt h er a t i o n a l i t y a n dp r a c t i c a b i l i t yo ft h ei n t e l l e c t i v em e t h o db a s e do ng e n e t i ca l g o r i t h m f i n i t ee l e m e n ta n d t h ep r o g r a m ia l s os u mu pt h ea t t e n d a n tp r o b l e mo fu s i n gt h i sm e t h o d k e yw o r d s ：g e n e t i ca l g o r i t h mf i n i t ee l e m e n tm a t l a b f o u n d a t i o n 广西大学学位论文原创性声明和学位论文使用授权说明 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有。除弓注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究 成果，也不包含本人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研究工作提供过重要帮 助的个人和集体，均已在论文中明确说明并致谢。 论文作者签名： 沐动者勿 加d 7 年月z 7 日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文的研究内容； 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 凼i 】时发布 口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 做储鹤：桶扬新签兹肇旰幻卿 厂。西大掌硕士掌位论文遗传一有f 民元智能计算方法研究 第一章绪论 1 1 问题的提出 在自然科学和社会科学中存在大量的不确定性( u n c e r t a i n t y ) 问题，所谓不确定性 问题是指在客观上或主观上不能精确确定的问题。造成不确定性问题存在的因素是多方 面的： ( 1 ) 事物发生变化规律的不确定性：这是一种客观的不确定性。在岩土结构工程 中，例如边坡是否发生滑动。 ( 2 ) 复杂系统数学模型的不精确或不完善引起的不确定性：事物系统太复杂，无法 用精确的数学模型去描述。人们往往要用简单的数学模型去描述这类事物现象，必然引 起不确定性的问题。 ( 3 ) 事物概念的模糊性引起的不确定性：它是指事物概念的含义不明确。在岩土工 程中，例如“稳定 这个概念，不但不同的岩土工程“稳定”的含义不同；就是同一岩 土工程，“稳定”的含义也含糊。 ( 4 ) 信息的不完备性引起的不确定性：由于事物系统太复杂，在目前的科学水平下 无法全部了解复杂系统各事物的关系和运动规律，只能了解其中一部分关系或规律。 ( 5 ) 测量不精确( 或估计中的误差) 引起的不确定性：当某些参数的取值或估计来 源于观测数据时，误差就不可避免，由于参数误差引起计算或判断结果的不确定性。 关于岩土工程不确定性问题的求解方法，目前已有很多种：随机理论，模糊数学， 灰色理论，遗传算法，人工神经网络，混沌理论，突变理论，粗集理论等。每种方法都 存在大量的成功的实例。出现这种现象的原因有两方面。一是由于不确定性问题本身具 有复杂性和多样性。二是，每种方法都有自己的优缺点，很难找到一种方法适合于所有 的工程问题。目前，国内尚没有一本专门的著作对此方面的研究，作过全面地总结。另 外，每种方法都有自己的优点，但也不可避免地存在这样或那样的不足，如何弥补他们 的不足之处，使计算结果如实地反映实际情况，这对节约工程投资和确保工程安全具有 一定的意义。 遗传方法与有限单元法、拉格朗日元法( f l a c ) 等数值方法结合，就产生遗传一 数值方法。 有限单元法由于采用离散分片技术，把本来本构关系是微分方程组的，边界条件复 杂，很难求解或不能求解的问题，化解为线性代数方程组的求解问题，因而能用计算机 广西大掌硕士掌位论文遗传一有限元智能计算方法研究 快速求解，同时也能很容易求解非均质问题，在一定程度上，如采用岩体综合弹模、节 理元等方法也可以求解一些不连续问题。因此，有限单元法目前已经发展成为工程最普 遍使用的、完善而有效的计算方法，它不但适用的范围广，能考虑的因素多，计算的精 度也相当的高，而且，已经编辑成很多大型通用的软件以供使用。 但是由于本构模型和有关参数不易精确确定，有限元计算结果往往与实际有较大的 差异，从而形成一种声誉高信誉低的局面，实际应用受到了很大的限制。因此，本构模 型及其参数确定是有限单元法应用的“瓶颈 ，但这个“瓶颈 ，有限单元法本身不能 解决，必须借助其它的方法。 为了解决有限单元法本构模型和参数问题，目前多用反分析的方法，用工程现场测 量的量反分析本构模型和一些参数。但是，现在理论上提出的模型往往是经过很多简化 以后得出的，通过反分析将现场工程的实际模型去套用理论模型显然存在很大的不合理 性。也就是说，理论模型所描述的力学特性未必能真实反映岩土的实际，因为真实反映 岩土所有特性的模型目前还不存在。然而，如果为反分析建立能考虑更多因素的复杂模 型，就会重新回到最初的困难中，违背了建立反分析的初衷。 遗传算法是一种不确定性的优化算法。它以编码为运算对象；从多个初始点开始进 行同时的并行搜索；概率启发式的进化搜索以及不要求待寻优函数的可微性和连续性， 也可以是由数学解析式所表达的显函数或隐函数等等。与其它的最优化算法相比具有更 好的鲁棒性。 因此，利用遗传算法可以弥补有限单元法的不足，即通过遗传算法帮助有限元确定 其本构模型和有关参数，使有限元的计算能符合工程实际。 我们这里提出一个借助现场位移测量，利用遗传算法优化技术，不用直接求本构关 系及其参数的遗传一有限元智能计算方法，从而解决有限元应用的“瓶颈”问题。 1 2 国内外研究现状及评述 l 。2 1 遗传算法在岩土工程中的应用 ( 1 ) 遗传算法的起源及发展 遗传算法就是根据自然界这个“物竞天择，适者生存 现象而提出来的一种随机搜 索算法。遗传算法起源于对生物系统所进行的计算机模拟研究。早在本世纪4 0 年代就 有学者开始研究如何利用计算机进行生物模拟的技术。进入6 0 年代后，美国密执安大 学的h o l l a n d 教授及其学生们受到这种生物模拟技术的启发创造出了一种基于生物遗 2 广西大掌硕士学位论文 遗传一有限元智冀邑计算方法研究 传和进化机制的适合子复杂系统优化计算的自适应概率优化技术遗传算法。 1 9 6 7 年，h o l l a n d 的学生j d b a g l e y 在博士论文中首次提出“遗传算法( g e n e t i c a l g o f i t l l i l l s ) 一词。1 9 7 1 年，r b h o l l s t i e n 在他的博士论文中首次把遗传算法用于函 数优化。1 9 7 5 年，k a d ej o n g 完成了他的博士论文一类遗传自适应系统的行为分析。 该论文所做的研究工作，可看作是遗传算法发展进程中的一个里程碑，这是因为，他把 h o l l a i l d 的模式理论与他的计算实验结合起来。d ej o n g 的研究工作为遗传算法及其应用 打下了坚实的基础，迄今仍具有普遍的指导意义。 1 9 8 5 年，在美国召开了第一届遗传算法国际会议，并且成立国际遗传算法学会，以 后每两年举行一次。目前，关于遗传算法研究仍在持续，越来越多的从事不同领域的研 究人员正在置身于有关遗传算法的研究或应用之中。 ( 2 ) 遗传进化方法在岩土工程中的应用 高玮等人心3 建立了一种快速遗传算法进行岩土工程反分析。 徐军等人1 提出了用遗传算法原理计算岩土工程可靠指标的优化方法。 肖专文等人利用遗传算法进行了边坡稳定性分析。 罗晓辉 3 用遗传算法确定地基承载力。 遗传算法作为优化算法，可独立运用，也可作为其他方法的工具。目前遗传算法与 神经网络结合运用较多。神经网络已获广泛运用，但面临两大问题，神经网络拓扑结构 的优化设计和高效的学习方法。由于遗传算法的群体寻优，天然的增强式学习能力， 使其具有全局性、并行性、快速性和自适应性，成为了解决上述两大问题的有力工具。 冯夏庭等人将人工神经网络与遗传算法向结合，提出了一种用于位移反分析的 进化神经网络方法。王述红等人n 用遗传神经网络方法进行岩体微裂隙注浆量预测分 析。邓建辉等人n 21 采用b p 网络和遗传算法进行岩石边坡位移反分析。 1 2 2 有限元在岩土工程中的应用 近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分 析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径。它 所涉及到的领域主要有铁道，电子电器，国防军工，船舶制造，建筑设计，岩土工程中 等诸多方面。有限元在几十年的理论发展中，不断采用最先进的算法技术，更好的满足 了用户不断增长的需求，有限元技术也经常应用于岩上工程中。 岩土工程是将土力学及基础工程、工程地质学、岩体力学三者逐渐结合为一体并应 用于土木工程实际而形成的新学科，其涉及土木工程建设中岩石与土的利用、整治或改 广西大掌硕士掌位论文遗传一有限元智能计算方法研究 造。其基本问题足岩体或土体的稳定、变形和渗流问题。岩体在其形成和存在的整个地 质历史过程中，经受了各种复杂的地质作用，因而有着复杂的结构和地应力场环境。正 因为岩土材料具有前面所说的复杂性、非均质、非连续性等特点，这使得有些岩土力学 问题无法用解析方法简单的求解，否则会使计算结果出现很大的偏差，相比之下数值法 具有较广泛的适用性，它是解决岩土问题的主要工具之一，而有限元方法是数值分析方 法的一个主要方法，它己成为岩土工程和结构分析的一个有力工具。该法把一个实际的 结构物或连续体用种由多个彼此联系的单元体组成的近似等价物理模型来代替，通过 连续体力学的基本原理求基本未知量，并由此求各单元的应力、应变和其它量值。可以 把节点位移作为基本未知量，也可以把节点力作为基本未知量。可分为位移型的、平衡 型的和混合型的，对于位移型有限元法比其它有限元法应用更为广泛。简单的可以用平 面三节点三角形单元来介绍位移型有限元法。 总之，有限元技术从提出至今一直在逐渐的发展，随着数值方法的进步和完善， 随着新技术的发展有限元会更好的应用于更多方面的研究，尤其对于岩土工程来说，有 限元的发展是我们处理一些疑难问题的非常有效的方法。但不过我们也要有清晰思路， 有限元作为计算力学的一种方法不是万能的，我们要在掌握方法的前提下具体问题具体 分析。 1 3 研究目的和意义 对遗传算法结合有限元在岩土工程中的应用在理论上及实践上进行一次总结，对岩 土工程中不确定性问题及其解决途径的一次总结创新，分析比较存在的优点及缺点，提 出一些改进意见，指出今后的发展方向，为研究人员和学习人员提供一篇具有理论实践 价值的论文。 这是对岩土工程不确定性问题及其解决途径的一次总结创新，将对今后这方面的研 究具有极大的推动作用，因而在理论上具有极大的意义。不确定性问题发展到现在这个 状态很有必要对其理论基础进行一次总结创新，这对理论的进一步发展也是及其重要。 4 广西大掌硕士学位论文 遗传一有限元智能计算方法研究 第二章遗传算法基本原理 2 1 遗传算法简介 近3 0 年来，人们从不同的角度出发对生物系统及其行为进行了模拟，产生了一些 对现代科学技术发展有重大影响的新兴学科。例如，对人类模糊思维方式的模拟产生了 模糊集合理论；对动物脑神经的模拟产生了人工神经网络理论；对自然界中动植物的免 疫机理的模拟产生了免疫算法；而对自然界中生物进化机制的模拟就产生了进化计算理 论。自然界中的生物对其生存环境具有优良的自适应性，各种物种在一种竞争的环境中 生存，优胜劣汰，使得物种不断改进。生物学家和计算机学家都各自从本门学科的角度 出发对这种生物进化进行了机理研究和应用研究：生物学家偏重于进化机制的研究，以 探索生物进化的奥秘；计算机学家则偏重于对生物进化机理及生物系统的模拟，以便研 究出一种复杂的人工自适应系统。生物学家和计算机学家研究结果的结合为生物进化研 究和应用提供了广阔的前景。根据达尔文的自然选择和孟德尔的遗传变异理论，生物进 化是通过繁殖、变异、竞争和选择这四种基本形式实现的。基于对生物进化这些机制的 模仿所提出的计算方法，通称为进化算法或进化计算。进化算法主要包括三个研究领域： ( 1 ) 遗传算法； ( 2 ) 进化策略； ( 3 ) 进化规划。 遗传算法、进化策略、进化规划这三种进化算法都是以自然界中的生物的进化过程 为自适应全局优化搜索过程的借鉴对象，所以三者之间有较大的相似性；另一方面，这 三种进化算法又是从不完全相同的角度出发来模拟生物的进化过程的，分别是依据不同 的生物进化背景、不同的生物进化机制而开发出来的，所以三者之间也有一些差异。其 中遗传算法是进化算法中最广为人知的算法，遗传算法着重模拟生物的遗传过程，故它 以交叉算子为主，选择算子与变异算子为辅；进化策略着重模拟生物的变异过程，故它 主要采用变异算子，交叉算子只作为辅助搜索方法；进化规划着重模拟物种的进化过程， 故它只采用变异算子，不用交叉算子，选择运算着重于群体中各个个体的竞争选择。 遗传算法的基本思路如下。对于一个求函数最大值的优化问题( 求函数最小值也类 同) ，一般可描述为下述数学规划模型： im a xf ( x )( 2 1 ) j 7 x r ( 2 2 ) irs u ( 2 3 ) 广西大掌硕士掌位论文 遗传一有限元智能计算方法研究 式中，x = x 1 ，x 2 ，x n 7 决策变量；f 目标函数；式( 2 - 2 ) 、( 2 - 3 ) 为约束条件，u 是基本空间，r 是u 的一个子集。满足约束条件的解x 称为可行解，集 合r 称为可行解集合。它们之间的关系如下图2 - 1 所示。 图2 - 1 目前求出最优解或近似最优解的方法主要有三种： ( 1 ) 枚举法：枚举法是枚举可行解集合内的所有可行解，以求出精确最优解； ( 2 ) 启发式算法：启发式算法是求出一种产生可行解的启发式规则，以找到一个最 优解或近似最优解； ( 3 ) 搜索算法：搜索算法是在可行解集合的一个子集内进行搜索操作，以找到问题 的最优解或近似最优解。 在遗传算法中，n 维决策变量x = x 1 ，x 2 ，x n 7 用n 个记号x i ( i = l ，2 ，n ) 组成的符号串x 来表示： x=x lx2 x 疗x = x l ，x 2 ，x 门】1 把每个x i 看作一个基因，它的取值称为等位基因，x 即可看成由n 个基因组成的染 色体。最简单的等位基因是由o 和1 这两个整数组成，相应的染色体就可表示为一个二 进制符号串。因而在遗传算法中，对问题最优解的搜索是通过对染色体x 的搜索过程来 进行。染色体x 也称为个体x ，对每一个个体x ，要按照一定的规则确定出其适应度。 遗传算法的运算对象是由许多个体组成的集合，称作群体。遗传算法的运算过程是 反复迭代过程，第t 代群体记为p ( t ) ，经过一代遗传进化后，得到第t + l 代群体，记 为p ( t + 1 ) 。这个群体不断遗传和进化，最终得到优良个体x ，对应表现型将达到最优 解。 遗传搜索使用遗传算子作用于群体中。遗传算子有： 选择算子：根据各个体适应度，按规则，从p ( t ) 中选出一些优良个体遗传到p ( t + 1 ) 中。 6 广西大学硕士学位论文遗传一有p 良元智能计：算方法研究 交叉算子：将p ( t ) 内各个体随机搭配成对，对每对个体，以某一交叉概率交换它 们之间的部分符号串。 变异算子：对p ( t ) 中每一个体，以某一变异概率改变某些基因值为其它的等位 基因。 遗传算法的运算步骤为： ( 1 )随机生成m 个个体作为初始群体p ( 0 ) 。 ( 2 )计算p ( t ) 中各个体适应度。 ( 3 ) 选择运算。 ( 4 )交叉运算。 ( 5 )变异运算。得到经选择、交叉、变异运算后下一代群体p ( t + 1 ) ； ( 6 ) 终止条件判断。判断群体p ( t + 1 ) 是否满足终止条件，若不满足，则重复第 二步到第五步的运算；若已满足，输出具有最大适应度的个体作为问题最优解。 2 2 遗传算法的编码方法 编码是要解决的首要问题。编码方法主要有以下几种。 2 2 1 二进制编码方法 该方法用的编码集是由符号o s vl 所组成的符号集 0 ，1 。设参数取值范围是 u m i n ， u m a x ，若使参数编码时对应关系为： 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0u m i n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 = lu m i r l + 6 ： - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2 一1u m a x 则二进制编码的编码精度为： 6 = 等手争 假设某一个体的编码是： x ：b l b 一l b 一2 b 2 b l 则对应的解码公式为： ( 2 4 ) x “+ ( 缸2 h ) 等半( 2 - 5 ) 7 厂。西大学硕士掌位论文遗传一有p 良元智能计算方法研究 2 2 2 格雷码编码方法 格雷码编码方法，其连续的两个整数所对应的编码值之间仅仅只有一个码位是不相 同的其余码位都相同。例如十进制o 一1 5 之间的二进制和相应的格雷码分别如表2 1 所示。 表2 1二进制码与格雷码 十进制数，二进制码；格雷码：十进制数二进制码格雷码 00 0 0 0 ：0 0 0 0 ：81 0 0 0：1 1 0 0 l 0 0 0 10 0 0 1 ：9 ：1 0 0 11 1 0 1 2：0 0 1 00 0 1 1：l o ：1 0 1 0 1 1 1 1 ”。1。 3 o o l l0 0 1 0l l1 0 1 11 1 1 0 4：0 1 0 00 1 l o1 2；1 1 0 0：l o l 0 50 1 0 10 1 1 11 3| 1 1 0 1 ；1 0 1 1 6 ；0 1 1 0 ；0 1 0 1 1 4；l l l o ；1 0 0 1 一；一 o 一 7 ；0 1 1 1 o 1 0 01 5 ；l l l l 1 0 0 0 又如一二进制码为b = b m b m 一1 b 2 b l ，其对应格雷码为g = g m g m - 1 9 2 9 l 。由二 进制码到格雷码的转换公式为： ，。g 小一， ( 2 6 ) 【g f = 包+ lob i ，i = m l ，m 一2 ，1 、7 由格雷码到二进制码的转换公式为： =+l。，6m=gin一，一，(2-bib ig im1m2 1 7 ) 【=+l o f ， = 一， 一， 7 上两式中，符号。表示异或运算符。 采用格雷编码可便于提高遗传算法的局部搜索能力，便于实现交叉、变异等遗传操 作。 2 2 3 浮点数编码方法 该方法指个体的每个基因值用某一范围内的一个浮点数来表示，个体的编码长度 等于其决策变量的个数。 广西大学司北b 学位论文遗传一有限元智能计算方法研究 2 2 4 符号编码方法 该方法指个体染色体编码串中的基因值取自一个只有代码含义的符号集。 2 2 5 多参数级联编码方法 将各参数以某种方法进行编码并将其编码按顺序联接起来便组成了全部参数的个 体编码，这种方法即为多参数级联编码方法。 2 2 6 多参数交叉编码方法 该方法是将各参数中起主要作用的码位集中在一起而成的。 2 3 适应度函数 遗传算法中使用适应度来度量群体中各个体在优化计算中达到最优解的优良程度。 适应度高的个体遗传到下一代的概率较大；反之概率较小。度量个体适应度的函数称为 适应度函数。 2 3 1 个体适应度 评价个体适应度的过程为： ( 1 ) 对个体编码串进行解码，得到个体表现型。 ( 2 ) 根据个体表现型计算出对应个体目标函数值。 ( 3 ) 按照最优化问题的类型，由目标函数值按转换规律求出个体适应度。 要求所有各个体的适应度必须为正数或零。用以下两种方法之一将目标函数f ( x ) 转换为个体适应度f ( x ) 。 ( 1 ) 对求目标函数最大值的优化问题，变换方法为： 耻，= “即乒麓怠劣p 8 ， 式中，c 山为一相对较小的数。 ( 2 ) 对于求目标函数最小值的优化问题，变换方法为： 耻，= c 衄 x蒡船三乏 p 9 ， 式中，c 越，为一相对较大的数。 2 3 2 适应度尺度变换 个体被遗传到下一代群体中的概率是由该个体的适应度来确定的。有些遗传算法 收敛得很慢，因此有时要作一些变换。这种对个体适应度所作的扩大或缩小变换就称为 广西大学硕士掌位论文 遗传一有限元智能计算方法研究 适应度尺度变换。目前常用的变换方法如下： ( 1 ) 线性尺度变换。公式： f 。= a f + b( 2 10 ) 式中a 和b 一系数；f 一尺度变换后的新适应度；f 一原适应度。 ( 2 ) 乘幂尺度变换。公式： f = f k( 2 1 1 ) 式中k 一幂指数。 ( 3 ) 指数尺度变换。公式： f = e x p ( 一f ) 式中p 一系数。 ( 2 1 2 ) 2 4 选择算子 模仿生物的遗传进化过程，遗传算法使用选择算子对群体中的个体进行优胜劣汰操 作：适应度较高的个体被遗传到下一代群体的概率较大；反之概率较小。以下介绍几种 选择算子。 2 4 1 比例选择 比例选择方法原则是各个体被选中的概率与其适应度大小成正比。 设群体大小是m ，个体j 的适应度是r ，则个体i 被选中的概率j p ! f 。是： m p 括= e e ( 扛1 ，2 ，m )( 2 13 ) f = l 每个概率值组成一个区域，全部概率值之和为1 ；产生一个从0 到1 之间的随机数j 依据该随机数出现在上述哪一个概率区域内来确定各个个体被选中的次数。这种比例选 择方法也叫赌盘选择。如图2 2 赌盘示意图。 2 4 2 最优保存策略 图2 - 2 赌盘示意图 1 0 广西大掌硕士掌位论文 遗传一有限元智能计算方法研究 将当前群体中适应度最高的一些个体不参与后面的交叉和变异运算，用其代替本群 中经过交叉和变异等操作后产生的适应度最低的一些个体。 2 4 3 确定式采样选择 这种选择操作过程为： ( 1 ) 计算群体中各个体在下代群体中的期望生存数目m ： m m - m f e ( 待1 ，2 ，m )( 2 1 4 ) i = i ( 2 ) 用m 的整数部分# m 确定各个对应个体在下代群体中的生存数目。其中# x 表 示不大于x 的最大的整数。 ( 3 ) 按照肚的小数部分对个体进行降序排列，顺序取前m -拌，个个体加入 i = 1 到下一代群体中。 2 4 4 无回放随机选择 这种选择操作过程为： ( 1 ) 计算群体中各个体在下代群体中的生存期望数目j i v ：f ： m f = m e e ( 汪1 ，2 ，m ) ( 2 - 1 5 ) t = i ( 2 ) 若某个体参与交叉运算，其在下代群体中的生存期望数目减去0 5 ；若某一个 体未被选中参与交叉运算，其在下代群体中的期望生存数目减去1 o 。 2 4 5 无回放余数随机选择 这种选择操作过程为： ( 1 ) 计算群体中各个体在下代群体中的生存期望数目m ： 肘 ，= m 鼻e ( ，= 1 ，2 ，m )( 2 1 6 ) i = i ( 2 ) 用m 的整数部分# 肥确定各对应个体在下代群体中的生存数目。可确定出下 代m 个群体中的撑m个个体。 ( 3 ) 以e ： i 兰e m 为各个体新适应度。用比例选择方法确定下一代群体中 还未确定的 m 一群m 个个体。 i = 1 2 4 6 排序选择 排序选择操作过程为： 广西大学硕士掌位论文遗传一有限元智能计算方法研究 ( 1 ) 对所有个体按适应度大小降序排列。 ( 2 ) 按照具体问题，设计概率分配表，将各概率值按上述排列次序分配给各个体。 ( 3 ) 以各个体的概率值作为能被遗传到下一代的概率，用比例选择方法产生下一代 群体。 2 4 7 随机联赛选择 这种选择操作过程为： ( 1 ) 从群体中选取t 个个体进行适应度大小的比较，将适应度最高个体遗传到下代 群体中。 ( 2 ) 将上述过程重复s 次，就得到下代群体中的s 个个体。 2 5 交叉算子 2 5 1 单点交叉 在个体编码串中只随机设置一个交叉点，然后在该点相互交换两个配对个体的部分 染色体。操作过程为： ( 1 ) 对群体中的个体两两配对。 ( 2 ) 对相互配对的个体，随机设置某一基因座之后的位置为交叉点。 ( 3 ) 对相互配对的个体，依设定的交叉概率在其交叉点的一方相互交换两个个体的 染色体。 单点交叉运算如下所示： a ：1 0 11 0 1l ll0 0a ：1 0 11 0 11 1i1 1 l i b ：0 0 0 1 11 0 0l1 1b ：0 0 0 111 0 010 0 交叉点交叉点 2 5 2 双点交叉与多点交叉 双点交叉操作过程为： ( 1 ) 在相互配对的个体编码串中随机设置两个交叉点。 ( 2 ) 交换两个个体在所设定的两个交叉点之间的染色体。 双点交叉运算如下所示： 1 2 ，西大掌硕士掌位论文 遗传一有限元智能计算方法研究 a ：0 0 1 110 1 1 0 0 1 0 0 1 1l1 1 1 0a ：0 0 1 1i1 0 0 1 1 0 1 1 0 0i1 1 1 0 ll li b ：1 0 1 0l1 0 0 1 1 0 1 1 0 0i1 0 0 0b ：1 0 1 0l0 1 1 0 0 1 0 0 1 1i1 0 0 0 交叉点1交叉点2 多点交叉指在个体编码串中随机设置多个交叉点，进行基因交换。 2 5 3 均匀交叉 其指两个配对个体的每一基因座都以相同的交叉概率进行交换，形成两个新个体。 2 5 4 算术交叉 算术交叉指两个个体的线性组合而产生出两个新个体。 假设在两个个体e 、x ：之间进行算术交叉，交叉运算后所产生的两个新个体是： 芑兰：2 a 苎+ ( 1 一位3 苎( 2 - 1 7 ) 【x 多1 = ax ! i + ( 1 一a ) x ； 式中，q 为一参数。 2 6 变异算子 2 6 1 基本位变异 基本位变异操作指对个体编码串中以变异概率p 厨随机指定的某几位上的基因值作 变异运算。 2 6 2 均匀变异 均匀变异操作指分别用符合某一范围内均匀分布的随机数，以某一较小概率来替 换个体编码串中各个基因座上原有基因值。 2 6 3 边界变异 边界变异是均匀变异的一个变形遗传。 在进行由x = x i x 2 魂x t 向x = x l x 2 吱x t 的连界变异操作 时，若变异点晚处的基因值取值范围为 v 急，吮觚】，则新的基因值由下式确 定： = 兹：i f 圹厂r a a 门n d d 6 0 7 m 竹( 。o | ：j ：三；t , 1 z 一，8 ，一1u 三戤，圹，1 ) = l 1 0 ， 式中，r a n d o m ( 0 ，1 ) 表示以均等的概率从0 ，1 中任取其一。 2 6 4 非均匀变异 j 西大掌硕士掌位论文遗传一有限元智能计算方法研究 非均匀变异( n o n - u n i f o r mm u t a t i o n ) 的具体操作过程与均匀变异相类似。在进行由 x = x i x 2 x ，向x 。= x 1 x 2 x ：的非均匀变异操作时，若变异点x 七处 的基因值取值范围为 v 怎，雌a x 】，则新的基因值x 七 由下式确定： x ：= 卜+ ( f ，u 耋a x 一砂 矿m 船d o m ( o ，1 ) = o ( 2 - 1 9 ) 【x 七一( f ，一u 三i n ) ， i fr a n d o m ( o ，1 ) = 1 、7 式中，( t ，y ) 表示 0 ，y 范围内符合非均匀分布的一个随机数，要求随着t 的增加， a ( t ，y ) 也逐步增加。 2 6 5 高斯变异 高斯变异( g a u s s i a nm u t a t i o n ) 操作是指进行变异操作时，用符合均值为u 、方差 为o2 的正态分布的一个随机数来替换原有基因值。 2 7 遗传算法的运行参数 2 7 1 个体编码串长度2 二进制编码，_ ! 与求解精度有关；浮点数编码，- i 与决策变量的个数n 相等；符号 编码，j 由问题的编码方式确定。 2 7 2群体大小m 群体大小m 表示群体中所含个体的数量。 2 7 3 交叉概率p c 交叉概率p c 一般取值范围是0 4 1 。 2 7 4 变异概率p 变异概率p 珊一般取值范围是0 0 0 0 2 0 3 。 2 7 5 终止代数t 其表示运行到指定进化代数后就停止运行，将当前群体中最佳个体作为所求问题 最优解。 2 7 6 代沟g 代沟g 表示各代群体间个体重叠程度的一个参数。 2 8 约束条件的处理方法 在遗传算法的应用中，须对约束条件进行处理。采用的方法如下。 2 8 1 搜索空间限定法 1 4 广西大学硕士掌位论文遗传一有p 良元智冀邑计算方法研究 该方法使搜索空间中表示一个个体的点与解空间中表示一个可行解的点有一一对 应的关系。如图2 - 3 所示。 适 应 度 图2 - s 搜索空间与解空间的一一对应关系 2 8 2 可行解变换法 该方法是要找出个体基因型到表现型之间的多对一的变换关系，使进化过程中产 生的个体转化成解空间中满足约束条件的可行解。图2 4 为这个方法的示意图。 该方法会使得遗传算法的运行效率有所下降。例如，在处理妇明兰1 ，并且x 一1 ，1 ，y e 一1 ，1 这个约束条件时，如图2 - 5 所示，可以把单位圆之外的点都通过该 点到圆心的连线变换到圆周之内。 适 应 度 l 。 1 其中： 后p 一单元刚度矩阵， 彩p 一结点位移 矢量， f p ) 一结点力矢量 ( 4 ) 建立有限单元法的基本方程： 后 缸) = 口口其中： 尼 一总体刚度矩阵， “) 一位移列阵，各个结点的位移， 尸 一荷载列阵，将荷载化为结点力列阵。 ( 5 ) 求解结点位移。 ( 6 ) 通过位移求解应力和应变。 3 2二维分析 3 2 1 有限元网格 ( 1 ) 常用单元 线性单元：三角形、矩形或其他四边形。形函数是线性函数，即单元内任一点的坐 标可用单元结点坐标的线性函数来表示。如图3 1 所示。 广西大掌硕士掌位论文 遗传一有限元智能计算方法研究 1 2 l 2 l 2 图3 1 线形单元及结点位置 抛物形单元：除了角上有结点( 主外结点) ，边缘上也有结点( 副外结点) 的单元。 有时在内部也有节点( 内节点) ，直边或曲边均可。单元内任一点的坐标，可用一个抛 物线内插法来求得。如图3 - 2 所示。 l 图3 2抛物线形单元及结点位置 ( 2 ) 单元划分要注意的几个问题 相邻两个单元的结点要与结点重合( 外结点与外结点、内结点与内结点) ，不能 与无结点边重合。 单元不必是相同尺寸，应力有突变的地方，单元划分应较小。 任何一个单元必须只能在一种材料区，即它不能跨越两种材料区。 同一单元的各个边长，一般不要相差太大。 3 2 2 形函数( 插值函数、位移函数) 单元内任意一点的位移与结点位移的关系，是通过形函数建立的，以下以一个四节 点的正方形单元为例，说明形函数的含义。取局部坐标( 考，7 7 ) 如下图所示，四个结点 的坐标分别是( 1 ，1 ) ，( 1 ，一1 ) ，( 一1 ，一1 ) ，( 一1 ，1 ) 。如图3 - 3 所示。 - i 1 ) r ( 1 1 ) 2 l c o o ) 3 ( - 1 - l ( i - i ) 图3 - 3 四边形单元映射为面积2 2 个单位的正方形单元 2 l 广西大掌硕士掌位论文遗传一有限元智鼻邑计算方法研究 假定四个结点分别有位移，则单元内任一点的位移可用下式表示： 0 n 2 0 n 3 0 n 4 0 n t 0 n 2 0 n 3 0 n 4 即：扰= l “1 + n 2 u 2 + 3 “3 + n 4 u 4 则i ，2 ，3 ，4 是分别与结点l ，2 ， 是坐标点的函数，即f = m ( 考，7 7 ) 。 v = n 1 v 1 + n 2 v 2 + 3 v 3 + 4 v 4 3 ，4 相关的形函数，形函数n i ( i = l ，2 ，3 ，4 ) 形函数有如下的性质，当把第i 个结点坐标代入时：= 1 ，而二，= 0，如将结 点1 的坐标( 1 ，1 ) 代入，n l2 1 ，n 25n 3 2 n 42 0 ，那么就有u = z 1v = h 。 形函数怎么得来的： ( 1 ) 从观察和直觉中得到 例如： 从纠，叩- 1 时， l _ 1 ，可构龇= 半 从p 1 ，1 7 = 1 时， 2 = l ，可构赳= 半 从p 叫时， 3 乩可构龇= 掣 从纠，p 1 时，n 4 - - i , 可构她= 半 统一的式子可以写为：m = 旦兰掣，f = 1 ，2 3 ，4 也可以用数学方法构造出来。 ( 2 ) 用数学过程来导出形函数的表达式 对于矩形单元，可假设位移是坐标的双线性函数。 “= 位l + a 2 考+ a 3 7 7 + 晓4 考7 71 ，= a 5 + a 6 考+ 口7 叩+ 口8 毒7 7 所啊如屹如如以以 m o 。l l l 、r，j 甜 v ，l 广西大学硕士掌位论文遗传一有限元智能计算方法研究 式中， 口。a 。是待定系数。将4 个结点位移值代入上述方程得： ”l2a 1 + a 2 毛+ a 3 叼l + a 4 考l 叩l v 12a 5 - i - a 6 岛+ a 7 叩l + a 8 考1 7 7 l “4 = a 1 + a 2 考4 + a 3 1 4 + a 4 毒4 7 4 v 4 = a 5 + a 6 考4 + a 7 叩4 + a 8 毒4 叩4 这里8 个方程8 个未知数，可以求得，a a s并将其代入上述假定式( 2 ) ，与 ( 1 ) 式相比较，就可以求得；值。 3 2 3 坐标变换 在进行每个单元的计算时往往采用局部坐标，而每个单元的局部坐标与整体坐标往 往是不一致的，故需要进行坐标变换。为什么要对单元采用局部坐标，这里因为在局部 坐标下很多积分计算比较容易，例如函数，在正方形区域上积分，可写为： f = 上l 上l ( 眚，7 7 矽弘叩比在一个不规则的原四方形域内的积分容易的多。 从整体坐标到局部坐标的变换，可以看成是一种映射，例如从整体坐标下任意形状 的四结点单元映射成局部坐标下的两个单位边长的正方形单元。我们可以通过形函数来 映射，即可假定单元内点的坐标满足： x = n l x l + n