（应用数学专业论文）养老金定价模型.pdf

摘要 一个职业退休金计划，是一个单位为其员工退休金所作的一种安排它一般分 为两个阶段t 员工工作期间，进行资金的筹集；当其退休后定期领取退休金资金的 筹集可以是企业承担全部的金额，也可以由个人承担一部分( 比如个人工资的一定比 例) ，其余的由企业承担职业退休金有固定福利计划和固定筹资计划两种实际中固 定福利计戈比较普遍被采用，但这种计划的设计需要复杂的计算，离不开精算师的参 与本论文将讨论固定福利计划中退休福利的计算对某些退休金方面的精算产品， 传统的精算已经有了比较成熟的处理方法，僵这种方法的鲜明特征是工资事先确定， 而实际的工资是个随机过程，所以必须有一种新的方法来处理这种随机性由于近年 来金融数学和精算知识相结合的方法在处理随机性因素方面非常有效，本论文就运 用此方法考虑基于甲均工资水甲的养老金定价，进而导出它的数学模型并以偏微分 方程的形式表述出来 关键词：无套利原则，n dj 引理，风险中性，概率测度 a b s t r a c t a1 ) e l l s i o np l a ni sak i n do fa r r a n g e m e n tc h a tac o n l p a r wm a k e sf o ri t se m p l o ，r e e s p e l l s i o n i cl sd i v i d e di n t o 相，os t a g e sg e n e r a l l y ：d u r i n ge m p l o y e e s lw u r kp e r i o d n n d sr a i s ei sc a r r i e do n ：a f t e rt h e yr e t i r et h ep e n s i o ni sp e r i o d i c a l l yr e c e i 、- e d t h ef u n d sn l a yb eu n d e r t a k e nc o m p l e t e l yo rp a r t l yb yac o m p a r l yt h ep e n s i o n h a st w uk i l l f i so fw a y s ：矗x e dw e l f 硝ep l a na n d 丘x e dr a i s e dp l a n a c t u a l l ，矗x e d w e l 缸ep l a n 沁m o r ew l d e s p r e a dt ob ea d o p t b u tt h i sp l a n 8d e s i g n m e n tn e e d st h e c o m p l i c a t e dc m c u l a t i o n ，a n dc 锄n o tg e ca a yf r o mt h ea c t u 鲇弘t h j sp a p e rw i l l d i s c u s 8 矗x e dw e l f a r ep l a n sc a l c u l a t i o nt oa c t u a r i 缸p r o d u c t so fs o m ep e n s i o n s t h e t r a d i t i o u a la c c u a r i a lw a yh a sa l r e d d yh a dt h er e l a c i 、em a t u r ep r o c e s s i n gm e t h o d b u t 妇ec l 啪rc h a r a c t e r i s t i co ft h i sm e t h o d 诂t h a tc h ew a g e sa r ea f o r e h a n dc e n a i n h o w e v e r t h ea c t u a lw a g e sa r ear d n d o mp r o c e s s s oak i n do fn 唧m e t h o dm l l s tb e i n t r o ( h i c e dt oh a n d l et h i sk i n do fr a n d o m i c i t ) ib e c a u s ei nr e c e n ty e a r st h et n e c h o do f ( o m b m a t i o no 士矗n a n c i a lm a t h e m a t i c sm l da c t u a r i a lk n o w l e d g ei sv e r yv a l i dt oh d n d l e r a n d o n lf a c t 。r sc h i sp a p e rm a k e su s eo ff h i si u e t h o di nc o n s i d e r a t i o np e n s i o n l sp r i c e t o r ( 高t ut h e 吖e r 鸲ew a g e s 沌e nl e a 如i t sm a 也e m a t i c m d e l 啦de x p r e s s e si t 1 ) 、- p e d s u r p k e yw o r d s ：n oa l b i t r 8 9 ei ) r i n c i p l e d s l e m m a r i s k n e u t r a l p r o b a b i l i t 、1 1 1 e d 第一章引言 个员工最终都要以不同的方式离开所在的企业( 以后统称为退休) ，固定福利 计划对因不同原因离开都规定给予不同的福利，以下分别介绍比较普遍的离开企业 的原因及其相应福利 1 1 正常退休 员工到达规定的年龄或年龄范围后，即可退休并开始领取退休金，其发放方式一 般是接月或按年支付直至死亡数量与员工的工龄( 或参加退休金计划的时间) 、退 休前或工作期间的工资水平有关比较简单的有三种计算方法：一是年退休金等于其 工龄乘以一固定常数c ，即每年工龄给予一固定金额c ，例如每年工龄为2 0 0 元，则 退休时有4 0 年工龄的员工，年退休金即为8 0 0 0 元这种方法未反映职工工作期间的 工资水平第二种方法燕考虑职工整个工作期间的工资水平，比如每年工龄的退休金 数为其工作期间工资总平均效的一固定比例例如，假定比例为1 6 0 ，个职工工作 了4 0 年，其工作第t 年的年工资是戳，则每年工龄的退休金数为矗嘉拦。眠，因 此他( 她) 的年退休金为矗磐。眦，这种方法称为总平均法第三种方法仅考虑员 工退休前m 年( 比如m - 3 ) 的平均工资，以它的一定比例作为每年工龄的退休金 数，这种方法( 称为最后工资法) 考虑到了员工退休后的收入与退休前的合理衔接， 因此常被广泛采用芷常退休福利涉及面最广，形式也最灵活，下面计算仅以上述三 种为例，在掌握其原理后不难运用于其他形式福利的计算 1 2 病休 其福利形式本质上与正常退休相同，只是病遇的年龄( 范围) 较正常退休提前 同时年工龄退休金数可能少一些 1 3 离职 若员工参加工作不长( 比如少于1 0 年) 即离职，可能得不到退休福利但若离 职时工龄已达一定年限，但又不到享受正常退休金年龄，则可按其实际工龄计算所得 福利，待其达一定年龄后再付给，或者将其转入该职工的新退休金计划( 例如该职工 离职后又到别的企业工作并参加那里的退休金计划，则他以前积累的退休金可转入 他的新计划中) 前情形其退休福利相当于一延迟年金，后一情形是一次付清另 外，若该退休金计划要求员工承担一定比例的筹资，则离职时通常将其个人所积累部 分( 包括利息) 退还职工本人 1 4 在职死亡 对在职期间死亡的职工，其福利一般是给予一次性补贴，数量可类似离职情形计 算。但标准通常优惠得多同时若个人此前参加筹资，则将所筹金额退还 2 第二章简单模型建立 为了避免技术上的复杂性，我们假定所考虑的企业是封闭的，即一个人若离开此 企业就不再回来现给出一些符号说明： 对任意，o 以耳( 以下常写成b ) 表示一个x 岁时进入企业的职工在r 年 后的状态： a - r i w 和1 分别记为在职正常退休，病退，离职和死亡： 随机过程( ，f ) e = x t ：t 0 描述了该职工就职后的整个状况 2 1 引理 对净r iwd ，定义 l = i n 印 o ：五= ，) 丁= m i i l ( r ：，= ，d ，“，) 注：对j ；c ，l 可能为无穷，而耳正r 。中至少有一个为有限，但是正，总是育穷 的，故t 有穷。由轨道的右连续性，x t ； r “田 今后暇定r f 具有连续型分布 定义退休强度和退体后死亡强度如下： 心一。= ( 群) 。芝疵 p 矗一。j 也3 p ( _ 一一= d i x z + s = r ) 引理2 1 苦，n 具有连续型分布，那幺对任意 o 它们在条件r 一的 联合条件密度函数为 一t s，；n，=f、一hpi+口：一：一p毫二i sf 3 证明：若s f o ，则 _ p ( rss ，乃l 丁 ) = p ( t t ，乃s l 丁h ) 故此时有r ( s t j 1 = o 下殴os h ) = j d ( k = r x t = r | = n ) = j d ( x ，= r i x = ) p ( x c ；r f x ，= r ) = “：q ：“p 暑； p ( 耳5 瓦曼# r 矗) = 。一 q ：+ f 一。吐辜， 去h 州 洲) = 如) 缸积”a _ 去( 1 _ 碰，) = 名( ，一q ：。) 。一，p 鼻，+ ；一一畦+ 。象( 。一，p 三川肛曼。 两端对s 求导得 一h q ；+ = 一，旧：+ 一。p ：二，一s 一 p ：+ h t s + 。 羔( 。，。，) 。p ：二、一。q ：+ 。熹l 。p r ：。) = 一p ，芦：“，。一一。p ：+ 。笔( c 灿! 一= 2 兰n ( 1 一p ( x 一一。l 忍。n ) 代入酶面等式唇得 羔。以。卅硝矗如成。一嘉( t 为证日片本命题，现只需证明 丢( 。一= 。“_ 一。p 叠瞳， 二1 1 设( 为任意正数，且s + f 1 ) = 一 一l p ：+ + 一i 一自+ 。p f 两端对t 求导，并用一厂r ( k ，t l ) 表示左方导数，则 洲“= 卜州嘉氅肌 2 2 简单养老金模型一一工资水平简单假设 假设员工( x ) 已工作了h 年，此前其工资水平为一确定的函数r 二+ 。( 即在t 到 t + d t 的一个短时期内的工资约为i + ，出) 来来的工资水甲用e k ，来估计。又设退 休金足连续发放的( 这当然足一种近似) ，并考虑以年增长率“增长 先考虑每年工龄的退休金数量若每年工龄的退休金金额规定为常数c ，( x j 在 l f + f 岁退休时的年退休金额就是r 。( lh f ) = e ：若退体金额按最后m 年甲i 均工资 或整个工作时闯的甲均工资计算，则r + f 岁退休时年退休金额应分别为： 脚= 虬熹。叫+ ， rr ，) ；k i f 1 0 ， 其中、- l j 为常数，而 k = 篝6 其他情况下( v 一 oj ，为o 下面为叙述简便，相应于不同的退休金计算规则用r ( x h t ) 表示兄。( 。 ，j ， r ，( r ，) 或月。( 正 f ) 其中之一( 为方便起见，对f q 和， j ，定义r ( x h c ) 的僮为0 1 对任意正实数n ，用b m ，。1 表示未来时刻n ( 即z + + n 岁时) ，( z ) 的正常 退休金数，那么我们有 b “z ， 。) = 尺( r 厅耳) ( 1 + p ) “+ “一n l 给出了未来退体金瀛的t i 均估计，为了刻画实际资金流波 动的大小，我们可以计算b r ( t n ) 的方差c ，( r ，n ) ，其推导过程类似于上面的过 程，此处就不对退体金流的风险性进行推导了 0 nh上 k v i | n i | r b 第三章一般养老金定价模型 3 1 受益金简单考虑 以上所作的模型主要明晰了养老金定价的一般过程和定价理论，在实际操作中， 由于受很多因素的影响( 如经济形势的变化) ，员工( x ) 的工资水平足不确定的，它足 一个随机过程：( 设具工( x ) 在t 时刻的工资为s ( t z o ) ) d s = n ( f s ：。( ) ) d t + 盯( t s ：z f ) ) d z ( ) ) 其中c t ( t s ：z t ，) 为工资增长率，a ( t ，s ；c o ) 为随机波动率，两者均依赖于参加养老金 计划的时问长度t ，当时工资s 及参加养老金计划时的年龄而z ( t 1 为布朗运动，且 假设工资的历电完全反映在其当前工资上，即s ( t ，z ( ) ) ) 为一个i a r k o v 过程。 为了把周题考虑稍微简单点，弦们做以下假设， ( 1 ) 由于某些原因( 如死亡) 而员工退出养老金计划时一次性给付的受益金记为 ，( ，s ：f ) ： ( 2 ) 另外，记受工在t 时刻时养老金价值为v ( e s ：z o ) ( 养老金定价的最终目的就 是动态跟踪v s ：l f 】) ) ： ( 3 ) 记日；( f s ：o ) = 。( fs ：上o ) 一k ( s 上o ) ： ( ) 记工资的风险市场价格为 ( t s ：z o ) ，且定义 甘l t s ：o ( j ) = n ( f s ，j i ) 一 ( t ，s ：r o ) 盯0 s ：t o ) 则 d s = 臼( f 、s ：n ) d t + 雕，s ：z u ) ( d 五a ( f s ：r i ) ) ) 记f ，z ( ，) = f ，z 【，) + a ( f s ：o 【) ) 由溉率测度的理沦知，必存在着一风险中性概率测度q ，z ( f ) 在此风险中生溉 率下为标准布朗运动 故 d s = p ( ，s ：r ) d 一盯( s ：t 。1 ) f f z ( t ) 其中日( s _ o ) 为s i f ：n 1 ) 在”风险中性状态下的增长率 1 0 易知 e q 够1 = o 由金融经济学中基本准则知在”风险中性”状态下，从t 到t + d t 时刻该养老金 在”风险中性1 概率测度q 下的期望值等于此时段t t + d t 】中由无风险利率r 所产生 的增值减去此时段中由死亡致残、辞职等而引起的期望风险净值以数学形式表示， 即 e 。p v 】= r v d 亡一u 。( t ：) b 。( t 、s ；z o ) 如 由m s 引理及d s 方程易得 = ( 罾+ 即，s ：训g 十；以：训g 瑚十s ；髻d z + 综合上面几式，并化简得t 等嘶) 嵩一扣s 。) 器州+ 珊瑚踯s w 沪。 此即为在员工工资为m a r k o v 下养老金定价的基本数学模型 在实际运用中，工资s ( t ：r o ) 通常取值大于零，且假设其服从对数正态分布，即 增长率和随机波动率都正比于当时的工资，从而有 慨裂冀 即r s = oq d ，+ 口s 犯，其中o ，口为常数 进一步假设此时工资的风险市场价格a ( s ：z n ) = a ( t + z o ) ，此时有 疗( s ：上o ) 茹n s a ( ，+ t i ) ) 寸s 三日( t ；z o ) s 故暇从对数正态分布的s ( f ：c ，) 在风险中性状态下表示成 d s = 8 ，：。o ) s d ，+ 圹s d 扩 其中z 。在风险中性概率q 下为标准布朗运动 由上两式得到关于y ( f 5 ；。f j ) 的基本方程为 等叫一) s 筹+ 秘2 警y 十“ ( 加删v = 。 ( 3 ，) 3 2 受益金一般化考虑 上节得出的足受益金即( a ( ，s ：zc ，) ) 只与当时工资有关的养老金价值的基本方 程，而现在越来越多的养老金受益依赖于退休蘸一段时问内的平均工资，即与整个工 资的实现路径有关换言之，两个同一养老金计划的不同员工，即使t 时刻工资相 同，而【ot j 时间段内工资的实现路径不同，那么他们在t 时刻的养老金价值也足不 同的为了用数学语言来精确反映和描述这一事实，在此就有必要引入一个新的能反 映这种路径相关性的变量为方便起见，我 】先假定所讨论的”平均工资”中”甲均” 为整个养老金计划内限内的连续几何甲均 为推导此类养老金的定价模型，我们参照数学中关于几何平均的定义，利用亚式 期权的处理方法，引入新变量i ，定义f ( t ) = el o g s ( r ) 打，此时的养老金价值写成 i7 ( t s h ，) 下面来推导依赖于乎均工资的养老金价值i ( t ，s ，：o o ) 的方程 由i 的定义易知 d j = l o g s ( e ) d 亡 由，f j 。引理及以上几式可得： d v = 等一哪s ：川警+ 。s s 等一- ；r s ：籍+ 州s ：m 嵩一z 再综合以上所推导的公式得出v ( f s ，：r o ) 的基本方程为 等+ 哪曼n “等+ 1 0 9 s 等+ ；一：训器- ，r + 以沁。愚似e “) = 。 为方便起见，同样假设s ( t ：r o ) 服从对数正态分布，此时上式简化为 豢硼一“施慕+ l 。s s 等+ ；一2 s 口器- ，v + 胁m s ：) = 。( 触) 1 2 此时不妨再假设员工的受益金a ( t ，s ，f ：# d ) 分别为 山( t s ，j ；z o ) = 船 a 。( t s ，：上i ) ) = 矿( f ，s 、，：t o ) 也( t s z ) = n ( 丁) e 辛 即死亡致残及退休的一次性受益均正比于当时工资的几何平均，而辞职引起的提前 退出养老金的受益金为当时的养老金价值( 将辞职受益视为退出此养老金计划转而 参加另一养老金计划的赔付) ，其中k 为一常数，a ( t ) 为依赖于员工所在养老金计划 时间t 的因子 注意到：这里我们应该说明不考虑提前退休，故退休金只在t 时有值；假设退休受益 和死亡受益只与甲均工资有关，这是为下面的解析求解所作的一个必要的前提假设 代入( 3 2 ) 式即得 等+ 。) s 害+ l 。g s 箬；一铲警一( r 刖妇o ) ) v + 刖舭e = 。 下面考虑边界条件 由于养老金计划的时间 o 列，故当f = r 时养老金的价值v ( f ，s ，阳) 就 是t 时的退休受益刚丁) e 当s = 0 时，由几何甲均的实际意义知，一旦工资为零，其几何t 均也为0 ，而 根据假设，受益金只与甲均工资有关，故l j ( f s ，：如) = o 由于s n + 。c 1 故由i 的定义知f ( 一。c ，一。) 再由、的实际意义知，当s ，i 很大时，v 关于他们的增长率不应太大 练上，我们得出此类依赖于几何甲均的养老金价值的最终模型( a ) 为t 鲁一州：) s 箬+ l 皑s 等+ ；矿铲籍一( r 。硝o ) ) l + 瑚埔r = o f = 丁：。【r s ，：o o ) = n ( r ) p 宁 s = 0i - = 0 s 一州尝 + x j l 一一。l 百 + 。 1 3 第四章方程求解 本章的主要任务就是对上章中归结出的方程( a ) 先考虑解析解，然后对更一般 的情况考虑数值解 4 1 解析求解 本节首先对方程( a ) 在一= o 的简单情形采用传统精算方法进行求解，其次对 a 0 的一股情形采用偏微分方程的方法求得其解析解 4 1 1 口为零的情形 由于在一= o 时工资s 没有任何风险因素，故在传统精算的考虑范嗣，下面就 用纯粹的求精算现值的方法求出v ( e s ，：ze 】) 的值( 具体思路可参见陈典发教授编 写的现代精算数学原理一书) 假设当前为f ”时刻，工资为晶，死亡条件概率密度为 “( ：z 。) e z p 一乇p 一( r ：z 。) d r ( t 。( t 丁) 当口= ) 对( 旧= n s 出，得出 s = s ，e t p ( a ( ，一f o ) ) 从而有 ，( f ) = ，l 。g s ( r m r = 旧，) 一( f 一如) l 。g + 。壁。二j 尘里 进而得出死亡受益“的精算现值为 小d p 印帆州哪m 刊托 代入i 的表达式得 7 “r 吖， 掣+ 竿l o g 针掣_ ( r m 吨) ) d t ， 而员工活到i 时的概翠为 e z “一，：肛一( r ：z 。) 打) 故得退休受益金n ( t ) e 的精算现值为 n ( m p 掣+ 字l o gs n 。嘎笋廿机归刊 综上，得方程4 ”的养老金价值为， 川。) = 。( ? 蛔 掣十字l o g s + 气笋却邯d ) ( 丁_ f 0 ” + f 1 e 印 掣+ 半l 。g 岛+ 掣却一( f 吨) d t j h 0“ 以e 用传统精算美于求精篡觋值的方法对方程a 的特殊情况4 。进行t 求锯 4 1 2 r 丁不为零的情彤 ，丁0 意味着工资s 具有随机j 炷，这已超出传统方法所能考虑的范围，此时对方 程( a ) 采用偏微分方程的方法进行求懈 首先根据线性方程的选加原理将( a ) 化为以下两个方程( a - ) ： 等+ 吣：) s 蔷+ 1 0 9 s 鲁+ ；内2 器一( r + “渺j = 。 f = r ：( r ，s ，；z o ) = n ( 丁) f 争 s = 0 ：k = 0 s 一协f 等 + 。c ，一| 鲁f + 。c 和( 二) ： 等。咐m - u ) s 喾+ 。s s 鲁一争铲喾一( r + 蹦h 0 ) ) ，j ：枷m = 。 r = 丁_ “r s ，：r n ) ；n ( r ) f 争 s = o ：l j = o s 一一l 卷l + 。 ，一一等 + 。c 1 5 则l7 = p l k 对于方程 t ，根据亚式期权的处理方法，由于假设死亡致残受益只与几何平均 工资有关，所以可求形如f ( t ) 的解，其中= 堡坚出邑点，从而于巴两个空间变量 的偏微分方程转化成了只有一个空间变量的偏微分方程，进而运用一系列变量变换 求解 首先对下式 喾+ 吣：如) s 等+ - 。s s 鲁+ ；栅z 器一( r + 刖如o ) ) h ：。 作变换= 生巴芋卫型，k ( t s ，j ：“) = f ( ) 可得 c 去，2 等+ 等堋嘞) 一扣高等圳水m ) ) ( 熹) 2 f = 。 再作变换，= 一得 c 南，2 等+ 寨+ c 去沁沪却z 筹 一( ，( ，) - - p d ( t ：。o ) ) ( ；- ) 2 f = o 一l 接着作变换i = ，r 5 ( ”，f = q ( f ) ，f = f e c ( “，代入计算后化简得 ( 刍h m ) 筹州南烨 ) + 南沁。一) z 譬 专2 豢一( 矗h “肿n ) ) _ “尹：。 取州，) = 譬r ( 竿1 2 打， 一( f ) _ r ( h ( r ：如) 一譬) ( 三 ) 打 i ( f ) = f 丁( ，t ( r ) + 卢d ( f ：上i j ) ) d f 代入上式化简后即得 涎 一； 铲p 丽。i - 。面 最后作变换i = r ：，得出化简后的最简方程为 j 户占2 户 万2 万 1 6 下面考虑边界条件 当c = t 时，亦即f = o 时，k = o ( 丁) p ，而由= 垃竖；0 垃知当t _ t 时 = ，故 亦即f = u ( r ) r 再逐次代回各个变换得 h = n ( 丁) p ”= o ( 丁) z 户= 矿( n ( r ) 牙e 一! = n ( 丁) 导= o ( r ) e ： 其中的( ( ，) 和= ( t ) 当c _ t 时为o 当s = 0 时， 一一。c ，从而。一o ，进而l i 一0 ，即：一一，故z 的取值范围 为一o c ： + 。 练上，原方程( t ) 最终化为 6 量舻i 丽2 万 一。 ： + ” f = 0 ：户= ( 丁) 、r 这是标准的热传导方程，其解为 嘲= 刍厅彤e 一掣 再依次代回各个变换得 h f 只 跏卜p 南_ 、r 2 ( 丁k 一_ r 打 1r 。f ，一旦号生i 吐一f ( o 这就是方程 i 的解，其中“十) ，! l f ) ，“r ) 同本节开始说明。 至于方程也同理于 l 的解法。可阻得到： 吲- “扣叫“赤仁m 小以一些静扣衙 其中，肘? ) = 譬f ( = 尹12 m ， f i fr 1 = r ( 8 1 ) ) 一譬) ( 二) d m 所以方程( a ) 的解为 i ( f s ：r o ) = h ( t s ，：上1 ) + k ( t ，s ，：z o ) 卅，赤仁卿坚攀型a r 一，7 e 吲”，赤仁刖小 一型号筹业 特别，当( h ) 三n ，( t ) 兰，m ( t ：z o ) 三m 时叶( ) ，：( ) ，( ( ) ，叩( f r ) ，三( f r ) ， ( r ) 可以简化为普通形式例如； ( t ) = 譬f 。( 字) 2 d r = 蔷( 丁一) 3 ， f ( t ) = f 7 ( p ( r ：“) 一譬) ( ) d r ：! 二蓦竺( r f ) 2 i ( t ) = f 7 ( ，( f ) + p “rf l 】) ) d r = ( ，+ “d ) ( 丁一t ) 代人到fs ，：o o ) 中可得到新表达式： - h ) = 啦扣叫_ ( ，哪州丁叫一；( 弘r 叫3 十竿i o g s 一手 一；竿( 一一和一7 腑州_ ( r 机”叫+ 抄( ) 3 + 孚吨s + ；+ ；掣c a 一和一r 4 2 养老金模型的合理变换推广 芷推导方程( a ) 时曾假设t 均工资为整个养老金计划年限内的连续几何甲均 而实际的养老金计划更多的足取甲均工资为退休前n 年的乎均，所以定义 “f ：= g ( 7 s ) d f 其中 鲋s ) 一k 兰三曼丁 1 8 对死亡受益作相应的变换，若员工在时间段内死亡，则受益金为当时甲均工资的k 涪；若在 r n 时问段死亡，而此时段内的i 为o ，故假设此时的受益金为当时 工资的k 倍，即 f足s t ( t n “( z s ，：o o ) = ， l 七p 丁一ns s 丁 退休受益金为t 时甲均工资的a ( t ) 倍，即屯( t s ，；。o ) = 。( 丁) e 考虑到9 ( fs ) 分段函数。且当 ( 丁一n 时i ( t ) - o 故以下对v 进行分段求解当丁一nst 丁 时，记o 。一k ( t s ，：f 1 1 ) ，当t r n 时，记矿= k ( t ，s ：o o ) ( 此时段内i 恒为零) ， 其中，j 分别满足u ： 喾州妇u ) s 等+ 。s s 等+ s 等一( r + 刖) ) k = 。 f = 丁：( t s ，：0 【，) = n ( 丁1 e ： 和j s = o ：k = o s 一十 j 一+ x 等嘶如) s 等“s + 学呻讹训) = 。 f = 了一n ：( 丁一ns n ) = 、j ( 丁一n s o ：f 【1 ) s = 0 ：k = o s 一 尝i 一x 至于方程1j ，考虑其形式与方程( ) 完全类似，从而得其解为 、( f s ，：r f ) ) = 1 i ( f s ，f ) ) 一：i f s ，：t o ) 玎，高序r 矿r 一掣打 一“e 川f r ，巧杀序灯”n 一些器型办衙 记l7 ( 丁一s o = 1 ) ) = 、【s ) ，类似与上述的解题思想可以得到k 的解 1 9 x + + ( 盟姆盟盯 第五章随机模拟 假设死亡致残受益 d ( t s ，：z o ) = k s 根据 d s = 目( e ：z o ) s d 亡+ 口( t ：t o ) s d 驴( f ) ，而在风险中性概率q 下为标 准布朗运动，d z + 为正态随机分布，期望为0 ，方差为出，故 r 博= 目( ：t o ) s 疵+ 口( t ：r 【) ) s v 7 蕊! 其中服从标准正态分布 当m 很小时，通过得到一列关于s 随机数的方法得到工资s 实现的路径，然后 根据生命表，假设每个年龄段内均匀分布，进而根据精算现值的概念得出该路径下o 时刻的养老金现值为了得到较为理想的结果，我们可以不断改表土的值，而且考 虑到s 的随机性。对每个还可以取多条路径下的养老金价值的甲均 运用n l a t l a b 编写的具体的程序，各种参数的取值为： 日l = 4 5 即丁= 2 0 口= o 0 了3 5 2 盯= 00 8 5 3 2 ，= 0 l = 2 初始工资s ( o ) = 1 0 0 0 所求值为v ( o 1 0 0 0 ：4 5 ) = 4 5 7 9 2 3 说明：由于是随机模拟，计算结果表明了真实结果的一个大致范围 附程序r f 1 “- r i ( 1 i lh i m u k l t i o n r h pr t t = ( ) 【) 7 3 5 2 ：s i g n l a = 0 0 8 5 3 2 ： r = ( l ：d e l t h t = 1 【) ：s 0 = 1 0 0 0 ： e r l g p = 00 l ：k = o ：t = 2 0 、b = l ： w h i l p ik 1 0 0 ) l n = 矗x ( t d e l t a t l ： 1 1 = 0 ：a w r n g p l = 0 ：e r a g e l = l0 ： l d l = 9 1 6 4 05 0 ：l d 2 = 7 5 3 3 9 6 3 ：t v = o ： r a l l ( 1 1 1 ( s t a t e 、s u m ( 1 0 0 c i o c k ) ) ： u = m n ( b m ( i l o r m 、0 ，l 、m + l 、1 1 ： f l e a f h = f3 6 6 2 5 2 93 9 37 6 8 74 2 36 9 7 84 5 6 2 2 了4 4 9 1 5 5 4 35 2 9 8 8 4 45 7 1 4 3 1 66 1 6 4 1 6 5 6 6 5 0 6 4 67 l 了6 0 4 17 7 4 2 6 2 68 3 5 2 6 3 6 9 0 08 2 1 59 7 1 1 3 5 81 0 4 6 3 8 4 31 1 2 6 7 1 4 6 1 2 1 2 2 3 4 31 3 0 29 9 9 41 3 9 9 0 0 1 01 5 0 0 1 5 0 4 f o r ( i ) = o ：l ：1 9 ) f o r ( 净o ：1 ：( 缸【1 d e l t a t ) - 1 ) ) d ( p 矗x ( 1 d e l t a t ) + ( j + 1 ) ) = d e a t h ( p + 1 ) 十d e l t a t ： e n d e n d w l l i l e f h l ( ) 1 s 0 、i = o ： t s = l o g ( 1 0 0 0 ) ： f o r ( 1 ；( ) ：l ：n 卜1 1 i “i = = 0 1 s ( 1 ) = s 0 p x p ( ( t h e t a s i g n l a 2 ) 十d e l t a t 十s i g m a 十s q r c ( d e l t a t ) u ( i + 1 ) ： e l s e s ( i 一1 ) = s ( i ) e x p ( ( t h e t a - s i g m a 十s i g m a 2 ) 十d e l t a r s 培m 扩s q r t ( d e l t a t ) $ l _ f i 1 ) p l l l l s = s f i 1 ) ： t s = t s l u g 【a ) p ( 娟= ( t sl i _ _ 2 ) ) ： d s “一1 ) = d ( i 1 1 2 扎 e x p ( 1 i 十1 ) r d e l f a t ) ： s l 、f = sl _ 、i t d s ( i 1 ) p l l ( 1 l d s = l d 2 t $ e x p ( p o s ) $ e xp 【一2 0 $ r ) ： 2 l s u m = s u m 十l d s ：t v = t v + s u m l d l v = t 、? ( h _ 广1 ) ， i f ( 矗b s ( _ h v e r a g e l ) e r a g e l ) b r e “k e n ( 1 n v p r h g e l = v ： h = l l l ： e n l l k = k + 1 i f ( ( n b h 【v v b ) v b ) e m g e ) s c 0 1 ) v b r e “k e i l ( d e l t d r = d e l c n f2 ： f 口= i v p i l ( 参考文献 l 1 陈典发，石俊志，方辉。现代精算数学原理，中国金融出版社，1 9 9 8 21 、【烛舱ls l l e s w e k is h e n f i n a n c v a l u a c i o no f 鼬c i r e m e n tb e n e 丘t sb a s e do n s n l a r v s u b i i l i t t e d 3 1 、j i c l l a e ls h e r r 氓t 1 1 e l l u a t i o n “o d t i o uf e a t u r e si nr e t i r e