（地球探测与信息技术专业论文）基于独立分量分析的地质体检测方法研究.pdf

r e s e a r c ho fm e t h o di nd e t e c t i o no f g e o l o g i c a lb o d i e sb a s e do n i n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a l y s i s at h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：w a n g y a n s u p e r v i s o r ：p r o f w a n gy o n g g a n g s c h o o lo fg e o s c i e n c e s c h i n a u n i v e r s i t yo fp e t r o l e u m ( e a s t c h i n a ) 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均己在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：马迷一 日期：。卵1年多月 z 日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印刷版 和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、借阅和 复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、缩印或其他 复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签 指导教师签名： 日期：友叫年多月上日 日期：力7 年易月沙日 摘要 独立分量分析技术( 简称i c a ) 是近些年来伴随着盲源分离技术发展起来的一项以 多维信号为处理目标的新技术。i c a 技术的理论基础是信号的高阶统计信息，以统计独 立为原则，对观测到的数据建立目标函数，并通过选择合适的优化算法求取分离矩阵。 将目标数据分离成彼此独立的若干分量，最终达到挖掘数据中隐含成分的目的。随着 i c a 技术理论体系的不断更新与完善，该方法已广泛的应用于地球物理领域并取得了较 好的效果。 本文在分析、研究i c a 基本算法原理的基础上，将i c a 技术应用于地球物理领域， 主要为两方面的研究：1 ) 应用i c a 技术压制地震资料中的随机噪音；2 ) 采用i c a 技 术优化地震属性。研究的具体内容如下： 首先，论述了i c a 技术的数学基础与基本理论，在讨论与i c a 密切相关的概率、 信息论等数学知识的基础上，针对i c a 问题的提出、数学模型以及不确定性做了简要分 析。同时，还讨论了i c a 技术中独立性的定义以及度量方式。 其次，重点介绍了i c a 技术中著名的f a s t i c a 算法，对该算法的基本原理以及算 法特性展开了详细的讨论。此外，对j a d e 算法原理做了简要的论述。介绍了度量i c a 分离结果的两种不同方式，以模型试算的方式度量了f a s t i c a 算法中不同的目标函数以 及j a d e 算法的分离性能。 最后，将i c a 技术应用于地球物理研究领域。在模型试算的基础上，应用i c a 技 术压制实际地震资料( 包括叠前、叠后) 中的随机噪音。拓展i c a 技术，与稀疏编码理 论、逆滤波技术相结合应用于地震资料的去噪研究。另一方面，鉴于地震属性优化是地 震属性分析技术中非常重要的环节，利用i c a 技术分析属性的高阶统计信息，优选出最 能够反应储层特征的属性信息。本文分别采用i c a 、k i c a 以及综合参数法优选属性， 结合测井数据以及反演结果来综合分析三种方法的优选结果，最终达到识别地质体的目 的。 关键词：i c a ，k i c a ，滤波，去噪，地震属性优化 r e s e a r c ho fm e t h o di nd e t e c t i o no fg e o l o g i c a lb o d i e sb a s e do n i n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a l y s i s w a n gy a n ( g e o p h y s i c a lp r o s p e c t i n ga n d i n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y ) d i r e c t e db yp r o f w a n gy o n g g a n g a b s t r a c t i n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a l y s i s ( i c a ) i sa c c o m p a n i e dw i t ht h ed e v e l o p e do fb l i n d s o u r c es e p a r a t i o nt e c h n i q u ei nr e c e n ty e a r s ，i st h eg o a lo fm u l t i d i m e n s i o n a ls i g n a lp r o c e s s i n g t e c h n o l o g y i c at e c h n o l o g yi st h et h e o r e t i c a lb a s i so fh i g h e ro r d e rs i g n a ls t a t i s t i c s ，a st h e p r i n c i p l eo f s t a t i s t i c a li n d e p e n d e n c eo ft h eo b s e r v e dd a t as e tt ob et h eo b j e c t i v ef u n c t i o n ，a n d b ys e l e c t i n gt h ea p p r o p r i a t ea l g o r i t h mt o s t r i k eas e p a r a t em a t r i x t h et a r g e td a t as e p a r a t e d i n t os e v e r a lc o m p o n e n t si n d e p e n d e n t l yo f e a c ho t h e r , a n du l t i m a t e l ya c h i e v i n gt h ed a t am i n i n g c o m p o n e n to ft h ep u r p o s ei m p l i e d w i t ht h et h e o r e t i c a ls y s t e mo fi c at e c h n o l o g yc o n s t a n t l y u p d a t e da n di m p r o v e d ，t h em e t h o dh a sb e e nw i d e l yu s e di ng e o p h y s i c sa n da c h i e v e dg o o d r e s u l t s t h i sa r t i c l eb a s e d0 nt h eb a s i ca l g o r i t h mo fi c a ，a p p l i e dt h ei c at e c h n o l o g yi n t ot h e f i e l do f g e o p h y s i c s , m a i n l yi nt w oa s p e c t s ：t h ef i r s t ，a p p l i c a t e dt h ei c at e c h n o l o g yt os u p p r e s s r a n d o mn o i s ei ns e i s m i cd a t a ；t h es e c o n d ，a p p l i e dt h ei c at e c h n o l o g yt oo p t i m i z et h eu s eo f s e i s m i ca t t r i b u t e s t h es p e c i f i cc o n t e n to ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ： f i r s to fa l l ，d i s c u s s e st h em a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o n sa n db a s i ct h e o r yo ft h ei c a t e c h n i q u e s ，b a s e do nt h ed i s c u s s i o no fp r o b a b i l i t y , i n f o r m a t i o nt h e o r y , e t c o nt h eb a s i so f m a t h e m a t i c a lk n o w l e d g ew h i c hi sc l o s e l yr e l a t e d 淅t l li c a ，ab r i e fo fa n a l y s i so ft h eo r i g i nf o r t h ei c a p r o b l e m 、m a t h e m a t i c a lm o d e la n du n c e r t a i n t y a tt h es a m et i m e ，a l s od i s c u s s e dt h e d e f i n i t i o no fi c a t e c h n o l o g yi n d e p e n d e n c e ，a n dm e t r i c s e c o n d l y , h i g h l i g h t st h ew e l l k n o w ni c af a s t i c aa l g o r i t h m ，a n d h a v ead e t a i l e d d i s c u s s i o no ft h eb a s i c p r i n c i p l eo ft h ea l g o r i t h ma n dc h a r a c t e r i s t i c s i na d d i t i o n ，j a d e a l g o r i t h mp r i n c i p l ea r eb r i e f l yd i s c u s s e d i n t r o d u c e dt w od i f f e r e n tw a y so fi c as e p a r a t i o n r e s u l t so fm e t r i c w a yt om o d e lt e s tm e a s u r e st h eo ft h ed i f f e r e n to b j e c t i v ef u n c t i o n so ft h e f a s t - i c a a l g o r i t h ma n dt h es e p a r a t i o np e r f o r m a n c eo fj a d ea l g o r i t h m f i n a l l y , t h ei c at e c h n i q u eu s e di ng e o p h y s i c a lr e s e a r c h i nt h em o d e lt e s tb a s e d o nt h e a p p l i c a t i o no fi c at e c h n i q u e s t os u p p r e s st h ea c t u a ls e i s m i cd a t a ( i n c l u d i n gp r e s t a c k , p o s t - s t a c k ) o fr a n d o mn o i s e o nt l l eo t h e rh a n d ，i nv i e wo f s e i s m i ca t t r i b u t ea n a l y s i so fs e i s m i c a t t r i b u t eo p t i m i z a t i o ni sav e r yi m p o r t a n tp a r t ，i c at e c h n i c a la n a l y s i su s i n gh i g h e ro r d e r s t a t i s t i c sp r o p e r t y t h i sp a p e ru s e si c a ，k - i c aa n dc o m p r e h e n s i v ep a r a m e t e r sm e t h o df o r o p t i m i z a t i o no fs e i s m i ca t t r i b u t e s ，c o m b i n e dw i t hl o g g i n gd a t aa n dc o m p r e h e n s i v ea n a l y s i so f t h ei n v e r s i o nr e s u l t st oc o m p r e h e n s i v ea n a l y s i so ft h er e s u l t so f t h r e em e t h o d so f s e l e c t i o n ，u l t i m a t e l yi d e n t i f yt h eg e o l o g i c a lp u r p o s e s k e yw o r d s ：i c a ，k i c a ，f i l t e r , d e n o i s i n g ，s e i s m i c a t t r i b u t eo p t i m i z a t i o n 1 1 1 目录， 第一章绪论一1 1 1 研究背景及意义1 1 2i c a 技术发展历史及其应用领域1 1 3 研究的主要内容2 第二章i c a 技术的理论基础4 2 1 引言4 2 2i c a 技术的数学基础4 2 2 1 联合函数与互相关函数4 2 2 2 高阶统计分析6 2 2 3 信息论的基础知识9 2 3i c a 技术的基本理论一1 5 2 3 1i c a 问题的提出1 5 2 3 2i c a 的数学混合模型15 2 3 3i c a 的分离模型17 2 3 4i c a 的不确定性分析1 8 2 4i c a 技术中独立性的定义1 9 2 5i c a 技术中独立性的度量一2 0 2 5 1 基于互信息最小的度量2 0 2 5 2 基于非高斯性最大的度量2 2 2 5 3 基于极大似然估计的度量一2 4 第三章i c a 技术的相关算法2 7 3 1 引言2 7 3 2i c a 技术中的预处理。2 7 3 2 1 信号的零均值化2 7 3 2 2 信号的白化。2 8 3 2 3 进一步的预处理2 9 3 2 4i c a 与p c a 2 9 3 2 5 白化的仿真实验3l j 3 3i c a 技术算法原理及分析3 3 3 3 1f a s t i c a 算法3 3 3 3 2j a d e 算法4 1 3 4i c a 算法分离性能的度量4 3 第四章i c a 技术在地球物理勘探中的应用研究4 6 4 1i c a 技术在地震资料去噪中的应用4 6 4 1 1 地震噪音的特点及分类4 6 4 1 2 常用的地震去噪方法及分类：4 6 4 1 3 基于i c a 技术的随机噪音压制4 6 4 1 4 应用i c a 技术与其他方法相结合的地震资料去噪5 3 4 2i c a 技术在地震属性分析中的应用6 8 4 2 1 地震属性分析技术6 8 4 2 2i c a 技术在属性优化中的应用6 9 第五章结论与认识8 6 参考文献8 8 攻读硕士学位期间取得的学术成果。9 3 致谢9 4 v 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 1 1 研究背景及意义 第一章绪论弟一早 三百t 匕 近些年来，随着数学理论的不断完善以及计算机运算速度的飞速提升，极大的推动 了地震勘探技术的迅猛发展。如今地震技术应用范围已由最初的勘探拓展到开发领域。 但现在我国油气勘探、开发形势严峻，面临的主要问题是研究对象已不再是构造简单、 油气藏类型单一的区域，而是沙漠、山地、以及采集条件恶劣的地区，因此勘探开发的 难度不断加大。正是这些问题的存在，对地震勘探技术寄予了更高的期望。 独立分量分析技术( 下文简称为i c a 技术) 【1 】【2 】【3 】与盲源分离技术密不可分，是一 项对多维信号处理的新技术。i c a 技术以高阶统计分析为理论基础，本着统计独立原则， 对观测到得数据建立目标函数，并通过选择合适的优化算法求取分离矩阵。将目标数据 分离成彼此独立的若干分量，最终达到挖掘数据中隐含成分的目的4 】【5 】【6 1 。鉴于i c a 技 术能充分利用信号的高阶统计特性，并能清楚的分析数据的结构特征，i c a 技术现已成 功的应用于地球物理勘探领域。本文重点做两个方面的应用研究：1 ) 基于i c a 技术压 制地震数据中的随机噪音；2 ) 针对储层采用i c a 技术进行属性优化。实现通过i c a 技 术提高地震剖面的信噪比，并根据i c a 技术优选出的属性信息达到地质体识别和储层预 测的目的。 1 2i c a 技术发展历史及其应用领域 近些年来由于数字通信与地球物理勘探领域迫切需要新的信号处理技术以解决各 自领域遇到的难题，因此催生了盲信号处理这一新的研究方向。盲信号处理过程可简要 的归结为：在不了解传输信道特性的情况下，根据检波器接收到的观测信号来估计源信 号波形。因此“盲”主要体现在源信号未知与混合系统未知两方面。盲信号处理主要分 为盲辨识、盲反卷积与盲信号分离，本文重点论述的i c a 技术就属于盲信号处理中盲源 分离的研究范围。i c a 技术的理论模型如图1 1 所示： 图1 - 1i c a 技术的理论模型 早期的盲源分离方法是由j u t t e n 与h e r a u l t 提出的基于反馈神经网络的盲分离方 法，由于使用的非线性函数缺乏严格的理论证明，该方法仅仅能实现两个混合信号的盲 第一章绪论 分离。随后l i u 等人在总结分析盲分离问题的不确定性与可分离性的基础上，提出了基 于高阶统计信息的特征分解法。c h r i s t i a nj u t t e n 、尸f p 删c o m o n 和j e a n n yh e r a u l t 三 位学者先后在信号处理杂志上发表有关盲源分离的经典文献，从而奠定了盲分离技术的 发展，在此之后越来越多的专家学者参与到该领域。特别是尸把脚c o m o n 深化了神经 网络中的p c a 技术并加以拓展，使其变化为通过i c a 技术来提取观测数据( 线性混合 后) 中的各个独立成分。l a h e l d 等人于9 6 年提出了基于相对梯度的i c a 算法，并对算 法的稳定性以及分离的精度做了系统的讨论【7 1 。之后p r i e t o 等从几何分离的角度出发提 出了新的i c a 分离方法【引，与此同时a m a r i 等人提出了基于自然梯度的i c a 算法1 9 1 。在 9 7 年h y v a r i n e n 等人提出了著名的固定点算法( f a s t i c a 算法) 【1 0 1 ，该算法有着收敛速 度快、分离精度高的特点，本文也将对此算法做详细的论述及研究。学者a m a r i 于9 8 年在详细分析了基于自然梯度的i c a 算法的基础上，论证了该算法局部稳定性的充要条 件1 1 】【1 2 】。从1 9 9 9 年开始，每年都会召开i c a 国际年会，i c a 技术已经受到学术界的广 泛关注。 i c a 技术应用范围广泛：在医学领域，i c a 技术能够有效的区分人体脑信号与电磁 信号，以分离出的有效人体信号来判断病理特征【”1 ；在金融行业的应用，使用i c a 技 术挖掘金融数据中的隐含因素，例如分析股票的日利润【1 4 】；在图像处理中的应用，可通 过i c a 技术去除图像中混杂的加性噪音，与其紧密联系的稀疏编码理论在下文也将有论 述1 5 】；在通讯领域的应用，i c a 技术可用于将一个电话用户从众多用户中分离出来1 6 1 ； 在地震勘探领域的应用，将i c a 技术应用于地震资料的去噪和属性的优化【1 7 1 。 1 3 研究的主要内容 本文将i c a 技术引入地球物理勘探领域用于地质体的识别。在前人分析研究的基础 上，通过模型仿真与实际资料试算，验证了i c a 技术在压制地震资料中的随机噪音的有 效性；同时，分析了i c a 技术在地震属性优化中的应用。本文共五章，分别对各章做简 要介绍： 第一章为绪论部分，简要分析了i c a 技术的原理、发展历史及其应用范围。结合当 前地球物理勘探形式，剖析了i c a 技术在地震勘探中的应用价值。 第二章重点介绍了i c a 技术的理论基础。考虑到i c a 技术涉及的理论较多，不仅 需要随机信号分析、概率论等理论还要需要利用信息论，为此本章阐述了i c a 技术的数 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 学基础、基本理论以及常用的分析模型，并且对i c a 问题中的不确定性做了简要讨论。 第三章介绍了i c a 技术的相关算法，从信号统计特性的角度出发讨论了i c a 与p c a 之间的关系。详细分析了f a s t i c a 算法的基本原理及其特性。介绍了两种i c a 技术中 的度量方式，对比了f a s t i c a 、j a d e 、极大似然估计以及i n f o r m a x 算法的分离性能。 第四章为i c a 技术在地球物理勘探中的应用研究。克服了i c a 技术的局限性，引 入稀疏编码理论、逆滤波等技术在保护边界信息的前提下压制地震资料中的随机噪音。 简要介绍了i c a 技术的拓展核独立分量分析( 简记为k 1 c a ) ，在优选符合研究区地质 情况的属性基础上，分别使用i c a 、k i c a 和综合参数法对优选出的属性做进一步的优 化。结合该目标区域的构造解释、测井解释，对优化结果做储层预测。 第五章在对i c a 技术总结归纳的基础上，提出了该技术的不足和有待改进之处。 3 第二章i c a 技术的理论基础 2 1 引言 第二章i c a 技术的理论基础 独立成分分析( i c a ) 是寻找多维统计数据中内在因子( 成分) 的一种计算方法。 该技术与统计学及其相关学科相似，基本问题同样是寻找一个合适的多元数据表达式， 例如寻求表征随机变量的合理表达式。从神经计算的角度出发，i c a 在求取表达式的过 程中并没有借鉴先验信息或其他具有“指导意义的外部数据，而仅仅是从数据本身而 得，因此该问题属于“无监督学习的范围。出于计算简单的目的，表达式通常被认为 是原始数据的线性变换。也可以理解为表达式中的各个部分是原始数据的线性组合，著 名的线性变换方法包括主成分分析( p c a ) ，因子分析以及目标迭代。然而i c a 技术与其 他线性变换方法的不同之处在于寻找的因子( 成分) 须满足非高斯分布且统计独立【1 8 】。 根据i c a 对寻找因子的假设条件，就需要通过分析信号的高阶信息来判断信号的高斯或 非高斯性，因此i c a 多以高阶累积量来构造目标函数。i c a 技术与传统的盲源分离技术 相比，能够更有效地反映信号的高阶信息【1 9 j ，从而突出数据的结构特征。鉴于i c a 技术 的这些特性，在医学的脑电波图像去噪、信号处理、地球物理勘探等领域都展现了该技 术的应用价值。 通过以上论述，i c a 不仅应用高阶矩、高阶累积量等统计信息，在构建目标函数时 还涉及到信息论等相关知识。因此，在下文中将对i c a 技术的基本理论及相关的数学基 础做简要的论述。 2 2i c a 技术的数学基础 在地震勘探过程中，检波器接收到的信号可以认为是有效信号与噪音的混合，同时 有效信号也有一定的随机性。为了更有效的抑制噪音，检测有效信号，在了解地震波与 噪音各自统计特性的基础上，对两者间的联合统计特性也应该有清楚地认识。 2 2 1 联合函数与互相关函数 ( 1 ) 联合分布函数与联合概率密度 设随机过程x ( t ) 的m 维分布函数为以( x l ，x m ，t l ，f m ) ，另一随机过程 】，( ，) 的维分布函数f ，( y l ，一y ，f l ，t ) ，则定义x ( t ) 与y ( t ) 的m + 维联合分 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 布函数可表示为： ( 而9o ，t l ，0 ，y j ，y u ，l ，t ，) = j f i 江r ( f 1 ) 而，l ，x ( t m ) - - x m ，地) 咒，l ，y ( t n ) y u j ( 2 1 ) 同时m + 维联合概率密度表示为： 厶( 而，粕， ，0 ，乃，l ，知) ：竺：! 鱼垃：堑：生：幺：苎：丛：生：盟 ( 2 2 ) o x i o x u a y l 砂 当满足 厶( 五，嘞，f l ，乃，y ，t l ，知) 2 厶( 五，嘞，o ) 矗( 乃，蜘，t l ，t | ) ( 2 - 3 ) 视x ( t ) 与r ( t ) 是相互独立的。 如果x ( t ) 与y ( t ) 的联合统计特性并不随着时间起点的变化而变化时，称x ( t ) 与y ( t ) 是严格联合平稳的，或者称之为平稳相依。此时，对于x ( ，) 与y ( t ) 的任意m + 维联合 概率密度与时间起点无关，可表示为： 0 ( 而，x u ，l ，0 ，y l ，y ，f ) = 一，：0 ( 确，粕，f l + 口，t m + a ，乃，j ，+ 口，f + 口) ( 2 4 ) 上式中口为任意常数，同理，对于随机序列的联合分布函数也有类似的定义。 ( 2 ) 互相关函数及其性质 互相关函数是对两个随机过程联合统计特征重要的数学描述，其定义为： 兄“，2 ) = e x ( t 。) 】，( f ：) 】= ，= ，= 砜( x ，y ，f 1 ，：) d x d y ( 2 5 ) 将两随机变量的互协方差函数定义为： r k 耵( ，t 2 ) = e 缸x ( ，1 ) 一( f 1 ) 】【】，( 乞) 一m y ( t 2 ) j ( 2 6 ) 式( 2 - 6 ) 中m ，为平稳随机信号x ( t ) 的一样本函数的均值，m 。为平稳随机信号v ( t ) 的 一样本函数的均值。 互相关函数与互协方差函数的关系为： 5 第二章i c a 技术的理论基础 r k 胛( t l ，2 ) = r r x r ( ，1 ，2 ) 一所，( ，1 ) m y ( ，2 ) ( 2 - 7 ) 通过( 2 7 ) 式可以得出，当尺尺胛( ，。，2 ) = 0 时，即两随机过程的联合概率密度为0 ，则 称x ( t ) 与y ( t ) 是相互正交的。还可以得出，当r k 胛( ，。，f 2 ) = 0 时，即满足 e x ( t 1 ) 】，( ，2 ) 】= m ，( ，1 ) 磁y ( ，2 ) ，则称x ( ，) 与】，( r ) 是互不相关的。 对于联合平稳随机过程的互相关函数具有如下性质： 月( - 8 ) = r 如( 万) ( 2 - 8 ) 证明如下： r 尽耵( 一万) = e x ( t 一万) 】，( ，) 】= e y ( t ) x ( t 一万) 】= r r 蹦( 艿) 通过( 2 8 ) 式可分析出互相关函数并不是偶函数。同理，互协方差函数也有相同的性 质。 ( 多 i r 尺删( 万) 1 2 r j ( o ) r y ( o ) ( 2 9 ) 2 r r x r ( 8 ) r x ( 0 ) + r r ( 0 )( 2 1 0 ) l r k 0 ( 万) 1 2 听2 听2 ( 2 11 ) 其中( 2 - l o ) 式中o r 为随机过程的方差。如果随机过程x ( t ) 与y ( t ) 是联合平稳的，则 s ( t ) = x ( t ) + y ( t ) 是平稳的，即有： ( 多 b ( 万) = r x ( 万) + r r ( 万) + r r 肼( 万) + r r 肼( 万)( 2 - 1 2 ) 若x ( f ) 与y ( t ) 彼此不相关，则有： r s ( 万) = r x ( 万) + r r ( 8 ) + 2 m ，m y ( 2 1 3 ) 若x ( t ) 与】，( f ) 相互正交，则有： r s ( 万) = r x ( 万) + r r ( 占)( 2 1 4 ) 2 2 2 高阶统计分析 在传统的信号处理中，考虑到高斯信号有良好的性质，一般把信号假设为服从高斯 分布。对于高斯信号的分析与处理，可以通过其一阶、二阶统计量( 期望和方差) 进行 数学描述。然而在实际中，纯粹的高斯信号并不常见【2 0 1 ，并_ r - - 阶统计量存在一些缺点。 6 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 例如难以对非最小相位的系统进行辨识【2 l 】【2 2 1 、并有对加性噪音敏感的特点等。因此在对 信号处理时就不可避免得要应用信号的三阶或更高阶的统计信息，即高阶统计量。高阶 统计量在地震勘探领域也得到了广泛的应用，如检测小断层【2 3 1 、利用高阶统计量进行地 震子波估计【2 4 】、对地震信号的振幅和相位的恢复【2 5 】等。下面对与i c a 技术紧密联系的高 阶矩、高阶累积量、高阶谱等高阶统计量信息进行简要介绍。 ( 1 )高阶矩及高阶累积量的定义 首先利用特征函数，引出高阶矩与高阶累积量的定义。对于某随机变量x ，假设其 概率密度函数为( x ) ，6 ( x ) 为任意函数，则b ( x ) 的数学期望为： e 6 ( x ) ) = if ( x ) b ( x ) d x ( 2 - l5 ) 当6 ( x ) = p 胁时，可以将上式改写为： 矽( 缈) = e e “) = i f ( x ) e 7 嬲出 ， 式( 2 - 1 6 ) 即为第一特征函数，也可以认为是概率密度函数的傅罩叶变换。 函数的自然对数称之为第二特征函数，如下式： y ( 缈) = l n 矽( 缈) 随机变量x 的k 阶( 原点) 矩仇和中心矩仇分别定义为： n k = e x k ) = x k f ( x ) d x r l k = 联( x 一肌) ) 七) = ( x - m ) 厂( x ) d x ( 2 - 1 6 ) 第一特征 ( 2 - 1 7 ) ( 2 - 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) 式( 2 1 8 ) d ? 玎= e x ) 是随机变量x 的一阶原点矩，即均值。若随机变量x 为零均值， 那么其k 阶原点矩伟等价于中心距仇。 对第一特征函数求k 阶导，则有： 以咖警e x k e j m , ) ( 2 - 2 0 ) d 缈。 在式( 2 - 2 0 ) t o ，令0 3 = 0 ，随机变量x 的k 阶( 原点) 矩仇可表示为： n 七= e x 七) = ( 一) 七= ( 一) 。矽七( o )( 2 2 1 ) o j = 0 通过式( 2 - 2 1 ) 可以看出，通过第一特征函数可以生成随机变量x 的k 阶( 原点) 矩， 7 第二章i c a 技术的理论基础 因此又将第一特征函数矽( 缈) 称为矩生成函数。 与式( 2 2 1 ) 相似，对随机变量x 的k 阶累积量定义为 州切学l 卟 弘2 2 ， 因此，又将第二特征函数称为累积量生成函数。 ( 2 ) 高斯信号的高阶矩及高阶累积量 在信号与系统中，高斯信号是重要的研究对象。特别在i c a 技术中，一个基本的假 设就是独立分量是非高斯的，或者有且只有一个信号是高斯的。因此，对高斯信号的高 阶信息的分析就显得尤为重要。 假设x 为高斯型随机变量，均值记为，方差记为仃2 ，可以将x 的概率密度函数表 示为： m ，= 击唧 一警) 亿2 3 ， 当均值为零时，随机变量x 的矩生成函数可表示为： 矽c 缈，= 以p 胁，= d c x 甜出= 击o x p 一刍+ 锻) 出 c 2 2 4 ， 对式( 2 2 4 ) 求解积分可得： 烈砌= 矿矿盯2 7 2 ( 2 2 5 ) 根据矩生成函数的性质，对矽( 国) 求各阶导数： 矽( ) = 一盯2 0 ) e 一口2 甜2 7 2 ”( 缈) = ( 仃4 缈2 一盯2 弦一口2 m 2 7 2 ( 2 2 6 ) 矽( 缈) = ( 3 仃4 国一仃6 国3 弦一盯2 2 7 2 矽4 ( 缈) = ( 3 0 - 4 0 - 6 ( 0 2 + 盯8 彩4 ) p 一口2 m 2 72 根据上节的式( 2 2 1 ) ，可得到高斯型随机变量x 的各阶矩： 啊= o ，n 2 = 0 - 2 ) n 3 = o ，n 4 = 3 0 4 ，( 2 2 7 ) 对式( 2 2 5 ) 进行对数运算，可得高斯型随机变量x 的累积量生成函数： 8 中国石油大学( 华东) 硕上学位论文 y ( c o ) - l n 纰) - _ 孚 ( 2 - 2 8 ) 对式( 2 2 8 ) 求导，各阶导数为： 沙。( c o ) = 一0 9 0 2 缈”( 缈) = 一盯2( 2 2 9 ) y ( 缈) = 0 沙。( 缈) = 0 将求得的导数值代入式( 2 2 2 ) ，可得高斯型随机变量z 的各阶累积量： q l = o ，巳2 = 盯2 ，= 0 ，( 七= 3 ，4 ，)( 2 3 0 ) 根据以上的计算及分析，对均值为零的高斯型随机过程的矩及累积量做如下总结： ( 1 ) 其二阶矩与二阶累积量的结果相同，都为方差的平方。 ( 2 ) 奇数阶矩的值恒为零，而偶数阶矩并不为零。 ( 3 ) 三阶及以上的高阶累积量恒为零。 由上述认识，就可以通过高阶信息来辨识一个随机过程是否为高斯型，这对i c a 技 术有很大的意义。 2 2 3 信息论的基础知识 信息论这门学科是为解决通讯过程中两个基本问题而产生的，即信息传送率的上限 以及数据压缩的上限。通过信息论中的“熵 和“互信息 等概念来解决以上问题。在 处理i c a 问题中，信息论应用的重点在于使用“熵”、“互信息 等概念来度量信号中信 息的含量以及信号之间相互独立的程度2 6 1 。下文将着重介绍与i c a 技术有着紧密联系的 信息论基础知识及其相互关系。 ( 1 ) 熵 熵反映信号源中每一个信号的平均不确定度，即信号中所包含的平均信息量。对 于一个离散型髓机变量x 中x = x t 的取值，其信息量采用如下公式进行度量： m ：l o g 旦( 2 3 1 ) p i 式( 2 3 1 ) q h 矗表示x = x j 的后验概率，只则表示x = 的先验概率。在无噪音条件下 9 第二章i c a 技术的理论基础 ( 其后验概率为1 ) ，随机变量的信息量为： m 。：l 。g 上：一l 。g a p t ( 2 3 2 ) 若信号源共输出r 次，则x = x i 出现的次数即为r p ，所以将工= x ，的r 次输出的总 信息量表示为： m r = r p , l o g p _ f( 2 3 3 ) 假设有个不同的输出值，那么尺次输出的总信息量就是对上式i = l 求和： m 二= - r p ；l o g p , ( 2 3 4 ) j = i 根据上式求出的总信息量，可以将每次输出的平均信息量记为： 日：坐盆：一兰b l 。g n r 智一 ( 2 3 5 ) 将式( 2 3 5 ) 记为信号源的熵。 将式( 2 3 5 ) 中的- p ，l o g p ，记为函数( 尼) ，髟的取值范围为 0 ，1 】，计算该函数在区 间【0 ，1 】上图形，如图2 - 1 所示： 图2 - 1 函数厂( a ) 在区间1 0 ，l 】上的图形 通过图2 一l 可以直观地认识到，当概率很小或很大( p 。为0 或1 ) 时熵值较小。当 仍= 0 3 6 7 8 9 时，函数厂( a ) 取得极大值。反映出当信号源所包含的不同信号接近等概率 出现时，熵值越大越难以确定是哪一个信号。对于一个随机变量越是“随机，丁其熵值 越大从而也加大了预测的难度。 ( 2 ) 联合熵和条件熵 将熵的概念进行扩展，对多变量的情况进行讨论。设连续随机变量x 与y ，两随机 1 0 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 焚量的联合炳表不为： h ( x ，j ，) = 一肛( x , y ) l 。gp ( x ，y ) d x d y ( 2 3 6 ) 上式中p ( x ，y ) 为随机变量x 与y 的联合概率密度函数。当石与y 彼此独立时有： h ( x ，y ) = h ( x ) + 圩( j ，) ( 2 3 7 ) 条件熵为条件概率密度函数对数的均值。随机变量x 与y 的条件熵表示为： 日( x i y ) = 一伽( x , y ) l 。gp ( x l y ) d x d y ( 2 - 38 ) 根据p ( x ，y ) = p ( y ) p ( x l y ) 可得联合熵与条件熵的关系： 日( 训) = 一伽( x ，y ) l o gp ( y ) d x d y - 伽( x ) l 。gp ( x y _ ) d x d y = - j p ( y ) l 。gp ( y ) d y + h ( x l y ) = 日( j ，) + 日( x l y ) ( 2 - 3 9 ) 同理由p ( x ，y ) = p ( x ) p ( y l x ) 可得： h ( x ，y ) = h ( x ) + h ( y l x ) ( 2 4 0 ) ( 3 ) 相对熵 相对熵用于反映两个概率密度函数之间的一种“距离”或者度量它们之间的相似程 度，又称为k u l l b a c k - l e i b l e r 散度或k l 熵。设两个刀维概率密度函数分别为局与仍， 则在连续情况下相对熵的数学表达式记为： 万( p l , p 2 ) = n ( 抛黔 ( 2 - 4 1 ) 根据协( f ) 扔( 善)