（基础数学专业论文）banach空间中单位球面球覆盖的若干问题.pdf

中文摘要 摘要 我们称b a n a c h 空间x 中的一个开球族夕量p ， 代，为x 的一个球覆盖，如 果中每个球都不含原点且其并包含x 的单位球面；称空间具有球覆盖性质，如 果它存在一个由可数多个球所构成的球覆盖；称夕为极小的，如果它的基数4 在 x 的所有球覆盖基数中是最小的，此时也记为风。文献【7 1 证明了如果x 是 一个n 一维赋范空间，则n + l 熊。2 n ；如果x 是光滑的，则熊。= n + l ； 熊。= 2 n 的充分必要条件为x 与( 尺5 ，1 1 1 l 。) 等距同构；如果x 是一个g a t e a u x 微性空间，则x 单位球面能被可数个球覆盖的充分必要条件是x 的对偶空间x 是w 一可分的等等。本文利用【8 1 的一个引理，证明了：如果熊。= 2 n - 1 ，则x 必包含一个与似”1 ，0l l 田) 等距同构的子空间。此外，本文在此基础上，结合文献 【11 】，初步讨论了遗传不可分解空间与具有球覆盖性质空间的关系。 关键词：球覆盖；b a n a c h 空间；等距同构 英文摘要 a bs t r a c t b yab a l l c o v e r i n gp 兰博3 湖o fab a n a c hs p a c ex ，w em e a nt h a ti t i sac o u e c t i o no fo p e nb a l l so f ft h eo r i g i nw h o s eu n i o nc o n t a i n st h e s p h e r eo ft h eu n i tb a l lo fx t h es p a c exi ss a i dt oh a v eb a l l c o v e t i n g p r o p e r t y ，i fi ta d m i t sab a l l c o v e r i n gc o n s i s t i n go fc o u n t a b l em a n yb a l l s ab a l l c o v e r i n g i ss a i dt ob em i n i m a li ft h ec a r d i n a lo fbi sl e s s t h a no re q u a lt ot h ec a r d i n a lo fe v e r yb a l l - c o v e t i n go fx a r t i c l e 【7 1 s h o w e dt h a ti fd i m x = n ，t h e nn + l 熊。2 n ；i f ，i na d d i t i o n ，xi s s m o o t h ，t h e n 夕羔= n + l ；熊。= 2 n i fa n do n l yi fxi s i s o m e t r i ct o ( r 4 ，l l i i 。) ；f fx i sag a t e a u xd i f f e r e n t i a b i l i t ys p a c eo ral o c a l l yu n i f o r m l y c o n v e x s p a c e ，t h e nt h eu n i ts p h e r ea d m i t ss u c hac o u n t a b l e b a l l c o v e r i n gi fa n do n l yi fz i sw 。一s e p a r a b l e b yal e m m ao f 【8 j ， t h i sp a p e rp r e s e n t st h a ti f 熊。= 2 n - 1 ，t h e nt h e r e i sa nn - l d i m e n s i o n a ls u b s p a c eo fxi s o m e t r i ct o ( r ”1 ，i l i | 。) m o r e o v e r ，o nt h i s b a s i s ，t h i st e x tc o m b i n e sa r t i c l e 【11 】，f i r s ts t e p sd i s c u s s i n gt h er e l a t i o n o ft h e h e r e d i t a r i l yi n d e c o m p o s a b l es p a c ea n dt h eb a l l c o v e t i n g p r o p e r t ys p a c e k e y w o r d s ：b a l l - c o v e r i n g ；b a n a c hs p a c e ；i s o m e t r y i i 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。 本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明 确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利和责任。 声明人c 签孙琳而芋 矽9 年7 月砂日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大 学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电 子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索， 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适 用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打“”) 作者签名：琳可彳 导师签名： 日期：m 年7 月阳 日期：厩声7 月舌日 | 第一章引言 第一章引言 我们知道，一部泛函分析，尤其是一部b a n a c h 空间几何学，就是一部 b a n a c h 空间单位球和单位球球面的学问。几乎所有的几何概念都是通过单位球 来定义的，如b a n a c h 空间的凸性、光滑性、自反性、r n p 等等。值得一提的 是，也有许多直接研究b a n a c h 空间x 中的球族性质的重要专题，例如：b a n a c h 空间的m a z u r 相交性质( m a z u ri n t e r s e c t i o np r o p e r t y ) ，b a n a c h 空间的装 球问题( p a c k i n gp r o b l e m ) ，非紧测度问题。 ( 1 ) b a n a c h 空间的m a z u r 相交性质( m a z u r i n t e r s e c t i o np r o p e r t y ) ， 即称一个b a n a c h 空间x 具有m a z u r 相交性质，如果它的每个有界闭凸集都可 以表示成一族闭球的交。这一定义首先由m a z u r 于1 9 3 4 年引入 3 1 】，现在已 经连续不断地研究了7 0 多年。( 见【6 】，【1 8 】，1 2 0 】，【2 lj ， 4 0 4 6 ，【4 9 j ) ( 2 ) b a n a c h 空间的装球问题( p a c k i n gp r o b l e m ) ：从上世纪五十年代 开始，对无穷维b a n a c h 空间的装球问题临界值的研究引起数学界人士的关注。 称一个开球族称可以装入的，如果它们等半径、互补相交且都包含在单位球之中。 b a n a c h 空间的装球问题是指对于一个无穷维b a n a c h 空间x ，找出最大的半 径r 使得由无穷多个半径为r 的球构成的球族是可装入的。( 见 【2l 】，1 2 4 1 ， 2 8 1 ， 3 6 1 ，【3 7 】， 4 9 1 ，【5 0 】) ( 3 ) 非紧测度问题：对于b a n a c h 空间x 的一个非空有界子集，用同直径 的有限个球将此集合覆盖，这些所有的有限覆盖的直径的下确界，称为该集合的 非紧性测度，这一概念在非线性分析中起着重要的作用。( 见【1 3 1 ， 【1 3 1 ，1 1 4 ，【1 9 】，【2 2 】，【2 3 】 1 2 7 ，【3 3 】，【3 4 1 ，【3 8 】，【3 9 】) 第一章引言 2 0 0 4 年，程立新老师【7 】从完全不同的角度引入一种称之为球覆盖的球族 ( 即称b a n a c h 空间x 中的一个开球族为x 的一个球覆盖，如果中的每个 球都不包含原点，其并包含x 的单位球面；称球覆盖为极小的，如果它的 基数在x 的所有球覆盖基数中是最小的，此时也记为几。) ，并展开了系统 深入的研究，得到了关于b a n a c h 空间用球覆盖刻画的一系列性质。主要成果 有如下几部分： 一n 一维b a n a c h 空间的极小系统 这一部分主要考察n 一维b a n a c h 空间单位球面的球覆盖最小势及其覆盖的 最 小半径。 1 、对于一族对称的球覆盖 b ，) 耐( e p b ， 耐= - b ，) 耐，则单位球面的球覆 盖最小势i 。芝2 n 。特殊地，当可被一族正好含有2 n 个闭球的球族所覆盖，且 当x = 俾”，8 0 ：) 时，则由2 终个闭球构成的球覆盖半径不少于五2 。( 见文献 1 7 】，【8 】，【1 7 】) 2 、对于& 的任意一族球覆盖 召， 耐，有，4 n + l 。特殊地，当x 为光滑 时，则存在一族恰好含捍+ 1 个闭球的球覆盖，当x = 悠“，”8 ：) 时，由露+ 1 个闭 球构成的球覆盖半径不少于兰，且当这玎+ 1 个闭球的球心恰好在三的内接正 则单形的顶点上时，可取得覆盖半径三。( 见文献f 7 1 ，【8 】，) 3 、对任意2 n 七n + l ，存在一个n 一维b a n a c h 空问彳，其单位球面品 的极小球覆盖的势恰好为尼，即雎= k 。且熊。= 2 n 的充分必要条件为x 与 俾4 ，i o ) 等距同构。( 见文献【7 j ，【8j ) 二无穷维b a n a c h 空间的球覆盖性质 第一章引言 这部分主要研究了b a n a c h 空间的可分性与球覆盖性质的关系，并以此为 基础进一步得到商空间的球覆盖性质。 l 、b a n a c h 空间的可分性与球覆盖性质 i ) 若b a n a c h 空间x 可分的，显然它具有球覆盖。反之，容易得出， 如 果b a n a c h 空间x 的单位球面存在一个半径0 ， 专的可数球覆盖，则x 是 可分的。进一步分析得到，存在一个上确界1 ，使得当b a n a c h 空间x 的单位 球面被一个半径0 r 1 的可数球覆盖时，x 是可分的，且上确界1 是不可 达到的。( 见文献【7 】，【8 1 ) ) 在文献1 7 1 中程立新老师指出：若x 为g a t e a u x 可微空间或者是局部 一致凸的，那么x 具有可数球覆盖当且仅当x 是w 一可分的。根据凸集分离定 理还很容易知道，具有可数球覆盖的b a n a c h 空间x ，其对偶空间x 是w 一可 分的。然而留下未知的是一个对偶空间x 是w 一可分的b a n a c h 空间是否具有 球覆盖性质。后来程立新老师和刘小艳【9 】通过在，。中定义不同的等价范数，证 明出在同构映射下球覆盖性质不再得以保留，这也就意味着对偶空间x 是w 一 可分的b a n a c h 空间x 并不一定具有球覆盖性质。最近程立新老师和施慧华11 0 】 又证明出任意一个对偶空间x 是w 一可分的b a n a c h 空间x ，它的每一个范数 都能用一列具有球覆盖性质的等价范数来一致逼近。 2 、商空间的球覆盖性质 这一部分程立新老师【8 】证明了对于一个无穷维的b a n a c h 空间x ，它存在 一个等价范数i l 及一闭子空间】，且d i m = ，使得对于范数1 1 具有 球覆盖性质，从而可得一个b a n a c h 空间x 有一无穷维的可分商空间当且仅当 第一牵引言4 x 中存在一无穷维的商空间满足其单位球面具有可数球覆盖，且覆盖半径 0 ，_ o ，l l 夕。i i - ，使得 曰( 虼，：，) ) 肼n s 构成x 的一个球覆盖的 充分必要条件为对范数1 1 1 l 的次微分映射a 1 1 8 的每个选择妒，都有 9 ( 以) ) 刍正分离 x 中的点 ，初步讨论了遗传不可分解空间与具有球覆盖性质空间的关系。 第二章 刀一维赋范空间单位球极小球覆盖数2 玎一1 与包含等距同构于( r 4 ，0k ) 的子空间 6 第二章刀一维赋范空间单位球极小球覆盖数2 n 一1 与包含等 距同构于( 尺川，l | i l 。) 的子空间 2 1 基本概念和性质 在这一节里，我们首先介绍的有关b a n a c h 空间的定义和基本引理，为后 面定理的证明作准备。 一符号与定义 不作特别声明时，本文始终用x 表示一个实b a n a c h 空间，x 表示其对偶 空间；用巩，s x 表示x 的单位球和单位球面；同样地，p j , b x ，s x 表示x 的 单位球和单位球面。我们用 e ， 渊n 表示x 的标准基，同样的用 2 ； ：。表示x 。的 标准基。对于子集么cx ，瓦表示a 的闭凸包。 定义2 1 1 我们称b a n a c h 空间x 中的一个开球族暑徊， f e ，为x 的一 个球覆盖，如果中每个球都不含原点且其并包含x 的单位球面；称为极小 的，如果它的基数夕4 在x 的所有球覆盖基数中是最小的，此时也记为风。 定义2 1 2 a ) 我们称x 巩为巩的一个暴露点，如果孔b x ，使得对 砂以，y x ，都有 ，并称x 为暴露毋中的点x 的 暴露泛函。 b ) 我们称，为以的一个矿暴露点，如果五乓，使得对吼， ，都有 ，并称x 为暴露中点，的暴露泛函。 定义2 1 3a ) 称acx 为x 的一个赋范集，如果j 口 0 ，使得 s u p x - s u p ：ae 椰 - a l l x l l ，v xe x 第二章 刀一维赋范空间单位球极小球覆盖数2 刀一1 与包含等距同构于( 尺”一，00 。) 的子空间 7 b ) 称acx 为x 的一个精确赋范集，如果上述不等式对口= 1 成为等式。 定义2 1 4 设厂是石中开凸子集d 上的一个连续凸函数，我们称厂在 x o x 处g a t e a u x 可微，如果存在x 。x ，使得，对v s 0 ，v x d ，存在 万 0 ，都有 f ( x o + t x ) - f ( x o ) - 据， o t 厶= 可可希两翮汕 从而由方程组( 2 ) 可知 ( 2 ) o 0 0 = = = d 苟筇 x x x 4 4 4 力旯旯 + + + 、一、-，(、d心为 o p x x x 啊呼呼 ，一，一、 九儿办 ，f【 第二章刀一维赋范空间单位球极小球覆盖数2 疗一1 与包含等距同构于( 尺”，88 。) 的子空问 9 0 元l 1 ，0 2 2 l ，0 力5 = 从而由方程组( 4 ) 可知 ( 4 ) 0 五 o 0 = 允l y i i + 旯2 ) ，；+ 旯3 y ；+ 允4 y ：+ 2 5 x ：+ 2 6 x ； 0 o o 0 = = = = d 动q il22 z x z x 办以儿以 + + + + 、l-、，、，、_、 ) ) ) ) 0 q p h 。一。屯屯咿渺咿啦 、l，一，、一、，、 九办办加 d 动功q，一一，_，-一，ill22 x x x x ， 5 ， s 旯允力允 = = = = 办办办九 ，j、一， 第二章 以一维赋范空间单位球极小球覆盖数2 万一1 与包含等距同构于( r ”，0h a o ) 的子空间 l l 0 i n t 石 y i l ，y ；，y ；，y ：，x ：，x ；) ) 从而暴露点 y i ，y ；，y ；，y ：，石i l ，石；) 构成子空间( r 4u o ) 的一个赋范集。 进而暴露点 y ；，y ；，y ；，y ：，x i ，x ； u e 0 墨5 构成r ”的一个赋范集，而 此时暴露点的个数为 6 + 2 ( n 一4 ) = 2 n 一2 这与：i n = 2 n 一1 相矛盾，原假设不成立，从而并。蔓中至多只有三个分量不 为0 。 引理2 2 3 设x = r ”，熊。= 2 n - 1 ，并且假设 e 。n 。ic e x p 以。则一定存 在一个万一1 维的子空间= o 如 ( 1 石 五 o 。从而 y , - s g n 厶e t , - s g n l 2 e 2 , - - s 毋a 3 p ， 构成( r 3 ，1 1 1 i l i ) 的一个赋范集。于是 f ，x ：，x ：，x ；) 构成( 尺3 ，1 1 1 l 。) 的一个赋范集，这与熊= 3 + 2 相矛盾，故原假设 不成立。 下面我们给出引理2 2 3 的证明。 证明：首先由引理2 2 1 知，对 协= & ( 1 ) ，工( 2 ) ，工( 3 ) 工o ) e x p 妊f l r ，j ， 工。至多只有二个分量不为o ，于是不妨设置。= 如，0 0 ，工：o ) ，o ，石：( 尼) ，0 0 ，其中 f ，k 1 , 2 刀。 此时取除第i 个分量外余下的，= n 一1 个分量构成一个n 一1 维子空间并记为 三。，即，= 仁( 1 ) ，石( 2 ) ，石o 一1 ) ，x + ( f + 1 ) ，x ( 刀) ，如图( 4 ) 所示。 12ikn 一1n 0oo o i ( f ) 0 o i ( 七) o 0o o l 。空间 图( 4 ) 第二章 刀一维赋范空间单位球极小球覆盖数2 刀一1 与包含等距同构于( 尺1 一，0k ) 的子空间 1 5 若对坛e x p 缸( r 4 f ) ，x 在。中至多只有一个分量不为0 ，h ol 。即为所 求的刀一1 维子空间。否则一定存在工e x p 扫( r 4 f ) ，不妨设是x ：，使得工：在厶 中至少有二个分量不为0 。从而根据引理2 2 2z ：ox ：至多有3 个分量不为0 知：x 2 中有且仅有二个分量不为0g x 2 ( 东) 一定不为0 ，设另一不为0 的分量 5 9 x 2 ( _ ，) 。又由引理2 2 1 我们可得： j 2 ( 力= 0 。 如图( 5 ) 所示 l2ljkn 1n i t s 00 o x ：( f ) o ooo o 工：( 露) o oo0 o 000 o0o o 工：( ，) 工2 0 0 ) o oo o l 2 空间 图( 5 ) 接着我们取除第k 个分量外余下的z = 豫一1 分量构成一个刀一1 维子空间记 为三：，e pl ：= & ( 1 ) ，石( 2 ) ，石( 七一1 ) ，工( 七+ 1 ) ，石( 以) ，女h 图( 5 ) 所示 若溉e x p 缸( n i r ) j ，工在三：中至多只有一个分量不为0 ，则厶即为所求的 靠一l 维子空间。否则一定存在x e x p 扛( 肚1 | ) j ，不妨设是z ，使得z ，在三：中 至少有二个分量不为0 。结合图( 5 ) 根据引理2 2 2 有x ，ox ：至多有3 个分 量不为0 ，从而 工3 ( f ) 0 同样，由x ，o x ：至多有3 个分量不为0 得： 第二章 刀一维赋范空间单位球极小球覆盖数2 h 一1 与包含等距同构于( 尺8 一，0u a o ) 的子空问 1 6 又由引理2 2 1 我们可得： 如图( 6 ) 所示 工3 ( 歹) 0 。 x 3 ( 七) = 0 。 12ij k n 1 1 1 工：( f ) o o0o o x ：( 七) o 0o0 而 oo0 o oo o0o 0 工：( ) x 2 00 o ( 七) 0 o00 工：( f ) 0 o x ；( _ ，) o o0 o 而 ooo 0o0 0 l = 二二二广 l 3 空间 图( 6 ) 于是我们取除第歹个分量外余下的，= n 一1 分量构成一个n 一1 维子空间记 l 3 ，i ! p l 3 = 扛( 1 ) ，石。( 2 ) ，嘎( 一1 ) ，工。( - ，+ 1 ) ，x + ( 刀) ，如图( 6 ) 所示 若慨e x p b ( n i j ) ，工在厶中至多只有一个分量不为0 ，则三，即为所求 的刀一l 维子空间。否则一定存在石+ e x p 母( 盯) ；，不妨设是_ ，使得_ 在厶中 至少有二个分量不为0 。结合图( 6 ) 根据引理2 2 2 得，_ o 至多有3 个 分量不为0 ，从而 毛( d 0 同样，由_ o 石：至多有3 个分量不为0 得： x 4 ( 七) 0 。 再根据引理2 2 1 我们可得其它分量都为0 ，如图( 7 ) 所示。 第_ - l i z 刀一维赋范空间单位球极小球覆盖数2 ，l 一1 与包含等距同构于( r 4 一，00 。) 的子空问 1 7 l2ljk n ln 0oo o 工：( f ) o oo0 o 工：( 七) o 0oo j c l 0o0 o0o 0 x ：( ) 屯 o o x i ( k ) 0 oo 0 工：o ) o o 石；( ，) o 0 0 o 毛 000 000 o 000 0 x ：( f ) o ooo o ( 七) o 0oo 图( 7 ) 这样_ 中分量不为0 的位置与x ，中分量不为0 的位置相同。如此下去我们可 知若原命题不成立，则b ( 胪盯) 的暴露点的形式只能是而，工：，而这三种形式。 现在，令 y = k ( f ) 0 ，工：( 七) ) ， y ：= o ，工：( n 工：( 七) ， 乃= k ( f ) ，i ( n 0 ， 则由事实2 2 4 的证明知，忙，y ：，y ；，y ；) 构成似3 ，j 1 i i ) 的一个赋范集，其中 g = l ，o ，0 。 又令 岛。= ( o ，o o ，第 量，o o ) 则慨，i ，x ；，) 构成子空间俾3xo ) cr ”的一个赋范集，进而 弛，i ，五，) u + 巳匕。凰，七构成r ”的一个赋范集。此时赋范集中元素 的个数为 2 ( 万一3 ) + 4 = 2 n 一2 2 n 一1 这与熊= 以+ 以一i = 2 n 一1 相矛盾，故原假设不成立。命题得证。 第二章 刀一维赋范空同单位球极小球覆盖数2 刀一1 与包含等距同构于( 尺4 ，08 。) 的子空同 1 8 定理2 2 5 设d i m x = n ，熊= 2 n - 1 ，则一定存在一个与俾”1 ，44 。) 等距 同构的万一1 维的子空间三。 证明：我们可以假设x = ( j j c ”，0i i ) ，且 岛) 品c e x p 气，( 否则我们作一个 等距同构变换) 。由引理2 2 3 ，知存在一个刀一1 维的子空间- z o 尺a ， ( 1 - ， _ ，2 0 ，都存在 而x ，o = l ，2 ) 且恢i i = l - - i i x ：1 l ，使得忆+ x ：j j 0 引理3 1 4 【11 】假设x 是一个b a n a c h 空间，j i yc x 是一个闭子空间， 如果p ：x 专r + 是x 中的连续半范数，其中p 限制在ycx 中是】，的一个等价范 数，则y 和z = g x ：p ( 功= o ) 是一个拓朴直和，即y + z ：yoz 。 引理3 1 5f l l j 若b a n a c h 空间z 是遗传不可分解的，并设彳是x 的无穷 维子空间五的一个对称赋范集，则】，= p x ：s u _ p _ 。) 是一个有限维子 空间。 证明：令( x ) = s u p ，坛x ，则首先由4 是以的一个对称赋范 集，知= s u p 是k 的一个等价范数，且d t o 一o ) 的定义知还是 第三章遗传不可分解空间与具有球覆盖性质空间的关系 一个定义在x 上的连续半范数，故由弓i 理l x o 和y = y x ：s u p o ，8 咒i i ，：i ，使得 召( 咒，：1 ) 二。构成z 的一个球覆 盖的充分必要条件是对范数| | | l 的次微分映射讣0 的每个选择缈，都有 伊( 儿) 埘- ，正 分离x 中的点。 3 2 遗传不可分解空间与具有球覆盖性质空间的关系 下面我们来讨论遗传不可分解空间与具有球覆盖性质空间的关系。不作特别 声明时，本文始终用册表示一个遗传不可分解b a n a c h 空间。 若x 是一个脚空间，则由文献【1 l l l 构i 命题2 5 的证明，知x 是w 可分的。 于是可设 z ： 二。在x 是稠密，进而 盛) 二。的w 闭包包含s r ，其中 y ：= z ：i i z ：8 ，l = 1 ，2 ，。依b i s h o p p h e l p s 定理 3 5 1 ( 也见【4 1 和【5 1 ) ，x + 中 第三章遗传不可分解空间与具有球覆盖性质空间的关系 2 l 的范数可达泛函总在x 中稠密，故不失一般性，可设 z 二，本身都是范数可达 泛函。于是由范数可达泛函的定义，妇，存在儿，使得 _ 眇：4 ， 另一方面，对溉x ，有 - i l y 1 1 。因此，根据性质3 1 6 ，存 在兑使得z a 慨l ，n = l ，2 ，。且显然，对坛x ，有 s u p y 一。，肛，s 斟u p = ， 即成立 s u p = 0 卅i ，石x 于是我们得到下列事实： 事实3 2 1 、若i i 1 l 在咒处g a t e a u x 可微，则此时b a n a c h 空间x 具有 球覆盖 性质。 证明：若0 9 在y 。处g a t e a u x 可微，则此时的次微分映射训儿0 是单点集， 从而o l l y 1 l - 戗) 唯一确定。又 五= 卜胁u 。p z ，石扫s 。) = 融x ：。 = o ) 进而对范数1 1 1 l 的次微分映射a 1 i 8 的每个选择缈，都有 驴( 只) ) ：。正分离x 中的点。 由定理3 1 7 ，即知x 具有球覆盖性质。 事实3 2 2 、若b a n a c h 空间x 中的g a t e a u x 可微点在x 中稠密，则空间 x 也 具有球覆盖性质。 证明：若记x o = 印口，则纸是x 的一个可分的闭子空间，不妨设 只 在 s 局稠密，若不然，则添加z 到 只 中构成s 而的一个稠密子集( 仍记为 以) ) ， 且此时新的稠密子集仍然满足： 第三章遗传不可分解空间与具有球覆盖性质空间的关系 z e a l k l i ，s u p = i ，v xe x 由于次微分映射在单位球面任何一个稠密子集上的一个选择都构成一个标 准赋范集，因而对钏以l l 的任何一个选择伊( 以) 都有 s u p - 删，坛x o ， 又因为x 中的g a t e a u x 可微点在x 中稠密，则对每个只，总可以取到一列 一g ( x ) ，使得 。竺， 因此由连续凸函数次微分映射的范一w 幸上半连续性， ：删的取值，都正分离x 的点，进而x 具有球覆盖性质。 参考文献 参考文献 【1 】r r a k h r n e r o v , m i k a m e n s k i i ，a s p o t a p o v , a e r o d k i n aa n db n s a d o v s k i i ，m e a s u r e so fn o n e o m p a c t n e s sa n dc o n d e n s i n go p e r a t o r s ，b i r k h a u s e r , v e r l a g ，b a s e l ，b o s t o n ，a n db e r l i n ，1 9 9 2 【2 】j a p p e u ，r e c e n tt r e n d si nn o n l i n e a ra n a l y s i s ，b i r k h a u s e r , b a s e l ，b o s t o n ， b e r l i n ，2 0 0 0 【3 】j m a y e r b et o d d a n o ，t d o m i n g u e zb e n a v i d e sa n dgl o p e za c c d o ，m e a s u r e s o f n o n e o m p a c t n e s si nm e t r i cf i x e dp o i n tt h e o r y , b i r k h a u s e r , v e r l a g ，b a s e l ， b o s t o n ，a n db e r l i n ，19 9 9 【4 】e b i s h o p ，r r p h e l p s ，t h es u p p o r tf u n c t i o n a l so fa c o n v e xs e t p r o c s y m p i n p u r em a t h 7 ，c o n v e x i t y , a m e lm a t h s o c 19 6 3 ：2 7 - 3 5 【5 】e b i s h o p ，r r p h e l p s ，ap r o o f t h a te v e r yb a n a c hs p a c ei ss u b r e f l e x i v e b u l l a m e r m a t h s o e 19 61 ( 6 7 ) ：9 7 - 9 8 【6 】p b a n d y o p a d h y a y , t h em a z u ri n t e r s e c t i o np r o p e r t yi nb a n a c hs p a c e sa n d r e l a t e dt o p i c s ，p h d t h e s i s ，i n d i a ns t a t i s t i c a li n s t i t u t e ，c a l c u t t a ( f e b r u a r y , 1 9 9 1 ) 【7 】l i x i nc h e n g ，b a l 卜c o v e r i n gp r o p e r t yo fb a n a c hs p a c e s ，i s r a e lj o u r n a l o fm a t h e m a t i c s 。1 5 6 ( 2 0 0 6 ) ，11 卜1 2 3 8 】 lc h e n g , p r o p e r t yo fm i n i m a lb a l l c o v e r i n g so fb a n a c hs p a c e sa n di t s a p p l i c a t i o n ，t oa p p e a l ： 【9 】l c h e n g ，x l i u ，b a l l c o v e r i n gp r o p e r t yo fb a n a c hs p a c e si s n o t p r e s e r v e du n d e r1 i n e a ri s o m o r p h i s m s ，t oa p p e a r 【1 0 1 l c h e n g ，h s h i ，e v e r yn o r mo fa n yb a n a c hs p a c ew i t has e p a r a b l ed u a l isa p p r o x i m a t e du n if o r m l yb yn o r m sw i t ht h eb a l l c o v e r i n gp r o p e r t y 。 t 0a p p e a r 【1 1 】l c h e n g ，h z h o n g ，o nh e r e d i t a r il yi n d e c o m p o s a b l eb a n a c hs p a c e s ， a c t am a t h e m a t i c as i n i c a ，e n g l i s hs e r i e s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，2 0 0 5 12 c e c l e a v e r , p a c k i n gs p h e r e si no r l i c zs p a c e s ，p a c i f ij m a t h 6 5 ( 19 7 6 ) ， 3 2 5 3 3 5 13 】gc o n s t a n t i na n di i s t r a t e s c u ，e l e m e n t so fp r o b a b i l i s t i ca n a l y s i sw i t h a p p l i c a t i o n s ，k l u w e ra c a d p u b l d o r d r e c h tb o s t o n ，l o n d o n ，19 8 9 【14 】 z 。d e n k o w s k i ，s m i g s r s k i