（基础数学专业论文）abel范畴与abel群层范畴中的pullback及pushout.pdf

a b e l 范畴与a b e l 群层范畴中的p u l l b a c k 摘要 本学位论文包含两个部分：a b e l 范畴中的p u l l b a c k 与蝴蝶结引理，a b e l 群层 范畴中的p u l l b a c k 与p u s h o u t 在第二章，我们利用a b e l 范畴中的p u l l b a c k 的性质，证明了a b e l 范畴中的蝴 蝶结引理( z a s s e n h a u s 引理) ，并由此证明了a b e l 范畴中的j o r d m a - h s l d e r 定理 在第三章，我们给出拓扑空间x 上a b e l 群层范畴中的p u l l b a c k 的具体刻划， 并利用伴随对的性质给出p u s h o u t 的刻划，同时证明了正像层函子 ( 一) 保持p u l l - b a c k ，逆像层函子f - 1 ( 一) 保持p u s h o u t 关键词：a b e l 范畴；a b e l 群层范畴；p u l l b a c k ；p u s h o u t a b e l 范畴与a b e l 群层范畴中的p u l l b a c k i i a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o n t a i n st w op a r t s ：p u l l b a c ka n dz a s s e n h a u sl e m m a i na b e l i a nc a t e g o r i e s ，p u l l b a c ka n dp u s h o u ti nt h ec a t e g o r i e so fs h e a v e so f a b e l i a ng r o u p s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，u s i n gt h ep r o p e r t i e so fp u l l b a c ki nt h ea b e l i a n c a t e g o r i e s ，w ep r o v et h ez a s s e n h a u sl e m m ai na b e h a nc a t e g o r i e s ，a n dt h e n w ep r o v et h ej o r d a n - h 6 1 d e rt h e o r e mi na b e l i a nc a t e g o r i e s i nt h et h i r dc h a p t e r ：w ed e s c r i p t st h ec h a r a c t e r i z a t i o no fp u l l b a c ki nt h e c a t e g o r i e so fs h e a v e so fa b e f i a ng r o u p so nat o p o l o g i c a ls p a c ex ，a n dw e a l s od e s c r i p t st h ec h a r a c t e r i z a t i o no fp u s h o u tb yu s i n ga na d j o i n tp a i r si n t h ec a t e g o r i e so ft h es h e a v e so fa b e l i a ng r o u p s m e a n w h i l ew es h o wt h a ti f ( 厂；q ，p ) i st h ep u l l b a c ko f ( p 沙；冗) t h e n ( 厂； q ， p ) i st h ep u l l b a c ko f ( 六妒，六砂；丘秆) ；a n di f ( p f ，：h ) i st h ep u s h o u to f ( 厂；o t ，p ) ：t h e n ( ，_ 1 妒，- 1 砂； ，一1 7 l f ) i st h ep u s h o u to ff 厂1 厂；f 一1 q ，f 一1 p ) k e yw o r d s ：a b e l i a nc a t e g o r i e s ；c a t e g o r i e so fs h e a v e so fa b e l i a ng r o u p s ；p u l l - b a c k ；p u s h o u t 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研究成果，均 在文中以适当方式明确标明，并符合法律规范和厦门大学研究生学 术活动规范( 试行) 。 另外，该学位论文为() 课题( 组) 的研究成果，获得() 课题( 组) 经费或实验室的 资助，在() 实验室完成。( 请在以上括号内填写课 题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作特 别声明。) 声明人( 签名) ：乖拉缝衫扎 鲫1 年占月 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦门大学根据中华人民共和国学位条例暂行实施办 法等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交 学位论文( 包括纸质版和电子版) ，允许学位论文进入厦门大学图书 馆及其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国 博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和 摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于： () 1 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 () 2 不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内打“”或填上相应内容。保密学位论文 应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保密 委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权。) 声明人( 签名) ：捌汞峻铆 叫年月日 第一章引言 第一章引言 本学位论文包含两个部分：a b e l 范畴中的p u l l b a c k 与蝴蝶结引理， a b e l 群层范畴中的p u l l b a c k 与p u s h o u t 1 1a b e l 范畴中的p u l l b a c k 在第二章，我f f 丁i 寸论了a b e l 范畴中p u l l b a c k 的性质，证明了a b e l 范畴中 的蝴蝶结引理和j o r d a n h s l d e r 定理 a b e l 范畴的概念起源于1 9 4 8 年m a c l a n e 的工作【l q 他发现在这类特殊 范畴上有着许多和a b e l 群范畴上相同的结论，于是他把这类特殊范畴称为a b e l 范晾a b e l 范畴的定义直到2 0 世纪5 0 年代中期才由a l e x a n d e rg r o t h e n d i e c k 在他的经典论文f 6 】6 中引入，目的是为了统一各种上同调理论在那个时期，不仅 有群上同调理论，而且还有层上同调理论它们的定义完全不同，但是基本性质 几乎完全样事实上，当时范畴论的发展也是因为解决这些相似性质的需要 g r o t h e n d i e c k 指出这两种上同调理论都可以由a b e l 范畴的导出函子生成，而且 a b e l 群层范畴就是个特殊的a b e l 范畴，这结论使得代数几何开始了新的篇 章a b e l 范畴在同调代数中的应用已经无所不在，在数学的各个分支如代数几 何、上同调理论和纯范畴理论中也已得到了广泛的应用，其定义和基本性质在【4 】， 【7 】中也有介绍 在同调代数中，环r 上的模范畴r - m o d 是最典型的一个a b e l 范畴，在 r - m o d 上有我f f 】熟知的许多重要的定理或推论能不能将这些结论推广到般的 a b e l 范畴e 就成了很自然的问题但是，由于在般的a b e l 范畴中不能用元素 法，这使得这项推广工作有着不少的难度而p u l l b a c k 和p u s h o u t 的出现很好 地解决了这个问题，成为在a b e l 范畴中证明许多定理的重要工具例如m a s a k i k a s h i w a r a 和p i e r r es c h a p i r a 就在【1 1 】中利用p u l l b a c k 和p u s h o u t 给出了 a b e l 范畴上的五引理和蛇引理的证明，b a r r y m i t c h e l l 在【1 6 】中利用p u l l b a c k 的性质将模范畴上的三大基本同构定理推广到a b e l 范畴上 第一章引言 p u l l b a c k 与p u s h o u t 是范畴论中两个很重要的概念，对它们的研究，特别是 在某些具体的范畴( 如环、模范畴) 上的研究已取得了许多重要的成果，例如证明 了模范畴上p u l l b a c k 和p u s h o u t 的存在性并构造出几个正合交换图，探讨了各 态射分支之间单射和满射的关系【1 8 】；对环范畹文【1 2 】中得到了p u l l b a c k 环同 调维数的上界；文【1 3 】中给出了概型的p u s h o u t 的具体刻划等，这些成果被广 泛应用于同调代数、代数表示论和代数几何等领域 第二章，在回顾a b e l 范畴与p u l l b a c k 及p u s h o u t 的定义后，我们罗列了一 些要用的结论与性质由于p u s h o u t 与p u l l b a c k 是对偶的概念，我们经常只讨 论p u l l b a c k 的性质，根据范畴的对偶原则，可以得到其对偶命题其中些有趣 的推论是我们得到的，这是2 1 的内容在回顾a b e l 范畴的子对象的交与并的 定义与相关性质后，我们刻划了它们与p u l l b a c k 的关系，这是2 2 的内容在 2 3 ，以a b e l 范畴中的p u l l b a c k 为工具，我们证明了a b e l 范畴中的蝴蝶结引理 ( z a s s e n h a u s 引理) 由此，在2 4 中我们证明了a b e l 范畴中的j o r d a n - h 6 1 d e r 定理 1 2a b e l 群层范畴中的p u l l b a c k 层论是由法国大数学家j e a nl e r a y 在1 9 4 5 年创立的，它是2 0 世纪数学发 展的最重大成就之一，不仅理论本身十分完善，而且层的概念在代数几何学，复 流形理论和偏微分方程等许多领域得到广泛的应用，确立了它作为数学研究的一 个基础对象的地位其中a b e l 群层范畴作为个特殊的的a b e l 范畴，其重要 性不言而喻a b e l 群层的理论也可以被看作是a b e l 范畴理论的个应用，因 此本文在第三章讨论了a b e l 群层范畴上的p u l l b a c k 和p u s h o u t 在3 1 ，我们回顾了a b e l 群层与a b e l 群层范畴的基本定义和性质在3 2 ： 我们刻划了a b e l 群层范畴的p u l l b a c k 若9 l ，岛，咒是拓扑空间x 上的a b e l 群层，且有层态射妒：多1 啼“，砂：骁啼咒，则对于任意的u d ( x ) ， 可作( c p u ，c u ；咒( u ) ) 的p u l l b a c k ( t ( u ) ；q ，助) ；对任意的包含关系y u ， 2 第一章引言 其中ku v ( x ) ，, - i 得n 群态射m u ：厂( u ) 呻厂( y ) 我们利用元素 法证明了这样得到的厂是个层，且( 厂：q ：j ) 是( p ，l f ，：7 - 1 ) 的p u l l b a c k ，其中 q = - 【，l u d ( x ) ) ，p = 助i u d ( x ) 由于在a b e l 群层范畴中p u l l b a c k 与p u s h o u t 的证明不是对偶的在3 3 中 我们利用伴随对证明了p u s h o u t 的相应结论最后，我们证明了正像层函子 ( 一) 保持p u l l b a c k ，逆像层函子广1 ( 一) 保持p u s h o u t 3 第二章a b e l 范畴中的p u l l b a c k 与蝴蝶结引理 4 第二章a b e l 范畴中的p u l l b a c k 与蝴蝶结引理 本章利用a b e l 范畴的p u l l b a c k 与p u s h o u t 将环r 匕模范畴中的蝴蝶结引 理及j o r d a n h s l d e r 定理推广到a b e l 范畴上，主要结论已发表在数学研究 2 0 0 8 年第3 期上 2 1a b e l 范畴中的p u l l b a c k 定义2 1 1 f 1 4 1 设c 是个范畴，如果它满足下列条件，则称它是加法范喙 ( a 1 ) c 有零对象； ( a 2 ) 对任意a ，b c ，h o m c ( a ，b ) 是个a b e l 加群； ( a 3 ) 态射的合成 h o m c ( a ，b ) h o m c ( b ，c ) 一h o m c ( a ，c ) 是双线陛的，即对任意的 ，7 h o m c ( a ，b ) ，g ，g h o m c ( b ，c ) ，有( g + 9 7 ) ，= 9 ，+ 9 7 ，? 9 ( f + ，7 ) = g f + 9 f 7 ； ( a 4 ) 对任意a ，b c ，存在c 中唯一的对象aob ，使得aob 既是它们 的直和也是它们的直积 定义2 1 2 f 1 4 】设c 是个加法范畴，如果它还满足下列条件，则称它是a b e l 范晾 ( a 5 ) c 的任意态射都有核和上核； ( a 6 ) 每个单态射都是它的上核的核，每个满态射都是它的核的上核； ( a 7 ) 每个态射都可以分解成满态射和单态射的合成 定义2 1 3 ：1 4 l 设9 ：4 一x ? 砂：b x 是范畴c 中的两个态射称 ( y ；q ，口) 为( ，秒：x ) 的p u l l b a c k ，其中口：y _ a ，p ：y _ b ，如果满足 ( 1 ) 垆口= 卯： ( 2 ) 对任意的( z ；，9 ) ：若满足，= 砂9 ，则存在唯的态射7 ：z _ y ，使 得f = a 7 。g = 0 1 第二章a b e l 范畴中的p u l l b a c k 与蝴蝶结引理 5 p u l l b a c k 也叫纤维积，最早给出的定义是范畴c 中两个态射妒：a _ x ，1 ；f ，： b _ x 的逆向极限，也记为p = ax xb 定义2 1 41 1 4 1 设口：y _ a ，p ：y _ b 是范畴c 中的两个态射称 ( 妒，妒；x ) 为( y ；口，p ) 的p u s h o u t ，其中妒：a x ，砂：b x ，如果满足 ( 1 ) 妒q = 妒p ； ( 2 ) 对任意的( z ；，9 ) ，若满足，口= 9 p ，则存在唯一的态射7 ：x _ z ，使 得，= ，y p ，g = 7 矽 容易证明在范畴c 中，若p u l l b a c k ( p u s h o u t ) 存在，必基本( 在同构意义下) 唯本章总在a b e l 范畴ce 考虑下面的命题说明a b e l 范畴c 中总存在 p u l l b a c k ，根据对偶原则，知a b e l 范畴中总存在p u s h o u t 命题2 1 5 1 2 1 】在a b e l 范畴c 中，对于任意给定的组态射妒：a _ x ，矽： b _ x ，则( y ；口，p ) 是( 妒，砂；x ) 的p u l l b a c k ，其中y = k e r ( 1 ，o ，一妒) ，口，p 是 如下态射的合成： q ：y 二aob 磐a ；p ：y 二aob 磐b 注在环r 上的模范畴r - m o d 中，设妒：a _ x ，矽：b x 是模同态，则 ( 97 世：x ) 的p u l l b a c k 是( y ：q ，p ) ，其中y = ( o ，b ) a b l i o ( a ) = 妒( b ) ) ，口： y a ，( n b ) hn ；p ：y b ，( a ，b ) hb g - _ 章a b e l 范畴中的p u l l b a c k 与蝴蝶结引理 6 命题2 1 6 2 1 l 在a b e l 范畴c 中，若有如下交换图 y 。4 上p l 妒 b 二x ( 1 ) ( y ；q ，p ) 是( 妒，矽；x ) 的p u l l b a c k 当且仅当如下序列是正合列 0 一y 叫a 。b ( 掣x ( 2 ) 设( y ；q ：) 是( 妒，砂；x ) 的p u l l b a c k ，且妒或矽是满态射，则有短正合列 。一y 掣a 。b ( 蟛x o 根据( 1 ) 的对偶我f 1 , - i 知此时上述交换图是p u l l b a c k - p u s h o u t 交换图 推论2 1 7 设c 和d 是a b e l 范畴，f ：c 呻d 是左正合共变函子若 y 4 0 土汐 b 二x 是c 中的p u l l b a c k 交换图，则有范畴口中的p u l l b a c k 交换图 f y 骂f a if 8lf 9 f b 旦f x 证明：由命题2 1 6 可得正合列0 合，故得到正合列0 一f y ( 也譬) 一y 叫4 。b ( 型x ，又f 左正 f lof b f 譬们f x ，从而得证口 例如对于任意的r 模m h o m ( m ，) 是左正合函子，因此若有r 模范畴匕 的p u l l b a c k 交换图 y 三 | ，p上 b 三x g , - - 章a b e l 范畴中的p u l l b a c k 与蝴蝶结引理 7 则 h o m ( m y ) h 。掣引h o m ( m ，a ) lh o m ( m ，口) lh o m ( m ，妒) h o m ( m ，b ) h 。骘们h o m ( m ，x ) 是a b e l 群范畴月9 上的p u l l b a c k 交换图 引理2 1 8 【2 1 j 在a b e l 范畴c 中，设( y ；q ，p ) 是( 妒，砂；x ) 的p u l l b a c k ，则 有 ( 1 ) k e r a 笺k e r b ，k e 妒垒k e r 妒； ( 2 ) 态射c o k e r a c o k e r 0 ，c o k e r p _ c o k e r ( ：| o 均为单态射，耳这两个态射 的c o k e r n a l 是同构的 引理2 1 9 1 4 】在a b e l 范畴c 中，设下列是交换图 a 1 叫a 2 叫以3 lil b 1 叫b 2 叫岛 ( 1 ) 若两个小方框是p u l l b a c k ：则大方框也是p u l l b a c k ； ( 2 ) 素争大乡； 匡三渤，j 、方框是p u l l b a c k ，贝蛇茔边j 、_ 方枉萤也是p u l l b a c k yj a 推论2 1 1 0 若有p u l l b a c k 交换图、【p上妒，则有如下交换图，其 b_x 中两个小方框均为p u l l b a c k 且口= 0 2 0 1 ，矽= 如“，1 分别为o l ，妒的满单分解 y墨i m q 墨 a 上jl0 i 口翌i m l f ，墨x 证明：首先对砂作满单分解，令d = n 【j 1 再作( 妒：如；x ) 的p u l l b a c k ( y ；q 2 ，1 9 ) 由妒q = 妒p ，则根据p u l l b a c k 的泛性，存在唯一的态射q l ：y _ y ，使得 第二章a b e l 范畴中的p u l l b a c k 与蝴蝶结引理 8 o t = o r 2 0 t 1 ，妒l p = p a l 哥刁躲f 咧交换图： y 墨y ，墨a i 8k9l 咿 b i m 妒y 忱- - - 4 x 由于也是单射，由引理2 1 8 可知口2 也是单射据引理2 1 9 可知上图左边小 方框也是p u l l b a c k ，故再由引理2 1 8 知c o k e r o l l 一c o k e r 砂l 是单射而砂l 是 满射，即c o k e r c x = 0 ，从而只能c o k e r a l = 0 ，即口1 也是满射从而a = a 2 q l 是满单分解，由分解的唯性可知y ，= i m a ，即推论得证 口 2 2 子对象与p u l l b a c k 本节的昕有定义和引理均来自f 1 6 】 定义2 2 1 如果o e ：a 7 _ a 是范畴c 中的单态射，则称( a 7 ，q ) 是a 的 个子对象我们也说a 包含于a 或说a 包含a ，记为a a 特别地，当 q 不是同构，记为4 7ca 对偶地，如果q ：a _ a 7 是范畴c 中的个满态射，则称( a 7 ，c t ) 是a 的 个商对象 注( 1 ) 般来说，a 7 到a 的态射可能不止个单态射当a 7 是l 的个子 对象时，指的是个特定的单态射q ，但在不发生混淆的情况下，可省略态射； ( 2 ) 两个单态射的合成还是单态射； ( 3 ) 若范畴c 中有0 对象，则0 是c 中任意对象的子对象； ( 4 ) 在a b e l 范畴中，设( a ，口) 是a 的子又于象，记c o k e r a 为a a ? 它是 a 的商对象 定义2 2 2 设 ( a t ，u i ) l i ，) 是范畴c 中a 的族子对象，u ：a 7 一a 为c 中的态射我们称( a 7 ，u ) 是 ( a ，乱i ) k ，) 的交，记a 7 = na i ，如果满 i e l 足下列徘 ( 1 ) 对每个i ，均存在唯一的佻：a _ a ，使得t = u i v i ； g - _ 章a b e l 范畴中的p u l l b a c k 与蝴蝶结引理 9 ( 2 ) 著还有：b _ 月及：b _ a 使得= ，则定存在唯一的 u ：b _ a 使得u t = u o ) 注( 1 ) 由u 的唯性知u 为单态射易知( na i ，牡) 是a 的包含于所有 i e l a i ( i i ) 的最大子对象，并目基本唯一； ( 2 ) 若i = juk ，其中jnk = 仍，则有na i = ( n 如) n ( na ) t ， j j k e k ( 3 ) 若c 是a 的子对象，则a nc = c 特别地，an0 = 0 引理2 2 3 设q l ：a l _ a 和o r 2 ：a 2 _ a 是范畴c 中的单态射， 忱：p _ a 是c 中态射，i = 1 ，2 则( p ；妒1 ，妒2 ) 为( o t l ，a 2 ；a ) 的p u l l b a c k 当且仅当( 只c z l l ，0 1 = 0 t 2 q 0 2 ) 是子对象a - 与a 2 的交( 如下图所示) p 马a l 妒2 土上口l a 2鬲a 注由p u l l b a c k 的性质可知妒l ，妒2 均为单态射由于a b e l 范畴中p u l l b a c k 总是存在的，故a b e l 范畴中徽的有限交也总是存在的 定义2 2 4 设 ( a ，) i i ，) 是范畴c 中a 的族子对象，则定义 _ 【( a ，u , ) l i ，) 的并为a 的个子对象( a ，q ) ，记a 7 = ua i ，如果满足下列 条件： ( 1 ) 对于每个i i ，均存在陇：a i _ a 7 ，使得u i = a v i ； ( 2 ) 对于任意对象b ，任意态射0 1 7 ：a _ b 及b 的子对象p ：b 7 _ b ，如 果存在叫：a i _ b 7 使得p = u i ，则存在，y ：a 7 _ b 7 使得3 7 = q 7 q 注( 1 ) ( ua i ，o t ) 是a 的包含所有a t ( t ，) 的最小子对象，并且基本唯一； i e i ( 2 ) 若，= juk ，其中jnk = d ，则有ua i = ( u 如) u ( u 4 七) ； i e lj c jk e k ( 3 ) 若c 是a 的子对象，则auc = a 特别地，au0 = a ； ( 4 ) 在环r 上的模范畴r - m o d 中，r 模m ，n 的并即为m + n 引理2 2 5 设c 为a b e l 范畴， ( a ，让i ) h ，是c 中a 的族子对 第二章a m 范畴中的p u 肪a 然生塑茎丝! ! 垄 象，e ：a _ ua i l i ，) 是 a d i ，) 的上积，则 ( a i ，u i ) 卜，) 的并为 态射u 的象，其中u ：a i _ a 满足u e a = u i 因此，a b e l 范畴中子对象的 并堪是有：在的 y 三a 命题2 2 6 如图是p u l l b a c k 交换图p 土j ，妒，若x 是x 的个 b 二x l 子对象，即有单态射i ：x 7hx ，则如下交换图也是p u l l b a c k yj 与4 p 上土 妒 b 生x 1 0 证明：首先有正厶列0 一y 蟛a 。b 蟛h x ，于是i m ( a ，) = k e r ( 1 i o ，一砂) 又i 是单态射，故k e r ( q o ，一矽) = k e r i ( i ，o ，一矽) = k e r ( i 妒一i o ，) ，即 有正合列0 一y 蟛a 。b 蟛x ，从而上醌p u l l b a c k 交换图 口 y ayj a 命题2 2 7 若有p u l l b a c k 垄灏图p 土 j ，妒1 及p 上 j ，妒2 ， b 乌x lb 乌尥 则有如下p u l l b a c k 交换图 y a 3ll b x ln 磁 证明：依题意，我们可知i m ( a ，p ) 7 = k e r ( x ：- 砂1 ) = k e r ( v 2 2 ：一忱) 分 别作态射( 5 1 0 1 , - - 矽1 ) 及( 妒l ，一矽1 ) 的满蝴，有以。b3 i m ( ：，o l ，一妒1 ) 3 x 1 ，aob 写i m ( q 0 2 ，一砂2 ) 3x 2 故k e r ( 1 ，o l ，一砂1 ) = k e r j 7 r x ，k e r ( 妒2 ，一t f 7 2 ) = k e r 丌2 ，于是i m ( a ，p ) 7 = k e r r l = k e r 7 r 2 则由丌2 ( a ，p ) 7 = 0 ，可知存在唯一的 第二章a b e l 范畴中的p u l l b a c k 与蝴蝶结引理 矿：i m ( 5 i o l ，- 矽1 ) 斗i m ( q 0 2 ，一亿) ，使得丌2 = 0 7 1 ，故有如下正合交换图 0 _ y ao b 马i m ( 妒1 ，一妒1 ) 一0 00 上盯 。一y 叫a o b3 i m ( q a 2 ，一忱) 一0 由五引理知d r 是同构，于是可设i m ( 妒l ，- 妒1 ) = i m ( 妒2 ，一亿) = x 则x 即是 墨的子对象，又是恐的子对象，故其一定是墨nx 2 的子对象，设7 7 ：x 一 五n 恐，则由命题2 2 6 可知存在匕述p u l l b a c k 效图 口 命题2 2 8 若有族对象a 及对应的态射族慨：a 寸托? 以：b 啼 yj a 托使得对于任意的l ，均有下列p u l l b a c k 交换图； p 【工仍，则存在 b 蔓x t y 与a p u l l b a c k - p u s h o u t 交换图pj ，i 伽，其中是所有x 的共同的子对 b 蔓x o 象 证明：作态射( a ，p ) 7 ：y aob 的c o k e r n a l7 r ：aob 一，令 伽= 7 r ( 1 ，o ) 7 ：a 一，讥= 7 r ( o ，1 ) 7 ：b x o ，则可得如上p u l l b a c k p u s h o u t 交换图 并且我们可得如下正合交换图 0 一y 叫a ob x一0 00 【7 7上0 o 叫y 叫aob 哩五- - - - - - kc o k e r ( 乒i ，一以) 其中7 7 是由c o k e r n a l 的泛性所得则由五引理可得? 7 是单射，故是所有x 的共同的子对象 口 第二章a b e l 范畴中的p u l l b a c k 与蝴蝶结引理 2 3a b e l 范畴中的蝴蝶结引理 引理2 3 1 【1 6 】设a l ，a 2 是l 的子对象，则有a 2 ( a 1h a 2 ) 筌( a lt j a 2 ) a 1 引理2 3 2 设 l ：4 2 是4 的子对象，则交换图 4 1na 2 三以1 gj ， 上z 1 a 2z 2a 1ua 2 既是p u l l b a c k 又是p u s h o u t 证明：根据f l o 】中定理1 知，存在正合列0 一a 1n a 2 ，掣a 1 。a 2 二a 1 u a 2 _ 0 令f l = 7 r ( 1 o ) 7 ，z 2 = 7 r ( 0 ：1 ) 7 则从左( 右) 正合与p u l l b a c k ( p u s h o u t ) 的对应关系，知引理成立 口 引理2 3 3 设c 是a 的子对象，则对任意的对象b ，有an ( buc ) 笺 ( 4nb ) u c 证明：由于( anb ) nc =bnc ，根据引理2 3 2 ，我们有p u l l b a c k - p u s h o u t 交换图 bnc叫anb 上上 c 一 ( anb ) uc 显然 bnc b 上上 cbuc 是p u l l b a c k - p u s h o u t 交换图，故得到交换图 bncanb b 上上工 c 一 ( anb ) uc buc 1 2 第二章a b e l 范畴中的p u l l b a c k 与蝴蝶结引理 其中，态射j 由p u s h o u t 定义唯_ 给出又上图大框和左边小框均为p u s h o u t ， 故右边小艟是p u s h o u t 又i 是单态射，矗姘越小框又是p u l l b a c k 由p u l l b a c k 的性质，j 是单态射 再由p u l l b a c k - p u s h o u t 交换图 anb b l 土 aaub 得到交换图 anb b ll ( anb ) u gj buc 上上k a-+aub 其中态射k 由p u s h o u t 定义唯导出 上图中大框及匕面小框均为p u s h o u t ，故下面小框是p u s h o u t 又j 是单态 射，所以下小眶又是p u l l b a c k ，故k 是单态射 由引理2 2 3 知( k ，z ；aub ) 的p u l l b a c k 是an ( bug ) 根据p u l l b a c k 的 寝麟一性，可得an ( buc ) 竺( anb ) uc 口 引理2 3 4 ( 蝴蝶结引理) 在a b e l 范畴c 中，设a 1 ，a 2 ，4 i ，鸽是a 的子 对象且a ：是a 1 的子对象，心是a 2 的子对象，则有 a iu ( 4 lna 2 ) ( a ：u ( a 1na ：) ) 笺a ：u ( a 1na 2 ) ( a 2u ( a ina 2 ) ) 证明：由于a ：na 2 是a 1na 2 的寻礅，故a ：u ( a ；na 2 ) 是a u ( a ln a 2 ) 的子对象，从而有商对象码u ( a lna 2 ) ( a 2u ( a ina 2 ) ) ，同理有i 蠢测象 a ：u ( 4 1r la 2 ) ( a ju ( a 1 n a ：) ) 根据弓i 理2 3 3 ，我彳r 占( a 1 n a 2 ) n ( a ：u ( a i n a 2 ) ) 竺( ( a l n a 2 ) n a ：) u ( 4 ：n a 2 ) = ( a l n a 2 ) o ( a i n a 2 ) 注意到( a l n a 2 ) u a ：u ( a i n a 2 ) = a 2 u ( a 1 n a 2 ) ， 1 3 第二章a b e l 范畴中的p u l l b a c k 与蝴蝶结引理 由引理2 3 1 ，可得a ：u ( a 1na 2 ) ( a ：u ( a ina 2 ) ) = ( a 1na 2 ) y ( a ：u ( a ：n 4 2 ) ) ( a ：u ( a ；na 2 ) ) 竺a 1na 2 ( a 1na 2 ) n ( a ：u ( a ina s ) ) 竺 a lna 2 ( a in 钙) u ( a ina s ) 同理，由( a 1na s ) ua iu ( a 1na ：) = a iu ( a 1ha 2 ) 且( a ln 如) n ( a i u ( a 1 n 避) ) 竺( ( a 1 h a 2 ) h a l ) u ( a 1 n a ；) = ( a 1 n 钨) u ( a ：h a 2 ) ，我们可以得到 a i u ( a l n a 2 ) ( a ：u ( a 1 n a ：) ) = ( a l n a 2 ) u a i u ( a 1 n a 2 ) ( a i u ( a 1 n a ：) ) 竺 a 1na 2 ( a 1na 2 ) n ( a iu ( a 1na ：) ) 竺a 1na 2 ( a 1na ：) u ( a ina s ) 口 2 4a b e l 范畴中的j o r d a n - h 6 1 d e r 定理 我们首先回顾些常见定义 定义2 4 1 设a 为范畴c 中非零对象若a 没有非平凡的子对象，即 a 除了0 和a 之外没有其它子对象，则称a 是c 的个单对象 若a 不是单对象，则a 定包含非平凡的子对象于是可得如下的个子 对象序列： a = a 1 ) a s ) 3a n ) 0 ， 从而可以得到个商序列：a 1 = a l a 2 ，a n = a n 定义2 4 2 设a 为范畴c 中 e 零对象，称a 的个徽序列 t ：a = a 1 ) a s ) 3a n ) 0 为a 的个长度为n 的子对象链特别地，当商对象a 1 = a 1 a 2 ，a n = a n 均为单对象时，则称这个子对象链为j o r d a n - h s l d e r 链 定义2 4 3 设范畴c 中一非霉蕊n 象a 有两个长度为礼的子对象链 正：a = 4 1 4 2 ) ) 4 n ) 0 ：t 2 ：a = b 1 ) b 2 ) ) 玩) 0 若五的商序列a 1 = a l a 2 ，a 几= a n 在调整j 顷序之后能与死的商序 列中的商对象分别同构，即a 0 竺b l b 2 ，月t 。竺b n ，其中i l ，l n 是 l ，2 ，佗的个排列，则称正与乃是等价的 1 4 第二章a b e l 范畴中的p u l l b a c k 与蝴蝶结引理 定义2 4 4 设范畴c 中非零对象a 有两个子对象链 乃：a = a 1 ) a 2 ) ) a n30，乃：a = b 1 ) b 2 ) ) b m ) 0 若噩中的子对象都分别与死中的某些子对象同构，则称乃是n 的加细 引理2 4 5 设c 是a 的子对象，则适合ccbca 的子对象b 与a c 的子对象是对应的特别地，a c 是单对象当且仅当不存在a 的子对象b ， 使得gcbca 证明：若存在a 的子对象b ，使得ccbca ，则有如下正合交换图： 0 一b nc _ b b i bnc o 、，klf 0 一 ca 叫 a c 一0 其中上图左框为p u l l b a c k ( 这里bnc 不一定等于c ) ：根据引理2 1 8 可知， 是单态射从而b i bnc 是a c 的个非平凡子对象，故4 c 不是单对象 反之，设a c 有非平凡子对象( e ，七) ，令( b ；j ，7 f 2 ) 是( ，7 h ；a c ) 的p u l l b a c k 于是由p u l l b a c k 的性质，知歹是单态射，7 r 2 是满态射，且有如下正合交 换图 _ 0 叫k e r 7 r 2 叫b e 叫0 i 【歹上j ，k o 叫ca2 ba c ，0 进步，由p u l l b a c k 的性质知i 是同构，即c 笺i ( e r 7 r 2 所以ccb c 以 从而引理成立 口 上述引理说明a 的j o r d a n - h o l d e r 链丁不能加细 定理2 4 6 设a 为范畴c 中对象，孔，乃是a 的两个有限长度的子对象链 五：a = a 1 ) a 2 ) ) a n + 1 = 0 ，t 2 ：a = b 1 ) b 2 ) ) 8 m + l = 0 则可以把矸加细成子对象链s 1 ；把乃加细成私于象链岛：使得s t 与岛等 价 1 5 第二章a b e l 范畴中的p u l l b a c k 与蝴蝶结引理 证明：令4 i + 1 , j = a i + 1u ( a in 马) ，1 i n ，1 j m + 1 ；马+ 1 j = 马+ 1u ( 殇n4 ) ：1 j m ，1 i n + 1 贝- 占a i + l ，1 = a i + lu ( a it - ib 1 ) = a i + 1u ( a i r la ) = a i + 1ua i = a i ，a i + 1 ，m + 1 = a i + 1u ( a n 上k + 1 ) = a i + 1u ( a in0 ) = a i + 1u0 = a i + 1 不失般性，不妨设m 7 1 , 此时定义a i + l ，七= a i + t ，m + l ，m + 2 k n + 1 这样，得到如下的两个子对象序列 z ：a ) ) a i = m i + l ，1 2a i + l ，m + l = = a i + i ，n + l = a i + 1 ) ) 0 ， 写：a ) ) 岛= 岛+ 1 ，12 马+ l ，m + 1 = = 岛+ l ，n + 1 = b j + 1 ) ) 0 由蝴蝶结引理，有a i + l , j a i + 1 , j + l 岛+ 1u ( 易o a i ) ( 岛+ lu ( b jn a i + 1 ) ) = a i + 1u ( a n 曰0 ) ( a t + 1u ( a t n 局0 + 1 ) ) = 马+ 1 ，t 岛+ 1 i + 1 由此可知，在子对象序 列砰，z 中，对重复出现的相同子对象( 在同构意义- 1 r ) 只留下二个，这样得到 的两个子对象序列s ，：岛分别是在丑，正基础上加细而成的子对象链，并且岛 与岛是等价的 口 定理2 4 7 ( j o r d a n h 6 1 d e r 定理) 设a 是a b e l 范畴c 中的对象，a 的任 意两个j o r d a n h s l d e r 链是等价的，特别地，它们的长度相等 证明：设瓦，瓦是a 的任意两个长度分别为n ，m 的j o r d a n - h s l d e r 链 由定理2 4 6 ，可以把五，正加细成子对象链研，岛，使得岛与岛等价但是 瓦：疋都是j o r d a n - h s l d e r 链，而j o r d a n h 6 1 d e r 链的任意加细得到的子对象链 必定还是原来的链这样，研就是正，岛就是乃亦即乃与乃是等价的，由 此可得n = m 口 1 6 第三章a b e l 群层范畴中的p u l l b a c k 与p u s h o u t 第三章a b e l 群层范畴中的p u l l b a c k 与p u s h o u t 3 1a b e l 群层与a b e l 群层范畴 以下我们总设x 是个取定的拓扑空间，并把x 上的开子集族记为d ( x ) ， 把x 的点z 的开邻域全体记为u ( z ) - 节g l 颐a b e l 群层与a b e l 群层范畴的 有关定义与性质，为下面两节的内容做准备本节内容，均可见【3 1 和【5 1 定义3 1 1 拓扑空间x 上a b