（基础数学专业论文）lipschitz函数与bochnerriesz算子生成的交换子的性质.pdf

硕士学位论文 摘要 本文研究由l i p s c h i t z 函数与b o c h n e r - m e s z 平均生成的交换子砭6 的几乎处处 收敛性，以及对某些指数p ，致6 从( r n ) 到p ( r 竹) 的有界性问题 我们首先研究当求和指标a 小于临界阶( 佗一1 ) 2 且2 p o 时，交换子足6 从p ( r n ) 到l q ( p ) 的有界性， 其中2 n ( n + 2 p ) p 2 几( n 一2 p ) 且1 g = 1 肋一p 几为此，我们利用紧支乘子的 支集测度的方法估计交换子砭6 从l 渤( r n ) 到l 2 ( r n ) 的有界性，再利用插值定 理，得到了一些新的结论 本文深刻揭示了b o c h n e r - r i e s z 平均的求和指标、l i p s c h i t z 指数与p 次可积空 间的指标p 三者之间相互依赖的关系，得到了一些有价值的结果 关键词：极大算子；交换子；b o c h n e r r i e s z 平均；l i p s c h i t z 空间；加权范数估计 i i 硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sp 印e rr e s e 盯c h 筠t h ea ：h o s te v e r y w h e r ec o i e r g e n c eo ft h ec o 衄u t a t o r 磁6 g e n e r 曲巳db yl i p s e k t zf u n c t i o 璐a n db o c h n e 卜m e s zo p e r a t o ra n dt h eb 0 1 l n d e d n e 踣o f k 6 舶mp ( 舯) t ol 2 ( 耙) f o rs o m ei i l d e xp f i r 8 t ，w es t u d yt h ea h o s te v e r y w h e r ec o n v e r g e n c eo ft h ec o m i n u t a t o rk 6 ，w h e n t h es u mi n d e xai su n d e rt h ec r i t i c a lo r d e r ( 佗一1 ) 2a n d ， ，p ，2 佗( n 一1 2 a ) i n o r d e rt og e tt h i sr e s l l l t ，w er e s e 盯c ht h e ( 2 ，2 ) b o u n d e d n 嘲a n dt h et w 0 - w e i g h t e d ( 2 ，2 ) b o u n d e 【n e s so ft l l em ( i i n a lo p e r a t o ro ft h ec o i d n l t a t o rg e i l e r a t e db yt h em u l t i p l i e r so f c o m p a c ts m o o t hf u n c t i o 瑚a n dl i p s c h i t zf u n c t i o n s n e x t ，t h ep 印e rs t u d i e st h eb o u i l d e d n e s s 行o m 上尸( r ”) t ol q ( r n ) o ft h ec o m m u t a t o r j 呸6 ，w h e nt h ei n d e x 入 o ，w l l e r e2 n ( 扎+ 2 p ) p 2a n d1 g = 1 p 一卢佗i no r d e rt o d ot l l i s ，b yt h es u p p o r tm e 嬲u r eo ft h ec o m p a c tm u l t i p l i e r ，w eg e tt h eb o u n d e d n e s s 行o m l 桶万( p ) t o 三2 ( r ”) ，t h e nb yt h ei n t e r p o l a t i o nt h e o r e m ，w e 丘n a l l yg e ts o m en e wr e s u l t 8 t h ep 印e ri n d i c a t e st h er e l a t i o n s m po ft h es 砌i n d e xo ft h eb o c l l i l e r r i e 8 zm e a i l s ， l i p s c h i t zi n d e xa n dt h ei n d e xpo ft h ei n t e g r a ls p a c e so fo r d e rpp r o f o u n d l ya n dw eg e t s o m ev a 】1 】a b 】er e s u l t s k e yw 0 r d s ：m a x i m a lo p e r a t o r ；c o m m u t a t o r ；b o c h n e 卜r i e s zm e a n s ； l i p s c h i t zs p a c e s ；w b i g h t e d - n o r me s t i m a t e 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声 明的法律后果由本人承担。 作者签名： 藿炽砷 日期：op 年岁月蟛日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 日期：伊孑年歹月7 岁日 日期：丹年，月2 3 日 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1问题的研究背景及意义 设t 是一个线性或次线性算子，对局部可积函数6 ，定义t 的交换子为 【6 ，t 】，( z ) = 6 ( z ) t ，( z ) 一丁( 6 ，) ( z ) ，厂s 交换子在p d e 中有着重要的应用，从二十世纪七十年代起，成为经典调和分析的 一个基本研究对象 关于交换子的第一个经典结果是c a l l d e r o n 于1 9 6 5 年在【1 】中得到的，在此文中 他研究了一类交换子，这类交换子出现于沿“p 曲线的c a u c h y 积分问题【2 】中，具 体描述为： r 上的曲线丁表示为可= a ( z ) 且a ( z ) 满足条件 a ( z 1 ) 一a ( z 2 ) i i z l 一z 2 l ， z l ，z 2 r ， 叫，= 熹上糕如 当z 7 - 时，g 为奇异积分算子，现我们希望得到g 在l 2 上的收敛性，注意到 z = z + i 可且= a ( z ) ，贝0 叫，= 熹上然如 = 熹上鬲希d s2 丽上再刁踊= 万厕幽 = 熹上而毪d s = 熹上再将d s = 薹譬上訾m 删 哥以看到，当扎：o 时，g 为奇异积分算子，当n 1 时，积分矗簟辫，( s ，a ( s ) ) d s 称为c a l d e r 6 n 型交换子 第二个经典的结果是关于奇异积分算子的奇异积分算子t 定义为 t ，( z ) = 尸矿厶k ( z 一夕) ，( 可) 咖， ( 1 1 ) l i p 8 c h i 七z 函数与b o c h n e r - f u e s z 平均生成的交换子的性质 其中k ( z ) = 鬻为核函数，q c ”( 酽一1 ) 为。次齐次的，且厶。一。q ( z ) 如= o 对于 局部可积函数6 ，定义t 的交换子为 【6 ，卅厂( z ) = p 矿 k ( z 一) ( 6 ( 茁) 一6 ( 可) ) 厂( ) 咖 ，r ” 记的为6 在方体q 上的平均，即6 q = 南尼6 ( ) 劫，称6 属于有界平均振荡空间 b m o 引，如果 1， s u p 南厶f 6 ( s ) “q i d s c o 。， 使得上式成立的最小常数c 称为6 的b m o 范数，记为1 1 6 | i b m d 当6 是b m o 函数时，c o i f m a n ，r o c h b e r g ，w e i s s 在1 9 7 6 年的文【4 】中得到了如下 的定理 定理( c r w )交换子【6 ，刁，= 丁( 6 厂) 一6 t ，在扩( p ) ，1 p 上有界当且 仅当6 b m o 在1 9 8 2 年，c h a i l i u o 在文【5 】中研究了由b m o 函数与分数次积分算子生成的交 换子的驴到l 口的有界性，并且由这类算子的性质刻划了b m 0 空间的特征，得到 了第三个经典的结果现将其主要结论叙述如下 定理( c h a n i l l o ) 令6 b m o ，则交换子 6 ，厶 满足 【6 ，l 】川。硎6 i l b m o m l p 其中1 g = 1 肋一q 住且o a 佗 反过来，若几一q 为偶数且 6 ，厶】从扩到印有界，其中p ，q 满足上面的条件， 则6 b m o 对于6 是b m o 函数的情形，我们所用的证明方法主要有三种，分别为：s h a r p 极大估计；加权估计；f 0 r i e r 变换估计 在1 9 7 8 年，j a n s o n 在文 6 】中利用s h 盯p 极大估计得到了如下的定理 定理( j a n s o n )6 b m o 当且仅当 6 ，卅是从到l 妒有界的 证明的主要步骤为： 第一步引进s h 盯p 极大函数 ，弗( z ) = ：酱高z i ，( 可) 一局i 咖 第二步估计( 6 ，卅厂) 群( z ) 如下 ( 【6 ，卅，) 社( z ) c ( ( t ，) ( z ) + 露。( ，) ( z ) ) 随后，在【7 ，8 ，9 】中利用同样的方法得到了很多有价值的结果 硕士学位论文 此外很多作者利用加权估计的方法也得到了很多深刻的结论f 1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 | 1 9 9 3 年，a 1 咖e z ，b a b g y k u r t z ，p 自e z 利用加权估计得到的著名的线性算子交换子 的有界性准则【1 6 | ，其主要结果为 定理( a b k p )令e 为b a n a c h 空间，1 p ，口 0 ，通过f 0 u r i e r 变换的形式定义b o c h n e r - r i e s z 算子乃为 ( a ，) ( ) = ( 1 一2 ) 拿，( ) 1 9 5 9 年，h i r s c h m a n 在文【19 】中给出当求和指标入低于临界阶( n 一1 ) 2 时，b o c h n e r 一 融e s z 平均在p 上有界的必要条件是2 佗( n 一1 + 2 a ) p 2 时，虽然也得到了很多有价 值的结果【2 2 ，2 引，但此问题仍未完全解决在此之后，关于b o c h n e r m e s z 平均的一系 列结果可参见文【2 4 | 对于b o c h n e r - r i e s z 平均的交换子，人们关心的是是否同样可以得到交换子在 上尸上有界的充分必要条件受奇异积分交换子的启发，1 9 9 6 年h u 与l u 定义了 b o c h n e r r i e s z 交换子，并研究了此类交换子的驴有界性 2 5 ，2 6 | 其中一个主要的结 论叙述如下 定理( h l )若6 b m o ，( 扎一1 ) 2 ( n + 1 ) 入 ( 仃一1 ) 2 且1 1 屈一l 2 l ( 1 + 2 a ) 2 n ，则 【6 ，兄】：汐一汐 若n = 2 ，则入为满足o 入 ul ，s n 一1 若死( 佗一1 ) p ，贝u 尥b ：驴_ 三p 另一方面，奇异积分算子t 如( 1 1 ) 式中所定义，若q l a ( 伊一1 ) ，则称丁为具 有粗糙核的奇异积分算子当1 q 。时，许多著作对t 的交换子的性质作了深 入的研究特别的，当g 在1 附近时，h u 与m a 在文【3 0 】中有下面的结论 定理( h l m )若q l ( 1 0 9l ) 七+ 1 ( 伊一1 ) ，即 ， i q ( z ) ll o g 蚪1 ( 2 + i q ( z ) 1 ) 如 o 。， ，s n 一1 则 ， 6 ，7 1 知厂( z ) = ( 6 ( z ) 一6 ( 可) ) 惫尼( z 一) ，( ) 劫， i ， 在l 2 ( r “) 上有界 f o u r i e r 变换估计的主要步骤是，当乘子m 满足i m i 。时，对m 作l i t t l e w o o d p a l e y 分解【3 1 】) ，如果s u p p m dc ：6 2 j ) ，则我们有 i | 【6 ，乃】川2 c 6 叫托恻| b m o l | 州2 当6 是l i p s c h i t z 函数时，人们感兴趣的是，对前面提到的算予，上面的三种估 计方法是否仍有效称局部可积函数6 入口( r n ) ，o p 1 若6 满足 | 6 ( z ) 一6 ( ) i c i z y l 卢 1 9 9 5 年，p a l u s z y n s k i 在文【3 2 】中利用s h a r p 极大估计的方法得到了下面的定理 定理( p 1 )令1 p o o ，o p n ，则 6 ，卅是从( r n ) 到l 。( r ”) 有界的 在文【3 2 l 中，p a l l u s z y n s k i 给出了穆，o 。( r n ) 空间的一个等价的刻划，叙述如下 定理( p 2 )对o p 1 ，1 p ( 佗一1 ) 2 时，极大 算子畎：6 从p 到q 及n i e b e l - l i z o r k i n 空间的有界性2 0 0 3 年，l i u 与l u 定义了 b o c h n e r r i e s z 高阶交换子删，并建立了b o c h n e r - 融e 8 z 极大交换子的l ( 1 0 9l ) 型端 一4 一 硕士学位论文 点估计和加权弱型估计2 0 0 4 年，l l i u 在【3 5 】中研究了b o c h n e r - e s z 极大交换子 在n i e b e l l i z o r l 【i n 空间上的连续性x x i a 在2 0 0 7 年的博士论文【3 6 1 中利用限制性 定理【3 7 】得到了如下定理 定理( x i a )令n 3 ，( 礼一1 ) ( 2 n + 2 ) a ( n 一1 ) 2 ，o p m i n l ，a 一( 礼一 1 ) ( 2 礼+ 2 ) ) 若6 l 咖( 舯) 且i l 肋一1 2 i ( 1 + 2 入一2 p ) ( 2 n ) ，则取6 在汐( r n ) 上有界 此外，令m 为有界函数，假设乘子m ( r n ) 满足性质 l m ( ) i c ( 1 + l i ) 。，i d q m ( ) l c ( 1 + i 引) ， i 口i 巧 定义乘子算子为 ( ，) ( ) = m ( ) ，( ) ，s 2 0 0 8 年，l l i u 在文【3 8 】中的结果表明，对6 入口( 酞n ) ，交换子 6 ，卅是从p 到 l 口有界的，其中2 礼( n 十2 p ) p 2 且1 q = 1 p p n 对于沿超曲面的平均及具有粗糙核的奇异积分算子与l i p s c h i t z 函数生成的交 换子的研究，已取得了许多深刻的结果i3 9 j 当6 是b e 8 0 v 函数时，也己得到一些有 意义的结果【删，在这里不再详述 1 2本文内容摘要 上面提到的x i a 的文章中的定理表明，对6 l 咖口，当厂妒且2 佗( 扎+ l + 2 a 一2 卢) p 2 礼( 佗一1 2 a + 2 p ) 时，l i m ，。o 吸6 厂( z ) = o 在驴上成立与 6 b m o 的情形相比，当指标p 在2 佗( 礼+ l + 2 a ) p 2 n ( 佗+ 1 + 2 a 一2 p ) 与 2 扎( 佗一1 2 a + 2 卢) p 2 佗( n 一1 2 a ) 这两段之内时，算子巧：6 在汐上的几乎处处 收敛性却是未知的在本文的第二章中，我们研究了当厂驴，2 p ( 佗一1 ) 2 时， 巧厂( z ) 被m j f ( z ) 所控制，所以对所有的1 p 0 近年来，国内外许多学者已经对这类交换子的的有界性作了深入的研究，得到 了许多有价值的结果【2 5 ，2 6 ，2 7 ，3 3 ，36 对于6 b m o 的情形，当入( n 一1 ) 2 时，s h i 与 s u n 在【4 1 l 中的结果表明，对所有的1 p 。及u 山，算子巧在( 科，u ( z ) 如) 上有界，其中4 表示m u c k e n h o u p t 权函数类( 4 权函数类的定义及性质 2 4 】) 由 a l v a r e z ，b a b 烈k u r t z 与p 6 r e z 在文1 16 】中给出的著名的线性算子交换子的有界性准 则知，对所有的1 p 。及u a 交换子殁6 在驴( r ”，u ( z ) 如) 上亦有界另一 方面，h u 与l u 在【2 5 】中的结果知，当o a ( 竹一1 ) 1 1 2 1 肋l 时的妒有界性估计进一步，h u 与l u 在文【2 7 】中讨论了 此类极大算子的l 2 加权有界性，表明对某些2 p ( n 一1 ) 2 时，极大算子r 6 从驴到l 口及n i e b e l l i z o r l 【i n 空间的有界性同样对 6 为l i p s c h i t z 函数的情形，x x i a 在 3 6 l 中给出了算子职：6 在指标a 小于临界指标 ( 亿一1 ) 2 ( 即o a ( n 一1 ) 2 ) 时的有界性估计我们称函数，属于l i p s c h i t z 空间i 舶( r n ) 是指 川矿z 器哗掣 。o ， 一6 一 硕士学位论文 其中2 表示七阶差分算子【3 2 1 在文f 3 6 】中的一个主要结论叙述如下 定理( x i a ) 令孔3 ，( n 一1 ) ( 2 n + 2 ) 入 ( 佗一1 ) 2 ，o p m i n 1 ，a 一( n 1 ) ( 2 n + 2 ) 】若6 己咖p ( 舯) 且1 1 肋一l 2 l ( 1 + 2 入一2 p ) ( 2 n ) ，则吸6 在( r n ) 上 有界 根据x i a 的文【3 6 】中的结果，我们仅仅知道对6 l 咖口，当厂驴且2 n ( n + l + 2 入一2 ) p 2 礼( 几一1 2 入+ 2 p ) 时l i m o 致6 ，( 。) = o 在汐上成立与 6 b m o 的情形相比，当指标p 在2 佗( n + 1 + 2 入) p 2 n ( n + 1 + 2 入一2 p ) 与 2 礼( n l 一2 a + 2 p ) p 0 其中厂属于s c l l w 疵z 函数类由文【4 2 】与f 4 3 】中的结论知，我们有如下的分解 ( 1 一盱) 辜= 2 _ 认m z t ( ) ， ( 2 8 ) i = o 则 吸6 ，( z ) = 2 一a 最_ b ，( z ) ， i = o 一7 一 l i p s c h i t z 函数与b o c h n e r f u e s z 平均生成的交换予的性质 其中譬_ 6 是如( 2 6 ) 中所定义的算子且j = 2 记 砖：，( z ) = 2 _ 0 a 昂；6 ，( z ) + 2 _ 1 a 是一1 6 ，( z ) ， ( 2 9 ) 与 磺：，( z ) = 2 _ a 苗_ 6 ，( z ) ( 2 1 0 ) 则觋6 ，( z ) 的几乎处处收敛性可以由砖：，( z ) 与磺；，( z ) 的几乎处处收敛性推出 我们通过估计与算子砝矗及磺：相应的极大算子来给出它们的几乎处处收敛性 由文【4 2 】中所指出的，对每一个给定的p 满足2 p 2 几( 佗一1 2 入) ，我们选 取q 使得 礼( 1 2 p ) 口 1 + 2 a ， 则 三p ( r n ) c 三2 ( 酞n ) + l 2 ( r n ，l z l q d z ) 且如果g 满足1 g = 1 肋一卢礼，则我们有 礼( 1 2 g ) q + 2 p 佗， 使得 l 9 ( r n ) cl 2 ( r n ) + l 2 ( p ，i z l _ a 一2 p c k ) 所以，我们的主要结果归结为下面的定理 定理2 1 1 假设6 l 硒卢( r n ) 及o 1 2 令o 6 o 使得 i l 懿6 川；c 6 一1 一7 + 2 p i | 6 i | 划州；， 其中c 与6 及，无关 定理2 1 2 令o q n 且o p m i n ( 佗一q ) 2 ，住( 4 佗+ 2 ) ，n ( 礼一口) 4 ( 礼+ 1 ) ) 若6 l i 即( p ) ，存在正常数7 - 使得 u 6 ，( z ) m 咄_ 2 卢如c 6 - ( q 竹- 1 | 1 6 | i ，( z ) m 咄如， t ，r 忆j r n 其中c 与6 及j f 无关 定理2 1 3 令o 工， 1 ，( 1 一工，) 2 a ( 扎一1 ) 2 及，p ( 靴) ，p 满足 2 p 2 仃( n 一1 2 a ) 若6 l 切口( r n ) ，o p m i n _ ( 扎一1 ) 2 一a ，a 一( 1 一) 2 ，( 1 一 ) 2 ，2 ( 4 几+ 2 ) ，礼( 1 + 2 入一n ( 1 2 p ) ) ( 4 ( 几+ 1 ) ) ) ，则巧：6 ，收敛于o ，对a e z r ” 在本章的第二小节我们来证明定理2 1 1 ，第三小节我们来证明定理2 1 2 ，定理 2 1 3 的证明放在本章的第四小节 硕士学位论文 2 2定理2 1 1 的证明 在证明我们的主要结论之前，我们需要几个引理 引理2 2 1对0 p o z z 定义乘子算子夕l 为 ( 9 1 厂瓜) = 妒( 2 2 f ) 氕) ， 则对任何1 p o 。，乘子算子9 f 满足 ( i 仂，1 2 ) 1 7 2 i i p c i | 州p z z 引理2 2 3 令o 6 l 2 ，m 6 为一径向c o 。函数满足( 2 4 ) 对6 l i 邪( p ) ， 及对任何o o 有， 讥( z ) + 矽( 2 一z ) = 1 z = 1 对f 1 ，定义( z ) = 矽( 2 一z ) 令霹为乘子算子甓的核函数，即( 蟛) ( ) = m 5 ( 埏) 将弼分解为 一9 一 向砖 = 动 妙硪 阱 + 曲 f d “矽p砖 = 砖 l i p s c h i t z 函数与b o c h n e r - r i e s z 平均生成的交换子的性质 记菇。是以。( z ) 为核的卷积算子，舞为其交换子，则根据【。s 】中引理2 3 的证明 知，对任何0 1 ，我们有 i | ( 2j 。，i 字) 1 7 2 | | 口c ( 6 2 一c l l ，v ) 1 一| i ，i | 一，2 口 o 。， 其中g ，= 口( g 一1 ) 为了文章的完整性，我们现在将( 2 1 1 ) 式的证明叙述如下 注意到厶。i m 6 ( z ) f 如c ，c 与6 无关，我们有 l i j | i 。e1 2 记。是以蟛。为核的卷积算子y o n n g s 不等式告诉我们， | i g 。厂i i 。0 2 i i 。l f 厂l i 。c i i ，| i 。，1 亡2 从而有 盯l 跚2 2 峪( 2 恻圳i 蛩抄) 蚓i 州， 对z l 及f 卯有 ( 蟛瓜) = m 。( 亡) ，c ( 矽z ( 疵) = 厶州缮一刎( 坝煸) 却 = 厶吲弘防锄) 识帕 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 田a l v 甜e z b a b g y k u r t z 与p 6 r e z1 4 卅的结论知，对每一个固定的1 t 2 ，有 i ( 磁疵) i = i m 6 ( 亡) ( ( 6 ) 瓜) i c 2 ， 其中c 与z ，f ，6 ，t 无关由p 1 a n c h e l s 【4 6 】定理知 厂2 恻川；譬伢b t ，l l 另一方面，由s c l l w 缸z s 不等式知 2 愀小( 婀) 瓜) | 2 警= 2i 上。帐硼嘞叩) 识懒1 2 字 2 上。眦2 嘞训2 鼬i 咖警一1r n r 一。r 、吖川 。甲v “。吖t = 厶2 眦2 训2 铷硎咖 一1 0 硕士学位论文 注意到i i m 6 0 1 ，且对每一个固定的点( ，刀) 舻舻，使得积分片i m 6 ( 蟮一 t 2 一。却) 1 2 譬非零的t 的集合关于譬的测度至多为c 6 ，所以 厂2i i 甓，z 刘；譬2i l ( 磁，f j l i 琵i | 川；譬c 6 l l ，i i ； ( 2 1 3 ) ，1 o ，l o 结合不等式( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) ，我们便得到( 2 1 1 ) 式 现在我们来估计斤i i 薯州；譬记p = 屿锄，其中每一个锄为边长为2 。6 _ 1 的 方体，且这些方体互不相交令乃= ，x 仍，其中) ( q j 为方体q 的特征函数，则有 ，( z ) 一乃( z ) ，口e z r n j 因为s u p p 磁，c _ 【冬g 2 。6 1 】，易见甓，。乃的支集包含在有限倍数的方体q 当中，且囊，的支集具有有限交性质，所以 彳2 嘣州! 譬c 莩2 蝌磷 所以我们不妨假设s u p p 厂cq ，其中q 是边长为2 。6 1 的方体令妒曙( r n ) 满 足0 妒l ，妒在5 0 几q 上恒等于1 ，且妒的支集为1 0 0 n q 记q = 2 0 0 n q 且 歌z ) = ( 6 ( z ) 一) 妒( z ) ，其中是6 在亩上的平均，即= i 百l _ 1 如6 ( 可) 妇显然有 式囊，( z ) = 毛，( z ) = 取z ) 5 唔。，( z ) 一g 。( 研) ( z ) 首先我们给出歌z ) 式，( z ) 的估计令2 9 1 ，9 2 。使得1 9 1 + 1 q 2 = 1 2 由 h 6 l d e r s 不等式及不等式( 2 1 1 ) 以及引理2 2 1 ，我们得到 2i 陬z ) 2 ，( z ) i i ；警= 2 上。i 歌z ) 2 ，( z ) 1 2 如譬 ：f 陬。) 1 2 厂2l ，z ，( z ) 1 2 譬如= 陬。) 1 2 l ，( z ) 1 2 芋如 ( 上。呦吲z ) 2 加1 ( 厶( 2i 蚴刮2 伊2 如) 2 胁 g ( 2 一( 1 一p ) 。) 纠虻i q l 2 口n + 2 9 11 1 6 i 唳pi i ，l l 乏 c ( 酽2 一( 1 一l ，) 2 ) 2 虻i q l 2 卢n + 2 g i q l l 2 q 。i l6 l | 炙。i l ，旧 c ( 酽2 一( 一p 甲畦( 2 6 1 ) 2 卢怖1 1 7 啦) l | 6 l 刚川； c 6 2 i ，西一2 p 一2 n ( 1 2 q 2 ) 2 2 ( ( 1 一p ) 虻一卢一n ( 1 2 啦) | 1 6 i i 炙d0 厂0 ； ( 2 1 4 ) 对每一个p 满足o p l 2 ，我们选取( o 2 从而我们可以选取9 2 大于且充分接近于2 ，使得 口2 o ，( 2 1 5 ) 且 ( 1 一王，) 区一p 一竹( 1 2 9 2 ) = o ， 其中吐= 口2 ( 9 2 1 ) 故我们可以找到正常数7 7 与e ，使得 一i 砩，2 州；譬c 2 刊扩( 1 1 6 l l p 6 一嗍州刍 ( 2 1 6 ) 下面我们来估计霹，2 ( 玎) ( z ) 令2 口1 ，9 2 o ，6 t ( z ) = 6 ( 拓) 也属 于l 咖卢( p ) 且慨0 l 锄= 恻i l 咖对每一个固定的6 满足o 6 1 2 ，令佻满足条 件( 2 4 ) ，算子甓及b 与( 2 5 ) 及( 2 7 ) 式中所定义的算子相同由引理2 2 3 与伸 缩不变性，容易验证 ，慨州；字c 咄j j a 叩惦，f z ( 2 1 9 ) 选取妒曙( r n ) ，妒满足引理2 2 2 中的条件，则我们有 磷6 ，( z ) 2 善上。( 2 一) m 以) ) t 一可) ( 6 ( z ) 一6 ( ) ) ，( 可) 匆 = ( 罐肌) 。，( z ) ， 其中研是引理2 2 2 中所定义的乘子算子若o o 定义乘子算子肌为 ( 仂厂) ( ) = 妒( 2 一f ) ，( f ) 则肌满足 i i ( 计) 1 2 刎列p ，u ， 其中1 p 。且u a p 引理2 3 2 令o 6 1 2 ，m 占为满足条件( 2 4 ) 的c o 。径向函数，则对任何 1 q 佗及o p o z = 1 对z l 令( z ) = 妒( 2 一z ) 及瑶( z ) = ( m 6 ( t ) ) ( z ) 将弼( z ) 分解为 o 。o 。 确( z ) = 蟛( z ) 讥( 如) + 瑶( z ) ( 如) = 。( z ) z = 1z = o 定义g ，。为以砖，。为核的卷积算子，矗为g 2 的交换子，由文【2 7 】中引理3 的 证明知，对每一个满足1 g 2 的g ， 上。( 2l 1 2 譬) 矿7 2 i z i 一一r d z c 2 一6 2 7 ( 上。i ，( 。) l 口l z i 一1 ( q l ，如) 。7 7 口， ( 2 2 4 ) 买中g ，= g ( g 一1 ) 同样为了文章的完整性，我们也将( 2 2 4 ) 式的证明叙述如下 因为m 6 满足条件( 2 4 ) ，则显然有m 6 l 1 ( 舻) 且厶。i m 6 ( z ) l 如c ，c 与6 无 关从而对任何1 t 2 ，我们有 i l j c 记。是以2 为核的卷积算子，由y 0 u n g s 不等式有 l i g j ，i i o 。c i i ，1 1 1 ，1 t 2 从而有 1 i ( 2 瞬2 拶2 怯驯| 1 ( 2 2 5 ) 令l 一y n ，由a 1 v 舡e z b a b g y k u r t z 与p 6 r e z 【4 2 】的结论知 i 砖2 ，( z ) 1 2 川一1 如c 2 叫6 1 - 7 l ，( z ) 1 2 川一1 如 ，舻，r n 由齐次性知 。 i ，( z ) m r 如c 2 6 1 。7 l ，( z ) m r 如 - ，r n，r n 对lst 2 一致成立，由【4 2 】中的证明可以得到 2 厶i j ，1 2 吲1 出字c 2 6 2 1 上。l ，( 酬2 1 如 ( 2 2 6 ) 对不等式( 2 2 5 ) 与( 2 2 6 ) 应用s t e i n w e i s s 【4 8 】插值定理知，( 2 2 4 ) 式成立 现在令1 q 佗我们来估计算子甓的交换子g 刍将r n 分解为一系列边 长为2 。6 1 的互不相交的方体的并，即r “= 屿q 令x 锄为方体锄的特征函数，记 乃= 厂x q j ，贝u ，= 厶，o e z r n 一1 5 一 因为当1 t 2 时，s u p 刍，。c h c 2 。6 1 ) ，容易看到算子醣。乃的支集包含声 有限倍的方体锄之中，而且算子磷五办的支集具有有限交性质，所以我们有 2 厶瞄1 2 l 圹删譬 cf z 一2 上。l 蹀办( z ) m 一2 p 如譬 从而我们不妨假设s u p p ，cq 其中方体q 是边长为2 。6 1 的方体选取7 7 曙( 础) ， o 7 7 1 ，叼在5 0 礼q 上恒等于l ，且7 7 的支集为l o o 礼q 记百= 2 0 0 n q ，且否( z ) = ( 6 ( z ) 一略) 叩( z ) ，其中是函数6 在方体百上的平均，即呛= l 百i 一1 尼6 ( ) 咖易见 囊，( z ) = 磊，( z ) = 歌茁) 。，( z ) 一2 ( 玎) ( 茁) 我们记方体q 的中心为如，尼为非负整数，且 显然，我们有 n l ，1t ，璁n b 耙= 【q ：2 而忍2 2 6 1 i 可q i 2 何( 七+ 1 ) 2 。6 1 ) i 蹦聃) 1 2 蚓一2 警= f f t r t ：- 七= 0 q 日kl 2 嗡1 2 扣删卢如 首先我们来估计6 ( z ) ，( z ) 令2 9 1 ，q 2 o o 便得l q 1 + l q 2 。l z ，d q 2 凯 且p 口1 n 对q 吼，由h 6 l d e r s 不等式，不等式( 2 2 4 ) 及引理2 2 1 ，我们能够得到 厶帆q 2 陬删他胪扣们p 如 ：厂附m 哪j ( 2 酬m ) 睁z z t ，2 0 0 n o j 1 。 ( 厶。陬z ) i a i z i 一砌d z ) 2 7 仉 ( l ( 2 瞬刮2 舻2 川删2 2 如) 2 触 c ( 2 一z 6 2 一a q 2 2 ) z q 2 ( f | 6 ( z ) 一6 百1 4 - l z i 一砌zd z ) 2 7 叮1 、t ，2 0 0 n 0 7 ( 厂m ) 陬一纠m 。如广5 c ( 2 一z 6 。一n 品2 ) 。q 2 ( s ! 黑1 6 ( z ) 一6 西i ) 2 、z q ( 厶q 吲呐恤) 2 加1 ( l i m 脚r ( 一2 d z ) 2 偈 c ( 2 一j 2 一q 9 2 2 ) 2 口2i q l l 2 7 们( s u p | 6 ( z ) 一6 国i ) ，、2 、z q ( lh 呐1 出) 2 伯1 小1 2 i 圹。如 1 6 硕士学位论文 c ( 2 一6 2 一q 驰2 ) 2 q 2l q l l 2 口2i q l 2 p 加0 6 i i 炙。 ( l q 呐1 如) 2 向1 小1 2 l 圹n 如 c ( 2 一6 2 一口们2 ) 2 口2 ( 2 。j 一1 ) 2 p + n ( 1 2 口2 1 1 6 i l 炙d ( l q 一肺出) 2 加1 厶删1 2 i 扩n 如 c ( 2 一。6 2 一n q 2 2 ) 2 口2 ( 2 2 6 1 ) 2 n ( 1 2 q 2 1 1 6 l i 天声! i ，( z ) 1 2 i z i 一口d z ， 在最后一个不等式中，我们断言下面的事实成立 ( 厶帆q 川呐协) 2 向1 蚓2 伊1 ) 2 砒1 - 2 p ( 2 2 7 ) 下面我们来证明这一结论 事实上，容易看到，对q b 七，当q 的中心与原点的距离不是很大时，2 0 0 几q 可能包含此积分的奇点原点在内所以我们选取忌使得当抛 旧q i 2 何七2 2 6 _ 1 时，所有的2 0 0 n q 均包含原点在