（基础数学专业论文）r4中gausskronecker曲率为零的极小超曲面.pdf

摘要 超曲面的g a u s s - k r o n e c k e r 曲率是一个重要的几何不变量 本文主要研究舻中满足g a u s s - k r o n e c k e r 曲率恒为零的极小超曲面人们猜 测：酽中g a u s s - k r o n e c k e r 曲率恒为零的极小超曲面是舻中极小曲面与实 数直线的黎曼直积对于上述猜测，文献【1 】中证明了下述定理：设m 3 是数量 曲率有下界的完备可定向三维黎曼流形，：m 。一伊是满足g a u s s - k r o n e c k e r 曲率恒为零，第二基本形式处处不为零的极小等距浸入，则f ( m 3 ) 可分解为黎 曼直积l 。r ，其中三。是印中高斯曲率有下界的完备极小曲面 本文中，我们通过具体例子说明上述定理中的部分条件是不必要的 关键词：g a u s s - k r o n e c k e r 曲率；极小超曲面；极小曲面；主曲率 a b s t r a c t t h eg a u s s - k r o n e c k e rc u r v a t u r eo fh y p e r s u f f a c e si sa ni m p o r t a n tg e o m e t r i ci n v a r i a n t i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t ec o m p l e t em i n i m a lh y p e r s u r f a c e si nt h ee u c h d e a ns p a c e r 4w i t hv a n i s h i n gg a u s s - k r o n e c k e rc u r v a t u r e t h i si sr e l a t e dw i t ht h ef o l l o w i n gw e l l - k n o w n q u e s t i o n ：si tt r u et h a ta n yc o m p l e t em i n i m a lh y p e r s u r f a c ew i t hv a n i s h i n gg a u s s k r o n e c k e rc u r v a t u r e 伽r 4s h o u l db eac y l i n d e ro v e ram i n i m a ls u q a c ei nr 3 7a p a r t i a l a n s w e rt ot h i sq u e s t i o ni sg i v e nb yt h ef o l l o w i n gt h e o r e mi n ”i f ，：m 3 _ 科i sa c o m p l e t em i n i m a lh y p e r s u r f a c ew i t hg a u e s - k r o n e c k e rc u r v a t u r ei d e n t i c a l l yz e r o ，n o w h e r e v a n i s h i n gs e c o n df u n d a m e n t a lf o r ma n ds c a l a rc u r v a t u r eb o u n d e df r o mb e l o w ，t h e nf ( m 3 ) s p l i t sa sae u c h d e a np r o d u c tl 2 r w h e r el 2i sac o m p l e t em i n i m a ls u r f a c ei nr 3w i t h g a u s s i a nc u r v a t u r eb o u n d e df r o mb e l o w i nt h i sp a p e r ，b yc h e c k i n gs o m en a t u r a le x a m p l e s ，w es h o wt h a ts o m ec o n d i t i o n si n t h ea b o v et h e o r e ma r ei nf a c tn o tn e c e s s a r y k e yw o r d s ：g a u s s - k r o n e c k e rc u r v a t u r e ；m i n i m a lh y p e r s u r f a c e s ；m i n i m a ls u r - f a c e s ；p r i n c i p a c u r v a t u r e 2 第一节引言 超曲面的g a u s s - k r o n e c k e r 曲率是一个重要的几何不变量因此研究具有常 g a u s s - k r o n e c k e r 曲率的黎曼流形，尤其是空间形式中具有常g a u s s - k r o n e c k e r 曲 率的超曲面是有意义的关于舻+ 1 中极小超曲面m n ，b e e z - k i l l i n g 和d a j c z e r 、 g r o m o l l 先后进行了研究，n a d i r a s h v i l i 关于g a u s s 曲率无界的极小曲面，得到了 一些结果。人们猜测：r 4 中g a u s s - k r o n e c k e r 曲率恒为零的极小超曲面是萨中极 小曲面与实数直线的黎曼直积对于上述猜测，h a s a n i s ，s a v a s - h a l i l a j 和v l a c h o s 证明了下述分类定理：设m s 是数量曲率有下界的完备可定向三维黎曼流形， ，：m 3 一舻是满足g a u s s - k r o n e c k e r 曲率恒为零，第二基本形式处处不为零的 极小等距浸入，则，( m 3 ) 可分解为黎曼直积l 2 r ，其中l 。是廖中高斯曲率 有下界的完备极小曲面 为了证明猜测，上述分类定理对数量曲率和第二基本形式加了很强的条 件，很自然地我们提出问题：如果，：m s 一舻是完备极小超曲面，如果，( 护) 可分解为i 2 r ，其中l 。是舻中的完备极小曲面，那么m 。的数量曲率一定 有下界吗? 也就是完备极小曲面z ：l 。一舻的主曲率一定是有界的吗? 在本文第四部分，我们通过具体例子说明上述定理中的部分条件是不必要 的 本文中我们把超曲面的g a u s s - k r o n e c k e r 曲率记为k ，法化数量曲率记为 r ，第二基本形式记为b ，平均曲率向量记为h ，主曲率记为k 4 第二节预备知识 设1 是一个n + 1 维光滑流形，( - ，g ) 表示在1 上赋予r i e m a n n 度 量g 的礼+ 1 维黎曼流形m ”是舻+ 1 的超曲面，选取 e a h s a 。+ t 为胪+ 1 的局 部正交标架场，对偶标架场为 u a ) l a 。+ 1 ，对v x m ”，e l ，e n t z m ， e 。肌m 为单位法向量。我们将使用如下的指标约定：1sl ，j ，k ，n ；1 a ，b ，c ，几+ 1 则以常数c 为截面曲率的空间形式1 的结构方程可写为 d w a = o j a b a w b ， d a b b0 2 b a = 0 ， ( 2 1 ) b d w a b = o j a ca w c b 一；k a , c d j ca w d c 。d d k a b c d = c ( s a c 如d 一以d 5 b e ) 以下限制在m n 上讨论这时有+ 1 = 0 ，所以 0 = + 1 = + “a 咄 i 由c a r t a n 引理，存在函数h 玎使得 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 呐。+ 1 = 九巧屿，= 啄 ( 2 5 ) j 称b = h t j w ip 屿和h = j “分别为m ”的第二基本形式和平均曲率 i j l 由( 2 1 ) 一( 2 5 ) ，我们得到 p 的结构方程 及下述高斯方程 妣= w i ia 哟，+ 蝴= 0 ， j 毗= 挑k a w k j 一；l 魄a w t k_ 1 ( 2 6 ) ( 2 7 ) r i j 埘= c ( 文k 如z 一翰岛) + ( b z 一危“b k ) ( 2 8 ) 5 设h i j k 为的协变导数，即 危玎咄= d + 酊i + k ( 2 9 ) k七k 外微分( 2 5 ) ，得所谓的c o d a z z i 方程 在p m “取正交基 e t ) ，使得h 巧= 九，凡是m ”的主曲率，m 个主曲率 的乘积 k = a i a 2 入m 称为在p 点的g a u s s - k r o n e c k e r 曲率 6 第三节r 4 中g a u s s - k r o n e c k e r 曲率为零的极小超曲面 在文献【3 】中，d a j c z e r 和g r o m o l l 证明了如果m “是没有舻_ 3 因子的完备 黎曼流形，则，：m ”一舻+ 1 为舻押如1 ) 极小子流形的极小浸入是刚性的 人们猜测：砰中g a u s s - k r o n e c k e r 曲率恒为零的极小超曲面是兄3 中极小 曲面与实数直线的黎曼直积对于上述猜测，t h a s a n i s ，a s a v a s - h a l i l a j 和t v l a c h o s 对数量曲率和第二基本形式加条件得到下述分类定理，见f 1 】 定理1 ( 【1 】) ：设m 3 是数量曲率有下界的完备可定向三维黎曼流形，：m 3 一 是满足g a u s s - k r o n e c k e r 曲率恒为零，第二基本形式处处不为零的极小等距 浸入，则，( m s ) 可分解为黎曼直积驴r ，其中l 2 是r 3 中高斯曲率有下界的 完备极小曲面。 设，：m 3 一r 4 是配备诱导度量可定向的极小超曲面，且单位法向量场为 ，记a 为亭的形状算子，设主曲率后t 如蚝，g a u s s - k r o n e c k e r 曲率k 和 数量曲率r 的表达式为： k = d e t a = k l k 2 3 r = 2 ( k l k 2 + h b + 也) ( 3 1 ) 第二基本形式处处不为零，主曲率满足k t a 鲍= 0 纸= 一a ，其中a 是m 3 上的光滑正值函数，选取 e ，) e 2 ，e 3 ) 为局部正交标架场，主方向对应于 a ，0 ，一a ，及 u 。，0 2 ，u 。) 为对偶标架，设 ) 是关于度量的l e v i - c i v i t a 联络的联 络形式，满足结构方程 妣= a ，w i i + 产0 ， ( 3 2 ) j d w o = h l i l a 一码岫a 哟 ( 3 3 ) f 显然，结构方程等价于 e , ( k j ) = 限一k j ) , o o ( e j ) ，( 3 4 ) ( 七1 一如) u 1 2 ( e 3 ) =( 如一k 3 ) u 2 3 0 1 ) = ( k l k 3 ) u 1 3 ( e 2 ) ( 3 5 ) 命题1 ：考虑函数u ：= u 1 2 ( e 3 ) ，口：= e 2 ( 1 0 9 ) 1 u 1 2 ( e 1 ) = 钉，w 1 3 ( e i ) = e z ( 1 0 9a ) ，0 j 2 3 ( c 1 ) = ，( 3 6 ) 7 和 u 。( e 。) = o ，u ，3 ( e 。) = 互1 ， ( e 3 ) 孔咖( e 3 ) = ；e t ( 1 0 9 a ) ， ( 3 7 ) ( 3 8 ) e 2 ( 口) = t ，2 一2 ， e l ( u ) = e 3 ( v ) ， 8 2 ( “) = 2 仳弘 ( 3 9 ) e 3 ( u ) = 一e 1 扣) ， e a e l ( 1 0 9 a ) + e a e 3 ( 1 0 9 ) l ) 一 ( e l ( 1 0 9 x ) ) 2 一 ( e 3 ( 1 0 9 a ) ) 2 2 v 2 4 u 2 + 2 a 2 = 0 证明：从结构方程可得 ( k 2 一七1 ) l ( e 1 ) = e 2 ( k 1 ) ， 地( e ，) ：掣：e ，( 1 0 9 a ) ：执 ( b k 1 ) w 3 1 ( e 1 ) = e 3 ( k 1 ) ， 比( e 1 ) = 掣= 秽1 酬 ( h k 2 ) u 1 2 ( e 3 ) = ( k 2 一k s ) “叻( e 1 ) w 1 2 ( e 3 ) = w 2 3 ( e 1 ) = i t , 同理利用c o d a z z i 方程可得( 3 7 ) 和( 3 8 ) 设联络形式为 0 - 1 1 2 = 删l + + 眦， w 1 3 = 凼1 + e u 2 + f w 3 ， 0 , 1 2 3 = g w x + h w 2 + 1 w 3 用上式分别作用e ，e 2 ，e 。可得 w 1 2 2f f w l + 0 3 3 岫= ；e 3 ( 1 0 9 a ) u 1 + j 1 删2 一互1 e 1 ( 1 0 9 a ) w 3 w 2 3 2i , d 1 一v w 3 8 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 利用结构方程( 2 3 ) ，因为d u = 蛳咄= e t ( 胁，对联络形式求协变导数 可得 d u l 2 = d ( v w l + l l a d 3 ) = d w l v + v d w l + d w o s + u d w s = e 2 ( 口) 峨a u l + e 3 ( 仃) “b a0 1 1 + t 1 2 a “坦+ y o j l 3 ao j 3 + e 1 ( ) u l a0 ) 3 + e 2 ( v ) w 2 a + z 岫la w l + u 3 2 a 忱 幽1 250 - 1 3a0 1 2 3 一k l k 削la 0 2 2 ， 【一e 2 ( 盯) + 口2 一u 2 1 u 1 a w 2 + 【一e s ( v ) + e 1 ( 让) 】u 1a 如 + i e 2 ( “) 一2 u v “，2a0 2 3 = 0 e 2 ( v ) = 一“。， e 2 ( u ) = 2 u v ， e l ( u ) = e 3 ( t ，) 其它同理可得。 进一步，我们有 命题2 ：记口为p o i s s o n 括号积，则 e l , e 2 = 一u e l + 互1 “e 3 ， e l ，e 3 = 一互1 e 3 ( 1 0 9 啪一2 u e 2 + 互1 e l ( 1 。g 岫， 【e 2 e 3 】= 互1 “e t + 岫 证明：对( 3 3 ) 两边同时作用f e ，e 。】， 缸1 2 【e 1 e 2 】_ 0 2 1 3al d 3 2 e l ，e 2 ， e 1 ( u 1 2 ( e 2 ) ) 一e 2 ( w 1 2 ( e 1 ) ) 一5 d 1 2 e l ，e 2 】= 0 j 1 3 ( e 1 ) 0 j 3 2 ( e 2 ) 一u ) 1 3 ( e 2 ) ( z 3 2 ( e 1 ) o ) 1 2 e l ，e 2 】= - e 2 ( v ) 一 钍2 ， u 。e l , e 2 = u 1 。卜- t ，e - 十五1 “e s 】， e l ，e 2 - v e l + 互1 “e 3 ( 3 1 4 ) 和( 3 1 5 ) 同理可得 9 口 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 口 引理2 ：设m n 是礼维完备黎曼流形，礼2 ，r i c c i 曲率满足r i c 一一1 ) k 。，k 是正常数，假设h 是m n 中光滑非负函数，满足 a g c 9 2 ，( 3 1 6 ) c 是正常数，表示关于度量的拉普拉斯算子，则g 恒为零 证明；取一点丑o 胛若z 。为g 的最大值点，则g ( x 。) = 0 ，上述结论正 确只要证明对任意点z m 3 ，都有g ( x ) g ( x o ) 成立。采用反证法，设存在 点x 。使得g ( x 。) p ， p ( x ) = d ( 聋，z o ) 因为g i o b ( 。) = 0 ，g ( z ) 0 ，则g 在某一点z 2 b ( z o ) 取得 最大值。设z 。不是x o 的割点，g 在z 。附近光滑，由极大值原理 v g ( x 2 ) = 0 ，a g ( x 2 ) 0 ( 3 1 7 ) 在曲线上的切向量是单位长的，距离函数有i v 川2 = 1 ，利用( 3 1 7 ) 估计g ( x z ) 由 v g ( z 2 ) = 一4 p ( z 2 b ( z 2 ) ( 0 2 一矿( x 2 ) ) v p ( z 2 ) + ( a 2 一p 2 ( 第2 ) ) 2 v g ( x ：) =0 则可得 掣=渊(3189(x2j ) 岬一旷l 0 2 jj a g ( z 2 ) = 一4 v p ( x 2 ) 9 ( z 2 ) ( 矿一p 2 ( x 2 ) ) v p ( z 2 ) 一4 p ( x 2 ) ( 0 2 一p 2 ( z 2 ) ) v 9 ( z 2 ) v p ( z 2 ) - 4 p ( x 2 ) g ( x 2 ) ( 一2 p ( z 2 ) v p ( z 2 ) ) v p ( z 2 ) 一4 p ( z 2 ) g ( z 2 ) ( 口2 一p 2 ( z 2 ) ) p ( z 2 ) + 2 ( 口2 一矿( z 2 ) ) ( 一2 p ( z 2 ) v p ( 茹2 ) ) v g ( z 2 ) + ( 0 2 一矿( z 2 ) ) 2 a g ( x 2 ) 0 得到 p 一饰z ) ) 2 令馨 0 一a ，且其p d c e i 曲率有界，“和”定义在整 个m a 上，则u 和t ，是调和函数。事实上 a v ：= g 玎v i i = 9 巧( 勺( e ( 口) ) 一r ：e k ( 秒) ) = 岛( 岛0 ) ) 一r ：e 扣) 2 e - ( e - ( 移) ) + e 2 ( e 2 ( ”) ) + e 3 ( e 3 ( ”) ) f 3 2 1 ) 一( 蛐1 ( e 3 ) + 忱l ( e 2 ) ) e l ( 口) 一( d 1 2 ( e 1 ) + 蛐2 ( e 3 ) ) e 2 ( t ，) 一( u 1 3 ( e 1 ) + u 2 3 ( e 2 ) ) e 3 ( 口) = e l ( e l ( ) ) + e 2 ( e 2 ( u ) ) + e 3 ( e 3 ( 口) ) 一言e l ( 1 0 9 a ) e l ( 口) 一2 v e 2 ( v ) 一；e 3 ( 1 0 9 a ) e 3 扣) 利用( 3 9 ) 我们得到 e l e l ( v ) = - e l e 3 ( u ) ， e 2 e 2 ( 口) = 2 v e 2 口一2 u e 2 珏= 2 v 3 6 u 2 口， ( 3 2 2 ) e 3 e 3 ( v 1 = e 3 e l ( ? 2 ) 利用( 3 2 1 ) 与( 3 1 4 ) 得到 t j = 一e ，e 3 ( u ) + e 3 e l ( 札) + 2 , 0 3 - 6 u ：v _ 互1 e 1 ( 1 0 9 啪( 口) 一2 口( 2 一2 ) 一五1 e 3 ( 1 。g 帕( 口) = e 3 , e l i ( “) + 2 v a - 6 u 2 , 0 - ；e - ( 1 0 9 a ) e t ( ) 一2 口( 口2 - - u 2 ) 一互1 e 。( 1 0 9 a ) e 。( ”) = o ( 3 2 3 ) 同理可得a u = 0 利用( 3 9 ) 和“= a v = 0 ，得到 ；( 牡2 + 钉2 ) = 0 v “0 2 + i i v 训1 2 ( e 2 ( u ) ) 2 + ( e 2 ( 钉) ) 2 = 4 u 2 ”2 + ( 口2 一? 2 2 ) 2 即有 ( u 2 + 钌2 ) 2 ( 钉2 + ? 2 2 ) 2 由引理1 ，乱2 + 钉2 = 0 ，即“= 口= 0 ，a 是沿着e 。的分布。考虑由 e 1 e 3 ) 张成 二维分布y ，因为u = 0 ，根据命题2 ，所以y 是对合分布设瑶表示y 过 点z 的极大积分子流形，设i ：l ：一m s 是包含映射，则，= fo i ：圮一即是 浸入记a ，和a 。分别表示，关于够( e 。) 和亭的形状算子因为= 移= 0 ，所 以u 1 2 = w 2 3 = 0 直接计算得， a 1 e l = 0 ，a 1 e 3 = 0 ，a 2 e 1 = 入e l ，a 2 e 3 = 一a e 3 ( 3 2 4 ) 因此，= ，o i ：醒一酽是g a u s s 曲率有界的极小曲面且e 。为常向量则f ( m 。) 可分解为黎曼直积l 。xr ，其中l 。是r a 中高斯曲率有下界的完备极小曲面 口 第四节对文献【1 】中定理1 的注记 文献【1 】中定理1 的部分条件，尤其是对数量曲率下界的假定似非必要本 节中，我们尝试通过计算舻中一些完备极小曲面来说明这一点 首先介绍极小曲面的w e i e r s t r a s s 表示 设m 是定向连通的流形，妒：m 一驴是浸入，在m 上每点附近取等温参 数( 钍，t ，) ，诱导度量可表示为 d s 2 = 2 f d z 2 其中z ；u + i v ，等温参数的转换必是全纯的，这样，m 上定向相同的等温坐 标图册给出m 的一个复结构，使m 成为r i e m a n n 面，妒是共形浸入 设妒又是极小浸入，z = 札+ i v 为共形坐标，引入记号 妒= 石d e = ( 警，警，警) = ( ， ( 4 1 ) 妒= i i = 【i ，i 丁，：i j = l 妒1 ，妒2 ，妒3 j ， 【4 。上， 其中 旦d z = 兰2 ( 旦o u 一 熹) 、 。踟” 显然有 妒2 = 妒；+ 谚+ 妒；= o ；( 4 2 ) 及 j 妒1 2 = 妒l 弓玎+ 妒2 西+ 妒3 i 石= f ；( 4 3 ) 且妒，妒。，p 。是z 的解析函数。妒依赖于共形坐标z 的选取，但妒出是m 上整 体定义的全纯微分而且 妒= 觑泓 ( “) 由( 4 3 ) 知道妒l ，妒2 ，l p 3 不能同时为0 ，令 叫2 妒l z 妒2 ，9 2 i v 1 - 。一i 妒2 妒3 】3 得到m 上整体定义的全纯微分叫和亚纯函数g ，它们满足：在g 的m 阶极点 处，w 有2 m 阶零点这样，极小浸入妒可以由全纯微分w = f d z 和亚纯函数 g 表示为： 炉；( 1 - 9 2 ) f 慨 仉= m ；( 1 + 9 2 ) f d z ， ( 4 5 ) ，： 仉= r e f g d z ，知 反过来，如果在黎曼面m 上给定了全纯微分w = f d z 和亚纯函数g 满足：( 1 ) w 无实周期，( 2 b 的m 阶极点处w 有2 m 阶零点则( 4 5 ) 定义了m 到驴的极 小浸入 这就是极小曲面的w e i e r s t r a s s 表示在此表示下，有 ( a ) 度量 d s 2 = a 2 i d z l 2 ，a 2 = i f l 2 ( 1 + i g l 2 ) 2 ；( 4 6 ) ( b ) 高斯曲率 k 一丽辞镰】2 ( 4 ，) ( e ) 单位法向量 2 赤( 2 r e g , 2 i m g ，计一1 ) ( 4 8 ) 表达式( c ) 的几何意义：如以丌：s 2 l ，0 ，o 一c 表示以原点为中心的单位球面 关于北极的球极投影，则g = 7 1 on 这说明g a u s s 映射的值分布和亚纯函数g 的值分布是一致的 下面我们对( 4 7 ) 做进一步的解释。 名= u + 妇，则岳= 孙1 瓦。一t 嘉) ，又九一l 仉= ( 妒1 ，妒2 ，m ) ，对z 求导： 去( 以。一妒。) 一i 妒t 。= ( 妒：，妒：，以) ， 破。+ 以。，= o 1 4 i 匮l h on = ( 群，错，槲z _ 1 ) ，则有 l = 一| = 三竺丛塑兰! 丛j - 兰写当孕竺号堕二螋 肚一型塑丝端等础盥 l ( 面d u ) 2 + 2 m 面d u 面d v + ( 面d v ) 2 = r e 一f d g z ( d m z l 2 ) e ( d 础u ，22 f d 删u d v + g 拶d v = 【掣一面d z l 2 令爱= j 塞k 妇，法曲率为 而车丽嗍一，塞 甜，= 丽 粘一 斋】2 丝o u t 丝o v = ( 妒1 ，妒2 ，蛳 。 、r - r ，r o ， 通过上式及其共轭可将甏，筹用协0 = 1 ，2 ，3 ) 表示出来，外积 凳v ra 鬈：，m ( 妒2 两，妒3 两，妒1 西) ) 瓦焉2 j m ( 妒2 两，妒3 两，妒1 西) ， 由( 4 5 ) 代入得 凳 鬈；幽与幽( 2 r e 9 ，2 1 m 川g i z 一1 ) 口口”4 一 _ 2 i g r i e 十 g ，研2 1 m 玎 g ，研i g f f 石- 1 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 上式表明，g 为单位法向量的球极投影。 我们通过w e i e r s t r a s s 表示来讨论一些例子。 例4 1 ：，= 1 ，g = 一i e 。，其中z = “+ i v ，相应的极小曲面为正螺面 因为d s 2 = ( 1 + e 2 u ) 2 ( 如2 + 如2 ) ，故( u ，口) 是等温参数，是正则曲面在舻中 任意紧致集的逆象在( 瓤，t ，) 平面内是紧致的，于是在( 仳， ) 平面上发散于无穷远 的曲线的象在舻中也发散于无穷远，从而此曲面是完备的。 通过计算高斯曲率为 k c e 2 u ， 主曲率为 c e 一钟“ k l 2 酉再平k 22 面醪呼 显然，。，都不为零，且h ，k 。有界 例4 2 ：，= t ，g = ：，其中z = “+ i v ，定义域为c o ，定义相应的极小 曲面为悬链面 因为d s 2 = ( 1 。再1 ) 2 ( d u 2 + 如2 ) ，从0 o ( 到印中的一一映射，在( u ，口) 平面中通往无穷远的直线映射在舻中也通往无穷远的直线上，所以曲面是完 备的。 通过计算高斯曲率为 一c 离 主曲率为 ”篇，也= 黼 显然，k - ，k 2 都不为零，且k 。，乜有界 例4 3 。，= 1 ，g = z ，其中z = u + 细，定义域为复平面c ，定义相应的极 小曲面为e n n e p e r 曲面 因为d s 2 = ( 1 + 钍2 + 伊) 2 ( 砒2 + d v 2 ) ，则( “，口) 是等温参数。在( u ，口) 平面上的 弧长的积分发散于无穷大，此曲面是完备的 通过计算高斯曲率为 k 2 百瓦寿砰， 主曲率为 k 1 矸去砰，如2 矸云砰 显然，k 1 ，k 2 0 ，且k l ，也有界 例4 4 ：，= 河1 ，g = 2 ，其中z = “十i v ，定义域为c b ，定义相应的极 小曲面为s c h e r k 曲面 s c h e r k 曲面的高斯映射不取四点( 即从球面到极射影的象为士1 ，氨四点) ， 因在各边界上z 一4 - ，故曲面是完备的 通过计算高斯曲率为 k = 巡生生筹筹半蛐，( 1 + 札2 + 伊) 4 主曲率为 业兰等等掣， 如= 型坐高芸篙尝坚业 经过判断，k 1 ，k 2 0 ，k ，k 2 有界。 例4 5 ：s c h w a r z 曲面 设x ：m r 3 ，m = 虿，以非平面的四边形为边界其中，塞o ，u = 9 ( f ) 可反解，令兄( “，) = 参揣，兄( u ) 为解析函数， r ( u ) 2 万i 云丽， u = 一万1 + i + 讵e 静，吾口三 计算得 1 - 1 4 w 4 + w s = 一4 i e i o 扣( 日) ， 圣( 口) = 2 1 2 8 ( c o s 口+ s i n 口) + 2 8 s i n 2 p + 8 ( c o s 3 8 一s i n 3 8 ) 一2 c o s 4 8 通过计算高斯曲率为 主曲率为 k ：等簪 ： 坐剑 ( s i n p + c o s p 一2 ) 4 c 、西( p ) k l2 面矿盏习 = 高笔 经过计算得到在s c h w a r z 曲面各顶点的高斯曲率为0 ，主曲率是有界在此曲 面上有无穷多条直线，亏格是无穷大 例4 6 ：为获得g a u s s 曲率无界的完备极小曲面，在极小曲面的w e i e r s t r a s s 表示中，我们取，= 1 ，g = e r ，其中z = r c o s o + i r s i n 0 。 因为d s 2 = ( 1 + e 2 r 2 “神) 2 ( d r 2 + r 2 d p 2 ) ，故( r ，口) 是等温参数，是正则曲面。在 ( n 口) 平面上发散于无穷远的曲线的象在在印中也发散于无穷远，所以曲面是 完备的。 通过计算高斯曲率为 一2 r 2 一”r 2 儿2 百再妒磊邓， 主曲率为 e r e r 2 卵 甩1 2 石再丽丽甲 上式中c 为常数。显然，当p = 吾，r o c 时，k l ( r ， ) 是无界的也就是说，高 斯曲率不是有界函数 注记：更一般的是，在极小曲面的w e i e r s t r a s s 表示中，我们令，= 1 ，g = e ”， 其中k z 计算得高斯曲率为 k = 币_ c e i 2 r kc 酽o s k 丽o r 2 ( k 矿- 1 ) ， 】8 丌一3 口 m i i 。 叭叫 足满 叭式项 多 角 三 显然，当p ：鑫，r o c 时，高斯曲率不是有界函数 我们相信可以找到大量高斯曲率是无界的极小曲面，所以对数量曲率下界 的假定是不必要的 1 9 参考文献 【1 】t h a s a n i s ，a s a v a s - h a l i l a ja n dt v l a c h o s m i n i m a lh y p e r s u r f a c e sw i t hz e r og a u s s - k r o n e c k e rc u r v a t u r e i l l i n o i sj o u r n a lo fm a t h e m a t i c s ，4 9 ( 2 0 0 5 ) ，5 2 3 - 5 2 9 【2 】j p e r e z ，a r c s t h es p a c eo fc o m p l e t em i n i m a ls u r f a c e sw i t hf i n i t et o t a lc u r v a t u r ea s l a g r a n g i a ns u b m a n i f o l d t r a n s a c t i o n so ft h ea m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y , 3 5 1 ( 1 9 9 9 ) ， 3 9 3 5 - 3 9 5 2 1 3 】m d a j c z e r ，d g r o m o l l g a u s sp a r a m e t d z a t i o n sa n dr i g i d i t y p e c t 8o fs u b m a n i f o l d s j o u r n a lo fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , 2 2 ( 1 9 8 5 ) ，1 - 1 2 【4 】n n a d i r a s h v i l i h a d a m a r d 8a n dc a l a b i y a u sc o n j e c t u r e so nn e g a t i v e l yc u r v e da n dm i n - i m a ls u r f a c e s i n v e n t i o n e sm a t h e m a t i c a e ，1 2 6 ( 1 9 9 6 ) ，4 5 7 - 4 6 5 【5 】f j l o p e z ，f m a r t i n c o m p l e t em i n i m a ls u r f a c e si nr 3 p u b l i c a t i o