（基础数学专业论文）riemann对称空间的极大秩全测地子流形.pdf

a b s t r a c t ( c h i n e s e ) 全测地子流形是微分几何的重要研究课题。对称空间中包 含大量的全测地子流形。本文致力于研究对称空间的极大秩全 测地子流形的分类。 论文的第一章是简要回顾了全测地子流形的有关概念及研 究该类子流形的几何意义；回顾了黎曼对称空间的有关概念和 全测地子流形在黎曼对称空间中的结构特点。 第二章分两部分，第一部分是日本学者i k a w a ，0 和t a s a k i ， h 给出了正规黎曼对称空间的极大秩全测地子流形的局部分 类。第二部分是本文对于一般的对称空间的极大秩全测地子流 形的局部分类。在这部分，我们将问题转化成一种所谓v 一极大 的非紧李代数的分类，从而问题得以解决。 第三章对极大秩全测地子流形做整体分类。我们知道，局 部同构的对称空间相互之间不一定同胚，而且它们的几何特征 有众多不同。例如在局部分类下把球面和射影空间等同起来了， 故需要一种几何上的整体分类。该部分采用的方法是计算子空 间的基本群，从而从整体上得到了极大秩全测地子流形的分类。 第四章是有关李三系的些代数性质。 a b s t r a c t ( e n g l i s h ) t h et h e o r yo ft o t a l l yg e o d e s i cs u b m a n i f o l d si nr i e m a n n i a nm a n i f o l di sa ni m p o r t a n t s u b j e c ti nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y t h em a i ng o a lo ft h i st h e s i si s a b o u tt h ec l a s s i f i c a t i o n o ft o t a l l yg e o d e s i cs u b m a n i f o l d sw i t hm a x i m a lr a n ki nr i e m a n n i a ns y m m e t r i cs p a c e s - i tc o n t a i n sf o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h ea u t h o rh a sr e c a l l e ds o m ec o n - c e p t sa s s o c i a t e dw i t ht h er i e m a n n i a ng l o b a l l ys y m m e t r i cs p a c ea n dt o t a u yg e o d e s i c s u b m a n i f o l d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h ef i r s ts e c t i o ni sa b o u tt h el o c a lc l a s s i f i c a t i o no ft o t a l l y g e o d e s i cs u b m a n i f o l d sw i t hm a x i m a lr a n ki nn o r m a ls y m m e t r i cs p a c e s ，w h i c hi s t h e r e s u l to f 【1 】；t h es e c o n ds e c t i o ni sa b o u tt h el o c a lc l a s s i f i c a t i o no ft h et o t a l l yg e o d e s i c s u b m a n i f o l d sw i t hm a x i m a lr a n kf o rt h eg e n e r a ls p a c e s c l a s s i f i c a t i o ni nc h a p t e r2i sl o c a l s oi nt h et h i r dc h a p t e r ，t h ea u t h o rh a sg l o b a l l yd e t e r m i n e dt h et o t a l l yg e o d e s i cs u b m a n i f o l dw i t hm a x i m a lr a n ki nr i e m a n n i a n s y m m e t r i cs p a c e f o rt h ee s s e n t i a ld i f f e r e n c eb e t w e e nt h en o n d i f f e o m o r p h i ct o t a l l y g e o d e s i cs u b m a n i f o l d s ，w h i c h a r et h es a m ec l a s si na l g e b r a ，i st h e i rf u n d a m e n t a l g r o u p s ot h em e t h o do fc l a s s i f i c a t i o ni sb yc o m p u t i n gt h ef u n d a m e n t a lg r o u p t h e r ea r e t w op a r ti nt h i r dc h a p t e r f i r s t l y , t h ea u t h o rh a sg l o b a l l yc l a s s i f yt h et o t a l l yg e o d e s i c s u b m a n i f o l dw i t hm a x i m a lr a n ki nn o r m a ls y m m e t r i cs p a c e ；s e c o n d l y ，f o rt h eg e n e r a l s i t u a t i o nt h eg l o b a lc l a s s i f i c a t i o nw a sg i v e n t h ef o r t hc h a p t e ri sa b o u ts o m e s i m p l er e l a t i o n s b e t w e e nt h el i et r i p l es y s t e m sa n d s y m p l e c t i ct e r n a r ya l g e b r a s a c k n o w l e d g e m e n t s 1w o u l dl i k et ot h a n kh o uz i x i n ，m ys u p e r v i s o r ，f o rh i sm a n ys u g g e s t i o n s a n dc o n s t a n t s u p p o r td u r i n gt h e s ey e a r s ia m a l s ot h a n k f u lt op r o f e s s o rl i a n gk e f o rh i sg u i d a n c e t h r o 醒ht h ec h a o sa n dc o n f u s i o n t h e ys h a r e dw i t h m et h e i ri m m e n s ek n o w l e d g ea 1 1 d i d e a 8 p r o 蛔s o rl i a n gp r o v i d e dm em a n y o fh i sr e s e a r c hp r o d u c th e l pm ec o m p l e t e t h i 8 d a p e rf a v o r a b l y p a r t i c u l a r l y ，t h ec h a p t e r 2a n d3o ft h i st h e s i sw e r ec o m p l e t e du n d e 。 t h eh e l po fp r o l i a n g ip a r t i c u l a r l yw i s ht ot h a n kd o c t o rz h uf u h a i ，h es h a r em e w i t hw h a th ek “0 w 8 d u r i n gu s u a lw o r k s h o p sa n dt t mc o m p o s i n go f t h i bt h e s i s p a r t i c u l a r l y , d u r i n gt h e c o u r s eo fc o r n p l e t i o nt h ec h a p t e r2 ，h i sm a n y i d e a l sa n dt h o u g h t w a yb r i n gb r i g h t n e s 8 t oi n ea st of u l f i l lt h i sp a r t s p e c i a lt h a n k sg o t op r o f e s s o rz h a n gz h i x u e ，w h oa r o u s e dm y i n t e r e s ti nl i ea l g e b r a ， f o rh i se n c o u r a g e m e n ta n ds u p p o r to r e rt h e s ey e a r s h i sc o u r s eh a v ea l w a y sg e n e r a t e d ag r e a te x c i t e m e n ta n de n t h u s i a s mf o rt h es u b j e c t m a n yp e o p l eg e n e r o u s l yd e v o t e db r i g h t n e s sa n d e f f o r tt oh e l p i n gl t l e ie x p r e s sm y t h a n k st om yc o m p a n i o nk a n gy i f a n ga n dc h e nz h i q if o r t h ep l e a s e dc o o p e r a t i o n f i n a l l y 1w o u l dl i k eb et h a n k f u lt om yf a m i l y , w i t h o u tt h e i rl o v ea n ds u p p o r t 1w o u l d n e v e rs t a n dt h et r i a l n ij u n n a c h a p t e r1 t a l l yg e o d e s i cs u b m a n i f o l d i n 1 r 、 k l e m a n n l a n s y m m e t r i cs d a c e i nt h i sc h a p t e r ，w eh a v er e v i e w e ds o r t i ec o n c e p t sa s s o c i a t e dw i t ht h et o t a l l yg e o d e s i c s u b m a n i f o l da n dl ： i e m a n n i a ng l o b a l l ys y m m e t r i cs p a c e s t h e nr e c a l l e dt h es t r u c t u r e o ft o t a l l yg e o d e s i cs u b m a n i f o l da n dt h ea l g e b r a i cc o r r e s p o n d i n g t h er e s u l t sl i s t e di n t h i ss e c t i o nw e r ec i t e df r o mf 2 】2 a n d 【4 4 1 1 c o n c e p t sa s s o c i a t e dw i t ht h et o t a l l yg e o d e s i cs u b m a n i f o l d l e t mb ea g 。m a n i f o l d ac l w e i n m i sa r e g u l a r m a p p i n go f a n o p e n i n t e r v a l i c r i n t om l e t7 ：t 7 ( t ) i sc a l l e dag e o d e s i ci ft h ef a m i l yo ft a n g e n tv e c t o r s ( t ) i s p a r a l l e lw i t hr e s p e c tt o ，y l e td 1 ( m ) d e n o t et h es e to fa l lv e c t o rf i e l d so nm l e tvd e n o t et h ea r l e n e c o n n e c t i o no fm i fmcmi sas u b m a n i f o l do fm ，t h e nt h ei n d u c e dc o n n e c t i o no n mi sd e n o t e db yv p a r t i c u l a r l y , i fmi sar j e m a n n i a nm a n i f o l d 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l l e dr i e m a n n i a ns y m m e t r i cs p a c e w s y m m e t r i c s p a c e o rs h o r t s y m m e t r i cs p a c et h e o r y , h o w e v e r ，h a sm e r g e dw i t ht h et h e o r yo fl i eg r o u p s 。l e t x ( m ) d e n o t et h es e t o fa l li s o m e t r i c so hm t h e ni ( m ) h a sa na n a l y t i cs t r u c t u r e c o m p a t i b l ew i t ht h ec o m p a c to p e nt o p o l o g yi nw h i c hi t i sal i et r a n s f o r m a t i o ng r o u p o f m p r o p o s i t i o n1 5 俐l e tm b ear i e m a n n i a ng l o b a l l ys y m m e t r i cs p a c ea n dp oa n y p o i n ti nm i jg = i 口t m 、t h ei d e n t i t yc o m p o n e n to fi t m 、，a n dk i st h es u b g r o u po f gw h i c hl e a v e sp df i x e d ，t h e nki sac o m p a c ts a b g r o u po yt h ec o n n e c t e dg r o u pga n d c ki sa n a l y t i c a l l yd i f f e o m o r p h i ct om u n d e rt h em a p p i n g ：g k _ g p o g g 簿t h em a p p i n ga ：g _ s p ，g s p 。i sa ni n v o l u t i v ea u t o m o r p h i s mo 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e o d e s i cs u b m a n i f o l dw i t hm a x i m a lr a n k i nr i e m a n ns y m m e t r i cs p a c e s m ow i t ht h es u b s p a c epo l t h el i ea l g e b r ao ，( 材) ，l e tp i b eal i et r i p l es y s t e mc o n t a i n e d i np p u tm t5 e x p p l t h e nm l h a san a t u r a ld i f f e r e n t i a b l es t r u c t u r e 机w h i c hi ti sa t o t a l l yg e o d e s i cs u b m a n i f o l do ms a t i s f y i n gm l o = p 1 o nt h eo t h e rh a n d , 薅m li s8t o t a l 垮g e o d e s i cs u b m a n i f o l do lm a n d0 m t r t h e n t h es u b s p a c ep 1 = m 1 0o pi sal i et r 咖l es y s t e m i nf a c t ，i fp li sal i et r i p l es y s t e mo fp t h e n9 l = p 1 + l p i p l i sas u b a l g e b r a o fg l e tg 1d e n o t et h ea n a l y t i cs u b g r o u po fgw i t hl i ea l g e b r ag l ，l e tm 1d e n o t e t h eo r b i tg 1 oa n dl e 所d e n o t et h es u b g r o u po fg ll e a v i n gt h ep o i n tof i x e d t h e n m 1 = e x p p l = g l k 1i sat o t a l l yg e o d e s i cs u b m 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，w en e e do n l yt oc o n s i d e rt h es e to fa l lt o t a l l yg e o d e s i cs u b m a n i f o l d sc o n t a i n i n g 0 = e k c k = m 。a s s u m ep l ，口l 。p 1 + p 1 ，p l 】= p l + e 1a n dg 1 ，k 1a sa b o v e t h e ng ia c t sa l s ot r a n s i t i v e l yo nm 1 s o m e t i m e s ，9 1i sn o tam a x i m a ll i e s u b a l g e b r ao f g ，b u tt h em a x i m a ls u b a l g e b r ao f gc o n t a i n i n gg lm u s tb ef ；1 + q ( 9 1 ) o nt h ec o n t r a r y , i f9 1 = e 1 + p lb eam a x i m a l s u b a l g e b r ao fg ，t h e np 1 i sn o tn e c e s s a r yt ob eam a x i m a l l i et r i p l es u b s y s t e mo f p f o rc o n v e n i e n c e ，w eg i v et h ef o l l o w i n gd e f i n i t i o n d e f i n i t i o n1 9 w es a yt h a tam a x i m a ll i es u b a l g e b r a 目1 = e 1 + p 10 ，gi sv - m a x i m a l i ，p 1 i sam a x i m a ll i et r i p l es u b s y s t e m 谚p o b v i o u s l y ，t h es e to fm a x i m a lt o t a l l yg e o d e s i cs u b m a n i f o l d so fm a r ei no n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c ew i t ht h es e to fv - m a x i m a ll i es u b a l g e b r a so f9 1 c h a p t e r 2 l o c a lc l a s s i f i c a t i o no ft h e t o t a l l y g e o d e s i cs u b m a n i f o l d w i t h m a x i m a lr a n ki nr i e m a n n s y m m e t r i cs p a c e s i nt h i ss e c t i o n ，w es t u d yt h el o c a lc l a s s i f i c a t i o ni na l g e b r ao ft h et o t a l l yg e o d e s i cs u b m a n i f o l dw i t hm a x i m a lr a n ki nr i e m a n n i a ns y m m e t r i cs p a c e s w ed e v o t e do u r s e l v e s t oc l a s s i f y i n ga l l v - m a x i m a l - $ 1 t h er e s u l t sa b o u tt h en o r m a ls y m m e t r i cs p a c e sc o m e f r o mi k a w a ，o a n dt a s a k i ，h 【1 】i t sw e l lk n o w nt h a tt h el o c a lc l a s s i f i c a t i o no fr i e - m a n n s y m m e t r i cs p a c e si sr e d u c e dt ot h eo n eo fn o n c o m p a c tr e a ll i ea l g e b r a h o w e v e r b yt h ed u a l i t yb e t w e e nt h en o n c o m p a c ta n dt h ec o m p a c t ，w ec a ne a s i l yg e tt h ec l a s s i - f i c a t i o no ft h ec o m p a c tt y p e i nt h ef o l l o w i n g ，w ef i r s t l yg i v es o m eg e n e r a lr e s u l t sf o r r i e m a n ns y m m e t r i c s p a c e so ft h en o n c o m p a c tt y p e 2 1 p r e l i m i n a r ya n dg e n e r a lr e s u l t s l e tm = e l kb ear i e m a n n s y m m e t r i cs p a c eo fn o n c o m p a c tt y p e l e m m a 2 1 虿0 m lnm 2 ，t h e nm xa n dm 2a r ec o n j u g a t e du n d e rgi ，a n do n l yf ， t h e ya r ec o n j u g a t e du n d e rk d e n o t eb yp 1a n dp 2t h et a n g e n ts p a c ea t0o fm 1a n d 尬，r e s p e c t i v e l y t h e np1 a n d p 2a r ec o n j u g a t e du n d e rk f u r t h e r m o r e j p la n dp 2h a v eac o m y n o nm a x i m a la b e l i a ns p a c ea ，t h e np 1a n d p 2 a r ec o n j u g a t e du n d e r n k ( a ) 5 6t o t a l l yg e o d e s i cs u b m a n i f o l dw i t hm a x i m a lr a n ki nr i e m a n ns y m m e t r i cs p a c e s 尸m “o n l y t h el a s ta s s e r t i o nn e e d st op r o v e l e t 舟ks u c ht h a tk p l = p 2 - t h e n k ai sa l s oam a x i m a la b e l i a ns n b s p a c ei np 2 s ow eh a v eh k 2 s u c ht h a tk l ( k a ) = d u s i n gk l ki n s t e a do f k ，w e c a ng e t 七耳( o ) 口 ar e a ls i m p l el i ea l g e b r ai sc a l l e dt y p eii fi t i sar e a lf o r mo fac o m p l e xs i m p l e l i ea l g e b r aa n dt y p ei ii fi t i sac o m p l e xs i m p l el i ea l g e b r a l e tg = p + pb ear e a l s i m p l el i ea l g e b r ao ft y p ei l