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d t 整环和环上的。一，b - ，c - 算子 基础数学专业 研究生周凤杰指导教师王芳贵教授 论文摘要：本文所指的环是有单位元的交换环首先作者用通常整环上的 星型算子来刻画d t 整环给出了d t 整环的等价条件，即当兄是d t 整环时， 当且仅当冗的每个有限生成理想是v 一理想接着证明了，当冠是u 一凝聚整环 时，则r 是d t 整环，当且仅当对于r 的任意乘法集s ，r s 是d t 整环；当且仅 当对于r 的任意素理想p ，r p 是d t 整环；当且仅当对于r 的任意极大理想m ， 局汀是d t 整环通过例1 1 1 ，例1 1 2 说明t w 整环，d w 整环不一定是d t 整环 在m i l n o r 方图兄d t f 中，证明了d t 整环与t w 整环的等价性，此外特别证明了 当r d t f 是i _ 型m i l n o r 方图时，若兄是d t 整环，则d ，t 也是d t 整环其次从 零化子入手，在一般环上引入了a 一，b - ，c - 算子，在此基础上定义了a 一，b - ， c - 理想证明到若，是r 的有限生成理想，s 是r 的乘法集，贝j j ( a n n i ) s = a n n l s ， 以及( 厶) s ( ( i o ) s ) 口= ( i s ) 证明了j r 的每个极大理想是c - 理想；当且仅 当e f ( r ) = f 兄1 - ；当且仅当兄的每个理想是c - 理想最后着重研究了a 一环，b - 环， b a - 环证明了如果r 是0 - 环，那么兄是半局部环；如果r 满足q 一性质，s 是兄的任意 乘法集，且r 是b - 环，那么r s 是b 环论证了r 是b a 环，j 是r 的理想，n 1 只包 含在有限多个极大6 _ 理想中 关键词：u 一理想 t 一理想w 一理想m i l n o r 方图零化子 n 一算子6 - 算子 c - 算子p 一性质q 一性质 第i 页共3 7 页 d td o m a i n sa n da - ，b - ， w r i t e r ：z h o uf e n g j i e c - o p e r a t i o ni nc o m m u t a t i v e r l n g s b a s i cm a t h e m a t i c s s u p e r v i s o r ：w a n gf a n g - g u i a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，t h er i n gc o n c e r n e di sc o m m u t a t i v er i n gw i t hi d e n t i t y e l e m e n t f i r s t ，w ec h a r a c t e r i z ed td o m a i n sb yu s i n gg e n e r a ls t a ro p e r a t i o n s w bi l l u s t r a t et h a tri sd td o m a i n i fa n do n l yi fe v e r yi d e a lo fri sv - i d e a l w h e nri sv c o h e r e n t ，ri sd td o m a i n ，i fa n do n l yi ff o re v e r ym u l t i p l i c a t i v e s e tsi nr ，r si sd td o m a i n ，i fa n do n l yi ff o re v e r yp r i m ei d e a lpi nr ， r pi sd td o m a i n ，i fa n do n l yi ff o re v e r ym a x i m a li d e a l 4i nr ，兄mi s d td o m a i n t h e nb yc i t i n ge x a m p l e s w ec l a i mn e i t h e rt wd o m a i nn o r d wd o m a i ni sd td o m a i n u n d e rm i l n o rc o n s t r u c t i o n w em a k eo u tt h e e q u i v a l e n c eb e t w e e nt w d o m a i na n dd wd o m a i n m o r e o v e r ，w ep r o v et h a t o nt h ec o n d i t i o no fm i l n o rc o n s t r u c t i o n ，i fri sd td o m a i n ，da n dta r e b o t hd td o m a i n s e c o n d ，w ei n t r o d u c ea 一，b - ，c - o p e r a t i o nv i aa n n i h i l a t o r l e tsb eam u l t i p l i c a t i v es e to fra n dii saf i n i t e l yg e n e r a t e di d e a lo fr w e p r o v et h a t ( a n n i ) s = a n n s ，a n d ( 厶) s ( ( 厶) s ) o = ( 如) 。b e s i d e s ，a n y m a x i m a li d e a lo fri sc - i d e a l ，i fa n do n l yi fe f ( r ) = 兄) ，i fa n do n l yi fe v e r y i d e a lo fri sc - i d e a l f i n a l l y ，w ec o n c e n t r a t eo ns t u d y i n ga r i n g ，b r i n g ， b a - r i n g w be x p l a i nt h a ti fr i sa - r i n g ri ss e m i l o c a l r i n g w h e nrh a v e q p r o p e r t ya n dri sb - r i n g ，冗si sa l s ob - r i n g m o r e o v e r ，w ei l l u s t r a t et h a t i fri sb a - r i n ga n dii sa ni d e a lo fr ii sc o n t a i n e di no n l yf i n i t e l ym a x i m a l b - i d e a l so fr k e yw o r d s ： f r a c t i o n a li d e a lv - i d e a lt - i d e a lw - - i d e a lm i l n o rc o n s t r u c t i o na n n i h i l a t o r n o p e r a t i o nb - o p e r a t i o nc - o p e r a t i o np p r o p e r t y q p r o p e r t y 一9 2 8 2 3 7 四川师范大学学位论文独创性及使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师王羞贵教援指导 下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：己提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而弓 起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥有 学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷版 和电子舨学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索；2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作 为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 论文作者签名，胜 如s 年s 具幅b 部分符号说明 o ( ) ( ) ( ) n u c ( f ) h t p d i m ( r ) t - d i m ( r ) | 模的张量运算 集合的包含关系 集合的真包含关系 大于或等于( 小于或等于) 不等于 元素与集合的属于关系 集合的交 集合的并 厂的容度 素理想p 的高度 环r 的k r u l l 维数 整环蚓拘乒维数 去掉某集合或元素 第i v 页，共3 7 页 引言 上世纪3 0 年代，w 如r d e n ，a r t i n 和k r u l l 在整环中研究了d i v i s o r i a l 理想， k r u l l 在f 1 7 1 中将其定义为v 一理想v 一理想概念的提出，对于后来乘法理想理论 的发展起了重要作用此后在6 0 年代，h b a s s 2 1 ，e m a t l i s 3 各自用不同的方 法描述了每个理想是v 一理想的这类整环根据s b a z z o n i $ f l l s a l c e 在f 1 8 1 ，f 1 9 1 ， 现在这类环称为d i v i s o r i a l 整环 1 9 6 8 年w h e i n z e r 在 4 】中得到了如下结果： 当r 是d i v i s o r i a l 整环时：r 的每个非零素理想包含在唯一的极大理想中：r 中的 非零元素包含在有限多个极大理想中；对于兄的素理想p ，如果r 是d i v i s o r i a l 整 环，那么r p 也是d i v i s o r i a l 整环随着整环中星型算子基本理论的创立和发 展，经过r g i l m e r 1 1 ，p j a f f a r d 2 0 等许多数学家的努力，整环中星型算子基 本理论及其应用研究已经取得了重要的进展 众所周知，整环中每个v 一理想是乒理想，每个乒理想是w 一理想，但反过来 未必成立因此在w h e i n z e r 4 的基础上，e h o u s t o n 和m z a f r u l l a h 于1 9 8 8 年， 在8 1 中定义了t v 整环，即每个亡一理想是v 一理想的整环，证明了t v 整环的每 个t 一理想包含在有限个极大乒理想中，并且给出了t v 整环与一些特殊整环 间的关系在2 0 0 3 年，a m i m o u n i 研究了每个w 一理想是t 一理想的整环，记 为t w 整环5 1 给出了当r 是 一凝聚整环时，n r 是t w 整环，当且仅当对 于励拘任意乘法集s ，r s 是t w 整环接着在2 0 0 5 年，a m i m o u n i 描述了每 个理想是w 一理想的整环，记为d w 整环f 2 1 1 证明了对于冗的任意极大理 想m ，若r m 是d w 整环，则r 是d w 整环，且当r 是u 一凝聚整环时，等价性成 立随后s e lb g h d a d i 和s g a b e l l i 于2 0 0 5 年在f 6 1 中刻画了w d i v i s o r i a l 整环，即 环r 中每个w 一理想是v 理想的整环该文章推广了在f 2 2 1 ，2 3 1 中n o r t h e r i a n 整 环和p v m d 整环的结果综上所述，作者发现到目前为止还没有文章来关 注每个理想是t 一理想的整环于是本文第一章展开了对每个理想是t 一理想 的这类整环的讨论，从而丰富了整环上木一理想理论在本章里，我们把这 类环记为d t 整环首先作者给出了d t 整环的等价刻画，即当r 是d t 整环 时，当且仅当翮拘每个有限生成理想是口一理想接着证明了，当r 是v 一凝聚 第l 页，共3 7 页 弓；言 整环时，则兄是d t 整环，当且仅当对于同拘任意乘法集s ，忍，是d t 整环；当 且仅当对于r 的任意素理想p ，r p 是d t 整环；当且仅当对于r 的任意极大 理想m ，r m 是d t 整环在此基础上推出，兄是p v m d 整环，s 是r 的乘法 集，则凡是d t 整环，当且仅当兄是p r f i f e r 整环；以及d e d e k i n d 整环是完全整 闭的d t 整环等结论由星型算子的基本性质，容易看出d t 整环既是t w 整 环，又是d w 整环，在本章里，作者通过例1 1 1 说明t w 整环不一定是d t 整 环同时由f 7 】即例1 1 2 ，作者说明虽然d t 整环是d w 整环，但反之结论未必 成立正因如此，我们有必要对d t 整环做单独的研究本章第二节，主要是 在m i l n o r 方图兄d 丁f 中，证明了d t 整环与t w 整环的等价性，此外特别证明 了当r d t f 是i _ 型m i l n o r 方图时，若兄是d t 整环，则d ，t 也是d t 整环，进 而充实了d t 整环的内容 交换环理论中，整环是一类很特殊的环，这是因为零元素是整环的唯 一的零化子随着星型算子工具的引入，通过对整环上u 一理想，乒理想， w 一理想的研究，学者们在整环上得到许多很好的结果遗憾的是星型算 子作为整环的研究工具，在具有非零零化子的一般环上体现不出它的有 力作用1 9 8 9 年，m r o i t m a n 在 1 5 】中证明了：设d 是整环，是d 的理想， z 是，中的任意非零元，则，是d 的v 一理想，当且仅当i x d 是d x d 的零化子 1 9 9 0 年d c o o t a $ l l m r o i t m a n 在f 1 6 】中证明了如下定理：r 是环，那么存在整环d ， 以及d 的非零元x ，使得d x d 竺r 由此我们看到，零化子为我们对一 般环上理想的研究，提供了一个新的途径作者受此启发，在第二章里， 从零化子入手，在一般环上定义了a 一，b - ，c - 算子，描述了一般环上的a 一， 6 - ，c - 理想的一些性质证明了若，是r 的有限生成理想，s 是r 的乘法集， 贝l j ( a n n x ) s = a n n l s ，本文的许多证明中都会用到这一重要结果指出如果 对于任意i ，厶都是小理想( b - 理想) ，且n 厶0 ，则n 厶也是0 - 理想( 6 - 理想) ；同 时说明 厶 是环冗的6 - 理想的定向集簇，则u 五也是6 - 理想此外论证了若是 i 环翮拘6 - 理想，则存在r 的的包含的极大6 _ 理想；吲约极大6 理想是素理想在第 三节中，我们得到设，是尉拘理想，若对翮约每个极大理想m ，k 是的c _ 理 想，则j 是翮拘c - 理想；r 的每个真c _ 理想包含在一个极大c 理想中，且r 的极 大c - 理想是素理想；给出了下面的等价描述：r 的每个极大理想是c - 理想，当且 f e n g j i e a p r i l q l 6 3 c o m 第2 页，共3 7 页 毕业论文 引言 仅当e 厂( r ) = f r ，当且仅当励拘每个理想是c _ 理想从而在一般环上用一套 新的算子理论研究了一般的交换环 整环理论中，学者们已经对t v 整环，t w 整环，d w 整环等做过研究， 而本文第一章又讨论了d t 整环沿着这个思路，作者在第三章运用一般环 上的a 一，b ，c - 算子理论，主要描述了每个理想是a 一理想的环，每个6 - 理想 是a 一理想的环，以及每个理想是6 - 理想的环而事实上，对于每个理想是c - 理 想时的环，本文定理2 3 8 已做了等价性的刻画论证了如果冗是a 一环，那么r 是 半局部环给出r 有零化子升链条件，当且仅当r 的每个非零理想是6 - 有限型 的，当且仅当r 的每个弘理想的非空集合有极大元论证了如果尉镌足q 一 性质，s 是r 的任意乘法集，若冗是b _ 环，那么r s 是b _ 环证明了r 是a 一环， n r x 是0 - 环；r 是b _ 环，n r x 是b 环；r 是h 环，则r 1 是h 一环最后论证 了冗是b 拥：，是r 的理想，则，只包含在有限多个极大b 理想中 f e n g j i e a p r i l 1 6 3 c o m第3 页，共3 7 页毕业论文 第一章d t 整环 在本章中，环r 是有单位元的交换整环，k 是翮拘商域设a 是k 的r 子 模，若存在d r 使d a r ，则称a 是r 的分式理想记f ( 兄) 是兄的非零分式 理想的集合，厂( r ) 是兄的非零有限生成分式理想的集合在f ( r ) 上定义映 射丰：a a + ，满足以下条件： 对任何a k o ，及任何a ，b f ( r ) ，有 ( 1 ) ( n ) + = ( a ) ，( a a ) + = a a + ； ( 2 ) a a + ，若a b ，则a + b + ； ( 3 ) ( a ) + = a + 这样的映射称为冗上的星型算子若a = a + ，则称4 为：i ( 一理想若存 在b f ( r ) ，使得a + = b + ，则称a 是兄的有限型木一理想设a 是k 的子模， 定义a - 1 = z k x a r ) ，特别地，r - 1 = r 如果j f ( r ) ，j _ 1 = r ， 则称j 是刷拘g l a z 一、c o n c e l o s 理想( 简称为g v - 理想) ，记j g v ( r ) 设a f ( r ) 定义映射w ：a _ a = z k j x a ，j g y ( r ) 是兄上的星型算 子，则称该算子为w 一算子在f ( r ) 上映射定义为a _ a = ( a - 1 ) 1 是冗上 的丰一算子，则称该算子为v 一算子若a f ( r ) ，a = a 。，则a 是引均v 一理想 在r 上的t 一算子如下定义，a t = u 工f ，a ，j f ( r ) ) 显然若a f ( r ) ， 则a = a 。对r 上的任意：i c 一算子，若a f ( r ) ，则有a 如分式 理想a f ( r ) 称为术一可逆的，若存在b f ( r ) 使得( a b ) + = r ，或等价 t - ( a a _ 1 ) + = r 关于一般的木一算子的详细讨论，可参见文f 1 1 上世 纪六十年代h b a s s 2 】，e m a t l i s 3 和w h e i n z e r 4 】已经详细研究了每个理想 是 一理想时的整环2 0 0 1 年a m i n o u n i 在 5 】中讨论了每个w 一理想是t 一理想的整 环，记为t w 整环接着在2 0 0 5 年a m i n o u n i 又讨论了每个理想是w 一理想的整 环，记为d w 整环，指出了当r 是整环时，对于r 上的任意极大理想m ，如 果r m 是d w 整环则兄也是d w 整环，且当r 是u 一凝聚整环时等价性成立此 外b 吐d a d i 和s g a b e l l i 于2 0 0 5 年在 6 】中刻画了w d i v i s o r i a l 整环在上述基础上， 本文研究了d t 整环在v 一凝聚整环下局部化的情形，并且在拉回图中，研究 第4 页，共3 7 页 ， 第一章d t 整环 t d t 整环与一些特殊整环的关系众所周知，赋值环和p r i i f e r 整环都是d t 整 环，而在t v 整环下的d t 整环实际上满足d = w = t = v ，所以在m o r i ，s m ， k r u l l 和d e d e k i n d 整环下的d t 整环中，d = w = t = u 也成立 1 1u 一凝聚整环中的d t 整环 定义1 。1 1 兄是整环，如果兄的每个理想是t 一理想，则r 称为d t 整环 定理1 1 1r 是d t 整环，当且仅当r 的每个有限生成理想是u 一理想 证明当r 是d t 整环，结论显然反之，设，是蚓拘任意非零理想， 五是，的有限生成子理想，而j = u 五= u ( j d t = u ( 以) 。，于是，是亡一理想 定义1 1 2 整环兄称为v 一凝聚整环，是指对尉约任意两个拟有限分式理想， 了理想，有厶n 山是拟有限的 定理1 1 2 设r 是口一凝聚整环，以下条件等价： ( 1 ) r 是d t 整环； ( 2 ) 设s 是矧拘任意乘法集，n r s 是d t 整环； ( 3 ) 设尸是冗的任意素理想，则冗p 是d t 整环； ( 4 ) 设m 是r 的任意极大理想，贝i j r m 是d t 整环 证明( 1 ) ( 2 ) 设，是r s 的非零理想，则在r 中存在一非零理想a 使得i = a s 由于冗是v 一凝聚整环，r 是d t 整环，故由 6 厶= ( a s ) 。= ( a 。) s = a s = i ( 2 ) j ( 3 ) 号( 4 ) 显然( 4 ) 专( 1 ) 设t t ，v l 是r m 上的亡_ ，u 一算子，设，是司拘 非零理想且z i t ，则存在，中的有限生成子理想j ，使得z z ，因为j = nk ，故只须证z i m 若，垡m 那么zer m = i m ；若，m ，那么 m e m a x ( r ) 由z 五，得z j _ 1 r ，故有z ( j - 1 ) m = z ( 山) - 1 r m ，所以z ( j m ) 御，= ( 如) 。，= 山k 推论1 1 1 设r 是p v m d ，s 是r 的乘法集，则璐是d t 整环，当且仅 当r 是p r i i f e r 整环 f e n g j i e a p r i l 1 6 3 c o r n 第5 页，共3 7 页毕业论文 第一章d t 整环 证明由于兄是p v m d ，故r 的每个非零有限生成理想是亡一可逆， 而兄s 是d t 整环，于是由定理1 1 2 知，r 是d t 整环，所以r 的每个非零有限生 成理想可逆，即兄是p r n f e r 整环另一方面，由 6 】显然 推论1 1 2r 是d e d e k i n d 整环，则r 是完全整闭的d t 整环 证明由于r 是d e d e k i n d 整环则r 的每个非零理想可逆，故同拘每个 非零理想是u 一可逆的，则r 是完全整闭的，而d e d e k i n d 整环是p r 证f e r 整环， 故兄是d t 整环 定义1 1 3r 是整环，是r 的理想，如果，在环( ，：，) 中可逆，则称j 为s v - 稳定 命题1 1 1 兄是d t 整环，m 是同均极大理想且是s v - 稳定的，n ( m ：m ) 也 是d t 整环 证明 当m m o = r 或尥= r 时，由 5 定理2 3 】( m ：m ) = r ，结论显 然成立；当m = m m - 1 = 眠时，令t = m - 1 = ( m ：m ) ，设j 是t 中的非 零理想，且z t ，则，中存在有限生成子理想j ，使z 五，故x ( t ：j ) = x ( m 一1 ：j ) = z ( ( r ：m ) ：j ) = z ( r ：j m ) t ，于是z m ( r ：j m ) t m = m ，那么有x ( r ：j m ) m m r ，因而：r m ( j m ) ，从而z t = x ( m ： m ) 一z g ( t ：m ) ( j m ) 。( t ：m ) ( ( j m ) 。( t ：m ) ) ”= ( j m ( t ：m ) ) = ( j m - 1 ) u = ( j t ) 。= 山，所以z 凡，不妨设j = a i t ，且令a = 口i r ，可 得( r ：j ) = ( r ：a t ) = ( r ：a m 。) = ( ( r ：m _ 1 ) ：a ) = ( 眠：a ) = ( m ：a ) 现在a a _ 1 m 或a a _ 1 + m = r 当a 4 - 1 m 时，a - 1 = ( m ：a ) = ( r ： j ) = j 一1 ，贝0 z 山= a = a t = a ，所以z tc a t = 了i ，故z ； 当a a 一1 + m = r 时，存在z a ，o a ，m m ，使得1 = 口z + m 从 而z = z n z + z m 由于z a ，于是z a r ，则z a t = z jct ，故z ( t ：j ) ，得z z x ( t ：j ) t ，z o z a t = j i ，而z m ( j m ) u = ( a m ) a = a t = a ，那么z m a ，则z m t a t = j ，酲 1 z m i ， 所以z i f e n g j i e a p r i l 1 6 3 c o m 第6 页，共3 7 页毕业论文 第一章d t 整环 从定义2 1 容易看到d t 整环既是t w 整环也为d w 整环，但反过来结论不 一定成立首先举例说明d t 整环的多项式环未必是d t 整环，t w 整环不一定 是d t 整环 例1 1 1d 是整数环，则d 的多项式环d 】未必是d t 整环此外，d 是整 数环时，d 】是k r u l l 整环，则d 】是p v m d ，故d 】是t w 整环，由此易 知t w 整环不一定是d t 整环 证明由条件可知，d 是主理想整环，从而是d t 整环而p = ( 2 ，x ) 是d 】的素理想，但不是t 一理想，故d 】不是d t 整环 从这个例子我们可以看到，d t 整环的多项式环未必是d t 整环此外， d 是整数环时，d 【捌是k r u l l 整环，则d 】是p v m d ，故d 】是t w 整环，由 此可知，t w 整环不一定是d t 整环 下面考虑d w 整环未必是d t 整环先叙述一些相关概念及结论 定义1 1 4 【5 】设r 是整环，若r 有v 一理想升链条件，则r 称为m o r i 整环 定义1 1 5 若r 有w 一理想升链条件，则r 称为s m 整环 显然s m 整环是m o r i 整环，n o t h e r 整环是s m 整环，n o t h e r 整环局部化后仍 是s m 整环 例1 1 2 令l 是域，x ，y 是未定元设r = 叫vx y , x 2 ，x 4 】 显 然r 是n o e t h e r 整环，xgr 证明( 1 ) 设m = ( x v x 2 ，x 3 ) ，由 7 】，m 是r 的极大理想，且是u 一理 想，从而m 是r 的极大w 一理想 ( 2 ) 设p = ( x y ) 仍由 7 】，p 是r 的素理想于是0c pcm 是r 的 素理想链，故h tm 2 令i = ( x 2 ) ，则m = e 7 由广义主理想定理， h ti 2 ，因此有h tm = h ti 2 故有h tm = 2 ( 3 ) 由( 2 ) d i m ( r m ) = 2 由 8 】，存在非零元素a ，b r ，使得m = ( ( o ) ： b ) ，于是在r m 中，m r m = ( a r m ：b ) ，从而m r m 是r m 的极大理想，且 f e n g j i e a p r i l 1 6 3 c o r n 第7 页，共3 7 页毕业论文 第一章d t 整环 分解 由于高度为1 的素理想都是乒理想，于是有t d i mr m = d i mrm= 2 若兄m 是d t 整环，即r m 的每个非零理想是u 一理想，则由 9 定理3 3 】，t d i m r m = 1 ，这与亡一d i mr m = 2 矛盾故兄m 不是d t 整环，即d w 整环未必 是d t 整环 1 2 拉回图中d t 整环 在本节中，我们在拉回图的情况下，研究t d t 整环与某些特殊整环的一 些关系，并且讨论了在拉回图中环兄，d ，t 间的关系 定义1 2 1 我们把满足下面条件的拉回图叫做m i l n o r 方图，记为r d 丁f 如果 冗一t 7 r 1 7 r d f 其中t 是整环，m 是t 的非零极大理想，兄是t 的真子环，f = t m 是域， m 是r 的素理想，d = r m 是f 的真子环，_ e r r ：t _ f 是自然映射 在m i l n o r p f 图中，用三表示d 商域，用k 表示冗商域由于f 是域，故 有l f 在许多问题中，我们可以用已知的d ，t ，m 的性质来导出环r 的相 关性质 定义1 2 2r d t f 称为i _ 型m i l n o r 方图，如果f = l 引理1 2 1 设r d t f 是m i l n o r 方图，j 是d 的非零( 分式) 理想，且，= 丌一1 ( j ) ，贝0 ： ( 1 ) 设 ，如是d 的非零( 分式) 理想，则丌- 1 ( ：如 ) = 7 1 - - 1 ( 以) ：7 1 - - 1 ( 以) 】； ( 2 ) 五= 7 1 - - - 1 ( 五) ，厶= 7 r _ 1 ( 工) ； ( 3 ) l = 丌- 1 ( 厶) ； ( 4 ) 设a 是尉拘非零分式理想，若mca ，贝l j t r ( a ) = i t ( a ) 叫 f e n g j i e a p r i l 1 6 3 c o r n第8 页，共3 7 页 毕业论文 第一章d t 整环 证明 ( 1 ) ，( 2 ) 参见 1 0 定理1 8 】 ( 3 ) 参见 5 引理3 1 】 ( 4 ) 设j = 7 r ( a ) ，则a 伽c ( 7 1 - - - 1 ( 丌( a ) ) ) 叫= 7 1 - - - 1 ( j ) 伽= 7 1 - - - 1 ( l ) ，贝l j t r ( a 。) 7 1 - - 1 ( 7 r ( 厶) ) = 厶= 7 r ( a ) 叫，于是丌( a ) 。7 r ( a ) 埘，所以t r ( a 叫) 叫= 丌( a ) 伽另 一方面，设u g v ( d ) ，x l ，u xc7 r ( a 。) ，则7 r - 1 ( u ) 7 r _ 1 ( x d ) a 叫 由弓l 理3 1 失n t r 一1 ( u ) c v ( r ) ，贝i j 7 r 一1 ( z ) ( a 伽) 叫= a 伽，所以2 7 , e7 r ( a 伽) ， 故7 r ( 4 叫) = 7 r ( a ) 叫 引理1 2 2r d t f 是m i l n o r 方图，d = 尼是域如果r 是d t 整环， 则m 一1 = t ， f ：k 】= 2 证明设a f 一后且z t ，使得7 r ( z ) = 入任取r 的有限生成理想， 使i = m r + x m r ，其中0 m m ，设w = k + a k ，得i = ? t l t r _ 1 ( w ) 又 因( 忌：w ) = ( 0 ) ，则7 r 一1 ( ( 尼：) ) = 7 r 一1 ( o ) ，由引理1 2 1 知，i _ 1 = m _ 1 m ， 所以m 丌一1 ( w ) = i = l = 厶= m m ，那么m _ 1 = 7 r _ 1 ( w ) ， 而t m 。= 7 r 一1 ( 彤) 7 ( - 1 ( f ) = t ，故t = m _ 1 = 7 r - 1 ( ) = 7 r _ 1 ( f ) ，于是f = k + a k ， f ：k 】= 2 定义1 2 3 如果整环嗣拘任意有限生成理想是可一理想，则r 叫做f g v 一整环 命题1 2 1 设r 是：f g v 一整环，则兄是d t 整环，从而也是t w 整环 定理1 2 1r d t f 是m i l n o r 方图，如果t 是局部环，且d = 尼是域，以下 等价： ( 1 ) r 是t w 整环； ( 2 ) r 是d t 整环； ( 3 ) r 是，夕u 一整环； f e n g j i e a p r i l 1 6 3 c o m 第9 页，共3 7 页 毕业论文 故环整 卜 缈， 是 r 于由成生 限 = 有 j 是j堤u = 凡 l n 心u 叫 = = 厶 乙 ，想理 的r取任明汪 第一章d t 整环 ( 4 ) t 是f g v 一整环，m _ 1 = t ， f ：叫= 2 对于兄的每个有限生成理想， 若j t 不是t 的主理想，n j 是t 中的理想 证明( 1 ) 营( 3 ) 【5 定理3 4 】 ( 2 ) ( 3 ) 由于r 是d t 整环，则对r 中的每个有限生成理想j ，有j = 厶= 以= j v ，故j 是u 一理想 ( 3 ) ( 2 ) 显然 ( 3 ) j ( 4 ) 由引理1 2 2 知，m _ 1 = t ， f ：尼】= 2 ，故t 是有限生成的尼模 设，是r 中的有限生成理想且z 以，其中u 1 是t 的u 一算子，则z ( t ：j ) t 若j ( t ：，) = t ，贝0 j 是丁中t 卜理想，贝0 z j 若j ( t ：j ) ct ，则，( t ：j ) c m ，从而( t ：j ) = ( m ：j ) ，且( 冗：j ) ( t ：j ) = ( m ：j ) ( r ：j ) ，于 是( r ：j ) = ( t ：j ) 此时由z ( t ：了) t ，得z ( t ：j ) = t ，或者z ( t ：j ) m 当x ( t ：j ) = x ( r ：j ) = t 时，( r ：j ) = z - 1 t = z _ 1 m 。= ( x m ) ，于 是j 一1 = z t ，j = z ，= z t _ 1 = z m ，所以m = z _ 1 j 既是r 又是t 的有限生 成理想如果m ( t ：m ) ct ，那么m ( t ：m ) = m ，于是( r ：m 2 ) = ( ( r ： m ) ：m ) = ( t ：m ) = ( m ：m ) = m _ 1 = t ，m 2 = ( m 2 ) v = m ，这与 1 1 定n 7 6 矛盾因此当m ( t ：m ) = t 时，由m = m t ，得j = x m = z m t ， n j r = z m t ，这与j t 不是t 的主理想矛盾因而z ( t ：j ) = x ( r ：j ) m r ，则z 山= j ，因此l ，= j ，所以t 是f g v 一整环由于t 是f g v 一整 环，则( j t ) 。= j t ，由 1 2 定理2 7 】工= 山t = ( 山t ) 。= ( j t ) 。= j t ， 而r 是f g v 一整环，故j = 厶，= i t ，是t 的理想 ( 4 ) ( 3 ) 设了是r 中的有限生成理想且z 以对任意z ( t ：j t ) ， 则z j t t ，故z j m m ，所以z m ( m ：j ) j ，则z z mc z j c r ， 即z z m _ 1 = t 因此z ( t ：j t ) 垦t ，五( 刀) 。，由于刀不是t 的 主理想，是t 中的有限生成理想，所以了五( 刀) ，= 山，= ，所 以j = z ， 引理1 2 3 1 3 定n 1 9 设r d t f 是m i l n o r 方图，q 是t 的素理想，p = qnr ，如果q m ，则= r p f e n g j i e a p r i l 1 6 3 c o r n 第1 0 页，共3 7 n毕业论文 第一章d t 整环 引理1 2 4 1 3 定理1 1 】设r d t f 是m i l n o r 方图，则下面各条等价： ( 1 ) f 是d 的商域，m 0 f = l ， ( 2 ) r m = t m 引理1 2 5 1 2 推论3 9 】设r d f f 是j 一型m i l n o r 方图，则r 是u 一凝聚整环当 且仅当d 与t 都是v 一凝聚整环 定理1 2 2 设冗d t f 是i - 型m i l n o r 方图， ( 1 ) 如果r 是d t 整环，那么d 也是d t 整环 ( 2 ) 如果兄是d t 整环，那么t 也是d t 整环 证明( 1 ) 设兄是d t 整环，a 是d 的非零理想，p = 丌- 1 ( 4 ) ，且mc p ，由于r 是d t 整环，故p 是t 一理想，由引理1 2 1 知，a 是d 的t 一理想，所 以d 是d t 整环 ( 2 ) 设q 是t 的非零素理想，则对t 的一切素理想，由引理1 2 3 ，引 理1 2 4 知，t q = r p ，而r 是d t 整环，则t q = r p 是d t 整环，由引理1 2 5 知， t 是u 一凝聚整环，从而由定理1 1 2 知，丁也是d t 整环 f e n g j i e a p r i l 1 6 3 c o m 第儿页，共3 7 n毕业论文 第二章a 一，b - - ，e _ 算子及环r 的。一，b - ，c - 理想 交换环理论中，整环是一类很特殊的环，这是因为零元素是整环的唯 一的零化子随着星型算子工具的引入，通过对整环上v 一理想，z 一理想， w 一理想的研究，学者们在整环上得到许多很好的结果遗憾的是星型算 子作为整环的研究工具，在具有非零零化子的一般环上体现不出它的有 力作用1 9 8 9 年，m r o i t m a n 在f 1 5 1 中证明了：设d 是整环，j 是d 的理想， z 是，中的任意非零元，则，是d 的v 一理想，当且仅当i x d 是d x d 的零化子 1 9 9 0 年d c o o t a 和m r o i t m a n 在f 1 6 1 中证明了如下定理：r 是环，那么存在整环d ， 以及d 的非零元x ，使得d x d 竺r 由此我们看到，零化子为我们对一般环 上理想的研究，提供了一个新的途径于是本章，作者受此启发，从零化子入 手，在一般环上定义了a 一，b - ，c - 算子，描述了一般环上的a 一，b - ，c - 理想的 一些性质本章的内容在整篇论文中有着承上启下的重要作用 2 1 弘算子，6 - 算子基本性质 本节在一般的环r 上定义了两种算子，分别记为a 一算子和6 - 算子，主要描 述了这两种算子的基本性质 定义2 1 1 ，是环r 的非零理想，记a n n i = r r ：r i = o ) 我们 把a n n 称为理想，在r 上的零化子 注2 1 1 由定义易知，a n n 还是r 的理想 定义2 1 2 ( 1 ) r 上的弘算子指的是对于r 的理想，定义：厶= a n n ( a n n ) ； ( 2 ) r a = n b - 算子是指对于r 的理想，定义：厶= u 厶：j 取遍，的一切有限生 成子理想) 定理2 1 1 设，j 是r 的非零理想， ( 1 ) 若，i ，贝l j a n n j a n n ； ( 2 ) 若a n n i = a n n j = r ，则，= j = 0 ，j l a n n ( i j ) = r ； 第1 2 页，共3 7 页_ 弟l z 贝，哭0 ，贝 1 第二章a 一，b - ，c - 算子及环冗的n 一，b - ，d 理想 ( 3 ) a n n ( i + j ) = a n n na n n j ； ( 4 ) c 是n 的非零元，c a n n i a n n ( c ) n c - - i 逆时，贝j j c a n n i = a n n ( c ) 证明 ( 1 ) 任取z a n n ，贝j j x j x i = o 故z a n n j ，得证 ( 2 ) 显然 ( 3 ) e h ( 1 ) 显然a n n ( + j ) 冬a n n n a n n j 反之，任取x a n n in a n n j ，贝1 j x i = x j = 0 ，得n x ( r + j ) = 0 ，即 z a n n ( + j ) ，因此等号成立 n ( 4 ) 任取z c a n n i ，记z = c x i ，其d o x i a n n ，则对于任意i ，x i i = i = 1 nn7 tn o ，所以( 既) ，= 0 ，于是c ( z d i = ( x i ) c i = 0 ，则c ( x i ) c z = 0 ，从而 i = 1i = 1i = 1i - - - - 1 n c x i a n n ( c